PECs de Física Computacional II Grado en
Física, UNED UNED Curso 2017/18 PEC del Tema 3 Importante: Importante: Esta prueba pertenece a la modalidad de evaluación continua. Al pre- sentar esta prueba el estudiante acepta participar en la modalidad de evaluación continua con todas las consecuencias que ello implica. Para más detalles sobre las modalidades de evaluación, consulte la guía del curso.
Recomendaciones para la realización y la entrega de las Pruebas de Evaluación Continua (PECs) Consulte en las preguntas frecuentes del curso virtual las indicaciones dadas sobre las Pruebas de la Evaluación Continua. Forma de entrega de la memoria: Redacte un escrito usando us ando (en la medida de lo posible) algún procesador de texto. Entregue en el curso virtual el documento en formato PDF, dentro de la
herramienta ‘‘Entrega de trabajos”, nombrando al fichero como Apellido1-Apellido2-InicialdelNombre.pdf Contenido de la memoria: Dé respuesta a las cuestiones planteadas incluyendo explicaciones explicaciones detalladas, razonamientos razonamientos y desarrollos. En la resolución de las PECs se deberán utilizar los métodos numéricos estudiados en la asignatura. Los cálculos pueden simplificarse simplificarse realizando pequeños programas programas informátiinformáticos. En ese sentido, s entido, se recomienda aprovechar los conocimientos de Física Computacional I y ejercitarse con la programación. En el caso de que así sea, los listados de los códigos deberán adjuntarse al final de la memoria como apéndices. No se admitirán como válidas soluciones obtenidas con programas programas de lenguaje simbólico o similares en los que el alumno haya utilizado funciones propias del programa. programa. Por ejemplo, si se debe resolver un sistema de ecuacio- nes, una integral, una derivada, etc., debe plantearse un método de solución s olución del problema concreto basado en alguna de las técnicas estudiadas en el curso y no calcularse la solución usando alguna función propia o comando de dichos programas. No obstante, se puede hacer uso de programas de cálculo simbó- lico como comprobación de la
resolución personal y adjuntarse también en la memoria como anexos.
Enunciado de la PEC3, Curso 2017/18 Una tabla para datación por carbono 14 relaciona la cantidad del isótopo 14C y del isótopo 12C encontrada en distintas muestras en función de su antigüedad. N14 C
i
N12 C
Antigüedad (años)
0
0.78
2053.9413
1
0.80
1844.6480
2
0.82
1640.5230
3
0.84
1441.3171
4
0.86
1246.7989
5
0.88
1056.7528
6
0.90
870.9777
7
0.92
689.2859
Se quiere estimar la edad de una muestra en la que la proporción N14C
es 0.8705 N12 C
a partir de los datos mostrados en la tabla anterior.a) Determine su edad utilizando un polinomio de interpolación de Lagrange de orden 2, usando los puntos i = 3, 4 y 5 de la tabla. Repita el cálculo usando los puntos i = 4, 5 y 6. Comente las diferencias encontradas. b) Determine ahora ahora su edad utilizando un polinomio polinomio de interpolación cúbico hacia adelante con punto de partida el dato correspondiente a i = 2. Repita la estimación del valor usando otro polinomio de interpolación interpolación cúbico hacia hacia adelante con punto de
partida i = 3. Sabemos que la antigüedad t de la muestra se puede ajustar a la fórmula t1 2
t = −ln
N14C
12
ln (2)donde t 1 = 5730 años es el periodo de semidesintegración del carbono 14. 2
c) Estime el error absoluto cometido con las 4 aproximaciones obtenidas en los apartados a) y b). Discuta los órdenes de magnitud de los errores calculados. d) Estime el error cometido con las aproximaciones del apartado b) usando la regla del término término siguiente. e) Se define el error de una interpolación como n f (n+1)(ξ) E(x)= (n+1)! (x−xi) i=0
donde n es el grado del poliniomio interpolante, f (n+1) la derivada
n+1 de la función y ξ pertenece al intervalo que contiene todos los puntos utilizados. Represente Represente gráficamente, en el intervalo intervalo adecuado y para las aproximaciones del apartado b), las funciones de error dadas por la fórmula anterior usando aquellos aque llos valores de
ξ que, dentro del intervalo considerado, la maximizan y la minimizan. Discuta los órdenes de magnitud de los errores calculados en los apartados c) y d) para los polinomios interpolantes cúbicos, en particular, razone cómo influye en el error la elección de unos datos u otros para interpolar. Indique si estos errores, para x = 0.8705, se encuentran entre los valores máximo y mínimo calculados usando la expresión E(x).
SOLUCIONES
CUESTIONES a) El polinomio de Lagrange Lagrange de orden n viene dado dado por : (xj)∏=0,≠ P(x) = ∑=0
− −
Para estimar la edad que se pide de una muestra primero nos pi den usar el polinomio de orden 2 con los datos de la tabla i = 3, 4, 5 . En este caso los valores que se usan para el polinomio son : Tabla 1:
i 0 1 2
xi 0.84 0.86 0.88
f(xi) 1441.3171 1246.7989 1056.7528
En el apéndice se puede ver como con ayuda de Maxima se simplifica el polinomio que le he llamado Pa(x): Pa(x) = 5590.1250 x2 – 19229.1225 x + 13649.3878 Evaluando el polinomio con Maxima para la variable 0.8705 se obtiene el resultado, Pa(0.8705) = 1146.4671 En conclusión, mediante la interpolación de Lagrange usando un polinomio de orden 2 y usando estos datos de la tabla, se estima e stima la edad de la muestra en 1146.4671 años. Ahora se repite el proceso pero usando los puntos i=4,5,6 del enunciado. Los valores para elaborar el polinomio de interpolación son: Tabla 2:
i 0 1 2
xi 0.86 0.88 0.90
f(xi) 1246.7989 1056.7528 870.9777
De nuevo en el apéndice se puede ver como se define en Maxima el polinomio Pb(x) con los datos de la tabla, obteniendo: Pb(x) = 5338.7500 x2 – 18791.7300 x + 13459.1472 Se evalúa el polinomio en 0.8705 con Maxima y nos da el resultado:
Pb(x) = 1146.4922 La estimación de la edad de la muestra mediante el polinomio de Lagrange de orden 2 usando los datos de la Tabla 2 es de 1146.4922 años. La estimación de la edad de la muestra mediante estos dos polinomios de orden 2 es parecida, aunque existe una apreciable diferencia entre los dos de 0.0251 años.
b) Ahora se hará la estimación con un polinomio de interpolación interpolación cúbico para dos tablas de datos diferentes. Para la obtención de un polinomio de grado 3 se necesitan 4 pares de datos. La primera tabla de datos será: Tabla 3:
i 0 1 2 3
xi 0.82 0.84 0.86 0.88
f(xi) 1640.5230 1441.3171 1246.7989 1056.7528
Se obtiene el polinomio Pc(x) introduciendo los datos de la tabla en Maxima conforme a la fórmula para elaborar el polinomio de Lagrange de orden 3, ver apéndice: Pc(x) = -4491.666667 x3 + 17178.625000 x2 – 29193.435833 x + 16504.794200 Y evaluando el polinomio en 0.8705 con co n Maxima nos da: Pc(0.8705) = 1146.4807 La edad estimada de la muestra es de 1146.4807 años, usando un polinomio de interpolación de grado 3 y con esta tabla de datos. Se repite el proceso para la siguiente tabla de datos: Tabla 4:
i 0 1 2 3
xi 0.84 0.86 0.88 0.90
f(xi) 1441.3171 1246.7989 1056.7528 870.9777
El polinomio obtenido tras poner los valores en Maxima es: Pd(x) = -4189.583333 x3 + 16399.249999 x2 - 28523.294166 x + 16312.756199 Evaluando el polinomio en 0.8705 con Maxima nos devuelve el valor: Pd(0.8705) = 1146.4798 En este caso la edad estimada para la muestra mediante un polinomio de interpolación cúbico y con estos datos es de 1146.4798 años.
La diferencia en la estimación entre los dos polinomios cúbicos es de 0.0009 años, muchísimo menor que la calculada entre los polinomios de orden 2 del apartado anterior. Ya redondeando el resultado a los dos primeros decimales, las dos estimaciones para los polinomio cúbicos se sitúan en 1146.48 años, justo a medio camino para las estimaciones mediante los polinomios de orden 2, donde una era de 1146.47 años y la otra era de 1146.49 .
c) Ahora se conoce la fórmula que relaciona “la relación entre la c antidad de 14C y 12C
de una una muestra” y “antigüedad en en años de dicha muestra”. Llamando Llamando x a la 14 12 relación C / C y f(x) a los años de antigüedad se puede escribir la fórmula fórmula de la siguiente manera:
f(x) = -
5730 2
ln
Para hallar el error absoluto de las estimaciones hechas mediante polinomios de interpolación para un valor x, basta con calcular el valor absoluto de la diferencia entre la verdadera función y el polinomio, ambos evaluados en dicho valor x. Es decir, Eabsoluto = | f(x) – P(x) | En este caso el valor de x con el que se ha estado trabajando es 0.8705. En los apartados anteriores ya se evaluaron los diferentes polinomios de interpolación calculados para este valor de x. Ahora se evalúa la función f(x) en ese punto con ayuda de Maxima como se ve en el e l apéndice, siendo el resultado: f(0.8705) = 1146.48016 Finalmente se calculan los errores absolutos cometidos en e n las estimaciones hechas en los apartados anteriores mediante los polinomios de orden 2 y 3: Error absoluto de Pa, polinomio de grado 2 con datos de la Tabla 1: | f(0.8705) – Pa(0.8705) | = | 1146.48016 – 1146.46708| = 0.01308 Error absoluto de Pb, polinomio de grado 2 con c on datos de la Tabla 2: | f(0.8705) – Pb(0.8705) | = | 1146.48016 – 1146.49216| = 0.01200 Error absoluto de Pc, polinomio de grado 3 con c on datos de la Tabla 3: | f(0.8705) – Pc(0.8705) | = | 1146.48016 – 1146.48075| = 0.00059 Error absoluto de Pd, polinomio de grado 3 con co n datos de la Tabla 4: | f(0.8705) – Pd(0.8705) | = | 1146.48016 – 1146.47983| = 0.00033 Se aprecia una gran diferencia en el error para las estimaciones hechas mediante los polinomios cuadráticos y los polinomios cúbicos. Los primeros tienen un orden de magnitud en el error de -2 mientras que los segundos lo tienen de -4. Hay mucha más precisión en la estimación hecha he cha mediante los polinomios de interpolación cúbicos.
d) Se busca estimar el error cometido en las aproximaciones del del apartado b, con los polinomios cúbicos, usando la regla del término siguiente. La definición de error en una interpolación exige el conocimiento de la función para poder estimar el error. En caso de no conocerla se puede usar la regla del término siguiente, que consiste en usar para la estimación del error el valor del término siguiente que se sumaría al polinomio creado mediante las diferencias divididas. En general las diferencias divididas de unos valores tabulados (x i,f(xi)) se definen como: f 0[n] = f[x0,x1,…,xn] =
[1,2,…,]−[0,1,…,−1] −0
En el apartado b se han usado polinomios de grado 3 que mediante las diferencias divididas se escriben así: P3(x) = f 0[0] + (x-x0)f 0[1] + (x-x0)(x-x1)f 0[2] + (x-x0)(x-x1)(x-x2)f 0[3] El siguiente término que se escribiría si el polinomio fuera un grado mayor es lo que se definirá como el error para estos polinomios cúbicos. Por tanto para este caso se tiene como error: E(x) = (x-x0)(x-x1)(x-x2)(x-x3)f 0[4] La Tabla 3 del apartado b necesitamos aumentarla con el siguiente dato para poder calcular f 0[4] . Así construimos la siguiente siguie nte tabla con las diferencias divididas calculándolas mediante su definición general descrita antes: i 0 1 2 3 4
xi 0.82 0.84 0.86 0.88 0.90
f(xi)=f i[0] 1640.5230 1441.3171 1246.7989 1056.7528 870.9777
f i[1] -9960.295 -9725.910 -9502.305 -9288.755
f i[2] 5859.625 5590.125 5338.750
f i[3] -4491.6667 -4189.5833
f i[4] 3776.041667
La expresión del error será por tanto: E1(x) = (x-0.82)(x-0.84)(x-0.86)(x-0.88) 3776.041667 Y evaluando esta expresión para el valor x = 0.8705 se obtiene el error en la estimación mediante la regla del término siguiente al usar un polinomio cúbico con los datos de la Tabla 3. Esta evaluación la realizo con Maple, M aple, como lo escribo en el apéndice, y el resultado es: E1(0.8705)= -0.00058 Se realizan los mismos pasos para los datos de la Tabla 4. Se aumenta con el dato siguiente que corresponde y se calculan las diferencias divididas: i 0 1 2 3 4
xi 0.84 0.86 0.88 0.90 0.92
f(xi)=f i[0] 1441.3171 1246.7989 1056.7528 870.9777 689.2859
f i[1] -9725.910 -9502.305 -9288.755 -9084.590
La expresión del error será:
f i[2] 5590.125 5338.750 5104.125
f i[3] -4189.5833 -3910.4167
f i[4] 3489.583333
E2(x) = (x-0.84)(x-0.86)(x-0.88)(x-0.90) 3489.583333 Se evalúa la expresión para x = 0.8705 con ayuda de Maple, obteniendo el error en la estimación al usar un polinomio cúbico con los datos de la Tabla 4: E2(0.8705)= 0.00031 Estos errores comparados con los errores absolutos correspondientes co rrespondientes obtenidos en el apartado anterior son muy similares.
e) En el apartado b se usaron para la interpolación polinomios cúbicos, por la tanto en la fórmula que define el error de una i nterpolación se tiene que n=3. Así que en esta ocasión hay que usar en la fórmula la 4ª derivada de la función que en el apartado c llamé f(x). El resultado de esta derivada me la da Maple tras la orden 34380 que escribo en el apéndice, siendo ( ) . El valor se refiere a un valor que está 2 ^4
en el intervalo más pequeño que contenga a los puntos x i que se han usado para la interpolación, incluido el punto x del que se quería calcular la función, que en nuestro caso es 0.8705. Para completar los datos en la fórmula fórmula del error faltan los valores x i que se han usado para la interpolación. El primer polinomio cúbico se halló con los datos de la Tabla3 y el segundo polinomio cúbico con los datos de la Tabla 4. Introduciendo en Maple los xi de la Tabla 3, ver apéndice, se obtiene la siguiente expresión del error: 0.00190513 E1(x) = , con el valor comprendido entre 0.82 y 0.88. ^4 La función es monótona decreciente por lo que error puede acotarse en E1 (0.88) < E1 (0.8705) < E1 (0.82) Evaluando los valores en Maple como se especifica e specifica en el apéndice, se tiene: tiene : -0.00318 < E1 (0.8705) < -0.00421 La gráfica hecha con Maple muestra el posible valor de E 1(0.8705) que está en el intervalo entre -0.00318 y -0.00421
Para los xi de la Tabla 4, tras introducir los datos en Maple, se obtiene esta expresión para el error: 0.00111290 E2(x) = , con el valor comprendido entre 0.84 y 0.90 ^4
La función sigue siendo monótona decreciente así que el error puede acotarse en
E2 (0.90) < E2 (0.8705) < E2 (0.84) Evaluando los valores en Maple se tiene: 0.00170 < E2 (0.8705) < 0.00224 La gráfica hecha con Maple muestra el posible valor de E 2(0.8705) que está en el intervalo entre 0.00170 y 0.00224
Ahora voy a comparar los errores calculados para los polinomio de interpolación cúbicos, tanto para el obtenido con los datos de la Tabla 3 (puntos i=2,3,4,5 de la tabla del enunciado del problema) como con los datos de la Tabla 4 (puntos i=3,4,5,6 del enunciado). En el apartado c se calculó el error absoluto para la estimación hecha del punto 0.8705, y en el apartado d el error mediante la regla del término siguiente para el mismo punto. Los resultados obtenidos fueron los siguientes: Error absoluto (puntos i=2,3,4,5) = 5.9*10-4 Error absoluto (puntos i=3,4,5,6) = 3.3*10-4 Error término siguiente (puntos i=2,3,4,5) = -5.8*10-4 Error término siguiente (puntos i=3,4,5,6) = 3.1*10-4 Todos estos errores en la estimación del valor 0.8705 mediante un polinomio de interpolación cúbico se puede ver que tienen un mismo orden de magnitud de -4. Para un mismo conjunto de puntos elegido para la estimación, se observa un error muy similar tanto si se calcula el error absoluto como si se usa la regla del término siguiente, ligeramente más preciso este último método. Sin embargo se aprecia casi la mitad de error cuando los puntos elegidos para la estimación son i= 3,4,5,6 , tanto en el error absoluto como en el e l error calculado por el término siguiente. Esto es debido a que el valor 0.8705 está más centrado entre este conjunto de valores, haciendo los términos (x-xi) más pequeños en el cálculo del error. Es importante la elección de puntos para realizar el polinomio de interpolación, ya que cuanto más centrado esté el valor que se quiere estimar dentro del conjunto de puntos, más precisión precisi ón se conseguirá en la estimación.
APÉNDICE
A.a) Para la obtención del del polinomio de orden 2 de Lagrange con los datos de de la Tabla 1 defino el polinomio Pa(x) en Maxima con los datos de dicha tabla y pido que simplifique la expresión: Pa(x):=1441.3171*(((x-0.86)*(x-0.88))/((0.84-0.86)*(0.840.88)))+1246.7989*(((x-0.84)*(x-0.88))/((0.86-0.84)*(0.860.88)))+1056.7528*(((x-0.84)*(x-0.86))/((0.88-0.84)*(0.88-0.86)))$ ratsimp(Pa(x)); Maxima devuelve el polinomio en forma de fracción: (55901250*x^2-192291225*x+136493878)/10000 Finalmente le pido que evalúe el polinomio con el valor de la variable que nos pide el ejercicio: Pa(0.8705); Y devuelve el resultado que se buscaba: buscaba: 1146.467082531249 Obtención del polinomio de orden 2 de Lagrange con los datos de la Tabla 2. Se escriben en Maxima los datos para definir el polinomio Pb(x) y se pide que simplifique la expresión: Pb(x):=1246.7989*(((x-0.88)*(x-0.90))/((0.86-0.88)*(0.860.90)))+1056.7528*(((x-0.86)*(x-0.90))/((0.88-0.86)*(0.880.90)))+870.9777*(((x-0.86)*(x-0.88))/((0.90-0.86)*(0.90-0.88)))$ ratsimp(Pb(x)); Se obtiene el polinomio en forma de fracción: (13346875*x^2-46979325*x+33647868)/2500 Se evalúa el polinomio en el valor que nos pide el ejercicio: Pb(0.8705); El resultado que devuelve es: 1146.492157187499
A.b) Obtención del polinomio de Lagrange Lagrange de orden 3 con Maxima para los datos de la Tabla 3. Se ingresan los valores para obtener el polinomio y se pide que lo simplifique: Pc(x):=1640.5230*(((x-0.84)*(x-0.86)*(x-0.88))/((0.82-0.84)*(0.82-0.86)*(0.820.88)))+1441.3171*(((x-0.82)*(x-0.86)*(x-0.88))/((0.84-0.82)*(0.84-0.86)*(0.840.88)))+1246.7989*(((x-0.82)*(x-0.84)*(x-0.88))/((0.86-0.82)*(0.86-0.84)*(0.860.88)))+1056.7528*(((x-0.82)*(x-0.84)*(x-0.86))/((0.88-0.82)*(0.88-0.84)*(0.880.86)))$ ratsimp(Pc(x)); Maxima devuelve el polinomio de grado 3 en fracciones: Pc(x):=(-1)/30000*(134750000*x^3+(-515358750)*x^2+875803075*x+495143826) Se pide a Maxima que evalúe el polinomio para el valor 0.8705:
Pc(0.8705); El valor obtenido es: 1146.480747865624 Obtención del polinomio de Lagrange de orden 3 con Maxima para los datos de la Tabla 4: Pd(x):=1441.3171*(((x-0.86)*(x-0.88)*(x-0.90))/((0.84-0.86)*(0.84-0.88)*(0.840.90)))+1246.7989*(((x-0.84)*(x-0.88)*(x-0.90))/((0.86-0.84)*(0.86-0.88)*(0.860.90)))+1056.7528*(((x-0.84)*(x-0.86)*(x-0.90))/((0.88-0.84)*(0.88-0.86)*(0.880.90)))+870.9777*(((x-0.84)*(x-0.86)*(x-0.88))/((0.90-0.84)*(0.90-0.86)*(0.900.88)))$ ratsimp(%); El polinomio que devuelve es: -(158314728656919802572002984837500*x^3619689980450253520331558339633750*x^2+10778297546854561226648048 61187710*x616421578466922566247035464907457)/37787702513879462500509562500 Se pide a Maxima que evalúe el polinomio para 0.8705: Pd(0.8705); El resultado que nos da es: 1146.479828814843 1146.47982881484 3
A.c) Se define la función f(x) en Maxima para después poder evaluarla evaluarla en el punto 0.8705: f(x):=(-5730/(log(2)))*log(x)$ float(f(0.8705)); El valor devuelto es: 1146.480156872949
A.d) Evaluación mediante Maple de E1(0.8705): Escribo: Y me devuelve:
E := (x-.82)*(x-.84)*(x-.86)*(x-.88)*3776.041667 E(.8705) -0.0005801508057
Evaluación mediante Maple de E 2(0.8705): Escribo: E := (x-.84)*(x-.86)*(x-.88)*(x-.90)*3489.583333 E(.8705) Y me devuelve: 0.0003131903222
A.e) Cálculo de la 4ª derivada derivada mediante Maple de de la función que llamé f(x): Escribo: Y Maple devuelve:
diff((-5730/ln(2))*ln(x), x$4) 34380/(ln(2)*x^4)
Expresión del error E 1(x) introduciendo los datos correspondientes en Maple: Escribo: E(x):= (.8705-.82)*(.8705-.84)*(.8705-.86)*(.8705.88)*(34380/(ln(2)*x^4)*(1/4)) Y Maple devuelve: -0.1320535263e-2/(ln(2)*x^4)
Evaluación de las cotas máximas y mínimas de error para E 1(x) con Maple: Entrada: E(.88) Salida: -0.2202010139e-2/ln(2) Entrada: E(.82) Salida: -0.2920751398e-2/ln(2) Orden a Maple para la gráfica de E 1(x) acotada a los posibles valores de E1(0.8705): plot(E(x), x = .82 .. .88) Expresión del error E 2(x) introduciendo los datos correspondientes en Maple: Escribo: E(x):=(.8705-.84)*(.8705-.86)*(.8705-.88)*(.8705.90)*(34380/(ln(2)*x^4)*(1/4)) Y Maple devuelve: 0.7714017872e-3/(ln(2)*x^4) Evaluación de las cotas máximas y mínimas de error para E 2(x) con Maple: Entrada: E(.9) Salida: 0.7714017872e-3/(ln(2)*x^4) Entrada: E(.84) Salida: 0.1549399803e-2/ln(2) Orden a Maple para la gráfica de E 2(x) acotada a los posibles valores de E1(0.8705): plot(E(x), x = .84 .. .9)
