Física I Semana 1 Mediciones y Movimiento en una Dimensión
SEMANA 1
Lectura y socialización del sílabo
SESIÓN 01
Logro esperado: Aplica las reglas de mediciones e incertidumbres en el uso de cantidades físicas para expresar resultados en ingeniería que tengan sentido físico.
Unidades, dimensiones y cinemática ¿Qué indica este cartel? ¿Cómo nos indica el movimiento permitido de los vehículos?
¿Qué significan los símbolos km, h y km/h?
Cantidades fundamentales y sus unidades SI – Sistema International de unidades Creado en 1960 por un comité internacional. Sistema principal usado en este curso.
Cantidad Longitud Básicas
Unidad SI (abreviación) metro (m)
Masa
kilogramo (kg)
Tiempo
segundo (s)
Temperatura
kelvin (K)
Corriente eléctrica
amperio (A)
Intensidad luminosa
candela (cd)
Cantidad de sustancia
mol (mol)
Cantidades usadas en la mecánica • Cantidades básicas: Longitud, masa, tiempo • Cantidades deducidas – Ejemplo: El área es el producto de dos longitudes, es una cantidad deducida.
Área
Rapidez
Prefijos • Los prefijos pueden ser usados con cualquier unidad base • Son multiplicadores de la unidad básica • Ejemplos: 1 mm = 10-3 m 1 mg = 10-3 g pero g (gramo) no es la unidad básica. Entonces = _ 1 mg = 10-3 g= 10 6 kg (¿Por qué?)
Cantidades básicas y sus dimensiones • La dimensión de una cantidad denota su naturaleza física. • Para denotar a las dimensiones se suelen poner entre corchetes a la cantidad – Longitud : L – Masa : M – Tiempo : T
Ejemplo: Si la variable m denota “masa” entonces [m2] = M2
Dimensiones y unidades • Cada dimensión puede tener diferentes unidades
Escalas del universo
Recurso interactivo: Haga clic acá
Dimensiones y unidades Principio de homogeneidad dimensional: • Ambos miembros de una ecuación deben tener las mismas dimensiones. *** Por lo tanto: Cada término en una suma o resta debe tener las mismas dimensiones. • Limitación: No puede distinguir factores numéricos puros (adimensionales).
Análisis dimensional, ejemplo • Dada la ecuación: 𝑥 =
1 𝑎𝑡 2 2
(x:posición, a: aceleración, t: tiempo). Dato: Se sabe que 𝑎 =
𝐿 𝑇2
Comprobar las dimensiones en cada lado:
L L 2 T2 L T – La ecuación es dimensionalmente correcta (dimensionalmente homogénea). – La constante 1/2 no tiene dimensiones. El análisis dimensional no nos dice nada sobre si este factor es correcto o no.
Análisis dimensional para una ley de potencia • Determinar potencias en una proporcionalidad – Ejemplo: encuentre los exponentes en la expresión x amt n
• • • •
Debe obtenerse dimensión L en ambos lados La aceleración a (como veremos) tiene dimensión L/T2 El tiempo tiene dimensión T Hallar los exponentes m y n utilizando el análisis dimensional
Ejemplo ¿Es ésta una ecuación correcta para una velocidad?
¡Equivocado!
Ejemplo ¿Es ésta una fórmula correcta para una rapidez?¿Por qué? 𝑣=
𝑣02 + 2 ⋅ 𝑎 ⋅ 𝑡
Tabla con algunas magnitudes físicas y sus dimensiones
Utilidad del análisis dimensional El análisis dimensional puede servir para detectar errores en fórmulas y ecuaciones, como se vio arriba. Como otro ejemplo, supóngase que por error se usa la fórmula: 𝑨 = 𝟐𝝅𝒓 (erróneo) para el área A de un círculo, donde r es el radio. Si comprobamos las dimensiones del miembro derecho obtenemos L, mientras que esto no concuerda con la dimensión del área que es L2.
Ejemplo: La magnitud de la aceleración centripetal para una partícula en movimiento circular 𝐿 uniforme (dimensión ) depende 2 𝑇
𝐿 ( ) 𝑇
solamente de su rapidez v y el radio del circulo r (𝐿). ¿Cuál de las siguientes fórmulas para 𝑎𝑟 podría ser correcta?
(a)
𝑎𝑟 =
𝑣2 𝑟4
2 𝑣 (b) 𝑎𝑟 = 𝑟 Respuesta: b
(c)
𝑎𝑟 = 𝑣 −1 𝑟 2
Conversión de unidades Las unidades se pueden tratar como cantidades algebraicas que se pueden cancelar ¿Qué unidades vemos en este velocímetro?
Cuando las unidades no son del mismo sistema se debe convertir dichas unidades a una en común para sumarlas, restarlas o cancelarlas.
Sistema Inglés • Aún usado en los Estados Unidos. Cantidad
Unidad (abreviación)
Longitud
pie (ft)
Masa
slug (slug) libra (lb)
Tiempo
segundo (sec) *
𝟏 𝐟𝐭 = 𝟑𝟎, 𝟒𝟖 𝐜𝐦 𝟏 𝐟𝐭 = 𝟏𝟐 𝐢𝐧 𝟏𝐢𝐧 = 𝟐, 𝟓𝟒 𝐜𝐦 Estas relaciones son exactas.
NOTA: 𝐢𝐧: pulgada
* En el sistema inglés, a diferencia del SI, se abrevia como sec. No usaremos esta abreviación por no ser parte del SI.
Inglés
SI 𝟏 𝐟𝐭 = 𝟏𝟐 𝐢𝐧
= 𝟑𝟎, 𝟒𝟖 𝐜𝐦
𝟏 𝐢𝐧
= 𝟐, 𝟓𝟒 𝐜𝐦
𝟏 𝐥𝐛 (libra - fuerza)
≈ 𝟒, 𝟒𝟒𝟖𝟐𝟐𝟐 𝑵
Estas relaciones exactas.
dos son
Nota:
𝒎 𝟏 𝐍 = 𝟏 𝐤𝐠 ∙ 𝟐 𝒔 Esto será importante cuando veamos dinámica luego.
El newton (N). Unidad de fuerza. La fuerza no es una cantidad básica del SI. Sus unidades son deducidas de las básicas.
Conversión de unidades • Siempre incluya unidades para cada cantidad. Se puede llevar las unidades durante todo el cálculo
• Multiplique el valor original por un factor de conversión • Ejemplo: 15,0 𝑖𝑛 = ? 𝑐𝑚 𝟏𝟓, 𝟎 𝑖𝑛 ⋅ 𝟐,𝟓𝟒 𝒄𝒎 𝟏 𝒊𝒏
(15,0 proviene de una medición) 𝟐, 𝟓𝟒 𝒄𝒎 = 𝟑𝟖, 1 𝑐𝑚 𝟏 𝒊𝒏
es el factor de conversión.
• Ejercicio: Ahora convertir 13
𝑓𝑡 sec2
a unidades del SI:
Ejemplos El pascal (Pa) es, en realidad, una unidad de presión muy pequeña comparado con 𝑁 algo natural como la presión atmosférica. Para mostrar esto, convierta 1 𝑃𝑎 = 1 𝑚2 a
𝑙𝑏 . 𝑓𝑡 2
𝑙𝑏
La presión atmosférica al nivel del mar es de 14,7 𝑖𝑛2 ¿A cuántos pascales
equivale esto?
Rpta: 1,01 ⋅ 105 𝑃𝑎. Un pascal es tan pequeño que para igualar una presión atmosférica se necesita ciento un mil pascales.
Un auto viaja a 55,0 𝑚𝑖/ℎ. Determine su rapidez en kilómetros por hora y en metros por segundo.
Dato: 1 mi (milla) = 1,609344 km
Rptas: 88,5 𝑘𝑚/ℎ 24,6 𝑚/𝑠
Ejemplo Un cilindro circular recto tiene radio medido 𝒓 de 36,0 𝒊𝒏 y una altura 𝒉 de 7,50 𝒇𝒕. ¿Cuál es área superficial en (a) pies cuadrados, (b) metros cuadrados?
𝑅𝑝𝑡𝑎: 𝑎) 198 𝑓𝑡 2 , 𝑏)18,4 𝑚2
Incertidumbre en mediciones • Toda medición tiene incertidumbre y éstas se arrastran en nuestros cálculos (propagación de errores) – Pueden ser debidos al aparato, al experimentador y/o al número de mediciones hechas, • Usaremos las reglas de cifras significativas para aproximar la incertidumbre en nuestros cálculos en clase y en la resolución de problemas.
Cifras significativas • El numero de cifras significativas en una medición sirve para expresar algo acerca de la incertidumbre: Se cuentan las cifras medidas e incluimos una cifra estimada (la última). • En una medición las cifras significativas incluyen el primer dígito estimado • 0,0075 m tiene 2 cifras significativas • 10,0 m tiene 3 cifras significativas • 1500 m es ambiguo: – Use 1,5 x 103 m para expresar 2 cifras significativas – Use 1,50 x 103 m para expresar 3 cifras significativas
Practique expresando los siguientes números en notación científica e indique la cantidad de cifras significativas. Número
Notación Científica
Cantidad de cifras significativas
65821,19 × 10−19
7
510,9989 × 103
7
0,004414006
7
198843,5 × 1025 𝜋 108 0,0056704 × 105
7
1221 × 1025
4
299792458,00
11
0
5
31
Operaciones con cifras significativas Adición y/o sustracción: Se suman y/o restan todos los números y se redondea la respuesta al menor numero de decimales.
Operaciones con cifras significativas Multiplicación y/o división: Se multiplican y/o dividen todos los números y se redondea la respuesta al menor numero de cifras significativas.
Medición e incertidumbre; cifras significativas La calculadora muestra el resultado que da de dividir 2,0 entre 3,0. Lo correcto sería 0,67.
La calculadora muestra el resultado que da de multiplicar 2,5 por 3,2. Lo correcto sería 8,0.
La calculadora no sigue las reglas de uso de cifras significativas.
Notación científica La Notación Científica permite mostrar claramente el número de cifras significativas (c.s). No hay ambigüedades:
3,69 x 104, tiene tres c.s. 3,690 x 104, tiene cuatro c.s.
En notación científica un número se expresa como decimal mayor o igual a 1 y menor que 10, multiplicado por una potencia de 10.
Pregunta Realice las siguientes operaciones y exprese los resultados con las cifras significativas correctas, en notación científica y en SI de unidades. a)
1 3
𝜋 5,00 𝑚𝑚
3
b) (21,235 𝑠) – (1623,1 𝑚𝑠) + (0,00018912 𝑀𝑠)
c) 880,00 𝑖𝑛 2 𝑥 2,65 𝑐𝑚
d)
𝑚 (299792458 𝑠 )5 ×(1,054572×10−34 𝑚3 −14 6674×10 𝑠2 𝑘𝑔
𝑚2 𝐾𝑔 𝑠
)
Rpta:
a) 𝟏, 𝟑𝟏 ×
𝟏𝟎−𝟕 𝒎𝟑
b) 𝟐, 𝟎𝟗 ×
𝟏𝟎𝟐
𝒔 c) 𝟏, 𝟓𝟎 ×
𝟏𝟎−𝟐
𝒎𝟑
d) 𝟏, 𝟗𝟓𝟔 ×
𝒌𝒈 𝒎𝟐 𝟗 𝟏𝟎 𝒔𝟐
Redondeo • La última cifra retenida se incrementa en 1 si el último dígito es mayor que 5. • La última cifra retenida se mantiene si el último dígito es menor que 5. • Si el último dígito descartado es igual a 5, el dígito retenido debe redondearse al número par más cercano. • Recomendación: Siempre se debe dejar el redondeo al final de la respuesta para evitar acumular errores al ir redondeando pasos intermedios.
Ejemplo Redondee los siguientes números hasta la exactitud requerida: 42,6432 s
hasta las milésimas de segundo
57,551
hasta las décimas
7,87485 m
hasta las unidades de metro
8,5455 kg
hasta las centésimas de kg
Ejemplo Se quiere calcular el área y perímetro de un rectángulo si se han medido los lados con diferentes instrumentos, obteniéndose: 𝑳𝟏 = 𝟎, 𝟐𝟒𝟕𝒎 𝑳𝟐 = 𝟎, 𝟎𝟎𝟏𝟐𝟒𝒎 Indique dicho perímetro y área con el número correcto de cifras significativas.
SESIÓN 02
Logro esperado: Calcula posiciones, velocidades y rapideces en una dimensión con precisión y exactitud para obtener respuestas a situaciones cinemáticas en el ámbito cotidiano e ingenieril.
CINEMÁTICA • Caso de un objeto modelado como una partícula: un objeto puntual con masa pero sin dimensiones. • Esto implica que sólo consideraremos el movimiento traslacional, mas no el rotacional. • Describe el movimiento de un objeto sin importar los agentes que originaron dicho movimiento. Movimiento traslacional. En esta parte del curso nos enfocaremos en este tipo de movimiento.
Movimiento rotacional: No se puede analizar mediante el modelo de partícula. Se necesita cinemática rotacional.
Posición, velocidad y rapidez •
La posición de un objeto es su ubicación con respecto a un punto de referencia elegido, el cual será el origen de un sistema coordenado.
En la figura el letrero mostrado en la carretera indica el punto de referencia.
Figura Un automóvil va hacia adelante y en reversa a lo largo de una línea recta. Ya que se tiene interés solo en el movimiento trasnacional del automóvil, se le representa como una partícula.
Figura a) Representación pictórica del movimiento del automóvil.
Tabla: Posición del móvil en varios tiempos •
La tabla muestra los datos registrados durante el movimiento del móvil.
Desplazamiento Conforme la partícula se mueve desde una posición inicial xi a una posición final xf , su desplazamiento se conoce por
Dx puede ser positivo, cero o negativo y lleva unidad de longitud. En el SI su unidad en el metro (m).
Distancia recorrida Es la longitud de una trayectoria seguida por una partícula.
𝑥𝑖 = 30 𝑚 𝑥𝑓 = 50 𝑚 Δ𝑥 = +20 𝑚
¡El signo indica la dirección respecto al eje elegido!
El desplazamiento es un ejemplo de una cantidad vectorial.
𝑥𝑖 = 40 𝑚 𝑥𝑓 = −60 𝑚 Δ𝑥 = −100 𝑚
EJERCICIO 1
Diferencia entre desplazamiento y distancia recorrida. 𝚫𝒙 = +𝟒𝟎 𝒎
𝒅 = 𝟏𝟎𝟎 𝒎
El desplazamiento es una cantidad que tiene magnitud y dirección. Tales cantidades se llaman vectores y se representan usando flechas en los diagramas.
EJERCICIO 2 Una hormiga inicia su movimiento en x
=20 cm sobre una hoja de papel cuadriculado y camina a lo largo del eje x hasta x = 40 cm. Luego se regresa y camina hasta x=10 cm. ¿Cuál es el desplazamiento de la hormiga y la distancia total recorrida? RESPUESTA: 𝚫𝒙 = −𝟏𝟎 𝒄𝒎 𝒅 = 𝟓𝟎 𝒄𝒎
Gráfico Posición vs tiempo El gráfico posición vs tiempo muestra el movimiento de una partícula o móvil
Representación grafica (grafica posición-tiempo) del movimiento del automóvil.
Velocidad promedio • La velocidad promedio vx,prom de una partícula se define como su desplazamiento Δx dividido entre el intervalo de tiempo Δt en la cual ocurre dicho desplazamiento. ¡El signo indica la dirección respecto al eje elegido!
– La letra x indica el movimiento a lo largo del eje x. • Las dimensiones son: Longitud/tiempo: L/T. • En el SI la unidad es: m/s. • Es también la pendiente de la recta que pasa por los puntos inicial y final en el gráfico posición vs tiempo.
Rapidez promedio • La rapidez promedio vprom de una partícula se define como la distancia total recorrida d dividido entre el intervalo de tiempo total Dt requerido para recorrer dicha distancia.
• Es una cantidad escalar. • En el SI las unidades son: m/s. • No tiene dirección y siempre es expresado como un número positivo (o cero si no se recorre un trayecto).
EJEMPLO Cálculo de velocidad y rapidez promedio Encuentre el desplazamiento, velocidad promedio y rapidez promedio del automóvil de la figura a entre las posiciones A y F.
Solución: consultando la tabla obtenemos,
Velocidad instantánea • Es el límite de la velocidad promedio cuando el intervalo de tiempo se aproxima a cero. • La velocidad instantánea indica cual es la velocidad de la partícula en cada instante de tiempo. • La ecuación general para la velocidad instantánea es:
• La velocidad instantánea puede ser positiva, negativa o cero. Nota: De aquí en adelante, se usa la palabra velocidad para designar velocidad instantánea. Cuando se este interesado en velocidad promedio, siempre se usara el adjetivo promedio.
Grafico de Velocidad instantánea
Figura 2.3 a) Grafica que representa el movimiento del automóvil de la figura b) Una ampliación de la esquina superior izquierda de la grafica muestra como la línea azul entre las posiciones A y B tiende a la línea tangente verde conforme el punto B se mueve mas cerca del punto A.
Rapidez instantánea • Es la magnitud de la velocidad instantánea. • Es una cantidad escalar. Las palabras velocidad y rapidez nos indicarán valores instantáneos. La palabra promedio será usada cuando se indique velocidad promedio o rapidez promedio. Como con la rapidez promedio, la rapidez instantánea no tiene dirección asociada con ella. Por ejemplo, si una partícula tiene una velocidad instantánea de +25 m/s a lo largo de una línea dada y otra partícula tiene una velocidad instantánea de –25 m/s a lo largo de la misma línea, ambas tienen una rapidez de 25 m/s.
Velocidad promedio e instantánea Una partícula se mueve a lo largo del eje x. Su posición varia con el tiempo de acuerdo con la expresión x=−4t + 2t2, donde x esta en metros y t esta en segundos. La grafica posición-tiempo para este movimiento se muestra en la figura 2.4. Note que la partícula se mueve en la dirección x negativa durante el primer segundo de movimiento, en el momento t=1s esta momentáneamente en reposo y se mueve en la dirección x positiva en tiempos t > 1s.
A) Determine el desplazamiento de la partícula en los intervalos de tiempo t= 0 a t =1 s y t=1 s a t=3 s.
B) Calcule la velocidad promedio durante estos dos intervalos de tiempo.
C) Encuentre la velocidad instantánea de la partícula en t= 2,5 s.
Modelo de Partícula con velocidad constante Velocidad constante 𝑣𝑥 = 𝑣𝑥,𝑝𝑟𝑜𝑚
La posición de la partícula como una función del tiempo está dada por
SOLO SI tiene velocidad constante
Gráfico de una Partícula con velocidad constante: Posición vs tiempo • La pendiente del grafico es el valor de la velocidad constante • xi es el intercepto en el eje y Figura Grafica posición tiempo para una partícula bajo velocidad constante. El valor de la velocidad constante es la pendiente de la línea.
Modelo de partículas a rapidez constante Ahora considere una partícula que se mueve con una rapidez constante a lo largo de una trayectoria curva.
Rapidez constante:
En esta figura: Se tiene una partícula que se mueve con rapidez constante pero su velocidad cambia de dirección.
Ejemplo Considere como partícula a la tierra y asuma que se mueve con rapidez constante en una trayectoria circular alrededor del sol. Si a la tierra le toma 𝟑𝟔𝟓 𝒅í𝒂𝒔 dar una vuelta al sol en su actual orbita y la distancia de la tierra al sol es 𝟏, 𝟓𝟏𝟔 × 𝟏𝟎𝟏𝟏 𝒎. 𝒌𝒎 Calcular la rapidez de la tierra para completar este viaje en . 𝒔
𝑘𝑚 𝑅𝑝𝑡𝑎: 30,2 𝑠
Usted va en bicicleta siempre en línea recta desde su casa hasta un parque a 𝟏𝟖𝟔𝟎 𝒎 de distancia. Al regreso (yendo en la misma línea recta), se detiene en la casa de un amigo que está a la mitad del camino. El tiempo que ha empleado durante su recorrido es 𝟏𝟎, 𝟎 𝒎𝒊𝒏𝒖𝒕𝒐𝒔. Tomando la dirección positiva hacia la derecha, calcule: A. El desplazamiento B. La distancia recorrida C. La velocidad promedio en m/s D. La rapidez promedio en m/s
Respuestas: 𝐴. + 9,300 × 102 𝑚 𝑚 𝐶. +1,55 𝑠
𝐵. 2,790 × 103 𝑚 𝑚 𝐷. 4,65 𝑠
SESIÓN 03
Logro esperado: Calcula la aceleración gráfica y analíticamente en problemas con aceleración variable o constante para determinar cantidades cinemáticas en situaciones cotidianas.
Aceleración Aceleración promedio • La aceleración es la razón de cambio de la velocidad.
• Las dimensiones son: L/T2 • En el SI la unidad es m/s2 • En una dimensión, el signo positivo o negativo puede ser usado para indicar la dirección.
Aceleración instantánea • Es el límite de la aceleración promedio cuando Δt se aproxima a cero.
• El término aceleración significará aceleración instantánea. • Si deseamos referirnos a la aceleración promedio la palabra promedio debe ser incluida.
Gráfico de aceleración instantánea • La pendiente del gráfico velocidad vs tiempo es la aceleración. • La línea verde representa la aceleración instantánea. • La línea celeste representa la aceleración promedio.
movimiento en una dimensión
EJEMPLO CONCEPTUAL Relaciones gráficas entre x, vx y ax La posición de un objeto que se mueve a lo largo del eje x varia con el tiempo, como en la figura. Grafique la velocidad en función del tiempo y la aceleración en función del tiempo para el objeto.
movimiento en una dimensión
a) Grafica posición tiempo para un objeto que se mueve a lo largo del eje x. b) La gráfica velocidad-tiempo para el objeto se obtiene al medir la pendiente de la gráfica posición tiempo en cada instante. c) La gráfica aceleración tiempo para el objeto se obtiene al medir la pendiente de la gráfica velocidad tiempo en cada instante.
EJEMPLO Aceleración promedio e instantánea La velocidad de una partícula que se mueve a lo largo del eje x varía de acuerdo con la expresión vx = (40 – 5t 2) m/s, donde t está en segundos. A) Encuentre la aceleración promedio en el intervalo de tiempo t = 0 a t =2,0 s.
B) Determine la aceleración en t = 2,0 s.
Modelo de Análisis de partículas con Aceleración Constante Si comienza a partir de la posición xi y la velocidad inicial vxi y se mueve en una línea recta con una aceleración constante ax, su posición posterior y velocidad se describen mediante las siguientes ecuaciones cinemáticas:
Modelo de Análisis de partículas con Aceleración Constante ¡Estas ecuaciones solamente son válidas si la aceleración es constante!
Ejercicio En la figura, relacione cada grafica vx–t de la parte superior con la grafica ax–t de la parte inferior que mejor describa el movimiento.
Ejemplo ¿Cuánto tiempo le toma a un automóvil cruzar una intersección de 37,50 m de ancho después que el semáforo se pone en luz verde, considerando que el automóvil parte del reposo con una aceleración constante de 2,00 mΤs 2 ?
Rpta: 6,12 s
Ejemplo: ¡Pisa los frenos! Un ranger maneja a 17,0 m/s y . Ve un venado en la carretera y aplica los frenos desacelerando a razon de 3,80 m/s2.
(a) Si el venado está a 50,0 m del carro cuando los frenos se aplican, ¿qué tan cerca llega a estar del venado? (b) ¿Cuál es el tiempo de frenado? Respuestas: Rpta: (𝑎)12,0 𝑚 ; (𝑏)4,47 𝑠
Objetos en caída libre • Un objeto en caída libre es aquél que se mueve libremente bajo la influencia sólo de la aceleración de la gravedad.
• Un movimiento en caída libre se puede dar de tres formas: – Cuando el objeto es soltado de cierta altura. – Cuando el objeto es lanzado verticalmente hacia abajo. – Cuando el objeto es lanzado verticalmente hacia arriba.
Un objeto que es soltado desde el reposo • La velocidad inicial es cero. • La velocidad a lo largo de su movimiento es negativa pues su dirección es hacia abajo. • La aceleración es: ay = – g = – 9,81 m/s2.
Un objeto que es lanzado hacia abajo • La velocidad inicial no es cero. • La velocidad a lo largo de su movimiento es negativa pues tiene una dirección hacia abajo. • La aceleración es: ay = – g = – 9,81 m/s2.
Objeto que es lanzado hacia arriba • La velocidad inicial no es cero. • Si elegimos la dirección vertical hacia arriba como positiva entonces la velocidad inicial es positiva pues tiene una dirección a favor del eje Y que va hacia arriba. • La velocidad a lo largo de su movimiento de subida es positiva pues tiene una dirección hacia arriba. • La velocidad a lo largo de su movimiento de bajada es negativa. • La aceleración es: ay = – g = – 9,81 m/s2.
Algunas consideraciones • Las ecuaciones cinemáticas del movimiento rectilíneo con aceleración constante cumplen también para caída libre. • Al lanzar un objeto verticalmente hacia arriba y luego si este objeto regresa a la misma altura, se cumple: tiempo de subida (𝑨 → 𝑩) = tiempo de bajada (𝑩 → 𝑪)
Éste es el movimiento simétrico A-B-C. CUIDADO: Este resultado se cumple sólo cuando el objeto regresa al mismo nivel de altura. Siempre se cumplirán las ecuaciones cinemáticas.
Caída libre Si empieza del reposo. Diagrama de la trayectoria Gráfica posición (x) vs tiempo (t)
La trayectoria es rectilínea (vertical) ¡La gráfica es parabólica!
Caída libre Gráfica posición vs tiempo
Otras gráficas
Ejemplo: El sombrero de graduación Al graduarse, un estudiante alegre lanza su sombrero verticalmente hacia arriba con una rapidez inicial de 14,7 m/s. Despreciando la resistencia del aire: (a) ¿Cuándo alcanza el sombrero su punto más alto? (b) ¿Cuál es la distancia al punto más alto? (c) Asumiendo que el sombrero se atrapa cuando regresa a la misma altura a la que se lanzó, ¿cuál es el tiempo total de vuelo? 1. Dibuje el sombrero (como partícula) en sus varias posiciones e indicando el eje. 2. Use las relaciones de tiempo, velocidad y aceleración necesarias. 3. VERIFIQUE QUE SU RESPUESTA TENGA LAS UNIDADES APROPIADAS Y SEA RAZONABLE. Respuesta: (a)1,5s (b)11,0 m (c) 3,0 s
TRABAJO EN CLASE
Pregunta 1 Se lanza una piedra verticalmente hacia arriba con una rapidez inicial de 8,50 m/s desde el borde de un acantilado de 75,0 m de altura. a) ¿Cuánto tiempo le toma a la piedra llegar a la misma altura de donde fue lanzada? b) ¿Cuál es su rapidez justo antes de tocar el fondo? c) ¿Cuál es el desplazamiento y la distancia total recorrida? Rpta: a) 1,73 s b) 39,3 m/s c) 82,4 m.
Pregunta 2 En la figura se muestra la gráfica de la posición en función del tiempo para un móvil que se mueve en una pista recta. Determinar la velocidad promedio y la rapidez promedio en los intervalos de: A. B. C. D.
0,0 a 2,0 s, 0,0 a 3,0 s, 3,0 a 5,0 s, 0,0 a 5,5 s
Respuestas :
Parte
Velocidad Promedio
Rapidez Promedio
A.
+6,0 𝑚/𝑠
6,0 𝑚/𝑠
B.
+4,0 𝑚/𝑠
4,0 𝑚/𝑠
C.
−8,0 𝑚/𝑠
8,0 𝑚/𝑠
D.
0,0 𝑚/𝑠
6,4 𝑚/𝑠
Pregunta 3 Un cohete es disparado hacia arriba y tiene aceleración 𝒎 constante positiva de magnitud 𝒂 = 𝟒𝟎 𝟐 mientras su 𝒔 motor sigue funcionado. Se sabe que solo hay combustible para que el motor funciones por 𝒕 = 𝟐, 𝟓 𝒔. A. Haga una grafica de la velocidad vs tiempo y posición vs tiempo. B. Cual es la máxima altura que el cohete alcanza? C. Cual será la rapidez del bloque justo antes de impactar contra el suelo?
Respuestas : B.
C. ℎ = 6,3 × 102 𝑚
𝑣 = 1,1 × 102 𝑚/𝑠
Problema extra Un conductor viaja con rapidez constante de 𝒗 = 𝟕𝟐, 𝟎 𝒌𝒎/𝒉 cuando observa que la luz del semáforo a 𝒅 = 𝟑𝟐𝟎 𝒎 de distancia se pone roja. Se sabe que la luz roja solo estará por 𝒕 = 𝟐𝟐, 𝟎 𝒔 antes de cambiar a verde. Si el conductor desea seguir avanzando sin parar mientras el semáforo se pone verde. Determine: A. La desaceleración constante del carro. B. La rapidez del carro al pasar el semáforo.
Aprendizaje Autónomo
Corresponde a las 4 horas mínimas semanales de aprendizaje autónomo
PARA EL ESTUDIANTE
SESIÓN 04 Aprendizaje Autónomo
Logro esperado: Resuelve problemas de la semana de manera autónoma grupal y/o individual siguiendo la metodología de resolución vista en clase (justificando sus pasos) para asimilar los conceptos y técnicas del curso.
Pregunta 1 Realice las siguientes operaciones y exprese los resultados con las cifras significativas correctas y en notación científica. a) (4/3)π(4,00 m)3 b) (21,235 s) – (16,23 s) + (1,8 s)
c) 8,00 cm x 2,6 cm d) 4π(3,000 m)2 e) 0,578 ⋅ 10−5 𝑠
Pregunta 2 Se va a poner información de las dimensiones de un avión en un folleto. Se sabe que el avión mide 41 m pero ahora se le quiere aumentar una antena de 3,6 cm de largo (longitudinalmente desde la punta de la nariz del avión). A. ¿Cuánto se debe reportar en dicho folleto como la longitud del aeroplano? B. Si más bien la antena a poner mide 64,5 cm de largo, ahora ¿cuánto se debe reportar? Respuestas: A. 41 m B. 42 m
Pregunta 3 Se tiene la siguiente ecuación dimensionalmente correcta: 3 𝐵 + 𝑚𝑣 𝐴𝑥 2 + + 𝐷 ⋅ 𝑡𝑎𝑛 0,5𝜋 + 𝐸𝑚2 = 0 𝐶+𝑡
Donde x es posición, m es masa, y v es rapidez.
•
Note que no es posible saber si 0 tiene o no dimensiones (excepción a la regla de constantes).
(A)Halle las dimensiones de B, C y E. (B)¿Cuáles son las unidades básicas (sin prefijos) en el SI que deben tener A y B? Respuestas: (A) (B) 𝑘𝑔 ⋅ 𝑚 ⋅ 𝑠 −4
𝐵 = 𝑀𝐿3 𝑇 −3 , 𝐶 = 𝑇 , 𝐸 = 𝑀−2 y 𝑘𝑔 ⋅ 𝑚3 ⋅ 𝑠 −3 respectivamente.
Pregunta 4 Un tren que se mueve lentamente a lo largo de un parte recta de la pista de acuerdo con el gráfico de posición en función del tiempo en la figura. Hallar (a) la velocidad media del total del viaje, (b) la velocidad media durante los primeros 4s de movimiento, (c) la velocidad media durante los próximos 4s de movimiento, (d) la velocidad instantánea en t=2s, y (e) la velocidad instantánea en t=9s.
Pregunta 5 En el diseño de un aeropuerto para aviones pequeños, se considera que el tipo de avión acelera a 3,05 m/s2 y debe alcanzar una rapidez, antes de despegar, de por lo menos 27,8 m/s. Si la pista tiene 150 m de longitud, ¿puede este avión alcanzar la rapidez mínima que se requiere para despegar? En caso negativo, ¿qué longitud mínima debería tener la pista?
Respuesta: Con esa pista, el avión sí logra despegar pues se necesita como mínimo 127 m 93
Pregunta 6
Rptas: (a) 12,0 m (b) +12,0 m (c)
(d) En la vida real no puede serlo (sería una aceleración infinita). Debe haber cierta inclinación.
Pregunta 7 Un ascensor se mueve hacia arriba con rapidez constante 𝒎 de 𝒗 = 𝟏, 𝟖 𝒔 y pasa otro ascensor en reposo. Despues de 𝒕 = 𝟒, 𝟎 𝒔 el segundo ascensor se mueve hacia arriba con 𝒎 aceleración constante de 𝒂 = 𝟎, 𝟕𝟑 𝒔𝟐 . Determine: A. En cuánto y dónde los ascensores llegarán a la misma altura. B. La rapidez del Segundo ascensor en el instante mencionado en A.
Rpta: A. 𝑡 = 22 𝑠 and 𝑦 = 1,8 × 102 𝑚
B.
𝑣 = 16 𝑚/𝑠
Pregunta 8 ¡Observe el límite de rapidez! Un automóvil que viaja con una rapidez constante de 45,0 m/s pasa por donde un patrullero en motocicleta esta oculto detrás de un anuncio espectacular. Un segundo después de que el automóvil pasa el anuncio, el patrullero sale de su escondite para detener al automóvil, que acelera con una relación constante de 3,00 m/s2. ¿Cuanto tiempo tarda en dar alcance al automóvil? vx automovil = 45,0 m/s ax automovil = 0 ax patrullero = 3,00 m/s2
Figura 2.13 (Ejemplo 2.8) Un veloz automóvil rebasa a un patrullero oculto.
Pregunta 9 Una esfera es lanzada hacia arriba desde el borde del acantilado. Una segunda esfera de deja caer desde el acantilado 1 segundo después. Ignorando la resistencia del aire: A. Si la altura del acantilado es de 𝒉 = 𝟐𝟎 𝒎, ¿Cuál debe ser la rapidez inicial de la primera esfera si ambas llegan al piso al mismo tiempo? B. Si la altura del acantilado no se sabe, pero la rapidez inicial de 𝒎 la primera esfera es 𝒗 = 𝟗, 𝟎 𝒔 . ¿Cuál sería la altura del acantilado si ambas llegan al suelo también al mismo tiempo?
Rpta: A.
B. 𝑣𝑖 = 8,2 𝑚/𝑠
ℎ = 1,3 × 102 𝑚
PREGUNTA 10 ¡No es un mal lanzamiento para un novato! A una piedra que se lanza desde lo alto de un edificio se le da una velocidad inicial de 20,0 m/s directo hacia arriba. El edificio tiene 50,0 m de alto y la piedra apenas libra el borde del techo en su camino hacia abajo, como se muestra en la figura. A) Use 𝑡𝐴 = 0 como el tiempo cuando la piedra deja la mano del lanzador en la posición A y determine el tiempo en el que la piedra llega a su altura máxima. B) Encuentre la altura máxima de la piedra. C) Determine la velocidad de la piedra cuando regresa a la altura desde la que se lanzó.
D) Encuentre la velocidad y posición de la piedra en t=5,00 s.
Pregunta 11 El valor que obtiene del volumen de un cubo es V = 6,4 ∙ 1019 𝑐𝑚3 . Se necesita saber la longitud de la arista 𝐿 de dicho cubo. Utilizando lo aprendido sobre notación científica, cifras significativas y sin utilizar ningún tipo de calculadora: • Halle el valor de dicha arista en cm y • en unidades del sistema común (usual) inglés.
Pregunta 12 La tabla de abajo muestra las dimensiones y unidades en el SI de las cantidades básicas: Cantidad
Dimensión
Unidad
Longitud
L
m
Masa
M
kg
Tiempo
T
s
Sabiendo que: La velocidad es el cambio de posición respecto al tiempo, La aceleración es el cambio de velocidad respecto al tiempo En magnitud, la fuerza = masa · aceleración, y que el trabajo es la transferencia de energía mecánica, y se puede obtener (en muchos casos) como W = fuerza∙distancia. A. Exprese las unidades de fuerza en unidades de las cantidades básicas. B. Determine los valores de n y p, si la expresión MLnTn-p corresponde a la dimensión de energía cinética.
Pregunta 13 Halle las dimensiones de “s” en la siguiente fórmula dimensionalmente correcta (homogénea)
A. Tuesta V.
Referencias SERWAY RAYMOND, JEWETT JOHN W. Física para la Ciencias e Ingeniería. Volumen I. 7a Edición. México. Thomson. 2009. LIBRO TEXTO TIPLER PAUL, MOSCA GENE. Física para la ciencia y la tecnología. VOLUMEN 1. Mecánica/Oscilaciones y ondas/Termodinámica. Sexta Edición. Barcelona. Reverte. 2010
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