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FÍSICA
© Derecho de autor reservados MG Jorge Mendoza Dueñas Prof. Universidad Nacional de Ingeniería Lima - Perú Asesor Técnico: MG Abel Díaz Carranza Prof. Universidad Peruana de Ciencias Aplicadas; Lima - Perú Diagramación y diseño: NEW IDEA ediciones gráficas
[email protected] Primera edición, enero del 2015
Impreso en DOSMASUNO SAC Jr. Juan Chávez Tueros 1224 - Chacra Ríos Lima - Cercado RUC: 000000000 Se terminó de imprimir en el mes Noviembre de 2014 Tiraje: 5,000 ejemplares
Prohibida la reproducción total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso del autor.
FÍSICA
© Derecho de autor reservados MG Jorge Mendoza Dueñas Prof. Universidad Nacional de Ingeniería Lima - Perú Asesor Técnico: MG Abel Díaz Carranza Prof. Universidad Peruana de Ciencias Aplicadas; Lima - Perú Diagramación y diseño: NEW IDEA ediciones gráficas
[email protected] Primera edición, enero del 2015
Impreso en DOSMASUNO SAC Jr. Juan Chávez Tueros 1224 - Chacra Ríos Lima - Cercado RUC: 000000000 Se terminó de imprimir en el mes Noviembre de 2014 Tiraje: 5,000 ejemplares
Prohibida la reproducción total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso del autor.
Prólogo La naturaleza está llena de misterios, y éstos normalmente se ubican ante nuestros ojos como un juguete nuevo esperando a ser vistos además de mirarlos, para luego ingresar al mundo de la investigación, aplicando comúnmente el llamado método científico. ¿Y que herramientas o conocimientos se requieren para llevar a cabo una investigación? Es importante el manejo de las matemáticas así como la aplicación de las leyes que gobiernan los fenómenos físicos, pero ante todo la curiosidad del científico en ver fenómenos simples que otros normalmente no consideran co nsideran importante. El presente libro, pretende complementar los conocimientos con ocimientos elementales del curso de física, llevando a cabo una exposición cualitativa y cuantitativa, tal como lo exige la ciencia. La explicación cualitativa, se plasma en la exposición detallada de la teoría, ilustrada con ejemplos de la vida diaria, di aria, esquemas, fotografías, etc. La explicación cuantitativa está conformada por los llamados talleres y problemas, problemas, éstos últimos se encuentran divididos en tres partes : nivel uno, dos y tres. t res. Respecto al test; éste constituye una evaluación de raciocinio rápido, rápi do, donde el estudiante tendrá la oportunidad de recordar y razonar los principios expuestos expuestos por el profesor y el presente material en un determinado tema, sin necesidad de realizar operaciones matemáticas extensas. El autor espera potenciales investigadores y ojalá el presente libro sea el p unto de partida para dicho fin, pues nuestro país necesita de investigaciones; acuérdese que las grandes potencias, son generadoras de investigaciones y exportan tecnología; y éstas no necesariamente parten de la nada, todo descubrimiento parte de un c onocimiento existente; el mismo Newton lo acepta, al afirmar : SI YO PUDE VER MÁS LEJOS QUE MIS COLEGAS, FUE PORQUE ME APOYÉ EN HOMBROS DE GIGANTES, haciendo alusión a sus antecesores : Galileo, Kepler Kepler,, Copérnico, entre otros científicos que le antecedieron. No quiero culminar, sin agradecer el apoyo de muchos profesores y amigos, quienes con su aporte y críticas constructivas, han fortalecido y enriquecido el contenido del presente libro.
EL AUTOR.
ÍNDICE UNIDAD 1 : LA CIENCIA La ciencia Método científico Concepto de física
UNIDAD 2 : MAGNITUDES FÍSICAS Magnitud física Sistema de unidades Notación exponencial Redondeo de cifras Cifras significativas Análisis dimensional Medición – teoría de errores
UNIDAD 3 : VECTORES Vector Operaciones vectoriales
UNIDAD 4 : ESTÁTICA Interacción Fuerzas Fuerz as notables Leyes de Newton – primera condición de equilibrio Momento de una fuerza – segunda condición de equilibrio Centro de gravedad
UNIDAD 5 : CINEMÁTICA Movimiento Movimiento rectilíneo uniforme Movimiento rectilíneo uniformemente variado Caída libre Gráficos relacionados al movimiento Movimiento compuesto Movimiento circular
UNIDAD 6 : DINÁMICA Masa de un cuerpo Segunda ley de Newton Dinámica circular
UNIDAD 7 : TRABAJO –POTENCIA – ENERGÍA Trabajo mecánico Potencia Energía
UNIDAD 8 : MOVIMIENTO PLANETARIO – GRAVITACIÓN GRAVITACIÓN UNIVERSAL Movimiento planetario Gravitación universal
UNIDAD 9 : OSCILACIONES Y ONDAS MECÁNICAS Movimiento oscilatorio Movimiento armónico simple Péndulo simple Ondas mecánicas
UNIDAD 10 : ESTÁTICA DE LOS FLUIDOS Conceptos fundamentales Presión Principio de Pascal Principios básicos de la hidrostática
UNIDAD 11 : CALOR Termometría Dilatación térmica Calorimetría Cambio de estado en una sustancia
UNIDAD 12 : GASES Comportamiento de los gases Termodinámica
UNIDAD 13 : ELECTRICIDAD Teoría electrónica Introducción a la electrostática Carga – campo eléctrico Potencial eléctrico Capacidad eléctrica Electrodinámica Corriente eléctrica Circuitos eléctricos
UNIDAD 14 : MAGNETISMO Imán Electromagnetismo
UNIDAD 15 : ÓPTICA Naturaleza de la luz Fotometría Reflexión de la luz Refracción de la luz
UNIDAD 16 : ONDAS ELECTROMAGNÉTICAS Espectro electromagnético Estudio experimental del espectro visible
UNIDAD 17 : FÍSICA MODERNA Teoría cuántica Efecto fotoeléctrico Modelo atómico El rayo láser Teoría de la relatividad
Magnitudes Físicas
Jorge Mendoza Dueñas
Unidad
La Ciencia
N
8
t
Magnitudes Físicas
Física
Aplico la Tecnología
Debo respetar la Naturaleza y el Medio Ambiente
Ciencia y Física
Jorge Mendoza Dueñas
LA CIENCIA 1. LA CIENCIA. Este término cubre un campo de actividades y conocimientos tan amplio, que cualquier definición corre el riesgo de ser incompleta. La ciencia busca una interpretación de todos los fenómenos naturales, siendo su objetivo descubrir y dar forma matemática a las leyes universales que relacionan entre si las magnitudes que intervienen en ellos.
Entiéndase que la ciencia encierra un conocimiento cualitativo y cuantitativo de las leyes naturales; pues si no se puede medir y expresar en números las leyes de un fenómeno, por más que su explicación cualitativa sea contundente, ésta será pobre e insatisfecha; de ahí que las matemáticas se convierten en una herramienta imprescindible en la formulación de una ley.
P
F A
F
x
y
M P
A Explicación Cualitativa: Para evitar o reducir el dolor lumbar, es recomendable levantar la carga P sobre el hombro y no como el mostrado en la imagen.
Explicación Cuantitativa: La fuerza “F” depende en gran medida del brazo de palanca “X” y la carga P. Dicha fuerza comprime las estructuras vertebrales ocasionando el dolor lumbar.
Lo que motiva a los científicos es la emoción que les da la ciencia, el placer que les llega cuando descubren la naturaleza. A continuación se muestra una analogía: Imaginemos que a un niño de dos años se le da un juguete nuevo. Toma el juguete, lo mira con ojos brillosos, juega con él, si hay, por ejemplo, un botón que cuando se aprieta produce un sonido lo presiona varias veces, trata de desarmarlo o romperlo, finalmente, cuando se aburre, lo deja. ¿Qué ha sucedido?. ¿Es qué acaso el pequeño
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Ciencia y Física
Física
detesta el juguete, ya que lo trató de romper. No, lo que pasó es que el chico estaba experimentando con el juguete, intenta observar de qué está hecho, como es por dentro, lo chupa para sentir como sabe, lo huele para saber si tiene olor. Una vez que lo investigó y descubrió algunas cosas, ya no le divierte; quiere jugar con algo nuevo, investigar algo nuevo. Los misterios de la naturaleza están puestos ante nosotros como un juguete nuevo, esperando a ser descubiertos. Muchas veces el científico, es como un niño curioso, juega con la naturaleza, investiga, descubre, no porque le van a dar una remuneración económica. Su remuneración es similar a aquella que tiene el pequeño que desarma su juguete: la ciencia, el descubrimiento de cosas nuevas, hace arder sus pasiones.
2. TIPOS DE CIENCIA En realidad la ciencia es única, sin embargo, para efectos de la mejor comprensión de ésta, dividiremos la ciencia en dos:
a.
Ciencia básica Llamada también ciencia pura o fundamental, el objeto es el conocimiento en si, la descripción de un modelo razonable que explique el porqué de los fenómenos. Se investiga aparentemente sin ningún beneficio inmediato para el hombre, simplemente porque hacerlo es interesante, no importa el tiempo que haga falta. Se dice que cuando Michael Faraday explicó su descubrimiento respecto a que un imán en movimiento inducía corriente eléctrica en su conductor, el primer ministro británico de la época, Robert Peel, le preguntó “¿Y esto para qué?”, a lo que Faraday respondió “¿Para qué sirve un recién nacido?”. Resulta que todos los generadores eléctricos que transforman energía mecánica en eléctrica, se basan en ese principio y gracias a ello, hoy podemos hacer uso de los aparatos eléctricos. En este campo, la motivación es el ansia de conocimiento, la actividad es la investigación y el producto resultante es el conocimiento científico. MOTIVACIÓN
Ansia de Conocimiento
ACTIVIDAD
Investigacin Cientíca
PRODUCTO Conocimientos Cientícos
b.- Ciencia aplicada Llamada también Tecnología, tiene como objetivo la solución a problemas específicos o tangibles, para así satisfacer las necesidades de un grupo de personas. En este campo, la motivación es la satisfacción de necesidades o deseos, la actividad es el desarrollo, el diseño y/o la ejecución y el producto resultante son los bienes y servicios, o los métodos y procesos. MOTIVACIÓN Satisfaccin de Necesidades y Deseos
ACTIVIDAD Desarrollo Diseño Ejecucin
PRODUCTO Bienes y Servicios Métodos y Procesos
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Ciencia y Física
Jorge Mendoza Dueñas
Es importante advertir que la tecnología existe gracias a la ciencia básica. Pretender realizar sólo ciencia aplicada es como querer obtener manzanas sin primero cultivar los árboles que las producen. En el mundo moderno: sin ciencia básica no hay tecnología; no es posible intentar competir tecnológicamente con países desarrollados sin una base científica tan sólida y tan extensa como la de ellos. Es como si se pretendiera pelear con lanzas y hachas de piedra contra bombas termonucleares.
3. EL DESCUBRIMIENTO DE UNA TECNOLOGÍA Usted Señor Lector, debe tener presente que (por lo menos en la ciencia aplicada) el invento o descubrimiento de una tecnología está basada en otra ya existente; tal es así que incluso Newton (uno de los más grandes científicos de la historia) afirmó sin prejuicios que sus descubrimientos tenían como base o cimiento, los estudios realizados por Galileo, Kepler, Copérnico, entre otros científicos que lo antecedieron. A modo de ejemplo, citaremos al GPS: Tecnología actual que nos permite conocer las coordenadas de un punto o incluso conjunto de puntos. A decir verdad, el GPS nace como consecuencia de la existencia de una serie de tecnologías, tales como los satélites artificiales, las ondas electromagnéticas, la estación total (equipo topográfico), entre otras. Asimismo, la estación total aparece gracias al uso del radar, el teodolito, el distanciómetro, etc. El teodolito, surge como una suerte de combinación entre el telescopio y la dioptría. La dioptría aparece gracias a la presencia del transportador, y este último por la necesidad de medir ángulos. Por otro lado, debemos confesar que todos nosotros somos afortunados, dado que pertenecemos a una era de tecnología cambiante e innovadora. Solo falta que ustedes jóvenes alumnos sean los protagonistas principales en los descubrimientos de tecnologías nuevas e innovadoras. En la siguiente página se muestran los principales descubrimientos realizados por el hombre.
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Ciencia y Física
Física
PRINCIPALES INVENTOS Invento o Descubrimiento
Escritura
Fecha
Inventor o descubridor y país
4 000 a.C.
Mesopotamia
Rueda Vidrio
3 500 a.C. 3 000 a.C.
Mesopotamia Egipto
Papel
s 1 a.C.
China
950
China
Gafas
1 280
Italia
Imprenta de tipos móviles
1 441
Johannes Gutemberg (Alemania)
Microscopio
1 590
H. y Z. Janssen (Holanda)
Termómetro
1 592
Galileo Galilei (Italia)
Telescopio Barómetro
1 608 1 644
Hans Lippershey (Holanda) Evangelistas Torricelli (Italia)
Olla de presión
1 679
Denis Papin (Francia)
Máquina de vapor
1 712
Thomas Newcomen (Gran Bretaña)
Pararrayos
1 752
Benjamín Franklin (EE.UU.)
Telar mecánico
1 785
Edmund Cartwrigth (Gran Bretaña)
Batería eléctrica
1 800
Alessandro Volta (Italia)
Cámara fotográfica
1 816
Nicéphore Niépce (Francia)
Electroimán
1 823
William Sturgeon (Gran Bretaña)
Motor Eléctrico
1 834
Moritz H. Jacobi (Rusia)
Telégrafo de un hilo
1 838
Smuel F.B. Morse (EE.UU.)
Bicicleta
1 839
Kirkpatrick Mackmillan (Gran Bretaña)
1 841
Charles Goodyear (EE.UU.)
1 845
Elías Howe (EE.UU.)
Ascensor
1 852
Elisha Otis (EE.UU.)
Lavadora
1 858
Hamilton Smith (EE.UU.)
Dinamita
1 866
Alfred Nobel (Suecia)
Máquina de escribir
1 872
Christopher Scholes (EE.UU.)
Teléfono
1 876
Alexander Graham Bell (EE.UU.)
Pólvora
Vulcanización del caucho Máquina de coser
Fonógrafo
1 877
Thomas Alba Edison (EE.UU.)
Bombilla de incandescencia
1 879
Thomas Alba Edison (EE.UU.)
1 885
Karl Benz (Al.) y Gottieb Daimber (Al)
Radio
1 895
Guglielmo Marconi (Italia)
Cinematógrafo
1 895
Hermanos Lumiere (Francia)
Congelación de alimentos
1 924
Clarence Birdseye (EE.UU.)
Televisión
1 925
John L. Baird (Gran Bretaña) y otros
Penicilina
1 928
Alexander Fleming (Gran Bretaña)
Motor a reacción
1 930
Frank Whittle (Inglaterra)
Automóvil
Nailon
1 938
Wallace Carothers (EE.UU.)
Ordenador electrónico
1 945
J. Presper Eckert y Jhon W. Mauchly (EE.UU.)
Cámara “Polarid”
1 947
Edwin Land (EE.UU.)
Transistor
1 948
Jhon Bardeen. Walter Brattain y Wlliam Schockley (EE.UU.)
Láser
1 960
Theodore Maiman (EE.UU.)
Chip de silicio
1 961
Texas Instruments (EE.UU.)
Microprocesador
1 971
intel Corp. (EE.UU.)
Transbordador espacial
1 981
NASA (EE.UU.)
Disco compacto.
1 991
Phillips y Kodak
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Ciencia y Física
Jorge Mendoza Dueñas
4.- EL MÉTODO CIENTÍFICO Es un método de la ciencia y contempla los pasos a seguir para formular una Ley Científica. En la práctica, nosotros podemos comprobar la veracidad de una ley utilizando este método. Existen dos formas de aplicar el Método Científico:
Formula leyes generales a partir de hechos particulares. Su aplicación se considera válida mientras no se encuentre ningún caso que no cumpla con el modelo propuesto. Pasos a seguir:
a) La Observación. Consiste en un simple estudio visual-mental de un fenómeno realizado en condiciones naturales. Muchas veces las condiciones y circunstancias en que se realiza el fenómeno no es el óptimo, motivo por el cual la observación debe ejecutarse minuciosa y reiteradamente. Ejemplo: La caída de un cuerpo.
Cuerpo
t
h
b) Pregunta.
En este paso, se formulan preguntas que merecen respuestas científicas. Ejemplo: ¿Existirá una relación constante entre la altura soltada y el tiempo de caída? Nótese la presencia de dos variables: altura y tiempo.
c)
t
h
Formulación de una Hipótesis.
Es una tentativa explicación que da una respuesta a la pregunta formulada. La hipótesis puede ser verdadera o falsa. Una hipótesis para nuestro ejemplo de aplicación, podría ser: K n, m y t
14
: : : :
constante número altura tiempo
Ciencia y Física
Física
d) Experimentación.
Es provocar un fenómeno y obtener datos en condiciones controladas. Analizando nuestro ejemplo típico. El experimento que hemos realizado es muy simple, pues consta de una bola de acero y una cámara fotográfica en modo video (para filmar la caída del cuerpo) con 30 fps (30 fotogramas por segundo). Así pues, hemos filmado la caída de la bola de acero para luego obtener la foto para cada instante (1/30 segundo); dichas imágenes han sido llevados a la computadora (a escala), obteniendo:
y x
t (s)
y (m)
0.033 0.067 0.100 0.133 0.167 0.200 0.233 0.267 0.300 0.333 0.367 0.400 0.433 0.467 0.500 0.533 0.567 0.600
- 0.0054 - 0.0218 - 0.0490 - 0.0871 - 0.1361 - 0.1960 - 0.2668 - 0.3484 - 0.4410 - 0.5444 - 0.6588 - 0.7840 - 0.9201 - 1.0671 - 1.2250 - 1.3938 - 1.5734 - 1.7640
Con ayuda del cuadro mostrado se realiza la tabulación de datos, proc ediendo a continuación a elegir la curva que mejor se ajusta a los puntos y generar una ecuación empírica del fenómeno. y t 0,100 0,200 0,300 0,400 0,500 0,600 0,700 0,0000
-0,2000 -0,4000 -0,6000
) -0,8000 m ( y -1,0000 -1,2000 -1,4000 -1,6000 -1,8000 -2,0000
t (s)
e) Análisis y Conclusiones.
Se procede a comparar la hipótesis con el resultado final. Hipótesis : yn = K . t n Resultado final
: y = -4,90. t 2
Concluyendo que la hipótesis (en nuestro ejemplo) es verdadera.
Ciencia y Física
Jorge Mendoza Dueñas
A continuación se repite el experimento para diferentes escenarios (espacio y tiempo); si el resultado final se conserva, se concluye que se ha llegado a una ley. En nuestro caso: g: aceleración de la gravedad.
Formula conclusiones particulares a partir de leyes generales. Este método es teórico en su partida, pero totalmente experimental en su validación. A continuación se dará a conocer cada uno de los pasos, utilizando como ejemplo ilustrativo, la ley de la gravitación universal, formulada por Isaac Newton. a) La Observación.
Luna
Cuenta la historia que Newton observó que la manzana caía hacia la tierra. También descubrió que la luna cae eternamente hacia nuestro planeta.
b) Medida y registro de datos.
Para describir un fenómeno físico existen dos tipos: la descripción cualitativa y cuantitativa. Se dice que una descripción es cualitativa, cuando se describe con palabras y no con números, por ejemplo: el edificio es alto, la temperatura del horno es alta, el caudal de las aguas del río es grande. Obviamente que esta clase de descripción deja muchas preguntas sin respuesta, se necesitará entonces de los números y éstos se basan en una medición. El método científico exige comparación y éstas se efectúan mejor en forma cuantitativa, es decir, con números. Esto no significa que el científico necesariamente tenga que partir de una medición inédita, muchas veces él aprovecha las mediciones de sus colegas antecesores, las cuales le sirven como base para describir cuantitativamente el fenómeno en estudio. 2 M 1 M A
r 2
A
r 1
M
cte
16
Newton aprovechó los estudios realizados por los científicos que le antecedieron como los de Nicolás Copérnico, Galileo quién inventó el telescopio, Tycho Brahe que se ocupó por 20 años de hacer mediciones de los cuerpos celestes con ayuda del telescopio, así como Johanes Kepler (amigo de Galileo) quién formulara sus famosas “Leyes de Kepler”.
Ciencia y Física
Física
c)
Formulación de una Hipótesis.
A partir de hechos y leyes conocidas, un científico puede descubrir nuevos conocimientos en una forma teórica. Se entiende por teoría al hecho que el Físico proponga un modelo de la situación física que está estudiando, utilizando relaciones previamente establecidas; ordinariamente expresa su razonamiento mediante técnicas matemáticas. m
Ley de Newton: Ley de Kepler: M
Hipótesis:
Con ayuda de las leyes de Kep ler, así como de su segunda Ley, Newton llevó a cabo su modelo matemático hasta llegar a una hipótesis.
Donde G = cte. de gravitación universal
d)
Experimentación.
Si esta última se llena satisfactoriamente, la hipótesis pasa a ser un hecho comprobado y puede ser una ley que se enuncia mediante fórmulas matemáticas.
espejo
rayo de luz
masas sostenidas
masas suspendidas
Henry Cavendish fue quien determinó experimentalmente el valor de la constante G, 70 años después de la muerte de Newton; con lo cual se comprobó la veracidad de la hipótesis de Newton (ley).
Es una ciencia básica de tipo experimental, que observa, estudia y gobierna mediante leyes, la materia y sus interacciones, así como los llamados fenómenos físicos.
Es el cambio o modificación que sufren los cuerpos de la naturaleza, bajo la influencia de diversas formas de energía; existen muchos fenómenos. En esta oportunidad nos ocuparemos solo de tres. a) Fenómeno físico.
Es el cambio que sufre la materia sin alterar sus estructura íntima. Se caracteriza por ser reversible.
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Ciencia y Física
Jorge Mendoza Dueñas Las olas se producen gracias a la acción del viento sobre las aguas del Mar. Inicialmente es agua, finalmente también lo es.
Al romper un papel, la estructura interna de los pedacitos de papel son exactamente igual al original.
b) Fenómeno qumico.
Son los cambios que presentan las sustancias cuando, al reaccionar unas con otras, pierden sus características originales y dan lugar a otra sustancia, con propiedades diferentes. La madera pierde sus propiedades químicas por acción de la combustión.
El efecto que produce un ácido sobre un metal, hace que ambos pierdan sus propiedades químicas iniciales.
Oxidación del Fierro
c)
Fenómeno Fsco-qumico.
Este fenómeno tiene algunas propiedades del fenómeno físico y otras del químico. DURANTE EL PROCESO DE FOTOSÍNTESIS
FENÓMENO
a) La hoja toma CO 2 del aire, también llega el H2O tomada del suelo por la raíz).
FÍSICO
b) El agua se transforma en Hidrógeno y Oxígeno.
QUÍMICO
c) El Oxígeno se desprende de la planta y vuelve a la atmósfera.
FÍSICO
d) El Hidrógeno reacciona con el Dióxido de carbono para formar Almidón.
QUÍMICO
EN LA COMBUSTIÓN DE LA GASOLINA
FENÓMENO
a) Se inyecta gasolina en un carburador
FÍSICO
b) Se mezcla con aire
FÍSICO
c) La mezcla se convierte en vapor
FÍSICO
d) Se quema (los productos de la combustión).
QUÍMICO
e) Se expande en el cilindro.
FÍSICO
Para un óptimo estudio, ésta se divide en:
6.1. FÍSICA CLÁSICA. Se encarga del estudio de aquellos fenómenos que ocurren a una velocidad relativamente pequeña comparada con la velocidad de la luz en el vacío. El tamaño de los elementos en estudio no es inferior al de un átomo.
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Ciencia y Física
Física
a) Mecánica de los sólidos. Cinemática y(m) 20
Estática
Dinámica y
vx(m/s)
y A
45°
Fx
Px
Py
B
0
x
P
2 000 x(m)
b) Mecánica de los fluidos. Estática de los fluidos
Po
P
Dinámica de los fluidos
h A
h
A 1
B
c) Calor y termodinámica.
d) Acústica.
e) Electricidad.
f) Magnetismo.
g) Electromagnetismo.
h) Óptica.
6.2. FÍSICA MODERNA
. FÍSICA MODERNA.
Estudia los fenómenos que se producen a la velocidad de la luz o valores cercanos a ella. El tamaño de los elementos en estudio, son generalmente inferiores al de un átomo. Su desarrollo se llevó a cabo desde inicios del siglo XX.
a) Relatividad.
b) Mecánica cuántica.
c) Física de partículas.
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Ciencia y Física
Jorge Mendoza Dueñas
Unidad
Magnitudes Físicas ¿ Para qué sirven la magnitudes físicas? Sirven para traducir en números los resultados de las observaciones; así el lenguaje que se utiliza en la Física será claro, preciso y terminante.
Conoceré los diversos tipos de magnitudes físicas con sus respectivo sistema de unidades. Utlizaré números extremadamente grandes y pequeños haciendo uso de la notación exponencial. Aprenderé a convertir unidades dentro de una misma magnitud. Conoceré las reglas generales en el redondeo de cifras y el concepto de cifras significativas. Aprenderé el concepto y aplicación del análisis dimensional. Ingresaré al mundo de las probabilidades matemáticas.
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Ciencia y Física
Física
Aplico la Tecnología Medir la distancia entre dos puntos ubicados en la hoja de un papel, es tarea muy simple, sin embargo realizar la misma operación en el campo, hasta hace algunos años era una labor muy tediosa; hoy en día con el uso de la estación total, podemos medir la distancia entre dos puntos muy lejanos en fracciones de segundo, gracias al uso de ondas electromagnéticas.
Debo respetar la Naturaleza y el Medio Ambiente Según el Servicio Nacional de Meteorología e hidrología del Perú SENAMHI, el índice de rayos ultravioletas se clasifica según la siguiente tabla :
NIVEL DE RIESGO
INDICE UV - B
MÍNIMO
1-2
BAJO
3-5
MODERADO
6-8
ALTO
9 - 11
MUY ALTO
12 - 14
EXTREMADAMENTE ALTO
> 14
En nuetro país, es común contar con valores de UV-B en el orden de 13, 14 y 15; por tal razón debemos tomar las medidas pertinentes en aras de evitar el cáncer a nuestra piel.
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Magnitudes Físicas
Jorge Mendoza Dueñas
MAGNITUDES FÍSICAS En nuestro universo, sabemos por propia experiencia que hay cosas que se pueden comparar entre si y otras no. Por ejemplo, podemos comparar la altura de un árbol con la de un edificio, en cambio no podemos comparar el amor que sentimos por nuestra madre con el que sentimos por nuestros hijos. Por esto, todo aquello que sea susceptible de aceptar una comparación con otra de su misma especie, es una magnitud. Así entonces, la longitud, la masa, el tiempo, etc. son magnitudes. ¿Para qué sirven las magnitudes físicas? . Sirven para traducir en números los resultados de las observaciones; así el lenguaje que se utiliza en la Física será claro, preciso y terminante.
1.1.
POR SU ORIGEN. MAGNITUDES FUNDAMENTALES
MAGNITUDES DERIVADAS
MAGNITUDES SUPLEMENTARIAS
Son aquellas que sirven de base para escribir las demás magnitudes. Las
Son aquellas magnitudes que están expresadas en función de las magnitudes fundamentales; ejemplo: Velocidad Aceleración Fuerza Trabajo Superficie Densidad Presión Potencia
(Son dos), realmente no son magnitudes fundamentales ni derivadas; sin embargo se les considera como magnitudes fundamentales: Ángulo plano ( Ángulo sólido ( )
magnitudes fundamentales son: Longitud (L) Masa (M) Tiempo (T) Intensidad de corriente eléctrica (I) Temperatura termodinámica () Intensidad luminosa (J) Cantidad de sustancia()
NOTA: En
1.2.
mecánica, tres magnitudes fundamentales son suficientes: la Longitud, la Masa y el Tiempo.
POR SU NATURALEZA.
a) Magnitudes Escalares.
Son aquellas magnitudes que están perfectamente determinadas con sólo conocer su valor numérico y su respectiva unidad. Ejemplos: VOLUMEN
Sólo necesito 100 mm3 y estará terminado
TEMPERATURA
TIEMPO
Son las 12:15 P. M ¡Ya es tarde! Tengo fiebre de 40° C ¡Que fatal!
Como se verá en todos e stos casos, sólo se necesita el valor numérico y su respectiva unidad para que la magnitud quede perfectamente determinada.
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Magnitudes Físicas
Física
b) Magnitudes Vectoriales.
Son aquellas magnitudes que además de conocer su valor numérico y unidad, se necesita la dirección y sentido para que dicha magnitud quede perfectamente determinada. Ejemplos: FUERZA
DESPLAZAMIENTO
W S
O 1 km
N
60° 2 km 3 km 4 km 5 km 6 km
Sabemos que la fuerza que se está aplicando al bloque es de 5 newton; pero de no ser por la flecha (vector) que nos indica que la fuerza es vertical y hacia arriba; realmente no tendríamos idea si se aplica hacia arriba o hacia abajo. La fuerza es una magnitud vectorial.
E El desplazamiento indica que mide 6 km y tiene una orientación N 60° E (tiene dirección y sentido) con lo cual es fácil llegar del punto “o” a la casa.
2. SISTEMA DE UNIDADES ¿A qué llamamos Unidad de Medida?
Llamamos así a aquella cantidad elegida como patrón de comparación. Una misma magnitud puede tener varias unidades de medida. Así por ejemplo: si queremos cuantificar el volumen de agua; podemos expresarlo en términos de número de litros, galones, metros cúbicos, etc.
1 litro
1 galón
1m
1 m3 1m
1m
2.1 SISTEMA DE UNIDADES El hombre siempre se ha visto en la necesidad de realizar mediciones y por ese motivo comenzó a crear diversas unidades de medida, pero sucede que año tras año se han creado tantas unidades que no hicieron más que causar el caos y confusión. Esto obligó a contar con una medida universal basada en un fenómeno físico natural e invariable. El Sistema Internacional de Unidades (S.I.) es importante porque agiliza, facilita y simplifica el intercambio comercial, técnico y científico internacional. Está conformado ORIGEN DEL SISTEMA DE UNIDADES por dos rubros importantes que son: 1 yarda 1 pulgada Unidades del Sistema Internacional. Múltiplos y submúltiplos decimales de las unidades del Sistema Internacional (Notación Exponencial). A partir del 14 de Octubre de 1960, la 1era. Conferencia General de Pesas y Medidas (Organización 1 pie Internacional reunida en Paris-Francia) da a conocer oficialmente un sistema de unidades. La elección de alguna parte del cuerpo humano como unidad de medida, data de hace muchos años atrs.
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Magnitudes Físicas
Jorge Mendoza Dueñas
UNIDADES DEL SISTEMA INTERNACIONAL a) Unidades de Base.
Son las unidades respectivas de las magnitudes fundamentales. MAGNITUD UNIDAD SÍMBOLO
PATRÓN PRIMARIO
metro
m
Basado en la longitud de onda de la luz emitida por la lámpara de criptn especial.
Masa
kilogramo
kg
Un cilindro de aleacin de platino que se conserva en el laboratorio Nacional de Patrones en Francia.
Tiempo
segundo
s
Basado en la frecuencia de la radiacin de un oscilador de cesio especial.
Intensidad de corriente eléctrica
ampere
A
Con base en la fuerza magnética entre dos alambres que transportan la misma corriente.
kelvin
K
Definido por la temperatura a la que hierve el agua y se congela simultáneamente si la presin es adecuada.
Longitud
Temperatura Termodinámica Intensidad Luminosa
candela
cd
Basada en la radiacin de una muestra de platino fundido preparada especialmente.
Cantidad de Sustancia
mol
mol
Con base en las propiedades del carbono 12.
b) Unidades Suplementarias.
Son las unidades correspondientes a las magnitudes suplementarias, sin embargo se les considera como unidades de base. MAGNITUD
c)
MAGNITUD
UNIDAD
SÍMBOLO
newton
N
metro cuadrado
m2
Fuerza Superficie (Área)
UNIDAD
SÍMBOLO
Ángulo Plano
radián
rad
Velocidad
metro por segundo
m/s
Ángulo Sólido
estereoradián
sr
Volumen
metro cúbico
m3
Trabajo
joule
J
Presión
pascal
Pa
Potencia
watt
W
Unidades Derivadas.
Son las unidades correspondientes a las magnitudes derivadas. A continuación sólo se presentarán algunas de ellas.
En la física, es muy frecuente usar números muy grandes, pero también números muy pequeños; para su simplificación se hace uso de los múltiplos y submúltiplos.
3.1. MÚLTIPLOS.
24
Prefijo
Símbolo
Factor de Multiplicación
Prefijo
Símbolo
Factor de Multiplicación
deca hecto kilo mega giga
D H k M G
101 102 103 106 109
tera peta exa zeta yota
T P E Z Y
1012 1015 1018 1021 1024
Magnitudes Físicas
Física
3.2. SUBMÚLTIPLOS
d)
Prefijo
Símbolo
Factor de Multiplicación
deci
d
10-1
Ejemplo
Correcto
Incorrecto
centi
c
10-2
ampere
A
a
mili
m
10-3
segundo
s
S
micro
10-6
weber
Wb
wb
nano
n
10-9
pico
p
10-12
femto
f
10-15
atto
a
10-18
Ejemplo
Correcto
Incorrecto
zepto
z
10-21
Plural
moles
Mol
y
-24
Singular
metro
metros
Plural
newtons
newton
yocto
e)
10
3.3. REGLAS GENERALES a)
b)
c)
El símbolo de cada unidad debe escribirse con letra minúscula con excepción de aquellas que derivan de un nombre propio.
f)
Cada unidad SI debe ser escrito por sus nombres completos o por su símbolo correspondiente reconocido internacionalmente. Ejemplo
Correcto
Incorrecto
metro
m
mt, ms, mts, M
gramo
g
gr, grs, gs, G
litro
l ó L
lt, Lt, lts, Lts
g)
Después de cada símbolo, múltiplo o submúltiplo decimal no debe colocarse punto. Ejemplo
Correcto
Incorrecto
kilogramo
kg
Kg.
metro
m
m.
centímetro
cm
cm.
Los respectivos nombres de las unidades serán escritos con letra inicial minúscula, aunque correspondan a nombres propios (con excepción de los grados Celsius).
Al escribir y pronunciar el plural de las unidades de medida, múltiplos y submúltiplos, se deberán aplicar las reglas de la gramática castellana.
Los símbolos de las unidades, múltiplos y submúltiplos del SI no admiten plural. Ejemplo
Correcto
Incorrecto
Singular
1 mol
1 moles
Singular
0,44 g
0,44 gs
Plural
532 m
532 ms
Plural
-38,3 A
-38,3 As
Los símbolos se escriben a la derecha de los valores numéricos separados por un espacio en blanco. Ejemplo
Correcto
Incorrecto
20 metros
20 m
20m
4 kilogramos
4 kg
4kg
a)
El producto de diversas unidades de medida se indicará mediante un punto. Este punto puede omitirse si no existe riesgo de confusión, pero a cambio se dejará un espacio.
Ejemplo
Correcto
Incorrecto
Nombre propio
newton
Newton
Ejemplo:
Nombre propio
pascal
Pascal
Nombre propio
segundo
Segundo
ampere segundo newton metro
A.s ó A s N.m ó N m
Magnitudes Físicas
Jorge Mendoza Dueñas
b)
Si el símbolo de una unidad derivada SI no tiene nombre ni símbolo especial, entonces se deberá formar mediante multiplicaciones y/o divisiones de las unidades SI. Ejemplo: Velocidad Momento de inercia
c)
b) Masa.
1 kg = 103 g = 2,2 lb 1 lb = 543,6 g = 16 onz 1 t = 103 kg = 1 Mg 1 onz = 28,35 g 1 quilate = 2.10-4 kg 1 ton USA = 2 000 lb 1 dracma = 3 escrúpulos 1 arroba = 25 libras 1 y = 10-9 kg 1 ton UK = 2 240 lb
m/s m2 . kg
En la multiplicación de las diversas unidades de medida, se recomienda usar el siguiente orden: x = ma . kgb . sc . Ad . K e . cdf . molg . radh . sri Donde “x” es símbolo de la unidad derivada que tiene nombre especial; a, b, c..., son exponentes reales y enteros, positivos o negativos. Ejemplo: pascal
b)
Volumen.
1 galón inglés = 4,546 L 1 galón Perú = 4 L (doméstico)
Pa = m-1 . kg . s2
1 galón USA = 3,785 L = 4 cuartos 1 pie3 = 28,32 L = 7,48 galón USA
1 barril = 42 L 1 cuarto = 2 pintas 1 m3 = 103 L = 1 stereo (st) 1 L = 103 mL = 103 cm3 = 1 dm3
Daremos a conocer especialmente las equivalencias entre las unidades importantes que utilizaremos en nuestro estudio. a) Longitud.
1 milla terrestre = 1 609 m 1 milla marítima = 1 852 m 1 km = 103 m = 105 cm 1 m = 102 cm = 103 mm 1 yd = 3 pies = 91,44 cm 1 pie = 12 pulg = 30,48 cm 1 pulg = 2,54 cm 1 Å = 10-8 cm = 10-10 m 1 vara = 83,6 cm 1 fermi = 10-15 m = 1 fm 1 spot = 1012 m 1 UA = 149 597, 870 x 10 6 m 1 ly = 9,460 55 x 1015 m (*)
c)
Presión.
1 atm = 1 101 325 Pa 1 bar = 10 5 Pa = 750 torr 1 atm = 760 mmHg = 760 torr 1 atm = 14,7 lb/pulg2 = 14,7 PSI 1 atm = 1 033 gf/cm2 = 1,033 kgf/cm2 1 mmHg = 133,322 39 Pa 1 pieza = 10 3 Pa
d) Energía. 1 W.h = 3,6 x 103 J 1 e.V = 1,602 19 x 10-19 J 1 cal = 4,186 8 J 1 erg = 100 nJ = 10-7 J
(*)
26
ly = 1 año luz = longitud recorrida a la velocidad de
1 BTU = 252 cal
la luz en un año.
1 kcal = 3,97 BTU
Magnitudes Físicas
Física
Consiste en realizar cambio de unidades dentro de una misma magnitud; en el presente libro utilizaremos el método del factor unitario: En primer lugar, sustituimos los factores unitarios por cocientes de igual valor. Cada cociente debe relacionar los símbolos deseados con los símbolos a cancelar (equivalencia). Finalmente se procede a la simplificación matemática, obteniéndose las unidades deseadas. Ejemplo Convertir:
Resolución
E = 20 km a m
Equivalencia a usar: 1 km = 1 000 m factor unitario
cociente igual a la unidad
E = 20 km . 1
Problemas Resueltos 1
Efectuar:
Escribiendo en notación científica: E = (4 x 10 5 ) (2 x 10-2) E = 4 x 2 x 105-2 = 8 x 103 E = 8 000
400 000 x 0,02
2
Efectuar la operación y el resultado expresarlo en notación científica. F = 6 000 000 000 000 – 4 000 000 000 000
Escribiendo en notación científica: F = 6 x 1012 – 4 x 10 12 = 2 x 10 12 F = 2 x 1012
3
Luego de efectuar, expresar el resultado en notación científica. E = 0,000 034 5 – 0, 000 019 5
Escribiendo cada término en notación científica: 4
Efectuar y expresar el resultado en notación científica.
Luego: E = 3,45 x 10-5 – 1,95 x 10 -5 E= (3, 45 – 1,95) x 10-5 E = 1,50 x 10-5
Expresando los factores en potencias de 10.
C = (3 . 107 . 10-7 . 106)2
C = 9 . 1012
27
Magnitudes Físicas
Jorge Mendoza Dueñas
Resolver y dar el resultado en notación científica.
Simplificando: A = 6 . 1020
Convirtiendo los números a potencias de 10: 6
Resolver y expresar el resultado en notación científica.
B = 45. 1021
Expresando cada término en potencias de 10: L = (27 105 – 3 105 – 4 105)2 m L = [(27 – 3 – 4) 105 ]2 m
7
Después de efectuar operaciones, dar la respuesta en terametros: L = (2 700 000 – 300 000 – 400 000) 2 m
L = (20 105)2m L = (2 106)2m = 22 106 x 2 m
Expresando cada término en potencias de 10:
L = 4 1012 m Pero:
1 tera (T) = 1012
Luego: L = 4 Tm 8
Convertir 0, 000 065 cm a micrómetros.
Expresando el número en potencia de 10. 0,000 065 cm = 65 10-6cm 9
Convertir 0, 000 000 022 kg a nanogramos.
Expresando el número en potencia de 10. 0, 000 000 002 kg = 22 10-9kg Pero 1 kg = 103 g
Pero 1cm = 10-2m 65 . 10-6cm = 65 . 10-6 (10-2m) = 65 . 10-2 . 10-6m Pero 1 m = 10-6m = 1 micrómetro 65.10-2 . 10-6 m =65 . 10 -2 (1 m) Luego: 0, 000 065 cm = 0, 65 m 22 10-9 kg = 22 . 10-9 (103 g) = 22 . 103 . 10-9g Además: 1 ng = 10-9g =1 nanogramo Luego: 22 . 103 . 10-9g = 22.103(1ng) Finalmente: 0, 000 000 022 kg= 22 x 10 3ng
28
Magnitudes Físicas
Física
4. REDONDEO DE CIFRAS 4.1 REGLAS GENERALES a)
b)
Al escribir los valores numéricos, se separará la parte entera del decimal mediante una coma. No debe utilizarse el punto para separar enteros decimales. Al escribir los valores numéricos deben ir separados en grupos de tres cifras dejando un espacio en blanco (un espacio de máquina). Los grupos serán contados a partir de la coma decimal, tanto hacia la derecha como hacia la izquierda.
4.2 REDONDEO DE NÚMEROS DECIMALES
Correcto
Incorrecto
413,51
413.51
Correcto
245 623, 01 1 023 352, 003 214
Incorrecto
24563. 01 1 023352, 003214
ONDEO DE NÚMEROS DECIMALES
La representación decimal de una cantidad, se usa generalmente con un número pre-establecido de dígitos. Si la cantidad obtenida supera al número de dígitos permitido habrá que emplear un proceso especial que toma el nombre de redondeo. Veamos el siguiente ejemplo:
El número 0,467 13 Si representamos este valor en una recta numérica tendremos:
Si queremos utilizar solamente tres cifras para expresar el número 0, 467 13; notamos que éste se encuentra entre 0,467 y 0,468; pero está mucho más cerca de 0,467 que de 0, 468. Por lo tanto la aproximación por redondeo de 0, 467 13 es 0, 467 (con 3 decimales).
Analizando otro ejemplo:
El número 0,467 93 Si representamos este valor en una recta numérica tendremos:
Si queremos utilizar tres cifras decimales para expresar el número 0,467 93; vemos que este número se encuentra entre 0,467 y 0,468; pero está mucho más cerca de 0,468. Por lo tanto la aproximación por redondeo de 0, 467 93 es 0, 468 (con 3 decimales).
29
Magnitudes Físicas
Jorge Mendoza Dueñas
En realidad existen reglas que se emplean en el redondeo de números decimales una vez decidido la cantidad de cifras a usar; éstas son: Si el dígito que se quiere omitir es menor que 5; ésta se elimina y el dígito a redondear se mantiene igual. Ejemplos: Número Original
Número Original
Número Redondeado
5,6 3
5, 6
0,624 3 26
0,62
16,73 2
16, 73
7,41 6 2
7,4
0,22 1
175, 6
26,327 3 4 2 3 121,462 2
0, 22
Si el dígito que se quiere omitir es mayor que 5; ésta se elimina y el dígito a redondear se incrementa en uno. Ejemplos: Número Original
5,6 6 16,73 7 175,6 8 0,22 9
Ejemplos:
Número Redondeado
175,6 4
En el caso de tener que eliminar varios dígitos, se recomienda seguir los siguientes pasos (caso general): Si los dos primeros dígitos a eliminar son menores de 50, el dígito a redondear se mantiene igual.
Número Redondeado
5, 7 16, 74 0, 23
Número Redondeado
121,46
Si los dos primeros dígitos a eliminar son mayores de 50, el dígito a redondear se incrementa en uno. Ejemplos: Número Original
Número Redondeado
0,625 3 26
0,63
7,47 6 2
7,5
26,327 8 4 2 3 121,469 2
175, 7
Si el dígito que se quiere omitir es 5 (en el Perú, según el Instituto Nacional de Defensa de la Competencia y de la Protección de la Propiedad Intelectual - INDECOPI); ésta se elimina y el dígito a redondear se incrementa en uno. Ejemplos: Número Original
26,327
26,328 121,47
Si los dos primeros dígitos a eliminar son 50 (en el Perú, según el Instituto Nacional de Defensa de la Competencia y de la Protección de la Propiedad Intelectual-INDECOPI). El dígito a redondear se incrementa en uno. Ejemplos: Número Original
Número Redondeado
1,7 5
1,8
0,425 0 1
0,43
0,2 5
0,3
9,75 0 3
9,8
14,63 5 132,642 5
14,64
42,268 5 0
42,269
132,643
4.3. REDONDEO DE NÚMEROS ENTEROS
248,047 5 5 0 42
248,047 6
O
Para redondear un número entero se siguen los mismos pasos que en el caso general de números decimales, tan sólo hay que añadirle un último paso: Se cambian a cero todos los dígitos que están a la derecha del lugar que se quiere redondear. Ejemplos: Número Original
86 5
30
Número Redondeado
900
26 74 6
26 700
3 227 42 6 230
3 230 400 000
Magnitudes Físicas
Física
Cuando un observador realiza una medición, nota siempre que el instrumento de medición posee una graduación mínima: Ilustración
31 32 33 34
0
10
20
30
40
50
60
70
80
80
90
36 35
30
100
centmetros 0
10
20
30
40
50
60
70
80
80
90 100
centmetros La regla graduada tiene como graduación mínima el centímetro.
Al medir el largo del libro, se observa que su m edida es tá entre 33 y 34 cm.
Se podrá afirmar entonces, que el largo del libro mide 33 centímetros más una fracción estimada o determinada “al ojo”, así por ejemplo, nosotros podemos estimar: L= 33,5 cm (tres cifras importantes ó significativas).
Las cifras significativas de un valor medido, están determinadas por todos los dígitos que pueden leerse directamente en la escala del instrumento de medición más un dígito estimado (error). Dicho en otras palabras: son cifras significativas aquellas que ocupan una posición igual o superior al orden o posición del error. El error del instrumento se puede estimar como la mitad de la mínima graduación marcada en la escala.
En nuestro ejemplo de la regla: La mínima graduación marcada en la escala es 1 cm.
El error estimado es la mitad de 1 cm, igual ±0,5 cm. La medida del libro es: (33 + 0,5) cm = 33,5 cm ó
1.
Si la medida de una longitud arroja un valor de 7 246, 264 3 m con un error de 0,7 m; ¿es correcto la lectura?. Respuesta:
(34 - 0,5) cm = 33,5 cm
Se deduce que el número de cifras significativas es tres:
Cifras que ocupan posición menor que las décimas Décima
No es correcto. Las cifras del número que ocupan una posición menor que las décimas (en este caso) no aportan ninguna información; no tiene sentido dar el número con precisión de diez milésimas si afirmamos que el error es de casi 1 metro.
31
Magnitudes Físicas
Jorge Mendoza Dueñas
La medida con sus cifras significativas será: 7 246, 3 m Nótese la aplicación del uso de redondeo de cifras. 2.
3.
El resultado de la medición de una temperatura se expresa así.
4.
T = (827, 486 ± 0,3) K ¿Es correcto? Respuesta: No es correcto, puesto que las dos últimas cifras (86) no tienen significado alguno, al ocupar una posición menor que el error. La forma correcta es: T = (827,5 ± 0,3) K Expresar el número 235 846 con dos cifras significativas; explique: Respuesta: El número 235 846 con dos cifras significativas es: 240 000 Las cifras más significativas son las que más a la izquierda se encuentran; dado que en el presente caso nos piden tan sólo dos cifras, tomaremos los dos primeros dígitos previo redondeo de cifras.
32
Si en el siguiente número: 4 546,8 m todas sus cifras son significativas, estime su error. Respuesta: Si todas las cifras son significativas, deducimos que la última cifra ha sido estimada al ojo y que la graduación mínima del instrumento es al metro. Por tanto el error estimado será la mitad del metro: 0,5 m.
5.
Por otro lado, la única función de los ceros es expresar correctamente el orden de los millares. Convencionalmente se suele expresar los números de esta naturaleza, en notación científica: producto de un número que puede ser decimal mayor que 1 (incluido) y menor que 10 (excluido) por una potencia de 10. En nuestro caso: 2,4 x 10 5 Se ha establecido que el factor numérico indica el número de cifras significativas que en este caso es dos. Expresar el número 235 846 con tres cifras significativas. Respuesta: No olvidar que las cifras de mayor significado se encuentran a la izquierda, en consecuencia el número será: 236 000. En términos de notación exponencial; 2, 36 x 105
6.
¿Cuántas cifras significativas tiene el número 26 000?. Respuesta: En realidad no se sabe, pues hace falta otra información: la graduación mínima del instrumento de medición. Para dicho efecto se hace uso convencionalmente de la notación exponencial, donde el factor numérico nos precisa el número de cifras significativas; por ejemplo: 2,6 x 104 (dos cifras significativas) 2,60 x 104 (tres cifras significativas) 2,600 x 104 (cuatro cifras significativas)
7.
¿Cuántas cifras significativas tiene el número 2,76 x 108?. Respuesta: Tiene tres cifras significativas: 2,76. No olvidar que convencionalmente el factor numérico nos indica el número de cifras significativas.
Magnitudes Físicas
Física
O 1.
Los ceros ubicados a la izquierda no son significativos.
Ejemplo 2: Si se mide una longitud y el resultado arroja: 26,00 m; significa que la cinta métrica tiene como mínima graduación el decímetro y su error estimado de 0,05 metros.
Ejemplo 1: El número 0 236 Solo tiene 3 cifras significativas (236), el cero por estar ubicado a la izquierda no tiene significado alguno.
Ejemplo 3: Si se mide una longitud y el resultado arroja: 26,000 m; significa que la cinta métrica tiene como mínima graduación el centímetro y su error estimado de 0,005 metros.
Ejemplo 2: El número 0,47 Sólo tiene 2 cifras significativas (47), el cero solamente sirve para establecer la posición de la coma decimal. Es preciso resaltar que la notación exponencial se extiende también a números menores que 1. En nuestro caso: 4,7 x 10-1 2.
Para contar las cifras significativas, se parte del primer dígito distinto de cero (el que se halle más a la izquierda) y se cuentan todos los dígitos a partir de éste. Ejemplo 1: El número 2 436 Tiene cuatro cifras significativas.El más significativo es el dígito 2 por encontrarse más a la izquierda. El menos significativo es el dígito 6 por encontrarse más a la derecha. Ejemplo 2: El número 63,271 Tiene cinco cifras significativas.
3.
4.
Cuando un número entero tiene varios ceros a la derecha. El número de cifras significativas se determina transformando el número a notación exponencial. El factor numérico (entre 1 y 10) nos indicará convencionalmente el número de cifras significativas, incluso si tiene ceros a la derecha. Ejemplo 1: El número 23 000 Si el número de cifras significativas es dos: se expresará: 2,3 x 10 4. Si el número de cifras significativas es tres: se expresará: 2,30 x 10 4. Ejemplo 2: El número 146 000 000 000 Si el número de cifras significativas es tres: se expresará: 1,46 x 10 11.
Los ceros a la derecha de la coma decimal si son significativos. Estos ceros deben escribirse si y solamente si son una parte verdadera de la medición. Ejemplo 1: Si se mide una longitud y el resultado arroja: 26,0 m. Significa que la cinta métrica tiene como mínima graduación 1 metro y su error estimado de 0,5 metros.
33
Magnitudes Físicas
Jorge Mendoza Dueñas
O
Las cifras no significativas aparecen como consecuencia de cálculos matemáticos. a) En la Suma y Resta.- Se recomienda seguir los siguientes pasos:
Se alinean los números de acuerdo a la coma decimal. Se realiza la suma o resta. Se redondea el resultado final hasta quedarse con la precisión igual al que tiene menos cifras significativas después de la coma decimal. Ejemplo 1
Sumar 2, 462 + 0, 131 23 Ejemplo 2
Restar 1, 876 234 con 1, 634 1
Resolución El resultado final:
2, 593 Resolución El resultado final:
0, 242 1
b) En la Multiplicación y División.- Se recomienda seguir los siguientes pasos:
Se realiza la operación matemática. Se redondea el resultado final hasta quedarse con el número de cifras significativas del factor menos preciso. Ejemplo 1
Efectuar 4,672 42 x 2,4
Ejemplo 2 Efectuar
Resolución
El resultado final: 11
Resolución
El resultado final: 54
NOTA:
Cuando se realicen operaciones combinadas, es conveniente que los resultados intermedios se guarden con todas sus cifras, reservando el redondeo tan solo para el resultado final. 34
Magnitudes Físicas
Física
Problemas Resueltos
1
Resolver y expresar el resultado con las cifras significativas correspondientes: E = 6,201 + 7,4 +0,68+ 12,02
Efectuando la operación: 2
Resolver y expresar el resultado con las cifras significativas correspondientes. E = 15,8 – 9,364
Efectuando la operación:
6,201 + 7,4 0,68 12,02 26,301 El sumando que tiene menos cifras significativas después de la coma decimal es 7,4. Por lo tanto el resultado final es: E = 26,3
El número que tiene menos cifras significativas después de la coma decimal es 15,8. Por lo tanto el resultado final es: E = 6,4
3
Resolver y expresar el resultado con las cifras significativas correspondientes. E = 1,31 4,2 7,356
15,800 9,364 6,436
Efectuando la operación. 4
E = 1,31 4,2 7,356 = 40, 472 712 El factor que posee menos cifras significativas es 4,2 (dos cifras significativas). Redondeando el resultado final a dos cifras significativas: E = 40
E = 64,387 84 13,6 = 4,734 4
Resolver y expresar la respuesta con las cifras significativas correspondientes.
E = 64,387 84 13,6
Efectuando la operación:
El número que posee menos cifras significativas es 13,6 (tres cifras significativas). Redondeando el resultado final a tres cifras significativas. E = 4, 73
El volumen de un cono está dado por la expresión: V = Ah/3, donde A es el área de la base = 0,306 m 2 y h su altura = 1,02 m. ¿Con cuántas cifras debe expresarse el volumen de este cono y cuál es su valor?
Reemplazando los valores en la fórmula:
V = 0, 104 04 El factor que tiene menos cifras significativas es 1,02 (tres cifras significativas) Por lo tanto el volumen del cono debe expresarse con tres cifras significativas. El resultado final: V =0, 104 m3
Magnitudes Físicas
Jorge Mendoza Dueñas
6
La distancia media del sol a la tierra es de 1,496 x 108 km y de la tierra a la luna de 3,84 x 105 km. Cuando estos tres astros se encuentran alineados y la tierra en medio de los dos, calcular la distancia del sol a la luna.
Al estar alineados los tres astros, la distancia entre el sol y la luna será:
7
Se tiene 22,5 bolsas de 246 048,642 g de sal cada una. Determinar el total de sal estimado en todas las bolsas.
D = 1,496 . 108 km + 3,84 . 105 km Convirtiendo a potencia 10: D = 1, 496 . 108 km + 0, 003 84 x 10 8 km D = 1, 499 84 . 108 km Comparando los sumandos; el número de menor cantidad de cifras significativas después de la coma decimal es: 1,496 x 108 Luego: D = 1, 500 . 108 km Total sal = 5 536 094,45
(El resultado final contiene 3 cifras significativas)
Redondeando: total sal = 5 540 000 g Total sal = 5,54 x 105 g
Total sal =
(El resultado contiene 2 cifras significativas)
8
Expresar el resultado final con las cifras significativas correspondientes.
(El resultado contiene 0 cifras significativas después de la coma decimal)
77,174 944
(El resultado contiene 4 cifras significativas)
60,874 944 (El resultado contiene 1 cifra significativa después de la coma decimal)
Redondeando, el resultado final: 28
9
10,835 934 4
Expresar el resultado final con las cifras significativas correspondientes: (0,036 x 2,76 x 1,04) + 10,732 6 – 10,524 623
(El resultado contiene 2 cifras significativas después de la coma decimal)
0,311 311 4
(El resultado contiene 2 cifras significativas)
0,103 334 4
(El resultado contiene 2 cifras significativas después de la coma decimal)
(El resultado contiene 2 cifras significativas)
Redondeando, el resultado final: 0,31
36
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Física
6. ANÁLISIS DIMENSIONAL Estudia la forma como se relacionan las magnitudes derivadas con las fundamentales. Toda unidad física, está asociada con una dimensión física; así, el metro es una medida de la dimensión “longitud” (L), el kilogramo lo es de la “masa” (M), el segundo pertenece a la dimensión del “tiempo”(T). Sin embargo, existen otras unidades, como el m/s que es unidad de la velocidad que puede expresarse como la combinación de las antes mencionadas.
Así también, la aceleración, la fuerza, la potencia, etc., pueden expresarse en términos de las dimensiones (L), (M), y/o (T). El análisis de las Dimensiones en una ecuación, muchas veces nos muestra la veracidad o la falsedad de nuestro proceso de operación; esto es fácil de demostrar dado que el signo “=” de una ecuación indica que los miembros que los separa deben de tener las mismas dimensiones. En la aplicación del Método Científico, ya sea para la formulación de una hipótesis, o en la experimentación también es recomendable usar el Análisis Dimensional. Fines del análisis dimensional El análisis dimensional sirve para expresar las magnitudes derivadas en términos de las fundamentales. Sirven para comprobar la veracidad de las fórmulas físicas, haciendo uso del principio de homogeneidad dimensional. Sirven para deducir las fórmulas a partir de datos experimentales.
6.1. ECUACIONES DIMENSIONALES Son expresiones matemáticas que colocan a las magnitudes derivadas en función de las fundamentales; utilizando para ello las reglas básicas del álgebra, menos las de suma y resta. Estas ecuaciones se diferencian de las algebraicas porque sólo operan en las magnitudes. A [A]
: se lee letra “ A ” : se lee ecuación dimensional de A
Analizando las ecuaciones dimensionales de algunas magnitudes. Velocidad ( )
Resolución Ecuación dimensional de v:
Aceleración (a)
Resolución Ecuación dimensional de a:
37
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Fuerza (F)
Resolución Ecuación dimensional de F:
Trabajo (W)
Resolución Ecuación dimensional de W:
Potencia (P)
Resolución Ecuación dimensional de P:
Área (A)
Resolución Ecuación dimensional de A:
Presión (P)
Resolución Ecuación dimensional de P:
6.2 PRINCIPIO DE HOMOGENEIDAD. Si una expresión es correcta en una fórmula, todos sus miembros deben ser dimensionalmente homogéneos. Así: Por lo tanto se tendrá: [E] = [A] = [B] = [C] = [D]
Los números, los ángulos, los logaritmos y las funciones trigonométricas, no tienen dimensiones, pero para efectos del cálculo se asume que es la unidad.
38
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Problemas Resueltos
1
En la siguiente ecuación, hallar [x], sabiendo que: a: aceleración v: volumen t: tiempo
2
[x] =L-2 .T - 1
v
Analizando cada elemento:
En la siguiente ecuación, determine [B], sabiendo que “C” es adimensional: D: densidad E : energía cinética F : fuerza
[a] = LT-2 [v] = L3 [t] = T Luego tendremos:
[C] = 1 [D] =ML-3 [E] = L2 M T -2 [F] = M L T -2 Luego tendremos:
Analizando cada elemento:
3
En la siguiente ecuación. ¿Qué magnitud puede representar y?, se sabe que P es presión, A es área y m es masa.
[B] = M.L-2
[A] = L2 .......................área [m] = M ......................masa [Sen ] = 1 .................número Luego tendremos.
Analizando cada elemento: [] = 1 ........................constante matemática. [P] = M L-1 T -2 ............presión
4
Según la ley de gravitación universal, enunciada por Newton, la fuerza de atracción entre dos partículas de masas m1 y m2 separadas por una distancia “r” es:
Sabemos que la ecuación dimensional de la aceleración es LT -2, por lo tanto “y” puede representar a la aceleración. [F] = M L T -2 [m1] = [m2] = M [r] = L Luego tendremos:
Calcular [G].
Analizando cada elemento:
[G] = M-1 L3 T -2
39
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Se muestra una ecuación homogénea en donde B y C son magnitudes desconocidas, D es densidad; hállese [S]. A = B + CS . D sen
Todo exponente es un número y por tanto su ecuación dimensional es la unidad Luego tendremos: [S] [D] [sen ] = 1 [S] (M L-3) (1) = 1 [S] = M-1 L3
6
Si la ecuación dada es dimensionalmente correcta, donde S: área, a: aceleración y v: velocidad. Hallar la ecuación dimensional de y.
Analizando la expresión general. [] = 1 [S] = L2 [X] = T
Dado que , pertenece al operador logaritmo, deducimos que su magnitud es adimensional (número):
1[y] = L2 . T . 1 [y] = L2 . T
7
Determine las dimensiones que deben tener A y B en la siguiente ecuación homogénea. V: volumen P: peso 10 VP = mA + aB M: masa a: aceleración
Por el principio de homogeneidad:
Igualando el 1° y 2° término [10] [v] [P] = [m] [A] (1) (L3) (M LT -2) = M . [A] [A] = L4.T -2 Igualando el 1° y 3° término. [10] [v] [P] = [a] [B] (1) (L3) (MLT -2) = (LT -2) [B] [B] = M . L3
8
Hallar la dimensión de “” y “” en la siguiente fórmula V = . A + . D Donde V: volumen; A : área ; D : densidad.
Aplicando el principio de homogeneidad. [V] =[] [A] = [] [D]
40
Determinando []: [V] = [] [A] L3 = []L2 [] = L Determinando []: [V] = [] [D] L3 = [] ML-3
[] = M-1 L+6
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9
Si la siguiente ecuación es dimensionalmente homogénea, determinar la ecuación dimensional de “x” e “y”. Ax + By = C Siendo A: fuerza; B: trabajo; C: densidad
Ax + By = C [A][x] = [B][y] = [C] Con lo cual se tiene: [A] [x] = [C] MLT -2[X] = ML-3
Si la expresión es dimensionalmente homogénea, entonces: [A] = MLT -2 [B] = ML2T -2 [C] = ML-3
10
Si la siguiente expresión es dimensionalmente homogénea: P = q z Ry Sx Donde: P: presión ; q: fuerza ; R: volumen ; S: longitud Hallar: x – 3y [P] = ML-1T -2 [q] = MLT -2 [R] = L3 [S] =L
P = q z R-y Sx [P] = [q] z [R]-y [S]x ML-1T -2 = (MLT -2) z (L3)-y (L)x ML-1T-2 = M zL z-3y+xT-2z M1 = M z L-1 = L z-3y + x
[x] = L-4 T 2 [B][y]= [C] ML2T -2[Y] = ML-3
z=1 -1 = z – 3y+ x -1 = 1 – 3y + x
Nos piden x – 3y x – 3y = -2
2 1
Hallar la ecuación dimensional de “f” en la siguiente ecuación: L: longitud F: fuerza
2
Un estudiante desea calcular experimentalmente la aceleración de la gravedad. El equipo con el cual trabajó le permitió, hallar la siguiente ecuación:
Reemplazando:
[ f ]= T 1 g : aceleración de la gravedad L y P: longitudes T: período ¿Qué dimensiones tiene a?
Analizando cada elemento:
41
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[4 2] = 1 [ L - P] = L [ cos ] = 1 [ g ] = LT -2
Sustituyendo dimensionalmente.
3
¿Qué dimensiones debe poseer la constante “K” en la siguiente expresión para hacer correcta la ecuación:
E=
mv2 + mgh + Fd2 k
Donde: E : energía m: masa g: aceleración
v: velocidad h, d: distancias F: fuerza
[a] = L2
Según el principio de homogeneidad, cada sumando debe tener la misma dimensión; luego dimensionalmente: [mgh] = [Fd2K] [m] [g] [h] = [F] [d]2[K] M . LT-2 . L = MLT -2 . L2[K] [K] = L-1
4
¿Qué dimensiones tiene en la siguiente ecuación? Donde: Ex: deformación por unidad de longitud
Operando la expresión inicial.
Contemplando el principio de homogeneidad:
Tener presente: [ x] = [ y]
E: módulo de elasticidad = x : esfuerzo en x = y y z análogos
a
x
En la siguiente ecuación, encontrar las dimensiones de P: mgx = pv1 x1 + pv2 x2 + . . . . . . + pvnxn Donde: x1; x2; . . . . . ; xn: distancias m: masa g: aceleración v1; v2; ......... vn : volumen 6
Determinar las dimensiones de “” en la siguiente ecuación: Donde: V: velocidad A; a : áreas P; P1 : densidad g: aceleración
42
Aplicando el principio de homogeneidad: [mgx] = [pv1 x1] [m] [g] [x] = [p] [v1] [x1] M . LT-2. L = [p] . L3 . L [p] = ML-2T -2
Tener presente: [P1 – P] = [P] = ML-3 y [A2 – a2] = [A]2 = L4 Reemplazando dimensionalmente:
Elevando al cuadrado ambos miembros L -2 . T -2 = L -3 T -2 [] [] = L
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7
Si el siguiente polinomio: (A + mente correcto y además:
+ C) es dimensional-
Si:
Además:
Hallar las dimensiones de C:
Por el principio de homogeneidad:
8
Si la siguiente ecuación es dimensionalmente homogénea. Hallar “x – 2y”
Siendo: a: aceleración; v: velocidad; t: tiempo.
[1] = [k]y - x 10 = [k]y - x Luego y = x
y-x=0
9
Para que la expresión sea dimensionalmente correcta: Hallar las dimensiones de
; m = masa
Por tanto: a = vt x (1 + ky - x) a = vt x (1 + k0) a = vt x (1 + 1) a = 2vt x Dimensionalmente: [a] = [2][v][t]x LT - 2 = (1)(LT -1)(Tx) LT - 2 = LT -1Tx LT - 2 = LT x-1 T - 2 = T x-1 x -1 = -2 Con lo cual: x = -1 y = -1 Nos piden: “x – 2y” x - 2y = -1 -2(-1) x – 2y = 1 Dado que las bases de los sumandos son números, se concluye que los exponentes también lo son: [4my] = [1] [y] = M-1 [5] = [z]2 [z] = 1 x = número [x] = 1
10
Si la expresión es homogénea, determinar: [x] En la expresión:
; Siendo:
m = metro; s = segundo.
[B] = L3T -1 C = 20m2 [C] = [20][m]2 = 1. L2
[C] = L2
Por el principio de homogeneidad:
A = 6 m/s
[A] = LT - 1
[x] = L-4T
43
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3 1
Una de las fórmulas del curso de resistencia de materiales es:
Analizando el denominador:
[K]2 = L . L . 1 P: fuerza A : área S: presión = fuerza/área e: distancia c: distancia Hallar las dimensiones de K para ser dimensionalmente correcta.
[K] = L
2
Hallar el exponente al cual debe estar elevado el tiempo “t” para que la siguiente ecuación sea correcta:
e: espacio a ; g: aceleración
V: velocidad t: tiempo.
3
La potencia de la hélice del motor de un avión está en función de la densidad del aire (y), del radio de la hélice (R) y de la velocidad angular con que gira (). Hallar una fórmula para dicha potencia.
Expresando el enunciado dimensionalmente: Pot= k . yx . Rs . z Además: [pot] = ML 2 T -3 ; [y] = ML-3 [R] = L ; [] = T -1
4
La potencia de un motor de avión se expresa mediante la siguiente ecuación:
Donde: Pot : potencia ; R: radio v: velocidad ; n y números Hallar las dimensiones de a, b, c, a 1 y b1.
44
Por el principio de homogeneidad.
T x = T 2
Finalmente. X=2 Reemplazando: ML2 T -3 = [K] (ML -3)x (L) s (T -1) z ML2 T -3 = Mx L-3x+S T -z De donde: M1 = Mx x=1 T -3 = T –z z = 3 2 -3x +S L = L 2 = -3 (1) + s S=5 Finalmente: Pot = K . Y . R 5 . 3
Dimensionalmente.
Analizando el denominador: [a1] = [b1] = 1
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Reduciendo la expresión.
Luego:
La ecuación v = A sen (Bt) + C . t sen30° es dimensionalmente homogéneo en donde: v: velocidad ; t: tiempo. Determinar .
Según la expresión. V = A sen (Bt) + C . t 1/2 Por el principio de homogeneidad. [v] = [A sen (Bt)] = [ct 1/2]
6
Se sabe que la altura máxima de alcance de un proyectil depende de su velocidad inicial vertical (vo sen ) y de la aceleración de gravedad (g). Hallar la fórmula correspondiente a la altura máxima, si la constante experimental es K = .
Según el enunciado: Hmax = K (vo sen )x (g)y
Expresando el enunciado, dimensionalmente: Fcp = K . mx . vy . R z Reemplazando por sus respectivas ecuaciones dimensionales:
LT -1 = [A] (1) Si [v] = [c . t 1/2] LT -1 = [c] T ½ Bt = ángulo. [B] . T = 1
[A] = LT -1
[c] = L T -3/2
[B] = T -1
Dimensionalmente: L = 1 (LT -1)x (L T -2)y L1. T° = Lx+y . T( - x - 2 y ) De donde: L1 = Lx+y x+y=1 -x -2y T° = T x +2y = 0 Resolviendo: x = 2; y = -1
Finalmente: K =
si [v] = [A sen (Bt)]
7
La fuerza centrípeta que permite a un móvil desplazarse a lo largo de una circunferencia depende de la masa, de la velocidad y del radio. Asumiendo la constante experimental igual a la unidad . Hallar la fórmula de la fuerza centrípeta.
Finalmente: [a] = ML2 T -3 [b] = ML3 T -4 [c] = ML2 T -3
MLT -2 = Mx Ly+z T - y De donde: M1 = Mx x=1 2 y T =T y=2 1 y+z L = L 1=2+z Z = -1 Finalmente : dado que k = 1 (dato). Fcp = 1. m1 . v2 . R -1
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[M](x + y) = [M](6-2x) [L](z + x) = [T](6-2y) [T](y + x) = [T] (6 – 2z)
8
Si la siguiente expresión es dimensionalmente homogénea, determinar la ecuación dimensional “K”.
Resolviendo:
De donde:
[K] = M3L3T3
La ecuación dimensional de la energía es: [E] = ML2 T - 2 Los resultados obtenidos por el pequeño científico son de la forma: E = K . gx . vy . z ; g = aceleración de la gravedad
10
v = velocidad ; = temperatura K = constante [E] = [K] [LT -2]x [LT -1]y[] z [E] = L x +y . T - 2 x - y . z Igualando las expresiones: ML2T -2 = Lx+y . T - 2 x - y . z M1L2T -2 0 = Lx+y . T -2x - 2y . z Observamos que ambos miembros no son homogéneos; luego: E = K . gx . vy . z No concuerda con los conocimientos energéticos.
Hallar las dimensiones de E:
Donde: m = metro Hz = hertz = (1/período) J = joule W = watts
Dimensionalmente:
= M -1L -1 T2
46
Dimensionalmente:
En la película de ciencia ficción, un pequeño científico estudia la energía que proviene de una estrella y llega a la conclusión que ésta depende de la velocidad con que se mueve la estrella, la aceleración de la gravedad y de la temperatura que existe en su interior. Determinar si dicho resultado concuerda con los conocimientos energéticos.
x + y = 6 – 2x z + x = 6 - 2y y + x = 6 – 2z
Luego: [K] = [M](6 – 2x) [L](6 – 2y) [T](6 -2z)
9
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O
O
Medición, es el proceso por el cual se compara una magnitud determinada con la unidad patrón correspondiente.
a)
Medición Directa.
Es aquella en la cual se obtiene la medida “exacta” mediante un proceso visual, a partir de una simple comparación con la unidad patrón. Ejemplo Ilustrativo:
Todos los días una persona utiliza la actividad “medición”; ya sea en nuestras actividades personales, como estudiante o como trabajador.
Magnitud: Longitud
Cuando estamos en el colegio, por ejemplo; al tomar la asistencia, estamos midiendo la cantidad de alumnos que llegaron a clase; en este caso la unidad será “un alumno”.
Unidad patrón: 1 metro
Cuando jugamos fútbol, el resultado final lo define la diferencia de goles a favor; la unidad patrón será “un gol”. En ocasiones cuando nos tomamos la temperatura, nos referimos siempre respecto a una unidad patrón “1°C”. Esto significa que toda medición quedará perfectamente definida cuando la magnitud al que nos referimos termine por ser cuantificada respecto a la unidad patrón correspondiente. Ahora para realizar la medición, generalmente se hace uso de herramientas y/o equipos especiales así como también en algunos casos de los cálculos matemáticos. El resultado de la medición nos mostrará cuantitativamente el valor de la magnitud; y con ello podemos saber o predecir las consecuencias que conllevan dicho resultado. Así, si medimos la velocidad de un “atleta” y obtenemos como resultado “1 m/s”; sabremos entonces que éste nunca será campeón en una competencia de 100 metros planos; esto significa que gracias a la medición (actividad cuantitativa) podremos saber o predecir los resultados cualitativos.
1 metro
1 metro
1 metro
B A
3 metros
En la figura, es fácil entender que la longitud AB mide 3 veces 1 metro: 3 metros (medición directa).
b)
Medición Indirecta
.
Es aquella medida que se obtiene mediante ciertos aparatos o cálculos matemáticos; dado que se hace imposible medirla mediante un proceso visual simple. Se quiere medir el área del rectángulo
Ejemplo ilustrativo 9 veces un cuadrito, dicho de otra forma: 9 cuadritos.
Fórmula:
Área = largo x ancho A = (3 m)(2 m) A = 6 m2
Unidad Pa trón (un cuadrito)
Se recurrió al uso de una fórmula matemática.
47
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La medición es una actividad que lo ejecuta el hombre provisto o no de un instrumento especializado para dicho efecto. En toda medición hay que admitir, que por más calibrado que se encuentre el instrumento a usar, siempre el resultado obtenido estará afectado de cierto error, ahora, en el supuesto de que existiendo un aparato perfecto cuyos resultados cifrados coincidieran matemáticamente con la realidad física, nunca llegaríamos a dicho valor, debido a la imposibilidad humana de apuntar al punto preciso o de leer exactamente una escala.
Ilustración: exactitud - precisión
Los valores medidos son: Poco precisos Poco exactos
Los valores medidos son: Poco precisos Más exactos
Los valores medidos son:
Los valores medidos son: Muy precisos Muy exactos
a) Valor Verdadero.
Es aquel valor que no tiene ninguna clase de errores. No obstante es preciso anotar que el verdadero valor no se conoce ni se conocerá jamás. b) Error.
Es la incerteza en la determinación del resultado de una medición. Medicin Error
Muy precisos Pocos exactos
8.1 CAUSAS DE ERRORES. Valor verdadero
a) Naturales. c)
Exactitud.
Es el grado de aproximación a la verdad o grado de perfección a la que hay que procurar llegar. Un instrumento inexacto nos entrega resultados sesgados o desplazados. d)
Precisión.
Es el grado de perfección de los instrumentos y/o procedimientos aplicados. La precisión de un instrumento está determinada por la mínima división de la misma (sensibilidad); ejemplos: Un cronómetro es más preciso que un reloj de pared. Una balanza de joyería es más preciso que una de camiones pesados. La sensibilidad o precisión con que se fabrican los aparatos de medida dependen de los fines a los que se destina. No tendría sentido fabricar una balanza que aprecie el miligramo para usarla como balanza de papas.
48
Son aquellos errores ocasionados por las variaciones meteorológicas (lluvia, viento, temperatura, humedad, etc.).
Al medir la longitud entre dos puntos, en días calurosos, la cinta métrica se dilata debido a la fuerte temperatura, luego se cometerá un error de medicin.
b) Instrumentales.
Son aquellos que se presentan debido a la imperfección de los instrumentos de medición.
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Física
Las agujas de un cronómetro son susceptibles al retraso o adelanto debido al mecanismo del mismo instrumento; luego se cometerá un error de medición.
c) Personales.
Son aquellos, ocasionados debido a las limitaciones de los sentidos humanos en las observaciones (vista, tacto, etc.).
Supongamos que se quiere medir la longitud AB, pero al usar la cinta métrica, ésta se pandea como muestra la figura, la lectura que se toma en estas condiciones no será la verdadera, habrá que corregir.
La vista de una persona puede no permitir observar correctamente las agujas de un reloj, se cometerá entonces un error personal en la medida del tiempo.
L = L - correción ’
La corrección se determina mediante la siguiente fórmula:
Dónde: W, L y F son parámetros conocidos.
8.2
CLASES DE ERRORES
Esta clase de error no se tomará en cuenta en este libro.
a) Propios.
Son aquellos que provienen del descuido, torpeza o distracción del observador, éstas no entran en el análisis de la teoría de errores. Es posible que el operador lea en la cinta métrica 15,40 m y al anotar, escriba por descuido L= 154 m; éste es un error propio, tan grave que no se debe considerar en los cálculos de Teoría de Errores.
15
16
1 5 4 = L
b) Sistemáticos.
Son aquellos que aparecen debido a una imperfección de los aparatos utilizados, así como también a la influencia de agentes externos como: viento, calor, humedad, etc. Estos errores afectarán nuestros resultados siempre en un mismo sentido y obedecen a una ley matemática o física, por lo cual es posible su corrección.
c)
Accidentales o Fortuitos.
Son aquellos que se presentan debido a causas ajenas a la pericia del observador, y al que no puede aplicarse corrección alguna, estos errores afectan el resultado en ambos sentidos, y suelen obedecer a las leyes de las probabilidades. Por tal motivo se recomienda tomar varias lecturas de una misma medición, pues generalmente éstas suelen ser diferentes. Cuando medimos el largo de un libro, cada vez que se mida, la lectura será diferente.
49
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9.2 TEORÍA DE ERRORES: PARA MEDICIONES DIRECTAS
9. TEORÍA DE ERRORES Es imposible encontrar el verdadero valor del error accidental; si así fuese, podríamos entonces calcular el valor exacto de la magnitud en medición, sumando algebraicamente el valor observado. No obstante, es posible definir ciertos límites de error, impuestos por la finalidad u objeto de la medición. Así pues, queda claro que los errores accidentales tienen un rango establecido, cuyo cálculo irá de acuerdo con los principios y métodos de la teoría matemática de errores con aplicación del cálculo de probabilidades.
a) Cuando se realiza una sola medición. Error Absoluto (∆x).
Es la diferencia entre el valor observado (x) y el verdadero valor ().
9.1 TEORÍA DE PROBABILIDADES
x
Son entes matemáticos que sirven para aproximar una cantidad a un rango permisible (de los errores accidentales); en esta teoría se supone que:
: valor observado o medido : valor verdadero
En este caso se puede considerar como error absoluto en “primera aproximación” a la mínima división del instrumento entre dos.
Los errores sistemáticos no existen o ya han sido corregidos. Los errores pequeños son más frecuentes que los grandes. No se cometen errores muy grandes. Los errores pueden ser positivos o negativos. El verdadero valor de una cantidad, es la media de un número infinito de observaciones análogas.
Primera aproximación:
Error Relativo (ER).
Es el cociente entre el error absoluto y el verdadero valor.
Probabilidad
Es la relación que define el número de veces que un resultado debe ocurrir respecto al número total de posibilidades. El error relativo también se puede expresar en porcentaje:
El error relativo nos determina según parámetros establecidos si el error puede ser aceptable o no.
Para efectos de cálculo de error relativo, es aceptable considerar la medición x en lugar de , dado que la respuesta final es aproximadamente igual. En el ejemplo de la figura, se observa que el círculo está dividido en 10 triángulos; el color negro tendrá entonces una probabilidad de dos a diez (2/10) de ser el ganador en el juego de la ruleta, el celeste 3/10 y el blanco 5/10 como se aprecia.
Ejemplo
Tomemos un libro (por ejemplo el texto de física). A continuación una regla graduada hasta el centímetro. Midamos el espesor y el largo.
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Física
16.2 CUANDO SE REALIZAN DOS O MÁS MEDICIONES.
28 cm
2,7 cm
FISICA
FISICA
Analizando el espesor del libro.
Si se realizan “n” mediciones de una misma magnitud: x1; x2; x3; .........; xn; todos estos datos estarán comprendidos en un intervalo [xmín; xmáx]. En el presente texto vamos a referirnos exclusivamente a mediciones de igual precisión; vale decir, tomadas en idénticas condiciones: los mismos instrumentos, las mismas personas, el mismo clima, etc. a)
Media (x).
Es el valor que tiende a situarse en el centro del conjunto de datos ordenados según su magnitud. Es la media aritmética de un conjunto de datos.
Error Relativo (ER)
x
x1
x 2 x 3 ...x n n
, Analizando el largo del libro.
b)
Desviación (V).
Se le llama también error aparente de una medición. Es la diferencia entre la media y el valor correspondiente a una medición.
Dado que la regla es la misma, el error absoluto es el mismo.
Vi
xi X
Error Relativo (ER)
c)
Marca de Clase (m).
Consiste en dividir el intervalo y mín ; y máx en m sub-intervalos iguales. Conclusión: d)
El error absoluto es igual en ambos casos, dado que el instrumento es el mismo. La determinación del largo del libro es mucho mejor que la del espesor, el error relativo refleja esta diferencia, ya que:
Frecuencia Absoluta.
Es el número de valores que se encuentran ubicados en un sub-intervalo definido por la marca de clase. También se define como la probabilidad de ocurrencia para un intervalo de error. e) Histograma.
Es un modelo estadístico donde se puede apreciar como es la distribución de valores.
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Ejemplo Ilustrativo: Se ha medido la longitud en milímetros que existe entre dos puntos, para ello se han realizado 100 mediciones, los valores que se presentan carecen de errores sistemáticos. La tabla muestra los valores medidos y el número de veces. Valor medido
Número de veces
692, 00
1
693, 00
1
694, 00
1
694, 20
1
695, 00
1
695, 20
2
695, 70
2
696, 00
3
696, 80
2
697, 00
4
697, 40
2
697, 90
2
698, 00
5
698, 20
4
698, 70
3
699, 00
6
699, 10
3
699, 60
2
700, 00
10
700, 40
2
700, 70
2
701, 00
8
701, 30
2
701, 90
3
702, 00
5
702, 20
3
702, 80
4
703, 00
4
704, 00
4
704, 40
1
704, 70
1
705, 00
2
706, 00
2
707, 00
1
708, 00
1
La media aritmética
X ; será:
x = 700,00 mm
Calculando la desviación entre cada valor y la media: Vi Xi(mm)
Xi X
N ú m e r o Vi (mm) de veces
V2
692, 00
1
-8,00
64,00
64,00
693, 00
1
-7,00
49,00
49,00
694, 00
1
-6,00
36,00
36,00
694, 20
1
-5,80
33,64
33,64
695, 00
1
-5,00
25,00
25,00
695, 20
2
-4,80
23,04
46,08
695, 70
2
-4,30
18,49
36,98
696, 00
3
-4,00
16,00
48,00
696, 80
2
-3,20
10,24
20,48
697, 00
4
-3,00
9,00
36,00
697, 40
2
-2,60
6,76
13,52
697, 90
2
-2,10
4.41
8,82
698, 00
5
-2,00
4,00
20,00
698, 20
4
-1,80
3,24
12,96
698, 70
3
-1,30
1,69
5,07
699, 00
6
-1,00
1,00
6,00
699, 10
3
-0,90
0,81
2,43
699, 60
2
-0,40
0,16
0,32
700, 00
10
0,00
0,00
0,00
700, 40
2
0,40
0,16
0,32
700, 70
2
0,70
0,49
0,98
701, 00
8
1,00
1,00
8,00
701, 30
2
1,30
1,69
3,38
701, 90
3
1,90
3,61
10,83
702, 00
5
2,00
4,00
20,00
702, 20
3
2,20
4,84
14,52
702, 80
4
2,80
7,84
31,36
703, 00
4
3,00
9,00
36,00
704, 00
4
4,00
16,00
64,00
704, 40
1
4,40
19,36
19,36
704, 70
1
4,70
22,09
22,09
705, 00
2
5,00
25,00
50,00
706, 00
2
6,00
36,00
72,00
707, 00
1
7,00
49,00
49,00
708, 00
1
8,00
64,00
64,00
n==100
=930,14
Magnitudes Físicas
Física
Observamos que el intervalo total de error aparente es: 8,0 ; 8,0 ; a continuación procederemos a dividir dicho rango en sub-intervalos cuya mínima división será a elección nuestra (del usuario) 1 milímetro (Marca de clase).
Tabulando y teniendo presente: f = frecuencia absoluta f = número de desviaciones en el intervalo int ervalo Frecuencia absoluta
-8,5 a -7,5
1
-7,5 a -6,5
1
-6,5 a -5,5
2
-5,5 a -4,5
3
-4,5 a -3,5
5
-3,5 a -2,5
8
-2,5 a -1,5
11
-1,5 a -0,5
12
-0,5 a +0,5
14
+0,5 a +1,5
12
+1,5 a +2,5
11
+2,5 a +3,5
8
+3,5 a +4,5
5
+4,5 a +5,5
3
+5,5 a +6,5
2
+6,5 a +7,5
1
+7,5 a 8,5
1
Frecuencia absoluta
5 . 5 . 5 . 5 . 5 . 5 . 5 . 5 . 5 . 5 . 5 . 5 . 5 . 5 . 5 . 5 . 5 . 5 . 8 7 6 5 4 3 2 1 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 - - - - - - - - - + + + + + + + + +
16 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1
Polígono de frecuencia
5 . 5 . 5 . 5 . 5 . 5 . 5 . 5 . 5 . 5 . 5 . 5 . 5 . 5 . 5 . 5 . 5 . 5 . 8 7 6 5 4 3 2 1 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 - - - - - - - - - + + + + + + + + +
Error
Si aumentáramos el número de mediciones tanto como quisiéramos y ajustamos aún más la precisión, obtendríamos una marca de clase bastante pequeña al punto que el polígono de frecuencia pasaría a ser una línea contínua curva, simétrica respecto al centro y en forma de campana. Se observará en la curva, la existencia de dos puntos de inflexión (cambio de concavidad). 16 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1
Frecuencia absoluta
Punto de
Punto de
inflexión
inflexión
16 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1
5 . 5 . 5 . 5 . 5 . 5 . 5 . 5 . 5 . 5 . 5 . 5 . 5 . 5 . 5 . 5 . 5 . 5 . 8 7 6 5 4 3 2 1 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 - - - - - - - - - + + + + + + + + +
Presentamos a continuación al histograma de frecuencias absolutas que viene a ser la representación discreta de la frecuencia con que se repiten las desviaciones en cada intervalo de marca de clase. 16 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1
Frecuencia absoluta
16 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1
5 . 5 . 5 . 5 . 5 . 5 . 5 . 5 . 5 . 5 . 5 . 5 . 5 . 5 . 5 . 5 . 5 . 5 . 8 7 6 5 4 3 2 1 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 - - - - - - - - - + + + + + + + + +
Intervalo del histograma (mm)
Si unimos mediante líneas rectas los puntos superiores centrales de las barras del histograma, obtendremos el “polígono de frecuencia”.
16 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1
Error
Error
Matemáticamente es posible representar dicha curva mediante modelos probabilísticos de variable aleatoria contínua; el más usado es el Modelo Normal Estándar Estándar.. 16 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1
Probabilidad o frecuencia
Curva típica de probabilidad
16 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1
Error
Magnitudes Físicas
Jorge Mendoza Dueñas
f)
Error Medio Cuadrático de una Observación (Desviación Típica o Estándar) .Viene a ser una especie de promedio de todas las desviaciones de las mediciones realizadas. Gráficamente corresponde a la proyección del punto de inflexión de la curva típica de probabilidad sobre el eje de error.
g) Error Probable de una Observación (E50). Es aquel intervalo, dentro de cuyos límites existe la probabilidad de que el 50% del total de mediciones integren dicho rango. En la actualidad se usa poco este error. Probabilidad
Probabilidad o frecuencia Punto de
Punto de
inflexión
inflexión
50% del área total
68,27% del área total 3 -
2 -
2 n 30
n > 30
5 + 4 7 6 , 0 +
2 +
3 +
Error
E50 = 0,674 5
Error
El área achurada indica que entre los límites - y + se puede esperar que estos errores ocurran el 68,27% de veces; matemáticamente:
- 5 4 7 6 , 0 -
desviación típica o estándar En nuestro ejemplo ilustrativo: E50 = 0,674 5 = 0,6745(±3,05) E50 = ±2,06 mm
Este valor significa que de las 100 mediciones tomadas, es probable que 50 de ellas queden dentro de los límites de error [-2,06 mm; +2,06 mm]. : desviación típica o estándar V : desviación de cada medición n : número de mediciones
Estadísticamente, la primera expresión (2n 30) es porque el valor resultante representa un mejor estimador de la desviación típica de una población de la que se ha tomado una muestra. Prácticamente si n=30, no hay diferencia entre las dos expresiones. Analizando nuestro ejemplo ilustrativo: (ver pág. 52) Dado que n = 100 > 30
= 3,05 mm
Este valor significa que de las 100 mediciones tomadas, es probable que 68 de ellas quede dentro de los límites de error [-3,05 mm; +3,05 mm].
h) Ecuación General del Índice de Precisión. La probabilidad de un error de cualquier c ualquier porcentaje de probabilidad se determina por la siguiente expresión: EP = K
EP : porcentaje de error : desviación típica o estándar K : Factor numérico numérico que correscorresponde al porcentaje de error.
Expresiones usuales: E90 = (1,644 9) E95 = (1,959 9) E99,73 = (3) Comúnmente se usa usa con mayor frecuencia: E95; en nuestro ejemplo ilustrativo: E95 = 1,959 9 (±3,05) E95 = ±5,98 mm
Magnitudes Físicas
Física
i)
Este valor significa que de las 100 mediciones toma- j) Valor más Probable (V.M.P). (V.M.P). das es probable que 95 de ellas queden dentro de Es aquel valor que se acerca más al verdadero valor los límites de error [-5,98 mm; +5,98 mm]. pero que no lo es. Comúnmente se considera a la Por otro lado es preciso anotar que la curva de promedia como el valor más probable de varias medibabilidad en el eje de las X es una asíntota, asíntot a, luego; no ciones. se puede evaluar el error de 100%, razón por la cual debe considerarse que estas tres expresiones (E90; E95; V.M.P = X E99,73) nos dan los valores máximo que se presentan en la práctica. Errores mayores que 3 ya no se En nuestro ejemplo ilustrativo: consideran errores accidentales sino equivocaciones. V.M.P. = 700,00 m m; comoquiera que el V.M.P. nunca será el valor verdadero, se deduce que existirá Error de la Media (E m). un error y que dicho valor exacto estará ubicado Está visto que la media, también está sujeto a error. dentro del rango de ciertos límites: [V [V.M.P .M.P.. -Em; Error de la media a cualquier porcentaje de probabiV.M.P. + Em] con una probabilidad de P%. En nuestro lidad es aquel intervalo (-Em; +Em) dentro de cuyos ejemplo ilustrativo, el valor verdadero estará contelímites puede caer el verdadero error accidental de nido en el rango de [700 - 0,60; 700 + 0,60], lo que la media con una probabilidad de P%. es [-699,40 mm; 700,60 mm] con una probabilidad del 95%.
En nuestro ejemplo ilustrativo (si P = 95%)
k) Error Relativo (ER). Es la relación entre E50 y la media.
17. TEORÍA DE ERRORES: PARA MEDICIONES INDIRECTAS Hay ocasiones que se hace necesario realizar operaciones matemáticas (suma, resta, multiplicación, etc.) para determinar el valor de la magnitud; así por ejemplo, supongamos que se desea medir la distancia que hay entre dos puntos del orden de 100 metros, con una cinta métrica de 20 metros; en este caso el valor final vendrá afectado de un error que será la resultante de los errores de las mediciones elementales.
b) Error de una Diferencia.-
a) Error de una Suma.-
c) Error de un Producto.-
; ;
EProducto = L1 . E2 + L2 . E1
Magnitudes Físicas
Jorge Mendoza Dueñas
Problemas Resueltos 1
Calculando la media :
Se han obtenido los siguientes valores al determinar la masa de un cuerpo: 2,350 g; 2,352 g; 2,348 g; 2,350 g. ¿Cuál es el valor más probable?.
= 2,350
Luego: V.P.M. = 2,350 g = +1,6 cm
2
La longitud de una pared es 1 128,8 cm; al medirla hemos obtenido 1 130,4 cm. Hallar el error absoluto y el error relativo.
(por exceso)
El error relativo
Hay que advertir que el presente problema es totalmente teórico, dado que el valor verdadero de una longitud no se puede conocer con exactitud. El error absoluto = 1 128,8 cm…..(V. absoluto) x = 1 130,4 cm…(V. medido) = error absoluto = x - =1 130,4 - 1 128,8 3
Un alumno A mide la longitud de un hilo de 5 m y halla un valor de 6 m, otro alumno B mide la longitud de un paseo de 500 m y halla un valor de 501 m. ¿Qué error absoluto se cometió en cada caso?. ¿Qué medida fue más eficiente?.
ó
cometieron el mismo error absoluto: 1 metro por exceso, y la medida más eficiente fue la del alumno B, ya que cometió un error relativo menor.
En el cuadro mostrado notamos que ambos alumnos
Alumno
Error Absoluto
A
6 - 5 = 1 m (exceso)
B
501 - 500 = 1 m (exceso)
Error Relativo
4
En un experimento se toma una muestra de uranio cuyo peso estimado es (8,45 0,04) mg y luego otra muestra cuyo peso estimado es (5,34 0,03) mg. Determinar entre que límites varía el peso del conjunto formado por ambas muestras.
x = 13,79 mg
Con el uranio; analizando el peso:
Analizando el peso del conjunto: x x = x1 + x2 = 8,45 + 5,34
Analizando el error del conjunto: Dado que el peso total proviene de una suma:
Con la muestra; analizando el peso:
Magnitudes Físicas
Física
x = (13,79 0,05) mg
x = (13,79 - 0,05; 13,79 + 0,05) mg
Etotal = 0,05 mg
x = (13,74; 13,84) mg
El peso del conjunto varía entre los siguientes límites:
De una barra de aluminio cuya longitud estimada es de 23,74 0,03 cm; se extrae un pedazo cuya longitud se estima en 12,48 0,04 cm. Determinar entre que límites se estima varía la longitud del trozo que queda.
ó
L2 = 11,26 cm Analizando el error probable del trozo que queda: Dado que la longitud L2 proviene de una diferencia
Analizando la barra de aluminio completa:
Analizando el pedazo que se extrae:
E2 = 0,05 cm La longitud, del trozo que queda varía entre los siguientes límites. L2 = (11,26 0,05) cm
L2 = [11,26 – 0,05; 11,26 + 0,05] cm L2 = [11,21;11,31] cm
Analizando el trozo que queda: L2 = L - L1 = 23,74 12,48
6
Para el largo de un terreno de forma rectangular se obtuvo: L = (12,64 0,03) m y el ancho a = (8,420,02) m. Hallar el área estimado de este terreno.
ó
Analizando el largo:
A = (L)(a) = (12,64)(8,42) A = 106,43 m2 Cálculo del error del producto (error del área). Eproducto= L . E2 + a . E1 Eproducto= 12,64 (0,02) + 8,42 (0,03) Eproducto= 0,51 m2
Analizando el ancho:
El área del terreno se encuentra en el siguiente rango: A = (106,43 0,51) m2
Cálculo de área del terreno:
7
En la determinación de la longitud de una resistencia, se obtuvieron los siguientes resultados: 1,302 cm; 1,284 cm; 1,300 cm; 1,292 cm; 1,301 cm; 1,302 cm; 1,292 cm; 1,300 cm; 1,294 cm Determinar el error relativo.
Xi (cm) 1,302 1,284 1,300 1,292 1,294 1,301
N° de veces 2 1 2 2 1 1 9
Vi (cm) +0,006 -0,012 +0,004 -0,004 -0,002 +0,005
3,6 14,4 1,6 1,6 0,4 2,5
7,2 14,4 3,2 3,2 0,4 2,5 30,9x10-5
Magnitudes Físicas
Jorge Mendoza Dueñas
Cálculo de la media:
La desviación típica o estándar:
Cálculo de E50: E50 = 0,674 5 . E50 = 0,674 5( 0,006) E50 = 0,004 Cálculo del error relativo:
0,006 Tabulando:
8
Medida (m)
Se ha efectuado la medición de una distancia y los resultados obtenidos son: 1° Medición: 800,213 m 3° Medición: 800,603 m 2° Medición: 800,220 m 4° Medición: 800,218 m Se pide calcular el verdadero valor con una probabilidad del 50%
V2
Vi = Xi -
800,213
-0,004
16 x 10 -6
800,220
+0,003
9 x 10 -6
800,218
+0,001
1 x 10 -6
= 800,217 m
En primer lugar, si analizamos el valor de cada medición, respecto a los demás, será fácil detectar que la tercera medición tiene un valor muy lejano a las otras mediciones, lo cual hace deducir que en el proceso de medición se debió cometer un error propio (en la 3° medición). por tal motivo no se tomará en cuenta en los cálculos. Luego: 1° Medición: 800,213 m 2° Medición: 800,220 m 3° Medición: 800,218 m n=3
El error de una observación para una probabilidad de 50% E50 = 0,674 5 0,002 m El error de la media para una probabilidad de 50%
Em = 0,001 m El verdadero valor está comprendido en el siguiente intervalo: L = (800,217 0,001) m Con una probabilidad de 50% de ocurrencia
9
Hemos realizado diez veces la pesada de un cuerpo, obteniendo los siguientes resultados expresados en gramos: 12,372 12,373 12,372 12,371 12,370 12,374 12,372 12,372 12,371 12,373
Cálculo de la desviación estándar ; (ver cuadro pagina siguiente): ;
(n<30)
Calcular el resultado final con una probabilidad de 95% de ocurrencia.
0,001
Magnitudes Físicas
Física
N° de pesada
Xi (g)
Vi (Xi –X)
V2(10-6)
1
12,372
0,000
0
2
12,373
0,001
1
3
12,372
0,000
0
4
12,371
-0,001
1
5
12,370
-0,002
4
6
12,374
+0,002
4
7
12,372
0,000
0
8
12,372
0,000
0
9
12,371
-0,001
1
10
12,373
+0,001
1
Em = 0,001 g
10
Consideremos la siguiente serie de mediciones realizadas con un esferómetro (en mm): 4,556; 4,559; 4,553; 4,561; 4,562; 4,555; 4,557; 4,553; 4,556; 4,558; Calcular el resultado final con una probabilidad de 90% de ocurrencia. Mediciones
Vi(mm)
4,556 mm
+0,001
0,000 001
4,559 mm
-0,002
0,000 004
4,553 mm
+0,004
0,000 016
4,561 mm
-0,004
0,000 016
4,562 mm
-0,005
0,000 025
4,555 mm
+0,002
0,000 004
4,557 mm
0,000
0,000 000
4,553 mm
+0,004
0,000 016
4,556 mm
+0,001
0,000 001
4,558 mm
-0,001
0,000 001
x = 4,557 mm
V = 0,000
V2 = 0,000 084
Cálculo de la desviación estándar : ;
(n<30)
0,003 mm
El resultado final se encuentra en el siguiente rango: X= Em x = (12,372 0,001) g
V2 = 12x10-6
= 12,372
El error probable de una observación para P = 95% probabilidad: E95 = 1,959 E95 = 1,959 ( 0,001) E95 = 0,002 g El error de la media para P = 95% de probabilidad:
El error probable de una observación para P= 90% de probabilidad: E90 = 1,644 9 = 1644 9 ( 0,003) E90 = 0,005 mm El error de la media para P = 90% de probabilidad. Em =
0,002 mm
El resultado final se encuentra en el siguiente rango. x = (4,557 0,002) mm
ó [4,555 mm ; 4,559 mm] Del concepto de teoría de errores, se deduce que hay un 90% de probabilidades de que el verdadero valor se encuentra comprendido entre 4,555 mm y 4,559 mm.
Vectores
Jorge Mendoza Dueñas
Unidad
Si me propongo disparar una flecha al blanco, debo jalar el arco, lo necesario para generar una fuerza suficiente que garantice la llegada a su destino. Sin embargo , si me vendan los ojos, perderé la noción de dirección y sentido, ¿sabré a donde apuntar?, la respuesta es no, concluímos entonces que la fuerza es una magnitud vectorial, pues además del valor y unidad respectiva, se necesita la dirección y sentido.
60
Ciencia y Física
Vectores
Física
Aplico la Tecnología El GPS, permite determinar las coordenadas de la antena del receptor; sin embargo el objetivo es obtener las coordenadas del punto P.
Antena Receptor
Punto P
Punto P
Gracias a una suma vectorial es posible determinar las coordenadas del punto P.
Debo respetar la Naturaleza y el Medio Ambiente
61
Vectores
Jorge Mendoza Dueñas
VECTORES 1.- MAGNITUD VECTORIAL Es aquella magnitud que además de conocer su valor numérico y unidad respectiva, es necesario conocer también la dirección y sentido para que así dicha magnitud logre estar perfectamente determinada.
2. VECTOR Es un segmento de línea recta orientada que sirve para representar a las magnitudes vectoriales.
Vectores Iguales
Son aquellos vectores que tienen la misma intensidad, dirección y sentido. A y B son iguales
Vector Opuesto (-A)
módulo del vector A
2.1 ELEMENTOS DE UN VECTOR. a) Punto de aplicacin.
Está representado por el origen del vector. b) Intensidad, mdulo o magnitud.
Es el valor del vector, y generalmente está dado en escala. Ejem. 5 unidades de longitud equivale a 5 N (si se tratase de fuerza).
A y -A son vectores opuestos entre si. Se llama vector opuesto (-A) de un vector A, cuando tienen el mismo módulo, la misma dirección, pero sentido contrario.
Vectores Concurrentes
c) Sentido.
Es la orientación del vector. d) Direccin.
Está representada por la línea de acción del vector o por todas las líneas rectas paralelas a él.
2.1 ALGUNOS TIPOS DE VECTORES
Son aquellos vectores cuyas líneas de acción, se cortan en un solo punto. A, B y C son concurrentes.
Vectores Coplanares
Vectores Colineales
Son aquellos vectores que están contenidos en una misma línea de acción. A, B y C son colineales.
62
Son aquellos vectores que están contenidos en un mismo plano. A, B y C son coplanares.
Vectores
Física
OPERACIONES VECTORIALES 3. ADICIÓN DE VECTORES Sumar dos o más vectores, es representarlos por uno sólo llamado resultante. Este vector resultante produce los mismos efectos que todos juntos. Hay que tener en cuenta que la suma vectorial no es lo mismo que la suma aritmética.
R
=
3.1 ADICIÓN DE VECTORES - MÉTODO GRÁFICO b) Método del Triángulo.
a) Método del Paralelogramo.
Este método es válido sólo para dos Vectores Coplanares y Concurrentes, para hallar la resultante se une ambos vectores por el origen (deslizándolos) para luego formar un paralelogramo, el vector resultante se encontrará en una de las diagonales, y su punto de aplicación coincidirá con el origen común de los dos vectores.
Válido sólo para dos Vectores Concurrentes y Coplanares. El método es el siguiente: se unen los dos vectores uno a continuación del otro para luego formar un triángulo, el vector resultante se encontrará en la línea que forma el triángulo y su punto de aplicación coincidirá con el origen del primer vector.
R
° 0 8 1
c)
R
Método del Polígono.
Válido sólo para dos o más Vectores Concurrentes y Coplanares. El método es el siguiente: se unen los vectores uno a continuación del otro para luego formar un polígono, el vector resultante se encontrará en la línea que forma el polígono y su punto de aplicación coincidirá con el origen del primer vector.
Cuando el origen del primer vector coincida con el extremo del último, el vector resultante es nulo; y al sistema se le llama “polígono cerrado”.
R
63
Vectores
Jorge Mendoza Dueñas
En la adición de vectores, se cumplen varias propiedades, éstas son: Propiedad Conmutativa: Propiedad Asociativa:
3.2 ADICIÓN DE VECTORES - MÉTODO ANALÍTICO a) Suma de Vectores Colineales.
y +
En este caso la resultante se determina mediante la suma algebraica de los módulos de los vectores, teniendo en cuenta la siguiente regla de signos.
+ x
Ejemplo
Determinar la resultante de los siguientes vectores:
Resolución
Teniendo en cuenta la Regla de Signos: R=4-3-3+1
Sabiendo:
En este caso el módulo de la resultante se halla mediante la siguiente fórmula.
64
R = -1
El signo negativo indica que el vector está dirigido hacia la izquierda.
b) Suma de Vectores Concurrentes y Coplanares.
La dirección del vector resultante se halla mediante la Ley de Senos.
Vectores
Física
Si = 0° La resultante será máxima
Si = 180° La resultante será mínima
Rmax = A + B
Si = 90°
Rmin = A - B
4. SUSTRACCIÓN DE VECTORES a) Método del Tringulo.
En este caso se unen los dos vectores por sus orígenes formando así un triángulo, el vector “ ” será el vector diferencia. A
B
b) Método del Paralelogramo.
En este caso se invierte el sentido del vector que está acompañado del signo negativo; y luego se sigue el mismo procedimiento para adición de vectores por el método del paralelogramo.
5. COMPONENTES DE UN VECTOR Se denominan componentes de un vector a todos aquellos vectores que sumados por el método del polígono, dan como resultado un determinado vector. Hay que tomar en cuenta que un vector puede tener infinitos componentes.
A, B, C y D Son componentes del vector R
65
Vectores
Jorge Mendoza Dueñas
a)
Componentes Rectangulares de un Vector.
c)
Son aquellos vectores unitarios que se encuentran en los ejes coordenados rectangulares.
Son aquellos vectores componentes de un vector que forman entre sí un ángulo de 90°.
i -i j -j
y A y
Ax = A cos Ay = A sen
Vectores Unitarios Rectangulares.
A
: : : :
vector unitario en el eje x (positivo) vector unitario en el eje x (negativo) vector unitario en el eje y (positivo) vector unitario en el eje y (negativo) y
y
x
A x
x
b) Vector Unitario.
Es un vector cuyo módulo es la unidad y tiene por misión indicar la dirección y sentido de un determinado vector. A dicho vector se le llama también versor.
x
y A
u: vector unitario de A
Ahora tendremos:
u
y
ó
x
x
Ejemplo
Resolución
En el sistema mostrado en la figura, expresar el vector “A” en términos de los vectores unitarios rectangulares, sabiendo que su módulo es de 30 unidades.
Descomponiendo A:
y
Ax = 18
A
A y
y
Ay = 24
53° x
53° x
66
Finalmente:
Vectores
Física
6. SUMA DE VECTORES POR EL MÉTODO DE COMPONENTES RECTANGULARES Para hallar la resultante por este método, se sigue los siguientes pasos: Se descomponen los vectores en sus componentes rectangulares. Se halla la resultante en el eje x e y (Rx , Ry), por el método de vectores colineales. El módulo del vector resultante se halla aplicando el teorema de Pitágoras. Ejemplo
Resolución
En el sistema de vectores mostrado en la figura. Hallar el vector resultante y su módulo.
Por motivos didácticos, trabajaremos con números. y
y
30
A
° 3 5 n e s 0 3
B 53°
° 7 3
15
n e s 5 1
53°
37° x
37°
30cos 53°
x
15cos 37°
10
C
y R Ry
Rx
x
7. PRODUCTO DE UN VECTOR POR UN ESCALAR Cuando un vector se multiplica por un escalar, resulta otro vector en la misma dirección y de módulo igual a tantas veces el escalar por el módulo del vector dado. Ejemplos:
A
1 A 2
4 unidades
2 unidades
8 unidades
67
Vectores
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Problemas Resueltos
Problema 1
Dos vectores concurrentes forman 120° entre si. Calcular el módulo del vector resultante; siendo: A = 8; B =2. Resolución:
Resolución:
Problema 2
Expresar el vector x en función de A y B. x A B
Luego:
Problema 3
Resolución:
Se tienen los vectores A, B, C, y D inscritos en un rectángulo cuyos lados miden 8 y 10 cm. Calcular el módulo del vector resultante. A D
B C
R = A + B + C + D ............ De la figura: C = D + A + B ................ en R = C + C = 2C R = 2 (10) R = 20 cm
Resolución:
Problema 4
Expresar el vector X en función de A y B.
A X
B
68
Del gráfico:
El vector resultante, de A y B es el que se muestra a continua A ción: R= + Dado que “O” es punto medio:
R O
B
Vectores
Física
Problema 5
Aplicando el método de vectores colineales
En el sistema mostrado, calcular el valor de la resultante.
Resolución:
Descomponiendo el vector A en sus componentes rectangulares.
Problema 6
Hallar el módulo del vector resultante.
Analizando el eje x:
y 2
Rx = -1
2
x
Analizando el eje y:
1
Resolución:
Ry = 0
Descomponiendo el vector de módulo
y
Resultante:
° n e s
2 °
x
R=1
1
Problema 7
Hallar el módulo del vector A mostrando en la f igura, sabiendo que el vector resultante del conjunto de vectores mostrado, forma 45° con el semieje posi tivo de las x (B = 4; C= 10 ; D= )
y
A
B 60° D
x
C
69
Vectores
Jorge Mendoza Dueñas
Resolución:
Descomponiendo: y
Ry = ?
x
Rx = ?
Por condición del problema; el vector resultante forma 45° con el semieje positivo de las x; por lo tanto sus componentes deben ser iguales. Rx = Ry
A = 10
Problema 8
Determinar el vector resultante del sistema de vectores mostrados en la figura (en función del vector A).
Nos piden:
….......
De la figura:
Reemplazando en :
Resolución:
R=3 Problema 9
En la figura; “M” es punto medio del vector A; obtener el vector D en función de los vectores B y C.
En el triángulo PQR: .............
Resolución:
P
En el triángulo MQP
M
R
70
Q
............. en
Vectores
Física
L2 = L2 + L2 + 2L . L cos
Problema 10
Determinar el ángulo que forman dos vectores de igual módulo, si su resultante tiene igual módulo que ellos (cos 120° = -1/2). Resolución:
Finalmente:
Graficando:
Considerando dos vectores A y B, tal que:
De la ley de cosenos tenemos:
= 120°
2 Problema 1
Se muestran los vectores A, B, C, D; hallar , si: ,
D 60
C B Resolución:
En el siguiente gráfico.
De triángulo sombreado:
A
L2 = 82 + 32 - 2 (8) (3) cos 60° L=7
D C
L
60°
Finalmente:
B A Resolución:
Problema 2
Hallar el módulo del vector resultante del sistema de vectores que se muestra en la figura a = 3 m.
c 4 4m
b a 3 g
f
Resultante:
R=5
71
Vectores
Jorge Mendoza Dueñas
Problema 3
Pero nos piden:
Hallar el módulo del vector resultante, si:
.........
Reemplazando en :
Nótese que y forman 90°.
Resolución:
Podemos observar que:
= 2(10)
............. .........
Problema 4
En el paralelogramo, determinar la resultante del sistema, en términos de los vectores A y B. (m y n son puntos medios).
Del triángulo (I): .........
Del triángulo (II): .........
y en :
Resolución:
Aprovechando los puntos medios, adicionamos vectores A/2 y B/2.
I II
Problema 5
En el siguiente gráfico se muestra un triángulo con dos vectores en su interior, si AB = 2 y BC = 4. Determinar el módulo del vector resultante. AM = MN = NC
72
Resolución:
Descomponemos los vectores. MB y NB y observamos que el vector MA y NC se anulan.
Vectores
Física
Lo cual se reduce a:
Finalmente:
Problema 6
Resolución:
Para los vectores A y B representados en la figura, hallar: A) El vector resultante en función de los vectores unitarios principales. B) El módulo del vector resultante. A) C) El vector unitario del vector resultante.
Hallando los vectores posición. A = (2 ; 3) – (-2 ; 1) = (4 ; 2) B = (3 ; 1) – (1 ; 2) = (2 ; -3) El vector resultante R = A + B R = (4 ; 2) + (2 ; -3) = (6 ; -1)
B) El módulo del vector resultante
; será :
C)
Vector unitario del vector resultante:
Problema 7
(0; 0; 2)
En la figura se muestra un cubo de arista a = 2 m; expresar x = 2A – B + 3C, en términos de los vectores unitarios rectangulares.
(0; 2; 2)
2 ) ( 2 ; 2 ;
(2; 0; 2) (0; 0; 0)
(0; 2; 0) (2; 0; 0)
Resolución:
Analizando las coordenadas de cada vértice:
(2; 2; 0)
De la figura: A = (2 ; 2 ; 0) – (0 ; 0 ; 0) = (2 ; 2 ; 0) B = (2 ; 2 ; 2) – (0 ; 2 ; 0) = (2 ; 0 ; 2) C = (0 ; 2 ; 2) – (2 ; 0 ; 2) = (-2 ; 2 ; 0) x = 2A - B + 3C = 2 (2 ; 2 ; 0) - (2 ; 0 ; 2) + 3(-2 ; 2 ; 0) x = (4 ; 4 ; 0) - (2 ; 0 ; 2) + (-6 ; 6 ; 0) = (-4 ; 10 ; -2) x = – 4 i + 10 j – 2 K
73
Vectores
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Problema 8
Determine el vector unitario paralelo a la resultante del conjunto de vectores mostrados, si la arista del cubo mide a.
De la figura: A = (0 ; 0 ; 0) – (a ; 0 ; a) = ( -a ; 0 ; -a) B = (0 ; 0 ; a) – (a ; a ; a ) = (-a ; -a ; 0) C = (0 ; a ; a) – (a ; a ; 0) = (-a ; 0 ; a) La resultante R: R = A + B + C = (-a ; 0 ; -a) + (-a ; -a ; 0) + (-a ; 0 ; a) R = (-3a ; -a ; 0) = -3ai – a j
Resolución:
El módulo del vector R:
El vector unitario de R:
El vector unitario de P:
El vector P:
Analizando las coordenadas de los vectores del cubo: (0; 0; a)
(0; a; a)
(a; 0; a)
(a; a; a) (0; 0; 0) (a; a; 0)
Problema 9
Hallar el vector P; si su módulo es
4
Resolución:
Analizando los vértices del volumen. (0; 0; 2)
(4; 2; 0)
74
P = 2i j + k
Vectores
Física
Problema 10
Se sabe que al sumar las tres fuerzas que se indican con una cuarta fuerza, se obtiene una fuerza resultante de módulo 50 N y que forma 53° con el semieje + x ; determinar la cuarta fuerza.
y
x
45°
Resolución:
Analizando los vectores unitarios:
y
Expresando las fuerzas F1 ; F2; F3 y F4 F1 = 50 u1 = 10 (4 ;3) = 40i + 30 j F2 = 60 u2 = 12 (4 ; -3) = 48 i – 36 j F3 = 20 = 20 (-1 ; -1) = -20i – 20j F4 = ? Analizando la resultante: módulo 50 N y que forma 53° con el semieje + x: y R = 30 i+ 40 j
(0; 3)
-1 (-4;0)
(0;0)
4
x
45°
-1
(-1;-1)
Finalmente:
R = F1 + F2 + F3 + F4
53 30
x
30 i+ 40j =(40 i + 30j) + (48 i– 36j) + ( -20i – 20 j) + F4
(0;-4) (4;-7)
-7
50 40
F4 = -38 i + 66 j
3 Resolución:
Problema 1
En el triángulo vectorial, encuentre el módulo de la suma de fuerzas (vectores).
Resolución:
Problema 2
Tres vectores , tienen componentes x e y como se muestra en la tabla; hallar la dirección del vector resultante: A
B
C
x
4
-1
5
y
-2
0
10
Analizando cada vector.
75
Vectores
Jorge Mendoza Dueñas
El vector resultante.
= 45°
y
Graficando:
En el triángulo:
El vector resultante forma 45° con el eje x.
8 8
x
8 Problema 3
Dado los vectores:
; B)
Calcular: A) B) El vector unitario del mismo Resolución:
A)
Problema 4
Rx = (10 cos 30°) + (-20 cos 60°) + (30 cos 45°)
Ry = (10 sen 30°) + (20 sen 60°) + (30 sen 45°)
Los vectores A ;B y C, ubicados en el plano xy, tienen módulos A = 10; B = 20; C = 30 y forman con el eje x los siguientes ángulos: A = 30° ; B = 120° y C = 45°. Determinar el vector resultante. Resolución:
Graficando: 20 sen60°
10 sen30°
20 cos60°
10 cos30° 30 sen45°
30 cos45°
76
Finalmente:
= 19,87 + 43,53
Vectores
Física
Problema 5
De la figura:
De la figura:
En la figura, pq = 5 ; qr = 2 ; exprese x en términos de a y b.
a+7c=b Reemplazando c:
p
q
r
Resolución:
5 a + 7x – 7a = 5b
Creando los vectores 5 C y 2 C
Problema 6
q
-
En el cubo de la figura, determinar el vector que va de P hasta Q; estando P simétricamente a de la base inferior.
p
q
De la figura:
p Resolución:
Generando el polígono cerrado. Resolución:
Problema 7
Determinar el valor de si se c umple que |A+B+C|=|B|, y que la resultante de todos los valores está en el semieje x. y
De las condiciones del problema: si la resultante debe estar en el eje + x, gráficamente los vectores se puede ubicar del siguiente modo: y
x
x
Se aprecia la formación de un triángulo isósceles Luego: 2 + = 90° = 30°
77
Vectores
Jorge Mendoza Dueñas
Resolución:
Problema 8
¿Qué ángulo forma el vector x más pequeño posible con el vector y, tal que su resultante x + y, se ubique sobre AA‘.
Se muestra las diversas posiciones de para que se ubique en AA ’.
x
El vector más pequeño, es aquel que se ubica perpendicular a la línea AA’.
20°
x 20°
70°
110°
Rpta: 110° Problema 9
El vector AC, se ha descompuesto en dos vectores paralelos a AM y AN, siendo M y N puntos medios. ¿Cuál es la magnitud del vector paralelo a AN? y M A=(0;0) B=(4;6) N C=(12;6) D=(8;0)
x
12 = 10k 1 + 8k2 6 = 3k1 + 6k2
y
donde:
Resolución:
Luego un vector paralelo a AN es K 1 (10 ; 3) Luego un vector paralelo a AM es K 2 (8 ; 6) Ahora: AC = k1(10;3) + k2(8;6) (12;6) = k1 (10;3) + k2 (8;6)
El vector paralelo a AN es:
Su magnitud: AM = M – A= (8 ; 6)
Problema 10
Determinar el módulo de la resultante del sistema mostrado sabiendo que todos los cuadrados son iguales.
Integrando el conjunto a un sistema de coordenadas
Añadiendo vectores unitarios a los existentes
y
fig(a)
2
2
fig(b)
2
1 1
Un vector paralelo a U2 es (4; 2) – (3;1) = (1 ; 1) Luego:
Resolución:
y
Un vector paralelo a U1 es: (2 ; 1) – (1 ; 1) = (1 ; 0) Luego:
3
4
x
1 2
3
4
x
78
De la figura (b):
Vectores
Física
CIENCIA Y TECNOLOGÍA Para que el avión pueda desplazarse desde el punto A hasta B, el piloto deberá conocer las coordenadas de dichos puntos ya sea vía radio o vía satélite, lo cierto es que la obtención de dichos datos no es problema. Conocidas las coordenadas de A y B, es fácil determinar el vector despla zamiento por donde deberá recorrer el avión (d).
d
Si el piloto dirige la velocidad del avión en la dirección del desplazamiento calculado, el viento se encargará de desviarlo.
Para evitar que el avión se desvíe, será necesario conocer la dirección del viento y mediante el método del paralelogramo determinar la dirección que hay que imprimir al aparato para que su velocidad resultante se dirija en la dirección del desplazamiento deseado.
En realidad la dirección del viento puede cambiar, para lo cual el piloto deberá estar alerta a ello y cambiar también la dirección de la velocidad del avión para así conservar la dirección de la velocidad resultante en la línea del desplazamiento d. Este mismo principio se utiliza también en los barcos para la navegación marítima.
79
Estática
Jorge Mendoza Dueñas
Unidad
ESTA
Si observamos un cuerpo en reposo u otro desplazándose con movimiento rectilíneo uniforme, estamos frente a fenómenos aparentemente distintos, pero en el fondo obedecen a las mismas leyes, pues ocurre que en física , ambas situaciones corresponden a un mismo estado, llamado EQUILIBRIO MECÁNICO. El estudio de las leyes y condiciones que deben cumplir los cuerpos para encontrarse en dicho estado lo realiza la rama de la MECÁNICA llamada ESTÁTICA, ciencia que data de la época de los egipcios y babilonios y que hoy ha dado lugar a la creación de varias ramas de la Ingeniería : Civil, Mecánica, Minera, etc.
El concepto y significado físico de fuerza. Los diversos tipos de fuerzas utilizados en Mecánica. Primera y tercera Ley de Newton. La primera y segunda condición de equilibrio mecánico.
80
Estática
Física
Aplico la Tecnología
Consideraciones sobre diseño estructural de un edificio Como criterio general para lograr la estabilidad de un edificio frente a la acción de cargas gravitatorias y cargas laterales (viento, sismo), es necesario contar con un minimo de planos resistentes, éstos son: tres planos verticales, no todos ellos paralelos ni concurrentes, y un plano superior perfectamente anclado a los planos verticales anteriormente mecionados
TICA Uno de los métodos que se utiliza, está basado en efectos estáticos equivalentes. Esto significa que se consideran fuerzas horizontales aplicadas al edificio de manera que produzcan efectos similares a los que sufriría en el momento del sismo. En definitiva, se quiere con ello predecir el comportamiento del edificio.
b) Construcción bajo la acción sismica
a) Construcción antes de la acción sismica
S A C S I T A É Z T R O E P U I F H
c) Fuerzas Equivalentes
Debo respetar la Naturaleza y el Medio Ambiente La estabilidad de las partículas de un cerro, una colina o un acantilado depende en gran medida del coeficiente de rozamiento estático del mismo. Por otro lado, el valor de está en función de la calidad de los materiales en contacto . Esto significa que no debemos generar taludes con ángulos mayores a ( dicho ángulo es calculado en el laboratorio), pues de lo contrario se corre el riesgo de la presencia de deslizamientos , más aún si sobrecargamos los acantilados con edificios muy cerca a sus bordes.
81
Estática
Jorge Mendoza Dueñas
ESTÁTICA La Estática es una rama de la Física, que tiene la finalidad de analizar las condiciones que deben reunir un grupo de fuerzas actuantes sobre un cuerpo o sistema, con la condición de mantenerlo en equilibrio.
1. INTERACCIÓN Es una propiedad cualitativa de la materia, que se manifiesta mediante la relación entre dos o más cuerpos. Interactúan las partículas elementales, los átomos ionizados, las moléculas, los planetas, las estrellas, por último nosotros mismos.
2. FUERZA Es la medida CUANTITATIVA de la interacción; siempre que dos cuerpos interactúan entre si, surge entre ellos una magnitud que además de valor tiene dirección, sentido y punto de aplicación, llamada fuerza. Esta magnitud, es la responsable del equiliUnidad de Fuerza en el S.I. Otras unidades brio, cambio de dirección en el movimiento y deformación de los cuerpos. kilogramo fuerza newton (N) En general, asociamos la fuerza con los gramo fuerza efectos de: sostener, estirar, comprimir, libra fuerza jalar, empujar, tensar, atraer, repeler, etc.
82
Estática
Física
3. FUERZAS NOTABLES 3.1. FUERZA DE GRAVEDAD O PESO (W). Llamamos así a la fuerza con que la Tierra atrae a todo cuerpo que se encuentre en su cercanía. W
w w
3.2. FUERZA DE REACCIÓN NORMAL (FN). Se le llama también fuerza de contacto, viene a ser la resultante de las infinitas fuerzas electromagnéticas que se generan entre la superficie de dos cuerpos cuando éstas se acercan a distancias relativamente pequeñas, predominando las fuerzas repulsivas. La línea de acción de la normal es siempre perpendicular a las superficies de contacto.
F N F
F N 1
FN
N 2
3.3. TENSIÓN (T). Está es la fuerza electromagnética resultante que se genera en el interior de una cuerda o un alambre, y que surge para oponerse a los efectos de estiramiento por parte de fuerzas externas que actúan en los extremos de aquellos. En estas fuerzas predominan los efectos atractivos.
F
F
F
T
F
T
T=F
T=F corte imaginario
corte imaginario
corte imaginario
T
T T
F
peso
peso El peso del bloque trata de estirar la cuerda hacia abajo, sin embargo la tensión “T” se lo impide.
T
La fuerza horizontal que ejerce la persona, obliga a la cuerda a estirarse; la tensión “T” no lo permite.
El peso de la barra trata de alargar los cables; no obstante las tensiones “T” no lo permiten.
83
Estática
Jorge Mendoza Dueñas
3.4. COMPRESIÓN (C).
F
Es aquella fuerza generada internamente en el interior de una barra cuando fuerzas externas tratan de comprimirlo.
F
F
C
F
C
C=F
C=F corte imaginario
Cable
Cable C
soporte
Pilar
C
El peso de la persona trata de comprimir el soporte (barra); la compresión “C” se lo impide.
Los cables tratan de comprimir el pilar; sin embargo la compresión “C” se lo impide.
3.5. FUERZA ELÁSTICA. Es aquella fuerza que aparece en los cuerpos elásticos cuando son estirados o comprimidos por fuerzas externas; esta fuerza trata que el cuerpo elástico recupere su longitud inicial.
F K
corte imaginario
posición de equilibrio
x2
F
x1
corte imaginario
Toda fuerza elástica cumple con la ley de Hooke “La fuerza elástica es directamente proporcional a su deformación longitudinal” F = K . x
límite de elasticidad
F
Fmax
F : fuerza elástica x : deformación K : constante de rigidez (o elástica) del resorte (depende del tipo de material)
punto de ruptura
F1
x1
84
x max
x
Estática
Física
3.6. FUERZA DE ROZAMIENTO. Cuando un cuerpo se pone en contacto con otro y se desliza o intenta resbalar respecto a él, se generan fuerzas de oposición a estos movimientos, a los que llamamos fuerzas de fricción o de rozamiento. La F naturaleza de estas fuerzas es electromagnética y se generan debido a que las superficies en contacto tienen irregularidades (deformaciones), las mismas que al ponerse en contacto y pretender deslizar, producen fuerzas predominantemente repulsivas. La fuerza de rozamiento es f una componente de la resultante de estas fuerzas, su línea de acción es paralela a las superficies, y su sentido es opuesto al del movimiento relativo de los cuerpos. Debido a su compleja naturaleza, el cálculo de la fuerza de rozamiento es hasta cierto punto empírico. Sin embargo, cuando los cuerpos son sólidos, las superficies en contacto son planas y secas, se puede comprobar que estas fuerzas dependen básicamente de la fuerza de reacción Normal (FN), y son aproximadamente independientes del área de contacto y de velocidad relativa del deslizamiento. a) Fuerza de Rozamiento Estática (fs).
Este tipo de fuerza aparece cuando los cuerpos no deslizan. Su valor máximo se presenta cuando el deslizamiento es inminente, y el mínimo cuando la intención de movimiento es nula.
b) Fuerza de Rozamiento Cinética (fK ).
Estas fuerzas se presentan cuando las superficies en contacto se deslizan una respecto a la otra. Su valor es prácticamente constante. v
v=0
mov.
0
F fs
fk FN
w
f s(max) =
FN
. FN
f s(max) = fuerza de rozamiento estática máxima s = coeficiente de rozamiento estático FN = reacción normal
c)
F
Coeficiente de Rozamiento (µ). Es una cantidad adimensional que representa de un modo indirecto el grado de aspereza o deformación común que presentan las superficies secas de dos cuerpos en contacto. Asímismo, “” depende de los materiales que conforman las superficies.
w
f k = K . FN f K = fuerza de rozamiento cinética K = coeficiente de rozamiento cinético FN = reacción normal
s
k
Acero sobre acero
0,74
0,57
Cobre sobre cobre
0,53
0,36
Vidrio sobre vidrio
0,94
0,40
Teflón sobre teflón
0,04
0,04
Madera sobre madera
0,50
0,25
Piedra sobre piedra
0,70
0,40
Superfcies en Contacto
85
Estática
Jorge Mendoza Dueñas
4. LEYES DE NEWTON - 1ERA CONDICIÓN DE EQUILIBRIO.
Las leyes de Newton constituyen verdaderos pilares de la mecánica, fueron enunciadas en la famosa obra de Newton “Principios Matemáticos de la Filosofía Natural”, publicada en 1686. Ellas son conocidas como la 1ra, 2da y 3ra Ley de Newton, de acuerdo con el orden que aparecen en esta obra citada. En este capítulo, estudiamos la 1ra y 3ra ley, que nos permitirán analizar el equilibrio del cuerpo, esto es el estudio de la estática; la 2da ley será estudiada en el capítulo: “Dinámica”. Al introducir el método científico en el estudio de los fenómenos físicos, Galileo realizó una serie de experimentos que lo llevaron a conclusiones diferentes de las de Aristóteles. Estando en reposo una esfera sobre una superficie horizontal, Galileo observó que al empujarla con cierta fuerza, se ponía en movimiento. Por otra parte, la esfera seguía moviéndose y recorriendo cierta distancia, aún después que dejaba de empujarla ( ver fig. a). Así, Galileo comprobó que un cuerpo podía estar en movimiento sin la acción permanente de una fuerza que lo empujase. F
F=0
V = 0
(a) F=0
V = 0
F
(b) Movimiento Rectilneo Uniforme F=0
V = 0
F
(c) Cuando repitió el experimento usando ahora una superficie horizontal más lisa, observó que el cuerpo recorría una dis tancia mayor luego de cesar la acción de la fuerza ( ver fig. b). Basándose en una serie de experimentos semejantes, Galileo concluyó que el cuerpo se detenía después de haber dejado de impulsarlo, en virtud del efecto de la fricción o roce entre la superficie y el cuerpo, que siempre actúa para retardar su movimiento. De modo que si fuese posible eliminar totalmente la acción del rozamiento, el cuerpo continuaría moviéndose en forma indefinida, sin ninguna retardación, es decir, en movimiento rectilíneo uniforme (ver fig. c). Al generalizar sus conclusiones, Galileo llegó al resultado siguiente: “Si un cuerpo está en reposo, es necesario la acción de una fuerza sobre él para ponerlo en movimiento. Una vez iniciado éste, y después de cesar la acción de las fuerzas que actúan sobre él. Seguirá moviéndose indefinidamente en línea recta, con velocidad constante”. Los experimentos de Galileo lo llevaron a atribuir a todos los cuerpos por una propiedad denominada inercia por la cual un cuerpo tiende a permanecer en su estado de reposo o de movimiento uniforme rectilíneo. En otras palabras, cuando un cuerpo está en reposo tiende por inercia a seguir inmóvil y solamente por la acción de una fuerza podrá salir de este estado; si un cuerpo se halla en movimiento sin que ninguna fuerza actúe sobre él, el objeto tiende por inercia a moverse en línea recta con velocidad constante; se necesitará la acción de una fuerza para aumentar o disminuir su velocidad, o para hacer que desvíe hacia un lado o hacia otro. Al estructurar los principios de la mecánica, Newton se basó en los estudios realizados por los físicos que le precedieron, entre ellos Galileo. Así, la primera ley de Newton no es más que una síntesis de las ideas de Galileo referentes a la inercia, y por eso mismo, también se le denomina ley de la inercia.
86
Estática
Física
4.1. PRIMERA LEY DE NEWTON (LEY DE LA INERCIA). “En la ausencia de la acción de fuerzas, un cuerpo de masa constante en reposo, continuará inmóvil, y uno en movimiento se moverá en línea recta y con velocidad constante”.
ILUSTRACIONES: Para los ejemplos, idealizaremos varios casos: Supondremos que un caballo no tenga porosidades en su cuerpo, esto para evitar el rozamiento de los cuerpos. En la figura (izquierda) se observa una persona y un caballo en reposo. En la figura (derecha) se observa que el caballo se mueve bruscamente hacia la izquierda y la persona aparentemente se mueve hacia atrás. En realidad la persona no va hacia atrás, sino más bien queda atrás. ¿Por qué? Inicialmente la persona y el caballo estaban en reposo, luego el caballo se movió (por efectos que no estudiaremos todavía); pero ¿quién movió a la persona?. Nadie o nada, motivo por el cual; queda en su lugar o en el punto inicial.
V=0
V V
En este caso supondremos que los cubiertos y el mantel son completamente lisos, esto para evitar el rozamiento. La explicación es la misma que el ejemplo anterior.
V
Consideremos que un móvil cuya base inferior sea lisa, así como la suela de los zapatos de una persona. Inicialmente el bus se mueve con velocidad v; como la persona se encuentra dentro del móvil, también estará moviéndose con la velocidad v. De pronto el móvil se detiene, pero la persona sigue moviéndose en línea recta y con velocidad v, hasta que algo lo detenga. ¿Por qué? Porque el bus se detuvo por acción de los frenos: pero ¿quién o qué detuvo a la persona?. Nadie o nada, motivo por el cual la persona seguirá moviéndose.
CONDICIÓN DE EQUILIBRIO DE UN CUERPO
Decimos que un cuerpo está en equilibrio cuando se encuentra en uno de los siguientes casos:
El cuerpo se halla inmóvil. El cuerpo tiene M.R.U.
Como vimos en la primera Ley de Newton, cualquiera de esas situaciones se produce cuando la fuerza resultante sobre el cuerpo es nula. 87
Estática
Jorge Mendoza Dueñas
4.2. PRIMERA CONDICIÓN DE EQUILIBRIO. “Una partícula se encontrará en equilibrio, cuando la fuerza resultante que actúa sobre ella, es igual a cero”. a) Condicin Algebraica. partícula
Si: R = F1 + F2 + F3 + F4
b) Condicin Grca.
Se sabe que si la resultante de un sistema de vectores es nula, el polígono que se forma será cerrado. 1 + 2 + 3 + 4 = 0
Ejemplo Si la partícula mostrada, se encuentra en equilibrio: calcular F1 y F2. Peso de la partícula = 15 N
Resolución
Equilibrio en “x”:
18 + 12 F2 = 0 F2 = 30 N
Equilibrio en “y”:
10 + F1 15 = 0 F1 = 5 N
TEOREMA DE LAMY.
Cuando se tienen tres fuerzas concurrentes y coplanares actuando sobre un cuerpo en equilibrio, se cumple:
4.3. TERCERA LEY DE NEWTON (LEY DE LA ACCIÓN Y LA REACCIÓN). Newton se dio cuenta de que las fuerzas siempre aparecen como resultado de la interacción de dos cuerpos. Es decir, la acción de una fuerza sobre un cuerpo que la provoque. Además, Newton pudo co mprobar que en la interacción de dos cuerpos, las fuerzas siempre aparecen en pares. Para cada acción de un cuerpo sobre otro, siempre existirá una reacción igual y contraria de éste sobre el primero. Tales observaciones de Newton se pueden sintetizar en el enunciado de su tercera ley:
88
Estática
Física
Ley de la acción y la reacción :
“Cuando un cuerpo A ejerce una fuerza (acción) sobre un cuerpo B, éste reacciona sobre A con una fuerza de la misma magnitud, misma dirección y sentido contrario”.
Ejemplo
Análisis
Analicemos el caso en el cual una persona aplica un golpe a un camión. camión V= 0
Debemos tener presente que en una interacción surgen 2 fuerzas. persona camión A CCIÓN
REACCIÓN
F A
FR
persona
Acción Mutua, a lo cual llamaremos: INTERACCIÓN. y
son colineales, opuestas, actúan sobre cuerpos diferentes y se verifica:
4.4. DIAGRAMA DE CUERPO LIBRE (D.C.L.). Hacer el D.C.L. de un cuerpo, es representar gráficamente las fuerzas que actúan en él. Para esto se siguen los siguientes pasos: Se aisla al cuerpo de todo el sistema. Se representa al peso (W) del cuerpo mediante un vector dirigido siempre hacia el centro de la Tierra. Si existiesen superficies en contacto, se representa la reacción mediante un vector perpendicular a dichas su perficies y empujando siempre al cuerpo (FN ó R). Si hubiesen cuerdas o cables, se reprenta a la tensión (T) mediante un vector que está siempre jalando al cuerpo, previo corte imaginario. Si existiesen barras comprimidas, se representa la compresión (C) mediante un vector que está siempre empu jando al cuerpo, previo corte imaginario. Si hubiese rozamiento, se representa la fuerza de roce (f) mediante un vector tangente a las superficies en con tacto y oponiéndose al movimiento o posible movimiento.
89
Estática
Jorge Mendoza Dueñas
f 2
f
4.5. TIPOS DE APOYO. Existen diversos tipos de apoyos, los más importantes son los siguientes: En contacto
Apoyo fijo
Apoyo movil
Empotramiento
M Si existiese superficies porosas, aparece la fuerza de rozamiento R 2
En este caso existen dos reacciones perpendiculares entre si.
En este caso existe solo una reacción En este caso existen dos reacciones que es perpendicular a la superficie semejantes al apoyo fijo más un en contacto torque llamado momento de empotramiento.
4.6. MÉTODO PARA RESOLVER PROBLEMAS. a) Se dibuja el diagrana de cuerpo libre (D.C.L.) b) Dado las fuerzas (vectores), se elige uno de los siguientes métodos: coordenadas rectangulares, polígono cerrado o teorema de Lamy. c) Se resuelve el problema aplicando los principios matemáticos.
Si en el problema hubiesen varios cuerpos, no es necesario hacer el D.C.L. de todos ellos; hay dos posibilidades: Hacer el D.C.L. de dos cuerpos o tal vez tres.
90
Hacer el D.C.L. de uno de ellos y del sistema completo.
Estática
Física
Problemas Resueltos
Resolución:
Problema 1
Un cuerpo de 200 newton, se suspende del techo por medio de un cable. ¿Cuánto vale la tensión en la cuerda?
Equilibrio:
D.C.L. del bloque T
T 200 = 0 T = 200 newton 200 N
Problema 2
2DO método: polígono cerrado.
Determine la fuerza con que debe jalar el obrero para mantener suspendido 600 N de peso.
T 53°
600
53°
600 N
F
Del polígono: Resolución:
D.C.L del nudo T
F = 600 tg 53° F = 800 N
53°
F
3ER método: Teorema de Lamy.
600 N
T
1ER método: componentes rectangulares.
F - T sen53°=0
F = Tsen 53° ..........
143° 127°
T
600 = T cos 53° ..........
TCos53°
600 N
53°
T cos53°-600=0
F
TSen53°
F 600 N
:
F = 800 N
F = 800 N
91
Estática
Jorge Mendoza Dueñas
Resolución:
Problema 3
Una pesa de 200 N se suspende del techo por medio de un resorte cuya constante de rigidez es de 800 N/m. ¿Cuánto se estira el resorte?
D.C.L. de la pesa F=kx
Equilibrio: k x = 200 800 (x) = 200 x = 0,25 m
x
200 N Observación:
Es importante analizar la homogeneidad de las unidades antes de efectuar las operaciones matemáticas.
D.C.L. del nudo.
Problema 4
T
T
Una cubeta de pintura tiene un peso total de 40 N y está amarrada al techo, como se ve en la figura; hallar las tensiones en las cuerdas. 30°
30°
60° 60°
Aplicando el método del polígono cerrado. T 60°
40 N
60°
Resolución:
T
60°
Observe que debido a la simetría, las cuerdas amarradas al techo soportan la misma tensión “T”.
Dado que se obtiene un triángulo equilátero. T = 40 N
Resolución:
Problema 5
Un bloque de madera de 15 N, descansa sobre un plano inclinado liso amarrado a una estaca mediante una cuerda, hallar la tensión en esta cuerda.
T
R 53° ° 7 3
R
T
15
Del triángulo vectorial.
37°
92
15
T=9N
Estática
Física D.C.L del ascensor transportando al pasajero.
Problema 6
Un cable de acero, sostiene un elevador de 5 000N. ¿Cuál es la tensión en el cable cuando el ascensor sube a velocidad constante transportando un pasajero de 700 N?
T
T = 5000 + 700
Resolución:
T = 5 700 N
Si el ascensor sube a velocidad constante, está en equilibrio cinético:
700 N
Problema 7
Se muestra un sistema que está en equilibrio, no hay fricción con el plano inclinado; Hallar el peso “W” si el otro bloque pesa 100 N.
5 000 N
D.C.L. del bloque de 100 N R
W T = N 0 0 1
R
° 5 3
W
53°
100 N W
53°
100 N Resolución:
Equilibrio vertical: T=W
D.C.L. de W. T W = 80 N W
Problema 8
¿Con qué fuerza, un hombre debe jalar de la cuerda de modo que la carga suba a velocidad constante?. Desprecie el peso de las poleas. Despreciar la fricción en las poleas.
Resolución:
Dado que no existe fricción en las poleas; la tensión será constante a largo de la misma cuerda.
800 N
2T = 800 T = 400 N
T
T
D.C.L. de bloque
T
2T
800
93
Estática
Jorge Mendoza Dueñas
Problema 9
Nótese que en la cuerda Horizontal, la tensión es T1.
Calcular el peso del cuerpo A en la figura. 37°
D.C.L. nudo derecho
53°
T3
T3 36 N
T1
W
53°
A
W
Resolución:
53°
W
D.C.L. nudo izquierdo T2
W = 48 tg 53° T2
37°
T1
T1=48
36 T1 = 36 ctg 37° T1 = 48 N
36
W = 64 N 37° T1
Resolución:
Problema 10
Un limpiaventanas pesa 600 N y se suspende asimismo empleando una canastilla de 120 N y una polea. ¿Con qué fuerza debe jalar para subir a velocidad constante?
Como el conjunto sube a velocidad constante, tendremos equilibrio cinético.
T
T + T = 600 +120
T
600 N
T = 360 N
120 N
2 Problema 1
Para comenzar a deslizar un cajón de 60 N de peso; se necesita una fuerza horizontal de 45 N. ¿Cuánto vale s entre el cajón y el piso? Resolución:
94
La fuerza para iniciar el movimiento (F), es aquella que está a punto de mover el cajón (movimiento inminente).
Verticalmente:
FN = 60 N Horizontalmente: f s = 45
D.C.L. del cajón F=45 N
f s FN 60
Estática
Física
Resolución:
Problema 2
¿Cuál es el módulo de la mínima fuerza aplicada sobre el bloque de 20 N que evitará que el bloque deslice hacia abajo? F
La fuerza mínima “F” es aquella cuando el bloque está a punto de resbalar hacia abajo. Horizontalmente: D.C.L. bloque FN = F f s=s . FN Verticalmente:
F
0,8 . F = 20 F = 25 N Problema 3
FN
20 N
Velocidad constante: Equilibrio.
Un esquiador desciende a velocidad constante por una colina cubierta por una capa de hielo; la colina forma 37° con la horizontal; calcular el coeficiente de rozamiento cinético entre los esquíes y el hielo.
FN 37°
Resolución: K . FN
D.C.L. de la persona
W
F . N k
f k =
FN 37° 37° W
700 N
Problema 4
Determine el máximo peso “W” que puede sujetar el obrero que se halla sentado en un piso áspero, s=0,6; el obrero pesa 700 N.
T=W
f s= s.FN
T=W FN W
W
Analizando al obrero: FN = 700 N
Resolución:
El peso máximo “W”; sucede cuando el obrero está a punto de resbalar.
W = 0,6 (700) W = 420 N
95
Estática
Jorge Mendoza Dueñas
Resolución:
Problema 5
Una vasija de 60 N de peso, descansa en una superficie horizontal; entre la vasija y el piso el coeficiente de rozamiento estático es 4/5; calcular la máxima fuerza sin que la vasija resbale. F
D.C.L. vasija
FN + F sen 37° = 60
60 N
Una caja de madera que pesa 100 N, sube resbalando a velocidad constante debido a la fuerza “F” paralela a la rampa de acero cuya inclinación con respecto al piso es de 37°; el coeficiente de rozamiento cinético entre la rampa y el cajón es de 0,2; calcular la fuerza F.
Equilibrio en el eje x:
FN
F
37°
7 ° n 3 S e 0 1 0
37°
. F N
S
f S =
F = 76 N
Dado que la caja de madera sube a velocidad constante, estará en equilibrio cinético. Equilibrio en el eje y: FN = 100 cos 37° = 80
x
1 0 0 C o s 3 7 °
100 N
Resolución:
Problema 7
El bloque “A” cae con rapidez constante, hay rozamiento en todas las superficies. Si ; W A= 10 N; calcular la magnitud de la fuerza F.
A
B
Analizando el cuerpo A
2 (0, 4) FN = 10 FN = 12,5 N
F
FN
A
k.FN
FN k.FN
FN
F
B R
Analizando el cuerpo B F = FN F = 12,5 N
Problema 8
Los tres bloques A; B y C de la figura pesan 200 N, 400 N y 300 N respectivamente. Calcular el coeficiente de rozamiento estático entre el bloque B y el piso, considerando que el bloque B está a punto de resbalar.
D.C.L. de cada cuerpo Peso B
10 N
96
FCos37°
F = 37,5 N
y
Resolución:
37°
FN
F
f S=S . FN
37°
Problema 6
° 7 3 n e S F
B 200 N
A
300 N
C
Estática
Física
Resolución:
D.C.L. de cada cuerpo
Analizando el cuerpo B. Verticalmente FN = 400 N Horizontalmente
FN
200
300
B
f S=S . FN 400 N
200
300 N
A
C 200 N
Problema 9
A través de una habitación debe moverse un sofá de 400 N de peso, los coeficientes de rozamiento y . Hallar la fuerza horizontal necesaria. A) Para iniciar el movimiento del sofá. B) Para mantener el sofá en movimiento con velocidad constante.
300 N
B) Para mantener el sofá moviéndose a velocidad constante, debemos contrarrestar la fricción cinética (f k). Verticalmente: FN = 400 N Horizontalmente:
Resolución:
A) La fuerza para iniciar el movimiento equivale a la fricción estática máxima (f s). Verticalmente: FN = 400 N FN Horizontalmente: F = 0,4 . 400 F = 160 N
400 N
FN
F = 0,3 . 400 F = 120 N
F
f = . F FN k k N 400 N
f s=s . FN
Resolución:
Problema 10
Calcular las fuerzas normales que deben ejercer las paredes móviles sobre el bloque cuyo peso es 10 N para que pueda mantenerse en equilibrio.
D.C.L. (bloque)
FN1
FN2 10 N
newton
=0,2
=0,3
f 1=0,2FN1
f 2=0,3FN2
Luego newton
97
Estática
Jorge Mendoza Dueñas
3 Problema 1
30°
30°
La figura muestra dos esferas de 40 N, cada una en reposo. Determine la lectura del dinamómetro. (g=10 m/s2).
Dinamómetro
2 T sen 30° =2 T 1 cos
P
T = 2 T 1 cos .... D.C.L. de una esfera
El tringulo vectorial
T1
Resolución:
T1
D.C.L. del nudo. y
T
Descomponiendo fuerzas
y
T 30°
30°
T1
T
T 30°
x
P
R
30°
40 R
40
x
Del triángulo T1 = 40 sec
en :
T = 2 (40 sec ) cos T = 80 N
T1
T1
T1 Resolución:
Problema 2
Un lápiz de peso 0,10N está colocado verticalmente sobre un resorte en un plumero cerrado, al dar la vuelta a éste , el lápiz comenzó a presionar sobre la tapa con una fuerza 1,2 veces mayor. ¿Con qué fuerza el lápiz presionaba inicialmente sobre la tapa?
D.C.L. (1° Caso) Tapa
D.C.L. (2° Caso)
R=?
F L
0,10N F
L 0,10N
Tapa
1,2 R
1er Caso
2do Caso
Problema 3
El sistema mostrado se encuentra en equilibrio y el cilindro homogéneo es de 120 N y R = 5r. Determinar el máximo peso “W” del bloque, (desprecie la fricción).
R r
W Resolución:
98
Del 1° Caso : F = R + 0,10 ... Del 2° Caso : 1,2R = F + 0,10 ... 1,2R = (R+0,10) + 0,10 en : R=1N D.C.L. del cilindro W será máximo cuando el cilindro esté a 120 N punto de subir el obstáculo, momento en el cual R1=0 y ten- T=W dríamos tres fuerzas r 5 4r en equilibrio. 53° r El triángulo vectorial ) 0 3 ( 5 = 2 R
R2
3r R1=0
120=4(30)
W=3(30)
Luego:
W = 90 N
Estática
Física
Problema 4
Hallar “F” para que la cuña “A” suba con velocidad constante. Despreciar toda fricción. W A = 200 N WB = 400 N
A
W A
y
400 N
R
B
30°
En la cuña “B” 60°
F
F
WB
F
400 N
Resolución:
RSen60°
x
RCos60° R
En la cuña “A” 60° FN1
R
200 N
60°
R = 4 0 0 N
F = R sen60°
30°
30°
200 N
Problema 5
Si el bloque de 200 N, está a punto de resbalar. Determine la deformación del resorte de K = 10 N/cm
S
D.C.L. del punto “P” K(x)
53°
0,3
Triángulo vectorial:
T=60
P
P 53°
vertical
) 0 2 ( 5 = ) x ( K
Peso=4(20)
53°
Peso
60=3(20)
Resolución:
K(x) = 100 newton
D.C.L. del bloque
En el bloque actúa la máxima fuerza de rozamiento. . FN = 200 newton .
200 N
T
fS max
FN
x = 10 cm
T = 0,3 (200) T = 60 newton Problema 6
Resolución:
En la figura mostrada, determinar la reacción que ejerce el plano inclinado sobre la barra, sabiendo que la barra tiene un peso de 75 N y la tensión de la cuerda BC paralelo al plano inclinado, es igual a 21 N. No hay rozamiento.
N 2 1
R
C
B
Nótese que:
Para que se produzca el equilibrio, las tres fuerzas deben ser concurrentes.
75 N Formando el polígono cerrado. 21 N
A
D.C.L. (Barra)
75 N
R
752 = 212 + R2 R= R = 72 N
99
Estática
Jorge Mendoza Dueñas
Resolución:
Problema 7
Si el sistema presenta movimiento inminente. Hallar el coeficiente de rozamiento estático entre la barra y el cilindro. (Considere el resorte vertical).
53°
Comoquiera que F y W son verticales, para mantener el equilibrio: R tendrá que ser también vertical como se muestra. D.C.L. barra R: es la resultante de “FN” y “f” W 53
F
Luego:
37°
Resolución:
Problema 8
En la figura se muestra una barra homogénea de 160 N y una esfera de 60 N en equilibrio mecánico. Determine el ángulo .
D.C.L. de la barra
Triángulo vectorial
R
60 N
Polea lisa
80N
Vertical
R
80N
160 N
60 N
Observamos que: Resolución:
Problema 9
Una placa triangular equilátera de 100 N se mantiene en la posición mostrada. Determine el módulo de la fuerza de rozamiento en Q; (g = 10 m/s 2). D.C.L. de la placa
Ordenamos las tres fuerzas concurrentes: Dela terna de vectores, mediante la ley de senos :
Vertical
Q
30° 30°
30° 60°
60°
60°
60°
R
100 N
Por otro lado, hay que notar que “R” es la resultante de la reacción normal “FN” y la fuerza de rozamiento f; luego: f = Rsen 60° f = 50 N
100 N
100
T
T
Estática
Física
5. MOMENTO DE UNA FUERZA - 2DA CONDICIÓN DE EQUILIBRIO b) Representación gráfica del Momento de una Fuerza.
5.1. MOMENTO DE UNA FUERZA. Se le llama también TORQUE; es una magnitud vectorial, cuyo valor mide el efecto de giro que se produce una fuerza sobre un cuerpo alrededor de un punto o eje.
con respecto a un punto, se representa mediante un vector perpendicular al plano de rotación y el sentido se determina aplicando la regla de la mano derecha.
d F 1
o
d F
d) Casos más comunes.
F
a) Cálculo del Momento de una Fuerza con respecto a un Punto ( ).
o
d
o
d
respecto a un punto “o”, se calcula multiplicando el valor de la fuerza F con la distancia perpendicular desde el punto “o” a la línea que contiene la fuerza.
F
F
o
d
Si la fuerza “F” no se presenta normal a la distancia “d”; el momento de dicha fuerza respecto al punto “o” es: ; donde “ “ es la componente perpendicular de “F” respecto a “d”.
Notar que si la línea recta que contiene la fuerza pasa por el punto de rotacin, la distancia perpendicular entre el punto “o” y dicha fuerza es cero, por tanto el momento de esta fuerza también ser cero.
F
o
F o
Fx
d
d
Fy
d s e n
101
Estática
Jorge Mendoza Dueñas
e) Signo del Momento de una Fuerza.
Una fuerza aplicada a un cuerpo, puede hacerlo girar en el sentido de las agujas del reloj (horario) o contrario a ellas (antihorario). Es común asumir la siguiente convención: f u e r z a
fuerza
Horario
Antihorario
brazo grande
o z a r b
giro
giro
O Al aplicarse la fuerza al martillo apoyado éste sobre un punto “o”, se produce un efecto de rotación (momento) que hace girar el martillo - clavo con respecto a dicho punto.
punto de apoyo
Al encontrarse demasiado duro el contacto del perno, es muy dificil extraerlo con una llave por más grandiosa que sea la fuerza; por tal motivo se suele aumentar el brazo de palanca con ayuda de una barra.
La obtención de un momento de giro enorme con la ayuda de una palanca grande, condujo a Arquimedes a afirmar: “Dadme un punto de apoyo y moveré la tierra”. Sin embargo lo que no tuvo en cuenta Arquímedes, fue que la tierra no está sola, sino que pertenece a todo un sistema (el sistema solar, éste a la vía láctea y la totalidad al universo).
5.2 CONDICIÓN DE EQUILIBRIO PARA FUERZAS NO CONCURRENTES. Supongamos el caso de una placa en la cual actúan tres fuerzas concurrentes (fig. a). Para garantizar el equilibrio del cuerpo, solo basta comprobar: y (primera condición de equilibrio). Pero ¿qué sucede si las fuerzas no pasan todas por un mismo punto? (fig. b). Según el análisis anterior: y Estas expresiones garantizan la ausencia de traslación pero no la de rotación. Efectivamente, en la barra mostrada la resultante de fuerzas es cero, sin embargo ella está girando; en el caso particular de nuestra barra, dicha rotación se debe a la presencia de una cupla (par de fuerzas). Una cupla, son dos fuerzas iguales y de sentido contrario separadas una distancia “d”. la resultante de estas fuerzas es cero, pero su momento no; al actuar una cupla sobre la barra, el objeto gira pero no se traslada. Es por ello que cuando las fuerzas no pasan por un mismo punto, hay que agregar una nueva ecuación. (Ecuación de momentos); al igualar la suma de momentos a cero, se garantiza el equilibrio de rotación.
barra d
placa
fig. a
102
fig. b
Estática
Física
M
giro
-F
F
−F
M
F
M = Fd
d
El momento de una cupla o par de fuerzas, se calcula multiplicando el valor de la fuerza F por la distancia perpendicular que las separa.
F
F Para introducir el sacacorcho es necesario aplicar un par de fuerzas.
Para hacer girar el volante de un auto, se aplica un par de fuerzas.
5.3 SEGUNDA CONDICIÓN DE EQUILIBRIO. Para que un cuerpo permanezca en equilibrio, bajo la acción de fuerzas aplicadas que no pasan necesariamente por un mismo punto, debe cumplirse: ....................................................................
Garantiza que no hay traslación en “x”.
....................................................................
Garantiza que no hay traslación en “y”.
....................................................................
Garantiza que no hay rotación.
Recomendaciones:
Es conveniente tomar momentos respecto a un punto que anule alguna incógnita. Generalmente es el punto de apoyo. No siempre es necesario usar las tres ecuaciones para resolver el problema; algunas veces basta usar la ecuación de momentos. Ejemplo Resolución Una barra de longitud 2 m y 100 N de peso, D.C.L. (Barra) está sostenida por una cuerda que forma 30° como indica la figura. Calcular la tensión en la cuerda. Suponer que el peso de la barra está aplicado en el centro de la misma. ° 0 3 n e s 2
RH A 30
T + 2m
30°
T(2 sen30°) - 100(1) = 0
RV
-
1m
A
El centro de momentos puede ser cualquier punto, no obstante conviene elegirlo de manera que anule alguna incógnita: en nuestro caso “A”.
T = 100 N
100 N
5.3 UNIDAD DE MOMENTO EN EL SISTEMA INTERNACIONAL. MOMENTO Nombre
newton . metro
Fuerza
Distancia
newton
metro
Símbolo
N.m
Otras unidades: kg . m ; g . m ; lb . pie
103
Estática
Jorge Mendoza Dueñas
6.
CENTRO DE GRAVEDAD.
6.1
TEOREMA DE VARIGNON.
El momento de la resultante de varias fuerzas que actúan sobre un cuerpo, respecto a cualquier punto, es igual a la suma de los momentos de dichas fuerzas. ¿Qué significa esto? Supongamos que tenemos un sistema de fuerzas F 1; F2 y F3; procedemos a determinar la resultante.
A
A
Teorema de Varignon:
6.2 RESULTANTE DE UN SISTEMA DE FUERZAS PARALELAS. Para determinar la resultante (R) de dos o más fuerzas paralelas, se suman algebraicamente sus módulos; su punto de aplicación (x) se determina aplicando el Teorema de Varignon. Ejemplo
Cálculo de x: Se traza un sistema de coordenadas rectángulares, cuyo origen es arbitrario; nosotros elegiremos como origen, la parte izquierda de la barra.
Se tiene una barra ingrávida (sin peso) en el cual se aplican varias fuerzas, como se muestran en la figura. Determinar la fuerza resultante y su posición.
20 N
x Posición asumida
y
20 N
0
Resolución
104
+
Aplicando el teorema de Varignon:
Cálculo de R: R = 10 + 5 20 = 25
-25(x) = -10(1) + 5(3) - 20(5)
Luego: R = 25 N (hacia abajo)
-25x = -95
x = 3,8 m
x
Estática
Física
6.3 CENTRO DE GRAVEDAD. Todo cuerpo está compuesto por un conjunto de partículas, las cuales están sujetas a la atracción gravitatoria, produciendo así el peso de cada partícula. Si consideramos paralelas los vectores peso y nos apoyamos en el principio “resultante de un sistema de fuerzas paralelas”, podemos afirmar que la resultante de los diminutos vectores que componen el cuerpo toma el nombre de “peso del cuerpo”, cuyo punto de aplicación se denomina centro de gravedad.
W (peso) El centro de gravedad es el punto donde se encuentra concentrado el peso de un cuerpo.
Características del Centro de Gravedad.
C.G
El centro de gravedad de un cuerpo puede estar dentro o fuera de él. El centro de gravedad de un cuerpo quedará perfectamente determinado con respecto a un eje de c oordenadas, por una abscisa (X) y una ordenada (Y). El centro de gravedad no varía con la posición, pero si depende de su forma geométrica. Si un cuerpo presentase un eje de simetría, el centro de gravedad se encontrará en un punto contenido en dicho eje. Si a un cuerpo se le aplica una fuerza igual al peso, pero en sentido contrario y en el centro de gravedad, dicho cuerpo permanecerá en equilibro, independientemente de lo que pudiera inclinarse el cuerpo respecto al centro de gravedad.
6.4 CENTRO DE GRAVEDAD DE ALGUNOS CUERPOS. a) Líneas Segmento de recta
Semi - circunferencia
y
y
C.G R
C.G
x
L
x
Cuadrado, rectángulo, paralelogramo, rombo y
Cuarto de circunferencia y
C.G
C.G
b a
x
R
x
105
Estática
Jorge Mendoza Dueñas
b) Áreas
c) Volúmenes Cuadrado, rectángulo
Esfera z
C.G
y
R x
Triángulo
Cono z
b H
C.G
h y
0 x
Círculo
Prisma z
CG H
R
y x
Semi - círculo
Semi-esfera z C.G
0
y
x R
R
Cuarto de círculo
Pirámide z
H
C.G.
y
x
106
Estática
Física
¿Cómo se calcula el centro de gravedad de un cuerpo? Primero es preciso descomponer el cuerpo en varias figuras conocidas, luego se calcula el peso de cada una de ellas, instalando sus respectivos vectores peso en el C.G. parcial de cada figura (línea, área o volumen); finalmente se aplica el principio “resultante de un sistema de fuerzas paralelas” obteniendo así el C.G. del cuerpo to tal.
El centro de gravedad de un cuerpo, también se puede determinar en función de las longitudes, áreas, volúmenes de éste, solo bastará reemplazar “peso” por “L”, “A” o “V”. Ejemplo
Resolución
Calcular el centro de gravedad de la placa homogénea mostrada. y 5m
Figura 1: A1 = 25
5m
Figura 2: A2 = 10
2m x
Y = 2,07
10 m
Resolución
Centro de gravedad Y:
Centro de gravedad X:
Centro de gravedad: C.G = (3,93 ; 2,07) m
Descomponiendo la placa en dos: y CG 1
2,5 m
CG 2
2,5
1m x
7,5
X = 3,93 m
6.5 FUERZAS DISTRIBUIDAS. Muchas veces un cuerpo se ve afectado por la acción en un conjunto de fuerzas que entre si forman una figura geométrica (rectángulo, triángulo, trapecio, etc.); este conjunto de fuerzas toma el nombre de fuerzas distribuidas.
q L
Siendo:
q = Carga o peso por unidad de longitud L = Longitud donde actúa “q”
107
Estática
Jorge Mendoza Dueñas
Problemas Resueltos
Problema 1
Calculando la posición:
Se tiene una barra sin peso como se muestra. Calcular el valor de la fuerza resultante y su posición
Resolución:
R = 20 40 R = 60 N
R = 60 N
Teorema de Varignon: Rx = 20(0) 40 (3)
hacia abajo
60x = 120
x=2m
Resolución:
Problema 2
Se tiene una barra homogénea cuyo peso es de 100 N. Calcular el valor de la fuerza resultante y su posición respecto a la fuerza de 50 N.
1m
2m
2m
R = 50 + 20 – 30 – 100 R = 60 R = 60 N
1m
hacia abajo
1m
4m
-R(x) = 50(0) – 100(2) – 30(4) + 20(5) -60x = -200 – 120 + 100 x = 3, 66 m
1m
Problema 3
Hallar la suma de los momentos respecto al punto “A” según el caso.
A
A
Resolución:
108
El signo negativo indica que el cuerpo gira respecto al punto “A” en sentido horario.
Estática
Física
Problema 4
Resolución:
Hallar el momento resultante respecto al punto ”O”. Cada cuadrado tiene lado “a”.
F
F a F
F
a
F
Problema 5
Un tablero uniforme de 480 N de peso y 3,6 m de longitud, se encuentra en reposo horizontalmente sobre dos caballetes. ¿Qué fuerza ejerce el caballete B?
A
A B
B
Resolución:
Equilibrio: 480 (1,8) + RB (2,4) = 0
Dado que el tablero es uniforme, su peso (480 N) se representa en el centro del mismo.
T
En una varilla de aluminio de peso despreciable se han suspendido dos esferas, una de ellas pesa 6 N. Calcular. a) El peso de la otra esferita. b) La tensión en la cuerda que sostiene la varilla.
O 6N
W
Resolución:
Dado que el peso de la varilla es despreciable, no será representado.
RB = 360 N
Nótese que R A no produce momento respecto al punto A.
Problema 6
6N
W
Equilibrio: 6 (0,3) + ( W x 0,1) = 0 W = 18 N Verticalmente : Fv = 0 T=6+W T = 24 N
109
Estática
Jorge Mendoza Dueñas
Resolución:
Problema 7
Se muestra una tabla uniforme horizontal de 40 N de peso y 8 m de longitud, en uno de sus extremos cuelga una pesa de 10 N. Determine las tensiones en las cuerdas A y B:
A
T A
TB 6m
A
4m 40 N 8m
B 6m
2m
10 N
Equilibrio: 40 x 4 + T B x 6 + ( 10 x 8) = 0
10 N
TB = 40 N
Verticalmente: T A + TB = 40 + 10 T A = 10 N
Resolución:
Problema 8
8m
Una viga homogénea de 800 N, está soportada por dos cables. Una persona de 600 N de peso se encuentra de pie sobre la viga, calcule las tensiones en los cables.
T A 3m
TB
600 N
A 800 N
4m
3m
5m
Equilibrio: 600 x 3 + ( 800 x 4) + T B x 8 = 0 TB = 625 N
Verticalmente: T A + TB = 600 + 800
Problema 9
Resolución:
Hallar F que mantiene la placa en equilibrio si su peso es despreciable. O
40 cm
600 N 30 cm
F
110
O
40 cm 37°
600 N
53°
3 2 c m
30 cm
Equilibrio: F
F x 32 + ( - 800 x 40) + 600 x 0 = 0 F = 1 000 N
800 N
T A = 775 N
800 N
Estática
Física
Problema 10
Equilibrio:
El peso de la barra uniforme en equilibrio es de 9 N, mide L y en su extremo cuelga un bloque de 6 N. La fuerza “F” que permite el equilibrio es horizontal y actúa en el punto medio de la barra, halle: a) La fuerza F. b) La reacción en la articulación “o”. F O
6N 37°
F = 28 N Verticalmente:
Resolución:
Ry = 9 + 6
D.C.L. (Barra) F
6N
Rx 37° A Ry
9N
Ry = 15 N
Horizontalmente: FH = 0 Rx = F = 28 N
Finalmente:
R = 31,8 N
2 Resolución:
Problema 1
Una viga homogénea y uniforme tiene un peso de 600 N y mide 4 m, está articulada en 0, y se mantiene horizontalmente amarrado por un alambre desde su extremo hacia la pared, calcule la tensión en este alambre.
Rx
° 7 3 n e s 4
T
O Ry
600 N
2m
Alambre O
37°
Equilibrio: T . 4 sen 37 + ( 600 x 2 ) = 0
Problema 2
Se muestra una varilla articulada de 4 N de peso dispuesta verticalmente. Calcule la tensión en el cable cuando F es horizontal y mide 10 N.
37°
4m
37°
T = 500 N 2m
F = 10 N
3m o
111
Estática
Jorge Mendoza Dueñas
Resolución:
F = 10 N
37°
T
5 s e n 3 7 °
T x 5 sen 37° + ( - F x 3) = 0 3m 5m
4N O
Equilibrio:
Rx
T = 10 N
Ry
Resolución:
Problema 3
El diagrama muestra la fuerza F que se necesita para soportar la carretilla cuyo peso total, incluyendo la carga, es de 1 800 N, Calcule: A) La fuerza F B) La reacción normal (N) sobre la rueda. 1m
F x 1,5 + 1 800 x 0,5 = 0
F = 600 N
0,5 m Eje
F
N
1 800 N
A) Equilibrio:
B) Verticalmente: F + N = 1 800 F + 600 = 1 800 F = 1 200 N
Resolución:
Problema 4
T
Un dinamómetro se ha instalado en el cable que sujeta la barra uniforme de 60 N de peso. Halle la lectura de este dinamómetro. Rx
Dinamómetro
30°
2 L s e n 3 0 °
O
80 N
L
L
80 N
60 N
60° L cos 60° 2L cos 60°
Ry
30°
Equilibrio:
60° T . 2 Lsen 30° + (- 80 x 2 Lcos 60°) + (-60 x Lcos 60°) = 0 T = 110 N
Un alambre homogéneo es doblado formando un ángulo ““. Determine el valor de este ángulo para que exista equilibrio en la posición mostrada. Dar como respuesta el coseno del ángulo.
112
Horizontal
L
Problema 5
g
3L
Estática
Física
Resolución:
Asumiremos la existencia de dos alambres: L y 3L Dado que el alambre es homogéneo:
Equilibrio:
WL = kL ; W3L = k(3L)
L/2
D.C.L.
3L cos -L 2
KL O Ry
3L cos 2
3KL
Problema 6
Se muestra dos poleas solidarias, cuyos radios están relacionados de 1 a 4, si P = 1 600 N. Hallar el peso de “A” para el equilibrio.
T2 = W A . Sen53°
...
Analizando las poleas:
r
4r O
4r
A P
T2
r
53°
P
Resolución:
T2
Analizando el bloque A.
y
R
3 ° s 5 53° c o W A
W
3 ° n 5 e s W A
x
Problema 7
Una barra homogénea de longitud “L” y peso “W” se encuentra en movimiento inminente. Hallar el coeficiente de rozamiento estático en el plano horizontal.
...
=
W A = 500 N Resolución: D.C.L. (barra)
L
° 5 4 s o c L
L
2
f = s FN
45°
T
45°
W
O FN
L cos 45°
113
Estática
Jorge Mendoza Dueñas
en
............... W = 2T
...
FN = W En :
T = f
... Problema 9
En la figura, calcular el valor de mínimo para que la barra homogénea se encuentre a punto de resbalar.
FN = P ..............
Liso
Para que sea mínimo, tendrá que ser máximo ( )
s
min= ?
Resolución:
.............
D.C.L. (barra)
A
en
R
L/2
L sen
L/2
ctg = 2 (0, 5)
min = ?
f
P
F
L/2 cos
ctg = 1 = 45°
N
L cos
Resolución:
Problema 10
Se muestra una barra homogénea MSQ de 9 kg en la posición mostrada. Determine la tensión en el punto medio de la barra AB. (MS = 2 SQ). polea lisa
horizontal
D.C.L.
R 2k 2k
T
M
B
114
3k
M
53°
T
5k
Q
53°
A
3k
5k
Q
30 N S
W
S
60 N
Estática
Física
En el punto medio de la barra:
Ti 30 (8K) + 60 (3K) = T (10 K) T = 42 N
Ti = 21 N
W = 42 N
W/2
3 Resolución:
Problema 1
O
Se muestra una barra homogénea de 600 N, apoyada sobre una pared lisa. Determine el valor de la fuerza de rozamiento necesario para mantener a la barra en reposo.
4m
FN
30°
30°
f
2
3m m 2
600 N
60°
30°
m 4
FN
3m
1
1m
+ f(4) 600 (1) = 0
f = 120 N
D.C.L. (esfera)
Problema 2
R = 80 3 newton
FN
Determine la lectura del dinamómetro, si el sistema se encuentra en reposo y la esfera es de 120 N (desprecie la fricción). Dinamómetro
30 30
FN = 40 3 newton
4r
120 N
ideal Vertical 60
120 newton
R
r
D.C.L. (barra) 2r
T 60
30°
FN W
Resolución: O
Liso
Problema 3
La placa cuadrada homogénea de 20 N y 2 m de lado, se encuentra en equilibrio mecánico. Determine la reacción en la articulación.
rticulación
115
Estática
Jorge Mendoza Dueñas
Resolución:
2 m m 2
Q
O
FN
Finalmente:
P Ry
H
R
Rx
R = 70 N
Problema 4
Resolución:
En la figura se muestra un cilindro homogéneo en equilibrio mecánico. Determine el módulo de la fuerza de rozamiento, si el dinamómetro indica 120 N.
120 N O r
Dinamómetro
3r
3r
FR
FN r
W
Problema 5
En la figura el sistema se encuentra en reposo. Determine la longitud de la barra homogénea, desprecie la fricción.
...........
De la 1ra condición de equilibrio: 30°
Resolución:
x / 2 x / 2
W
FN2
30°
116
5 0 c m
60°
En (1) tenemos:
FN1
30°
H
Estática
Física
Resolución:
Problema 6
FN
En la figura mostrada se tiene una barra homogénea de 120 N. Determine la compresión del resorte, desprecie la fricción; K = 20 N/cm.
5a
1
5a
O 6a Kx 4a
R
120 FN
O 3p
2
Kx = 100 N
2p
120 (5a) = Kx (6a)
x = 5 cm
T (8b) = T (6b) + 120 (3b) 2T = 120 x 3 T = 180 N
Problema 7
El sistema que se muestra se encuentra en equilibrio mecánico. Determine el módulo de la fuerza que ejerce el piso sobre el bloque de 200 N si la barra homogénea pesa 120 N.
T 53° 37°
Polea ideal
T
5b
8b 37°
37° 120 N
T
5b
A 3b R
Resolución:
De la 2da condición de equilibrio en la barra:
FN
3b
200 N
En el bloque: T + FN = 200 180 + FN = 200 FN = 20 N
Problema 8
f
M
La barra homogénea de 10 N de peso se encuentra en reposo. Determine el módulo de la reacción en “M”.
FN
3b
= 0,5
M
N
10 N 4b
3b
8b
4b
R1
10(4b)=FN(3b)+0,5FN(8b)
Resolución:
117
Estática
Jorge Mendoza Dueñas
Resolución:
Problema 9
(L/4) cos - (L/2) sen
(L/4) sen
Se muestra una barra homogénea doblada por la mitad. Determine “tg ”si la barra se encuentra en equilibrio.
O
L/4 L/4
W
L/4
W
L/4
Resolución:
Problema 10
Si el sistema se encuentra en reposo, además la esfera y el bloque son de 180 N y 50 N respectivamente. Determine la lectura del dinamómetro ideal.
R 2r
O r
T1
polea homogénea
180 N
W
T1
180 N
r
50 N
R=2r
Dinamómetro
Polea lisa
Analizando la polea: T1 . (2r) = 180 . (r) T1 = 90 N
118
T
180 N
Analizando el bloque: T1 = 50 + T 90 = 50 + T T = 40 N
Estática
Física
Ley de los Cohetes Todos los cohetes son motores de reacción. Su sistema de propulsión se basa en la tercera ley de Newton, que establece que a cada acción le corresponde una reacción de igual magnitud y sentido con trario. En un cohete la “acción” es la salida de gases calientes a gran velocidad desde una tobera ubicada en su cola,y la “reacción” hace que el cuerpo del cohete salga disparado en el otro sentido. Este principio es común en nuestro entorno y puede demostrarse fácilmente al inflar un globo y soltarlo.
En el caso de un cohete se aplican condiciones de propulsión similares. Al quemar combustible en una cámara de combustión se produce un gas caliente bajo gran presión y este gas ejerce una presión igual en todas direcciones sobre las paredes de la cámara. Si ahora se hace una abertura (tobera) en un lado de la cámara, el gas saldrá a velocidades supersónicas, al mismo tiempo, una fuerza de reacción será ejercida en el lado opuesto de la cámara, y ésta es la fuerza de reacción o “empuje” que impulsa el cohete hacia arriba. Por esta razón; un cohete puede funcionar independientemente del aire de la atmósfera y en las condiciones cercanas al vacío del espacio exterior; ya que no requiere (como en el caso de los aviones tipo Jet) empujar al aire por detrás de él. La presencia de aire es de hecho un problema para los cohetes, ya que ofrece resistencia al movimiento y eso hace que al principio del lanzamiento se muevan más lentamente que en los ambientes menos densos a medida que se elevan.
Fuerzas en un arco Cuando las fuerzas actúan sobre el lado convexo: Analizando el peso P de la piedra central; dichafuerza presiona la piedra hacia abajo pero la geometría del conjunto lo impide, lo que se consigue es presionar mediante sus componentes a la piedras vecinas, sin embargo estas componentes se ven anuladas por fuerzas semejantes que generan las piedras contiguas.
119