Fichas de Investigação Operacional

Fichas de Exercícios

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Docente: Rodrigues Zicai Fazenda Fazenda

Caderno Caderno de Exercícios de Operacional Investigação Operacional 2011

Docente: Rodrigues Zicai Fazenda

Investigação Operacional - Programação Linear. Método Simplex. Análise de sensibilidade. Transportes e stocks

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Programação Linear. Método Simplex Simplex 1- A fábrica de gelados Derretem-se na Boca SARL fabrica duas qualidades de gelados: cassata de nozes (C) e pistachio de frutas (P). A loja encontra-se localizada numa animada área turística de modo que toda a produção é sempre vendida. Um cone de C custa 75,00Mtn enquanto um cone de P custa 60,00Mtn. Um cone de C necessita de 4 gr de mistura de frutas e de 2gr de noz moída. Um cone de P requer 6gr de mistura de frutas e 1gr de noz moída. Contudo, apenas

podem ser produzidas por hora 96gr de mistura de frutas e 24gr de noz moída. Quantos cones de cada tipo devem ser fabricados de modo a maximizar a receita em cada hora? Represente graficamente a solução do problema. 2- Uma empresa labora em dois processos produtivos fabricando dois produtos de grande

consumo P1 e P2. No primeiro processo, 1 Kg de matéria-prima dá origem a 2 unidades de P1 e 1 de P2, resultando 20 gramas de um resíduo altamente poluente. No segundo processo, gastando a mesma quantidade de matéria-prima obtém-se 1 unidade de P1 e 3 unidades de P2, gerando 10 gramas do mesmo resíduo. A empresa dispõe de 3 toneladas de matéria-prima e deve satisfazer encomendas de 2000 unidades de P1 e 4000 unidades de P2. A empresa pretende minimizar a quantidade produzida de resíduo poluente. Formule matematicamente o problema e resolva-o graficamente. Quais as quantidades de P1 e P2 produzidas em cada processo? Qual a quantidade de matéria-prima não utilizada? Qual a quantidade total de resíduo poluente produzido? 3- Um empresa de electrónica fabrica dois tipos de circuitos impressos A e B. Os do tipo A são

vendidos por 4000 mil Meticais e os do tipo B por 5000 mil Meticais. No processo produtivo ambos os tipos de circuitos passam por duas máquinas. Na primeira máquina os circuitos são trabalhados durante 4 horas os do tipo A e 5 horas os do tipo B. Na outra máquina os circuitos passam 4 e 3 horas, respectivamente. A primeira máquina pode funcionar durante um máximo de 32 horas, enquanto a outra máquina não pode exceder as 24 horas de funcionamento. A empresa pretende maximizar a receita. Formule matematicamente o problema e resolva-o graficamente. Qual a receita máxima que a empresa pode obter? 4- Devido a alterações de mercado os preços dos produtos A e B referidos no problema anterior

caíram para 4000 e 3000 mil Meticais respectivamente. Simultaneamente, modificações no processo produtivo, requeridas por um mais rigoroso controlo de qualidade, levaram à aquisição de uma nova máquina onde tanto o produto A como o produto B sofrem operações com a duração de 1 hora. No entanto, esta máquina não pode funcionar menos de 8 horas semanais. Reformule o problema com as novas condições representando graficamente a região admissível. 5- Três produtos (1, 2, 3) são manufacturados passando por três operações diferentes (A, B, C).

Os tempos (em minutos) requeridos por unidade de cada produto, a capacidade diária das operações de fabrico (em minutos/dia) e o lucro por unidade vendida de cada produto (numa dada unidade monetária) são os seguintes:


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Operação



Tempo por unidade

A B C Lucro unitário (u.m.)

Produto 1 1 3 1 3

Produto 2 2 0 4 2

Capacidade Operativa (min/dia)

Produto 3 1 2 0 5

430 460 420 max

Supondo que toda a produção é vendida, formule o problema como um de programação linear de modo a obter um lucro máximo. 6- Um agricultor pode usar dois tipos de cereais para alimentar as suas galinhas, de acordo com a

tabela : Cereal

Unidades nutritivas

1 2

Vitamina A 5 7

Vitamina B 4 2

(Kg/cereal) Vitamina C 2 1

Custo/Kg cereal

(esc.) 60 350

O número mínimo de unidades nutritivas requeridas por dia é de 8, 15 e 3 para as vitaminas A, B e C, respectivamente. Sabendo que se pretende minimizar o custo da alimentação das galinhas, formule o problema como um de programação linear. 7- Uma companhia produz dois tipos de fertilizantes: fosfato-HI e fosfato-LO. Para a sua

produção são usados 3 materiais de base, do modo indicado no quadro : Material

A B C

Ton. material produção de uma

requeridas para a ton. de fosfato

LO 2 1 1

HI 1 1 0

Quantidade max. disponível/mês (ton.)

1500 1200 200

Cada unidade (tonelada) dos fertilizantes é vendida por 15 u.m. (fosfato-HI) e 10 u.m. (fosfatoLO). Apresente a formulação matemática deste problema por forma a maximizar a receita mensal. 8- Uma empresa deseja realizar um "show" na televisão para publicitar os seus produtos. O

"show" durará exactamente 30 minutos e nele actuarão um actor cómico e um grupo musical. A empresa deseja que sejam consagrados a anúncios pelo menos 4 minutos. A estação de TV exige que o tempo dedicado aos anúncios não exceda 8 minutos, não podendo, além disso, em caso algum ser superior ao tempo atribuído ao actor cómico. Este, por sua vez, não está disposto a actuar durante mais de 15 minutos. Ao grupo musical caberá o tempo restante. O custo de actuação do actor é de 200,00Mt./minuto e o do grupo musical é 1000,00Mt./minuto. Sondagens recentes mostram que: Investigação Operacional - Programação Linear. Método Simplex. Análise de sensibilidade. Transportes e stocks

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- por cada minuto em que o actor se exibe 4000 espectadores ligam o televisor para essa estação; - por cada minuto de actuação do grupo musical esperam-se 2000 novos espectadores; - por cada minuto de anúncios 1000 pessoas desligam o aparelho ou ligam para outra estação. De modo a tomar uma decisão fundamentada a empresa pretende dispor de programas que: a) maximizem o número de espectadores b) minimizem o custo dos "shows". Formule-os matematicamente ambos os problemas. Resolva-os usando o algoritmo simplex. 9- A Companhia Vidreira (CV) fabrica em três centros de produção (CP) produtos de vidro de

alta qualidade, incluindo janelas e portas de vidro. No CP1 são produzidos caixilhos de alumínio, no CP2 caixilhos de madeira e o CP3 é usado para produzir o vidro e fazer a montagem final dos produtos. Devido a uma diminuição das receitas, a administração resolveu introduzir algumas alterações na linha de produção. Alguns produtos que se revelaram não lucrativos deixam de ser fabricados, de modo a libertar capacidade de produção para fabricar outros produtos para os quais existe procura potencial. Um destes produtos (P1) é uma porta de vidro com caixilho de alumínio. O outro produto (P2) é uma janela com caixilho de madeira. O departamento de marketing concluíu que a CV conseguirá vender toda a produção que for possível realizar com a capacidade disponível. Os dados do problema estão agrupados na seguinte tabela: Centro de Produção

CP1 CP2 CP3 Lucro unitário (u.m.)

Capacidade usada por unidade

Produto 1 1 0 3 3

Produto 2 0 2 2 5

Capacidade disponível

4 12 18

a) Construa um modelo matemático par o problema de maximizar o lucro da CV. b) Resolva o problema graficamente. c) Resolva o problema usando o método simplex. Qual seria a melhoria do valor da função objectivo se fosse possível dispor de mais uma unidade de capacidade disponível no CP2? (E nos outros CPs?) d) A CV pretende introduzir um novo produto (P3) na sua linha de produção. Estudos preliminares indicam que uma unidade de P3 usará 2, 3 e 1 unidades de capacidade produtiva dos centros CP1, CP2 e CP3, respectivamente. O lucro unitário de P3 foi estimado em 4 u.m. Será vantajoso produzir P3? Em caso negativo, qual o valor mínimo do lucro unitário de P3 para que este produto passe a ser fabricado? e) Remodelações em curso no CP3 vão aumentar a respectiva capacidade disponível de 1 unidade por mês. Face a esta alteração, durante quanto tempo se manterá óptimo o actual esquema de produção?


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f) A CV decidiu estender as remodelações aos 3 CP, que aumentarão a sua capacidade disponível ao ritmo de 1, 2 e 1 unidade por mês, respectivamente. Face a estas alterações conjuntas, durante quanto tempo se manterá óptimo o actual esquema de produção? g) Alterações de mercado indicam que os lucro unitários de P1 e P2 variarão a uma taxa mensal de +1 e -1 u.m. Face a estas alterações conjuntas, durante quanto tempo se manterá óptimo o actual esquema de produção? h) A entrada em vigor de nova legislação que impõe um maior controlo de qualidade obrigou à criação de um novo centro de produção (CP4) dedicado a esta tarefa. Cada unidade de P1 e P2 usará 2 e 3 unidades de capacidade produtiva em CP4, respectivamente. A capacidade disponível em CP4 é 24. Quais as alterações que a introdução de CP4 obriga no esquema de produção óptimo? E se a capacidade disponível no CP4 for 18?. 10- Uma empresa de "software" comercializa três programas: um compilador de Pascal, uma

folha de cálculo e um sistema de gestão de base de dados, que vende ao público por 40, 30 e 60 mil meticais, respectivamente. Para efectuar as demonstrações aos clientes a empresa tem disponíveis dois computadores (modelos A e B). Devido a outros compromissos da empresa os computadores só podem ser usados em demonstrações durante períodos semanais que não excedam as 30 horas no caso do modelo A e 40 horas no que se refere ao modelo B. Os tempos de demonstração de cada programa em cada um dos computadores, são os seguintes: mod. A mod. B Compilador de Pascal 3h 2h Folha de Cálculo 1h 2h Sistema de Gestão de Base de Dados 3h 3h Supondo que os clientes só compram os programas após assistirem e ficarem satisfeitos com as demonstrações, formule matematicamente o problema de maximização da receita semanal da empresa. Construa o problema dual e resolva-o graficamente. 11- Seja o problema primal min z(x) = 5 x1 - 6 x2 + 7 x3 + x4 s. a x1 + 2 x2 - x3 - x4 = -7 6 x1 - 3 x2 + x3 + 7x4 ≥ 14 -2.8 x1 - 17 x2 + 4 x3 + 2 x4 ≤ -3 x1 ≥0 , x2 ≥0 , x3 e x4 não restritas em sinal.

Formule o problema dual. Verifique que o dual do dual é o primal. 12- Resolva pelo método simplex o problema min z(x) = 3 x1 + 2 x2 - 3 x3 - 6 x4 + 10 x5 - 5 x6 s. a x1 + 2 x2 + x4 - 6 x6 = 11 x2 + x3 + 3 x4 - 2 x5 - x6 = 6 x1 + 2 x2 + x3 + 3 x4 - x5 - 5 x6 = 13 xi ≥0 , i=1,...,6. a) Considere uma nova variável x7 com A.7 = (1,2,-3)T e c7=-7. Qual o nível a que x7 deve ser

produzida? Investigação Operacional - Programação Linear. Método Simplex. Análise de sensibilidade. Transportes e stocks

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b) Considere uma nova variável x7 com A.7 = (3,-1,1)T e c7=4. Qual o nível a que x7 deve ser produzida? c) Considere uma nova restrição x1 - x2 + 3 x3 ≤ -7. Obtenha a nova solução óptima. d) Qual a gama de variação de b1 para a qual a base óptima se mantem? e) Qual a gama de variação de c1 para a qual a base óptima se mantem? 13- Um companhia controla um sistema constituído por duas albufeiras com uma central

hidroeléctrica localizada em cada uma delas. Quando a albufeira atinge a capacidade máxima, a água que entra perde-se (não produzindo electricidade) por um canal de desvio. Este canal pode também ser usado para libertar água para protecção de inundações. O horizonte de planeamento é dividido em dois períodos. Em média, 1 “Kilo-acre-foot” (KAF) de água é convertido em 400 MWh de electricidade pela central A, e em 200 MWh pela central B. As capacidades das centrais A e B são 60000 e 35000 MWh por período. Em cada período, um máximo de 50000 MWh de electricidade pode ser vendido a 20,00 Mtn/MWh. O excesso acima de 50000 MWh apenas consegue ser vendido a 14,00Mtn/MWh. A tabela seguinte fornece os dados relativos aos fluxos e níveis de água nas albufeiras: Capacidade Fluxo previsto Período 1 Período 2 Nível mínimo permitido Nível no início do período 1

Albufeira A 2000

Albufeira B 1500

200 130 1200 1900

40 15 800 850

Reservatório

Central

Reservatório

Central

A

A

B

B

Construa um modelo de programação linear para determinar a política de operação óptima de modo a maximizar a receita total da venda de electricidade. 14- Uma empresa possui duas categorias de inspectores (I1 e I2), que devem ser afectos a uma

inspecção de controlo de qualidade em que se requere que sejam inspeccionadas pelo menos 1800 peças por dia de trabalho (8 horas). Os inspectores I1 ganham 4,00Mtn/hora e podem verificar 25 peças por hora com uma precisão de 98%. Os inspectores I2 ganham 3,00Mtn/hora e podem verificar 15 peças por hora com uma precisão de 95%. Cada vez que um inspector comete um erro o custo para a empresa é de 2,00Mtn. A companhia tem disponíveis para este trabalho 8 I1 e 10 I2. Qual a afectação óptima de inspectores que minimiza o custo total da inspecção?


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15- Suponha que lhe saíu um prémio de 6000 contos no Totoloto e que pretende investir este

dinheiro na totalidade ou apenas uma parte. Sabendo disto dois amigos seus (o Alberto e o Belmiro) ofereceram-lhe sociedade em dois negócios diferentes que pretendem realizar no próximo verão. Em ambos os casos a sua participação envolve quer disponibilizar dinheiro, quer colaborar com trabalho. Tornar-se sócio a parte inteira do Alberto implica um investimento de 5000 contos e 400 h de trabalho, e o lucro esperado é de 4500 contos (sem levar em conta o valor do seu tempo). Os valores correspondentes relativos à participação (a parte inteira) no negócio do Belmiro são 4000 contos e 500h, e 4500 contos para o lucro esperado. Contudo, ambos os amigos são flexíveis e permitem-lhe participar com qualquer fracção de sócio a parte inteira; obviamente que a sua parte nos lucros será também proporcional a esta fracção. Dado que pretende também algum tempo livre no verão, não quer dedicar mais de 600h de trabalho. Cabe-lhe então decidir qual combinação de participação num ou em ambos os projectos dos seus amigos de modo a maximizar o seu lucro. a) Construa um modelo matemático de programação linear para o problema, explicitando as variáveis de decisão, restrições e função objectivo. b) Resolva o problema graficamente e utilizando o método simplex. c) Qual a gama dentro da qual pode variar o número de horas de trabalho de modo a que a solução actual se mantenha óptima. Qual a variação correspondente do lucro? 16- Uma empresa possui 3 fábricas onde existe capacidade de produção em excesso. Todas as

fábricas estão aptas a produzir um novo produto e a direcção decidiu usar desta forma alguma da capacidade disponível. Este novo produto pode ser fabricado em 3 tamanhos (grande [G], médio [M] e pequeno [P]), que dão um lucro unitário de 42, 36 e 30 contos, respectivamente. As fábricas 1, 2 e 3 têm capacidade em excesso para produzir diariamente 750, 900 e 450 unidades deste produto, respectivamente, independentemente dos tamanhos ou combinação de tamanhos. O espaço de armazenamento disponível impõe uma limitação na produção do novo produto. As fábricas 1, 2 e 3 têm 13000, 12000 e 5000 m2 de espaço de armazenamento disponível, respectivamente, para um dia de produção. Cada unidade dos produtos G, M e P produzida por dia necessita de 20, 15 e 12 m2, respectivamente. As previsões de vendas indicam que podem ser vendidas diariamente 900, 1200 e 750 unidades dos produtos G, M e P, respectivamente. Para manter uma força de trabalho uniforme nas fábricas e dispor de alguma flexibilidade, a direcção decidiu que as fábricas devem usar a mesma percentagem da sua capacidade em excesso para produzir o novo produto. A direcção pretende saber quanto de cada tamanho deve ser produzido em cada fábrica, de modo a maximizar o lucro total. Construa um modelo matemático de programação linear para o problema, explicitando o significado das variáveis de decisão, restrições e função objectivo. 17- Uma família possui 500 mil metros quadrados de terra e tem 5 mil contos em fundos

disponíveis para investimento. Os membros da família podem produzir um total de 3500 pessoas-hora de trabalho durante os meses de inverno e 4000 pessoas-hora durante o verão. Se parte destas pessoas-hora não for necessária, os membros mais novos da família podem usá-la para trabalhar nas quintas vizinhas por 800,00Mtn/hora no inverno e 1000,00Mtn/hora no verão. As receitas em dinheiro podem ser obtidas através de 3 colheitas e da criação de 2 tipos de Investigação Operacional - Programação Linear. Método Simplex. Análise de sensibilidade. Transportes e stocks

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animais: vacas leiteiras e galinhas. Para as colheitas não são necessários investimentos. Cada vaca requer um investimento de 200,00Mtn e cada galinha custa 1,5,00Mtn. Cada vaca necessita de 6 mil metros quadrados de terra, 100 pessoas-hora de trabalho durante o inverno e 50 pessoashora durante o verão. Cada galinha necessita de0.6 pessoas-hora de trabalho durante o inverno e0.3 pessoas-hora durante o verão, e não é necessário o uso de terra. Cada vaca produz uma receita anual líquida para a família de 165,00Mtn, enquanto cada galinha gera 85,00Mtn. O galinheiro pode albergar um máximo de 3000 galinhas, enquanto o tamanho do estábulo limita o número de vacas a 32. Os valores estimados de pessoas-hora e de receita por metro quadrado de terra plantado em cada uma das 3 colheitas são: Soja Milho Aveia Pessoas-hora no inverno 20 35 10 Pessoas-hora no verão 50 75 40 Receita anual líquida (meticais) 1000 1500 750 A família pretende determinar qual a superfície de terra que deve ser plantada em cada uma das colheitas, e quantas vacas e galinhas devem ser adquiridas para maximizar a receita líquida anual. Construa um modelo matemático de programação linear para o problema, explicitando o significado das variáveis de decisão, restrições e função objectivo. 18- A Companhia Pintados de Fresco produz tinta para interiores e exteriores. A tinta é fabricada

por meio da transformação de 2 tipos de matéria prima: A e B. A companhia tem acessíveis diariamente um máximo de 6 toneladas de A e 8 toneladas de B. Para produzir 1 ton. de tinta de exteriores são necessárias 1 ton. de A e 2 ton. de B, enquanto para produzir 1 ton. de tinta de interiores são necessárias 2 ton. de A e 1 ton. de B, em cada dia. Um estudo de mercado concluíu que a procura diária de tinta de interiores não pode exceder a da tinta de exteriores em mais de 1 ton. Este estudo também mostrou que a procura diária de tinta de interiores está limitada a 2 ton. O preço de venda por tonelada é 3 u.m. para a tinta de exteriores e 2 u.m. para a tinta de interiores. Pretende-se determinar o esquema de produção a adoptar para maximizar a receita diária. a) Construa um modelo matemático de programação linear para o problema, explicitando as variáveis de decisão, restrições e função objectivo. b) Resolva o problema graficamente e utilizando o método simplex. c) Qual a gama dentro da qual pode variar a disponibilidade de matéria prima do tipo A de modo a que a solução actual se mantenha óptima. Qual a variação correspondente da receita diária? d) Estudos de mercado indicam que o preço da tinta de exteriores diminuirá a um ritmo de0.2 u.m. por mês, enquanto o preço da tinta de interiores aumentará a um ritmo de0.4 u.m. por mês. Com esta tendência, quantos meses se manterá óptima a solução actual? 19- Considere o seguinte problema de programação linear

max s. a

z = 3 x1 + 4 x2 + x4 3 x1 + 2 x2 + 4 x3 + 2 x4 ≤ 30 2 x1 + 4 x2 + x3 + 2 x4 ≤ 30 2 x1 + 2 x2 + 2 x3 + 4 x4 ≤ 40 x1 ≥0 , x2 ≥0 , x3 ≥0 , x4 ≥0

(recurso 1; slack s1) (recurso 2; slack s2) (recurso 3, slack s3)


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a) Em determinada iteração do algoritmo simplex foi obtido o seg. quadro, onde alguns valores não foram ainda calculados: x1 x2 x3 X4 s1 s2 s3 xB 1 / 2 -1 / 4 x1 1 0 α1 β1 γ1 δ1 -1 / 4 3 / 8 x2 0 0 α2 β2 γ2 δ2 -1 / 2 -1 / 4 s3 0 1 α3 β3 γ3 δ3 1 / 2 z j-c j 0 0 ¾ α4 β4 γ4 δ3 Determine os valores ainda não conhecidos e obtenha a solução óptima. b) Se os recursos variarem a uma taxa dada por d=(1,2,2) de acordo com o mesmo parâmetro de variação (i.e., b(t)=b+t d), qual a gama admissível para o parâmetro t em que a base óptima não se altera? Qual a variação correspondente do valor da função objectivo z(t)? c) Pretende-se avaliar a viabilidade da introdução de um novo produto, representado pela variável de decisão x5. Os coeficientes de x5 nas restrições são (a15,a25,a35) e o coeficiente de x5 na função objectivo é c5. Qual a gama admissível para c5, em função de (a15,a25,a35), em que é rentável iniciar a produção do novo produto? 20- Uma administração municipal está a estudar a possibilidade de introduzir um sistema de

transportes colectivos para reduzir a circulação de automóveis na cidade. O objectivo do estudo é determinar o número mínimo de autocarros, de modo a satisfazer as necessidades de transporte da população. Após recolher a informação necessária, o engº responsável pelo estudo verificou que o número mínimo de autocarros necessário para satisfazer a procura variava ao longo do dia, mas o número requerido de autocarros podia ser considerado constante ao longo de períodos sucessivos de 4 horas cada (de acordo com a fig.). De modo a efectuar os trabalhos de manutenção necessários, cada autocarro pode funcionar por dia apenas 2 períodos sucessivos de 4 horas. 10

s o r r 12 a c o t u 8 a e d º 4 N

12

10

8

7 4

4

0

4

8

12 Hora do dia

16

24

20

Construa um modelo de PL no qual a administração municipal se possa basear para determinar o número de autocarros em serviço em cada período, que satisfaça a procura, de modo a minimizar o número total de autocarros em serviço em cada dia.


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21- Considere o seguinte problema de programação linear min

s. a

z = 2 x1 + 2 x2 + 4 x3 2 x1 + 2 x2 + x3 ≤ 10 -2 x1 + x2 + 2 x3 ≥ 4 x1 + 2 x2 - 2 x3 ≥ 4 x j ≥0 , j=1...,8

(slack x6) (surplus x4, artificial x 7) (surplus x5, artificial x 8)

Em determinada iteração do algoritmo simplex foi obtido o seg. quadro (onde foram omitidas as colunas das variáveis artificiais), no qual alguns valores não estão ainda calculados: x1 x2 X3 x4 x5 x6 xB 1 / 2 x6 1 α1 β1 γ1 δ1 η1 1 / 6 x3 -1 / 3 α2 β2 γ2 δ2 η2 x2 -1 / 3 -1 / 3 α3 β3 γ3 δ3 η3 z j-c j µ1 µ2 µ3 µ4 µ5 µ6 φ a) Determine os valores ainda não conhecidos e obtenha a solução óptima. b) Esta solução tem óptimos alternativos? Em caso positivo indique as variáveis que fariam parte de uma base óptima alternativa. c) Qual a gama admissível para a variação de b2 em que a base óptima não se altera? d) Qual a gama admissível para a variação de c3 em que a base óptima não se altera? e) Se for introduzida uma nova variável x9, cujos coeficientes na matriz A são A.9=(2,1,3)T, qual a gama de valores do respectivo coeficiente na função objectivo (c9) para a qual não é vantajoso haver alteração da base óptima actual? 22- Pretende-se planear a produção, armazenamento e venda de um produto cuja procura e preço

de venda variam ao longo do ano. A tabela seg. dá os custos de produção (Mtn/ton), a capacidade de produção (ton.), a procura (ton.) e o preço de venda (Mtn/ton): Período 1 2 3 4 5 6

custos de produção (Mtn/ton) 20 25 30 40 50 60

capacidade de produção (ton.)

procura (ton.)

preço de venda (Mtn/ton)

1500 2000 2200 3000 2700 2500

1100 1500 1800 1600 2300 2500

180 180 250 270 300 320

O custo de armazenamento de um período para o seguinte é 2,00Mtn/ton. As operações têm início no período 1 com um stock inicial de 500ton. do produto em armazém. A empresa pretende ficar com a mesma quantidade em armazém no fim do período 6. Construa um modelo de programação linear no qual a empresa se possa basear para planear a produção, as vendas e o stock ao longo dos 6 períodos, de modo a maximizar a receita total. Explicite o significado das variáveis de decisão, restrições e função objectivo. 23 - Considere o seguinte problema de programação linear Investigação Operacional - Programação Linear. Método Simplex. Análise de sensibilidade. Transportes e stocks

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min

s. a



z = 2 x1 + 2 x2 + 4 x3 + x4 2 x1 + x2 + 2 x3 ≤ 10 (slack x7) 4 x1 + x3 + 2 x4 ≥ 12 (surplus x5, artificial x 8) x1 + 4 x2 + 4 x4 ≥ 10 (surplus x6, artificial x 9) x j ≥0 , j=1...,9

a) Em determinada iteração do algoritmo simplex foi obtido o seg. quadro (onde não constam as colunas correspondentes às variáveis artificiais), onde apenas alguns valores estão calculados: x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 xB 4 / 7 x7 -2 / 7 β1 γ1 ε1 δ1 µ1 λ1 1 / 7 x1 -2 / 7 β2 γ2 ε2 δ2 µ2 λ2 1 / 14 x4 -2 / 7 β3 γ3 ε3 δ3 µ3 λ3 z j-c j α1 α2 α3 α4 α5 α6 α7 θ Determine os valores ainda não conhecidos e obtenha a solução óptima. b) Qual a gama admissível para a variação de b3 em que a base óptima não se altera? Qual a variação do valor óptimo da função objectivo em função de b3 [z(b3)]? c) Qual a gama admissível para a variação de c2 em que a base óptima não se altera? Qual a variação do valor óptimo da função objectivo em função de c2 [z(c2)]? d) Há soluções óptimas alternativas? Em caso positivo, quais as variáveis da base óptima alternativa? 24- Uma empresa prevê necessitar do seguinte número de computadores pessoais durante os

primeiros 6 meses do póximo ano: Janeiro - 9, Fevereiro - 5, Março - 7, Abril - 9, Maio- 10, Junho - 5. Os computadores podem ser alugados por períodos de 1, 2 ou 3 meses aos custos unitários: 1 mês - 20 u.m., 2 meses - 35 u.m., 3 meses - 45 u.m. Se uma máquina for alugada por um período de tempo para além de Junho o custo de aluguer a incluir no modelo deve ser apenas relativo ao tempo usado (por exemplo, se um computador for alugado por 3 meses no início de Maio, o custo de aluguer a considerar é 30 u.m). Construa um modelo de programação linear tendo em vista minimizar o custo de aluguer dos computadores necessários. Explicite o significado das variáveis de decisão, restrições e função objectivo.


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Análise de Sensibilidade Sensibilidade 1 – A direcção de marketing de uma empresa de mobiliário metálico de escritório sugere o

lançamento de um novo modelo de secretária e de estante em substituição dos modelos actuais. Aquela direcção não vê dificuldade de colocação no mercado para as estantes, enquanto que aconselha que a produção mensal de secretárias não ultrapasse as 160 unidades. Após estudos levados a cabo pela direcção de produção, concluiu-se que: - A disponibilidade mensal do departamento de estampagem é de 720 horas-máquina; - A disponibilidade mensal do departamento de montagem e acabamento é de 880 horas-homem; - Cada secretária necessita de 2 H-M de estampagem 4 H-H de montagem e acabamento; - Cada estante necessita de 4 H-M de estampagem e 4 H-H de montagem e acabamento Por outro lado as margens brutas unitárias estimadas são de 6000,00Mtn para as secretárias e 3000,00Mtn para as estantes. A empresa pretende determinar o plano de produção mensal para estes novos modelos que maximiza a margem bruta. a) Formalize o problema como um modelo de programação linear. b) Determine a solução óptima do problema usando o algoritmo simplex. c) Suponha que as margens brutas unitárias foram actualizadas e estimadas em 4 e 5 mil Meticais para as secretárias e estantes, respectivamente. Que alterações se poderão sentir face à solução anteriormente obtida? d) Suponha que o nº de horas –homem disponíveis pelo departamento de montagem e acabamento sofreu um acréscimo de 400 h. Que influencias terá na solução óptima? e) Suponha que diminuiu em0,8 o nº de H-H do departamento de montagem e acabamento necessários à produção de uma secretária. Actualize a solução. f) Suponha que diminuiu em0,8 o nº de H-H do departamento de estampagem necessários à produção de uma secretária. Actualize a solução. g) Em resposta à solicitação de alguns clientes a empresa decidiu analisar a implicação da produção de um novo produto – mesas de trabalho. O estudo das condições de produção permitiu concluir que a produção unitária deste novo produto requer 3 H-H de dep.de estampagem e 2 H-H do dep.de Mont. e Acab., não estando prevista qualquer limitação de mercado. A margem bruta unitária estimada é de 5000,00Mtn. 2 – Considere o problema seguinte:

Max F= 2X1-X2+X3 s.a. 3X1-2X2+2 X3≤15 -X1+X2+ X3≤3 X1-X2+X3≤4

X1, X2, X3≥0


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Considerando X4, X5 e X6 como variáveis de folga e utilizando o algoritmo Simplex obtêm-se as equações seguintes correspondentes à solução óptima: F= -2X3-X4-X5+18 .

X2+5X3+ X4+3X5=24 2X3+X5+ X6=7 X1+4X3+X4+2X5=21

Faça a análise de sensibilidade para as alterações indicadas a seguir verificando se as novas soluções são possíveis e/ou óptimas. Não é necessário calcular as novas soluções óptimas. a) Os termos independentes passam a ser

20   [ Resposta:Cont. b= 4   2 

a ser solução optima e única

X1=28, X2=32, X6=6] b) O coeficiente c3 passa a ter o valor 2. [ Resposta: r´=[-1 –1 –1], a solução. É optima e única; a admissibilidade não é posta em causa] c) O coeficiente c1 passa a ser igual a 3. [ Resposta: r´=[-6 –2 –3], a solução. É optima e única; a admissibilidade não é posta em causa] 3  d) O valor de c3 passa a ser 4 e os coeficientes de X3 nas restrições passam a ser 2 1 

[Resposta: Mantêm-se optima, a admissível não é posta em causa] e) Os coeficientes de c 1 e c2 passam a ser , respectivamente, 1 e –2, e os coeficientes de X 1 e X2 1  nas restrições passam a ser, respectivamente − 2 e 3 

− 1 3  [Resposta: r=[4 1 1 ] a solução   2 

não é optima e não admissível f) A função objectivo passa a ser F=5X 1+X2+3X [Resposta: a solução continua a ser optima r´=[-22 –6 –13], a admissibilidade não é posta em causa] g) É introduzida uma nova restrição 2X 1+X2+2X3≤60 [Resposta: Solução optima, mas não admissível] 3 - A empresa N Lda produz três artigos. Para desenvolvimento da sua actividade produtiva a empresa dispõe de 8 operários, cada um podendo trabalhar 40 horas/semana, e de 400Kg de matéria prima por semana. Cada unidade de produto 1 necessita de 5 H-H e 6 Kg de matéria prima, sendo 8H-H e 8 Kg as necessidades para o produto 2 e de 6 H-H e 7 Kg para o produto 3. Investigação Operacional - Programação Linear. Método Simplex. Análise de sensibilidade. Transportes e stocks

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As previsões de vendas semanais para cada um dos produtos são de 30 25 e 40 Kg, respectivamente. Com a venda destes produtos a empresa consegue a margem unitária de 5, 10 e 8 respectivamente. Para planeamento da sua produção a empresa serviu-se do modelo: Max Z= 5x1+10x2+8x3 s.a

5x1+8x2+6x3≤320 6x1+8x2+7x3≤400 x1≤30 x2≤25 x3≤40 x1, x2, x3 ≥0

a) Até quanto pode diminuir a margem bruta unitária do produto 2 sem que ele deixe de ser produzido? b) Analise as implicações de contratação de mais um operário. cuja resolução resultou o quadro óptimo: x1

x2

x 3

0 0 1 1 0 0 1 0 0 5/8 1 0 -5/8 0 0 -5/4 0 0 Onde Fi – é variável de folga

F1

F2

F3

0 0 0 0 -1 1 0 0 0 0 1 0 1/8 0 0 0 -1/8 0 0 1 -5/4 0 0 0 e Ti – Termo independente.

F4

F5 1 -1 0 -3/4 ¾ -1/2


Ti 40 40 30 10 15 420

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Transportes, transexpedição e afectação 1- Uma companhia de aço possui 2 minas e 3 fábricas transformadoras. Em cada mina (1 e 2)

encontram-se disponíveis 103 e 197 toneladas de minério. A companhia transporta por mar o minério até às fábricas. O custo de transporte do minério para as fábricas é dado na tabela (em milhares de meticais por tonelada). Fábrica 1 Fábrica 2 Fábrica 3 Mina 1 9 16 28 Mina 2 14 29 19 As fábricas (1, 2 e 3) requerem a utilização de 71, 133 e 96 toneladas de minério. (a) Construa o modelo matemático que represente o problema de transportar minério das minas para as fábricas transformadoras, de modo a minimizar o custo total de transporte. (b) Formule o problema dual do precedente. (c) Obtenha uma solução básica admissível inicial utilizando o método (i) do “canto noroeste”; (ii) do “mínimo da matriz de custos”; (iii) das “penalidades”. (d) Partindo de uma das soluções básicas admissíveis iniciais obtidas em (c), determine o plano óptimo de transporte. 2- Uma companhia tem 3 fábricas a produzir um dado produto que deve ser depois transportado

para 4 centros de distribuição. As fábricas (1, 2 e 3) produzem 12, 17 e 11 carregamentos por mês. Cada centro de distribuição necessita de receber 10 carregamentos por mês. As distâncias de cada fábrica para cada centro de distribuição (em Km) são dados na tabela. O custo do frete de cada carregamento é de 5000,00Mtn acrescido de 50,00Mtn por Km. Centro 1 Centro 2 Centro 3 Centro 4 Fábrica 1 80 130 40 70 Fábrica 2 110 140 60 100 Fábrica 3 60 120 80 90 Formule o problema de modo a minimizar o custo total de transporte, construindo uma apropriada tabela de custos. Resolva o problema, determinando uma solução básica admissível inicial através do método do “canto noroeste”. 3- Pretende-se transportar um produto de 2 armazéns (A1 e A2) para 3 destinos (D1, D2 e D3).

Os armazéns A1 e A2 dispõem de 4 e 6 unidades do produto, respectivamente. Em D1, D2 e D3 são requeridas 2, 3 e 5 unidades do produto, respectivamente. Os custos unitários de transporte são dados na tabela:

A1 A2

D1 4 5

D2 4 3

D3 5 8


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(a) Formule o problema em termos de programação linear. (b) Formule o problema dual do precedente. (c) Resolva o problema, calculando a solução básica admissível inicial através do método i) do “canto noroeste”; ii) do “mínimo da matriz de custos”; iii) das “penalidades”. 4- Uma empresa tem 3 fábricas a produzir um dado produto que deve ser depois transportado

para 3 centros de distribuição. As fábricas (1, 2 e 3) produzem 50, 60 e 30 unidades por mês, respectivamente. Os centros de distribuição (1, 2 e 3) necessitam de receber 10, 70 e 20 unidades por mês, respectivamente. Os custos unitários de transporte são dados no quadro: Centro 1 Centro 2 Centro 3 Fábrica 1 6 1 3 Fábrica 2 3 5 2 Fábrica 3 6 2 6 Determinar o plano óptimo de transporte que a empresa deve adoptar. 5- Uma empresa pretende determinar o plano óptimo de transporte da matéria-prima armazenada

em 2 centros de distribuição que é transformada em 3 fábricas. Nos centros de distribuição existem 20 e 18 toneladas de matéria-prima. Nas fábricas são necessárias 12, 10 e 16 toneladas de matéria-prima. Os custos unitários de transporte são dados no quadro. O trajecto entre o centro 2 e a fábrica 2 não pode ser utilizado. Determinar o plano que a empresa deve adoptar.

Centro 1 Centro 2

Fábrica 1 5 4

Fábrica 2 2 xxx

Fábrica 3 3 2

6- Duas fábricas abastecem 2 armazéns de venda a retalho. Na fábrica 1 existem 10 unidades do

produto e na fábrica 2 existem 20 unidades. No armazem 1 são requeridas 14 unidades do produto e no armazem 2 são requeridas 16 unidades. O quadro seguinte contém a informação relativa a custos unitários de transporte. Armazem 1 Armazem 2 Fábrica 1 3 4 Fábrica 2 6 5 Admitindo que é possível utilizar qualquer ponto como entreposto, e que o custo unitário de transexpedição entre as fábricas é 1 e entre os armazéns é 2, determine o plano óptimo de distribuição.


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7- Numa secção de uma fábrica existem 4 máquinas. Um dado processo de produção consiste em

4 tarefas que devem ser levadas a cabo nessas máquinas. Cada máquina só pode cumprir uma tarefa. Os custos de realizar a tarefa j (j=1,...,4) na máquina i (i=1,...,4) são dados na tabela. J1 J2 J3 M1 10 9 7 M2 5 8 7 M3 5 4 6 M4 2 3 4 Como afectar as tarefas às máquinas de modo a minimizar o custo total?

J4 8 7 5 5

8- O treinador de uma equipa de natação necessita de seleccionar nadadores para a equipa de

estafeta 4x100 metros estilos. Dado que os nadadores são muito rápidos em mais do que um estilo, o treinador sente alguma dificuldade em afectá-los a cada um dos 4 estilos. Os 5 melhores nadadores e os melhores tempos (em segundos) que obtiveram em cada um dos estilos (100 metros) são dados na tabela: Alberto Belmiro Carlos David Ernesto Costas 37.7 32.9 33.8 37.0 35.4 Bruços 43.4 33.1 42.2 34.7 41.8 Mariposa 33.3 28.5 38.9 30.4 33.6 Livre 29.2 26.4 29.6 28.5 31.1 O treinador pretende determinar como afectar um nadador a cada um dos estilos, de modo a minimizar a soma dos correspondentes melhores tempos. 9- Uma empresa pretende determinar o plano óptimo de produção de um dado bem para as

próximas 4 semanas. O custo de produção do bem é 10,00Mtn para as 2 primeiras semanas e 15,00Mtn para as 2 últimas semanas. A procura semanal a satisfazer é 300, 700, 900 e 800 unidades do bem para cada uma das 4 semanas (respectivamente). A empresa pode produzir apenas um máximo de 700 unidades do bem por semana, mas pode empregar mão-de-obra extraordinária durante a 2ª e 3ª semanas. Isto permite aumentar a produção semanal de 200 unidades, mas os custos de produção aumentam 5,00Mtn por unidade do bem. A produção em excesso pode ser armazenada a um custo unitário de 3,00Mtn por semana. Construa um modelo de transportes para planear a produção de modo a minimizar o custo total.


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Problemas de optimização em redes op timização em redes 1- Uma companhia sediada na Beira pretende estabelecer o plano mais económico para as

deslocações dos seus vendedores às cidades onde existem representantes dos seus produtos. A fig. mostra um mapa simplificado onde os nós representam as cidades e os arcos representam as ligações possíveis. Dondo

2

60

100 120

1

Chimoio

200

4 200

Sena 3

120

Pebane 6

Beira 130

70 7 Quelimane

150

Nampula 5

250 8

60

Nacala

A cada arco está associado um valor representando o custo que a empresa atribui a esse trajecto, em função da distância, das condições da estrada e da densidade do tráfego. Determine os percursos mais económicos que os vendedores da empresa deverão efectuar entre a sede e todas as cidades. 2- Uma empresa pretende determinar a política óptima de substituição de um dado equipamento

num período de planeamento de 5 anos. Os custos envolvidos são K j = custo de aquisição do equipamento no ano j S j = valor residual do equipamento após j anos de uso c j = custos de operação e manutenção durante o ano j Formule este problema como um de caminho mais curto numa rede dirigida. 3- Usando o algoritmo de Floyd determine os caminhos mais curtos entre todos os pares de

nodos na rede da fig. 6

1 2 5

6 3

2 4

2

6

2 1 5

4- Em todas as cidades da região em análise no prob. 1 estão sediadas empresas de diferentes

ramos de actividade que têm necessidade de definir os trajectos mais económicos para as Investigação Operacional - Programação Linear. Método Simplex. Análise de sensibilidade. Transportes e stocks

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deslocações dos seus vendedores entre a sede e as restantes cidades. Adoptando o mesmo mapa simplificado do prob. 1, determine os percursos mais económicos para cada empresa. 5- Uma empresa de telecomunicações pretende servir a mesma região do problema 1 com uma

nova rede telefónica. Na fig. os nodos representam as localidades a servir e os arcos representam as ligações onde é tecnicamente possível o lançamento de cabos. A cada arco está associada a distância entre as localidades que liga. Quais as ligações a concretizar se a empresa quiser minimizar o comprimento de cabo a instalar? 6- A rede da fig. representa uma parte do sistema rodoviário de uma cidade. O custo associado a

cada arco representa o tempo médio (em minutos) que o tráfego demora nesse percurso. A cada mudança de direcção num cruzamento está associada uma penalização adicional de 3 minutos. Qual o caminho mais rápido entre o nodo 1 e o nodo 8 ? 1 3 1 6 1 2 6 5 7 2

3

2 3

4

2

8

4

7- Na rede da fig., onde a cada arco está associada a respectiva capacidade, calcule o fluxo

máximo que é possível enviar do nodo origem 1 para o nodo destino 7. 2

6

1

4

1 1

4 5

3 3

2 2

4

4 7

3 6

9

4

Considere que inicialmente o fluxo a enviar é nulo. Assinale graficamente o corte mínimo e calcule a respectiva capacidade.


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8- Dada a rede da fig., onde a cada arco está associada a sua capacidade, qual o fluxo máximo

que pode ser enviado do nodo origem (1) para o nodo terminal (5) ? [4]

2

3 [2]

[2] [3]

1

[3]

[1]

[1]

5

[2]

4

9- O Snack Bar Senta Baixo, Lda. é proprietário de um parque de diversões. Na fig. os nodos

representam os pontos de diversão e os arcos as respectivas ligações, onde os visitantes são transportados por pequenos comboios a diesel. Dado que os caminhos são algo acidentados geograficamente e o material circulante apresenta sinais de envelhecimento, apenas podem ser realizadas diariamente as viagens assinaladas. Assumindo que os comboios andam sempre cheios, quais são os percursos e quantos comboios devem circular de modo a levar o máximo número de visitantes diários da entrada (nodo0) para a montanha russa (nodo 6). Considere a situação em que não há viagens como solução inicial. 1 5

1 7

0

3 4

2

4

4 1

5

2

6

5

4

3

6

9

10- Determine o plano óptimo de envio de 10 unidades de fluxo ao custo mínimo do nodo 1 para

o nodo 5 na rede da fig. bij representa a capacidade do arco e cij o custo de enviar uma unidade de fluxo através do arco. 2

[5,6]

[bij,cij]

[4,5]

4 [2,3]

1

[4,5] [2,4]

[6,9] 3

5

[8,6]


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Fichas de Investigação Operacional

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