PROBLEMAS CAPITULO 12
Asignatura: Física mecánica de fluidos
Tema: Problemas capítulo 12
Alumnos: Manuel Alejandro Molano 210666gg
!ocente: "afael #u$mán %scand&n
'ogotá (0)0*)201 %scuela colombiana de ingeniería +ulio #ara,ito
PROBLEMAS CAPITULO 12
Problemas 12-*.. Tres esferas uniformes están fijas en las posiciones indicadas en la figura 12.36. a) ¿Qué
magnitud y dirección tiene la fuera !ue act"a so#re una part$cula de %.%1&% 'g colocada en ( #) *i las esferas están en el espacio lejano fuera de alguna atracción gra+itacional adicional, y una part$cula de %.%1&% 'g se suelta del reposo a 3%% m del origen so#re una l$nea inclinada -& #ajo el eje 2/, ¿!ué rapide tendrá la part$cula cuando llegue al origen
12-0- 0na esfera uniforme con masa de 6%.% 'g se sostiene con su centro en el origen, y una
segunda esfera uniforme con masa de %.% 'g se sostiene con su centro en el punto / & %, y & 3.%% m. a) ¿Qué magnitud y dirección tiene la fuera gra+itacional neta !ue estas esferas ejercen so#re una tercera esfera uniforme con masa de %.&%% 'g cuyo centro está en / & -.%% m, y & % #) ¿n !ué posición, !ue no sea a una distancia infinita, podr$a colocarse la tercera esfera de modo !ue la fuera gra+itacional neta !ue act"a so#re ella de#ida a las otras dos esferas sea cero
12-1. a) emuestre !ue la fuera gra+itacional !ue act"a so#re la estrella pe!uea de#ida a las
dos estrellas grandes del ejemplo 12.3 4sección 12.1) no está dirigida 5acia el punto a medio camino entre las estrellas grandes. #) onsidere !ue las dos estrellas grandes forman un solo cuerpo r$gido 4como si estu+ieran unidas por una +arilla de masa desprecia#le). alcule la torca ejercida por la estrella pe!uea so#re el cuerpo r$gido respecto a su centro de masa. c) /pli!ue cómo el resultado del inciso #) demuestra !ue el centro de masa no coincide con el centro de gra+edad. ¿(or !ué sucede esto en esta situación
12-2. n cierto instante, la Tierra, la 7una y una na+e estacionaria de 12&% 'g está en los +értices
de un triángulo e!uilátero, cuyos lados miden 3.- 3 1%& 'm cada uno. a) alcule la magnitud y dirección de la fuera gra+itacional neta !ue la Tierra y la 7una ejercen so#re la na+e. /prese la dirección en términos de un ángulo medido a partir de la l$8 nea !ue pasa por la Tierra y la na+e. n un di#ujo, muestre la Tierra, la 7una, la na+e y el +ector de fuera. #) ¿Qué cantidad m$nima de
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tra#ajo tendr$a !ue efectuarse para desplaar la na+e 5asta un punto distante de la Tierra y la 7una (ueden despreciarse los efectos gra+itacionales de#idos a los demás planetas y al *ol.
12-(. *e realia un e/perimento en el espacio lejano con dos esferas uniformes, una con masa de
2&.% 'g y la otra con masa de 1%%.% 'g. l radio de las dos esferas es el mismo9 r & %.2% m. 7as esferas se sueltan del reposo con sus centros separados -%.% m, y aceleran una 5acia la otra por su atracción gra+itacional mutua. 4:gnore todas las demás fueras gra+itacionales.) a) /pli!ue por !ué se conser+a el momento lineal. #) uando sus centros están separados 2%.% m9 i) ¿!ué rapide tiene cada esfera ii) ¿on !ué magnitud de +elocidad relati+a se acerca una esfera a la otra c) ¿; !ué distancia de la posición inicial del centro de la esfera de 2&.% 'g c5ocan las superficies de las dos esferas
12-*. *uponga !ue la ór#ita de la 7una es circular. ; partir del periodo or#ital o#ser+ado de 2<.3
d$as, calcule la distancia de la 7una al centro de la Tierra. *uponga !ue los mo+imientos de la 7una sólo están determinados por la fuera gra+itacional !ue l a Tierra ejerce so#re ella, y use la masa de la Tierra dada en el ;péndice =.
12-. *atélites geosincrónicos. >uc5os satélites se mue+en en un c$rculo en el plano ecuatorial de
la Tierra y están a tal altura !ue siempre permanecen so#re el mismo punto. a) etermine la altura de estos satélites so#re la superficie terrestre. 4; una ór#ita con estas caracter$sticas se le llama geosincrónica.) #) /pli!ue, con un di#ujo, por !ué las seales radiales de estos satélites no pueden llegar directamente a receptores terrestres situados a más de 1.3? de latitud norte.
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12-6. 0n módulo de descenso con masa de 12,&%% 'g está en ór#ita circular a una distancia de
&.<& 3 1%& m so#re la superficie de un planeta. l periodo de la ór#ita es de &%% s. 7os astronautas del módulo 5an determinado !ue el diámetro del planeta es de @.6% 3 1%6 m. l módulo desciende en el polo norte del planeta. ¿uánto pesará un astronauta de &.6 'g al pararse en la superficie del planeta
12-/. etermine la rapide de escape desde un asteroide de 3%% 'm de diámetro y densidad de
2&%% 'gAm3 .
12-. a) 7os asteroides tienen densidades medias del orden de 2&%% 'gAm3 y radios desde -<%
'm 5asta menos de 1 'm. *uponiendo !ue un asteroide tiene una distri#ución esféricamente simétrica de masa, estime el radio del asteroide más grande del !ue podr$a escapar con sólo saltar. 4*ugerencia9 puede estimar su rapide de salto relacionándola con la altura má/ima !ue puede saltar en la Tierra.) #) uropa, una de las cuatro lunas grandes de B"piter, tiene un radio de 1&<% 'm. 7a aceleración de#ida a la gra+edad en su superficie es de 1.33 mAs 2 . alcule su densidad media.
12-.- a) *uponga !ue está en el ecuador de la Tierra y o#ser+a un satélite !ue pasa directamente
arri#a en dirección oeste a este. /actamente 12.% 5oras después, o#ser+a otra +e el satélite directamente arri#a de su ca#ea. ¿; !ué altura so#re la superficie terrestre está la y / ( 1.% 'g 2.% 'g 1.% 'g %.&% m %.&% m =igura 12.36 (ro#lema 12.-@. -16 ;(CT07D 12 Era+itación ór#ita del satélite #) ;5ora o#ser+a otro satélite !ue se mue+e de este a oeste y pasa directamente arri#a de su ca#ea. l satélite +uel+e a estar en esa posición 12.% 5oras después. ¿; !ué distancia so#re la super8 ficie terrestre está su ór#ita
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12-60. l planeta F gira de forma análoga a la Tierra, en torno a un eje !ue pasa por sus polos
norte y sur, y es perfectamente esférico. 0n astronauta !ue pesa @-3.% G en la Tierra pesa @1&.% G en el polo norte del planeta F y sólo &%.% G en su ecuador. 7a distancia entre el polo norte y el ecuador es de 1,&% 'm, medidos so#re la superficie del planeta F. a) ¿Qué duración tiene el d$a en el planeta F #) *i un satélite de -&,%%% 'g se coloca en ór#ita circular 2%%% 'm arri#a de la superficie del planeta F, ¿!ué periodo or#ital tendrá
12-61- Hay dos ecuaciones para calcular el cam#io en la energ$a potencial gra+itacional 0 del
sistema de una masa m y la Tierra. 0na es 0 & mgy 4ecuación <.2) y la otra es 0 & 2EmmAr 4ecuación 12.@). omo se demostró en la sección 12.3, la primera sólo es correcta si la fuera gra+itacional es constante dentro del cam#io de altura y. 7a segunda siempre es correcta. n realidad, la fuera gra+itacional nunca es e/actamente constante dentro de ning"n cam#io de altura pero, si la +ariación es pe!uea, podemos despreciarla. onsidere la diferencia en 0 entre una masa en la superficie terrestre y a una distancia 5 arri#a de ella, usando am#as ecuaciones, y determine el +alor de 5 con el !ue la ecuación 4<.2) tiene un error de 1I. /prese 5 como una fracción del radio de la Tierra y tam#ién como +alor numérico.
12-62. :magine !ue usted es el principal ingeniero cient$fico de la na+e espistado rrante, la cual
se posa en el misterioso planeta >ongo. 0sted efect"a estas mediciones9 una piedra de 2.&% 'g lanada 5acia arri#a desde el suelo a 12.% mAs +uel+e al suelo en .%% sJ la circunferencia de >ongo en el ecuador es de 2.%% 3 1%& 'mJ y el planeta carece prácticamente de atmósfera. l capitán onfusión, comandante de la na+e, pide la siguiente información9 a) ¿Qué masa tiene >ongo #) *i el espistado rrante se coloca en una ór#ita circular 3%,%%% 'm arri#a de la superficie de >ongo, ¿cuántas 5oras tardará en dar una +uelta completa al planeta
12-6(. alcule la diferencia porcentual entre el peso !ue tiene usted en *acramento, cerca del ni+el
del mar, y en la cima del monte +erest, !ue está a %% m so#re el ni+el del mar.
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12-6*. n el ejemplo 12.& 4sección 12.3), despreciamos los efectos gra+itacionales de la 7una
so#re una na+e !ue +iaja de la Tierra a la 7una. e 5ec5o, de#emos incluir tam#ién la energ$a potencial gra+itacional de#ida a la 7una. (ara este pro#lema, desprecie los mo+imientos de am#os cuerpos. a) *i la 7una tiene radio K> y la distancia entre los centros de la Tierra y la 7una es K>, calcule la energ$a potencial gra+itacional total de los sistemas part$cula Tierra y part$cula87una, cuando una part$cula de masa m está entre am#os cuerpos, a una distancia r del centro de la Tierra. *ea la energ$a potencial gra+itacional cero cuando los o#jetos están muy alejados entre s$. #) Hay un punto en la l$nea entre la Tierra y la 7una, donde la fuera gra+itacional neta es cero. 0se la e/presión !ue dedujo en a) y +alores numéricos del ;péndice = para calcular la distancia de este punto al centro de la Tierra. ¿on !ué rapide de#e lanarse una na+e desde la superficie terrestre para llegar apenas a este punto c) *i se lanara una na+e de la superficie terrestre a la 7una con una rapide inicial de 11.2 'mAs, ¿!ué rapide tendr$a al c5ocar contra la 7una
12-6. 0na na+e no tripulada está en ór#ita circular alrededor de la 7una, o#ser+ando la superficie
lunar desde una altura de &%.% 'm 4+ea el ;péndice =). (ara consternación de los cient$ficos en la Tierra, un desperfecto eléctrico 5ace !ue un motor a #ordo se incendie y reduca la rapide de la na+e en 2%.% mAs. *i no se corrige la ór#ita, ¿con !ué rapide 4en 'mA5) c5ocará la na+e contra la superficie lunar L12.66. ¿uánto durar$a un d$a 4es decir, la duración de una re+olución de la Tierra so#re su eje), si la rapide de rotación de la Tierra fuera tal !ue g & % e n el ecuador
12-6/. >artillo !ue cae. 0n martillo de masa m se deja caer del reposo desde una altura 5 arri#a de
la superficie terrestre, no necesariamente pe!uea en comparación con el radio K de la Tierra. espreciando la resistencia del aire, deduca una e/presión para la rapide + del martillo cuando llega a la superficie terrestre. *u e/presión de#erá i ncluir 5, K y m, la masa de la Tierra.
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12-6. a) alcule cuánto tra#ajo se re!uiere para lanar una na+e espacial de masa m desde la
superficie de la Tierra 4masa m, radio K) y colocarla en una ór#ita #aja circular, es decir, una ór#ita cuya altura so#re la superficie terrestre es muc5o menor !ue K. 4(or ejemplo, la stación spacial :nternacional está en ór#ita #aja a una altura apro/imada de -%% 'm, muc5o menor !ue K & 63% 'm.) *e puede despreciar la energ$a cinética !ue la na+e tiene en el suelo de#ido a la rotación de nuestro planeta. #) alcule la cantidad m$nima de tra#ajo adicional re!uerida para pasar la na+e de una ór#ita #aja a una distancia muy grande de la Tierra. *e pueden ignorar los efectos gra+itacionales del *ol, la 7una y los demás planetas. c) Bustifi!ue la afirmación de !ue Men términos de energ$a, una ór#ita #aja está a la mitad de la distancia a los confines del 0ni+ersoN.
12-6.- *e +a a lanar una na+e de la superficie terrestre, de modo !ue escape del *istema *olar.
a) alcule la rapide relati+a al centro de la Tierra con !ue se de#e lanar la na+e. Tenga en cuenta los efectos gra+itacionales de la Tierra y el *ol, e incluya los efectos de la rapide or#ital de la Tierra, pero desprecie la resistencia del aire. #) 7a rotación terrestre puede ayudar a esta na+e a alcanar la rapide de escape. alcule la rapide !ue la na+e de#e tener relati+a a la superficie terrestre, si se lana de =lorida en el punto indicado en la figura 12.3<. 7os mo+imientos rotacional y or#ital de la Tierra tienen la misma dirección. 7as instalaciones de lanamiento de =lorida están 2.&? al norte del ecuador. c) 7a ;gencia spacial uropea 4*;) u sa instalaciones de lanamiento en la Euyana =rancesa 4inmediatamente al norte de Orasil), &.1&? al norte del ecuador. ¿Qué rapide relati+a a la superficie terrestre necesitar$a ad!uirir una na+e para escapar del *istema *olar, si se lana desde la Euyana =rancesa
12-/0. Era+edad dentro de la Tierra. alcule la fuera gra+itacional !ue la Tierra ejerce so#re una
masa de 1%.% 'g, si se coloca en los siguientes lugares. onsulte la figura 12.@ y suponga una densidad constante en cada una de las regiones interiores 4manto, n"cleo e/terior, n"cleo interior), pero no la misma densidad en cada una de estas regiones. 0tilice la gráfica para estimar la densidad media para cada región. a) n la superficie terrestreJ #) en la superficie e/terior del n"cleo e/terior fundidoJ c) en la superficie del n"cleo interior sólidoJ d) en el centro de la Tierra.
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12-/1. Huecos de Pir'ood. ientos de miles de asteroides giran alrededor del *ol en la franja de
asteroides, !ue se e/tiende desde apro/imadamente 3 3 1% 'm 5asta & 3 1% 'm del *ol. a) alcule el periodo or#ital 4en aos) de un asteroide en i) la orilla interior de la franja y ii) la orilla e/terior de la franja. *uponga ór#itas circulares. #) n 16<, el astrónomo estadounidense aniel Pir'ood sealó !ue e/isten +arios 5uecos en la franja de asteroides, donde se encuentran relati+amente pocos asteroides. ;5ora se sa#e !ue esos 5uecos de Pir'ood se de#en a la atracción gra+itacional de B"piter, el planeta más grande, cuyo periodo or#ital alrededor del *ol es de 11.6 aos. (or ejemplo, si un asteroide tiene un periodo or#ital !ue es la mitad del de B"piter, o sea, &.@3 aos, en cada segunda ór#ita el asteroide estar$a a una distancia m$nima de B"piter y e/perimentará =igura 12.3< (ro#lema 12.6@. *ol =lo rida Tierra (ro#lemas -1< una fuerte atracción 5acia ese planeta. ic5a atracción, al actuar repetidamente en ór#itas sucesi+as, podr$a ir sacando a los asteroides del 5ueco de Pir'ood. 0tilice esta 5ipótesis para determinar el radio or#ital de ese 5ueco de Pir'ood. c) Dtro 5ueco de Pir'ood aparece a una distancia del *ol, en la !ue el periodo or#ital es %.-%% +eces el de B"piter. /pli!ue esto y calcule el radio or#ital de ese 5ueco de Pir'ood.
12-/2. *i un satélite está en una ór#ita lo #astante #aja, e/perimentará arrastre de la atmósfera
terrestre. ado !ue el arrastre realia tra#ajo negati+o 4la dirección de la fuera de arrastre es opuesta al mo+imiento), la energ$a mecánica disminuirá. *eg"n la ecuación 412.13), si disminuye 4se 5ace más negati+a), el radio r de la ór#ita disminuirá. *i el arrastre es relati+amente pe!ueo, puede considerarse !ue el satélite está en una ór#ita circular con radio continuamente decreciente. a) *eg"n la ecuación 412.1%), si el radio de la ór#ita circular de un satélite disminuye, la rapide or#ital + del satélite aumenta. ¿ómo puede conciliar esto con la afirmación de !ue la energ$a mecánica disminuyeR 4*ugerencia9 ¿l arrastre es la "nica fuera !ue realia tra#ajo so#re el satélite al disminuir el radio or#ital) #) (or el arrastre del aire, el radio de la ór#ita circular de un satélite disminuye de r a r 2 r, donde la cantidad positi+a r es muc5o menor !ue r. 7a masa del satélite es m. emuestre !ue el aumento en la rapide or#ital es !ue el cam#io de energ$a cinética es !ue el cam#io de energ$a potencial gra+itacional es y !ue la cantidad de tra#ajo efectuado por la fuera de arrastre es :nterprete estos resultados a la lu de sus comentarios del inciso a). c) 0n satélite con masa de 3%%% 'g está inicialmente en una ór#ita circular a 3%% 'm arri#a de la superficie terrestre. ; causa del arrastre el aire, la altura del satélite disminuye a 2&% 'm. alcule la rapide or#ital inicial, el aumento en dic5a rapide, la energ$a mecánica inicial, el cam#io de energ$a cinética, el cam#io de energ$a potencial gra+itacional, el cam#io de energ$a mecánica y el tra#ajo realiado por la fuera de arrastre del aire. d) ; final de cuentas, un satélite descenderá a una altura tan #aja en la atmósfera !ue se !uemará y los restos caerán a la superficie. ¿Qué pasa con la energ$a mecánica inicial
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12-/(- strella #inaria8masas iguales. os estrellas idénticas de masa > están en ór#ita alrededor
de su centro de masa. 7as dos ór#itas son circulares con radio K, de modo !ue las dos estrellas siempre están en lados opuestos del c$rculo. a) alcule la fuera gra+itacional !ue una estrella ejerce so#re la otra. #) alcule la rapide or#ital de cada estrella y el periodo de la ór#ita. c) ¿uánta energ$a se re!uerir$a para separar las estrellas 5asta el infinito
12-/*. strella #inaria9 masas distintas. os estrellas, de masas >1 y >2, están en ór#itas
circulares alrededor de su centro de masa. 7a primera tiene una ór#ita de radio K1J y la segunda, K2. a) emuestre !ue la relación de los radios or#itales de las dos estrellas es igual al rec$proco de la relación de sus masas, es decir, K1AK2 & >2A>1. #) /pli!ue por !ué las dos estrellas tienen el mismo periodo or#ital T y !ue éste está dado por c) 7as dos estrellas de cierto sistema #inario se mue+en en ór#itas circulares. 7a primera estrella, ;lfa, tiene una rapide or#ital de 36.% 'mAsJ y la segunda estrella, Oeta, de 12.% 'mAs. l periodo or#ital es de 13< d$as. alcule las masas de las estrellas. d) 0no de los mejores candidatos para agujero negro está en el sistema #inario llamado ;%62%8%%@%. 7os dos o#jetos del sistema son una estrella anaranjada, S616 >onocerotis, y un o#jeto compacto !ue se cree es un agujero negro 4figura 12.22). l periodo or#ital de ;%62%8%%@% es de <.<& 5oras. *e estima !ue la masa de S616 >onocerotis es %.6< +eces la masa del *ol, y la del agujero negro, 3. +eces la masa del *ol. *uponiendo !ue las ór#itas T & 2p 1K1 1 K2 2 32 UE 1 >1 1 >2 2 . V & 2 1 Emm2r 2 2 r. 0 & 22 P & 2 1 Emmr 2 2 rJ P & 1 1 Emm2r 2 2 rJ + & 1 1r2 2 UEmr 3 J son circulares, determine el radio de la ór#ita y la rapide or#ital de cada o#jeto. ompare sus respuestas con el radio or#ital de la Tierra y su rapide or#ital alrededor del *ol.
12-/- 7os cometas +iajan alrededor del *ol en ór#itas el$pticas de gran e/centricidad. *i un
cometa tiene una rapide de 2.% 3 1%- mAs cuando está a una distancia de 2.& 3 1%11 m del centro del *ol, ¿!ué rapide tiene cuando está a &.% 3 1%1% m
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12-/6. uando >arte +iaja en torno al *ol en su ór#ita el$ptica, su distancia de mayor acercamiento
al centro del *ol 4en el peri5elio) es de 2.%6< 3 1%11 m, y su distancia má/ima 4en el afelio) es de 2.-@2 3 1%11 m. *i la rapide or#ital de >arte en el afelio es de 2.1@ 3 1%- mAs, ¿!ué rapide tiene en el peri5elio 4esprecie la influencia de los demás planetas.)
12-//- onsidere una na+e en ór#ita el$ptica alrededor de la Tierra. n el punto #ajo 4perigeo) de su
ór#ita, la na+e está -%% 'm arri#a de la superficie de la TierraJ en el punto alto 4apogeo), está a -%%% 'm de la superficie de la Tierra. a) alcule el periodo de la na+e en esa ór#ita. #) 0sando la conser+ación del momento angular, calcule la raón entre la rapide de la na+e en el perigeo y la rapide de la na+e en el apogeo. c) 0sando la conser+ación de la energ$a, determine la rapide de la na+e tanto en el perigeo como en el apogeo. d) *e desea !ue la na+e escape totalmente de la Tierra. *i sus co5etes se encienden en el perigeo, ¿cuánto tendrá !ue aumentarse la rapide para lograrlo ¿Qué ocurre si los co5etes se disparan en el apogeo ¿Qué punto de la ór#ita se puede usar con mayor eficiencia
12-/. 0rano tiene un radio de 2&,&6% 'm y en la superficie de sus polos la aceleración de#ida a la
gra+edad es de 11.1 mAs 2 . *u luna >iranda 4descu#ierta en 1@- por Puiper) está en una ór#ita circular a una altura de 1%-,%%% 'm so#re la superficie del planeta y tiene una masa de 6.6 3 1%1@ 'g y un radio de 23& 'm. a) alcule la masa de 0rano a partir de estos datos. #) alcule la magnitud de aceleración de >iranda de#ida a su mo+imiento or#ital alrededor de 0rano. c) alcule la aceleración de#ida a la gra+edad de >iranda en su superficie. d) ¿7as respuestas a los incisos #) y c) implican !ue un o#jeto soltado 1 m arri#a de la superficie de >iranda en el lado !ue da 5acia 0rano caerá 5acia arri#a relati+o a >iranda /pli!ue.
12-/.. 0na na+e de 3%%% 'g está en ór#ita circular 2%%% 'm arri#a de la superficie de >arte.
¿uánto tra#ajo de#en efectuar sus motores para lle+arla a una ór#ita circular -%%% 'm arri#a de la superficie
PROBLEMAS CAPITULO 12
12-0. 0no de los cometas más #rillantes del siglo // fue el cometa Hya'uta'e, !ue pasó cerca del
*ol a principios de 1@@6. *e estimó !ue el periodo or#ital de ese cometa es de unos 3%,%%% aos. alcule el eje semimayor de la ór#ita de este cometa y compárela con la distancia media entre (lutón y el *ol, y con la distancia a ;lfa entauri, la estrella más cercana al *ol, !ue está a -.3 aos lu.
12-1. 7os planetas no son uniformes en su interior. Gormalmente, son más densos en el centro y
su densidad se reduce 5acia la superfi8 cie. >odele un planeta esféricamente simétrico, con el mismo radio !ue la Tierra, suponiendo !ue su densidad disminuye linealmente al aumentar la distancia al centro. *ea la densidad en el centro de 1&.% 3 1%3 'gAm3 , y en la superficie, de 2.% 3 1%3 'gAm3 . etermine la aceleración de#ida a la gra+edad en la superficie de ese planeta.
12-2. 0n alam#re uniforme con masa > y longitud 7 se do#la para formar una semicircunferencia.
alcule la magnitud y dirección de la fuera gra+itacional !ue este alam#re ejerce so#re una masa puntual m colocada en el centro de cur+atura de la semicircunferencia.
12-(. 0n o#jeto en forma de un anillo circular delgado tiene radio a y masa >. 0na esfera
uniforme de masa m y radio K se coloca con su centro a una distancia / a l a derec5a del centro del anillo, a lo largo de una l$nea !ue pasa por el centro del anillo y es perpendicular a su plano 4figura 12.3&). ¿Qué fuera gra+itacional ejerce la esfera so#re el -1 ;(CT07D 12 Era+itación *ol Wr#ita de la Tierra Wr#ita de transferencia de Ho5mann Wr#ita de >arte =igura 12.3 (ro#lema de desaf$o 12.<. anillo emuestre !ue su resultado se reduce al +alor esperado cuando / es muc5o mayor !ue a.
PROBLEMAS CAPITULO 12
12-*. 0na +arilla uniforme delgada tiene una longitud 7 y una masa >. alcule la magnitud de la
fuera gra+itacional !ue la +arilla ejerce so#re una part$cula de masa m, situada en un punto a lo largo del eje de la +arilla y a una distancia / de un e/tremo 4figura 12.3-). emuestre !ue su resultado se reduce al +alor esperado cuando / es muc5o mayor !ue 7.
12-. *e perfora un poo de la superficie al centro de la Tierra 4fi8 gura 12.2&). omo en el
ejemplo 12.1% 4sección 12.6), suponga !ue la densidad de la Tierra es uniforme. on esta apro/imación poco realista, la fuera gra+itacional !ue act"a so#re un o#jeto de masa m u#icado dentro de la Tierra a una distancia r del centro tiene magnitud =g & EmmrAK 3 4como se demostró en el ejemplo 12.1%) y apunta 5acia el centro de la Tierra. a) educa una e/presión para la energ$a potencial gra+itacional 04r) del sistema o#jeto8Tierra en función de la distancia del o#jeto al centro de la Tierra. onsidere la energ$a potencial igual a cero cuando el o#jeto está en el centro de la Tierra. #) *i un o#jeto se deja caer por el poo desde la superficie terrestre, ¿!ué rapide tendrá cuando llegue al centro de l a Tierra
Problemas de desafío 12-6. a) uando un o#jeto está en una ór#ita circular de radio r alrededor de la Tierra 4masa m),
el periodo de la ór#ita es T Xdado por la ecuación 412.12)Y y la rapide or#ital es + Xdada por la ecuación 412.1%)Y. emuestre !ue, cuando el o#jeto se pasa a una ór#ita circular con radio un poco mayor r 1 r, donde su nue+o periodo es T 1 T y su nue+a rapide or#ital es + 2 +, donde r, T y + son cantidades positi+as y 4*ugerencia9 use la e/presión +álida para #) 7a stación spacial :nternacional 4:**, por las siglas de :nternational *pace *tation) está en una ór#ita casi circular a una altitud de 3@.%% 'm. 0na cuadrilla de mantenimiento está a punto de llegar en un trans#ordador espacial !ue tam#ién está en una ór#ita circular en el mismo plano or#ital !ue la :**, pero con una altitud de 3@.1% 'm. 7a cuadrilla acudió para retirar un ca#le eléctrico inutiliado con una longitud de 12& m !ue está unido a la :** por un e/tremo, con el otro e/tremo flotando li#re en el espacio. l plan es !ue el trans#ordador pes!ue el e/tremo li#re en el instante en !ue la na+e, la :** y el centro de la Tierra están alineados. ;l tensarse el ca#le, se soltará de la :**. ¿uántos minutos después de !ue el trans#ordador atrapa el e/tremo suelto el ca#le se soltará de la :** c) emuestre !ue, si el trans#ordador no logra pescar el ca#le, la cuadrilla de#erá esperar
PROBLEMAS CAPITULO 12
un tiempo para tener otra oportunidad. alcule el +alor numérico de t y e/pli!ue si +aldr$a la pena esperar.
12-/. Ga+egación interplanetaria. 7a forma más eficiente de en+iar una na+e de la Tierra a otro
planeta es usar una ór#ita de transferencia de Ho5mann 4figura 12.3). *i las ór#itas de los planetas de origen y de destino son circulares, la ór#ita de transferencia de Ho5mann es una ór#ita el$ptica, cuyos peri5elio y afelio son tangentes a las ór#itas de los dos planetas. 7os co5etes se encienden #re+emente en el planeta de origen para colocar la na+e en la ór#ita de transferenciaJ a continuación, la na+e +iaja sin motor 5asta llegar al planeta de destino. n ese instante, los co5etes se encienden otra +e para poner a la na+e en la misma ór#ita alrededor del *ol !ue el planeta de destino. a) (ara un +uelo de la Tierra a >arte, ¿en !ué dirección se de#en disparar los co5etes en la Tierra y en >arte9 en la dirección del mo+imiento o en la dirección opuesta ¿Z en un +uelo de >arte a la Tierra #) ¿uánto tarda un +iaje de ida de la Tierra a >arte, entre los disparos de los co5etes c) (ara llegar a >arte desde la Tierra, el instante del lanamient [ T2 T % / % S 1.) 1 1 1 / 2 n [ 1 1 n/, T & 3pr + y + & p r T r S r, to de#e calcularse de modo !ue >arte esté en el lugar correcto cuando la na+e llegue a la ór#ita de >arte alrededor del *ol. n el lanamiento, ¿!ué ángulo de#en formar las l$neas *ol8>arte y *ol8Tierra 0se datos del ;péndice =
. 12-. =ueras de marea cerca de un agujero negro. 0na astronauta, dentro de una na+e !ue la
protege de las radiaciones dainas, está en ór#ita alrededor de un agujero negro a una distancia de 12% 'm de su centro. l agujero tiene &.%% +eces la masa del *ol y un radio de *c5arsc5ild de 1&.% 'm. 7a astronauta está situada dentro de la na+e, de modo tal !ue una de sus orejas de %.%3% 'g está 6.% cm más lejos del agujero negro !ue el centro de masa de la na+e, y la otra oreja está 6.% cm más cerca. a) ¿Qué tensión 5ay entre las orejas ¿*er$a dif$cil para la astronauta e+itar ser desgarrada por las fueras gra+itacionales 4(uesto !ue todo su cuerpo está en ór#ita con la misma +elocidad angular, una oreja se mue+e con demasiada lentitud para el radio de su ór#ita y la otra lo 5ace con demasiada rapide. (or ello, la ca#ea de#e ejercer fueras so#re las orejas para mantenerlas en sus ór#itas.) #) ¿l centro de gra+edad de la ca#ea está en el mismo punto !ue su centro de masa /pli!ue.
PROBLEMAS CAPITULO 12
12-.- 7a masa > está distri#uida uniformemente en un disco de radio a. alcule la fuera
gra+itacional 4magnitud y dirección) !ue act"a entre esta masa y una part$cula de masa m situada a una distancia / arri#a del centro del disco 4figura 12.3@). ¿*u resultado se reduce a la e/presión correcta cuando / se 5ace muy grande 4*ugerencia9 di+ida el disco en anillos concéntricos infinitesimalmente delgados, use la e/presión deducida en el ejercicio 12.-1 para la fuera gra+itacional de#ida a cada anillo, e integre para o#tener la fuera total.)
12-.0- 7a masa > está distri#uida uniformemente a lo largo de una l$nea de longitud 27. 0na
part$cula de masa m está en un punto a una distancia a arri#a del centro de la l$nea en su #isectri perpendicular 4el punto ( en la figura 12.-%). (ara la fuera gra+itacional !ue la l$nea ejerce so#re la part$cula, calcule las componentes perpendicular y paralela a la l$nea. ¿*u resultado se reduce a la e/presión correcta cuando a se 5ace muy grande a / m > =igura 12.3@ (ro#lema de desaf$o 12.@. ( a 7 7 > =igura 12.-% (ro#lema de desaf$o 12.@%.
