Exercícios Resolvidos
Diego Oliveira - Vitória da Conquista/BA
Exercícios Resolvidos: Máximo e Mínimo Absoluto Contato: Contato:
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Escrito por Diego Oliveira - Publicado em 18/04/2014 - Atualizado em 31/10/2018
O que são os máximos e mínimos? O máximo valor absoluto de ƒ ( ) é o maior valor que ƒ ( ) assume num intervalo [ , b] . Analogam Analogamente ente o mínimo absoluto absoluto é o menor menor valor que ƒ ( ) assume neste mesmo intervalo. Como encontrar um ponto de máximo ou mínimo? Para deter determin minar ar o máximo máximo e/ou e/ou mínimo mínimo absolu absoluto to de ƒ ( ) no intervalo intervalo [ , b] segue-se os seguintes passos:
Deriva-se a função ƒ ( ).
Calcula-se os valores de para o qual D ( ƒ ( )) = 0 .
Seja 0 , 1 , . . . , n os valores de calculados no passo anterior calculase: ƒ ( 1 ), . . ., ƒ ( n ) e também ƒ () e ƒ (b).
O maior valor de ƒ ( ) calculado é o máximo o máximo absoluto. absoluto.
O menor valor de ƒ ( ) calculado é o mínimo o mínimo absoluto. absoluto.
Exemplo 1: Ache 1: Ache os extremos absolutos de f(x) = sn s n( 2 ) + cos ( 2 ) no intervalo [0, π ]. Solução:
Primeiro derivamos ƒ ( ): D ( ƒ ( )) = 2 cos (2 ) − 2sen (2 ) Em seguida determinamos quais os valores de resulta em D ( ƒ ( )) = 0 .
D ( ƒ ( )) = 0
⇒ 2cos (2 ) − 2sen (2 ) = 0 ⇒ cos (2 ) − sen (2 ) = 0 ⇒ cos (2 ) = sen (2 ) 1
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π π Sabe-se que seno(θ) é igual ao cos( θ) quando θ = . Assim, Assim, fazen fazendo do 2 = 4 4 π teremos = . 8
Agora calculamos ƒ (π/ 4), ƒ (0) e ƒ (π ). ƒ (π/ 8) = sn s n( 2(π/ 8)) + cos ( 2(π/ 8)) = 1 .41 ƒ ( 0) = sn ( 2 · 0) + cos ( 2 · 0) = 1 ƒ (π ) = sn s n( 2π ) + cos ( 2π ) = − 1
Logo f(π/ 8) é o ponto de máximo e f( π ) é ponto de mínimo.
Exemplo 2: Ache os extremos absolutos de f(x) = 3 + 2 − + 1 no intervalo [-2, 0.5]. Solução:
A derivada de ƒ ( ) é: D ( ƒ ( )) = 3 2 + 2 − 1. Cujos zeros ocorrem para = 1 / 3 e =
− 1.
Fazendo ƒ (− 1) e ƒ (1 / 3) chega-se à: ƒ ( − 1) = (− 1) + (1) − ( − 1) + 1 = 2 ƒ ( 1 / 3) ∼ = 0 .81
Testando Testando agora os extremos extremos do intervalo ƒ ( − 2) = 1 e ƒ
1
2
= 1 .875
Chegamos a conclusão de que o máximo absoluto ocorre em = − 1, quando ƒ ( ) = 2 . E o mínimo absoluto ocorre quando = 1 / 3, quando ƒ ( ) = 0 .81
3].
Exemplo 3: Ache 3: Ache os extremos absolutos de ƒ ( ) = 4 − 16 2 + 2 no intervalo [-1, Solução:
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A derivada da função é D ( ƒ ( )) = 4 3 − 32
Cujos zeros ocorrem para = 0 , e = ± 2 2. Testando Testando estes valores e os extremos extremos do intervalo [-1, 3] chega-se à: ƒ ( 0) = 2 ƒ ( 2 2) = − 94
Não precisamos calcular ƒ (− 2 2), pois − 2 2 não pertence ao intervalo [ − 1, 3] ƒ ( − 1) = − 13 ƒ ( 3) = − 61
Logo o valor de máximo ocorre para = 0 e o valor de minimo para = 2 2.
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