CAPITULO 1 PP1.- Determine la dimensión y la unidad de medida en el sistema internacional e inglés de las siguientes variables: a) La presión p, considere p=F/A, donde F es la fuerza y A el área. b) La energía potencial gravitacional, U, considere U= mgh, donde m es la masa, g es aceleración de la gravedad y h es la altura. c) La energía cinética, K, considere K=1/2 mv2 , donde m es la masa y v y la rapidez a) p=F/A =N/m2= Kgm/s2m2 =Pa p=F/A= lbf /in2 = psia b) U= mgh = (kg)(m/s2)(m)= kgm2/s2 =J U= mgh = (lb)(ft/s2)(ft)= lbft2/s2 c) K=1/2 mv2 = (kg)(m/s)2 = kgm2/s2 =J K=1/2 mv2 = (lb)(ft/s)2 = lbft2/s2 PP2.- Determine si las siguientes ecuaciones son correctas dimensionales. a) Vf= vi +ax b) X= vt +1/2 gt c) Fx= ½ mv2 PP3.- De las siguientes expresiones de medición geométrica de un tronco de un cono, ¿Cuál describe i) la circunferencia total de las caras circulares planas, ii) el volumen iii) el área de la superficie curva? PP4.- La ley de gravitación universal de Newton se representa por Donde F es la magnitud de la fuerza gravitacional ejercida por un objeto pequeño sobre otro, M y m son las masas de los objetos y r es la distancia. La fuerza tiene las unidades del SI kg m/s2. Cuáles son las unidades del SI de la constante de proporcionalidad G? PP5.- Realizar las siguientes conversiones: a) 20.3 in a km b) 30.4J a lb ft/s2 c) 27.8 cm3 a in3 d) 19.3km2 a ft2 PP6.-Una cisterna en forma cubica tiene lados de 4.2m, determine el volumen en litros, in3 y galones.
PP7.- Suponga que llenar un tanque de gasolina de 30.0 galones tarda 7.00 min. a) Calcule la rapidez a la cual el tanque se llena en galones por segundo. b) Calcule la rapidez a la cual el tanque se llena en metros cúbicos por segundo. c) Determine el intervalo, en horas, que se requiere para llenar un volumen de 1.00m3 a la misma rapidez (1galon=231 in3) PP8.- Realice las siguientes operaciones aritméticas: a) La suma de los valores medidos 756, 37.2, 0.83 y 2 b) El producto de (0.0032)(356.3) c) El producto (5.620)( ) CAPITULO 2 EP1.- Dos fuerzas actúan sobre un objeto en un punto de la siguiente forma: 100N a 170.0° y 100N a 50.0°. Calcular su resultante gráfica y algebraicamente. EP2.- Una oruga comienza moverse en un punto A, se arrastra 8.0 cm al ese, 5.0 cm al sur, 3.0 cm al oeste y 4.0 cm al norte hasta un punto B. a) ¿Qué tan lejos se encuentra la oruga de B a A en la dirección norte y en la dirección este? b) Calcular el desplazamiento de A a B gráfica y algebraicamente. EP3.- Calcule Algebraicamente la resultante de los siguientes desplazamientos coplanares: 20m a 30°, 40m a 120°, 25m a 180°, 42m a 270° y 12m a 315°. Compruebe su respuesta resolviendo gráficamente. EP4.- ¿Qué desplazamiento se debe sumar a otro de 50cm en la dirección +x para el desplazamiento resultante sea de 85 cm a 25°? EP5.- Exprese, en términos de vectores A y B, los vectores a)P, b)R, c)S, d)Q. R A
Q
P S
B
EP6.- Considere los tres vectores desplazamiento A = (3i-3j) m, B= (i-4j) m y C (-i+5j) m. Determine la magnitud y dirección del vector: a) D= A+B+C b) E=-A-B+C EP7.- Un collarín que puede deslizarse sobre una barra vertical se somete a las tres fuerzas mostradas en la figura
EP8.- Determine la fuerza resultante de las tres fuerzas que actúan sobre el bloque de la figura 2.25.
EP9.- Determine las componentes x y y de cada una de la fuerza que se muestra en la figura 2.27.
EP10.- Dada dos fuerzas, F1 y F2 que actúan sobre un punto, tal y como se muestra en la figura 2.27. Determine las componentes y ángulos directores del vector resultante.
CAPITULO 3 EP 1.- Para el sistema que se muestra en la figura, encuéntrese los valores F T1 y FT2 si el peso del objeto es de 600N.
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EP 2.- Las siguientes fuerzas coplanares tiran de un anillo: 200N a 30°, 500N a 80°, 300N a 240° y una fuerza desconocida. Determine la magnitud y la dirección de la fuerza desconocida si el anillo se halla en equilibrio. EP 3.- Si en la figura la figura la fricción entre el bloque y el plano inclinado es despreciable, ¿Cuál debe ser el peso Fw si se quiere que el bloque de 200N permanezca en reposo? (115 Nt)
EP 4.- El sistema que se muestra en la figura anterior permanece en reposo cuando W = 220 Nt. ¿Cuál es la magnitud de la fuerza de fricción sobre el bloque de 200 Nt? (105 Nt)
EP 5.- Encuéntrese la fuerza normal que actúa sobre el bloque en cada una de las situaciones de equilibrio mostradas en la figura.
EP 5.- Hágase referencia a la figura. Las cuerdas pueden soportar una tensión máxima de 80N, ¿cuál es el máximo valor de Fw que pueden soportar las cuerdas?
Sol. 58 N 31N T1 = I T1 I [ cos ( 1200 )i + sen ( 1200 )j ] T2 = I T2 I [[ cos ( 3400 )i + sen ( 3400 )j ] T3 = I T3 I [[ cos ( 2700 )i + sen ( 2700 )j ] ∑Fi = I T1 I [ cos ( 1200 )i + I T2 I sen ( 3400 ) + 0 = 0 ∑Fj = I T1 I [ sen ( 1200 )i + I T2 I sen ( 3400 - 40 ) + 0 = 0 - 40
T2 cos ( 3400 ) = - T1 cos ( 1200 )
T2 = T1 cos ( 1200 ) cos ( 3400)
I T1 I sen ( 1200 ) + T1 cos ( 1200 ) sen ( 3400 ) = 40 * // sen = tang. cos ( 3400)
cos
I T1 I sen ( 1200 ) – T1 cos ( 1200 ) tang ( 3400 ) = 40 T1 [ sen ( 1200 ) – cos ( 1200 ) ( tang ( 3400 ) = 40 I T1 I = 0.684 = 40 T1 =
- 10
= 58.4 N
0.684
T2 = - 58 cos ( 1200 ) = cos ( 3400 )
29
= 31.1
o.93
EP 5.- El objeto de la figura esta en equilibrio y tiene un peso Fw 80N. Encuéntrese las tensiones FT1, FT2, FT3 y FT4. Sol. 37N 8N. //N. 139N.
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CAPITULO 4 EPP1: Tres niños que se encuentran en un lote de estacionamiento lanzan un cohete que se eleva en el aire a lo largo de un arco de 380m de longitud, en 40s. Determine la rapidez promedio. EPP2: Según los datos de su computadora, un robot partió de su base y viajó 1200 m con una rapidez promedio de 20 m/s. ¿Cuánto duró su recorrido? EPP3: El odómetro de un auto registra una lectura de 22 687 KM al principio de un viaje y 22 791 Km al final del mismo. El viaje requirió de 4.0 horas. ¿Cuál fue la rapidez promedio del auto en Km/h y m/s? EPP4: Un auto viaja a razón de 25Km/h durante 45 minutos, después a 50 Km/h durante 8.0 minutos, y finalmente a 20 Km/h durante 2.0 minutos. Determine la distancia recorrida por el auto en Km. EPP5: Un corredor da 1.5 vueltas completas alrededor de una pista circular en un tiempo de 50 s. el diámetro de la pista es de 40 m y su circunferencia (perímetro) es de 126 m. Encuéntrese a) la rapidez promedio del corredor y b) la magnitud de la velocidad promedio d éste. Sea cuidadoso aquí; la rapidez media depende de la distancia total recorrida, mientras que la velocidad media depende del desplazamiento al final de una vuelta determinada. EPP6: durante una carrera en una pista ovalada. un automóvil viaja con una rapidez promedio de 200km/h a) que distancia recorrió en 45 minutos b) determine su velocidad promedio al final de su tercera vuelta
E=V.T, 200.5/18, 500/9 m/s=V t=45(60)=2700s e=500/9 . 2700 e=150000m a su tercera vuelta, 600
EPP7: ¿un cuerpo con velocidad inicial de 8m/s se mueve a lo largo de una línea recta con aceleración constante? y recorre 640m en 40 segundos. para el intervalo de 40 segundos calcular -la velocidad promedio -velocidad final -aceleración d = Vot + 1/2at^ 2 d - Vot = 1/2at^2 2(d - Vot) = at^2 a = 2(d - Vot)/t^2 a = 2(640 m - (8 m/s)(40s))/(40s)^2 a = 2(640 m - 320 m)/(1600s^2) a = 0.4 m/s^2 V = Vo + at V = 8m/s + (0.4m/s^2)(40s) V = 24 m/s Vm = (V + Vo)/2 Vm = (24 m/s + 8 m/s)/2 Vm = 16 m/s
EPP8: Un autobús parte de reposo y se mueve con una aceleración constante de 5.0 m/s2. Encuentre su rapidez y la distancia recorrida después de transcurridos 4.0 s. Su velocidad final: Vf = a t = (5 m/s2)(4 s) = 20 m/s La distancia se calcula asi: d = at^2/2 = (5m/s2)(4s)^2 /2 = 40 m también puedes calcular la distancia asi: d = Vf^2 / 2a = (20 m/s)^2 / 2(5m/s2) = 400 / 10 = 40 m
EPP9: Una caja se desliza hacia abajo sobre un plano inclinado con aceleración uniforme. Parte del reposo y alcanza una rapidez de 2.7 m/s en 3 s. Encuéntrese (A) la aceleración y (B) la distancia q que se mueve en los primeros 6 s.
La rapidez es lo mismo que la velocidad, pero esta ultima cuenta con una direccion. La aceleracion es igual a Velocidad entre el tiempo, asi que ya tienes la velocidad que es 2.7 y tambien el tiempo que es 3 segundos, asi que divides 2.7 m/s entre 3 segundos y eso te da .90 m/s^2 el b lo sacas multiplicando porque dices que avanza 2.7 m por un segundo transcurrido, asi que solo multiplica por 6 los 2.7 m/s para saber cuanto recorrio en esos 6 segundos, y como tu lo dices exactamente son 16.2 m
EPP10: un automóvil acelera uniformemente mientras pasa por dos puntos marcados que están separados 30 m. El tiempo que tarda en recorrer la distancia entre los dos puntos es de 4.0 s y la rapidez del automóvil en el primer punto marcado es de 5.0 m/s. Encuentra la aceleración del automóvil y su rapidez al llegar al segundo punto marcado. X = X0 + V0t +1/2 at^2 V = V0+at Donde V = velocidad X = distancia t= tiempo a = aceleración para tu problema tienes que X = 30 m t= 4 s V0= 5 m/s Por lo tanto solo despejas y sustituyes en las ecuaciones Para tu caso Los valores con 0 como X= son cero ya que parte del origen y el tiempo es medido cuando recorre esa distancia Entonces Como partes de un punto cero de donde se empieza a contabilizar el tiempo tomamos como X0 = 0 Podemos calcualr la celeracion despejando de la primera ec a= 2(X –V0t)/t`2 = 2 ((30 m – (5m/s )(4s))((4 s)^2) =2 (30 m – 20 m)/16 s^2= 2 ( 10 m) /16 s^2= 20 m / 16 s^2 = 1.25 m/s^2 y para ve en el Segundo punto V = 5 m/s + (1.25 m/s^2) ( 4 s)= 5 m/s + 5 m/s = 10 m/s EPP11: la velocidad de un automóvil se incrementó de 6 m/s a 20 m/s al recorrer una distancia de 70 m en línea recta. Calcúlese la aceleración y el tiempo transcurrido. Vo = 6 m/s Vf = 20 m/s d = 70 m d = (Vo + Vf) t / 2 70 = (6 + 20) t / 2 13t = 70 → t ≈ 5.39 seg. Vf ² = Vo ² + 2 a d
20 ² = 6 ² + 2a(70) 140a = 400 - 36 140a = 364 → a ≈ 2.60 m/s²
EPP12: Un aeroplano parte del reposo y acelera sobre el piso antes de elevarse, recorriendo 600m en 125 segundos. Encuentre a) la aceleración b) La rapidez al final de los 12 segundos c) La distancia que recorre durante el duodécimo segundo.
EPP13: Un tren que corre a 30 m/s frena uniformemente hasta detenerse en 44 segundos. Determine la aceleración y la distancia recorrida hasta detenerse. a= V/ t a= 30m/s / 44s a= 0.68m/s² X= at² /2 X= (0.68m/s² )(44s)² /2 X= 658.24m
EPP14: Un que se mueve a 13 m/s se detiene uniformemente a razón de 2 m/s por cada segundo durante un tiempo de 6 segundos. Determínese: a) Su rapidez final b) su rapidez promedio durante los 6 segundos c) La distancia recorrida en los 6 segundos (- 2m/s² x 6s) + 13m/s - 12m/s + 13m/s = 1m/s
d = Vot + at² / 2 d es la distancia. Vo es la distancia inicial. t es el tiempo. d = 13m/s x 6 + -2m/s x (6²) / 2 = 78m + (-76m/2) = 78m + (-36m) = 42m
Vprom = 42m / 6 = 7ms
EPP15: Un cuerpo cae libremente desde el reposo. Encuéntrese a) Su aceleración b) La distancia que recorre en 3 segundos c) Su velocidad después de caer 70m d) El tiempo necesario para alcanzar una rapidez de 25 m/s e) El tiempo que tarda en caer 300 m gravedad = -9.81 m/s^2 d = (1/2)a*t^2+Vo*t a=-9.81m/s^2 Vo=0 t=3s d=-9.8172*(3seg)^2+0*3seg d=-9.81*9/2 = -44.145metros
V^2 = Vo^2+2ad V^2 =0+2(-9.81)*(-70m) V^2=1373.4 V=37.0594
V=at+Vo si Vo=0 entonces V=at, t=V/a =25 / 9.81 t=2.5484
d=(1/2)at^2+Vot Vo=0, d=(1/2)at^2 t=raiz(2d/a)=raiz(-600m / -9.81) t= 7.82s
EPP16: Se deja caer una canica desde un puente y golpea el agua en un tiempo de 5 segundos. Calcúlese a) La rapidez con que choca contra el agua b) La altura del puente
EPP17: Se arroja una piedra hacia abajo en línea recta con una velocidad inicial de 8 m/s y desde una altura de 25m. Encuéntrese a) El tiempo que tarda en llegar al piso b) La rapidez con la que choca contra el piso
... ( Vf )*2 -- ( Vo )*2 = 2 . g . h ..... ( Vf )*2 -- ( 8 )*2 = 2 ( 9,8 ) ( 25 ) ........... ( Vf )*2 -- 64 = 490 ................... ( Vf )*2 = 554 ......................... Vf = 23,5 m/s
...... Vf -- Vo g = ------------............ t
......... 23,5 -- 8 9,8 = -----------.............. t 9,8 t = 15,5 ..... t = 1,58 segundos
EPP18: Se lanza una pelota de beisbol hacia arriba con una rapidez de 30 m/s, a) ¿Cuánto tiempo tarda en subir? b) ¿A qué altura llegara? c) Cuanto tiempo tardara, a partir de que se separa de la mano, en regresar a su punto de partida? d) ¿Cuándo tendrá una rapidez de 16 m/s?
a) Cálculo del tiempo de subida ..... Aplicaremos : ............ Vf -- Vo ......g = ------------.................. t reemplazando valores : ............ 0 -- 30 -- 9,8 = -----------................. t -- 9,8 t = -- 30 ........ t = 3,06 s ................................... RESPUESTA
b) Cálculo de la altura máxima alcanzada :
Aplicaremos : ....... Vf + Vo h = ( ------------- ) x t ............ 2 reemplazando valores : ....... 0 + 30 h = ( ------------ ) x 3,06 ........... 2 h = 45,90 metros ................................ RESPUESTA
c) El tiempo que tarda en regresar al punto de partida será la suma del tiempo de subida más el tiempo de bajada. Tiempo total en el aire = 2,06 + 2,06 Tiempo total en el aire = 4,12 s ........... RESPUESTA
d) Tiempo en el cual su rapidez es 16 m/s .. Datos : Velocidad inicial ................ Vo = 30 m/s Velocidad final .................... Vf = 16 m/s aceleración de subida ........... g = -- 9,8 m/s2 tiempo ................................... t = ? Aplicaremos : ............. Vf -- Vo .......g = -----------................... t reemplazando valores : .............. 16 -- 30 .. -- 9,8 = -------------................... t .-- 9.8 t = -- 14 .......... t = 1,43 s ............................ RESPUESTA Como el tiempo total en el aire es 4,12s, cuando transcurran : 4,12 -- 1,43 = 2,69 segundos volverá a tener la velocidad de 16 m/s, esta vez, de bajada.......... TAMBIÉN RESPUESTA
EPP19: Una botella que se deja caer desde un globo alcanza el piso en 20 segundos. Determínese la altura del globo si: a) Estuviera en reposo en el aire
b) Se encontrara ascendiendo con una rapidez de 50 m/s cuando se deja caer la botella. h = 1/2 gt2 = 1/2 (-9.8 m/seg2)(20 seg)2 = -1 960 m b) Si asciende h = Vot + 1/2 gt2 = (50 m/seg)(20) + 1/2 (-9.8 m/seg2)(20 seg)2 = -960 m
EPP20: Se dejan caer dos pelotas al piso desde diferentes alturas. Una se deja caer 1.5 segundos después de la otra, pero ambas golpean el piso al mismo tiempo, 5 segundos después de dejar caer la primera. a) ¿Cuál es la diferencia de alturas a la cual se dejaron caer? b) ¿Desde qué altura se dejó caer la primer pelota? EPP21: Mientras un ascensor se está moviendo hacia arriba por un cubo a una velocidad de 3/s, se suelta una tuerca de un tornillo. La tuerca golpea el fondo del cubo del ascensor en 2 segundos a) ¿a qué altura con respecto al fondo del cubo se encuent6ra el ascensor cuando se desprendió la tuerca b) Que tan lejos del fondo estaba la tuerca a los 0.25 segundos después de salirse de su sitio. h = ho + vo*t - 1/2*g*t2 => h = ho + 3*t - 0,5*9,8*t2 => h = ho + 3*t - 4,9*t2 Y con esa fórmula se resuleven los dos puntos del problema: a) Si tarda 2 segundos en caer, es decir en bajar hasta una altura cero, tenemos: 0 = ho + 3*2 - 4,9*2^2 = ho -13,6m Y despejando ho, la altura inicial será: ho = 13,6 m b) Y usando la misma fórmula, a los 0,25 segundos su altura valdrá: h = 13,6 + 3*0,25 - 4,9*0,25^2 = 14,04 m
EPP22: Una canica rueda sobre una mesa con rapidez de 20 cm/s, la altura de la mesa es de 80 cm, a) ¿Cuánto tiempo necesita para chocar con el piso? b) ¿A qué distancia horizontal del borde de la mesa chocara contra el piso?
Este es un problema de movimiento compuesto, llamado así por ser la composición de dos movimientos simples : Un Movimiento Vertical (MRUV ) y otro Horizontal ( MRU ), los mismos que se pueden estudiar por separado. _______●→ V = 20 cm/s ..............█......● ..............█.........●. ..80 cm.. █...........●. ..............█............● ..............█.............● ._______ █._______● ............... I----- e ---- I a) VERTICALMENTE.Vamos a calcular el tiempo que tardaría en caer libremente la altura de 80 cm Datos : Velocidad inicial ......... Vo = 0 altura de caída ............. h = 80 cm aceleración de caída...... g = 9,8 m/s2 = 980 cm /s2 tiempo de caída ............ t = ? Aplicaremos : e = Vo . t + 1/2 g . t*2 reemplazando valores : 80 = 0 + 1/2 ( 980 ) ( t )*2 80 = 490 t*2 .80 ------ = t*2 490 0,1633 = t*2 ..______ √ 0,1633 = t t = 0,404 segundos ................. RESPUESTA
b) HORIZONTALMENTE ... El tiempo que tarda en caer libremente es el mismo tiempo que tarda en recorrer horizontalmente la distancia "e" Datos : velocidad horizontal ....... V = 20 cm /s tiempo en movimiento ... t = 0,404 s alcance horizontal ......... e = ? Para calcular "e" aplicaremos : .....e = V . t reemplazando valores : ... e = ( 20 ) ( 0,404 ) ...e = 8,08 cm
redondeando : e = 8,1 cm ............................... RESPUESTA
EPP23: Un cuerpo con rapidez inicial de 40 m/s se lanza hacía arriba desde el nivel del piso, con un ángulo de 50 grados con la horizontal a) ¿Cuánto tiempo transcurrirá antes de que el cuerpo choque contra el piso? b) ¿A qué distancia del punto de partida golpeara el piso? c) ¿Cuál será el ángulo con la horizontal al cual chocara? a) Descomponemos el vector velocidad en sus 2 componentes rectangulares :(donde dice vertical, inclinada y horizontal pones flechas que partan de un mismo vértice) vertical .......................... 40 sen 50º inclinada ................................... 40 m/s horizontal .40 cos 50º b) Componente horizontal (MRU) : Vx = 40 ( cos 50º ) Vx = 40 ( 0,643 ) Vx = 25,72 m/s c) Componente vertical (MRUV) : Vy = 40 ( sen 50º ) Vy = 40 ( 0,766) Vy = 30,64 m/s d) Analizamos Verticalmente . (MRUV) para calcular el tiempo de subida .Datos : velocidad inicial : Vo = 30.64 m/s velocidad final : Vf = 0 acelración de la gravedad : g = - 9,8 m/s2 tiempo, t = ? Fórmula de la aceleración : g = ( Vf - Vo ) / t Reemplazando valores : - 9,8 = ( 0 - 30,64 ) / t - 9,8 t = - 30,64 t = 3,1 segundos .... Este es el tiempo de subida. e) Tiempo que tarda en llegar al piso : T = tiempo de subida + tiempo de bajada T = 3,1 + 3,1 T = 6,2 segundos. ......................................… SEGUNDA PREGUNTA .El máximo alcance horizontal se obtiene con la fórmula del MRU : e=v.t e = Vx . t e = ( 25.72 ) ( 6,2 ) e = 159,46 metros
......................................… TERCERA PREGUNTA .El ángulo con la horizontal con el cual se realizará el choque será el mismo ángulo que hacía cuando fue lanzado, es decir, 50º ......................................…
EPP24: Se lanza un cuerpo hacia abajo desde el punto más alto de un edificio de 170 m de altura, formando un ángulo de 30 grados con la horizontal. Su rapidez inicial es de 40 m/s a) ¿Cuánto tiempo transcurrirá antes de que el cuerpo llegue al piso? b) ¿A qué distancia del pie del edificio golpeara? c) ¿Cuál será el ángulo con la horizontal al cual chocara? Velocidad inicial = 40m/s = (40*cos30)i+(40*sen30)j en la componente j el cuerpo se comporta como un objeto en caida libre. (Tomo como aceleracion de la gravedad = 10m/s²) Por lo tanto D=Vi*t+a*t²/2 170=20*t + (10/2)*t² Esta ecuacion tiene 2 soluciones pero solo interesa la positiva ya que se trata de un tiempo. t=4.164 seg. La componente j de la vel en ese instante es: Vf²=Vi²+2ad=20²+2*10*170 Vf=61.644 m/s Vel final = (34.641)i + (61.644)j El angulo que forma con la horizontal es: arctg(61.644/34.641) = 60.67º
EPP25: Una manguera que se encuentra tendida en el piso lanza una corriente de agua hacia arriba con un ángulo de 40 grados con la horizontal. La rapidez del agua es de 20m/s cuando sale de la manguera. ¿A qué altura golpeara sobre una pared que se encuentra a 8m de distancia? t=0 .º Esto se hace así para que las ecuaciones del movimiento sean más sencillas. Dado que se trata de un movimiento con aceleración constante, la ecuación que aplicaremos para expresar el vector de posición en función del tiempo será: →.→.......→ Δr = Vo Δt + (½) a (Δt)² .......... ❶ El vector de posición inicial es → r . = 0 .......... ❷ .º
Las componentes del vector velocidad inicial son: Vo = Vo cos α = 20 • (cos 40) ..x Vo = Vo sin α = 20 • (sin 40) ..y Por lo tanto, el vector velocidad inicial es: → . . . . . . . . . .→ . . . . . . . . → V = 20 (cos 40) i + 20 (sin 40) j (m/s) .......... ❸ .o La aceleración es la de la gravedad, de módulo 10 m/s², dirección vertical y sentido hacia abajo (negativo, ya que hemos elegido el sentido hacia arriba positivo): → . . . .→ a = – 10 j (m/s²) .......... ❹ Sustituyendo en la ecuación ❶ estos valores de ❷, ❸, ❹ y tiempo inicial = 0, obtenemos: → . . . . . . . . . . . . →. . . . . . . . . → r – 0 = [20 (cos 40) i + 20 (sin 40) j] (t – 0) + ........→ + (½) (– 10 j) (t – 0) ²
Simplificando resulta: → . . . . . . . . . →. . . . . . . . . . . . . . . . . → r = 20 (cos 40) t i + [20 (sin 40) t – 10 t²] j .......... ❺ Como que → . →. . → r=xi+yj este resultado se puede escribir también: x = 20 (cos 40) t ; y = 20 (sin 40) t – 10 t² En el instante en que el cuerpo se encuentre a 8 m de distancia se cumplirá que: 8 = 20 (cos 40) t de donde . . . . . . .8 t = ------------. . . 20 (cos 40)
. . . . .0,4 t = --------
. . . cos 40 Como y es la coordenada asociada a la altura, si sustituimos este valor que acabamos de hallar en y = 20 (sin 40) t – 10 t², sabremos a qué altura llegó el agua contra la pared: . . . . . . . . . . . . . .0,4. . . . . . . . .0,4² y = 20 (sin 40) • ------------ – 10 • -----------. . . . . . . . . . . . (cos 40) . . . . (cos 40) ²
. . . . . . . . . . . . . 1,6 y = (8 tg 40) – ----------. . . . . . . . . . . . (cos 40) ² y = 4,0 m
EPP26: Un bateador, en la serie mundial, conecta un home run bateando una pelota y dándole una velocidad de 40 m/s con un ángulo de 26 grados sobre la horizontal. Un jugador de campo, que tiene un alcance de 3m sobre el suelo, se encuentra apoyado contra la pared de las gradas de sol, la cual está a 110m del plato de home. La pelota estaba a 120cm sobre el piso cuando fue bateada ¿A qué altura por encima del guante del jugador de campo pasa la pelota? Sol: 6.02 m EPP27: Demuestre que el disparo de una pistola puede alcanzar el triple de altura cuando tiene un ángulo de elevación de 60 grados que cuando su ángulo es de 30 grados, pero que tendrá el mismo alcance horizontal. Siendo la fórmula que da la altura máxima para un ángulo dado: h = (v0² sen² θ) / 2 g.... o también h = (v0²/2 g) . sen² θ Remplazando valores para θ = 30º, se tiene h1 = (v0²/2 g) . (1/2)² h1 = (v0²/2 g) . 1/4 Ahora remplazando para θ = 60º, nos da h2 = (v0²/2 g) . (√3/2)² h2 = (v0²/2 g) . 3/4 Comparando valores obtenidos de h1 y h2, tenemos: h2 / h1 = (3/4) / (1/4) = 3, o sea h2 = 3 . h1 Y el alcance horizontal R, viene dado por R = (2 v0² sen θ cos θ) / g Y dado que: sen (90º - 30º) = sen 60º = cos 30º cos (90º - 30º) = cos 60º = sen 30º El alcance horizontal es igual para los dos ángulos dados.
EPP28: Se lanza una pelota hacia arriba formando un ángulo de 30 grados con la horizontal y cae en la parte más alta de un edificio que está a 20m de distancia. El
borde superior se encuentra a 5m por encima del punto de lanzamiento. ¿Con que rapidez fue lanzada la pelota? Es un caso de tiro oblicuo. Para que la pelota caiga en la parte superior del edificio es necesario que lo haga cuando ya superó su altura máxima, es decir en su trayectoria descendente. Siendo el desplazamiento horizontal x = (v0 cos 30º) t, de lo que se deduce t = x / (v0 cos 30º) El tiempo que tarda en recorrer los 20 m es: t = 20 / v0 . 0,866 t = 23,094 / v0...........(1) En igual tiempo el desplazamiento vertical y = v0 sen 30º - 1/2 g t². tiene que ser igual a 5 m, o sea 5 = v0 . 0,5 t - 4,9 t² Si remplazamos el valor de t obtenido en (1) 5 = v0 . 0,5 . (23,094 / v0) - 4,9 (23,094 / v0)² 5 = 11,547 - 2613,33 / v0² 2613,33 / v0² = 6,547 v0² = 2612,43 / 6,55 v0 = 19,97 m/s En resumen, la pelota fue lanzada con una velocidad de 19,97 m/s.
CAPITULO 5 EPP1: ¿Qué fuerza F se necesita en la figura para tirar del bloque de 6 kg con una aceleración de 1.5 m/s2. Si el coeficiente de fricción es las caras superiores e inferiores es de 0.4? F neta = F - Fr = m. a F = m .a + Fr Fr = fuerza de rozamiento = u . N u = coeficiente de roce = 0,40 N = fuerza normal = peso de los bloques = (m1 + m2) . g = 8 kg . 9,8 m/seg^2 N = 78,4 N Fr = 0,40 . 78,4 N = 31,36 N Entonces F = 8 kg . 1,50 m/seg^2 + 78,4 N F = 12 N + 78,4 N = 90,4 N
EPP2: En la figura de abajo, ¿Qué fuerza se necesita para dar a los bloques una aceleración de 3.0 m/s2 si el coeficiente de fricción entre los bloques y la masa es de 0.2? ¿Qué fuerza ejerce el bloque de 1.5 kg sobre el bloque de 2kg?
EPP3: ¿Cuál es la fuerza más pequeña paralela a un plano inclinado de 37° que se necesita para impedir que un peso de 100N resbale hacia abajo, si el coeficiente de fricción estático y el coeficiente de fricción cinético son ambos de 0.3? b) ¿Cuál es la fuerza paralela que se requiere para subir el peso con una rapidez constante? c) Si la fuerza es paralela al empuje es de 94N d) Si el objeto en C) parte del reposo? Cuanto se moverá en 10 segundos? P = 100 N (Newton) Px = P * sen 37º = 60,2 N Py = P * cos 37º = 79,9 N P = m * g entonces m = P / g = 100 / 9,81 = 10,20 kg No = Py entonces fr = μ * No = μ * Py = 0,3 * 79,9 N = 23,97 N ∑Fx = 0 entonces Px - fr - F = 0 F = 60,2 N - 23,97 N = 36,23 N (para el punto A ) --------------------------------------… ∑Fx = 0 entonces Px + fr - F = 0 F = 60,2 N + 23,97 N = 84,20 N (para el punto B) --------------------------------------… F = 64 N ∑Fx = m * a entonces Px - fr - F = m * a a = (60,2 N - 23,97 N - 64 N) / 10,20 kg a = - 2,72 m / s² (para el punto C)(el signo menos en por el sistema de referencia y de coordenadas que adopte) --------------------------------------… X = Xo + Vo * t + 0,5 * a * t² Xo y Vo Son cero X = 0,5 * a * t² = 0,5 * ( - 2,72 m / s²) * 100s X = -136 m (para el punto D)(el signo menos en por el sistema de referencia y de coordenadas que adopte)
EPP4: Un bloque de 5 kg descansa sobre un plano inclinado de 30° El coeficiente de fricción cinético entre el bloque y el plano inclinado es de 0.2 ¿Qué fuerza horizontal se necesita para empujar al bloque para que esté a punto de resbalar, a) Hacia arriba sobre el plano b) Hacia abajo sobre el plano Tenemos que descomponiendo las fuerza del peso del bloque en sus dos componentes Fn, fuerza que gravita sobre el plano perpendicular a él; Fm fuerza que tiende a hacer deslizar el objeto en el plano y es paralela al mismo; then: Suponiendo que 5 kg es masa, 5*9.81= P= 49.05 N Fn = P*cos 30º = 42.478526 N Fm= P*sen 30º = 24.5250 N R = Fn*µ = 8.4957052 N. Como R< Fm, no hace falta aplicar ninguna fuerza ya que la diferencia de fuerzas hace que el
objeto se deslice por el plano. para que el objeto suba la fuerza tiene que aplicarse de abajo hacia arriba y tendrá un valor v: v > 24.5250 - 8.4957052 > 16.029295N; Como lo que pides es su valor horizontal es evidente que la fuerza tendría que ser: F> 16.029295N/cos 30º > 18.509042 N.
EPP5: Tres bloques de masas 6, 9 y 10 kg están unidos como se muestra en la figura posterior. El coeficiente de fricción entre la masa y el bloque de 10 kg es 0.2, calcular: a) La aceleración del sistema, b) La tensión en la cuerda de la izquierda, y la tensión en la cuerda derecha.
Sol: a) 0.39 m/seg². b) 61 N, 85 N.
EPP6: El radio de la tierra es de aproximadamente 6370 km un objeto que tiene una masa de 20 kg se lleva a una altura de 160km sobre la superficie de la tierra. a) Cuál es la masa del objeto a esa altura b) Cuánto pesa el objeto (esto es ¿Cuál es la masa gravitacional que
experimenta el objeto a esa altura?) F = G * m * M / r² G = 6.674x10^-11 N m² / kg² m = 20 kg M = 6.0x10^24 kg r = 6370 + 20 = 6390 km = 6390 000 m F = 6.674x10^-11 * 20 * 6.0x1023 / 6390 000 ^2 F = 196.1398 N En la superficie: F = 197.3734 N La fuerza ha disminuido un 0.625 % Es como si la masa fuera ahora de 19.875 g, es decir una pérdida de 125 g. -----------------Solución: F = 196.1398 N
EPP7: El radio de la tierra es aproximadamente 6370km, mientras que el de marte es más o menos de 3440 km. Si un objeto pesa 200N en la tierra ¿Cuál será su peso y cual la aceleración debida a la gravedad de marte? La luna de marte es 0.11 veces la de la tierra. g = G*M / R^2 Donde G es la constante de Gravitación Universal. Si despejamos G tenemos: G = g*R^2 / M
Como G es la misma para cualquier planeta, podemos decir que: G = g(tierra)*R(tierra)^2 / M(tierra) pero también G = g(marte)*R(marte)^2 / M(marte) de donde podemos sacar la igualdad g(tierra)*R(tierra)^2 / M(tierra) = g(marte)*R(marte)^2 / M(marte) y por lo tanto despejar la aceleración de la gravedad del planeta Marte: g(marte) = g(tierra) * [R(tierra) / R(marte)]^2 * [M(marte) / M(tierra)] g(tierra) = 9.8 m/s^2, R(tierra) y R(marte) son datos que tienes arriba, y por último el cociente M(marte) / M(tierra) = 0.11, también se lo dieron en el problema. Por lo tanto, está todo para hacer el cálculo g(marte) = 9.8m/s^2 * [6370000 / 3440000]^2 * 0.11 g(marte) = 3.7m/s^2 Ahora, el objeto pesa 200N en la Tierra, lo que significa que su masa es m = Peso / g(tierra) = 200N / 9.8m/s^2 = 20.4 kg Por lo tanto, este objeto en Marte pesaría Peso(marte) = m*g(marte) = 20.4 kg * 3.7 m/s^2 = 75.5 N
EPP8: Para la situación que se muestra en la figura. Encuentre los valores de Ft1 y Ft2, si el peso del objeto es 600N. T2x = T2 cos 50° = 0.6428 T2 T2y = T2 sen 50° = 0.7660 T2 sumamos fuerzas verticales cuya resultante debe ser igual a cero para que haya equilibrio: 0.7660 T2 - 600 = 0 0.7660 T2 = 600 T2 = 600/0.766 = 783.24 N Obtenemos el valor de la componente horizontal de ésta fuerza = T2x = 0.6428 x 783.24 T2x = 503.4667 N
Ahora sumamos sólo fuerzas horizontales: 503.4667 - T1 = 0 T1 = 503.4667 N
EPP9: En la figura siguiente las poleas no presentan fuerzas de fricción y el sistema cuelga en equilibrio, si el peso de Fw3 es de 200N ¿Cuáles son los valores de Fw1 y Fw2? T1=lT1l [cos 270º i + sen 270º j] T2=lT2l [cos 140º + sem 140ºj] T3= 200[Cos 55º i + Sen 55º j] Fj= lT1l cos 270º i lT2l cos140º+14.71 Fj= lT1l Sen 270ºj+ lT2l sen 140º+163.83 lT2lCos 140º= 114.71 lT2l= -114.71 = 143.74N Cos 140º lT1l= 260.08 N EPP10: Si en la figura de abajo la fricción entre el bloque y el plano inclinado es despreciable ¿Cuál debe ser el peso Fw si se quiere que el bloque de 200N permanezca en reposo. Para el bloque No es necesaria la ∑Fy ya que la fricción es despreciable, por lo que no necesitamos determinar la normal y, por ende, la fuerza de rozamiento. ∑Fx = 0 T - mgsenø = 0 T = 200(9,81)sen35 = 1125,36 N Para el cuerpo ∑Fy = 0 T = (mc)g = Fw Fw = 1125,36 N
CAPITULO 6
EPP 1: Una fuerza de 3 N actúa a lo largo de una distancia de 12 m en dirección y sentido de la fuerza. Encuentre el trabajo realizado. W=F*d*cos =0 W=f*d W= 3 * 12 = 36 joules
EPP 2: Un objeto de 4 kg se eleva 1.5m, a) ¿Qué cantidad de trabajo se efectúa contra la gravedad? el trabajo es la diferencia de energia potencial , en el suelo el cuerpo tiene una Ep = 0 : Ep = masa · gravedad · altura , como altura es 0 , la Ep es cero A 1,5 metros de altura la Ep es Ep = 4 Kg · 9.8m/s^2 · 1.5 m = 58.8 m^2 / s^2 = 58.8 J
EPP 3: Una losa de mármol uniforme rectangular tiene 3.4m de largo 2m de ancho y una masa de 180 kg. Si esta originalmente tendida en el suelo plano ¿Cuánto trabajo se necesita para ponerla vertical? W = ΔEp El trabajo es aquél que se invierte en aumentar la energía potencial de la losa. Ep = m g h donde m = masa; g = gravedad; h = altura del centro de masa. Si se apoya sobre el lado más corto => h = 1.7 m si se apoya sobre el lado más largo => h = 1 m W1 = 180 kg * 9.8 m/s² * 1.7m ≈ 3000 J =============================== W2 = 180 kg * 9.8 m/s² * 1 m ≈ 1764 J ============================== Obviamente el mínimo trabajo requerido es el segundo.
EPP 4: ¿Qué tan grande es la fuerza requerida para acelerar un automóvil de 1300kg desde el reposo hasta una rapidez de 20 m/s en una distancia de 80 m? F=ma hay que determinar el valor de la aceleración. Esta parte es cinemática: v² = 2 a x
es una expresión que permite determinar a aceleración partiendo del reposo y conociendo la velocidad final v y la distancia recorrida x. (Sale de v² - vo² = 2 a (x - xo) y ésta a su vez de operar con el sist. de 2 ec. con 2 incóg.: x = xo + vo t + ½ a t² v = vo + a t ) a = v² / 2 x = 20² / (2 * 8) = 25 m/s² Te cuento que es una aceleración elevadísima por la distancia tan corta... no serán 80m??? La cosa es que: F = 1300 kg * 25 m/s² = 32500 N =========================
EPP 5: ¿Justamente antes de chocar con el piso, una masa de 2 kg tiene 400J de energía cinética, si se desprecia la fricción, ¿De qué altura se dejó caer dicha masa? Ec= mgh h=Ec/mg h= 400J/(9.8*2)= 20.4
EPP 6: Una pelota de 0.5kg cae frente a una ventana de longitud vertical de 1.5m, a) ¿En qué cantidad se incrementa la energía cinética de la pelota cuando alcance el borde inferior de la ventana? b) Si su rapidez era de 3 m/s en la parte superior de la ventana, ¿cuál será la rapidez al pasar por la parte inferior? ∆Ec = ∆Ep = m g ∆h = 0.5 kg × 9.8 m/s² × 1.5 m = 7.35 N·m = 7.35 J. b) • Por Cinemática, v² − v₀² = 2 a s; en este caso, la aceleración es igual a "g", y el desplazamiento es igual a la altura de la ventana, ∆h. Despejando v, ► v = √ (v₀² + 2 g h) = √ (3² m²/s² + 2 × 9.8 m/s² × 1.5 m) = √ [(9 + 29.4) m²/s²] = 6.197 m/s. • Si lo prefieres, puedes obtenerlo directamente de la energía: ∆Ec = Ec − Eco = ∆Ep = m g h. Por tanto, Ec = Eco + m g h. Como Ec = ½ m v², Eco = ½ m v₀², ½ m v² = ½ m v₀² + m g hv v² = v₀² + 2 m g h / m = v₀² + 2 g h ► v = √ (v₀² + 2 g h) = √ (3² m²/s² + 2 × 9.8 m/s² × 1.5 m) = √ [(9 + 29.4) m²/s²] = 6.197 m/s.
EPP 7: El coeficiente de fricción cinético de fricción cinético entre un coche de 900 kg y el pavimento es de 0.8. si el automóvil se mueve a 25 m/s a lo largo del pavimento plano cuando comienza a derrapar para detenerse, ¿Qué distancia recorrerá antes de detenerse? la fuerza de rozamiento será igual al peso multiplicado por el coeficiente: fr = 900*9,8*0,80 = 7.056 N y el trabajo que realiza esa fuerza será igual a la energía cinética del móvil: ec = 1/2mv2 = fr*d => d = 1/2mv2 / fr => d = 0,5*900*25^2 / 7056 = 39,86 m
EPP 8: Un automóvil de 1200 kg se mueve por gravedad desde el reposo bajando por una carretera de 15 m de largo que esta inclinada 20 grados con la horizontal. ¿Qué rapidez tiene el coche al final del camino si: a) La fricción es despreciables b) Cuando se opone al movimiento una fuerza de fricción de 300N?
EPP 9: El conductor de un automóvil de 1200 kg observa que la rapidez de su coche disminuye 20 m/s a 15 m/s mientras recorre una distancia de 130m sobre suelo nivelado ¿De qué magnitud es la fuerza que se opone al movimiento del coche? d²x/dt² = -F/m > dx/dt = V○ - F/m.t > x - x○ = V○.t - F/m.t²/2 ▬ ♦ V○ - V1 = (F/m).T > T = m.ΔV/F ♦ D = V○.T - (F/m).T²/2 > D = V○. m.ΔV/F - (F/m)(m.ΔV/F)²/2 > D = V○. m.ΔV/F - (m.ΔV²/F)/2 = (V○. m.ΔV - m.ΔV²/2).(1/F) > F = (V○. m.ΔV - m.ΔV²/2)/D > F = (20*1200*5 - 1200*5^2/2)/130 = 807,6923077 = 808 N
EPP 10: Un elevador de 2000 kg sube, partiendo del reposo, desde el sótano hasta el cuarto piso, que se encuentra a una distancia de 25 m. cuando pasa por el cuarto piso su velocidad es de 3m/s. hay una fuerza de fricción, constante de 500N. Calcúlese el trabajo que realiza el mecanismo de elevación. El trabajo realizado se convierte en energía, en este caso en energía cinética (por la velocidad), energía potencial (por la altura) y energía calorífica (por la fricción). la energía cinética = m v^2 / 2 = 2000 x 3^2 / 2 = 9000
Energía potencial = mgh = 2000 X 9.81 X 25 = 490 500 Energía de friccion = f d = 500 X 25 = 12 500 Total = 512 000 Joules = 0.512 MJ (con mayúscula) EPP 11: Un automóvil de 1300kg es acelerado desde el reposo hasta una rapidez de 30 m/s en un tiempo de 12 segundos cuando sube por una pendiente inclinada de 15 grados. Considerando que la aceleración es uniforme ¿Cuál es la potencia mínima necesaria para acelerar el coche de esa forma? Fn = m a pero m = 1300 kg a => lo calculamos cinemáticamente con los datos dados. En M.R.U.A. la aceleración, constante, es igual a la aceleración media: a = (v- vo) / t Entonces: a = (30 m/s - 0 m/s) / 12s = 2.5 m/s² ---------------------------
Fn = m a = 1300 kg * 2.5 m/s² = 3250 N La potencia en cada instante está dada por el producto: P=Fv (potencia = fuerza × velocidad) que sale de: P = W / t = trabajo / t = Fn × d / t = Fn × v En realidad uso el signo "por" de multiplicación × - no x - no porque sea necesario, pero también porque es un signo que se usa para indicar "producto escalar"(*). No sé si conocés este tipo de producto, pero digamos que para resolverlo se aplica: Fn × v = Fn v cos α siendo α el ángulo entre la fuerza neta y la velocidad. Pero nosotros obtuvimos la Fn en la misma dirección y sentido que v o sea que α=0 y cos α = 1 (NO es el ángulo θ de la pendiente!). (*) (sin embargo en otros lados de la respuesta lo uso como simple multiplicación) Por ello: P = Fn v ======= como habíamos escrito más arriba, independientemente del ángulo θ de la pendiente. Esto nos indica que la potencia "instantánea" depende de la velocidad, y es MÍNIMA en la base donde v = 0 (porque parte del reposo, o sea en este caso en particular, no así en un auto que venga por una ruta horizontal y encare unapendiente a cierta velocidad) y es máxima donde v= máxima:
P(max) = 3250 N × 30 m/s = 97500 W
EPP 12: La figura muestra una cuenta de resbala por un alambre. ¿De qué magnitud debe ser h1 si la cuenta, partiendo del reposo en A, va a tener una rapidez de 200 cm/s en el punto B? Ignore el rozamiento.
EPP 13: En la figura con h1 = 50cm, h2=30cm y la longitud del alambre desde A hasta C es de 400 Cm. Una cuenta de 3g se suelta en el punto A y recorre en el alambre hasta detenerse en el punto C. ¿De que magnitud será la fuerza de fricción promedio que se opone al movimiento?
EPP 14: Un bloque de 2kg se suelta desde el reposo sobre un tobogán sin fricción y se desliza hacia abajo, hasta topar con un resorte. En el extremo más lejano del resorte está unido a una pared, como se muestra en la figura. La altura inicial del bloque es de 0.5 m sobre la pared más baja del tobogán, y la constante del resorte es 450 N/m. a) ¿Cuál es la rapidez del bloque cuando se encuentra a una altura de 0.25m sobre el fondo del tobogán? b) ¿Cuánto se comprime el resorte? c) El resorte envía al bloque de regreso hacia la izquierda, ¿Qué tan alto sube el bloque?