Expo Fluidos 2

MECÁNICA DE FLUIDOS II

INTRODUCCIÓN Los sistemas de tuberías que distribuyen el agua en las ciudades o en grandes plantas industriales pueden ser extremadamente complicados. En este capítulo solo se considerarán unos pocos casos bajo condiciones relativamente sencillas. En la mayoría de los casos, el fluido que circula es el agua, si bien los procedimientos de análisis y resolución pueden aplic aplicars arse e a otros otros fluido fluidos. s. Por lo general, general, la relación relación de long longit itud ud a diámetro será grande . En este este caso caso hablarem hablaremos os sobre sobre los los

sistemas sistemas de de tuberías tuberías en paralelo paralelo

está constituido por dos o más tuberías que, partiendo de un punto, vuelven a unirse de nuevo en otro punto, aguas abajo del primero.

Tuberias en Paralelo


FUNDAMENTO TEÓRICO



SISTEMAS DE TUBERIAS Los sistemas de tuberías que distribuyen el agua en las ciudades o en grandes

plantas

industriales

pueden

ser

extremadamente

complicados. En este capítulo solo se considerarán unos pocos casos bajo condiciones relativamente sencillas. En la mayoría de los casos, el fluido que circula es el agua, si bien los procedimientos de análisis y resolución pueden aplicarse a otros fluidos. Por lo general, la relación de longitud a diámetro será grande.

A.

Tuberías en paralelo

Un sistema de tuberías en paralelo está constituido por dos o más tuberías que, partiendo de un punto, vuelven a unirse de nuevo en otro punto, aguas abajo del primero.

Sea una tubería AD como la mostrada en la Figura 5.1. En el punto B esta tubería se ramifica. Se produce una bifurcación, dando lugar a los ramales BMC y BNC, los que concurren en el punto C. La tubería continúa a lo largo de CD.

M

A

B

C N


D


Figura 5.1 Sistema de tuberías en paralelo

Se dice que las tuberías BMC y BNC están en paralelo. Ambas tienen en su origen (B) la misma energía. Lo mismo ocurre con su extremo (C) en el que ambas tienen la misma energía. Se cumple entonces el siguiente principio

Energía disponible para BMC = Energía disponible para BNC

La diferencia de energía entre B y C es la energía disponible. La energía disponible determina, de acuerdo a la naturaleza del contorno y del fluido, las características del escurrimiento. La energía disponible se transforma en energía de velocidad, de presión y elevación. En un conducto horizontal muy largo con velocidad relativamente pequeña se puede considerar que la energía disponible da lugar íntegramente a la pérdida de carga continua. Nótese que la ramificación puede ser en la forma de dos o más tuberías, cada una de las cuales tiene su propio diámetro, longitud y rugosidad.



A modo de ilustración se ha efectuado el trazo de la línea de gradiente hidráulica (L. P.) para el sistema mostrado en la Figura 5.2

Figura 5.2 Línea piezométrica en un sistema en paralelo Como las tuberías en paralelo se caracterizan por tener la misma energía disponible se producirá en cada una de ellas la misma pérdida de carga.

Sea una representación esquemática de varias tuberías en paralelo. 1 2 3

A

B

C 4 5

Figura 5.3 Varias tuberías en paralelo


D

MECÁNICA DE FLUIDOS II Se cumplirá que:

h f1

= h f 2 = h f3 = h f 4 = h f 5 = h f 6

(5-1)

h f representa la pérdida de carga en cada uno de los tramos. La suma de los gastos parciales de cada una de las tuberías es igual al gasto total Q de la tubería AB (y de la tubería CD). Q= Q+ Q+2Q Q + + 1 3

Q

4

5

(5-2)

La ecuación de continuidad debe verificarse para el nudo B y para el nudo C. Para el cálculo de tuberías en paralelo se presentan básicamente dos casos. En ambos suponemos conocidas las características de las tuberías, diámetro, longitud y rugosidad, así como las propiedades del fluido. 

Se conoce la energía disponible h f entre B y C y se trata de calcular el gasto en cada ramal.



Se conoce el gasto total Q y se trata de determinar su distribución y la perdida de carga.

El primero corresponde al caso general de cálculo de tuberías. Se puede proceder, por ejemplo, con la ecuación de Darcy o con cualquier otra, al cálculo del gasto en cada ramal. Se recomienda el siguiente procedimiento. Combinado las ecuaciones de Darcy y Continuidad (Q=VA) se obtiene:



h f = 0.0827

fLQ 2

(5-3)

D 5

Expresión en la que h f : f : L

:

D : Q :

pérdida de carga en el tramo considerado coeficiente de Darcy longitud del tramo considerado diámetro de la tubería gasto

De la que obtenemos inmediatamente: Q = 3.477

D 5 fL

h f 0.5

(5-4)

Para una tubería dada los valores del diámetro y la longitud son constantes. En muchos Casos se puede considerar que f también es constante, por lo menos para un determinado rango de velocidades. Luego,

Q = Kh f 1/2

(5-5)

A esta ecuación la denominaremos “ecuación de descarga de la tubería”. En ella Q = 3.477

D5

(5-6)

fL

Si usamos la ecuación de Darcy. Aplicando la ecuación de descarga 5-5 a cada ramal se obtiene el gasto respectivo. La ecuación 5-5 es un caso particular de una ecuación general que toma la forma. Q = Kh f x Tuberias en Paralelo

(5-7)


En donde los valores de K y de x dependen de la ecuación utilizada. Podrían fácilmente obtenerse los valores de K y de x para la ecuación de Chezy, ya estudiada. Posteriormente se obtendrán, por ejemplo, para la ecuación de Hazen y Williams. Para el segundo caso se empieza por aplicar la ecuación de descarga a ambos ramales y se obtiene así la relación entre Q1

y Q2.

Combinando con la ecuación de continuidad se obtiene un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas. Se halla así los gastos parciales. Otro método consiste en plantear las ecuaciones de descarga para cada ramal y luego sumarlas

∑ K h i

x f

=0

(5-8)

Esta ecuación permite la resolución inmediata del sistema, pues h f o Q es un dato. Hay un sistema de conducción que se caracteriza porque se produce una ramificación, pero los ramales no concurren en un punto. Este sistema puede tener un caso particular: que en las bocas de descarga de los ramales la energía sea la misma. Este sistema se considera como un sistema de tubería en Paralelo.

E 1 E 2

A E 3


B

MECÁNICA DE FLUIDOS II E1 = E2 = E3

Figura 5.4 Tubería ramificada METODOS DE RESOLUCION

Los métodos de resolución implican el establecimiento en número suficiente de un sistema de ecuaciones simultáneas o el empleo de modificaciones especiales de la fórmula de Darcy en las que el coeficiente de fricción depende únicamente de la rugosidad relativa de la tubería. Para el caso del agua o de otros líquidos de viscosidad parecida), dichas fórmulas han sido obtenidas por Manning, Scñoder, Scobey, Hazen-Williams y otros.

SISTEMA PARALELO EN TUBERÍA COMÚN: Un sistema paralelo de tubería común, incluye dos ramas dispuestas como se muestra en la figura. La rama inferior se agrega para evitar que parte del fluido pase a través del intercambio de calor, permitiendo el flujo continuo, mientras que se le da servicio al equipo.

EL FLUJO DE FLUIDO EN TUBERÍAS DE SISTEMA PARALELO La situación ideal del flujo en una tubería se establece cuando las capas de fluido se mueven en forma paralela una a la otra. Esto se denomina "flujo laminar". Las capas de fluido próximas a las paredes internas de la tubería se mueven lentamente, mientras que las Tuberias en Paralelo

MECÁNICA DE FLUIDOS II cercanas al centro lo hacen rápidamente. Es necesario dimensionar las tuberías de acuerdo al caudal que circulará por ellas, una tubería de diámetro reducido provocará elevadas velocidades de circulación y como consecuencia perdidas elevadas por fricción; una tubería de gran diámetro resultará costosa y difícil de instalar SISTEMA DE TUBERÍA EN PARALELO DE Redes abiertas. 

No existe un método especial, dado que se conocen las demandas del flujo. Dada una cierta geometría, se deben calcular las presiones en los



nodos Dadas estas presiones requeridas en los nodos, se debe diseñar



la red SISTEMA DE TUBERÍA EN PARALELO DE Redes cerradas. 

Se emplea generalmente el método de Hardy - Cross, el cual es un método iterativo, para una solución factible inicial

Ejemplo 1 Para un sistema de dos tuberías en paralelo se dispone de los siguientes datos L1 = 1000 m

L2

= 750m

= 16" f 1 = 0.018

D2

= 12

D1

f 2

"

= 0.018

El gasto total es de 100 l/s. Calcular el gasto en cada una de las tuberías.

Solución. Por ser tuberías en paralelo la pérdida de carga debe ser la misma en ambas. Aplicamos la ecuación 5-3



0.0827

fL

1 1 5 1

D

= 0.02827

Q12

f2 L2 D2 5

Q2 2

De donde,

Q12 Q2 2

5

=

L2  D1 

750 16

= ( )5 = 3.16   L1  D2  1000 12

Se llega así a un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas Q1

Q1 + Q2

= 1.78Q2

= 0.1

Obteniéndose finalmente

Q2

= 36 l / s

Q1 = 64 l / s

El método alternativo de solución consiste en aplicar a cada ramal la ecuación de descarga 5-4

Q = 3.477

D 5 fL

h f 0.5

Obteniéndose: Q1

= 0.0863 h f 1/2

Q2

= 0.0485 h f

Sumando: Q = 0.1348 h f 1/2


1/2


Que es la ecuación de descarga del sistema. Para Q = 0,1 m3/s se f

obtiene h = 0,55 m. Al reemplazar este valor en cada una de las dos ecuaciones se obtiene el gasto en cada ramal. El método es extensible a cualquier número de ramales.

Ejemplo 2 Para un sistema de dos tuberías en paralelo se dispone de los siguientes datos

= 100 m D1 = 14" f 1 = 0.018 L1

L2

= 156 m

D2

= 12

C2

= 80 m

"

1/2

/s

Si con la energía disponible el gasto total es de 1 m3/s, calcular el gasto en cada ramal, teniendo en cuenta que en el ramal 1 hay una válvula (K = 2,5).

Solución. En primer lugar aplicamos la ecuación 3-2



f 2

= 8 g = 0.0122 C 2

Por ser tuberías en paralelo la pérdida de carga debe ser la misma en cada ramal f1

2 1 1

LV

D1 2 g

+ 2.5

2 V 1

2g

=

f 2

L V2

2 2

D2 2 g

Reemplazando valores y operando se obtiene V2

= 1.1V 1

Por continuidad, D12

π

4

V1 +

π

D2 2 4

V 2 = 1

Se obtiene así V1

= 5.57 m / s

V2

= 6.13 m / s

Q1 = 553l / s

Q2

= 447l / s

A modo de verificación se calcula la pérdida de carga en cada tramo obteniéndose h f = 11,97 m, que es la energía disponible. En este problema también se pueden aplicar los métodos alternativos de solución descritos anteriormente.



Redes de tuberías. Método de Hardy Cross Una red es un sistema cerrado de tuberías. Hay varios nudos en los que concurren las tuberías. La solución de una red es laboriosa y requiere un método de tanteos y aproximaciones sucesivas.


MECÁNICA DE FLUIDOS II Representemos esquemáticamente la red muy simple de la Figura 5.15. Esta red consta de dos circuitos. Hay cuatro nudos. En la tubería MN tenemos un caso típico de indeterminación: no se puede saber de antemano la dirección del escurrimiento. En cada circuito escogemos un sentido como positivo. Se escoge una distribución de gastos respetando la ecuación de continuidad en cada nudo, y se asigna a cada caudal un signo en función de los circuitos establecidos. Se determina entonces las pérdidas de carga en cada tramo, que resultan ser “positivas” o “negativas”.

M

II

I B

C

N

Figura 5.15 Esquema típico de una red de tuberías

Las condiciones que se deben satisfacer en una red son: 1. La suma algebraica de las pérdidas de carga en cada circuito debe ser cero. Ejemplo

h


f

+h

BM

f

+h

MN

f

=0

NB


2. En cada nudo debe verificarse la ecuación de continuidad. 3. En cada ramal debe verificarse una ecuación de la forma

h f

=

KQ x

En donde los valores de K y de x dependen de la ecuación particular que se utilice. Como los cálculos son laboriosos se recurre al método de Hardy Cross. En este método se supone un caudal en cada ramal, verificando por supuesto que se cumpla la ecuación de continuidad en cada nudo. Si para un ramal particular se supone un gasto Q0 este valor será, en principio, diferente al gasto real que llamaremos simplemente Q, luego Q = Q0

En donde ∆

Q

+ ∆Q

es el error, cuyo valor no conocemos.

Si tomamos, por ejemplo, la fórmula de Hazen y Williams se tiene que la pérdida de carga en cada tubería es h f

= KQ1.85

Si esta ecuación se aplica a los valores supuestos se obtiene h f 0

= KQ01.85

La pérdida de carga real será h f

= K (Q0 + ∆Q)1.85

Luego, desarrollando y despreciando los términos pequeños se llega a



h f

= KQ01.85 +1.85

h f

= h f + 1.85

h0 Q0

0

h0 Q0

∆Q

∆Q

De donde, para cada circuito

∑

h f

= ∑ h f + ∆Q1.85 ∑ 0

De acá obtenemos finalmente el valor de ∆

∆Q =

hf 0 Q0

=0

Q

−∑ hf

0

∑ hf Q

0

1.85

0

Esta es la corrección que debe hacerse en el caudal supuesto. Con los nuevos caudales hallados se verifica la condición 1. Si no resulta satisfecha debe hacerse un nuevo tanteo.

Ejemplo 3 Para la red mostrada en la figura calcular el gasto en cada ramal. Considerar C H = 100 en todas las tuberías.

M

200 l/s

B

C

N

Solución. Para la solución de esta red vamos a aplicar el método de Hardy Cross. La ecuación de descarga en cada tubería es: Tuberias en Paralelo


h f kQ =

K

1.85

1.72(10 )6 L =

1.85 C H D 4.866

Estas ecuaciones corresponden a la fórmula de Hazen y Williams, que es la que utilizaremos, dado que el coeficiente de resistencia está en los datos referido a dicha fórmula. Si éste no fuera el caso se utilizaría las ecuaciones correspondientes. Empezaremos por dividir la red en dos circuitos en cada uno de los cuales consideramos como sentido positivo el correspondiente al sentido contrario de las agujas del reloj. Esto es puramente convencional y podría ser al contrario. Haremos también, tentativamente, una suposición con respecto a la distribución de caudales. En consecuencia cada caudal vendrá asociado a un signo. Habrá caudales positivos y negativos. Por consiguiente las pérdidas de carga en cada tramo también estarán afectadas del correspondiente signo. Sabemos, sin embargo, que ni los caudales ni las pérdidas de carga tienen signo. Se trata solamente de algo convencional para expresar la condición 1 que debe satisfacer una red. Se obtiene así


MECÁNICA DE FLUIDOS II La magnitud y el sentido del caudal en cada ramal se ha escogido arbitrariamente, cuidando tan sólo que se cumpla la ecuación de continuidad en cada nudo (en valores absolutos naturalmente). Ahora debemos hallar los valores de K en cada ramal para facilitar así el cálculo de la pérdida de carga con los diferentes caudales que nos irán aproximando sucesivamente a la solución final.

CIRCUITO I

CIRCUITO II

BN

0,03367

CM

0,00969

NM

0,02806

MN

0,02806

MB

0,00692

NC

0,00830

Calculamos ahora los valores de perdida de carga ht en cada circuito 0

aplicando la ecuación de descarga BN + 87.23

CM − 57.93

NM − 7.16

MN + 7.16

MB − 56.35

NC + 34.23

∑h

∑h

0

= + 23.72

0

= − 16.54

Aplicando ahora la ecuación:

∆Q =

−∑ hf

0

hf 0

∑Q

1.85

0

∆Q =

−23.72

1.85 x 2.04

∆Q = − 6


= −6.3

∆Q =

16.54 1.85 x1.26

∆Q = 7

= 7.1

MECÁNICA DE FLUIDOS II Los nuevos caudales y los correspondientes valores de la pérdida de carga h f son los siguientes

CIRCUITO

Tramo

CIRCUITO

I

Caudal

h f

Tramo

II

h f

Caudal

BN

+70 - 6

= +64

+73,91

CM

-110 + 7 = -103

-51,29

NM

-20 - 6 - 7 = -33

-18,09

MN

+20 + 7 + 6 = +33

+18,09

MB

-130 - 6

-61,26

NC

+90 + 7 = +97

+39,32

= -136 h f

=

h f = + 6,12

Calculamos nuevamente la corrección ∆Q

∆Q =

5.44 1.85 x 2.15

∆Q =

= +1.37

∆Q = +1

−6.12

1.85 x1.45

= −2.28

∆Q = −2

Los nuevos caudales y los correspondientes valores h f son

CIRCUITO

Tramo

I

CIRCUITO

h f

Tramo

+76,06

CM

-103 - 2

Caudal

= + 65

+ 64 + 1

NM

- 33 + 1 + 2 = -30

-15,16

MN

+33 - 2 - 1

MB

- 136 + 1 = - 135

-60,43

NC

+97 - 2

= -105

+ 0,47

-53,15

= +30 +15,16

= +95

Calculamos ahora nuevamente la corrección ∆Q Tuberias en Paralelo

h f

Caudal

BN

h f =

II

+37,83 h f =

0,16


∆Q =

−0.47

1.85 x 2.12 ∆Q = 0

= −0.12

∆Q =

0.16

1.85 x1.41 ∆Q = 0

= 0.06

Estos caudales satisfacen las tres condiciones de una red. Obsérvese que la condición 1, ∑ h = 0 para cada circuito es la expresión de conceptos básicos del flujo en tuberías. Aplicada, por ejemplo, al circuito I, debe entenderse que en realidad refleja el comportamiento de un sistema en paralelo, tal como se ve a continuación. f

Por lo tanto se debe cumplir la ecuación fundamental



h f

+

BM

h f

=

MN

h

Como efectivamente ocurre con los resultados obtenidos. Debe cumplirse, por las mismas razones, las siguientes ecuaciones

h MCf h f

+h f +h = h f MN

BNC

=0

fCN

BMC

La condición 3 queda también satisfecha. Tomemos un ramal cualquiera (NC).

D = 8" c H = 100 L= 0.6 km h f

= 37.83m


Q = 0.00426x100x 82.63 x 63.050.54 Q = 94.7l / s


Qo

K

h f

h f

0

Q

Q

0

Circuito

h

h f

Q

Q

f

h

h f

Q

f

1

BN

0,03367

+70

+87,23

-6

+64

+73,91

+1

+65

+76,06

0

NM

0,02806

-20

-7,16

-13

-33

-18,09

+3

-30

-15,16

0

0,00692

-130

-56,35

-6

-136

-61,26

+1

-135

-60,43

MB

Circuito

+23,72

-5,44

+0,47

0

2

CM

0,00969

-110

-57,93

+7

-103

-51,29

-2

-105

-53,15

0

MN

0,02806

+20

+7,16

+13

+33

+18,09

-3

+30

+15,16

0

0,00830

+90

+34,23

+7

+97

+39,32

-2

+95

+37,83

NC

-16,54

Conclusiones Tuberias en Paralelo

+6,12

-0,16

0

MECÁNICA DE FLUIDOS II La naturaleza de los sistemas paralelos requiere que la técnica utilizada para su análisis sea diferente ala que se utiliza en el análisis de los sistemas en serie. En general. un sistema paralelo puede tener cualquier número de ramas. 

Un sistema de tuberías en paralelo está constituido por dos o más tuberías que, partiendo de un punto, vuelven a unirse de nuevo en otro punto, aguas abajo del primero 

En el método de Hardy Cross las condiciones que deben satisfacer en la red son La suma algebraica de las pérdidas de carga en cada circuito debe ser cero. 

BIBLIOGRAFÍA Tuberias en Paralelo

MECÁNICA DE FLUIDOS II NOMBRE DE LIBRO

AUTOR

TEMA

MECANICA DE FLUIDOS E HIDRAULICA

Ranald V. Giles / Jack B. Evett / Cheng Liu

MECANICA DE FLUIDOS APLICADA

Robert Mott

HIDRAULICA DE TUBERIAS Y CANALES

Arturo Rocha Felices

MECANICA DE FLUIDOS

Merle C. Potter / David C. Wiggert

MECANICA DE FLUIDOS

Irving H. Shames

APUNTES DE HIDRAULICA TECNICA

Fernández Bono, Juan F y Marco Segura, Juan B

Flujo de fluidos en tuberías Perdidas de Energía debido a la fricción Resistencia de la superficie en el movimiento uniforme / diseño de tuberías Flujo turbulento en un tubo Flujos turbulentos consideraciones experimentales Perdida de carga en tuberías


PAGINAS

160 – 167 237- 257

91 - 150

281 - 305 327 - 335

Expo Fluidos 2

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