UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA Facultad de Ingeniería Mecánica Informe de Laboratorio N⁰2
"Locura es hacer lo mismo una vez tras otra y esperar resultados diferentes"
Laboratorio N°2
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1. ÍNDICE: 1. Índice 2. Resumen 3. Introducción 4. Objetivos 5. Fundamento Teórico 6. Descripción del procedimiento experimental seguido 7. Gráficas experimentales y cálculos de resultados 11. Observaciones 12. Conclusiones 13. Recomendaciones 14. Bibliografía
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2. RESUMEN En el presente laboratorio se realizó gracias a la adquisición de datos en el proceso de mediciones de distancias en base a una frecuencia que emitía un dispositivo (chispero), se trató de hallar cantidades cinemáticas estudiadas previamente, para luego plasmarlas en gráficas y así contrastar resultados.
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3. INTRODUCCIÓN Cuando se desea medir ciertas cantidades cinemáticas con sus respectivos instrumentos, estos suelen no ser tan ser tan exactos, por lo que existe cierta incertidumbre al hallarlos, sin embargo, suelen aproximarse, las cantidades que se hallaran en el presente texto será velocidad media, velocidad instantánea, aceleración instantánea haciendo sus graficas respectivas. r espectivas.
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4. OBJETIVOS
Determinar la velocidad instantánea de un cuerpo en movimiento rectilíneo a partir de la información vs tiempo.
Determinar la aceleración instantánea a partir de la información velocidad vs tiempo.
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5. FUNDAMENTO TEÓRICO
Conceptos Matemáticos
Recta Mínimo Cuadrática
La recta mínimo cuadrática que ajusta al conjunto de puntos tiene la ecuación: , ….,
∑∑ ∑∑
Donde las constantes , siguientes ecuaciones A) B)
,
,
se pueden determinar resolviendo las dos
A continuación se muestra la deducción de las formulas anteriores: Se establece la suma de las desviaciones.
Para obtener el mínimo igualamos a cero las derivadas parciales de con respecto a los y .
De donde obtenemos:
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] Laboratorio N°2
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UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA Facultad de Ingeniería Mecánica Informe de Laboratorio N⁰2 Parábola mínimo-cuadrática En este caso el ajuste se hará en la forma de ecuación de la parábola
Para obtener las ecuaciones normales que permitan calcular los coeficientes , y se procede de manera similar que para el caso de la recta r ecta mínimo cuadrática, tratando que tome su valor mínimo. Así resulta,
Función real de variable real,
:
Conjunto de pares ordenados de números reales
Se puede escribir
Límite de una función en un punto
Es el valor al cual se aproxima la variable se aproxima a
:
cuando la variable independiente
. Algunas veces no existe.
Razón de cambio de una función en un intervalo
: (1)
Función de cambio de una función alrededor de un punto
Conjunto de pares ordenados
{( {( )}
, donde está definido por:
Derivada de una función en un punto Laboratorio N°2
:
(2)
: Página 7
UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA Facultad de Ingeniería Mecánica Informe de Laboratorio N⁰2 Cuando existe límite, es el límite de la función razón de cambio alrededor del punto
{( {( )} ,
, cuando se aproxima a
O, aproximadamente: aproximadamente:
. (3)
(Esta aproximación será mejor cuando más pequeña sea) Función derivada Es el conjunto de pares ordenados Donde es cualquier número real sobre el cual está definida la función y es el correspondiente correspondiente segundo elemento obtenido de acuerdo a la ec. (3) Segunda derivada Es la función derivada de la función
Conceptos físicos Función posición (en movimiento rectilíneo) Es el conjunto de pares ordenados
{({( )}
Donde es el tiempo transcurrido desde un instante fijado f ijado convencionalmente convencionalmente como y es la posicion en el instante i nstante ,
respecto a un punto tomado convencionalmente como Velocidad media en un intervalo de tiempo
{( )}
.
Función velocidad media alrededor de un instante
Es el conjunto de pares ordenados
Velocidad instantánea en un instante Laboratorio N°2
; donde:
(4)
(5)
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Es el límite de la función f unción velocidad media alrededor del instante
{( )}
, cuando se aproxima a
.
(6)
Función velocidad instantánea Es el conjunto de pares ordenados
{( )}
Donde
designa un instante y
es la velocidad en el instante
obtenido de acuerdo a la ecuación 6.
Aceleración media en un intervalo de tiempo
{( )}
Función aceleración media alrededor de un instante Es el conjunto de pares ordenados
(7)
, donde:
(8)
Aceleración instantánea en el instante
Es el límite de la función aceleración media alrededor del instante , cunado t se aproxima a
Donde
(9)
Función aceleración instantánea Es el conjunto de pares ordenados
designa un instante y
{( )}
es la aceleración en ese instante de
acuerdo a la ec. 9. Es la función derivada de la l a función velocidad instantánea
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6. DESCRIPCIÓN DEL PROCEDIMIENTO EXPERIMENTAL SEGUIDO
Materiales
Riel sobre plano inclinado con tira de papel eléctrico.
Carrito metálico.
Chispero electrónico.
Fuente de chispero.
Tres tiras de papel bond de 65cmx6cm
Cuatro hojas de papel milimetrado
Procedimiento U t i l i z a m o En un sistema carrito-riel para medir cantidades cinemáticas durante determinados tiempo que los denominamos ticks. Dejamos deslizar al carro sobre las rieles inclinadas i nclinadas 10 grados sexagesimales mientras estaba encendido el chispero a 220 V, este carrito contaba con un
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UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA Facultad de Ingeniería Mecánica Informe de Laboratorio N⁰2 parte que hacia contacto con la tira de papel bond previamente colocada colocada de un extremo hacia el otro extremo, al deslizarse el carro por las rieles inmediatamente apagamos apagamos el interruptor del chispero, luego sacamos la tira de papel y al reverso contábamos con puntos que se distanciaban esto fue consecuencia de una frecuencia con el cual el chispero emitía.
7. GRÁFICOS EXPERIMENTALES Y CALCULO DE RESULTADOS Tabla de datos a 20 Hz (1 tick=50ms ó 0.05 s)
1
0.5
0.75
1.30
1.82
2.25
2.65
3.08
2
1.10
0.83
1.42
1.94
2.36
2.77
3.20
3
1.85
0.90
1.55
2.07
2.49
2.89
3.31
4
2.75
-
1.71
2.22
2.62
3.01 3.0 1
3.43
5
4.05
1.30
1.85
2.35
2.74
3.12
3.54
6
5.60
1.43
2.00
2.48
2.86
3.24
3.66
7
7.50
1.58
2.10
2.60
2.97
3.34
3.76
8
9.60
1.71
-
2.73
3.08
3.44 3.4 4
3.86
9
12.10
1.87
2.50
2.80
3.16
3.53
3.95
10
14.70
1.99
2.55
2.90
3.25
3.62
4.05
11
17.55
2.11
2.65
2.95
3.33
3.71
4.14
12
20.50
2.22
2.73
-
3.43
3.80
4.24
13
23.70
2.33
2.82
3.20
3.50
3.89
4.34
14
27.00
2.43
2.90
3.25
3.60
3.98
4.44
15
30.55
2.53
2.99
3.35
3.65
4.07
4.54
16
34.20
2.62
3.08
3.43
-
4.18
4.65
17
38.10
2.72
3.17
3.52
3.90
4.27
4.76
18
42.10
2.81
3.25
3.60
3.95
4.40
4.88
19
46.45
2.91
3.35
3.71
4.08
4.45
4.99
20
50.90
3.01
3.44
3.80
4.18
-
5.13
21
55.70
3.11
3.55
3.91
4.30
4.80
5.23
22
60.65
3.22
3.65
4.02
4.41
4.88
5.38
23
65.90
3.32
3.75
4.13
4.53
5.00
5.50
24
71.40
3.43
3.86
4.24
4.65
5.13
-
25
77.15
3.54
3.97
4.36
4.77
5.25
5.75
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UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA Facultad de Ingeniería Mecánica Informe de Laboratorio N⁰2 V1. Gráfica de la función posición po sición
90.00
80.00 77.15 71.40
70.00
65.90 60.65
60.00
55.70 50.90
50.00 ) m c ( n 40.00 o i c i s o P
46.45 42.10 38.10 34.20 30.55
30.00
27.00 23.70 20.50 17.55 14.70 12.10 9.60 7.50 5.60 4.05 1.852.75 0.501.10
20.00
10.00
0.00 0
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10 11 1 1 12 1 2 13 1 3 14 1 4 15 1 5 16 1 6 17 1 7 18 1 8 19 1 9 20 2 0 21 2 1 22 2 2 23 2 3 24 2 4 25 2 5 26 26
-10.00
Tiempo (ticks)
El ajuste de curvas que más se adecua a la gráfica posición vs tiempo es la de una parábola cuya ecuación es
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V2. Velocidad instantánea en t=4 ticks (0.2s) Para hallar la velocidad instantánea en el punto determinamos dos puntos consecutivos al punto y hallar la semisuma de esta. Donde
de forma geométrica , es decir ,
4.00
y = 0.1084x + 0.8599 3.50
3.00
2.50
) t , 4 ( 2.00 m V
1.50
1.00
y = 0.075x + 0.675 0.50
0.00 0
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10 11 1 1 12 1 2 13 1 3 14 1 4 15 1 5 16 1 6 17 1 7 18 1 8 19 1 9 20 2 0 21 2 1 22 2 2 23 2 3 24 2 4 25 2 5 26 26 t (ticks)
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V3. Velocidad instantánea en varios puntos 7.00 6.00 Vm(4,t)
5.00
Vm(8,t) 4.00
Vm(12,t)
3.00
Vm(16,t)
2.00
Vm(20,t)
1.00
Vm(24,t)
0.00 0
5
10
15
20
25
30
Las rectas de las l as velocidades medias graficadas son paralelas para cualquier punto. a) en t=8 ticks (0.4s)
Para hallar la velocidad instantánea en el punto determinamos dos puntos consecutivos al punto y hallar la semisuma de esta.
4.50
de forma geométrica , es decir ,
4.00 y = 0.0922x + 1.6208 3.50 3.00 ) 2.50 t , 8 (
m V2.00
1.50
y = 0.1381x + 1.1518
1.00 0.50 0.00 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 1 12 1 2 13 1 3 14 1 4 15 1 5 16 1 6 17 1 7 18 1 8 19 1 9 20 2 0 21 2 1 22 2 2 23 2 3 24 2 4 25 2 5 26 26 t (ticks)
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b) en t=12 ticks (0.6s)
Para hallar la velocidad instantánea en el punto determinamos dos puntos consecutivos al punto y hallar la semisuma de esta.
5.00
de forma geométrica , es decir ,
4.50 y = 0.0976x + 1.8765 4.00
3.50
3.00 ) t , 2 1 2.50 ( m V
y = 0.1177x + 1.7355
2.00
1.50
1.00
0.50
0.00 0
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10 11 1 1 12 1 2 13 1 3 14 1 4 15 1 5 16 1 6 17 1 7 18 1 8 19 1 9 20 2 0 21 2 1 22 2 2 23 2 3 24 2 4 25 2 5 26 26 t (ticks)
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c) en t=16 ticks (0.8 s)
Para hallar la velocidad instantánea en el punto determinamos dos puntos consecutivos al punto y hallar la semisuma de esta.
de forma geométrica , es decir ,
6.00
5.00 y = 0.1119x + 1.9581
4.00
) t , 6 1 ( 3.00 m V
y = 0.1009x + 2.2112
2.00
1.00
0.00 0
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 t (ticks)
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d) en t=20 ticks (1 s)
Para hallar la velocidad instantánea en el punto determinamos dos puntos consecutivos al punto y hallar la semisuma de esta.
6.00
de forma geométrica , es decir ,
y = 0.115x + 2.365 5.00
4.00
y = 0.0985x + 2.6113
) t , 0 2 ( 3.00 m V
2.00
1.00
0.00 0
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10 11 1 1 12 1 2 13 1 3 14 1 4 15 1 5 16 1 6 17 1 7 18 1 8 19 1 9 20 2 0 21 2 1 22 2 2 23 2 3 24 2 4 25 2 5 26 26 t (ticks)
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e) en t=24 ticks (1.2s)
Para hallar la velocidad instantánea en el punto determinamos dos puntos consecutivos al punto y hallar la semisuma de esta.
7.00
de forma geométrica , es decir ,
6.00
5.00
4.00
) t , 4 2 ( m V
y = 0.1063x + 2.9879
3.00
2.00
1.00
0.00 0
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10 11 1 1 12 1 2 13 1 3 14 1 4 15 1 5 16 1 6 17 1 7 18 1 8 19 1 9 20 2 0 21 2 1 22 2 2 23 2 3 24 2 4 25 2 5 26 26 t (ticks)
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V4. Aceleración en un instante t=16 ticks Tras hallar las velocidades instantáneas, de la misma manera que hicimos anteriormente, hallar aceleración media el punto t=16 ticks.
Donde
4
1.10
0.22
8
2.30
0.19
12
3.08
0.18
16
3.78
-
20
4.63
0.21
24
5.63
0.23
0.25
0.20
0.15
0.10
0.05
0.00 0
2
4
6
8
10
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12
14
16
18
20
22
24
26
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V5. Grafico vs
90.00
80.00
y = 0.1225x + 1.7946
77.15
71.40
70.00 65.90 60.65
60.00
55.70 ) m50.00 c ( n o i c i s o 40.00 P
50.90 46.45 42.10 38.10 34.20 30.55
30.00
27.00 23.70 20.50
20.00
17.55 14.70 12.10 9.60 7.50 5.60 4.05 2.75 1.85 1.10 0.50
10.00
0.00 0
10 0
20 0
300
40 0
500
60 0
70 0
t2 (Tick2)
La pendiente de la ecuación
es igual a 0.1225.
,
Aproximadamente
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Al calcular la aceleración del lanzamiento y compararlo con la aceleración teórica, nos dimos cuenta que esta esta era mayor que la aceleración experimental experimental (de los lanzamientos) entonces dedujimos dedujimos que, al cumplirse la ley de fuerza de Isaac Newton, debía haber otra fuerza en dirección contraria al movimiento del cuerpo. Estas fuerzas son: de rozamiento y de resistencia del aire (casi despreciable).
La aceleración teórica es donde es el ángulo de elevación del plano donde giran las ruedas del vehículo. Pero el movimiento es como de cuerpo rígido, dicho – Aluminio “ruedan”. “ruedan”. cuerpo cada rueda del coche que por la resistencia Bronce – Aluminio Aceleración teórica en el lanzamiento
Aceleración Experimental:
El Grafico vs = Entonces la diferencia de aceleraciones es:
Este valor representa la aceleración que debe ser de la fuerza de rozamiento que le ejerce el plano de aluminio a móvil de bronce.
Deducimos:
FRes = mg( seθ seθ - µkcosθ - µkcosθ mgsenθ gseθ - µkcosθ - µkcosθ gseθ - - gµkcosθ gµkcosθ gseθ : aceleración teórica gµkcosθ : aceleración de la fuerza de rozamiento µk 749: 749: coeficiente de rozamiento cinético bronce – bronce – aluminio aluminio
mg mgcosθ
Froz
11. OBSERVACIONES
Trabajar con la frecuencia que ofrezca mayor número de puntos porque de esa forma los resultados saldrán con menor incertidumbre. El ángulo utilizado en el experimento fue de 10 grados sexagesimales. sexagesimales. Se trabajó con 20 Hertz que dio como resultado el tiempo t iempo transcurrido entre cada punto.
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µk
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12. CONCLUSIONES
El resultado de una gráfica posición versus tiempo es una parábola de forma creciente y la de velocidad versus tiempo resulta una recta con pendiente positiva, siempre y cuando la aceleración sea constante, entonces la velocidad varía con el mismo ritmo todo el tiempo, y es donde conseguimos la aceleración como la pendiente de la gráfica. Se notó que en la ecuación de de la parábola al sacar sacar la segunda derivada derivada
nos resultó el cual nos proporcionó una aceleración que es equivalente a la aceleración calculada
en el gráfico v.5 lo que demuestra que la aceleración es constante. La velocidad instantánea resulta de la velocidad media cuando el lapso de tiempo tiende a cero, según la fórmula. La que obtendríamos con una recta tangente a la gráfica posición versus tiempo. La aceleración constante se da con un cuerpo que se desliza por una pendiente ya sea liza o áspera. En el experimento se da una superficie áspera.
13. RECOMENDACIONES
El plano debe estar a una inclinación adecuada, por lo general está entre 10 a 25 grados sexagesimales. Observar bien los puntos que dejo en chispero en el papel bond, posiblemente se encuentren al reverso de la tira de papel. Tomar cualquier punto de la trayectoria como punto inicial y no necesariamente que sea uno de los puntos extremos. No tocar el sistema cuando está en funcionamiento, es decir no mantener contacto con las rieles, papel, carro, si se desea tocarlo hacerlo por el acrílico. Apagar al instante el chispero luego de la experiencia.
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13. BIBLIOGRAFÍA Libros Universitarios: Universitarios:
EXPERIMENTOS DE FÍSICA. Investigación científica, Narcea, S.A. de Ediciones Escotet Suárez, M. Consuelo
Manual de Física, Editorial Mir Koshkin, Shirkévish
Dinámica Meriam
Páginas web:
http://216.239.51.104/search?q=ca http://216.239.51.10 4/search?q=cache:oPX1K6IskE0J che:oPX1K6IskE0J:www.gae.ucm.es/ :www.gae.ucm.es/
http://es.wikipedia.org/wiki/Cinem%C3%A1tica
http://www.monografias.com/trabajos13/cinemat/cinemat.shtml
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