Exercícios Resolvidos de Cálculo: Aproximação linear

Exercícios Resolvidos

Diego Oliveira - Vitória da Conquista/BA

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Escrito por Diego Oliveira - Publicado em 05/01/2017 - Atualizado em 10/10/2018

Como realizar a aproximação? Nesse caso basta aplicarmos o seguinte:  ƒ ( p) ≈  ƒ ( ) +  ƒ  ( )( p − )   (com  

≈  p)

Na prática a aproximação linear é muito útil quando temos de calcular raízes ou funções trigonométricas a mão. Observação: Quanto mais próximo o valor“" for de “ p", então melhor será o resultado da aproximação.

Exemplo 1: Calcule 1:  Calcule uma aproximação de

 

50.

Solução:

 Tomando  Tomando  ƒ (  ) =   1 / 2 o problema é equivalente a calcular  ƒ (50 )  onde  ƒ (50 ) ≈  ƒ ( ) +  ƒ  ()( 50 − )

 Tomando  Tomando    =  49  que é um valor próximo de 50, então:  ƒ (50 ) ≈  ƒ (49 ) +  ƒ  (49 )( 50 − 49 )

⇒  ƒ (50) ≈ 7 + ⇒  ƒ (50) ≈

1

  14

×1

99 14

Usando uma calculadora (ou mesmo calculando a mão) a fração

 

99 14

pode ser es-

crita na forma decimal como aproximadamente 7.0714. Já 50  é aproximadamente aproximadamente  7.0711. Ou seja, conseguimos uma aproximação perfeita até a 3 casa decimal.

1

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Exemplo 2: Encontre 2:  Encontre a aproximação de

  3

127 .

Solução:

 Tomando  Tomando  ƒ (  ) =   1 / 3 o problema é equivalente a calcular  ƒ (127 )  onde:  ƒ ( 127 ) ≈  ƒ ( ) +  ƒ  ()( 127 − )

 Tomando  Tomando    =  125  então:  ƒ ( 127 ) ≈  ƒ ( 125 ) +  ƒ  (125 )( 127 − 125 )

⇒  ƒ (127 ) ≈ 5 + (1 / (125 2 / 3 )) × (2) ⇒  ƒ (127 ) ≈ 5 + (2 / (125 2 / 3 )) ⇒  ƒ (127 ) ≈

377

  75

≈ 5.0266...

Exemplo 3: Encontre 3:  Encontre a aproximação de  sn  s n ( 3.14 ). Solução:

 Tomando  Tomando  ƒ (  ) =  sn ( )  então queremos calcular f(3.14) onde:  ƒ ( 3.14 ) ≈  ƒ ( ) +  ƒ  ()( 3.14 − )

 Tomando  Tomando    =  π  )( 3.14 − π )  ƒ ( 3.14) ≈  ƒ (π ) +  ƒ  (π )(

⇒  ƒ (3.14) ≈ sen (π ) +  cos (π )( )( 3.14 − π ) ⇒  ƒ (3.14) ≈ 0 + (− 1)( 3.14 − π ) ⇒  ƒ (3.14) ≈ π  − 3.14 Exemplo 4: Encontre 4:  Encontre a aproximação de  n   n( 1.05). Solução:

 Tomando  Tomando  ƒ (  ) =  n ( )  então queremos calcular f(1.05) onde:  ƒ ( 1.05 ) ≈  ƒ ( ) +  ƒ  ()( 1.05 − )

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 Tomando  Tomando    =  1  ƒ ( 1.05 ) ≈  ƒ ( 1) +  ƒ  ( 1)( 1.05 − 1)

⇒  ƒ (1.05) ≈ 0 + 1 / (1) · (0.05) ⇒  ƒ (1.05) ≈ 0.05 Exemplo 5: Encontre 5:  Encontre a aproximação de 25.1 . Solução:

 Tomando  Tomando  ƒ (  ) =  2  então queremos calcular f(5.1) onde:  ƒ ( 5.1) ≈  ƒ ( ) +  ƒ  ()( 5.1 − )

 Tomando  Tomando    =  5  ƒ ( 5.1) ≈  ƒ ( 5) +  ƒ  ( 5)( 5.1 − 5)

⇒  ƒ (5.1) ≈ 25 + 2 5 (0.1) ⇒  ƒ (5.1) ≈ 25 (1 +  0 .1) ⇒  ƒ (5.1) ≈ 25 (1.1) ⇒  ƒ (5.1) ≈ 32(1.1) ⇒  ƒ (5.1) ≈ 35.2

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