Escrito por Diego Oliveira - Publicado em 06/03/2016 - Atualizado em 24/11/2017
O que é L’hospita L’hospital? l? A regra de L’hospital enuncia o seguinte. Se
ƒ ( ) g( )
resultar em
∞
0
ou mesmo
0
∞
Exemplo 1. Calcule: 1. Calcule: lim
→0
para = , então lim
→
tg ( ) −
− sen ( )
Solução:
lim
→0
tg ( ) −
− sen ( )
= lim
→0
sen ( ) cos ( )
−
− sen ( )
Aplicando L’hospital
= lim
→0
sen 2 ( ) + cos co s2 ( )
−
cos 2 ( ) 1 − cos ( )
1
= lim
→0
Aplicando L’hospital novamente
lim
→0
1
cos 2 ( )
−
1
1 − cos ( )
= lim ( 2 · cos ( )) →0
= 2 · cos (0) = 2 · 1 = 2
Exemplo 2. Calcule: 2. Calcule: lim
→0
− 1
Solução:
1
1
cos 2 ( )
−
1 − cos ( )
1
ƒ ( )
g( )
= lim
→
ƒ ( )
g ( )
.
Aplicando l’hospital
lim
→0
− 1
= lim
→0
= lim n () · →0
n ( ) · − 0 1
= n ( ) · 0 = n ( ) · 1 = n ( ) = ) (Demonstração da drivada de y = = (valor de y ) y = ⇒
n ( y ) = · n ( )
⇒
1 y = 1 · n ( ) (derivando implicitamente) y
⇒
y = n ( ) · y
⇒
y = n ( ) · (substituindo o valor de y )
Exemplo 3. Calcule: 3. Calcule: lim
→∞
2 +
2 + 3
·
sen
π
Solução:
Fazendo
1
lim
→∞
2 1 + sen ( π/ )
= lim
→∞
2
→∞
+
sen ( π/ ) 2
= lim
2
+
3
+
+ lim
→∞
2
sen ( π/ ) 2
3 2
3
2
+ lim
→∞
1
1 + sen ( π/ )
= lim
→∞
1 ·
2
sen ( π/ ) 2
+
3
2
sen (π/ ) 2+
3
2
+
3 2
= lim
→∞
= lim
→∞
sen ( π/ ) 2
+
3
2
sen ( π/ ) 2
+
3
2
+ 0
Aplicando L’hopital
lim
→∞
= lim
sen ( π/ ) 2
→∞
=
+
3
2
= lim
πcos( π/ ) 2 + (6 / )
→∞
−
πcos( π/ )
2 2 3 − ( 2 / ) − ( 6 / )
π 2
Exemplo 4. Calcule: 4. Calcule: lim
→∞
5
e
Solução:
Usando L’hospital sucessivamente lim
→∞
5
e
= lim
→∞
120
e
=
120
= 0
∞
3
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