fisca

1.

Un bloque de 3.94 Kg. estira a un resorte de 15.7 cm desde su posición no estirada. El bloque se retira y en su lugar se cuelga un objeto de 0.520 kg. Hallar el periodo de su oscilación.

DATOS INCÓGNITAS FÓRMULAS m1 =3.94kg W=2p /T = m2 =0.520kg T=? T=2p x=15.7m OPERACIONES Sí W=2p /T = \ T=2p cuando F= -kx tenemos que k=F/x la F=ma \ k=ma/x k= (3.94)(9.8)/0.157 k= 246 N/m T=2p T=2p T=288 x 10-3s Ejercicio 2.- Un cuerpo oscila con movimiento armónico simple de acuerdo con la ecuación: x(t) = 6,12 cos (8,38t +1,92) con x en metros y t en segundos. Halle: a) el desplazamiento, la velocidad, y la aceleración en el tiempo t = 1,90s y sus valores máximos, b) la frecuencia y el período del movimiento. c) Si la masa vale m = 0,350 kg, ¿Cuánto vale la energía cinética, y la energía mecánica?

O.3.- Dos resortes están unidos a un bloque de masa m que puede deslizar libremente sobre una superficie horizontal sin fricción, como se muestra en la figura. Demuestre que la frecuencia de oscilación del bloque vale:



1 2

k1  k2   12   2 2 m

, donde 1 y 2 son las frecuencias a las que oscilaría el bloque

si se uniera solamente al resorte 1 o al resorte 2.

1.4 Dos resortes están unidos entre sí, y a una masa m, como se muestra en la figura.

Las superficies carecen de rozamiento. Si los resortes tienen constantes k1 y k2, demostrar que la frecuencia de oscilación es

1 2

k1 k 2 . ( k1  k 2 ) m

La figura superior muestra el sistema en equilibrio, cuando los dos resortes tienen su longitud natural. La figura inferior muestra el sistema en un instante en que el resorte 1 tiene un alargamiento x1 y el resorte 2 tiene un alargamiento x – x1: -1-

resorte 1 tiene alargamiento x1

-2-

resorte 2 tiene alargamiento x – x1

Las figuras muestran el punto de empate E, el cual se supone que tiene masa cero. La ley de





Newton F  ma dice que sobre un punto de masa cero – la fuerza total es cero; vemos pues que la fuerza total sobre E es cero, y esto con -1-2-dice: k1 x1  k 2 ( x  x2 ) , con F1  k1 x1 y F2  k 2 ( x  x1 ) (ver figura). Donde: -3-

x1 

k2 x k1  k 2

De otro lado, sobre m se ejerce la fuerza del resorte 2, y entonces - 2 – dice que:

Fuerza sobre m es F2= – k2 (x – x1) ma = – k2 (x – x1)



usar - 3 -

k1 k 2 d 2x x , pero a  2 k1  k 2 dt

d 2 x 1 k1k 2   x0 dt 2 m k1  k 2

Esta es la fórmula que identifica al movimiento armónico simple; reconocemos la frecuencia angular  :

-4-

2 



kk 1  1 2 , m k1  k 2

 1  2 2

entonces

k1 k 2 m(k1  k 2 )

Cuando hay un solo resorte de constante k se tiene  2 

k , y al comparar esto con - 4 m

vemos que el sistema de dos resortes k1 y k2 conectados en serie es equivalente a un solo resorte con una k dada por

k

k1 k 2 , que también se escribe así: k1  k 2

1 1 1   k k1 k 2 Capítulo 15. Problema 37 Un cilindro sólido está unido a un resorte horizontal sin masa de modo que puede rodar sin resbalar a lo largo de una superficie horizontal, como en la figura 32. La constante de fuerza k del resorte es de 2.94 N/cm. Si el sistema parte del reposo desde una posición en que el resorte está estirado 23.9 cm. Halle (a) la energía cinética de traslación y (b) la energía cinética de rotación del cilindro al pasar por la posición de equilibrio. (c) Demuestre que en estas condiciones el centro de masa del cilindro efectúa un movimiento armónico simple con un periodo

43. Un aro circular de 65.3 cm de radio y 2.16 Kg. de masa esta suspendido de un clavo horizontal. A) Halle la frecuencia de oscilación para desplazamientos pequeños desde el equilibrio. B) ¿Cuál es la longitud del péndulo simple equivalente?. DATOS INCÓGNITAS FÓRMULAS m= 2.16 kg. I=? T=1/f r= 65.3cm T=? I=mr2 g= 9.8 m/s2 f=? T= 2p L=? L= I/md Operaciones La inercia rotatoria respecto al pivote en el borde es usando el teorema de ejes paralelos Si I=mr2 + mr2 I=2mr2 I=2[(2.16)(0.653)2] I= 1.84 kgm2 T= 2p T= 2p T= 2p T= 2.29s F=1/T F=1/2.29 F= 0.437 Hz L=I/mr si I=2mr2 \ I=1.84 kgm2/ (2.16)(0.653)= I=1.30 m

Problema 15.45.- Un péndulo físico consta de un disco solido uniforme de masa M=563 g y un radio R=14.4 cm. Soportado en un plano vertical por un pivote situado a una distancia d=10.2 cm del centro del disco. El disco se desplaza un pequeño ángulo y luego se suelta. Halle el periodo del movimiento armónico simple resultante.

√

√

√

√

Ejercicio 9.- Un péndulo consta de un disco uniforme de 10,3 cm de radio y una masa de 488 g unido a una barra de 52,4 cm de longitud que tiene una masa de 272 g, según figura. a) Calcule la inercia rotatoria del péndulo respecto al pivote. b) ¿Cuál es la distancia entre el pivote y el centro de masa del péndulo? c) Calcule el período de oscilación para ángulos pequeños.

.- Se forma un pendulo pivoteando una varilla larga y delgada, de longitud l y de masa m, alrededor de un punto sobre dicha varilla, que esta a una distancia lc mas alla de su centro. a) econtrar el periodo de pequeña amplitud de este pendulo en terminos de l, d, m y g. b) Demostrar que el periodo tiene tiene un valor minimo cuando

√

a) √ b)

√

√ √

Un péndulo simple de longitud L está sujeto a un carro que desliza sin rozamiento hacia abajo por un plano inclinado que forma un ángulo con la horizontal. Determinar el periodo de oscilación del péndulo sobre el carro deslizante. Si el péndulo no estuviera sobre un plano inclinado, el periodo del mismo sería:

Ejercicio 15.- (Examen Agosto 2008)- La figura muestra un disco uniforme de radio R = 0,800 m y masa M = 6,00 kg, con un pequeño agujero a una distancia d del centro que puede servir de centro de pivote. Para un d particular, el período del péndulo físico es mínimo. ¿Cuánto debe valer la distancia d, para que el período valga T = 2,40 s?

Periodo de un péndulo físico:

T  2

T2 2 gd  R 2  2d 2 2 4

 gT 2 gT 2  2  4 2  4 d 2



I0  2 Mgd d2 

MR 2  Md 2 R 2  2d 2 2  T  2 2 gd Mgd

gT 2 R 2  0 2 4 2

2

 R2   4 2 

2



 gT 2  gT 2 R2   = 0,278m d    8 2  2 8 2  

Ejercicio 8.- Un cilindro sólido está unido a un resorte horizontal sin masa de modo que puede rodar sin resbalar a lo largo de una superficie horizontal, como se ve en la figura. La constante de fuerza k del resorte es de 2,94 N/cm. Si el sistema parte del reposo desde una posición en que el resorte está estirado 23,9 cm, halle a) la energía cinética de traslación y b) la energía cinética de rotación del cilindro al pasar por la posición de equilibrio. c) Demuestre que en estas condiciones el centro de masa del cilindro efectúa un movimiento armónico simple con un período T  2 cilindro.

3M , donde M es la masa del 2k

Ejercicio 13.-(S.4a. 15.55) Un péndulo de longitud L y masa M tiene un resorte de constante elástica k conectado a él a una distancia h debajo de su punto de suspensión. Encuentre la frecuencia de vibración del sistema para valores pequeños de la amplitud . Suponga que la suspensión vertical de longitud L es rígida, pero de masa despreciable.

Solución

2da. Cardinal aplicada al punto de

IO =



suspensión O:

O

I O   MgLsen  kxh cos 

x = hsen

IO = ML2 ML2  MgLsen  kh 2 sen cos

Con la aproximación de pequeñas oscilaciones: sen ≈ y cos≈ 1 ML2   MgL  kh 2 =  ( MgL  kh 2 )

  

MgL  kh 2 ML

Por tanto

2

 = -2

f=

1  = 2 2

MgL  kh 2 ML2

Ejercicio 14.-Una esfera sólida de masa m y radio R rueda sin deslizar en un canal cilíndrico de radio 5R, como se muestra en la figura. 2

a) Pruebe que la energía cinética de la esfera vale K 

112mR 2  d    . 10  dt 

b) Demuestre que para pequeños desplazamientos  desde el punto de equilibrio perpendicular a la longitud del canal, la esfera realiza un movimiento armónico simple con un periodo

T  2

28 R . 5g

Sugerencia: Exprese la energía mecánica para una posición genérica teniendo en cuenta que para pequeños desplazamientos angulares se verifica:

1  cos  

2 2

, y luego como la misma es constante,

su derivada respecto al tiempo debe ser nula. Tenga en cuenta que:

 

d 2 d   2 dt dt

y

d  d  d d 2   2 dt  dt  dt dt 2 2

Solución a) Como rueda sin deslizar, la energía cinética tiene una v componente de traslación y otra de rotación, con   R K

v 2 1 1 1 mvCM 2  I CM  2 =  mvCM 2  I CM CM 2 2 2  R2

=

I 1  m  CM2 2 R

 =  

 v CM 2 

El centro de masa se mueve en una cfa. de radio igual a 4R Por lo tanto s = 4RvCM =

ds d  4R dt dt

El momento de inercia de la esfera vale I CM 

2 mR2 5

2   2 2 2 mR 2  2  17  112mR 2  d  2  1 d  1   2  d  2  d  K= m  5 2  4 R  =    =  m 16R   =  m  m 16R   10  dt  5  2 dt  2   dt   dt  2  5  R    

b) El sistema es conservativo por tanto: K + U = E = cte Consideramos que en el punto más bajo la energía potencial es nula, por tanto la energía potencial para un punto genérico a un ángulo  vale: U() = mgh con h = 4R(1-cos), por otro lado la energía cinética 2

en ese punto genérico vale: K()=

112mR 2  d  112mR 2  d    , por tanto E = 4mgR (1-cos) +   10  dt  10  dt 

Para pequeñas oscilaciones: 1  cos 

cambiando la notación E=

2 2

 2  E= 4mgR   2

2

 112mR 2  d  2 +    10  dt  

56 2 mR2 2 + 2mgR 5

Derivando respecto al tiempo

112  5 g 56 R  4 g = 0     mR2 2  2mgR2 = 0  5 5 28 R

= 0     2 = 0 con  

5 g 28 R

Por tanto T =

2



 T  2

28 R 5g