El examen debe entregarse en hoja de examen y escaneado al correo electrónico:
[email protected] La fecha límite de entrega es el día domingo 3 de diciembre a las 12.00 p.m El examen se hará en parejas.
La familia Ploughman administra una granja de 640 acres que ha sido de su propiedad durante varias generaciones. Los Ploughman siempre han tenido que trabajar duro para vivir bien y a veces han tenido que librar algunos años difíciles. Los relatos sobre la manera en que las generaciones anteriores superaron los tiempos difíciles por sequías, inundaciones y otras cosas constituyen una parte importante de la historia familiar. No obstante, los Ploughman disfrutan su estilo de vida autosuficiente y obtienen una gran satisfacción de continuar la tradición familiar de vivir de la tierra con éxito en una época en la que muchas granjas familiares han sido abandonadas o absorbidas por grandes corporaciones agrícolas. John Ploughman es el actual gerente de la granja, y su esposa Eunice se encarga de la casa y de las finanzas de aquélla. El padre de John, el abuelo Ploughman, vive con ellos y todavía dedica muchas horas de trabajo a la granja. Los hijos mayores de John y Eunice, Frank, Phyllis y Carl, también deben encargarse de tareas pesadas después de la escuela. En total, la familia produce 4 000 horas de trabajo personal durante los meses de invierno y de primavera, y 4 500 durante el verano y el otoño. Si no se requieren estas horas-persona, Frank, Phyllis y Carl las utilizarán para trabajar en una granja vecina por 5 dólares la hora durante los meses de invierno y de primavera y por 5.50 dólares la hora durante el verano y el otoño. La granja mantiene dos tipos de animales: vacas lecheras y gallinas ponedoras, así como tres cultivos: frijol de soya, maíz y trigo. (A los tres se les denomina cosechas comerciales, pero el maíz también es una siembra de alimento para vacas y el trigo también se utiliza para alimentar a los pollos.) Los cultivos se cosechan a fines del verano y en otoño. Durante los meses de invierno, John, Eunice y el abuelo deciden qué mezcla de cría de animales y de siembras tendrán el siguiente año. Por ahora, la familia acaba de completar una cosecha particularmente exitosa que ha dado un fondo de inversión de 20 000 dólares, el cual se puede utilizar para comprar más animales. (Otro dinero está disponible para gastos, incluso para la siguiente siembra.) Actualmente la familia cuenta con 30 vacas valuadas en 35 000 dólares y con 2 000 gallinas valuadas en 5 000 dólares. Desean conservar todos estos animales y quizá comprar más. Cada nueva vaca costaría 1 500 dólares y cada nueva gallina, 3. En el transcurso de un año, el valor de una manada de vacas disminuirá 10 por ciento y el valor de una piara de gallinas se reducirá aproximadamente en 25 por ciento a causa de su envejecimiento. Cada vaca requiere dos acres para pastar y 10 horas-persona de trabajo por mes, y producirá un ingreso anual neto en efectivo de 850 dólares para la familia. Las cifras correspondientes a las gallinas son: nada de terreno, 0.05 horas-persona al mes y un ingreso anual neto en efectivo de 4.25 dólares. En el gallinero pueden acomodarse 5 000 gallinas como máximo, y el tamaño del granero limita la manada a un máximo de 42 vacas. En la siguiente tabla se proporciona el número de personas-hora de trabajo que se requerirán durante la primera y la segunda mitades del año por cada acre que se siembra con cada uno de los tres cultivos, así como una estimación aproximada del valor neto del cultivo (sea en ingresos o en ahorros para comprar alimento para el ganado).
1.0 1.4 $70
0.9 1.2 $60
0.6 0.7 $40
Para proporcionar mucho alimento a los animales, el año siguiente John quiere plantar al menos un acre de maíz por cada vaca de la manada y al menos 0.05 de acre de trigo por cada gallina de la piara. John, Eunice y el abuelo están analizando cuántos acres deben sembrar de cada cultivo y cuántas vacas y gallinas deben tener el siguiente año. Su objetivo es maximizar el valor monetario para la familia al final del
siguiente año (la suma del ingreso neto de los animales el año siguiente más el valor neto de las cosechas el año siguiente más lo que quede del fondo de inversión más el valor de los animales al final del año entrante menos los gastos de subsistencia de 40 000 dólares en el año). Formule un modelo de programación lineal para este problema en forma algebraica. Escriba el modelo algebraico en la forma compacta. Resuelva el problema por medio del software Gusek en el lenguaje GNU MathProg . Genere el informe de sensibilidad. Encuentre el intervalo de factibilidad para el valor neto por acre plantado de cada uno de los tres cultivos. Las estimaciones anteriores del valor neto por acre plantado de cada cultivo suponen buenas condiciones del clima. Si fueran adversas dañarían los cultivos y reducirían mucho el valor resultante. Los escenarios que la familia teme en particular son una sequía, una inundación y heladas prematuras, ambas, sequía y helada prematura, o inundación y helada prematura. A continuación se muestran los valores netos estimados para el año con estos escenarios.
-$10 $15 $50 -$15 $10
-$15 $20 $40 -$20 $10
$0 $10 $30 -$10 $5
Encuentre una solución óptima para cada escenario después de efectuar los ajustes necesarios al modelo de programación lineal que se formuló en b. En cada caso, ¿cuál es el pronóstico respecto al valor monetario de la familia al final del año? Para la solución óptima obtenida en cada uno de los seis escenarios (incluido el de buen clima considerado en a-d), calcule cuál sería el valor monetario de la familia al finalizar el año si en su lugar ocurre cada uno de los otros escenarios. Según su criterio personal, ¿cuál solución permite el mejor equilibrio entre la obtención de un valor monetario con buenas condiciones del clima y evita un valor monetario muy pequeño con condiciones adversas de éste? El abuelo ha investigado cuáles fueron las condiciones del clima en años anteriores, hasta donde existen registros, y obtuvo la información siguiente:
40 % 20 % 10 % 15 % 10 % 5% Con esos datos, la familia decidió utilizar el siguiente enfoque para tomar sus decisiones respecto a la siembra y a los animales a adquirir. En vez del enfoque optimista de suponer que prevalecerán las buenas condiciones climáticas (como se hace en las partes a-d), para cada cultivo se utilizará el valor neto promedio en todas las condiciones climáticas y en los diversos escenarios por las frecuencias de la tabla anterior. Modifique el modelo de programación lineal formulado en b para que se ajuste a este nuevo enfoque. Repita lo que se pide en c para este modelo modificado. Utilice un precio sombra que se haya obtenido en h para analizar si a la familia le convendría utilizar un préstamo bancario con una tasa de interés de 10 por ciento para comprar más ganado ahora, además de los 20000 dólares del fondo de inversión. Para cada uno de los tres cultivos, utilice el informe de sensibilidad que se obtuvo en h para identificar cuánto margen de error se tiene para calcular el valor neto por acre plantado para ese cultivo sin cambiar la solución óptima. ¿Cuál de los dos valores netos debe estimarse con mayor precisión?
