Simulare LC Paul Ulmeanu
2015-16
Enunt
Enunt
Fie un sistem este format din 6 componente binare, reparabile si independente. Daca componenta 3 este in stare de insucces, atunci sistemul are urmatoarele taieturi minimale: K 1 = {¯ 1, ¯5}; K 2 = {¯1, ¯2, ¯4}; K 3 = { ¯1, ¯4, ¯6}. Daca componenta 3 este in stare de succes, atunci sistemul are urmatoarele trasee minimale: T 1 = { 1}; T 2 = { 2}, T 3 = {4, 5}, T 4 = {4, 6}. Toate componentele sistemului au aceeasi probabilitate de succes p si aceeasi intensitate de defectare λ.
stari critice sistem; factori de importanta; disponibilitate
Logica sistemului
Pe baza datelor din enunt, putem construi diagrama de decizie binara (BDD), respectiv putem construi diagramele de succes, conform celor doua cazuri din enunt
stari critice sistem; factori de importanta; disponibilitate Cazul
x 3 = 1
Exemplificare: Diagrama de succes in cazul din enunt x 3 = 1
stari critice sistem; factori de importanta; disponibilitate Cazul
x 3 = 0
Exemplificare diagramei de succes in cazul din enunt
x 3
=0
stari critice sistem; factori de importanta; disponibilitate Cazul
x 3 = 0
Teorema Shannon Functia de structura a sistemului este: ˙ x3 ϕ(x 1 , x 2 , 0, x 4 , x 5 , x 6 ) unde vectorul ϕ(x) = x 3 ϕ(x 1 , x 2 , 1, x 4 , x 5 , x 6 )+¯ de stare al sistemului este x = (x 1 , x 2 , x 3 , x 4 , x 5 , x 6 ). In consecinta, probabilitatea de succes a sistemului este: ˙ q · P {ϕ(x 1 , x 2 , 0, x 4 , x 5 , x 6 ) = 1} P = p · P {ϕ(x 1 , x 2 , 1, x 4 , x 5 , x 6 ) = 1}+ unde s-a notat q=1-p. Componentele sistemului sunt independente si identice. Vom face apel pt. validarea solutiilor la distributia binomiala. Sistemul are 26 = 64 de stari, respectiv in 32 din acestea componenta 3 (precizata in enunt) este in stare de succes, iar in restul de 32 de stari componenta este in stare de insucces.
Cazul
Cazul
x 3
x 3 = 1
=1
Dintr-un numar de 64 de stari, sistemul are 32 de stari in care componenta 3 este in stare de succes (disponibila). Vom analiza aceste 32 de stari in ceea ce urmeaza, din prisma componentelor 1,2,4,5 si 6 (in total cinci componente), conform distributiei binomiale. v /v /0 exista o singura stare cu toate cele cinci componente in stare de succes (disponibile); v /iv /i exista C 51 = 5 stari cu patru componente in stare de succes si o componenta in stare de insucces. v /iii /ii exista C 52 = 10 stari cu trei componente in stare de succes si doua componente in stare de insucces.
Cazul
Cazul
x 3
x 3 = 1
= 1 (continuare)
v /ii /iii exista C 53 = 10 stari cu doua componente in stare de succes si trei
componente in stare de insucces. v /i /iv exista C 54 = 5 stari cu o componenta in stare de succes si patru componente in stare de insucces. v /0/v exista C 55 = 1 stare cu toate cele cinci componente in stare de insucces.
Cazul
Cazul
x 3
x 3 = 1
= 1: validare
Total stari (in cazul x 3 = 1): cazul v/v/0: una stare de succes cazul v/iv/i: cinci stari, toate de succes ; cazul v/iii/ii: zece stari, toate de succes ; cazul v/ii/iii : zece stari, din care una de insucces (!1, !2, !4, 5, 6), restul de noua vor fi de succes; cazul v/i/iv: cinci stari, din care doua de succes, respectiv (1, !2, !4, !5, !6) si (!1, 2, !4, !5, !6) ; cazul v/0/v: o stare de insucces. P {ϕ(x 1 , x 2 , 1, x 4 , x 5 , x 6 ) = 1} = p 5 + 5 · p 4 · q + 10 · p 3 · q 2 + 9p 2 · q 3 + 2p · q 4
Cazul
x 3 = 1
Compararea solutiilor in cazul
x 3 = 1
Solutia 1 dezvoltata cf. BDD: P {ϕ(x 1 , x 2 , 1, x 4 , x 5 , x 6 ) = 1} = p + q · p + q 2 · p · (p + q · p ) Solutia 2 validata pe analiza combinatorica a starilor (fara BDD): P {ϕ(x 1 , x 2 , 1, x 4 , x 5 , x 6 ) = 1} = p 5 + 5 · p 4 · q + 10 · p 3 · q 2 + 9p 2 · q 3 + 2p · q 4 Inlocuind q = 1 − p se obtine acelasi polinom atat in solutia 1 cat si in solutia 2: P {ϕ(x 1 , x 2 , 1, x 4 , x 5 , x 6 ) = 1} = 2p + p 2 − 5p 3 + 4p 4 − p 5
Cazul
Cazul
x 3
x 3 = 0
=0
Se pot analiza cele 32 de stari, facind apel la diagrama desenata deja (slide 5) Total stari (in cazul x 3 = 0): cazul v/v/0: una stare de succes cazul v/iv/i: cinci stari, toate de succes ; cazul v/iii/ii: zece stari, din care una de insucces (!1, 2, 4, !5, 6) ; cazul v/ii/iii : zece stari, din care cinci de succes: (1, 2, !4, !5, !6), (1, !2, 4, !5, !6), (1, !2, !4, 5, !6), (1, !2, !4, !5, 6) respectiv (!1, !2, 4, 5, !6) ; cazul v/i/iv: cinci stari, din care una de succes, respectiv (1, !2, !4, !5, !6) ; cazul v/0/v: o stare de insucces. P {ϕ(x 1 , x 2 , 0, x 4 , x 5 , x 6 ) = 1} = p 5 + 5 · p 4 · q + 9 · p 3 · q 2 + 5p 2 · q 3 + p · q 4
Cazul
x 3 = 0
Comparare solutiilor in cazul
x 3 = 0
Solutia 1 dezvoltata cf. BDD: P {ϕ(x 1 , x 2 , 0, x 4 , x 5 , x 6 ) = 1} = p + q · p (p + q · p 2 ) Solutia 2 validata pe analiza combinatorica a starilor (fara BDD): P {ϕ(x 1 , x 2 , 0, x 4 , x 5 , x 6 ) = 1} = p 5 + 5 · p 4 · q + 9 · p 3 · q 2 + 5p 2 · q 3 + p · q 4 Inlocuind q = 1 − p se obtine acelasi polinom atat in solutia 1 cat si in solutia 2: P {ϕ(x 1 , x 2 , 0, x 4 , x 5 , x 6 ) = 1} = p + p 2 − 2p 4 + p 5
Probabilitatea de succes a sistemului
Probabilitatea de succes a sistemului
˙ q · P {ϕ(x 1 , x 2 , 0, x 4 , x 5 , x 6 ) = 1} P = p · P {ϕ(x 1 , x 2 , 1, x 4 , x 5 , x 6 ) = 1}+ Rezulta: P = p 6 + 6p 5 q + 15p 4 q 2 + 18p 3 q 3 + 7p 2 q 4 + pq 5
sistemului
Frecventa asteptata de intrerupere a nivelului de succes al sistemului
Fie intensitatea de reparare a unei componente µ = λ p /q ν = 6λp 6 + 6p 5 q (5λ − µ) + 15p 4 q 2 (4λ − 2µ) + 18p 3 q 3 (3λ − 3µ) + 7p 2 q 4 (2λ − 4µ) + pq 5 (λ − 5µ) Inlocuind µ = λ p /q , se obtine: ν = 6λp 4 q 2 + 26λp 3 q 3 + 9λp 2 q 4 + λpq 5 Total stari critice sistem: 42 = 6 + 26 + 9 + 1 din care: 6 stari critice (vi/iv/ii); 26 stari critice (vi/iii/iii); 9 stari critice (vi/ii/iv), respectiv o stare critica (vi/i/v).
Factorii de importanta structurali Birnbaum
Factorii de importanta structurali Birnbaum
Sistemul are cinci trasee minimale, si anume: T 1 = {1}; T 2 = { 2, 3}; T 3 = { 4, 5}; T 4 = {2, 5, 6}; T 5 = {3, 4, 6}. Aceste trasee se pot valida pe diagrama de decizie binara.
Factorii de importanta structurali Birnbaum
Vectorii critici ai comp. 1
Vectorii critici asociati comp. 1
Pe baza lor, se deduc urmatoarele stari critice / vectori critici: Comp. 1: 1,2,!3 ,4 ,!5 ,6 Comp. 1: 1 ,2 ,!3 ,4 ,!5 ,!6 Comp. 1: 1 ,2 ,!3 ,!4 ,5 ,!6 Comp. 1: 1 ,2 ,!3 ,!4 ,!5 ,6 Comp. 1: 1 ,2 ,!3 ,!4 ,!5 ,!6 Comp. 1: 1 ,!2 ,3 ,4 ,!5 ,!6 Comp. 1: 1 ,!2 ,3 ,!4 ,5 ,6
Factorii de importanta structurali Birnbaum
Vectorii critici ai comp. 1
Vectorii critici asociati comp. 1
Comp. 1: 1 ,!2 ,3 ,!4 ,5 ,!6 Comp. 1: 1 ,!2 ,3 ,!4 ,!5 ,6 Comp. 1: 1 ,!2 ,3 ,!4 ,!5 ,!6 Comp. 1: 1 ,!2 ,!3 ,4 ,!5 ,6 Comp. 1: 1 ,!2 ,!3 ,4 ,!5 ,!6 Comp. 1: 1 ,!2 ,!3 ,!4 ,5 ,6 Comp. 1: 1 ,!2 ,!3 ,!4 ,5 ,!6 Comp. 1: 1 ,!2 ,!3 ,!4 ,!5 ,6 Comp. 1: 1 ,!2 ,!3 ,!4 ,!5 ,!6 Factorul de importanta structurala Birnbaum al componentei 1 este ϕ I B (1) = 16/25 = 0.5
Factorii de importanta structurali Birnbaum
Vectorii critici ai comp. 2
Vectorii critici asociati comp. 2
Comp. 2: !1 ,2 ,3 ,4 ,!5 ,!6 Comp. 2: !1 ,2 ,3 ,!4 ,5 ,6 Comp. 2: !1 ,2 ,3 ,!4 ,5 ,!6 Comp. 2: !1 ,2 ,3 ,!4 ,!5 ,6 Comp. 2: !1 ,2 ,3 ,!4 ,!5 ,!6 Comp. 2: !1 ,2 ,!3 ,!4 ,5 ,6 Factorul de importanta structurala Birnbaum al componentei 2 este ϕ I B (2) = 6/25 = 0.1875
Factorii de importanta structurali Birnbaum
Vectorii critici ai comp. 3
Vectorii critici asociati comp. 3
Comp. 3: !1 ,2 ,3 ,4 ,!5 ,6 Comp. 3: !1 ,2 ,3 ,4 ,!5 ,!6 Comp. 3: !1 ,2 ,3 ,!4 ,5 ,!6 Comp. 3: !1 ,2 ,3 ,!4 ,!5 ,6 Comp. 3: !1 ,2 ,3 ,!4 ,!5 ,!6 Comp. 3: !1 ,!2 ,3 ,4 ,!5 ,6 Factorul de importanta structurala Birnbaum al componentei 3 este ϕ I B (3) = 6/25 = 0.1875
Factorii de importanta structurali Birnbaum
Vectorii critici ai comp. 4
Vectorii critici asociati comp. 4
Comp. 4: !1 ,2 ,!3 ,4 ,5 ,!6 Comp. 4: !1 ,!2 ,3 ,4 ,5 ,6 Comp. 4: !1 ,!2 ,3 ,4 ,5 ,!6 Comp. 4: !1 ,!2 ,3 ,4 ,!5 ,6 Comp. 4: !1 ,!2 ,!3 ,4 ,5 ,6 Comp. 4: !1 ,!2 ,!3 ,4 ,5 ,!6 Factorul de importanta structurala Birnbaum al componentei 4 este ϕ I B (4) = 6/25 = 0.1875
Factorii de importanta structurali Birnbaum
Vectorii critici ai comp. 5
Vectorii critici asociati comp. 5
Comp. 5: !1 ,2 ,!3 ,4 ,5 ,6 Comp. 5: !1 ,2 ,!3 ,4 ,5 ,!6 Comp. 5: !1 ,2 ,!3 ,!4 ,5 ,6 Comp. 5: !1 ,!2 ,3 ,4 ,5 ,!6 Comp. 5: !1 ,!2 ,!3 ,4 ,5 ,6 Comp. 5: !1 ,!2 ,!3 ,4 ,5 ,!6 Factorul de importanta structurala Birnbaum al componentei 5 este ϕ I B (5) = 6/25 = 0.1875
Factorii de importanta structurali Birnbaum
Vectorii critici ai comp. 6
Vectorii critici asociati comp. 6
Comp. 6: !1 ,2 ,!3 ,!4 ,5 ,6 Comp. 6: !1 ,!2 ,3 ,4 ,!5 ,6 Factorul de importanta structurala Birnbaum al componentei 6 este ϕ I B (6) = 2/25 = 0.0625
Validare vectori critici
Validare vectori critici
Comp. 1 2 3 4 5 6 TOTAL
vi /iv /ii
vi / iii /iii
vi / ii /iv
2 1 1 1 1 0 6
8 4 4 4 4 2 26
5 1 1 1 1 0 9
vi / i /v TOTAL
1 0 0 0 0 0 1
16 6 6 6 6 2 42
Verificare factori de imp. structurala Birnbaum
Se verifica ca termenii si puterile sumei de mai jos corespund exact cu tabelul prezentat: ν = 6λp 4 q 2 + 26λp 3 q 3 + 9λp 2 q 4 + λpq 5 De asemenea, daca se insumeaza factorii de importanta structurala Birnbaum calculati se obtine 1.3125 = 42/25 .
