GRUPO N° 6
Tema1 EJERCICIOS PROPUESTOS
1. Calcular la transformada Z inversa de
Solución:
Y por tanto
13 12 1 1 1 1 1 3 2 3 3 2 18 2 18 2 12 18 13 18 12 − 1 1 1 23 183 182
2. Calcular la transformada Z inversa de
12 13 Solución:
Asi:
Por lo tanto:
1 1 1 1 2 3 3 3 3 2 5 13 5 13 3 2 5 13 5 13 3 1 2 1 5 2 5 3
3. Determine la respuesta impulsional del sistema causal definido por
1 10. 10.8− 0.15−
Solución:
− 0.80.15 → 0.80.15 0. 5 0. 3 5/2 3/2 0.5/2 5 0.3/2 3 1 1 − 1 ℎ 5 1 3 2 ℎ 2 2 2 10 -
Como
es una función racional, el primer paso es descomponerla en fracciones
simples en forma de potencias de
. Una posible forma de hacerlo es descomponer
en potencias de z:
-
Los polos de
-
Es inmediato obtener y función de transferencia siguiente:
-
La respuesta temporal de un sistema causal con un transformada Z del tipo
Es llega a:
son 0.5 y 0.3. De esta forma, podemos escribir:
. Sustituyendo se llega a la forma sencilla de la
. Aplicando este hecho junto con que la transformada Z es un operador lineal, se
4. Un sistema T de tipo LTI y causal viene descrito por esta ecuación en diferencias
34 1 18 2
Hallar la función de transferencia y la respuesta al impulso de e ste sistema.
Solución:
34 1 18 2 34 − 18 − 1 34 − 18 − 11 34 −1 18 − 1 , || > 12 12 4 1 1 2 4 1 1 2 4 2 1 1 1 2 4 1 1 1 −
-
Hallamos la función transferencia:
-
Hallamos el impulso:
Los polos son y de esta forma podemos escribir:
Donde A=2 y B=-1. Sustituyendo:
La respuesta temporal de un sistema causal con una Transformada z del tipo
Es
ℎ
.
Por lo tanto:
1 1 ℎ 2 2 4 5. el sistema de la figura consiste en un elemento de retardo y un multiplicador. Tiene como variable la entrada y[n] al elemento de retardo y su estado inicial es y[-1]=8. Determinar y[n] para cualquier n≥0 usando transformada Z.
1/2
z-1 y[n-1]
y[n]
Solución: Como vemos en el diagrama
Aplicamos transformada Z
Por lo tanto
Y la transformada inversa seria
12 1 12 − 11 0.4 5 40.5
Tema2:
Problema 1:
Desarrollar en serie de Fourier la función periódica de periodo 2 .
0,0,, ssi<<0 i 0<< + 2 2 2 − 2 2→ 2 0 − 2 4 + 2 coscos ∫ cos cos 1 xsen xsen0 cos cos0 0,0, 1 1 212 ,
, integración por partes
+ 2 sen
∫ sen 1 xcos sen + 0cos 0 sen0 1 , integración por partes
Por lo tanto la serie de Fourier seria:
0,0,, ssi<<0 i 0<< ∑=∞= −− coscos21 21 − sen
Problema 2: Demostrar que la la serie serie de Fourier Fourier de cualquier cualquier funcion periodica f ( t ) que tiene tiene simetria de cuarto de onda par, consta solamente de armónicos impares de terminos del coseno, es decir: f (t )
a2 n 1 cos (2n 1)0t , donde: 0
n 1
a2 n 1
8
2 T
T /4
T
f (t ) cos (2n 1) 0t dt
0
Solucion: Puesto que f (t ) tiene simetria de cuarto de onda par, f (t ) f (t )
1 f t T f (t ) 2 S e tiene: b n 0 a2 n 0 a2 n 1
para todos los valor es de n(incluyendo a0 ), 4 T
T /2
f (t ) cos (2 (2n 1) 0t dt
0
4
f (t ) cos (2n 1)0t dt f (t ) cos (2 n 1) 0t dt T T /4 0 T /4
a2 n 1
T / 2
1 Cambia Cambiando ndo la varia variable ble t por por (t+ (t+ T ) en la segund segundaa inte integra grall se se tien tiene: e: 2
4
1 1 f (t ) cos (2n 1)0t dt f t T cos (2n 1) 0 t T dt T 2 2 T /4 0 1 Usando Usando la propieda propiedad d f t T f (t ) se tiene: tiene: 2 T /4 0 4 a2 n 1 f (t ) cos (2n 1)0t dt f t cos (2n 1) 0 t dt T T /4 0 T /4
a2 n 1
0
T /4
a2 n 1
f (t) cos (2 n 1) 0t dt
T /4
Dado que f ( t ) f (t ) y cos (2 n 1) 0t es una función par, se obtiene a2 n 1
8 T
T /4
0
f (t ) cos (2n 1) 0t dt
Problema 3: Encontrar la serie compleja de Fourier, para la función diente de sierra
A
f (t )
Definida por:
T
t
,0 t
f ( t T ) f ( t )
T ,
Solución:
f (t )
cn e
inwo t
n
Por la ecuación (8):
;
w0
2
T
A partir de la ecuación (13) se puede encontrar los coeficientes cn
T
1
f ( t )e T
inw0t
dt
0
cn
cn
cn
T
A T
T
2
inwoT
0
in
2
i
i
nw0T
Hallando c0
Te 1 inw inw
Te 2 1 (e 2 inw0 (inw0 ) A
1
dt
A
0
A T
2
te
inw0 t
c
0
A
2 n
A
i
in 2
A
0
A
0
Donde
1) como
2 n
T
A
1
2 n n
e
i (nwot ) 2
dt
0 0
2
e
2
2
inw0t
f ( t )dt dt T T 2
f (t )
e
a partir de la ecuación (9)
T
A
T
e
in 2
1
c
n
Problema 4: Resolver la serie compleja de Fourier
f x 0,2
Solución:
Pero se sabe que
t=2
Por lo tanto:
c₀c₀ ₀
Finalmente
∞ 1 f t 2 =−∞ 2j1nπ 1 11e₀ ; n≠0 n≠ 0
Problema 5: Encontrar los espectros de frecuencia para la función periódica f(t) que se muestra en la figura, la cual consta de un tren de d e pulsos rectangulares idénticos de magnitud A y duración D.
Solución: La función f(t) se puede expresar en un periodo como sigue:
Entonces con w=
1 1 << 2 2 0 12 << 12 , 12 << 12 ∫ − 1 − − 1 − se tiene:
cn
1 − 12 − sin2 2 Pero
; de donde:
Cn
Es obvio que Cn es real y por consiguiente el espectro de fase es cero. El espectro se obtiene dibujando
ecuación
Cn
versus la variable discreta
nw
. La
tiene valores solamente para la la frecuencia discreta
nw
;
es decir, el espectro de frecuencia es una función discreta y existe solamente cuando
0, ± 2 , ± 4 ,….,. 2 8. 0,±8,±16,….,.
Se debe considerar el espectro para algunos valores específicos de d y T; para d=1/20 y T1/4 de segundo,
Por consiguiente, el espectro de amplitud existe cuando
Y se muestra en la figura 4.4(a)
Puesto que d/T=1/5, el espectro de amplitud se hace cero en el valor de el cual
nw
, para
nw
2 15 ±1,±2,….
Es decir , cuando
±5±40,±10±80,…. 2 4 , 101 .
En el caso siguiente se considerara d=1/20 y T=1/2 de segundo, y
Por consiguiente, el espectro de amplitud existe cuando
Y se hace cero en el valor de
nw
0,±4,±8,….
nw
para el cual
2 101 ±1,±2,….
Es decir, cuando
±10±40,±20±80,….
El espectro de amplitud para este c aso se muestra en la figura 4.4(b)
Tema3_:
I.
7=3 2 ……. ① ① 73 2 {7}32{} 337 37 77 33 2 2 … … ② 3 37 ……. . ③
Pruebe que las señales en el tiempo Fourier
Entonces Solución:
y
=
y
tienen transformada de
respectivamente, si:
para alguna función
Aplicando la transformada de Fourier a
Por la propiedad de la derivación.
tenemos
.
Comparando
II.
②③
237 3 37
Calcular la transformada de Fourier de sinc(t).
Solución:
Como:
∞ {} } −∞− ∏ ∞ −∞ ∞ −∞ ∞ ∞ − −∞ −∞− ∏ ↔ . Fft.Fgt…
Haciendo un cambio de f por t y a t por f.
Para obtener exactamente la integral que buscamos, evaluamos el pulso en
En este caso como
III. •
es par.
Demostracion del teorema de Modulación
Demostración:
•
Teniendo en cuenta la propiedad:
•
(b) en (a)
F{f(t).g(t)}=
+ 1 2 − . ….b ∫− . . 1− − 2 −. .. −
:
1 2 − − . −. 1 2 − − . −−− 1 2 − 1 2 − 21 ∗
•
La transformada de fourier de f(t) por g(t) g(t) es igual a las transformadas de fourier de f y g.
IV.
f
f ˆ
1
f ( )
f ( )
f (t ) e
i t
2
1
sen(
0
2
e
i 0t
t ) e
e
1
2i 2
dt
i t
e
i ( 0 ) t
2i 2
2
dt
i t
i 0t
e 2i
2
ˆ
1
ˆ
ˆ
por la convolución de
Encontrar la transformada de Fourier de la función seno.
f t sen( 0 t )
dt
dt dt
i ( 0 )t
e
( 0 ) ( 0 )
f ( ) i
ˆ
2
( 0 ) ( 0 )
V.
Encontrar la transformada de Fourier de la función:
at f (t ) e , t 0 ; (a 0) 0 , t 0 1
f ˆ
ˆ
1 2
2
i t
f (t ) e
2
1
f
t
e e a
i t
dt
dt
0
1 i t a dt
e 0
1 i t a 1 e f 1 2 i a 0
ˆ
1
1
2 1 a
1
i
a
1 i a
2 1 i a 1 i a
f ˆ
Tema4:
Problema 1.
2 2
a a i a a 1 1 2
2
2
2
2
1Ω 1 0.0122 2 21Ω0.022 7.23 ⁄ 0.0.586 0.5861Ω1Ω Como
y
Para una respuesta Butterworth
Problema 2.
Considere la siguiente señal analógica ( )=3 )=3 (100 a) Si la señal se muestrea a una velocidad de tiempo discreto obtenida tras el muestreo?. b) Si la velocidad de muestreo cambia a Solución:
)
= 200Hz ¿cuál es la señal en
= 75Hz.
Como se vio anteriormente aplicamos la siguiente r elación: ( )
)≡ ( )=
(2
+
Tal que: t = nT=
Entonces obtenemos los siguientes resultados:
a) ( )=3 (100
200)= 3
b) ( )=3 (100
75)= 3
(
2)
(4
3)
Problema 3. Considere la siguiente señal analógica x ( )t t t t a = 3cos50π +10sin 300π − cos100π ¿Cuál es la tasa de Nyquist para esta señal? Solución Las frecuencias presentes en la señal son:
25 50 150 2 2 ⇒ 300 300 3 2000 5 6000 1012000 5000
Por lo tanto, la frecuencia máxima contenida en la señal es 150Hz, y de acuerdo a la condición Nyquist, la tasa de Nyquist es:
Problema 4.
Considere la siguiente señal analógica
a) ¿Cuál es la tasa de Nyquist para esta señal? b) suponga ahora que se muestrea esta señal a una velocidad de muestras por segundo ¿Cuál es la señal en tiempo discreto que se obtiene tras el muestreo?
Solución a)
Por lo tanto
1
3 6 ⇒ 12
5 2 2.2.5 5 31 215 5 22 35 102651 3 2251 5 21 52 10211 5 3 225 55 2 5 1025 13 22 15 5 2225
c) Dado que se ha elegido a , la máxima frecuencia que puede ser representada sin ambigüedad mediante las muestras es
Usando la condición se obtiene:
450222255 π2π1 725 1450π2π 2 2 ∗ 715 1450 →725 500 → 725500225
Problema 5
La señal analógica
πt) + 3
πt) (t en s.) se muestrea con una frecuencia frecuencia
de 500hz.
a) Determine cuál es la frecuencia de Nyquist para esta señal
Con lo que la frecuencia de Nyquist es muestreo es de 500Hz y esta es menor que la
. Como la frecuencia de . Se producirá aliasing.
b ) Calcule a que frecuencia aparecen los alias debido al muestreo inapropiado.
La frecuencia
si verifica el teorema de muestreo luego no sufre cambios.
c ) ¿Cuáles son las frecuencias frecuencias digitales de la señal resultante del muestreo.
La señal muestreada será:
π π + n) + 3
n) + 3
πn)
πn)
π 4 π 209 n) + 3
n)
πn) =
Donde hemos tenido en cuenta que la señal seno es periódica de periodo 2π. Las frecuencias digitales para ambas señales son idénticas.
d ) Si las muestras se pasan a través de un conversor D/A ideal. Que frecuencias frecuencias tendrá la
señal analógica reconstruida. Al reconstruir la señal sabemos que
, siendo
la frecuencia analógica:
2∗225 2∗225 4 2 ∗ 225225 *500= 225 Hz
Luego la señal obtenida a la salida del conversor D /A será: πt) + 3
πt) =
Como habíamos obtenido en el apartado (b) Tema5:
EJERCICIO (1)
Usando el teorema de convolucion: La transformada inversa de
Es la función a n u[n].ahora bien,
Entonces , usando el teorema de convolución, se o btiene
πt)
Por consiguiente, tenemos el par de transformadas
EJERCICIO (2) Determine la TDF de N puntos de las secuencias siguientes:
Solución(a):
Tenemos:
Solución (b):
Usando (a) y usando la ecuación :
Muestra x[n] y su TFD de N puntos puntos X[K].
EJERCICIO (3) Considere dos secuencias x[x y h[n] de longitud 4 dadas por: Se sabe que:
Se sabe que
Entonces:
Operando se obtiene :
Y
Entonces:
EJERCICIO (4)
1. Transformada Discreta de Fourier.:
Convolución circular y lineal.
1. Para las secuencias x[n] y h[n] 1.1. Determinar las Transformadas Discretas de Fourier de las secuencias. 1.2. Obtener la convolución circular. [ ]
x n
1;1;0
h[1; 0;
1 2
]
Solución: 1.1. La Transformada Discreta de Fourier de las secuencias es
X [k]
j 2 k
N 1
x[n]e
3
n 0
H[k]
N 1
h[n]e h[ n 0
j 2 kn 3
1 3 1 3 ; 2; 2 2 2 2 3 3 3 3 3 ; j ; j 4 4 4 2 4
1.2. El producto de las dos transformadas es
j 4 k e 3 1 2
Y k X k .H k 1 e
j 2 k 3
j 4 k j 2 k 3 3 j 3 3 j 3 3 e 3 e 3; ; 2 2 4 4 4 4
antitransformando, por la propiedad de convolución circular y n x n h n
1
2
Y k e 3 k 0
j kn 3
3 ;1;1 2
EJERCICIO (5) Sea f(t) el tren de pulsos de ancho p y periodo T.
La versión muestreada f(k) de f(t) sólo puede tomar un número finito de puntos. Tomemos por ejemplo N=32 puntos cuidando que cubran el intervalo de 0 a T (con p=1, T=2):
Para obtener estas 32 muestras usando Matlab se puede hacer lo siguiente: k=0:31 f=[(k<8)|(k>23)] Plot(k,f,’o’) Con los 32 puntos f(k) calculamos F(n) mediante l a FFT, por ejemplo, en Matlab: F=fft(f)/N; Con lo que obtenemos 32 valores complejos de F(n). Estos valores son los coeficientes de la serie compleja ordenados como sigue:
Podemos graficar el espectro de amplitud reordenando previamente F(n) como sigue aux=F; F(1:16)=aux(17:32); F(17:32)=aux(1:16); F(n) queda: Y para graficar el espectro de amplitud: stem(abs(F))
Obteniéndose:
w0=2*pi/T; n=-16:15; w=n*w0; Stem(w,abs(F))
Obteniendo:
Tema6:
Problema 1. Solapamiento en el tiempo.
a.- Considerar la secuencia temporal x[n]=0.5 nu[n]. b.- Determinar c.- Determinar la secuencia X[k] ≡ |ω=2 |ω=2π πk/4 para k=0; 1; 2; 3. d.- Si la secuencia obtenida en el punto anterior fueran los coeficientes de una Transformada Discreta de Fourier, determinar la secuencia temporal que se deriva de Dicha secuencia. Solución:
a.- La transformada de Fourier de tiempo discreto es:
2 2− 2 2− , : 24 ,: 0 2; 1 2 2 ; 2 23 ; 3 2 2 − 1 2 ´ 4 = 2 − ,: ´ 1615 ; ´ 158 ; ´ 154 ; ´ 152
b.-La secuencia obtenida obtenida para w=2πk/4 con k=0;1;2;3 es:
c.-La secuencia temporal que generaría X[k]es:
d.-La transformada inversa de X[k]es diferente de X[n] X[n] porque existe solapamiento a nivel temporal temporal ya que X[n]es diferente diferente para n>N.
´ 1 12 , . Problema 2 : Considérese un sistema lineal e invariante en el tiempo caracterizado por la respuesta al impulso h(t ) de la figura. De manera similar se muestra en la figura, la entra da x(t ) que se desea aplicar al sistema LTI. Determinar la salida resultante .
Solución: h(t )
4u (t 1) 4u(t 3)
x(t )
2u(t 1) 2u(t 2)
Se aplica la propiedad distributiva de la convolución con respecto a la adición.
y (t )
x(t ) * h(t )
2u(t 1) 2u(t 2) * 4u(t 1) 4u(t 3) 2u(t 1) * 4u (t 1) 2u (t 1) * 4u(t 3) 2u (t 2) * 4u(t 1) 2u(t 2) * 4u (t 3)
Se convolucionan las funciones singulares y por último se simplifica como se muestra:
y ( t ) x (t ) * h(t ) 8r (t 1 1) 1) 8r (t 1 3) 8r (t 2 1) 8r (t 2 3)
8r (t ) 8r (t 2) 8r (t 3) 8r (t 5)
El resultado se muestra en la siguiente grafica
Problema3 : Calcular la transformada de Fourier de las siguientes señales periódicas:
| . |
a.
solución:
− − − 2 dt dt dt 2 2 4 −−dt −++dt 4 1−−n 0 −1++n 0 4 −−1 n 1 −−1−n 1 ∞ − − − − − 1 2 −∞ 1 n 1 n 1 ∞ − − − − − 1 2 −∞ 1 n 1 n 1 b.
200 Solución:
/ − 1 1 − 1 1 − 1 −/ dtdt 4 − dt 4 i 1 4 i 12 Sen ∞ 2−∞ Sen − ∞ ′′ () 2−∞ Sen ′′−− 2 ′′++ ∞ ∞ Sen Sen −∞ 200 200 −∞ SenSen 200 200 Problema 4 : Sea la señal:
1,1,0,0, 12 ,0,0, 14 ,0,…
Determina su forma desarrollada según la notacion de inpulso unitario y la forma en sumatoria correspondiente. Solucion.
1,1,0,0, 12 ,0,0, 14 ,0,… 0 12 3 14 6 ⋯
Forma resumida mediante sumatoria:
Problema 5
∞ 1 1 1 1,1,0,0, 2 ,0,0, 4 ,0,… = 2 3 3 ||<0,1 () 10 0,1<||<
Repetida usando la transformada inversa de forma periódica con periodo 2π
+ 1 2 − ( ) −, +, + 1 2 () 1 1 ) ) ( ( 2 2 − −, +, 1 2 +, 21 , −, −,
1 2 , −, 21 sin0,1 Tema7: Problema 1 Hallar la inversa de: F (w )
1 iw 6 w2
5iw
SOLUCION: En efecto: F (w )
F (w )
F (w )
1 iw 6 w2
5iw
1 iw ( iw )2
5iw
1 iw
2 iw
B
3 iw
6
Entonces separamos con unas variables:
(2 iw )(3 iw ) A
1
2 iw
2 3 iw
Entonces: F
F
1
1
1 iw 2 1 1 1 F 3 F 2 2 iw iw 6 w 5iw
2e
3
u(3t )
e
2 t
u(3 t )
Problema 2 Hallar la transformada inversa de:
F (w )
e
2( w 3 ) i
5 (w 3)i
SOLUCION: En efecto:
F
Como:
2(w 3 )i e ( 2w 6 )i e 1 F 5 (w 3)i 5 (w 3)i
1
F (e
5 t
u(t ) )
Entonces
1
F (e
5 iw 5( t 2)
u(t 2))
e
2 iw
5 iw
Por lo tanto: 3 it
F (e e
5( t 2 )
u( t 2))
e
2(w 3 ) i
5 (w 3)i
Luego: F
1
e 2(w 3 )i 3 it 5(t 2 ) u(t 2) e e w i 5 ( 3 )
Problema 3 Hallar la transformada de Fourier de:
5
si
0
en
f (t )
3 t 11 otro
caso
Su grafico se puede observar:
SOLUCION: En efecto como: f (t )
5(u(t
3)
f (t )
u(t 11))
5( ( t 3) ( t 1 1))
Entonces: F (f (t ))
iw iwF (w )
Por lo tanto:
F (5( (t
3) (t
11))) 5(e 11
3 iw
e
11iw
)
F (w )
5(e 3iw e 11iw
iw
10e
F (w )
F (w )
7 iw
w
Sen 4w
10 e 4iw e 4iw 7iw e w 2i
11
f ( t )e
iwt
dt
dt 5 e iw dt
3
Problema 4:
1 x 2 Si f ( x ) 0
x
1
x
1
La integral de furrier está e stá dado por:
f ( x)
1
f (t ) cos w( x t) dtdw ………………………….. (1)
0
f (t ) 1 x 2 es una función función real; integramos por partes en ………….(1)
1) senw(t 1) 1) cos w(t 1) 1)w senw(t 1) 1) 1 w cos w(t 1) f ( x) dw 3 w 0
2
f ( x )
0
w[cos w(t 1) cos w(t 1)] [senw(t 1) senw(t 1)] dw w3
Además la transforma de Fourier:
F (w)
1
f ( x)e
jwx
dx (1 x 2 )e jwxdx
F ( w)
1
4
3
w
( w cos w
senw)
4 w3
(w cos w senw)
Problema 5:
cos x
Obtener IF. f ( x )
0
x
x
;
IF:
f ( x)
1
f ( x)
1
f (t ) cos w( x t) dtdw
0
cost cos w( x t) dtdw ………………………….. (1) 0
Integramos por partes en…………. (1)
1 4 wsenw( x )
f ( x )
f ( x)
1
4(w 1)(w 1) 0
w
4 wsenw( x )
dw
4( w 1)( w 1)
(w 1)( w 1) senw( x
) senw( x ) dw
0
Además la transforma de Fourier:
F ( w)
f ( x )e
jwx
dx
F ( w)
2wse wsen w ( w 1)( w 1)
cose jwx dx sen w
2w ( w 1)( w 1)
