Casos Especiales. Combinación de casos III y IV. Casos de Factorización.

Casos Especiales. Combinación de los casos III y IV. Estudiamos a continuación la descomposición de expresiones compuestas en las cuales mediante un arreglo conveniente de sus términos se obtiene uno o dos Trinomios Cuadrados Perfectos y descomponiendo estos trinomios (Caso III) se obtiene una Diferencia de Cuadrados (Caso IV).

1) Factorar: a 2

2ab

 Aquí tenemos tenemos que a 2

b2

1.

2ab

b

2

1 es un Trinomio Cuadrado Perfecto; luego: a2

b2

2ab

1= (a2

Factorando el Trinomio: Factorando la Diferencia de Cuadrados: 2

2

b 2)

2ab

b) 2 1 b 1) ( a

= (a = (a

b

1 1).

2

2) Descomponer: a + m  – 4 b  – 2 a m. 2 2 2 2 2 Ordenando esta expresión, podemos escribirla: a  – 2 a m + m  – 4 b , y vemos que a  – 2 a m + m es un Trinomio Cuadrado Perfecto; luego: 2 2 2 2 2 2 a  – 2 a m + m  – 4 b = (a  – 2 a m + m )  – 4 b . 2 2 = (a  – m)  – 4 b . Factorando el Trinomio Factorando la Diferencia de Cuadrados: = (a  – m + 2 b) (a  – m  – 2 b). 2

2

3) Factorar: 9 a  – x + 2 x  – 1. 2 Introduciendo los tres últimos términos en un paréntesis precedido del signo  – para que x y 1 se hagan positivos, tendremos: 2 2 2 2 9 a  – x + 2 x  – 1 = 9 a  – (x + 2 x  – 1) 2 2 Factorando el Trinomio: = 9 a  – (x  – 1) . = [3 a + (x  – 1)] [3 a  – (x  – 1)]. Factorando la Diferencia de Cuadrados: = (3 a + x  – 1) (3 a  – x + 1). 2

2

2

2

4) Descomponer: 4 x  – a + y  – 4 x y + 2 a b  – b . 2 El término 4 x y nos sugiere que es el segundo término de un T C P cuyo primer término tiene x y cuyo 2 tercer término tiene y y el término 2 a b nos sugiere que es el segundo término de un T C P cuyo primer  2 2 2 2 término tiene a y cuyo tercer término tiene b ; pero como  – a y  – b son negativos, tenemos que introducir  este último Trinomio en un paréntesis precedido del signo  – para hacerlos positivos, y tendremos: 2

2

2

2

2

2

2

2

4 x  – a + y  – 4 x y + 2 a b  – b = (4 x  – 4 x y + y )  – (a  – 2 a b + b ) 2 Factorando los Trinomios = (2 x  – y) 2  – (a  – b) . Descomponiendo la Diferencia de Cuadrados = [(2 x  – y) + (a  – b)] [(2 x  – y)  – (a  – b)] = (2 x  – y + a  – b) (2 x  – y  – a + b). 2

2

2

2

5) Factorar: a  – 9 n  – 6 m n + 1 0 a b + 2 5 b  – m . 2 El término 1 0 a b nos sugiere que es el 2º término de un T C P cuyo primer término tiene a y cuyo tercer  2 2 término tiene b , y 6 m n nos sugiere que es el 2º término de un T C P cuyo primer término tiene m y cuyo 2 tercer término tiene n ; luego, tendremos: 2

2

2

2

2

2

2

a  – 9 n  – 6 m n + 1 0 a b + 2 5 b  – m = (a + 1 0 a b + 2 5 b )  – (m + 6 m n + 9 n 2 2 Descomponiendo los Trinomios: = (a + 5 b)  – (m + 3 n) . Descomponiendo la Diferencia de Cuadrados: = [(a + 5 b) + (m + 3 n)] [(a + 5 b)  – (m + 3 n)]. = (a + 5 b + m + 3 n) (a + 5 b  – m  – 3 n).

2

)

Ejercicios. Factorar o descomponer en dos factores: 1) a 2 3) m 2

6n

7) a 2

4

9) a 2

6ay 2 2

17) 9

n

19) 1

a

20) 2 5 21) 9 x

a

2

2

2

y2

8xy

4a 2

25m2

1

25x 2

9b 2

2a

9y2

30xy

2ab

b2

c2

26) x 2

2xy

y2

m2

27) a 2

4b 2

4ab

x2

2ax

a2

28) x 2

4a2

4ax

y2

9b 2

6b y

29) m 2

x2

9n 2

9a 4 1

34) 9 m 2

a2

35) 4 a 2

9x2

36) 2 2 5 a 2 37) x 2

y2

4

38) a 2

16

x2

4x 36

b 2

24ax

c2d2

49b 2

30xy

1 1

30a 2y

12 a

10 a b

6x

2x

9x 2

2acd

16 9 b 2

25b 2

m2 1

4a2

4ax

12 x y

a2

10 m

n2

2 mn

6 mn

a2

d2

2cd

6 a 2b

33) 1 6 a 2

4y2

6an

25) a 2

32) x 2

8) x 2

2

18) 4 a

12 a b

9

2ax

16) c

y2

x2

x2

a

4am

31) 2 a m

6) a 2

14) 1

c 2

4m2

4y2

1

64a

a2

30) 9 x 2

2a

12) 1

16 y 2

24) 4 9 x 4

4) a 2

24ax

10 n

9n 2

2xy

10) 4 x 2

2xy

25

2

2

22) 1 6 x 23)

2

2) x 2

4x 2

2

2bc

x2

x

2

16 a

b2

2

9b 9y

1

1

2

c

4a

11) 9 x 2

15) m

9

2

x

n2

2 mn

5) n 2

13) a

b2

2ab

8x

25m2

10 0

60m

25y 2 26bc

28ab c2

2

y2 b

2

2

2

4

4xy

25y 2

m

1

36

20x y

b 2

x 4

16 a b

2ax

x 2

2

a2

2a

1

x 2

4x

4