Estatística Aplicada - Exercícos Resolvidos

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FMD_i.p65

Introdução ao e-learning

104

15-01-2004, 10:49

Manual de Exercícios

ÍNDICE 1. INTRODUÇÃO .............................................…....................................

4

1.1 Definições Gerais ........................................................................

5

1.1.1. População

5

1.1.2. Variáveis ou atributos

5

1.1.3. Processo de amostragem

5

1.2 A Estatística Descritiva e a Estatística Indutiva .............…......

6

2. ESTATÍSTICA DESCRITIVA .............................................…...................

8

2.1 Variáveis Qualitativas .................................................................

8

2.2 Variáveis Quantitativas Discretas .............................................

9

2.3 Variáveis Quantitativas Contínuas ............................................

10

2.4 Medidas de Localização .............................................................

11

2.4.1. Média

11

2.4.2. Mediana

12

2.4.3. Moda

13

2.5 Medidas de Ordem ......................................................................

13

2.6 Medidas de Assimetria ...............................................................

14

2.7 Medidas de Dispersão ................................................................

15

2.7.1. Dispersão Absoluta

15

2.7.2. Dispersão Relativa

16

2.8 Análise de Concentração ...........................................................

17

2.8.1. Curva de Lorenz

17

2.8.2. Índice de Gini

18

2.9 Estatística Descritiva Bidimensional ........................................

Estatística Aplicada

19

2


3. ESTATÍSTICA INDUTIVA .............................................…......................

45

3.1 Noções básicas de probabilidades ...........................................

45

3.2 Probabilidade condicionada ......................................................

48

3.3 Funções de Probabilidade ........................................…..............

49

3.4 Estimação por Intervalos ..........................................…..............

76

3.5 Testes de hipóteses ..................................................…..............

89

3.6 Aplicações Estatísticas: Fiabilidade .........................................

105

3.6.1. Conceito de fiabilidade

105

3.6.2. Fiabilidade de um sistema

105

3.7 Aplicações Estatísticas: Controlo Estatístico de Qualidade ..

110

3.8 Aplicações Estatísticas: Tratamento Estatístico de Inquéritos .

114

3.8.1. Teste de independência do qui-quadrado


114

3

Manual de Exercícios "A estatística é a técnica de torturar os números até que eles confessem". Autor desconhecido

1. INTRODUÇÃO Inicialmente, a actividade estatística surgiu como um ramo da Matemática. Limitava-se ao estudo de medições e técnicas de contagem de fenómenos naturais e ao cálculo de probabilidades de acontecimentos que se podiam repetir indefinidamente. Actualmente, os métodos estatísticos são utilizados em muitos sectores de actividade, tendo como algumas aplicações estudos de fiabilidade, pesquisas de mercado, testes de controle de qualidade, tratamento de inquéritos, sondagens, modelos econométricos, previsões, etc. Exemplo de uma estatística: os valores da inflação entre 1980 e 1990 constituem uma estatística. Fazer estatística sobre estes dados poderia consistir, por exemplo, em traçar gráficos, calcular a inflação média trimestral ou prever a inflação para 1991. A análise de um problema estatístico desenvolve-se ao longo de várias fases distintas: (i) Definição do Problema Saber exactamente aquilo que se pretende pesquisar; estabelecer o objectivo de análise e definição da população (ii) Amostragem e Recolha de Dados Fase operacional. É o processo de selecção e registo sistemático de dados, com um objectivo determinado. Os dados podem ser primários (publicados pela própria pessoa ou organização) ou secundários (quando são publicados por outra organização). (iii) Tratamento e Apresentação dos Dados Resumo dos dados através da sua contagem e agrupamento. É a classificação de dados, recorrendo a tabelas ou gráficos. Estatística Aplicada

4


(iv) Análise e Interpretação dos Dados A última fase do trabalho estatístico é a mais importante e delicada. Está ligada essencialmente ao cálculo de medidas e coeficientes, cuja finalidade principal é descrever o comportamento do fenómeno em estudo (estatística descritiva).

Na

estatística

indutiva

a

interpretação

dos

dados

se

fundamentam na teoria da probabilidade.

1.1. Definições Gerais 1.1.1. População Fazer estatística pressupõe o estudo de um conjunto de objectos bem delimitado com alguma característica em comum sobre os quais observamos um certo número de atributos designados por variáveis. Exemplo: Empresas existentes em Portugal

1.1.2. Variáveis ou atributos

As propriedades de uma população são estudadas observando um certo número de variáveis ou atributos. As variáveis podem ser de natureza qualitativa ou quantitativa. As variáveis quantitativas podem ainda dividir-se entre discretas e contínuas. As variáveis discretas assumem apenas um número finito numerável de valores. As variáveis contínuas podem assumir um número finito não numerável ou um número infinito de valores. Exemplo: um conjunto de empresas pode ser analisado em termos de sector de actividade (atributo qualitativo), número de trabalhadores (atributo quantitativo discreto), rácio de autonomia financeira (atributo quantitativo contínuo), etc

1.1.3. Processo de amostragem Para conhecer de forma completa a população, podem efectuar-se:


5


-

recenseamentos (indagação completa de todos os elementos da população); este processo é, no entanto, tipicamente moroso e dispendioso, sendo esses os motivos porque os Censos são realizados apenas em cada 10 anos.

-

estudos por amostragem (observação de apenas um subconjunto, tido como representativo do universo). As técnicas de recolha de amostras garantem a sua representatividade e aleatoriedade.

1.2. A Estatística Descritiva e a Estatística Indutiva Para além do ramo de amostragem, a estatística compreende dois grandes ramos: a estatística descritiva e a estatística indutiva. A estatística descritiva é o ramo da estatística que se encarrega do tratamento e análise de dados amostrais. Assim, depois de recolhida a amostra de acordo com técnicas que garantem a sua representatividade e aleatoriedade, fica disponível um conjunto de dados sobre o universo “em bruto” ou não classificados. Para que seja possível retirar qualquer tipo de conclusões, tornase necessário classificar os dados, recorrendo a tabelas de frequências e a representações gráficas, isto é, é preciso tratar os dados. Depois de tratados, será possível proceder à análise dos dados através de várias medidas que descrevem o seu comportamento: localização, dispersão, simetria dos dados, concentração, etc. São disso exemplo indicadores numéricos bem conhecidos como a média ou a variância. A estatística indutiva é o ramo da estatística que se ocupa em inferir das conclusões retiradas sobre a amostra para a população. De facto, a amostra não é mais do que um passo intermédio e exequível de obter informações sobre o verdadeiro objecto de estudo, que é o universo. A estatística indutiva (ou inferência estatística) garante a ligação entre amostra e universo: se algo se concluiu acerca da amostra, até que ponto é possível afirmar algo semelhante para o universo? É nesta fase que se procuram validar as hipóteses formuladas numa fase prévia exploratória. Claro que o processo de Estatística Aplicada

6


indução implica um certo grau de incerteza associado à tentativa de generalização de conclusões da “parte” (amostra) para o “todo” (universo). O conceito de probabilidade vai ter aqui, então, um papel fundamental. Isto é, não vai ser possível afirmar com toda a certeza que o comportamento da amostra ilustra perfeitamente o comportamento do universo, mas apenas que o faz com forte probabilidade. As inferências indutivas são assim elaboradas medindo, ao mesmo tempo, o respectivo grau de incerteza. Daí que, na ficha das técnicas das sondagens eleitorais, por exemplo, apareçam referências ao “nível de confiança” associado aos resultados e ao “erro” cometido. O esquema seguinte ilustra a “roda” da disciplina de estatística, relacionando os seus diferentes ramos:

POPULAÇÃO OU UNIVERSO

Previsões Estimação Erros

Amostragem

INFERIR DA AMOSTRA PARA O UNIVERSO

AMOSTRA

Estatística Descritiva

TRATAMENTO E ANÁLISE DA AMOSTRA

Inferência Estatística

Gráficos; tabelas; medidas descritivas


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2. ESTATÍSTICA DESCRITIVA

Os resultados da observação de um atributo sobre os elementos do conjunto a analisar constituem os dados estatísticos. O ramo da estatística que se ocupa do tratamento, apresentação e análise de dados amostrais denomina-se de estatística descritiva.

2.1. Variáveis Qualitativas Os dados qualitativos são organizados na forma de uma tabela de frequências, que representa o número ni de elementos de cada uma das categorias ou classes e que é chamado de frequência absoluta. A soma de todas as frequências é igual à dimensão da amostra (n). Numa tabela de frequências, além das frequências absolutas, também se apresentam as frequências relativas (fi), obtida dividindo a frequência absoluta pelo número total de observações.

fi =

Modalidades Mod. 1

Frequências absolutas n1

Frequências relativas f1

Mod. j

nj

fj

Mod. n Total

nn n: dimensão da amostra

fn 1

ni ; ni: nº de vezes que cada modalidade da variável foi observada. n


8


Estes dados podem também ser representados graficamente através de: Diagrama de barras Para cada modalidade, desenha-se uma barra de altura igual à frequência absoluta ou relativa (as frequências relativas são de preferir, pois permitem a comparação de amostras de diferentes dimensões). Diagrama sectorial ou circular Esta representação é constituída por um círculo, em que se apresentam tantas “fatias” quantas as modalidades em estudo. O ângulo correspondente a cada modalidade é proporcional às frequências das classes, fazendo corresponder o total da amostra (n) a 360º Geralmente, juntamente com a identificação da modalidade, indica-se a frequência relativa respectiva.

2.2. Variáveis Quantitativas Discretas São variáveis que assumem um número finito ou infinito numerável de valores. A apresentação destas amostras é semelhante às variáveis qualitativas, fazendo-se uma tabela de frequências e uma representação gráfica recorrendo ao diagrama de barras. Valores da variável X1

Frequências absolutas n1

Frequências relativas f1

Xj

nj

fj

Xn Total

nn n: dimensão da amostra

fn 1

Também é possível calcular as frequências (absolutas – Ni - e relativas - Fi) acumuladas, como se pode ver no exemplo: Nº defeituosos (X) 0 1 2 3 4 Total


Nº embalagens (ni) 80 60 30 20 10 200

% embalagens (fi) 40% 30% 15% 10% 5% 1

Ni 80 80+60 170 190 200

Fi 40% 40%+30% 85% 95% 100%

9


2.3. Variáveis Quantitativas Contínuas Como foi dito anteriormente, uma variável (ou atributo) é contínua quando assume um número infinito não numerável de valores, isto é, podem assumir qualquer valor dentro de um intervalo. Neste caso, a construção da tabela compreende duas etapas: (i) Definição de classes de valores disjuntas, correspondentes a intervalos de números reais fechados à esquerda e abertos à direita, cuja constituição obedece a certas regras (ii) Contagem das observações pertencentes a cada classe

Regra de construção de classes (pressupõe a formação de classes de igual amplitude) - Número de classes a constituir Depende de n = dimensão da amostra Se n≥25, o número de classes a constituir deve ser 5 Se n<25, o número de classes a constituir deve ser n - Amplitude comum a todas as classes Sendo a amplitude total dos dados dada pela diferença entre o valor máximo e o valor mínimo observados, então a amplitude de cada classe será:

Valor máximo da variável observado – Valor mínimo da variável observado Nº de classes a constituir

Classes de valores da variável [x1; x2[ [x2; x3[ [x3; x4[ [xn-1; xn] Total

Frequências absolutas

Frequências relativas

n1

f1

nj

fj

n n: dimensão da amostra

fn 1

A distribuição de frequências representa-se através de um histograma. Um histograma é uma sucessão de rectângulos adjacentes, em que a base é uma classe e a altura a frequência (relativa ou absoluta) por unidade de amplitude (ni/ai ou fi/ai), sendo a amplitude de cada classe ai=ei-ei-1. A área total do histograma é a soma das frequências relativas, isto é, 1.


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1. Esta distribuição permite visualizar o tipo de distribuição e deve salientar alguns aspectos mais relevantes desta (moda, classe modal, ...). Como as classes podem ter amplitudes diferentes, para que todos os rectângulos (colunas) sejam comparáveis é necessário corrigir as frequências das classes (calculando as frequências que se teria se a amplitude de todas as classes fosse igual e igual a 1) 2. É preferível representar o histograma com fi/hi do que com ni/hi uma vez

que deste modo é possível comparar distribuições com diferente número de observações amostrais. Também é possível calcular as frequências (absolutas – Ni - e relativas - Fi) acumuladas.

2.4. Medidas de localização 2.4.1. Média ( X ) É a medida de localização mais usada, sobretudo pela sua facilidade de cálculo. Dados não-classificados (não agrupados numa tabela de frequências)

1 n

x =

n i =1

xi

Média aritmética simples

Dados classificados (isto é, agrupados numa tabela de frequências) Variáveis discretas n

1 n

x =

i =1

n

=

ni x i

i =1

f i xi

Média ponderada dos valores de X

Dados classificados (isto é, agrupados numa tabela de frequências) Variáveis contínuas x =

1 n

n i =1

ni ci


=

n i =1

f i ci

Média ponderada dos pontos médios das classes

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onde ci é o ponto médio de cada classe (

lim . inf . + lim . sup . ) 2

A média é uma medida de localização que, geralmente, indica o valor central da distribuição, entendido como o valor em torno do qual se distribuem os valores observados. Desta forma, a média é muitas vezes utilizada como valor representativo da amostra. No entanto, a média tem o grande inconveniente de ser sensível a valores muito extremados ou aberrantes da distribuição (outliers). Em casos desses, a média deixa de ser um valor que aparece na parte central da distribuição para ser “empurrada” para os extremos. Nestes casos, é preferível recorrer à informação complementar fornecida por outras medidas de localização, como a moda e a mediana, que se definem a seguir.

2.4.2. Mediana (Me) A mediana não se calcula a partir do valor de todas as observações, mas a partir da posição dessas observações. Dados não-classificados Se tivermos n valores x1, x2, ... xn Se n fôr ímpar,

Me = x n+1 2

Se n fôr par,

xn + xn Me =

2

2

+1

2

Dados classificados A mediana é o valor tal que Fi = 0,5 Variáveis discretas Se existe um valor de xi para o qual Fi = 0,5, então fala-se em intervalo mediano.


12


Se não existe nenhum valor de xi para o qual Fi = 0,5, então a mediana é o primeiro valor para o qual Fi > 0,5. Variáveis contínuas Em geral, determina-se o valor para o qual Fi = 0,5 através de uma regra de três simples, atendendo a que as frequências acumuladas variam uniformemente dentro de cada classe. De uma forma geral: Me = L inf +

0.5 − FL inf xamp. classe mediana FL sup − FL inf

2.4.3. Moda (Mo) Variáveis discretas A moda é valor de X para o qual fi é máximo, isto é, é o valor mais frequente da distribuição. Variáveis contínuas A classe modal é a classe de valores de X para o qual fi/hi é máximo, isto é, é a classe a que corresponde maior frequência por unidade de amplitude.

2.5. Medidas de ordem Tal como se definiu para a mediana, é possível definir outros valores de posição ou valores separadores da distribuição em partes iguais. Chama-se quantil de ordem p ao valor de x a que corresponde Fi = p. -

Se p=0,01; 0,02;.....0,99, chama-se ao quantil percentil

-

Se p=0,1; 0,2;...0,9, chama-se ao quantil decil

-

Se p=0,25, 0,5, 0,75, chama-se ao quantil QUARTIL (Q1, Q2 e Q3). A mediana é uma caso particular dos quartis (coincide com Q2) Variável discreta O quantil de ordem p é o primeiro valor de x para o qual i>p.


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Variável contínua Calcula-se por uma regra de três simples, como a mediana.

25% maiores

De uma forma geral: Q1 = L inf +

0.25 − FL inf xamp. classe Q1 FL sup − FL inf

Q3 = L inf +

0.75 − FL inf xamp. classe Q3 FL sup − FL inf

A representação gráfica destas medidas designa-se de diagrama de extremos e quartis e serve para realçar algumas características da amostra. Os valores da amostra compreendidos entre os 1º e 3º quartis são representados por um rectângulo (caixa) com a mediana indicada por uma barra. Seguidamente, consideram-se duas linhas que unem os meios dos lados do rectângulo com os extremos da amostra. A partir deste diagrama, pode reconhecer-se a simetria ou enviesamento dos dados e a sua maior ou menor concentração:

2.6. Medidas de assimetria A assimetria é tanto maior quanto mais afastados estiverem os valores da média, mediana e moda. Concretamente, se: −

X = Me = Mo, a distribuição diz-se simétrica

−

X > Me > Mo, a distribuição diz-se assimétrica positiva (ou enviesada à

esquerda) −

X < Me < Mo, a distribuição diz-se assimétrica negativa (ou enviesada à

direita) Coeficiente de assimetria de Bowley (g’):

(Q3 − Q 2) − (Q 2 − Q1) Q3 − Q1

Se g’ = 0 ..............a distribuição é simétrica positiva ou equilibrada Os quartis estão à mesma distância da mediana. Se g’ > 0 ..............a distribuição é assimétrica positiva ou “puxada” para


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a esquerda (se fôr = 1, assimetria é máxima) A mediana desliza para o lado do Q1, logo Q3-Q2 > Q2-Q1 Se g’ < 0 ..............a distribuição é assimétrica negativa ou “puxada” para a direita (se fôr = -1, assimetria é máxima) A mediana desliza para o lado do Q3, logo Q2-Q1 > Q3-Q2 Q1 Q2

Q3

Q1

Assimétrica positiva Q2 Q3

Assimétrica negativa

2.7. Medidas de dispersão Duas distribuições podem distinguir-se na medida em que os valores da variável se dispersam relativamente ao ponto de localização (média, mediana, moda). Apresentam-se de seguida algumas das mais utilizadas, classificadas consoante a medida de localização usada para referenciar a dispersão das observações: 2.7.1 Medidas de dispersão absoluta (i)

Em relação à mediana Amplitude inter-quartis = Q = Q3 – Q1 Significa que 50% das observações se situam num intervalo de amplitude Q. Quanto maior (menor) a amplitude do intervalo, maior (menor) a dispersão em torno da mediana.

(ii)

Em relação à média Variância amostral: mede os desvios quadráticos de cada valor observado em relação à média, havendo pouca dispersão se os desvios forem globalmente pequenos, e havendo muita dispersão se os desvios forem globalmente grandes.


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Dados não-classificados 2 1 n s2 = xi − x n i =1

(

)

Dados classificados Variáveis discretas

1 s = n 2

n

(

)

2

n

ni xi − x =

i =1

(

fi xi − x

i =1

)

2

Dados classificados Variáveis contínuas

1 s = n 2

n

(

ni ci − x

i =1

)

2

=

n i =1

(

fi ci − x

)

2

onde ci é o ponto médio de cada classe i. Desvio-padrão: Medida de dispersão com significado real, mas que só é possível calcular indirectamente, através da raiz quadrada da variância. Está expressa nas mesmas unidades da variável.

2.7.2 Medidas de dispersão relativa Muitas vezes, avaliar a dispersão através de um indicador de dispersão absoluta não é conveniente, assim como comparara a dispersão de duas distribuições, uma vez que estas medidas vêm expressas na mesma unidade da variável – como é o caso, por exemplo, da variância. Assim, é de esperar que os valores da variância sejam mais elevados quando os valores da variável são maiores, o que não significa que a distribuição seja muito dispersa. Para comparar diferentes distribuições de frequência são precisas medidas de dispersão relativa:

Dispersão relativa =


Dispersão absoluta Medida de localizaçã o em relação à qual está definida

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Coeficiente de variação CV =

s x100% x

Outras medidas Q3 − Q1 Q2

Estas medidas não estão expressas em nenhuma unidade, e permitem comparar dispersões entre duas amostras, pois não são sensíveis à escala (eventualmente diferente) em que as variáveis estejam expressas.

2.8. Análise da concentração A noção de concentração apareceu associada ao estudo de desigualdades económicas, como a repartição do rendimento ou a distribuição de salários. O fenómeno de concentração está relacionado com a variabilidade ou dispersão dos valores observados, apesar de não poder ser analisado através das medidas de dispersão atrás descritas, que apenas medem a dispersão dos valores em relação a um ponto. O objectivo é determinar como o atributo (rendimento, salários, número de empresas) se distribui (se de forma mais ou menos uniforme) pelos diferentes indivíduos da amostra (que devem ser susceptíveis de serem adicionados, isto é, a análise de concentração não se aplica a idade, altura, peso, etc). Se o atributo estiver igualmente repartido pelos indivíduos, temos uma situação extrema de igual distribuição; e vice-versa de o atributo estiver concentrado num só indivíduo, temos uma situação extrema de máxima concentração. Em geral, interessa medir o grau de concentração em situações intermédias. Para analisar a concentração, existem dois instrumentos: a Curva de Lorenz e o Índice de Gini.

2.8.1 Curva de Lorenz Estatística Aplicada

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O objectivo é comparar a evolução das frequências acumuladas (Fi = pi) com a evolução da soma dos valores da variável (qi)

Quadro de dados Classes de valores da variável [x1; x2[ [x2; x3[ [x3; x4[

Quantidade Freq.relativa Proporção atributo acumuladas atrib.acumul, yi p1 q1

n1 nj

yj

pj

qj

[xn-1; xn[ Total

nn n

yn

pn=1

qn=1

ni

Os pontos (pi;qi) pertencem ao quadrado (0,1) por (0,1). A curva que os une é a curva de Lorenz. Se houver igual distribuição, a frequência das observações deve ter uma evolução igual à proporção do atributo correspondente, isto é, pi=qi. Nesse caso, a curva de Lorenz coincide com a diagonal do quadrado, que é designada de recta de igual repartição. Quanto mais a curva se afastar da recta, maior é a concentração. A zona entre a diagonal e acurva de Lorenz designa-se, por isso, de zona de concentração.

2.8.2 Índice de Gini O índice de Gini é calculado pela seguinte expressão n −1

G=

i =1

( pi − qi ) n −1

pi

i =1

Quando G = 0, a concentração é nula, havendo igual repartição. Caso o valor de G seja 1, a concentração será máxima. O valor de G varia entre 0 e 1, e quanto maior o seu valor, maior a concentração.


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2.9. Estatística Descritiva Bidimensional Numa situação em que se observam pares de valores (xi; yj), pode ter interesse estudar as relações porventura existentes entre os dois fenómenos, nomeadamente relações estatísticas. Não se trata de estudar relações funcionais (isto é, a medida em que o valor de uma variável é determinado exactamente pela outra), mas sim de estudar a forma como a variação de uma variável poderá afectar a variação da outra, em média. (por exemplo, o peso e a altura normalmente estão relacionados, mas a relação não é determinística). Duas variáveis ligadas por uma relação estatística dizem-se correlacionadas. Se as variações ocorrem, em média ou tendencialmente, no mesmo sentido, a correlação diz-se positiva. Se ocorrem em sentidos opostos, a correlação dizse negativa. Trata-se então de estudar se: -

Se existe alguma correlação entre os fenómenos ou variáveis observadas

-

A existir, se é traduzível por alguma lei matemática, nem que tendencialmente

-

A existir, se é possível medi-la

Por vezes, a representação gráfica do conjunto de dados bivariados sugere o ajustamento de uma recta a este conjunto de pontos, indicando a existência de uma tendencial correlação linear entre as duas variáveis, como é o caso do exemplo atrás descrito. A essa recta chama-se recta de regressão de y sobre x, que permite descrever como se reflectem em y (variável dependente ou explicada) as modificações processadas em x (variável independente ou explicativa). Essa recta torna possível, por exemplo, inferir (em média) a altura de um indivíduo, conhecendo o respectivo peso. Um dos métodos mais conhecidos de ajustar uma recta a um conjunto de dados é o Método dos Mínimos Quadrados, que consiste em determinar a recta que minimiza a soma dos quadrados dos desvios entre os verdadeiros valores de y e os obtidos a partir da recta que se pretende ajustar. Obtém-se assim a


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recta de regressão ou recta dos mínimos quadrados. Assim, se a recta de regressão obedecer à seguinte fórmula geral:

y = a + bx o método permite minimizar a soma dos desvios quadráticos yi - (a + bxi). Assim sendo, obtém-se: b=

xi y i − n x y 2

xi − n x

e

2

a = y − bx

Matematicamente, b designa o declive da recta. Em termos estatísticos, b corresponde ao coeficiente de regressão de y sobre x, que indica a variação média de y que acompanha uma variação unitária de x. O valor de a designa a ordenada na origem, isto é, o valor que y assume quando x=0.

Quando, quer através do diagrama de dispersão, quer através da recta de regressão, se verifica a existência de uma associação linear entre as variáveis, pode-se medir a maior ou menor força com que as variáveis se associam através do coeficiente de correlação linear r: r=

s xy s xx s yy

, s xy =

n i =1

( xi − x)( y i − y )

Este indicador da correlação tem a vantagem de não depender das unidades ou da ordem de grandeza em que as variáveis estão expressas. O coeficiente de correlação linear está sempre compreendido entre –1 e 1. Se r > 0, então pode dizer-se que existe uma correlação positiva entre as variáveis, isto é, as variáveis variam no mesmo sentido: um aumento (diminuição de x) provoca um aumento (diminuição) de y, mas menos que proporcional.


20


Se r < 0, então pode dizer-se que existe uma correlação negativa entre as variáveis, isto é, as variáveis variam em sentidos opostos: um aumento (diminuição de x) provoca uma diminuição (aumento) de y, mas menos que proporcional. Se r = 0, então pode dizer-se que as variáveis não estão correlacionadas linearmente. Antes de se efectuar um estudo de correlação, deve-se procurar justificação teórica para a existência ou inexistência de correlação. Caso contrário, poderá acontecer que variáveis sem relação de causalidade entre si, variem num certo sentido por razões exteriores. A esta correlação ilusória, chama-se correlação espúria. Nos extremos, se r = 1 ou se r = -1, então pode dizer-se que existe uma correlação positiva ou negativa perfeita, respectivamente, entre as variáveis, isto é, uma variação numa variável provoca na outra uma variação exactamente proporcional no mesmo sentido ou em sentido contrário. Isto é, a correlação é máxima.

Correlação ordinal Por vezes, as variáveis vêm expressas numa escala ordinal, isto é, interessa mais conhecer a ordenação dos valores do que os valores observados propriamente ditos. Neste caso, em vez do coeficiente de correlação linear, calcula-se o coeficiente de correlação ordinal: n

rs = 1 − 6

i =1

di

2

n(n − 1) 2

x

, d i = Ri − Ri

y

Ordens (“ranks”) das observações de X e de Y, respectivamente


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ESTATÍSTICA DESCRITIVA Exercícios resolvidos Exercício 1 Considere a distribuição de 1000 empresas de um sector de actividade segundo os resultados líquidos (em milhares de u.m.): Resultado Líquido [0; 1[ [1; 3[ [3; 5[ [5; 15[ [15; 25[ [25; 50[ Total

Frequência. Relativa (%) 10 25 35 15 10 5 100

a) Represente a distribuição graficamente. b) Determine a média e a moda da distribuição. Qual o significado dos valores encontrados? c) Calcule as frequências acumuladas e represente-as graficamente. Determine a mediana da distribuição. d) Determine os quartis da distribuição. Faça a sua representação gráfica. e) Analise a (as)simetria da distribuição em causa. f)

Analise a concentração através do Índice de Gini e da Curva de Lorenz.

Resolução

a)

fi/hi 0,2 0,18 0,16 0,14 0,12 0,1 0,08 0,06 0,04 0,02 0 0


10

20

30

40

50

60

22


b) x = 1

n

[0; 1[ [1; 3[ [3; 5[ [5; 15[ [15; 25[ [25; 50]

X

fi 10% 25% 35% 15% 10% 5%

Total

1

n i =1

ni c i

=

n i =1

f i ci

hi 1 2 2 10 10 25

fi/hi 0.1 0.125 0.175 0.015 0.01 0.002

Fi 10% 35% 70% 85% 95% 100%

ci 0.5 2 4 10 20 37.5

= (0,5 x10%) + (2 x 25%) + ... + (37.5 x5%) = 7,325

Em média, o resultado líquido de uma empresa é de 7325 unidades monetárias. A classe modal é aquela a que corresponde maior frequência por unidade de amplitude. Neste caso, o maior valor de fi / hi é 0,175. correspondente à classe [3; 5[, isto é, os valores de resultado líquido mais prováveis para uma empresa

situam-se entre 3000 u.m. e 5000 u.m. c) A representação gráfica das frequências acumuladas (ver tabela) designa-se de polígono integral: Fi 1 0,8 0,6 0,4 0,2 0 0

20

40

60

80

100

120

Classe mediana (classe a que corresponde uma frequência acumulada 0,5): [3; 5[ 3 : Fi=0,35 5 : Fi = 0,7


23


Cálculo da mediana: 0,7 - 0,35 ------------ 5 - 3 0,5 – 0,35 -------------- Me – 3 Me = 3 + ((2x0,15)/0,35) = 3,857 50% das empresas apresentam resultados líquidos inferiores a 3857 u.m. d) Classe a que pertence Q1 (classe a que corresponde uma frequência acumulada 0,25): [1; 3[ 1 : Fi=0,1 3 : Fi = 0,35 Cálculo do Q1: 0,35 - 0,1 ------------ 3 - 1 0,25 – 0,1 -------------- Q1 – 1 Q1 = 1 + ((2x0,15)/0,25) = 2,2 25% das empresas apresentam resultados líquidos inferiores a 2200 u.m.

Classe a que pertence Q3 (classe a que corresponde uma frequência acumulada 0,75): [5; 15[ 5 : Fi=0,7 15 : Fi = 0,85 Cálculo do Q3: 0,85 - 0,7 ------------ 15 - 5 0,75 – 0,7 -------------- Q3 – 5 Q3 = 5 + ((10x0,05)/0,15) = 8,333(3) 75% das empresas apresentam resultados líquidos inferiores a 8333 u.m.

e) g' =

(Q3 − Q 2) − (Q 2 − Q1) (8,333 − 3,857) − (3,857 − 2,2) = = 0,4596 > 0 Q3 − Q1 8,333 − 2,2

A distribuição é assimétrica positiva ou enviesada à esquerda.


24

Manual de Exercícios f)

X [0; 1[ [1; 3[ [3; 5[ [5; 15[ [15; 25[ [25; 50[ Total

fi 10% 25% 35% 15% 10% 5% 1

ni 1000x10%=100 250 350 150 100 50 n=1000

ci 0.5 2 4 10 20 37.5

Atributo 100x0.5=50 250x2=500 1400 1500 2000 1875 7325

pi (=Fi) 0.1 0.35 0.7 0.85 0.95 1

qi 0.007 0.075 0.266 0.471 0.744 1

50 + 500 + 1400 7325

Res.Liq.Totais

G=

(0,1 − 0,007) + ... + (0,95 − 0,744) = 0,47 0,1 + 0,35 + 0,7 + 0,85 + 0,95

A distribuição dos resultados líquidos apresenta concentração média (G=0,5

Curva de Lorenz 1

corresponde ao centro da escala possível, entre 0 e 1). Por exemplo, 70% das empresas apresentavam resultados até 5000 u.m., mas isso representava apenas 26,6% do total de

resultados

das

empresas

0,8

0,6

0,4

da

amostra, o que sugere um tecido empresarial com muitas PMEs, mas em que cada uma tem baixo resultado

0,2

0 0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

líquido.

Exercício 2 Considere a seguinte amostra de dimensão 200, referente aos lucros obtidos por empresas de um dado sector industrial, expressas numa determinada unidade monetária. Analise a concentração através do Índice de Gini e da Curva de Lorenz.


25


Resolução

Lucros [0; 50[ [50; 100[ [100; 200[ [200; 300[ [300; 500] Total

ni 20 60 80 30 10 200

Lucro total 600 4400 14000 7500 3500 30000

pi (=Fi) 0.1 0.4 0.8 0.95 1

qi 0.02 0.16(6) 0.63(3) 0.883(3) 1

Curva de Lorenz 1 0,8 0,6 0,4 0,2 0 0

0,2

n −1

G=

0,4

0,6

( pi − qi ) =

i =1 n −1

pi

0,8

1

0,546(6) = 0,243 2,25

i =1

Tanto pela análise da Curva de Lorenz, como pelo valor do Índice de Gini, conclui-se que esta amostra apresenta concentração moderada, encontrandose os valores razoavelmente repartidos.

Exercício 3 Considere o exemplo abaixo referente ao peso e altura de 10 indivíduos. a) Represente o diagrama de dispersão. b) Analise a correlação existente entre peso e altura. c) Ajuste, pelo Método dos Mínimos Quadrados, uma função linear que

exprima as peso em função da altura. Estatística Aplicada

26


Indivíduo A B C D E F G H I J Resolução

Peso (kg) 72 65 80 57 60 77 83 79 67 68

Altura (cm) 175 170 185 154 165 175 182 178 175 173

Diagrama de Dispersão

a)

190

Altura (cm)

180

170

160

150 50

60

70

80

90

Peso (kg)

b) No exemplo, r = 0,90681871, isto é, existe uma correlação positiva forte

entre as duas variáveis, quase perfeita. Recta de Regressão

c) 190

y = 0,9016x + 109,36

Altura (cm)

180

170

160

150 50

60

70

80

90

Peso (kg)


27


A equação desta recta traduz-se em Altura = 109,36 + 0,9016 x Peso Isto é, se um indivíduo pesar 70 kg, a altura esperada será de 109,36 + 0,9016 x 70 = 172,472. Por cada kg de peso adicional, espera-se que a altura do indivíduo aumente 0,9016 cm. Exercício 4 O quadro abaixo apresenta as vendas e as despesas em publicidade (ambas em milhares de u.m.) de uma empresa no período de 7 anos: Ano 1 2 3 4 5 6 7

Vendas 10 13 18 19 25 30 35

Desp. Publicidade 3 3 5 6 8 9 13

a) Compare as vendas e as despesas em publicidade quanto à dispersão. b) Analise a correlação existente entre volume e custo de produção. c) Ajuste, pelo Método dos Mínimos Quadrados, uma função linear que

exprima as vendas em função das despesas em publicidade.

Resolução

a) Para comparar a dispersão das duas distribuições, é necessário calcular os

coeficientes de variação (medidas de dispersão relativa): Dados não-classificados

1 n

x = sx

2

1 = n

CV x =

n i =1

n i =1

xi = 21,429

(xi − x )

2

= 69,9408

sx 69,9408 = = 0,39 x 21,429

sy

<

2

1 = n

CV y =

n

1 n

y =

i =1

i =1

y

(yi − y )

2

n

sy

yi = 6,714

=

= 11,0651

11,0651 = 0,495 6,714

A dispersão das despesas em publicidade é superior à dispersão das vendas.


28

Manual de Exercícios b)

r=

1 [(10 − 21,429)(3 − 6,714) + ... + (35 − 21,429)(13 − 6,714)] 7 = = 0,98 69,9408 x 11,0651

s xy s xx s yy

Existe uma correlação positiva linear forte entre as duas variáveis. Em média, quando as despesas em publicidade aumentam (diminuem), as vendas aumentam (diminuem) de forma quase exactamente proporcional. Recta de Regressão

c)

y = 2,4649x + 4,8782

Vendas

30

20

10

0 3

8

13

Desp. Public.

Exercício 5 Considere que 10 estudantes foram sujeitos a uma prova de avaliação no início e no final do curso. No quadro abaixo, encontram-se as ordenações desses 10 estudantes segundo as classificações obtidas em cada uma das provas: Aluno A B C D E F G H I J Estatística Aplicada

Prova inicial Rix 1 3 2 5 7 8 9 10 6 4

Prova final Riy 1 2 3 4 6 8 7 9 10 5

di Rix - Riy 0 1 -1 1 1 0 2 1 -4 -1 29


Resolução

Como não dispomos das classificações dos alunos, mas sim das ordenações das classificações (do 1º ao 10º classificado), para avaliar a correlação existente entre as 2 provas calcula-se o coeficiente de correlação ordinal: n

rs = 1 − 6

i =1

di

2

n(n − 1) 2

= 1−

6 x(0 + 1 + 1 + 1 + 1 + 0 + 4 + 1 + 16 + 1) = 0,8424 10 x(100 − 1)

A correlação é positiva e elevada (rs varia entre –1 e 1), isto é, os alunos que tiveram boa nota na prova inicial tiveram, em média, igualmente boa nota na prova final.

Exercício 6

O quadro que se segue descreve a distribuição do rendimento anual (em milhares de u.m.) de 2500 famílias da população de um país: Rendimento anual [0, 1[ [1, 2[ [2, 5[ [5, 15[ [15, 25[ [25, 50[

Nº de famílias 250 375 625 750 375 125

a) Represente as frequências acumuladas graficamente. b) Determine o rendimento médio e mediano. c) Determine os três primeiros quartis. Que indicações lhe dão sobre a (as)simetria? d) O que pode concluir quanto à dispersão? e) Calcule o índice de Gini. O que conclui sobre a concentração do rendimento? Resolução

a)

Rendimento anual [0, 1[ [1, 2[ [2, 5[ [5, 15[ [15, 25[ [25, 50[


Nº de famílias 250 375 625 750 375 125

% de famílias 10 15 25 30 15 5

Fi (%) 10 25 50 80 95 1

ci 0.5 1.5 3.5 10 20 37.5 30


1 0,8 0,6 0,4 0,2 0 0

b) x = 1

n

10 n i =1

ni c i

20 n

=

i =1

30

f i ci

40

50

60

70

80

90

100

= (0,5 x10%) + (1.5 x15%) + ... + (37.5 x5%) = 9,025

Em média, o rendimento anual de uma família é de 9025 unidades monetárias. Classe mediana (classe a que corresponde uma frequência acumulada 0,5): [2; 5[ 5 : Fi = 0,5. Logo, a mediana é 5 (50% das famílias têm rendimentos anuais até 5000 unidades monetárias).

c) Classe a que pertence Q1 (classe a que corresponde uma frequência acumulada 0,25): [1; 2[ 3 : Fi = 0,25 25% das famílias apresentam rendimentos anuais inferiores a 2000 u.m.

Classe a que pertence Q3 (classe a que corresponde uma frequência acumulada 0,75): [5; 15[ 5 : Fi=0,5 15 : Fi = 0,8 Cálculo do Q3: 0,8 - 0,5 ------------ 15 - 5 0,75 – 0,5 -------------- Q3 – 5 Q3 = 5 + ((10x0,25)/0,3) = 13,333(3) 75% das famílias apresentam rendimentos anuais inferiores a 13333 u.m.


31


g' =

(Q3 − Q 2) − (Q 2 − Q1) (13,333 − 5) − (5 − 2) = = 0,47 > 0 Q3 − Q1 13,333 − 2


2

d) s x =

(

n

fi * ci − x

i =1

)

2

=

n

2

fici 2 − x = 82,286875

i =1

2

s x = s x = 82,286875 = 9,071

e)

Rendimento anual [0, 1[ [1, 2[ [2, 5[ [5, 15[ [15, 25[ [25, 50[ Total n −1

G=

( pi − qi ) =

i =1 n −1

pi

ni 250 375 625 750 375 125 2500

ci 0.5 1.5 3.5 10 20 37.5

1,18436 = 0,4555 2,6

Rend. total 125 562,5 2187,5 7500 7500 4687.5 22562,5

pi (=Fi) 0,1 0,25 0,5 0,8 0,95 1

qi 0.00554 0.0305 0.1274 0.46 0.7922 1

Concentração moderada do rendimento

i =1

Exercício 7

Considere a seguinte tabela que representa a distribuição dos empregados de uma instituição bancária segundo a remuneração bruta mensal (em milhares de unidades monetárias): Remuneração [60; 80[ [80; 100[ [100; 120[ [120; 140[ [140; 160[ [160; 200[ [200; 250[ [250, 300[ [300; 350] Total


Frequência. Relativa (%) 7.8 15.2 31.2 19.5 7.2 8.1 5.4 2.6 3.0 100

32


a) Calcule os quartis da distribuição. b) Analise a dispersão da distribuição em causa. c) Analise a assimetria da distribuição em causa.

Resolução

a)

Remuneração

Frequência. Relativa (%)

[60; 80[ [80; 100[ [100; 120[ [120; 140[ [140; 160[ [160; 200[ [200; 250[ [250, 300[ [300; 350] Total

7.8 15.2 31.2 19.5 7.2 8.1 5.4 2.6 3.0 100

Fi (%) 7.8 23 54.2 73.7 80.9 89 94.4 97 100

Classe a que pertence Q1 (classe a que corresponde uma frequência acumulada 0,25): [100; 120[ 1 : Fi=0,23 3 : Fi = 0,542 Cálculo do Q1: 0,542 - 0,23 ------------ 120 - 100 0,25 - 0,23 -------------- Q1 - 100 Q1 = 100 + ((20x0,02)/0,312) = 101,28 25% dos empregados auferem remunerações inferiores a 101,28 milhares u.m. Classe a que pertence Q2 (classe a que corresponde uma frequência acumulada 0,5): [100; 120[ 100 : Fi=0,23 120 : Fi = 0,542 Cálculo do Q2: 0,542 - 0,23 ------------ 120 - 100 0,5 - 0,23 -------------- Q2 - 100 Q2 = 100 + ((20x0,27)/0,312) = 117,3 50% dos empregados auferem remunerações inferiores a 117,3 milhares u.m.


33


Classe a que pertence Q3 (classe a que corresponde uma frequência acumulada 0,75): [140; 160[ 120 : Fi=0,737 140 : Fi = 0,809 Cálculo do Q3: 0,809 - 0,737 ------------ 160 - 140 0,75 – 0,737 -------------- Q3 - 140 Q3 = 140 + ((20x0,013)/0,072) = 143,61(1) 75% dos empregados auferem remunerações inferiores a 143,61(1) milhares u.m. b) Amplitude do intervalo inter-quartis = Q3 - Q1 = 143,61(1) - 101,28 = 42,33 (dispersão reduzida em torno da mediana)

c) g ' =

(Q3 − Q 2) − (Q 2 − Q1) (143,61 − 117,3) − (117,3 − 101,28) = = 0,243 > 0 Q3 − Q1 143,61 − 101,28


Exercício 8

Os dados seguintes referem-se ao peso, expresso em gramas, do conteúdo de uma série de 100 garrafas que, no decurso de um teste, saíram de uma linha de enchimento automático: Peso (em gramas) [297; 298[ [298; 299[ [299; 300[ [300; 301[ [301; 302[ [302; 303[ [303; 304[ [304; 305[ [305; 306] Total

Frequência. Relativa (%) 8 21 28 15 11 10 5 1 1 100

a) Represente graficamente os dados acima. b) Calcule as frequências acumuladas e represente-as graficamente.


34


c) Determine o peso médio, mediano e modal. Qual o seu significado? d) Determine os quartis da distribuição. e) Analise a dispersão do peso das garrafas. Resolução

a)

Histograma

0,3 0,25 0,2 0,15 0,1 0,05

0 296 297 298 299 300 301 302 303 304 305 306 307

b) Peso (em gramas) [297; 298[ [298; 299[ [299; 300[ [300; 301[ [301; 302[ [302; 303[ [303; 304[ [304; 305[ [305; 306] Total

Frequência Relativa (%) 8 21 28 15 11 10 5 1 1 100

Fi (%) 8 29 57 72 83 93 98 99 100

F* 1 0,8 0,6 0,4 0,2 0 295 296 297 298 299 300 301 302 303 304 305 306 307 308 309 310

c) x =

1 n

n i =1

ni c i

=

n i =1

f i ci

= (297,5 x8%) + (298,5 x 21%) + ... + (305,5 x1%) = 300,11

O peso médio das garrafas é de 300,11 kg.


35


Classe mediana (classe a que corresponde uma frequência acumulada 0,5): [299; 300[ 299 : Fi = 0,29 300 : Fi = 0,57 Cálculo do Q2: 0,57 - 0,29 ------------ 300 - 299 0,5 - 0,29 -------------- Q2 - 299 Q2 = 299 + ((1x0,21)/0,28) = 299,75 50% das garrafas têm peso inferior a 299,75 kg. A classe modal é aquela a que corresponde maior frequência relativa. Neste caso, o maior valor de fi é 0,28 correspondente à classe [299; 300[, isto é, os pesos mais prováveis das garrafas situam-se entre 299 kg e 300 kg. d) Classe a que pertence Q1 (classe a que corresponde uma frequência acumulada 0,25): [298; 299[ 298 : Fi=0,08 299 : Fi = 0,29 Cálculo do Q1: 0,29 - 0,08 ------------ 298 - 299 0,25 - 0,08 ------------ Q1 - 299 Q1 = 299 + ((1x0,17)/0,21) = 299,0357 25% das garrafas têm peso inferior a 299,0357 kg. Classe a que pertence Q3 (classe a que corresponde uma frequência acumulada 0,75): [301; 302[ 301 : Fi=0,72 302 : Fi = 0,83 Cálculo do Q3: 0,83 - 0,72 ------------ 302 - 301 0,75 – 0,72 -------------- Q3 - 301 Q3 = 301 + ((1x0,03)/0,11) = 301,27(27) 75% das garrafas têm peso inferior a 301,27(27) kg.


36


e) Amplitude do intervalo inter-quartis = Q3 - Q1 = 301,27(27) - 299,0357 = 2,237 (dispersão reduzida em torno da mediana) Exercício 8

Numa faculdade, mediram-se as alturas de 100 alunos do primeiro ano: Altura (em metros) [1,4; 1,5[ [1,5; 1,55[ [1,55; 1,6[ [1,6; 1,65[ [1,65; 1,7[ [1,7; 1,75[ [1,75; 1,8[ [1,8; 1,9] Total

Nº Alunos 2 10 25 13 17 20 10 3 100

a) Represente graficamente os dados acima. b) Determine a altura média e a altura modal. Qual o seu significado? c) Calcule as frequências acumuladas e represente-as graficamente. d) Determine os quartis da distribuição e diga qual o seu significado. e) Analise a dispersão da distribuição. f) Analise a (as)simetria da distribuição. Resolução

a)

Altura (em metros)

[1,4; 1,5[ [1,5; 1,55[ [1,55; 1,6[ [1,6; 1,65[ [1,65; 1,7[ [1,7; 1,75[ [1,75; 1,8[ [1,8; 1,9] Total

6

ni 2 10 25 13 17 20 10 3 100

fi/hi

fi 0,02 0,1 0,25 0,13 0,17 0,2 0,1 0,03 1

ci 1,45 1,525 1,575 1,625 1,675 1,725 1,775 1,85

hi 0,1 0,05 0,05 0,05 0,05 0,05 0,05 0,1

fi/hi 0,2 2 5 2,6 3,4 4 2 0,3

Fi 0,02 0,12 0,37 0,5 0,67 0,87 0,97 1

Histograma

5 4 3 2 1 0 1,4


1,5

1,6

1,7

1,8

1,9

37


b) x =

n

1 n

i =1

ni c i

=

n i =1

= (1,45x 2%) + (1,525x10%) + ... + (1,85x3%) = 1,65

f i ci

A altura média dos alunos é de 1,65 m. A classe modal é aquela a que corresponde maior frequência por unidade de amplitude. Neste caso, o maior valor de fi / hi é 5. correspondente à classe [1,55; 1,6[, isto é, a altura mais provável de um aluno rondará 1,55m / 1,6m.

c)

F* 1 0,8 0,6 0,4 0,2 0 1,3

1,4

1,5

1,6

1,7

1,8

1,9

2

d) Classe a que pertence Q1 (classe a que corresponde uma frequência acumulada 0,25): [1,55; 1,6[ 1,55 : Fi=0,12 1,6 : Fi = 0,37 Cálculo do Q1: 0,37 – 0,12 ------------ 1,6 – 1,55 0,25 – 0,12 ------------ Q1 – 1,55 Q1 = 1,55 + ((0,05x0,13)/0,25) = 1,576 25% dos alunos têm altura inferior a 1,576 m. Classe a que pertence Q2 (classe a que corresponde uma frequência acumulada 0,5): [1,6; 1,65[ 1,65 : Fi = 0,5 50% dos alunos têm altura inferior a 1,65 m. Classe a que pertence Q3 (classe a que corresponde uma frequência acumulada 0,75): [1,7; 1,75[ 1,7 : Fi=0,67 1,75 : Fi = 0,87


38


Cálculo do Q3: 0,87- 0,67------------ 1,75 – 1,7 0,75 – 0,67-------------- Q3 – 1,7 Q3 = 1,7 + ((0,05*0,08)/0,2) = 1,72 75% dos alunos têm altura inferior a 1,72 m. e) Amplitude do intervalo inter-quartis = Q3 - Q1 = 1,72 – 1,576 = 0,144 (dispersão reduzida em torno da mediana) 2

sx =

n

(

fi * ci − x

i =1

)

2

=

n

2

fici 2 − x = 0,00536875

i =1

2

s x = s x = 0,00536875 = 0,07327

(dispersão reduzida em torno da média)

f) g ' =

(Q3 − Q 2) − (Q 2 − Q1) (1,72 − 1,65) − (1,65 − 1,576) = −0,027(7) < 0 = Q3 − Q1 1,72 − 1,576

A distribuição é ligeiramente assimétrica negativa ou enviesada à direita (quase simétrica).

Exercício 9

Em determinada central telefónica, registou-se a duração das chamadas realizadas em Dezembro de 2001: Duração (em minutos) [0; 5[ [5; 10[ [10; 20[ [20; 30[ [30; 50] Total

Nº Chamadas 2000 1500 1000 300 200 5000

a) Represente graficamente as frequências simples e acumuladas. b) Determine a duração média das chamadas e respectivo desvio-padrão. c) Qual a duração da chamada mediana? Qual o significado do valor encontrado?


39


d) Sabe-se que as chamadas realizadas durante o ano de 2001 apresentaram uma duração média de 10 minutos, com desvio-padrão de 8,7 minutos. Compare, quanto à dispersão, as chamadas efectuadas em Dezembro com as que tiveram lugar durante todo o ano de 2001. Resolução

a)

Duração (em minutos) [0; 5[ [5; 10[ [10; 20[ [20; 30[ [30; 50] Total

fi 0,4 0,3 0,2 0,06 0,04 1

ni 2000 1500 1000 300 200 5000

fi/hi 0,1

hi 5 5 10 10 20

fi/hi 0,08 0,06 0,02 0,006 0,002

40

50

Fi 0,4 0,7 0,9 0,96 1

ci 2,5 7,5 15 25 40

Histograma

0,08 0,06 0,04 0,02 0 0

10

20

30

60

F* 1 0,8 0,6 0,4 0,2 0 0 n

b) x = 1

n

i =1

10

=

ni c i

n i =1

20

30

40

50

60

70

80

90

100

f i ci

= (2,5 x 40%) + (7,5 x30%) + ... + (40 x 4%) = 9,35

A duração média de uma chamada é de 9,35 minutos. 2

sx =

n

(

fi * ci − x

i =1

)

2

=

n

2

fici 2 − x = 81,4525

i =1

2

s x = s x = 0,00536875 = 9,025

c) Classe mediana (classe a que corresponde frequência acumulada 0,5): [5; 10[ Estatística Aplicada

40


5 : Fi = 0,4 10 : Fi = 0,7 Cálculo da Me: 0,7 - 0,4 ------------ 10 - 5 0,5 - 0,4 ------------ Me - 5 Me = 5 + ((5x0,1)/0,3) = 6,67 50% das chamadas têm duração a 6,67 minutos. d) CV Dez =

s x 9,025 = = 0,965 > x 9,35

CV2001 =

sy y

=

8,7 = 0,87 10

Exercício 10

Uma empresa coligiu dados relativos à produção de 12 lotes de um tipo especial de rolamento. O volume de produção e o custo de produção de cada lote apresentam-se na tabela: Lote 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Volume (unidades) 1500 800 2600 1000 600 2800 1200 900 400 1300 1200 2000

Custo (contos) 3100 1900 4200 2300 1200 4900 2800 2100 1400 2400 2400 3800

a) Analise a correlação existente entre volume e custo de produção. b) Ajuste, pelo Método dos Mínimos Quadrados, uma função linear que exprima o custo em função do volume de produção. Resolução

a) r =

s xy s xx s yy

1 [(1500 − 1358,3)(3100 − 2708,3) + ... + (2000 − 1358,3)(3800 − 2708,3)] = 12 = 0,98 520854x 1145944

Correlação positiva quase perfeita.


41


b)

6000 5000

y = 1,4553x + 731,6

Custo

4000 3000 2000 1000 0 0

500

1000

1500

2000

2500

3000

Volume

Exercício 11

Um conjunto de empresas do sector da Construção e Obras Públicas cotadas na Bolsa de Valores foram analisadas relativamente aos seguintes indicadores: EPS (Earnings per Share): Resultado Líquido por Acção PBV (Price/Book Value): Preço / Situação Líquida por Acção

Empresa 1 2 3 4 5 6 7 8 9

EPS ($) 191 32 104 117 210 95 65 201 81

PBV ($) 0.9 1.0 0.8 0.8 1.5 0.7 0.9 1.3 0.4

a) Analise a correlação existente entre aqueles dois indicadores. b) Ajuste, pelo Método dos Mínimos Quadrados, uma função linear que

exprima a variável EPS em função de PBV.

Resolução

a) r =

s xy s xx s yy

1 [(191 − 121,7)(0,9 − 0,92) + ... + (81 − 121,7)(0,4 − 0,92)] =9 = 0,61 3669,332 x 0,096933

Correlação positiva moderada.


42


b)

250

EPS

200

y = 124,04x + 7,383

150 100 50 0 0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

1,4

1,6

PBV

Exercício 12

Recolheu-se uma amostra em 17 cidades do país relativamente aos seguintes indicadores: Ri: Rendimento médio mensal na cidade i (em 106 unidades monetárias) Gi: Gasto médio mensal em bens de luxo na cidade i (em 106 u.m.) Ri

Gi

Ri

Gi

125 127 130 131 133 135 140 143 169

54 56 57 57 58 58 59 59 66

144 147 150 152 154 160 162 165

61 62 62 63 63 64 65 66

Dados adicionais

Ri = 2467 2

Gi = 62620

Gi = 1030

2

Ri = 361073

Ri Gi = 150270

a) Estude a correlação entre rendimento e despesas em bens de luxo. b) Ajuste, pelo Método dos Mínimos Quadrados, uma função linear que exprima a variável Gi em função de Ri.


43

Manual de Exercícios Resolução

a)

rXY =

Ri G i − n R G (

2

2

Ri − n R )(

2

G − nG ) 2 i

=

150270 − 17 *

2467 1030 * 17 17

2

2467 1030 2 (361073 − 17 * )( 62620 − 17 * ) 17 2 17 2

= 0,986

Correlação positiva forte. b) 68

y = 0,2604x + 22,801

66 64 Gasto

62 60 58 56 54 52 50 100

120

140

160

180

200

Rendimento


44

104

FMD_i.p65


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15-01-2004, 10:49


3. ESTATÍSTICA INDUTIVA

A estatística indutiva é o ramo da estatística que se ocupa em inferir das conclusões retiradas sobre a amostra para a população. Claro que o processo de indução implica um certo grau de incerteza associado à tentativa de generalização de conclusões da “parte” (amostra) para o “todo” (universo). O conceito de probabilidade vai ter aqui, então, um papel fundamental. Isto é, não vai ser possível afirmar com toda a certeza que o comportamento da amostra ilustra perfeitamente o comportamento do universo, mas apenas que o faz com forte probabilidade. De seguida, serão apresentadas algumas noções simples de probabilidades e funções de probabilidade, que serão úteis a aplicações de estatística indutiva relacionadas

com

controlo

estatístico

de

qualidade

e

fiabilidade

de

componentes e sistemas.

3.1. Noções básicas de probabilidade A teoria das probabilidades é um ramo da matemática extremamente útil para o estudo e a investigação das regularidades dos chamados fenómenos aleatórios. O exemplo seguinte pretende clarificar o que vulgarmente é designado por experiência aleatória. Deve entender-se como experiência qualquer processo ou conjunto de circunstâncias capaz de produzir resultados observáveis; quando uma experiência está sujeita à influência de factores casuais e conduz a resultados incertos, diz-se que a experiência é aleatória. Fundamentalmente, as experiências aleatórias caracterizam-se por:


45


(i)

poder repetir-se um grande número de vezes nas mesmas condições ou em condições muito semelhantes

(ii)

cada vez que a experiência se realiza, obtém-se um resultado individual, mas não é possível prever exactamente esse resultado

(iii)

os resultados das experiências individuais mostram-se irregulares, mas os resultados obtidos após uma longa repetição da experiência patenteiam uma grande regularidade estatística no seu conjunto

Alguns autores consideram inserido no conceito de experiência aleatória um outro, o de espaço de resultados. O espaço de resultados corresponde ao conjunto formado por todos os resultados possíveis de uma experiência aleatória. Por exemplo, num lançamento de um dado ordinário tem-se que o espaço de resultados é {1,2,3,4,5,6}. A importância da definição deste conceito advém sobretudo por ser o meio empregue para a definição de acontecimentos, que não sei mais que subconjuntos do espaço de resultados. Por exemplo, no lançamento de um dado podem definir-se, para além dos 6 acontecimentos elementares correspondentes à saída de cada uma das faces, outros como “saída de um número ímpar” definido pelo subconjunto {1,3,5}. Definidos como conjuntos, aos acontecimentos é aplicável toda a construção disponível para aqueles, isto é, existe um paralelismo perfeito entre álgebra de conjuntos e álgebra de acontecimentos:

(i)

O acontecimento que contem todos os elementos do espaço de resultados chama-se acontecimento certo

(ii)

O acontecimento que não contem qualquer elemento do espaço de resultados chama-se acontecimento impossível

(iii)

Dois acontecimentos são mutuamente exclusivos se não têm em comum qualquer acontecimento do espaço de resultados

(iv)

A união de dois acontecimentos A e B representa-se por A ∪ B e é formado pelos elementos que pertencem a pelo menos um dos dois, A ou B

(v)

A intersecção de dois acontecimentos A e B representa-se por A ∩ B e é formado pelos elementos comuns a A e B


46


Probabilidade de um acontecimento é expressa na escala de 0 a 1, sendo 0 a probabilidade associada a um acontecimento impossível e 1 a probabilidade associada a um acontecimento certo. A primeira definição foi proposta por Laplace em 1812. Pode definir-se probabilidade de um acontecimento A como sendo: P(A) =

Número de casos favoráveis ao acontecimento A Número total de casos possíveis na exp. aleatória

Uma das principais críticas a esta definição é a de que ela só é aplicável quando o espaço de resultados é finito e os seus elementos possuem igual probabilidade; daí que ela surja muito ligada aos “jogos de azar”, que possuem essas propriedades. É o que acontece com as duas faces de uma moeda, as 52 cartas de um baralho, as 6 faces de um dado, etc. Para

se

analisar

a

probabilidade

de

ocorrência

de

determinados

acontecimentos, deve ter-se em atenção o seguinte: −

Dois acontecimentos são ditos mutuamente exclusivos se não puderem acontecer ao mesmo tempo; se dois acontecimentos forem mutuamente exclusivos, então: P(A ∩ B) = 0

−

A probabilidade de união de dois acontecimentos mutuamente exclusivos é dada por P (A ∪ B) = P(A) + P(B)

−

Para dois acontecimentos quaisquer, vem que P (A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B)

−

Dois acontecimentos dizem-se complementares se: P(A) = 1 – P( A )

−

Dois acontecimentos são ditos independentes se a ocorrência de um não afectar a probabilidade de ocorrência de outro; a probabilidade de ocorrência de dois ou mais acontecimentos independentes é o produto das probabilidades dos respectivos acontecimentos, isto é: P(A ∩ B) = P(A) x P(B)


47


Após a apresentação desta definição, convém ainda referir que, numa outra perspectiva, a da chamada teoria frequencista, a probabilidade de um acontecimento é definida como sendo o valor para o qual tende a frequência relativa do acontecimento quando o número de repetições da experiência aumenta.

3.2. Probabilidade condicionada Exemplo:

Um grupo de pessoas é classificado de acordo com o seu peso e a incidência de hipertensão. São as seguintes as proporções das várias categorias: Obeso

Normal

Magro

Total

Hipertenso

0,1

0,08

0,02

0,2

Não Hipertenso

0,15

0,45

0,2

0,8

Total

0,25

0,53

0,22

1,00

a) Qual a probabilidade de uma pessoa escolhida ao acaso ser hipertensa? b) Qual a probabilidade de uma pessoa obesa ser hipertensa? Resolução

a) Basta ver que a proporção de hipertensos é de 20% b) Há que tomar em atenção que o que se pretende é a proporção de hipertensos na população de obesos, isto é

0,1 = 0,4 . Por outras palavras, 0,25

pretende-se calcular a probabilidade do acontecimento “ser hipertenso”, sabendo que ocorreu o acontecimento “ser obeso”. Repare-se que este quociente resulta da divisão entre a probabilidade de uma pessoa ser hipertensa e obesa e a probabilidade de uma pessoa ser obesa. Pode escrever-se que a probabilidade pretendida é dada por: P( H / O) =

P( H ∩ O) P (O)

onde P(H/O) é a probabilidade de ocorrer o acontecimento “ser hipertenso”, sabendo que ocorreu ou condicionado pelo acontecimento “ser obeso”. Este exemplo corresponde ao cálculo de uma probabilidade condicionada.


48


Como se viu anteriormente, dois acontecimentos são ditos independentes se a ocorrência de um não afectar a probabilidade de ocorrência de outro, isto é, se: P(A / B) = P(A) e se P(B / A) = P(B). Teorema de Bayes

Seja B um acontecimento que se realiza se e só se um dos acontecimentos mutuamente exclusivos A1, A2,…An se verifica. Aos acontecimentos A1, A2,…An dá-se o nome de acontecimentos antecedentes. O teorema de Bayes permite calcular a probabilidade à posteriori de A1, A2,… An, isto é, a probabilidade de ocorrência de A1, A2,… An calculadas sob a hipótese de que B (acontecimento consequente) se realizou. De acordo com este teorema: P ( Ai ).P ( B / Ai )

P ( Ai / B ) =

n i =1

P ( Ai ).P ( B / Ai )

Este Teorema utiliza-se em situações em que a relação causal está invertida. n i =1

P ( Ai ).P ( B / Ai )

designa-se de probabilidade total de ocorrência do

acontecimento B, isto é, é a probabilidade de ocorrência do acontecimento consequente B face a todos os possíveis acontecimentos A1, A2,… An que o podem ter antecedido (ou causado a sua ocorrência).

3.3. Funções de probabilidade A probabilidade associada aos acontecimentos possíveis numa experiência aleatória obedecem, por vezes, a um padrão. Se associarmos a uma experiência aleatória uma variável X (por exemplo, associar aos resultados da experiência lançamento de um dado - que são 6 (saída de face 1 a 6) – a variável X:“Nº da face resultante do lançamento de um dado”), então pode ser constituída uma lei ou função de probabilidade (f(x)) dessa variável X, tal que f(x) = P(X=xi)


49


Por exemplo, para X: nº da face resultante do lançamento de um dado, vem que: xi

1

2

3

4

5

6

f(xi)

1/6

1/6

1/6

1/6

1/6

1/6

que se designa por lei uniforme. Algumas leis de probabilidade servem para explicar (ou aplicam-se a) um maior número de fenómenos estatísticos do que outras. Entre estas, contam-se a lei Binomial, a lei de Poisson e a lei Exponencial. (i) Lei Binomial

Há alguns acontecimentos que são constituídos por um conjunto de experiências independentes, cada uma das quais com apenas dois estados possíveis de ocorrência e com uma probabilidade fixa de ocorrência para cada um deles. Por exemplo, os produtos resultantes de uma fábrica podem ser classificados como sendo defeituosos ou sendo não defeituosos, e o facto de um ter saído (ou não) defeituoso não influencia os outros serem (ou não). A distribuição das duas classes possíveis é discreta e do tipo binomial. No exemplo anterior, consideremos uma amostra de n artigos retirados da produção total, em relação aos quais se pretende identificar a variável X: “Nº de artigos defeituosos nos n que constituem a amostra”. A probabilidade de ocorrência do acontecimento “artigo é defeituoso” é dada por p: incidência de defeituosos na produção (convenientemente calculada através de métodos de estimação). A probabilidade do acontecimento complementar “artigo é nãodefeituoso” é dada por 1–p=q

A probabilidade associada a x artigos defeituosos é dada por px (p x p x p x p...x vezes). Se há x defeituosos, restam n-x artigos não-defeituosos, com probabilidade dada por qn-x. Para calcular o número exacto de combinações de x artigos defeituosos com n-x artigos não-defeituosos, utiliza-se a figura “combinações de n, x a x, oriunda das técnicas de cálculo combinatório. Vem


50


então que a probabilidade de existência de x defeituosos (e logo n-x não defeituosos) é igual a: f ( x) = C xn p x q n − x =

n! p x q n− x (n − p )! p!

sendo que X segue Bi (n;p), sendo n e p os parâmetros caracterizadores da lei. Um acontecimento deve ter 4 características para que se possa associar a uma lei binomial: -

número fixo de experiências (n)

-

cada experiência ter apenas duas classes de resultados possíveis

-

todas as experiências terem igual probabilidade de ocorrência (p)

-

as experiências serem independentes

Em sistemas eléctricos de energia é possível, por exemplo, aplicar a distribuição binomial quando se pretende calcular a fiabilidade de uma central eléctrica, com várias unidades iguais e admitindo que cada unidade apenas pode residir em dois estados, a funcionar ou avariada.

(ii) Lei de Poisson

A lei de Poisson (ou lei dos acontecimentos raros ou cadenciados) dá a probabilidade de um acontecimento ocorrer um dado número de vezes num intervalo de tempo ou espaço fixado, quando a taxa de ocorrência é fixa (por exemplo, nº de chamadas que chegam a uma central telefónica por minuto; nº de varias que ocorrem numa máquina por dia). Os números de acontecimentos de “sucesso” ocorridos em diferentes intervalos são independentes. O parâmetro caracterizador da distribuição de Poisson é λ, que corresponde ao número médio de ocorrências por unidade de tempo ou espaço. Como o número médio de ocorrências do acontecimento é proporcional à amplitude do intervalo de tempo ou espaço a que se refere, a variável X: “Nº de ocorrências do acontecimento no intervalo [0,t[” segue lei de Poisson de parâmetro λt (isto é, se para 1 unidade de tempo o nº médio de ocorrências é λ, para t unidades de tempo o número médio de ocorrências é λt). A expressão

(λt )x e −λt x!


51


dá a probabilidade de acontecerem x ocorrências no intervalo de tempo [0,t[, e corresponde à expressão da lei de probabilidade de Poisson : Po(λt) Por exemplo, se X fôr o “Nº de avarias que ocorrem no intervalo de tempo [0,t[”, então a probabilidade de não ocorrerem avarias nesse intervalo, isto é, a

fiabilidade do componente/sistema como função do tempo, é dada por:

(λt )0 e −λt = e −λt 0!

(iii) Lei Exponencial

Seja T a variável “Tempo ou espaço que decorre entre ocorrências consecutivas de um acontecimento”. Então T segue lei exponencial Exp (λ), sendo 1

λ o tempo que, em média, decorre entre ocorrências sucessivas do acontecimento. Note-se que é possível estabelecer uma relação entre a lei exponencial e a lei de Poisson. Assim, se X fôr o “Nº de avarias que ocorrem no intervalo de tempo [0,t[”, e T fôr o “Tempo que decorre entre avarias consecutivas”, então: P (T>t)

= P(tempo que decorre entre avarias exceder t) = P(até ao instante t, não ocorre qualquer avaria) = P (ocorrerem zero avarias no intervalo [0,t[)

= P(X=0) = e

− λt

A distribuição exponencial é a mais usada em estudos de fiabilidade, já que a probabilidade de um componente sobreviver até ao instante t é dada por

e − λt A probabilidade de avariar até ao instante t é dada por

1 − e − λt


52


(iv) Lei Normal

A lei Normal tem como parâmetros caracterizadores a média µ e o desviopadrão σ. Isto é, os valores observados têm uma determinada tendência central e uma determinada dispersão em torno da tendência central. A expressão 1

− 1 e 2 σ 2∏

( Xi − µ ) 2

σ2

representa a função densidade de probabilidade da distribuição Normal. Se se fizer o valor médio µ igual a zero e todos os desvios forem medidos em relação à média, a equação será:

Z=

X −µ

σ

que corresponde a uma distribuição normal estandardizada (0;1) com os valores tabelados, a qual é caracterizada por uma curva de Gauss:

Esta distribuição apresenta 99,73% dos valores entre os extremos –3 e 3. Existem muitos tipos de distribuição, mas a curva normal é a forma de distribuição mais frequente nos processos industriais para características mensuráveis, e pode considerar-se como estabelecida pela experiência prática.


53


(v) Lei Qui-Quadrado

Considere-se um conjunto de n variáveis aleatórias Zi, obedecendo às seguintes condições: -

cada variável Zi segue distribuição N(0,1);

-

as variáveis Zi são mutuamente independentes

Então, a variável aleatória X, construída a partir da soma das n variáveis Zi elevadas ao quadrado, segue distribuição Qui-Quadrado com n graus de liberdade, denotada por

X=

n i =1

Z i2 = Z12 + Z 22 + ... + Z n2

X ∩ χ n2 O termo “Graus de Liberdade” (d.f: degrees of freedom) é habitualmente usado para designar o número n de parcelas (variáveis Zi) adicionadas. É possível demonstrar que o valor esperado e a variância da distribuição de uma variável Qui-Quadrado são respectivamente

µ =n

σ 2 = 2n A distribuição Qui-Quadrado é uma distribuição assimétrica à esquerda, aproximando-se da distribuição Normal à medida que n cresce.


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55

104

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PROBABILIDADES

Exercícios resolvidos

Exercício 1

De um baralho ordinário (52 cartas) extrai-se ao acaso 1 carta. Determine a probabilidade dos seguintes acontecimentos: a) saída de Rei b) saída de copas c) saída de Rei ou copas d) saída de Rei mas não de copas e) não saída de Rei f) não saída de Rei nem de copas g) não saída de Rei ou não saída de copas Resolução

A: saída de Rei B: saída de copas a) P(A)=1/13 b) P(B)=1/4 c) P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B) = 1/13+1/4-1/52 = 4/13 (=(13+3)/52) d) P(A-B) = P(A) – P(A ∩ B) = 1/13 – 1/52 = 3/52 (= (4-1)/52) e) P( A )= 1-1/13 = 12/13 (=(52-4)/52) f) P( A ∩ B ) = P( A ∪ B ) = 1 – P(A ∪ B) = 1 – 4/13 = 9/13 g) P( A ∪ B ) = P( A ∩ B ) = 1 – P ( A ∩ B ) = 1 – 1/52 = 51/52

Exercício 2

Um sistema electrónico é formado por dois sub-sistemas, A e B. De ensaios anteriores, sabe-se que: -

a probabilidade de A falhar é de 20%

-

a probabilidade de B falhar sozinho é 15%

-

a probabilidade de A e B falharem é 15%

Determine a probabilidade de:


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a) B falhar b) falhar apenas A c) falhar A ou B d) não falhar nem A nem B e) A e B não falharem simultaneamente Resolução

A: o subsistema A falha B: o subsistema B falha P(A)=20%

P( A )= 80%

P(B-A)=15% P(A ∩ B)=15% a) P(B) = P(B-A)+ P(A ∩ B) = 0,15 + 0,15 = 30% b) P(A-B) = P(A) – P(A ∩ B) = 0,2 – 0,15 = 5% c) P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B) = 0,2 + 0,3 – 0,15 = 35% d) P( A ∩ B ) = P( A ∪ B ) = 1 – P(A ∪ B) = 1 – 0,35 = 65% e) P( A ∩ B ) = 1 – P ( A ∩ B ) = 1 – 0,15 = 85% Exercício 3

Suponha que há 3 jornais, A, B e C, com as seguintes percentagens de leitura: A: 9,8%; B: 22,9%; C: 12,1%; A e B: 5,1%; A e C: 3,7%; B e C: 6%; A, B e C: 2,4% Escolhe-se uma pessoa ao acaso. Calcule a probabilidade dessa pessoa: a) ler pelo menos um dos jornais b) ler A e B mas não C c) ler A mas não ler B nem C Resolução

A: a pessoa escolhida lê o jornal A B: a pessoa escolhida lê o jornal B C: a pessoa escolhida lê o jornal C P(A) = 9,8%

P(B) = 22,9%

P(A ∩ B) = 5,1%

P(A ∩ C) = 3,7%

P(C) = 12,1% P(B ∩ C) = 6%

P(A ∩ B ∩ C) = 2,4% Estatística Aplicada

57


a) P ( A ∪ B ∪ C ) = P ( A) + P ( B ) + P (C ) − P ( A ∩ B ) − P ( A ∩ C ) − P ( B ∩ C ) + P ( A ∩ B ∩ C ) = 0,098+0,229+0,121-0,051-0,037-0,06+0,024 = 32,4%

b) P( A ∩ B ∩ C ) = P( A ∩ B ) − P ( A ∩ B ∩ C ) = 0,051 – 0,024 = 2,7% c) P ( A ∩ B ∩ C ) = P(A) - P ( A ∩ B ) − P ( A ∩ C ) + P ( A ∩ B ∩ C ) = 0,098-0,051-0,037+0,024 = 3,4% Exercício 4

Um gerente de uma galeria de arte muito creditada no mercado, está interessado em comprar um quadro de um pintor famoso para posterior venda. O gerente sabe que há muitas falsificações deste pintor no mercado e que algumas dessa falsificações são bastante perfeitas o que torna difícil avaliar se o quadro que ele pretende comprar é ou não um original. De facto, sabe-se que há 4 quadros falsos desse pintor para 1 verdadeiro. O gerente não quer comprometer o “bom nome” da galeria para a qual trabalha comprando um quadro falso. Para obter mais informação o gerente resolve levar o quadro a um museu de arte e pede para que o especialista do museu o examine. Este especialista garante-lhe que em 90% dos casos em que lhe é pedido para examinar um quadro genuíno daquele pintor, ele identifica-o correctamente como sendo genuíno. Mas em 15% dos casos em que examina uma falsificação do mesmo pintor, ele identifica-o (erradamente) como sendo genuíno. Depois de examinar o quadro que o gerente lhe levou, o especialista diz que acha que o quadro é uma falsificação. Qual é agora a probabilidade de o quadro ser realmente uma falsificação? Resolução

V: o quadro é genuíno F: o quadro é falso I: o quadro é identificado correctamente P(V) = 20% P(F) = 80% P(I/V) = 90%

P( I / V ) = 10%

P( I / F ) = 15%

P(I/F) = 85%


58


P(ser realmente falsificação/especialista identificou como falsificação) = =

P( F ) * P( I / F ) 0,8 * 0,85 0,68 = = = 97,1% P ( F ) * P ( I / F ) + P (V ) * P ( I / V ) 0,8 * 0,85 + 0,2 * 0,1 0,7

Exercício 5

Na ida para o emprego, o Sr. Óscar, polícia de profissão, tem de passar obrigatoriamente

por

três

cruzamentos

com

semáforos.

No

primeiro

cruzamento, o do Largo Azul, a probabilidade do semáforo se encontrar com sinal vermelho é de 10%. Em cada um dos cruzamentos seguintes, o Sr. Óscar fica parado devido aos sinais vermelhos em metade das vezes que lá passa. O Sr. Óscar já descobriu que os semáforos funcionam separadamente, não estando ligados entre si por qualquer mecanismo. Embora goste de cumprir a lei, o guarda Óscar passa no sinal verde e acelera no amarelo, só parando mesmo no sinal vermelho. a) Qual a probabilidade do Sr. Óscar chegar ao emprego sem ter de parar em qualquer sinal vermelho? b) Qual a probabilidade do Sr. Óscar ter de parar num só semáforo? c) Qual a probabilidade do Sr. Óscar ter parado no sinal vermelho do cruzamento do Largo Azul, sabendo que parou num só semáforo na sua ida para o emprego? Resolução

A: polícia encontra sinal vermelho no 1º cruzamento B: polícia encontra sinal vermelho no 2º cruzamento C: polícia encontra sinal vermelho no 3º cruzamento P(A)=10%

P( A )= 90%

P(B)=50%

P( B )= 50%

P(C)=50%

P( C )= 50%

a) P( A ∩ B ∩ C ) = P( A )*P( B )*P( C ) = 0,9*0,5*0,5 = 22,5% b) P( A ∩ B ∩ C ) + P( A ∩ B ∩ C ) +P( A ∩ B ∩ C ) = = P( A )*P( B )*P( C ) + P( A )*P( B )*P( C ) + P( A )*P( B )*P( C ) = 47,5%


59


c) P(polícia parar no 1º cruzamento / polícia parou num só semáforo) =

P ( A ∩ B ∩ C ) P ( A) * P ( B ) * P (C ) = = 5,26% 0,475 0,475

Exercício 6

Após alguns testes efectuados à personalidade de um indivíduo, concluiu-se que este é louco com probabilidade 60%, ladrão com probabilidade igual a 70% e não é louco nem ladrão com probabilidade 25%. Determine a probabilidade do indivíduo: a) Ser louco e ladrão b) Ser apenas louco ou apenas ladrão c) Ser ladrão, sabendo-se que não é louco Resolução

A: indivíduo é louco B: indivíduo é ladrão P(A)=60% P(B)=70% P( A ∩ B ) = 25% = P( A ∪ B )

P(A ∪ B) = 1 – 0,25 = 75%

a) P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B)

0,75 = 0,6 + 0,7 - P(A ∩ B)

P(A ∩ B) = 0,6 + 0,7 – 0,75 = 55% b) P(A-B) + P(B-A) = (0,6-0,55) + (0,7-0,55) = 20í c) P(B/ A ) =

P ( B ∩ A) P ( B − A) 0,15 = = = 37,5% 1 − 0,6 0,4 P ( A)

Exercício 7

Uma moeda é viciada, de tal modo que P(F) = 2/3 e P(C) = 1/3. Se aparecem faces, então um número é seleccionado de 1 a 9. Se parecem coroas, um número é seleccionado entre 1 e 5. Determine a probabilidade de ser seleccionado um número par. Resolução

P(Par) = 2/3*4/9 + 1/3*2/5 = 42,96%


60


Exercício 8

Numa fábrica, 3 máquinas, M1, M2 e M3 fabricam parafusos, sendo a produção diária total de 10000 unidades. A probabilidade de um parafuso escolhido ao acaso ter sido produzido por M1 é 30% da probabilidade de ter sido produzido por M2. A incidência de defeituosos na produção de cada máquina é: M1: 3%

M2: 1%

M3: 2%

Extrai-se ao acaso da produção diária um parafuso. Sabendo que a probabilidade dele ser defeituoso é de 1,65%, determine o número de parafusos que cada máquina produz diariamente. Resolução

M1: o parafuso foi produzido por M1 M2: o parafuso foi produzido por M2 M3: o parafuso foi produzido por M3 D: o parafuso é defeituoso n = 10000 unidades P(M1) = 0,3 P(M2) P(D / M1) = 3% P(D / M2) = 1% P(D / M3) = 2% P(D) = 1,65% Prod. 1 = P(M1)*10000 = ? Prod. 2 = P(M2)*10000 = ? Prod. 3 = P(M3)*10000 = ?

P( M 1) = 0,3P( M 2) P( M 1) + P ( M 2) + P( M 3) = 1 ⇔ P( D) = P( M 1) * P( D / M 1) + P( M 2) * P ( D / M 2) + P( M 3) * P( D / M 3) − 1,3P( M 2) + P( M 3) = 1 ⇔ 0,0165 = 0,3P( M 2) * 0,03 + P( M 2) * 0,01 + P( M 3) * 0,02


61


− ⇔ P( M 3) = 1 − 1,3P( M 2) 0,0165 = 0,3P( M 2) * 0,03 + P( M 2) * 0,01 + (1 − 1,3P( M 2)) * 0,02

P( M 1) = 0,3 * 0,5 = 15% P( M 3) = 1 − 1,3P( M 2) = 1 − 1,3 * 0,5 = 35% P( M 2) = 50%

Exercício 9

O João tem à sua disposição 3 meios de transporte diferentes para se deslocar de casa para a escola: os transportes A, B ou C. Sabe-se que a probabilidade de: -

chegar atrasado à escola é 60%

-

chegar atrasado utilizando o transporte A é 80%

-

chegar atrasado utilizando o transporte B é 50%

-

chegar atrasado utilizando o transporte C é 60%

-

utilizar os transportes B e C é a mesma

a) Calcule a probabilidade de o João utilizar o transporte A b) Sabendo que o João chegou atrasado à escola, calcule a probabilidade de ter utilizado os transportes B ou C. Resolução

T: O João chega atrasado A: o João utiliza o transporte A B: o João utiliza o transporte B C: o João utiliza o transporte C P(T) = 0,6 P(T/A) = 0,8 P(T/B) = 0,5 P(T/C) = 0,6 P(B) = P(C) P(A)+P(B)+P(C) = 1

P(A) = 1- 2P(B)

a) P(T) = P(A)*P(T/A) + P(B)*P(T/B) + P(C)*P(T/C)


62


Logo 0,6 = (1-2P(B))*0,8 + P(B)*0,5 + P(B)*0,6 e vem que P(B) = 40% Então P(A) = 1 – 2P(B) = 1 – 2*0,4 = 20% b) P(B ∪ C / T) =

P ( B ) * P (T / B ) + P (C ) * P (T / C ) 0,4 * 0,5 + 0,4 * 0,6 = =73,3% P (T ) 0,6

Exercício 10

Uma empresa que se dedica à prestação de serviços de selecção de pessoal em relação a um teste psicotécnico para uma profissão específica sabe o seguinte: -

as percentagens de indivíduos com um quociente de inteligência (Q.I.) elevado e médio são, respectivamente, de 30% e de 60%

-

a percentagem de indivíduos com Q.I. médio que ficam aptos no teste é de 50%

-

a probabilidade de um indivíduo com Q.I. baixo ficar apto no teste é de 20%

-

finalmente, sabe-se que 70% dos indivíduos com Q.I. elevado ficam aptos no teste

a) Qual a probabilidade de um indivíduo escolhido ao acaso ficar apto no teste? b) Qual a probabilidade de um indivíduo ter Q.I. baixo, sabendo-se que ficou inapto? Resolução

A: indivíduo fica apto no teste E: indivíduo tem QI elevado M: indivíduo tem QI médio B: indivíduo tem QI baixo P(E) = 30% P(M) = 60% P(A/M) = 50%


P(B) = 1 –0,3 – 0,6 = 10%

P(A/B) = 20%

P(A/E) = 70%

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a) P(A) =P(E)*P(A/E)+P(M)*P(A/M)+P(B)*P(A/B) =0,3*0,7+0,6*0,5+0,1*0,2=53% b) P(B/ A ) =

P( B ) * P ( A / B) 0,1 * 0,8 = = 17% 1 − 0,53 P ( A)

Exercício 11

Os resultados de um inquérito aos agregados familiares de uma determinada cidade forneceram os seguintes dados: -

35% dos agregados possuem telefone

-

50% dos agregados possuem frigorífico

-

25% dos agregados possuem automóvel

-

15% dos agregados possuem telefone e frigorífico

-

20% dos agregados possuem telefone e automóvel

-

10% dos agregados possuem frigorífico e automóvel

-

5% dos agregados possuem telefone, automóvel e frigorífico

a) Calcule a probabilidade de um agregado familiar 1. possuir telefone ou frigorífico 2. não possuir nem telefone nem automóvel b) Calcule a probabilidade de um agregado que possui automóvel 1. possuir também frigorífico 2. possuir também telefone ou frigorífico c) Calcule a probabilidade de um agregado familiar 1. possuir pelo menos um daqueles três objectos 2. não possuir nenhum daqueles três objectos Resolução

A: agregado familiar possui telefone B: agregado familiar possui frigorífico C: agregado familiar possui automóvel P(A) = 35% P(B) = 50% P(C) = 25% Estatística Aplicada

64


P(A ∩ B) = 15% P(A ∩ C) = 20% P(B ∩ C) = 10% P(A ∩ B ∩ C) = 5% a) 1. P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B) = 0,35 + 0,5 – 0,15 = 70% 2. P( A ∩ C ) = P( A ∪ C ) = 1 – P(A ∪ C) = 1 – 0,4 = 60% P(A ∪ C) = P(A) + P(C) - P(A ∩ C) = 0,35 + 0,25 – 0,2 = 40% b) krysktsh1. P(B / C) =

P( B ∩ C ) 0,1 = = 40% P (C ) 0,25

2. P(A ∪ B/ C) = P ( A ∩ C ) + P ( B ∩ C ) − P ( A ∩ B ∩ C ) 0,2 + 0,1 − 0.05 = = 100% P (C ) 0,25

c) 1. P ( A ∪ B ∪ C ) = P ( A) + P ( B ) + P (C ) − P ( A ∩ B ) − P ( A ∩ C ) − P ( B ∩ C ) + P ( A ∩ B ∩ C ) = 0,35+0,5+0,25-0,15-0,2-0,1+0,05 = 70%

2. 1 – P( A ∪ B ∪ C ) = 1 – 0,7 = 30% Exercício 12

Admita que 60% dos seguros no ramo automóvel respeitam a condutores com mais de 40 anos de idade, dos quais 5% sofrem, pelo menos, um acidente por ano. De entre os segurados com idade igual ou inferior a 40 anos, 3% têm um ou mais acidentes no mesmo período. a) Qual a probabilidade de um segurado não sofrer qualquer acidente durante um ano? b) Qual a probabilidade de um segurado que sofreu pelo menos um acidente ter idade igual ou inferior a 40 anos? c) Qual a probabilidade de, numa amostra de três segurados 1. todos terem idade igual ou inferior a 40 anos? 2. nenhum ter sofrido qualquer acidente durante um ano? 3. Todos terem idade igual ou inferior a 40 anos, dado que cada um sofreu, pelo menos, um acidente durante o referido período?


65


I1: o segurado tem mais de 40 anos de idade I2: o segurado tem 40 anos ou menos de idade A: o segurado sofre pelo menos 1 acidente por ano A : o segurado não sofre nenhum acidente por ano

P(I1) = 60%

P(I2) = 1 – 0,6 = 40%

P(A/I1) = 5%

P( A /I1) = 1 – 0,05 = 95%

P(A/I2) = 3%

P( A /I2) = 1 – 0,03 = 97%

a) P( A ) = P(I1)* P( A /I1) + P(I2)* P( A /I2) = 0,6*0,95 + 0,4*0,97 = 95,8% b) P(I2/A) =

P ( A ∩ I 2) P ( I 2) * P ( A / I 2) 0,6 * 0,03 = = = 28,57% = P(B) 1 − 0,958 P ( A) P ( A)

c) 1. P( I 2 ∩ I 2 ∩ I 2) = 0,4*0,4*0,4 = 6,4% 2. P( A ∩ A ∩ A) = 0,958*0,958*0,958 = 87,9% 3. P( B ∩ B ∩ B ) = 0,2857*0,2857*0,2857 = 2,3%


66

104

FMD_i.p65


104

15-01-2004, 10:49


FUNÇÕES DE PROBABILIDADE

Exercícios resolvidos

Exercício 1

Se 20% das bobinas de um determinado cabo eléctrico forem defeituosas, calcule a probabilidade de, entre as 4 bobines necessárias a um determinado cliente, escolhidas ao acaso uma ser defeituosa. Resolução

X: número de bobines defeituosas no conjunto de 4 bobines necessárias a um determinado cliente (0,1,2,3,4) n=4

p=0,2

q=1-p=0,8

P(X=1)=C4p1q4-1 = 4*0,2*0,83 = 0,4096 = 41% Exercício 2

O número médio de chamadas telefónicas a uma central, por minuto, é 5. A central só pode atender um número máximo de 8 chamadas por minuto. Qual a probabilidade de não serem atendidas todas as chamadas no intervalo de tempo de 1 minuto? Resolução

X: número de chamadas telefónicas atendidas numa central, por minuto (0,1,2,3,4, 5, 6, 7, 8) λ=5

p=0,2

q=1-p=0,8

e −5 5 x P(X ≤ 8) = = 0,932 x! x =0 8

Logo P(X>8) = 1-0,932 = 0,06

Exercício 3

O tempo de funcionamento sem avarias de uma determinada máquina de produção contínua segue uma lei exponencial negativa com valor esperado igual a 4,5 horas. Imagine que a máquina é (re)colocada em funcionamento no instante t=0 horas. Qual a probabilidade de não ocorrerem avarias antes do instante t=6 horas?


67


Seja

T: tempo de funcionamento sem avarias (ou entre avarias consecutivas) de uma máquina, e X: numero de avarias que ocorrem no intervalo [0,6[, isto é, num período de 6h λ=1/4,5 corresponde ao número de avarias por unidade de tempo (por hora)

Logo P(T ≥ 6) = P(X=0)= e

−

1 *6 4,5

= e −1,333 = 0,264

Exercício 4

Considere que o comprimento médio de determinado fio condutor é 120, com desvio padrão 0,5. Qual a percentagem de fio com comprimento superior a 121? Resolução

X: comprimento de determinado fio condutor Calculando a variável reduzida correspondente, vem: 121 − 120 =2 0,5 Consultando a tabela, verifica-se que o valor da função Z é P(X ≤ 2) = 0,9772. Z=

Logo P(X>2) = 1-0,9772 = 2,28%.

Exercício 5

Numa praia do litoral português existe um serviço de aluguer de barcos, destinado aos turistas que a frequentam. O número de turistas que procuram este serviço, por hora, está associado a uma variável aleatória com distribuição de Poisson. Verificou-se que, em média, em cada hora, esse serviço é procurado por 8 turistas interessados em alugar barcos; sabe-se, por outro lado, que esse serviço funciona ininterruptamente das 8 às 20 horas. a)

Qual a probabilidade de que, entre as 8 e as 9 horas, se aluguem 5 barcos?

b)

Qual a probabilidade de que, entre as 9 e as 11 horas, os barcos sejam procurados por mais de 25 turistas?


68


X: nº de turistas que procuram o serviço de aluguer de barcos por hora X segue Po(λ=8) a) Na tabela da Po(λ=8) vem P(X=5) = 9,16% b) Y1: nº de turistas que procuram o serviço de aluguer na 1ª hora Y2: nº de de turistas que procuram o serviço de aluguer na 2ª hora Logo Y1+Y2: nº de turistas que procuram o serviço de aluguer em 2 horas Pelo Teorema da Aditividade da Poisson, considerando Y1 e Y2 independentes e que todas seguem Po(8), vem que: Z=Y1+Y2 segue Po(2*8=16) Logo P(Z>25) = f(26) +... + f(33) = 0,0057 + ... + 0,0001 = 1,32%

Exercício 6

O número de navios petroleiros que chegam diariamente a certa refinaria é uma variável com distribuição de Poisson de parâmetro 2. Nas actuais condições, o cais da refinaria pode atender, no máximo, 3 petroleiros por dia. Atingido este número, os restantes que eventualmente apareçam deverão seguir para outro porto. a) Qual a probabilidade de, num qualquer dia, ser preciso mandar petroleiros para outro porto? b) De quanto deveriam ser aumentadas as instalações de forma a assegurar cais a todos os petroleiros em 99,9% dos dias? c) Qual o número esperado de petroleiros a chegarem por dia? d) Qual o número mais provável de petroleiros a chegarem por dia? e) Qual o número esperado de petroleiros a serem atendidos diariamente? f) Qual o número esperado de petroleiros que recorrerão a outros portos diariamente? Resolução

X: nº de petroleiros que chegam diariamente a uma certa refinaria X segue Po (2) Capacidade máxima de atendimento da refinaria: 3 petroleiros/dia


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a) P(X>3) = 1 – P(X ≤ 3) = 1 – F(3) = 1 – 0,8571 =14,29% (tab. pg.14) b) Nº máximo de petroleiros que podem chegar: 9 (informação da tabela) Logo, a capacidade devia aumentar em 6 petroleiros/dia (9-3) c) E(X) = 2 d) X = 1 ou X = 2, com probabilidade 27,07% e) Y: nº de petroleiros que são atendidos diariamente numa certa refinaria (0,1, 2, 3) g(0) = P(X=0) = 0,1353 g(1) = P(X=1) = 0,2707 g(2) = P(X=2) = 0,2707 g(3) = P(X=3) = 1 – P(X<3) = 1 – P(X ≤ 2) = 1 – 0,6767 = 0,3233 E(Y) = 0*0,1353 + … + 3*0,3233 = 1,782 São atendidos, em média, entre 1 e 2 petroleiros diariamente f) Z: nº de petroleiros que recorrem diariamente a outros portos (0,1, 2, 3, 4, 5, 6) Logo, Z = X - Y E(Z) = E(X -Y) = E(X) - E(Y) = 2 - 1,782 = 0,218 Recorrem a outros portos, em média, entre 0 e 1 petroleiro por dia g) W: nº de dias em que é preciso mandar petroleiros para outro porto num mês de 30 dias (0,1, 2,...30) W segue Bi (n = 30; p = P(X>3) = 0,1429) E(W) = 30*0,1429 = 4,3 Em média, é preciso enviar petroleiros para outro porto 4 a 5 dias/mês

Exercício 7

Os Serviços Municipalizados de Gás e Electricidade debitam mensalemnte aos seus clientes um consumo teórico T de energia eléctrica calculado de tal modo que a probabilidade de o consumo efectivo o exceder seja de 30,85%. Suponha um cliente cujo consumo por mês segue lei normal de média 400 kwh e desvio-padrão 40 kwh. a) Qual o consumo teórico que lhe é mensalmente debitado? b) 1. Qual a distribuição do consumo efectivo durante 3 meses?


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2. Qual a probabilidade de que, ao fim de 3 meses, o consumo teórico exceda o efectivo em mais de 100 kwh? Resolução

X: consumo efectivo de energia eléctrica de um cliente por mês (em kwh) T: consumo teórico (valor fixo) debitado ao cliente por mês (em kwh) T: P(X>T) = 0,3085 X segue N(400; 1600) a) P(X>T) = 0,3085 ⇔ P( P(N(0,1) ≤

X − 400 T − 400 > ) = 0,3085 ⇔ 40 40

T − 400 T − 400 ) = 0,6915 ⇔ = 0,5 ⇔ T = 420 40 40

b) 1. X1: consumo efectivo de energia eléctrica de um cliente no 1ºmês (em kwh) X2: consumo efectivo de energia eléctrica de um cliente no 2ºmês (em kwh) X3: consumo efectivo de energia eléctrica de um cliente no 3ºmês (em kwh) Logo X1+X2+X3: consumo efectivo de energia eléctrica em 3 meses (em kwh) Pelo Teorema da Aditividade da Normal, considerando X1, X2 e X3 independentes e que todas seguem N(400, 1600), vem que: Y=X1+X2+X3 segue N(400*3; 1600*3), isto é, N(1200; 4800) 2. P(3*420-Y > 100) = P(Y < 1160) = P(N(0,1)<

1160 − 1200 )= 4800

= P(N(0,1)<-0,58) = 28,1%

Exercício 8

Num determinado processo de fabrico, existem 2 cadeias de montagem A e B, com funcionamento independente. A cadeia A opera a um ritmo médio de 2 montagens por hora, e a probabilidade da cadeia B efectuar pelo menos uma montagem numa hora é de 98,71%. Admitindo que o número de montagens efectuadas por hora em ambas as cadeias é uma v.a. Poisson, determine: a) a probabilidade de se efectuarem mais de 6 montagens numa hora com a cadeia B


71


b) a probabilidade de, em 3 horas de trabalho, se efectuarem no máximo 10 montagens com a cadeia B c) a probabilidade de, numa hora, a cadeia A efectuar o dobro de montagens de B d) o número médio de montagens efectuadas num dia de trabalho de 8 horas com ambas as cadeiras Resolução

X: nº de montagens da cadeia A por hora

X segue Po(2)

Y: nº de montagens da cadeia B por hora a) Y segue Poisson, mas desconhece-se a média (=parâmetro λ) No entanto, como se sabe que P(Y ≥ 1) = 0,9817, vem que P(Y<1) = 1 – 0,9817 = 0,0183 Na tabela da Poisson, percorrendo as linhas de valor = 0, vem que o valor 0,0183 pode ser encontrado no cruzamento da linha 0 com a coluna 4. Logo, λ = 4. Na tabela da Po(4), P(Y>6) = 1–P(Y ≤ 6) = 1–F(6) = 1-0,8893=11,07% b) Y1: nº de montagens da cadeia B na 1ª hora Y2: nº de montagens da cadeia B na 2ª hora Y3: nº de montagens da cadeia B na 3ª hora Logo Y1+Y2+Y3: nº de montagens da cadeia B em 3 horas Pelo Teorema da Aditividade da Poisson, considerando Y1, Y2 e Y3 independentes e que todas seguem Po(4), vem que: Z=Y1+Y2+Y3 segue Po(4*3=12) P(Z ≤ 10) = f(0) + f(1) +... + f(10) = 0 + 0,0001 + … + 0,1048 = 34,72% c) P(X=2Y) = P(X=0 ∩ Y=0) + P(X=2 ∩ Y=1) + P(X=4 ∩ Y=2) + P(X=6 ∩ Y=3) + P(X=8 ∩ Y=4) = 0,1353*0,0183 + 0,2707*0,0753 + 0,0902*0,1465 + 0,012*0,1954 + 0,0009*0,1954 = 3,8% d) W: nº de montagens das 2 cadeias num dia de trabalho de 8 horas W=

8 i =1

( X i + Yi )

onde Xi + Yi corresponde ao nº de montagens das 2 cadeias por hora Estatística Aplicada

72


Pelo Teorema da Aditividade de Poisson, sendo as variáveis independentes e seguindo Po(2) e Po(4) respectivamente, vem que Xi + Yi segue também Po(2+4=6). E Z , também pelo mesmo Teorema, segue Po(6*8=48) Logo, o número médio de montagens efectuado pelas 2 cadeias num dia de trabalho de 8 horas é de 48.

Exercício 9

Uma companhia de tabacos recebeu em dada altura um elevado número de queixas quanto à qualidade dos cigarros de certa marca que comercializa. Numa rápida análise às condições de produção, constata-se que 1% dos filtros que compõem o cigarro saem defeituosos. Nestas condições, determine: a) a probabilidade de um maço acabado de formar 1. conter 1 cigarro com filtro defeituoso 2. conter 0 cigarros com filtro defeituoso b) o número de maços que, num volume que contém 20, a companhia espera poder aproveitar se utilizar o critério: 1. maço é aproveitável se não contiver cigarros defeituosos 2. maço é aproveitável se contiver no máximo 1 cigarro defeituoso Resolução

X: nº de cigarros com filtro defeituoso em 20 cigarros de um maço X segue Bi(n=20; p=0,01) a) 1. P(X=1) = 20*0,01*0,9919 = 16,52% 2. P(X=0) = 0,010*0,9920 = 81,79% b) 1. Crit. 1: maço é aproveitável se não contiver cigarros defeituosos Y: nº de maços aproveitáveis num volume que contem 20 maços Y segue Bi(n=20; p=P(X=0) = 0,8179) Logo E(Y) = 20*0,8179 = 16,36 2. Crit. 2: maço é aproveitável se contiver no máximo 1 cigarro defeituoso Y: nº de maços aproveitáveis num volume que contem 20 maços Y segue Bi(n=20; p=P(X=0)+P(X=1)= 0,8179+0,1652 = 0,9831) Logo E(Y) = 20*0,9831 = 19,66


73


Exercício 10

O comprimento das peças produzidas por uma máquina é uma v.a. Normal com média µ e variância σ2. Uma peça defeituosa se o seu comprimento diferir do valor médio mais do que σ. Sabemos que 50% das peças produzidas têm comprimento inferior a 0,25 mm e 47,5% têm comprimento entre 0,25 mm e 0,642 mm. a) Calcule a média e o desvio-padrão do comprimento das peças. b) Determine a probabilidade de uma peça não ser defeituosa. Resolução

X: comprimento das peças produzidas por uma máquina X segue N(µ; σ2) Peça defeituosa se X>µ + σ ou se X< µ - σ P(X<0,25) = 50% P(0,25
X −µ

σ

<

Na tabela,

0,25 − µ

) = 50%

σ 0,25 − µ

σ

tem que ser =0, logo µ = 0,25

E como P(0,25
0,25 − 0,25

=θ(

σ 0,392

σ

<

X − 0,25

σ

<

0,642 − 0,25

σ

) = P (0 < N (0,1) <

0,392

σ

)=

) − θ (0) = 0,475

Sendo θ (0)=0,5, vem que θ (

0,392

σ

Na tabela 3B da Normal, vem que

) = 0,475 + 0,5 = 0,975 0,392

σ

= 1,96 e logo σ = 0,2

b) P(peça não defeituosa) = P(µ - σ < X < µ + σ) = P(0,05 < X < 0,45) = P(X<0,45) – P(X<0,05) =

θ(

0,45 − 0,25 0,05 − 0,25 ) −θ ( ) = θ (1) − θ (−1) = D (1) = 84,13% 0,2 0,2


74


Exercício 11

Sabe-se que a probabilidade de cura de uma certa doença é 20%. Põe-se à prova um novo medicamento, que eleva a probabilidade de cura para 40%, ministrando-o a um grupo de 20 doentes. Admite-se que o medicamento é eficaz no caso de contribuir para a cura de, pelo menos, 8 doentes em 20. Calcule a probabilidade de se concluir pela ineficácia do medicamento, ainda que este eleve de facto a probabilidade de cura para 40%. Resolução

X: número de doentes curados no grupo de 20 a que é ministrado o novo medicamento (0,1,2...19, 20) n=20

p=0,4

q=1-p=0,6

X segue Bi (20; 0,4)

P(X ≥ 8)=1- F(7) = 41,58%

Exercício 12

Sabe-se por via experimental que, por cada período de 5 minutos, chegam, em média, 4 veículos a determinado posto abastecedor

de combustíveis. Um

empregado entra ao serviço às 8 horas. Qual a probabilidade de ter de aguardar mais de 10 minutos até à chegada de um veículo? Resolução

X: nº de veículos que chegam ao posto abastecedor por período de 5 minutos X segue Po(4) Se X1: nº de veículos que chegam ao posto no 1º período de 5 minutos X2: nº de veículos que chegam ao posto no 2º período de 5 minutos então X1+X2: nº de veículos que chegam ao posto abastecedor em 10 minutos Pelo Teorema da Aditividade de Poisson, considerando X1 e X2 independentes e que ambas seguem Po(4), vem que X1+X2 também segue Po(4+4=8) Logo P(X1+X2=0) na tabela da Po(8) vem igual a 0,03%.


75


3.4. Estimação por intervalos Conhecendo-se uma amostra em concreto, é possível estimar os valores dos seus parâmetros caracterizadores através de métodos probabilísticos. Por exemplo, suponhamos que numa fábrica produtora de açúcar se pretende averiguar se o peso dos pacotes produzidos está, em média, dentro das normas de qualidade exigíveis. Na impossibilidade de medição do peso de todos os pacotes, pela morosidade e dispêndio de recursos que tal implicaria, a estatística permite que, a partir da observação de uma única amostra, seja possível inferir entre que valores varia o peso médio com um grau de confiança ou probabilidade elevado. Assim, ao recolher um determinado número de pacotes da produção total aleatoriamente, é possível calcular o peso médio de acordo com as técnicas de estatística descritiva apreendidas atrás. Claro que nada nos garante que esse valor coincide com o valor do parâmetro da população em estudo. De facto, é até provável que não coincida e, mais, se recolhermos outro conjunto idêntico de pacotes, o valor seja diferente. Isto é, para cada amostra de dimensão n recolhida, a estimativa do parâmetro assumiria valores distintos. Então, como retirar conclusões? Como garantir algum nível de rigor? O método a estudar neste capítulo – a estimação por intervalos – permite, a partir da recolha de uma única amostra, aferir entre que valores seria de esperar que variasse o parâmetro de interesse se nos empenhássemos a recolher um número infinito de amostras. Isto é, por exemplo, caso o valor amostral fosse de 1,02 kg, este método poderia, por exemplo, permitir afirmar que seria altamente provável que o peso dos pacotes produzidos estivesse a variar entre 0,92 kg e 1,12 kg. E esse resultado tem um determinado nível de confiança associado: por exemplo, se dissermos que o nível de confiança ou certeza implicado é de 95%, tal significa que, se nos fosse possível observar um número infinito de amostras, o intervalo de valores apresentado corresponderia aos resultados obtidos em 95% delas (os valores mais usualmente utilizados são 90%, 95% ou 99% de confiança). Caberia depois à empresa julgar se esses seriam ou não valores aceitáveis e proceder aos eventuais reajustes necessários. Estatística Aplicada

76


A partir do conceito de intervalo de confiança para um parâmetro, é fácil concluir que a sua especificação implica conhecer: -

o estimador do parâmetro em causa

-

a sua distribuição de probabilidade

-

uma estimativa particular daquele parâmetro

Como parâmetros de interesse e para efeitos de exemplificação, vão considerar-se duas tipologias de intervalo: o intervalo de confiança para a média de uma população normal e o intervalo de confiança para a proporção de uma população binomial. Para efeitos de simplificação, vão considerar-se apenas exemplos relativos a amostras de grande dimensão (na prática, n ≥ 100) (i) Intervalo de confiança para a média µ de uma população normal

Seja X (média amostral) o estimador da média da população. Porque a distribuição é Normal, a distribuição deste estimador será: X ∩ N (µ ;

σ n

)

Uma vez que apenas se encontra tabelada a distribuição N(0,1), torna-se necessário calcular a variável reduzida correspondente: Z=

X −µ

σ

∩ N (0;1)

n

Esta variável permitirá deduzir a fórmula geral do intervalo de confiança para a média µ de uma população normal: X −c

σ n

;X +c

σ n

Isto é, em torno do valor do estimador, é definido um intervalo de variação onde é possível afirmar que o parâmetro a estimar está contido com um grau de confiança δ . Esse intervalo de variação depende: -

da dimensão da amostra (n): quanto maior a dimensão da amostra, menor a amplitude do intervalo. Este resultado explica-se facilmente: no limite, se fosse possível observar todo o universo de dados (n= ∞ ), o valor amostral calculado corresponderia ao valor da população.


77


-

do desvio - padrão da população ( σ ): quanto maior o desvio - padrão, maior a amplitude do intervalo. Como se sabe, o desvio - padrão é uma medida que caracteriza a dispersão da distribuição. Quanto maior o seu valor, maior a variabilidade apresentada pelos dados, sendo natural que a margem de variação de prever em torno do valor amostral recolhido seja também, naturalmente, maior.

-

do valor crítico (c): quanto maior o valor c, maior a amplitude do intervalo. O valor crítico reflecte o nível de confiança adoptado. Naturalmente, para que aumente a confiança de que o valor do parâmetro a estimar está contido no intervalo, a sua amplitude deve aumentar também (no limite, se o intervalo se alongasse de - ∞ a + ∞ a confiança seria total ou 100%). É possível encontrar o valor c na tabela da normal (pois esta é a lei do estimador), da seguinte forma: P ( −c ≤ Z ≤ c ) = δ

já que assim é possível definir a fórmula geral do intervalo, resolvendo a inequação em ordem ao parâmetro, µ : P (−c ≤

X −µ

σ

≤ c) = δ ⇔ P( X − c

σ

≤ µ ≤ X −c

n

σ n

)=δ

n

Se o desvio - padrão da população fôr desconhecido, utiliza-se este intervalo considerando-se como estimativa de σ o desvio - padrão corrigido da amostra, ou seja, s’=

( xi − x ) 2 n −1

, tal que:

X −c

s' n

;X +c

s' n

(ii) Intervalo de confiança para a proporção p de uma população binomial

Seja pˆ (proporção amostral ou frequência observada na amostra) o estimador da proporção p de uma população binomial. Sendo a amostra de grande dimensão, a distribuição deste estimador será:

pˆ ∩ N ( p;


p(1 − p ) ) n

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Uma vez que apenas se encontra tabelada a distribuição N(0,1), torna-se necessário calcular a variável reduzida correspondente: Z=

pˆ − p p (1 − p ) n

∩ N (0;1)

Esta variável permitirá deduzir a fórmula geral do intervalo de confiança para a proporção p de uma população binomial: pˆ − c

pˆ (1 − pˆ ) pˆ (1 − pˆ ) ; pˆ + c n n

(como estimativa de p (1 − p ) foi utilizado pˆ (1 − pˆ )) Como é óbvio, pretende-se que o resultado possua o máximo de confiança possível. No entanto, se uma maior confiança é pretendida na estimação, esta conduz a possibilidades de erro maiores, dado que um elevado nível de confiança conduz a um intervalo maior e, como tal, a precisão da estimação diminui. Exemplo: Consideremos 3 afirmações de alunos que aguardam a saída das pautas de

um exame de Estatística: Afirm. 1: “Tenho a sensação que as pautas serão afixadas durante a manhã” Afirm. 2: “Tenho quase a certeza que as pautas serão afixadas entre as 10h e as 11h Afirm. 3: “Tenho a certeza absoluta que as pautas ou são afixadas às 10h30 ou já não são afixadas hoje” Estas 3 afirmações permitem constatar facilmente que se se pretende maior confiança na estatística, se tem que permitir que a possibilidade de erro aumente. Por outro lado, se se permitir que o erro diminua, os extremos do intervalo aumentam, embora o resultado perca alguma precisão. No entanto, há que ter em atenção que, se um intervalo de confiança tem uma amplitude demasiado grande, a estimativa não tem utilidade. Cabe ao investigador gerir este “trade-off”.


79


Isto leva a uma questão importante: o dimensionamento de amostras. Até aqui, sempre se assumiu que as dimensões são conhecidas à partida, sem referir como se determinam. No entanto, a resolução deste problema tem um enorme interesse prático, já que (i) recolher e tratar uma amostra demasiado grande para os resultados que se pretendem obter constitui um evidente desperdício de recursos e (ii) recolher uma amostra cuja dimensão é insuficiente para retirar conclusões constitui um erro. A dimensão das amostras aumentará se se pretender garantir maior precisão ao intervalo e/ou maior grau de confiança. No capítulo dedicado a aplicações estatísticas, será possível ver como é possível utilizar o conceito de intervalo de confiança ao controlo estatístico de processos de qualidade.


80


INTERVALOS DE CONFIANÇA Exercícios

Exercício 1

Suponha-se que se tem uma população normal com média µ desconhecida e desvio - padrão 3, N (µ, 9) e uma amostra de 121 observações. Deduza um intervalo de confiança para a µ com 95% de confiança. Resolução

Para os dados deste exercício, vem:

n=121

σ =3 c: P (−c ≤ Z ≤ c) = 95% ⇔ D (c) = 95% ⇔ c = 1,96 e logo X −c

σ n

;X +c

σ n

= X−

[

[

1,96 x3 1,96 x3 ;X − = X − 0,535; X + 0,535 11 11

]

]

O intervalo X − 0,535; X + 0,535 contém o verdadeiro valor do parâmetro µ com probabilidade ou confiança de 95%. Conhecida uma estimativa particular daquele parâmetro, torna-se possível calcular entre que valores seria de esperar que, com 95% de confiança, variasse µ . Exercício 2

Numa cidade pretende-se saber qual a proporção da população favorável a certa modificação de trânsito. Faz-se um inquérito a 100 pessoas, e 70 declaram-se favoráveis. Determine um intervalo de confiança a 95% para a proporção de habitantes dessa cidade favoráveis à modificação de trânsito. Resolução

n=100 pˆ =

70 = 0,7 100

c: P (−c ≤ Z ≤ c) = 95% ⇔ D (c) = 95% ⇔ c = 1,96 e logo


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pˆ − c

pˆ (1 − pˆ ) pˆ (1 − pˆ ) 0,7 x0,3 0,7 x0,3 ; pˆ + c = 0,7 − 1,96 ;0,7 − 1,96 = n n 100 100

= [0,6102;0,7898]

O intervalo [0,6102;0,7898] contém o verdadeiro valor do parâmetro p com probabilidade ou confiança de 95%. Ou seja, a proporção de habitantes favoráveis à modificação de trânsito está situada entre 61,02% e 78,98%, com probabilidade de 95%.

Exercício 3

Uma máquina fabrica cabos cuja resistência à ruptura (em kg/cm2) é uma variável com distribuição Normal de média 100 e desvio - padrão 30. Pretendese testar uma nova máquina que, segundo indicações do fabricante, produz cabos com resistência média superior. Para isso, observam-se 100 cabos fabricados pela nova máquina, que apresentam uma resistência média de 110 kg/cm2. Admita que o novo processo não altera o desvio padrão da resistência à ruptura dos cabos. a) Determine um intervalo de confiança a 95% para a resistência média à ruptura dos cabos produzidos pela nova máquina. b) Suponha que pretendíamos obter um intervalo de confiança com a mesma amplitude do anterior, mas com nível de confiança de 99%. Quantos cabos deveriam ser observados? Resolução

a) X segue N(100; 302) n=100

x =110

σ=30

γ=95%

c: P (−c ≤ Z ≤ c) = 95% ⇔ D (c) = 95% ⇔ c = 1,96 e logo X −c

σ n

;X +c

σ n

= 110 −

1,96 x30 1,96 x30 ;110 − = [104,12;115,88] 10 10

Estima-se, com 95% de confiança, que a resistência média à ruptura dos cabos produzidos pela nova máquina se situa entre 104,12 kg/cm2 e 115,88 kg/cm2.


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b) Amplitude = 115,88 – 104,12 = 11,76 Amplitude = Lim.Sup. - Lim.Inf. = ( X + c Logo 2c

σ n

σ

) -( X − c

σ n

) = 2c

σ n

=11,76 n Sendo que x =110 σ=30 c: P (−c ≤ Z ≤ c) = 99% ⇔ D (c) = 99% ⇔ c = 2,576 vem que n = 173 cabos

Exercício 4

Uma amostra de 20 cigarros é analisada para determinar o conteúdo de nicotina, observando-se um valor médio de 1,2 mg. Sabendo que o desvio padrão do conteúdo de nicotina de um cigarro é 0,2 mg, diga, com 99% de confiança, entre que valores se situa o teor médio de nicotina de um cigarro. Resolução

X segue N(µ; 0,22) n=20

x =1,2

σ=0,2

γ=99%


σ n

;X +c

σ n

= 1,2 −

2,576 x0,2 20

;1,2 −

2,576 x0,2 20

= [1,085;1,315]

Estima-se, com 99% de confiança, que o teor médio de nicotina de um cigarro se situa entre 1,085 mg e 1,315 mg.

Exercício 5

Admita-se que a altura dos alunos de uma escola segue distribuição Normal com variância conhecida e igual a 0,051. Admita-se ainda que foi recolhida uma amostra aleatória com dimensão n=25 alunos e calculada a respectiva média amostral, tendo-se obtido o valor de 1,70m. Defina um intervalo que, com probabilidade 95%, contenha o valor esperado da altura µ.


83


X segue N(µ; 0,051) n=25

x =1,70

σ2=0,051

γ=95%


σ n

;X +c

σ n

= 1,7 −

1,96 x 0,051 25

;1,2 −

1,96 x 0,051 25

= [1,611;1,788]

Estima-se, com 95% de confiança, que o teor médio de nicotina de um cigarro se situa entre 1,085 mg e 1,315 mg.

Exercício 6

Numa fábrica, procura conhecer-se a incidência de defeituosos na produção de uma máquina. Para tanto, colhe-se uma amostra de dimensão suficientemente grande (1600 artigos), onde 10% dos artigos são defeituosos. Determine o intervalo de confiança para a referida proporção com 90% de confiança. Resolução

n=1600

pˆ =10%

c: P (−c ≤ Z ≤ c) = 90% ⇔ D (c) = 90% ⇔ c = 1,645 e logo pˆ − c

0,1x0,9 0,1x0,9 pˆ (1 − pˆ ) pˆ (1 − pˆ ) ; pˆ + c ;0,1 − 1,645 = 0,1 − 1,645 = 1600 1600 n n

= [0,0876;0,1123]

Estima-se, com 90% de confiança, que a proporção de artigos defeituosos na produção se situa entre 8,76% e 11,23%.

Exercício 7

O director fabril de uma empresa industrial que emprega 4000 operários emitiu um novo conjunto de normas internas de segurança. Passada uma semana, seleccionou aleatoriamente 300 operários e verificou que apenas 75 deles conheciam suficientemente bem as normas em causa. Construa um intervalo Estatística Aplicada

84


de confiança a 95% para a proporção de operários que conheciam adequadamente o conjunto das normas uma semana após a sua emissão. Resolução

n=300 pˆ =

75 = 0,25 300

c: P (−c ≤ Z ≤ c) = 95% ⇔ D (c) = 95% ⇔ c = 1,96 e logo pˆ − c


= [0,201;0,299]

Estima-se, com 95% de confiança, que a proporção de operários que conheciam adequadamente o conjunto das normas se situa entre 20,1% e 29,9%.

Exercício 8

A Direcção de Marketing de uma empresa pretende conhecer a notoriedade da marca de determinado produto. Nesse sentido, efectuou um inquérito junto de 1200 pessoas escolhidas aleatoriamente, verificando que 960 a conheciam. a)

Estime a proporção de pessoas conhecedoras da marca através de um intervalo de confiança a 90%.

b)

Se se pretender que a amplitude do intervalo de confiança da alínea anterior não seja superior a 0,034, qual deve ser a dimensão mínima da amostra?

c)

Sabendo que o intervalo de confiança determinado pela Direcção de Marketing foi [0,767; 0,833], calcule o nível de confiança utilizado

Resolução

a) n=1200 pˆ =

960 = 0,8 1200

c: P (−c ≤ Z ≤ c) = 90% ⇔ D (c) = 90% ⇔ c = 1,645 e logo Estatística Aplicada

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pˆ − c


= [0,781;0,819]

Estima-se, com 90% de confiança, que a proporção de indivíduos conhecedores da marca se situa entre 78,1% e 81,9%.

b) Amp.=Lim.Sup.-Lim.Inf. = ( pˆ + c

pˆ (1 − pˆ ) pˆ (1 − pˆ ) pˆ (1 − pˆ ) ) – ( pˆ − c ) = 2c n n n

Logo

2c

pˆ (1 − pˆ ) 0,8 * 0,2 = 2 *1,645 * ≤ 0,034 ⇔ n ≥ 1499 n n

c) pˆ + c

pˆ (1 − pˆ ) = 0,833 n

Logo 0,8 + c

0,8 * 0,2 = 0,833 ⇔ c = 2,86 1200

E D(2,86) na tabela N(0,1) vem igual a 99,6%, a que corresponde o nível de confiança utilizado Exercício 9

O gabinete de projectos de uma empresa de material de construção civil pretende estimar a tensão de ruptura do material usado num determinado tipo de tubos. Com base num vasto conjunto de ensaios realizados no passado, estima-se que o desvio - padrão da tensão de ruptura do material em causa é de 70 psi. Deseja-se definir um intervalo de confiança a 99% para o valor esperado da tensão de ruptura, pretendendo-se que a sua amplitude não exceda 60 psi. Qual o número de ensaios necessário para definir tal intervalo? Resolução

n=?

σ=70

γ=99%

c: P (−c ≤ Z ≤ c) = 99% ⇔ D (c) = 99% ⇔ c = 2,576 Amplitude = 2c

σ


n

Logo 2c

σ n

≤ 60 ⇔ 2 * 2,576 *

70 n

≤ 60 ⇔ n ≥ 36

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Exercício 10

A empresa SCB controla regularmente a resistência à ruptura dos cabos por si produzidos. Recentemente, foram analisadas as tensões de ruptura de 10 cabos SCB-33R, seleccionados aleatoriamente a partir de um lote de grandes dimensões, tendo sido obtida uma média de 4537 kg/cm2. Existe uma norma de 112 kg/cm2 em relação à variância, que é respeitada. O director comercial pretende saber qual o intervalo de confiança, a 95%, para o valor esperado da tensão de ruptura dos cabos do lote em causa. Defina esse intervalo. Resolução

X segue N(µ; 112)

x =4537

n=10

σ=10,58

γ=95%


σ n

;X +c

σ n

= 4537 −

1,96 x10,58 10

;4537 −

1,96 x10,58 10

= [4530,5;4543,5]

Estima-se, com 95% de confiança, que o tensão média de ruptura dos cabos se situa entre 4530,5 kg/cm2 e 4543,5 kg/cm2.

Exercício 11

Uma amostra de 50 capacetes de protecção, usados por trabalhadores de uma empresa de construção civil, foram seleccionados aleatoriamente e sujeitos a um teste de impacto, e em 18 foram observados alguns danos. Construa um intervalo de confiança, a 95%, para a verdadeira proporção p de capacetes que sofre danos com este teste. Interprete o resultado obtido. Resolução

a) n=50 pˆ =

18 = 0,36 50

c: P (−c ≤ Z ≤ c) = 95% ⇔ D (c) = 95% ⇔ c = 1,96 e logo


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pˆ − c


= [0,22695;0,49305]

Estima-se, com 95% de confiança, que a proporção de capacetes que sofre danos se situa entre 22,7% e 49,3%.

Exercício 12

Qual deve ser o número de habitantes da cidade do Porto a seleccionar aleatoriamente para estudar a proporção de portuenses que usam óculos, de modo a garantir que um intervalo de confiança a 95% para essa proporção tenha uma amplitude não superior a 8 pontos percentuais? Resolução

n=?

Amp.= ( pˆ + c

pˆ (1 − pˆ ) pˆ (1 − pˆ ) pˆ (1 − pˆ ) ) – ( pˆ − c ) = 2c < 0,08 n n n

c: P (−c ≤ Z ≤ c) = 95% ⇔ D (c) = 95% ⇔ c = 1,96 Considerando que a proporção amostral é a que maximiza a amplitude (pior dos casos), isto é, que a proporção amostral é 50% ( pˆ (1 − pˆ )' = 1 − 2 pˆ = 0 ), vem que:

2c

pˆ (1 − pˆ ) 0,5 * 0,5 = 2 * 1,96 * < 0,08 ⇔ n > 600 n n


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3.5. Testes de hipóteses Todos os dias temos de tomar decisões respeitantes a determinadas populações, com base em amostras das mesmas (decisões estatísticas). Nesta tomada de decisões, é útil formular hipóteses sobre as populações, hipóteses essas que podem ou não ser verdadeiras. A essas hipóteses chamamos hipóteses estatísticas, as quais geralmente se baseiam em afirmações sobre as distribuições de probabilidade das populações ou sobre alguns dos seus parâmetros. Uma hipótese pode então ser definida como uma conjectura acerca de uma ou mais populações. Desta forma, os testes de hipóteses podem considerar-se uma segunda vertente da inferência estatística, tendo por objectivo verificar, a partir de dados observados numa amostra, a validade de certas hipóteses relativas à população. O resultado do teste corresponde inevitavelmente a uma das duas respostas possíveis para cada questão: afirmativa ou negativa. Em ambos os casos corre-se o risco de errar. Uma das características do teste de hipóteses é, justamente, a de permitir controlar ou minimizar tal risco. Nos testes de hipóteses, e ao contrário dos intervalos de confiança, em vez de procurar uma estimativa ou um intervalo para um parâmetro, admite-se ou avança-se um valor hipotético para o mesmo, utilizando depois a informação da amostra para confirmar ou rejeitar esse mesmo valor. A hipótese a testar denomina-se, pois, de H0 ou de hipótese nula. O objectivo é verificar se os factos observados a contradizem, levando a optar pela hipótese alternativa H1. Isto é, a estratégia básica seguida no método de teste de hipóteses consiste em tentar suportar a validade H1 de uma vez provada a inverosimilhança de H0. Exemplo: Registos efectuados durante vários anos permitiram estabelecer que o nível de

chuvas numa determinada região, em milímetros por ano, segue uma lei normal N(600;100). Certos cientistas afirmavam poder fazer aumentar o nível médio µ das chuvas em 50 mm. O seu processo foi posto à prova e anotaram-

se os valores referentes a 9 anos: 510

614

780

512

501

534

603

788

650

Que se pode concluir? Adopte um nível de significância de 5%.


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Resolução: Duas hipóteses se colocavam: ou o processo proposto pelos cientistas não

produzia qualquer efeito, ou este aumentava de facto o nível médio das chuvas em 50 mm. Estas hipóteses podem formalizar-se do modo seguinte: H0: µ=600 mm H1: µ=650 mm Este é um problema clássico de teste de hipóteses, em que está em causa aceitar ou rejeitar a hipótese nula, em função dos resultados de uma amostra. Ao utilizar uma amostra de uma população, estamos a lidar com leis de probabilidades, logo não é possível de saber se a hipótese nula é verdadeira ou falsa, mas apenas medir as probabilidades envolvidas na tomada de decisão. Podem-se definir 2 formas de especificar Ho e H1: (i)

hipótese simples contra hipótese simples Ho: θ = θ0 H1: θ = θ1

(ii)

hipótese simples contra hipótese composta Ho: θ = θ0 H1: θ > θ0 ou θ < θ0 ou θ ≠ θ0 Estes testes designam-se respectivamente de teste unilateral à direita, teste unilateral à esquerda e teste bilateral

Sendo os testes de hipóteses, portanto, um processo de inferência estatística onde se procuram tomar decisões sobre a população com base numa amostra, é natural que envolvam alguma margem de erro e que ocorram em situação de incerteza. Estes erros não podem ser completamente evitados mas, no entanto, pode-se manter pequena a probabilidade de os cometer. Compete ao investigador decidir qual a dose de risco de se enganar em que está disposto a incorrer. Vamos supor uma probabilidade de erro de, por exemplo, 5%. Nesse caso, e avançada a hipótese nula Ho, o investigador só estaria disposto a rejeitá-la se o resultado obtido na amostra fizesse parte de um conjunto de resultados improváveis que teriam apenas, por exemplo, 5 chances em 100 de Estatística Aplicada

90


se produzir. Este tipo de formulação é conhecida como postura conservadora. Ou seja, estamos mais propensos a achar que o novo processo não tem qualquer efeito sobre o nível das chuvas (isto é, que tudo se mantém igual) do que investir no novo processo (mudar), arriscando apenas quando houver evidências da amostra muito fortes a favor do novo. Para que esta decisão possa ser tomada de uma forma controlada, é conveniente pois que, à partida, se fixe o valor a partir do qual se considera improvável a validade da hipótese nula. Tal fixação corresponde à fixação da regra de decisão do teste. A formalização desta regra passa pela especificação de uma região de região de rejeição. A essa região, isto é, ao conjunto de valores “improváveis” que conduzem à rejeição da hipótese nula dá-se o nome de Região Crítica. Ao limite superior de risco, que na maior parte dos casos é de 10%, 5% ou 1%, dáse o nome de Nível de Significância do teste, sendo este que permite definir a condição de rejeição de Ho. O Nível de Significância designa-se de α e corresponde, então, à probabilidade de o resultado amostral levar à rejeição de Ho, supondo Ho verdadeira, isto é, à probabilidade de se estar a cometer aquilo a que se convenciona chamar de erro de 1ª espécie. Como veremos no exemplo, existem também erros de 2ª espécie, cuja probabilidade se designa pela letra β. Em resumo: Quadro de decisão em condição de incerteza

Hipótese nula Ho Decisão

Hipótese Ho ser verdadeira:

Hipótese Ho ser falsa

Aceitar Ho

Decisão correcta (1-α)

Rejeitar Ho

Erro de tipo I Alfa (α)

Erro de tipo II Beta (β) Decisão correcta (1-β)

Como decidir? Visto que se trata de testar o valor de µ, a variável de decisão será X . Considerando Ho verdadeira vem que X ∩ N (600;


100 9

).

91


Em princípio, grandes valores de X são improváveis, pelo que se opta pela seguinte regra de decisão: Se X fôr demasiado grande, isto é, superior a um valor crítico c que tem apenas 5 chances em 100 de ser ultrapassado, opta-se por H1 com probabilidade 5% de se estar a cometer um erro. Se tal não acontecer, conserva-se Ho, por falta de provas suficientes para não o fazer. Logo, sendo P(Rejeitar Ho / Ho) = α = 5%, vem que

P ( X > c / µ = 600) = 0,05 ⇔ P (

X −µ

σ

>

c − 600 ) = 0,05 ⇔ 100

n ⇔ c = 600 + 1,645 x

9

100 = 654,83(3) 3

A regra de decisão é, então, a seguinte: -

rejeitar H0 em favor de H1, se o valor amostral fôr superior a 654,83(3)

-

conservar H0 em detrimento de H1 se fôr inferior a 654,83(3)

Isto é, a Região Crítica deste teste, isto é, o conjunto de acontecimentos que levam à rejeição de H0 corresponde a todos os valores de X >654,83(3).

RA: Região de Aceitação

RR: Região Crítica ou de Rejeição

RA=(1-α)

µ = 600

RR=α 654,83(3)

X

Os dados recolhidos indicavam X =610,2 mm, pelo que a decisão é conservar H0 , isto é, considerar que o processo científico não produz efeitos.


92


No entanto, os erros incorridos não se ficam apenas pelos de 1ª espécie. Existem também erros de 2ª espécie. Isto é, à partida parte-se do princípio que H0 é verdadeira e só se rejeitará essa hipótese se ocorrerem acontecimentos pouco prováveis. No entanto, é possível alternativamente partir do princípio que é H1 que é verdadeira, ou seja, considerar que o processo científico é realmente eficaz no aumento do nível médio das chuvas, mas que, infelizmente, o número de valores observado não permite observar resultados ou esses resultados foram insuficientes. Supondo então que H1 é verdadeira (µ=650 mm), então vem que: X ∩ N (650;

β

RA

100 9

)

1-β β RR

µ = 650

X

A probabilidade de rejeitar H1 erradamente, isto é, de se cometer um erro de 2ª espécie, vem então igual a: P(Rejeitar H1 / H1)=β P ( X ≤ 654,83(3) / µ = 650) = P (

X −µ

σ

n

≤

654,83(3) − 650 ) = P ( N (0,1) ≤ 0,14) = 55,57% 100 9

É através das probabilidades α e β que se procura o melhor teste de hipóteses, sendo o teste ideal o que minimiza simultaneamente ambos os valores. No entanto, e como α e β se referem a realidades opostas e variam em sentido contrário, tal não é possível. O que na maior parte dos casos se faz é fixar o α (para amostras de dimensão n) e tentar minimizar β.


93


Região de rejeição e de aceitação da hipótese nula

Unilateral à esquerda H1: µ < 600

Bilateral H1: µ ≠ 600

RA

RR α

RR α/2 1−α

RA

Unilateral à direita H1: µ > 600 RA

RR α/2

1−α

RR

1−α

α

Chama-se potência de um teste à probabilidade de rejeitar H0 quando esta é falsa. Esta é uma decisão certa, não implica erro, e é complementar do erro de 2ª espécie. Logo, quanto menor o erro de 2ª espécie, maior será o valor da potência do teste e, logo, maior a sua qualidade (diz-se que o teste é mais potente) . Quando H1 é uma hipótese composta (>, < ou ≠ ), a potência do teste é variável, dependendo do valor do parâmetro que não é fixo. Nesse caso falase em função potência do teste = 1 -β (µ1)

Resumindo: passos para construção de um teste de hipóteses: Passo No 1: Formular as hipóteses nula e alternativa Passo No 2: Decidir qual estatística (estimador) será usada para julgar a Ho e a variável de decisão Passo No 3: Definir a forma da Região Crítica, em função da hipótese H1 Passo Nº 4: Fixar o nível de significância Passo Nº 5: Construir a Região Crítica em função do nível de significância Passo Nº 6: Cálculo (eventual) da potência do teste Passo Nº 7: Calcular a estatística da amostra Passo No 8: Tomar a decisão: rejeição ou não de Ho


94


TESTES DE HIPÓTESES

Exercícios

Exercício 1

Suponha que o director de qualidade pretende averiguar se o peso dos pacotes de arroz produzidos corresponde ao valor assinalado na embalagem. Seja X a variável que representa o peso de um pacote de arroz. Suponha que X ∩ N ( µ ;0,012 ) e que se conhece a seguinte amostra:

1,02 0,98 0,97 1,01 0,97 1,02 0,99 0,98 1,00 Será que, para um nível de significância de 5% se pode dizer que o peso médio corresponde ao peso de 1 kg assinalado na embalagem? Resolução

Passo 1

Formular as hipóteses: Ho: µ = 1 H1: µ < 1 Passo 2

A estatística a ser utilizada será a média amostral Passo 3

A região crítica é formada por todos os valores menores ou iguais a c Passo 4

Assumir um nível de significância de 5% Passo 5

Para α=5%, determinar a região de rejeição e aceitação. Logo, sendo P(Rejeitar Ho / Ho) = α = 5%, vem que

P ( X < c / µ = 1) = 0,05 ⇔ P (

X −µ

σ

n

<

c −1 ) = 0,05 ⇔ 0,01 9

0,01 = 0,9945 3 Logo, RC = ]− ∞;0,9945] ⇔ c = 1 − 1,645 x


95


Passo 6

Calcular a estatística X =

1 9

xi = 0,9933

Passo 7 Tomar a decisão

Como o valor da amostra foi 0,9933 e é menor que o valor crítico 0,9945, rejeita-se Ho Ou seja, considera-se que o arroz contido em cada pacote era inferior ao indicado. No entanto, há o risco de se mandar parar a produção para revisão do equipamento sem necessidade. Reduzindo a probabilidade de isso ocorrer de 5% para 1%, vem:

α=1% RR: Parar a produção

-∞

0

α=5% RA: Continuar a produção

0,9922 0.9945

+∞

Valor da amostra: 0,9933 A única mudança será no Valor Crítico, que de 0,9945 para 0,9922. Neste caso, aceitaremos Ho, ou seja, consideraremos que não há qualquer anomalia na produção. Exercício 2

Numa cidade, pretende-se saber se metade da população é favorável à construção de um centro comercial. Faz-se um inquérito a 200 pessoas, e 45% declaram-se favoráveis. Estes valores contradizem a hipótese? Resolução

Passo 1

Formular as hipóteses: Ho: p = 0,5 H1: p < 0,5 Estatística Aplicada

96


Passo 2

A estatística a ser utilizada será a proporção amostral, onde o cuidado deve ser trabalhar com grandes amostras. Passo 3

A região crítica é formada por todos os valores menores ou iguais a c Passo 4

Assumir um nível de significância de 5% Passo 5

Para α=5%, determinar a região de rejeição e aceitação. Logo, sendo P(Rejeitar Ho / Ho) = α = 5%, vem que

P ( pˆ < c / p = 0,5) = 0,05 ⇔ P (

⇔ c = 0,5 − 1,645 x

pˆ − p

p (1 − p ) n

0,5(1 − 0,5) = 0,442 200

<

c − 0,5 0,5(1 − 0,5) 200

) = 0,05 ⇔

Logo, RC = ]− ∞;0,442]

Passo 6 pˆ =0,45

Passo 7

Como o valor amostral 0,45 é maior que o valor crítico 0,442, não se rejeita Ho

RR: Não construir o centro comercial

α=5% RR: Parar a construção

-∞

0

RA: Decidir pela construção

+∞ Valor amostral: 0,45 0,442

Ou seja, apesar de apenas 45% dos habitantes se terem manifestado a favor da construção do centro comercial, essa margem não é suficiente para decidir deixar de o construir.


97


Exercício 3

O peso dos pacotes de farinha de 1 kg, produzidos por uma fábrica, é uma variável normalmente distribuída, com desvio padrão 0,01. Da produção de determinado dia é retirada uma amostra de 49 pacotes, com peso médio de 0,998 Kg. Pode-se afirmar, a um nível de significância de 1%, que o peso médio dos pacotes de farinha nesse dia não está de acordo com o peso indicado? Resolução

X segue N(µ; 0,012) n = 49

x = 0,998 α = 1%

H0: µ = 1 H1: µ < 1 P(Rejeitar Ho/Ho verdadeira) = α = 1% P ( X ≤ c / µ = 1) = 0,01 ⇔ P (

X −µ

σ

n

≤

c −1 c −1 ) = 0,01 ⇔ = −2,326 ⇔ c = 0,997 0,01 0,01

49

49

Como x = 0,998 > c = 0,997, não pertence à região crítica, logo não se rejeita Ho a um nível de significância de 1% (não se pode afirmar que o peso médio não esteja de acordo com o indicado).

Exercício 4

Numa região onde existem entre os maiores de 18 anos 50% de fumadores, é lançada uma intensa campanha anti-tabaco. Ao fim de três meses, realiza-se um mini-inquérito junto de 100 cidadãos com mais de 18 anos, registando-se 45 fumadores. a) Com 1% de significância, pode concluir-se que a campanha surtiu efeito? b) Em caso negativo, qual seria a dimensão da amostra a partir da qual aquela percentagem permitiria afirmar que a cmapnha atingiu o fim em vista? Estatística Aplicada

98


a) n = 100 pˆ = 0,45

α = 1%

H0: p = 0,5 (a campanha não surtiu efeito) H1: p < 0,5 (a campanha surtiu efeito) P(Rejeitar Ho/Ho verdadeira) = α = 1% P ( X ≤ c / p = 0,5) = 0,01 ⇔ P (

pˆ − p p (1 − p ) n

≤

c − 0,5

0,5 * 0,5 100

) = 0,01 ⇔

c − 0,5

0,5 * 0,5 100

= −2,326 ⇔ c = 0,384

Como pˆ = 0,45 > c = 0,384, não pertence à região crítica, logo não se rejeita Ho a um nível de significância de 1% (a campanha não surtiu efeito).

b) P( X ≤ 0,45 / p = 0,5) = 0,01 ⇔ P(

⇔

pˆ − p 0,45 − 0,5 ≤ ) = 0,01 ⇔ p(1 − p) 0,5 * 0,5 n n

0,45 − 0,5 = −2,326 ⇔ n = 541 0,5 * 0,5 n

Exercício 5

Um fabricante afirma que o tempo médio de vida de um certo tipo de bateria é de 240 horas, com desvio-padrão de 20 horas. Uma amostra de 18 baterias forneceu os seguintes valores: 237

242

232

242

248

230

244

243

254

262

234

220

225

236

232

218

228

240

Supondo que o tempo de vida das baterias se distribui normalmente, poder-se-á concluir, a 5% de significância, que as especificações não estão a ser cumpridas?


99


X segue N(µ; 202) n = 18

x =

1 18

xi = 237,05

α = 5%

H0: µ = 240 H1: µ < 240 P(Rejeitar Ho/Ho verdadeira) = α = 1% P ( X ≤ c / µ = 240) = 0,05 ⇔ P (

X −µ

σ

≤

n

c − 240 c − 240 ) = 0,05 ⇔ = −1,645 ⇔ c = 232,25 20 20

18

18

Como x = 237,05 > c = 232,25, não pertence à região crítica, logo não se rejeita Ho a um nível de significância de 1% (não se pode afirmar que as especificações não estão a ser cumpridas).

Exercício 6

Uma empresa de cerâmica tem, em dada secção, fornos controlados por termóstatos para manter a temperatura no interior dos fornos a 600 graus centígrados. A experiência tem demonstrado que a variância dos valores da temperatura no interior desses fornos é de 360. A empresa fornecedora dos fornos comercializa agora um novo tipo de controlador, que é anunciado como garantindo que as temperaturas se mantêm dentro do limite desejado. Foram registadas 5 medidas de temperatura de fornos regulados para 600º, utilizando novos controladores: 620º 595º 585º 602º 608º Para 5% de significância, poder-se-á concluir que a temperatura não se afasta significativamente do valor desejado? Resolução

X segue N(µ;360) n=5


100


x =

1 5

xi = 602

α = 5%

H0: µ = 600 H1: µ > 600 P(Rejeitar Ho/Ho verdadeira) = α = 5%

P( X ≥ c / µ = 600) = 0,05 ⇔ P(

X −µ

σ

≤

c − 600

n

360 5

) = 0,95 ⇔

c − 600 = 1,645 ⇔ c = 613,96 18,97 5

Como x = 602 < c = 613,96, não pertence à região crítica, logo não se rejeita Ho a um nível de significância de 1% (a temperatura não se afasta significativamente do valor desejado).

Exercício 7

O peso dos ovos de chocolate produzidos numa fábrica segue distribuição normal com variância 90,25. a) O fabricante diz que o peso médio é de 160 g. Foi recolhida uma amostra de 100 ovos, cujo peso médio foi de 158, 437 g. Teste, a um nível de significância de 1%, se a afirmação do fabricante pode ser considerada verdadeira, ou se, pelo contrário, o verdadeiro peso dos ovos será menor. b) Qual o nível de significância a partir do qual a conclusão seria diferente? Resolução

a) X segue N(µ; 90,25) n = 100

x = 158,437 α = 1%

H0: µ = 160 H1: µ < 160 P(Rejeitar Ho/Ho verdadeira) = α = 1%


101


P ( X ≤ c / µ = 160) = 0,01 ⇔ P (

X −µ

≤

σ

c − 160

90,25

n

) = 0,01 ⇔

c −1 = −2,326 ⇔ c = 157,79 9,5

100

100

Como x = 158,437 > c = 157,79, não pertence à região crítica, logo não se rejeita Ho a um nível de significância de 1% (a afirmação do fabricante pode ser considerada verdadeira). b) P ( X ≤ 158,437 / µ = 160) = α ⇔ P (

X −µ

σ

≤

158,437 − 160 90,25

n

) = α ⇔ F (−1,645) = α ⇔ α = 5%

100

Exercício 8

Um jornal semanário afirma ter atingido, numa região, a percentagem, até então nunca atingida por qualquer semanário, de 60% de leitores que regularmente compram um jornal desse tipo. Efectuando um inquérito junto de 600 leitores, 55% declararam adquirir, por hábito, o semanário em causa. Adoptando um nível de significância de 1%, pronuncie-se quanto à projecção que o semanário reclama. Resolução

n = 600

pˆ = 0,55

α = 1%

H0: p = 0,6 H1: p < 0,6 P(Rejeitar Ho/Ho verdadeira) = α = 1% P ( X ≤ c / p = 0,6) = 0,01 ⇔ P (

pˆ − p p (1 − p ) n

≤

c − 0,6

0,6 * 0,4 600

) = 0,01 ⇔

c − 0,6

0,6 * 0,4 600

= −2,326 ⇔ c = 0,5535

Como pˆ = 0,55 < c = 0,5535, pertence à região crítica, logo rejeita-se Ho a um nível de significância de 1% (o semanário não atingiu a projecção que reclama). Estatística Aplicada

102


Exercício 9

Um molde de injecção tem produzido peças de um determinado material isolante térmico com uma resistência à compressão com valor esperado de 5,18 kg/cm2 e variância 0,0625 (kg/cm2)2. As últimas 12 peças produzidas nesse molde foram recolhidas e ensaiadas, tendo-se obtido para a resistência média à compressão o valor de 4,95 kg/cm2. a) Poder-se-á afirmar, a um nível de significância de 5%, que as peças produzidas recentemente são menos resistentes do que o habitual? b) Qual a potência do teste efectuado anteriormente, admitindo que o valor esperado

da

resistência

à

compressão

das

peças

produzidas

2

recentemente é de 4,90 kg/cm ? Resolução

a) X segue N(µ; 0,0625) n = 12

x = 4,95 α = 5%

H0: µ = 5,18 H1: µ < 5,18 P(Rejeitar Ho/Ho verdadeira) = α = 5% P ( X ≤ c / µ = 5,18) = 0,05 ⇔ P (

X −µ

σ

≤

c − 5,18

0,0625

n

12

) = 0,05 ⇔

c − 5,18 = −1,645 ⇔ c = 5,061 0,25

12

Como x = 5,18 > c = 5,061, não pertence à região crítica, logo não se rejeita Ho a um nível de significância de 1% (as peças produzidas recentemente não são menos resistentes do que o habitual). b) Potência = 1-β β = (Conservar Ho/H1 verdadeira) P ( X > 5,061 / µ = 4,9) = P (

X −µ

σ

n


>

5,061 − 4,9 0,0625

) = 1 − F (0,01) = 1 − 0,5040 = 49,6%

12

103


Exercício 10

Um jornal desportivo noticiou que o número de espectadores de um programa desportivo que é apresentado na televisão aos domingos à noite está igualmente dividido entre homens e mulheres. De uma amostra aleatória de 400 pessoas que vêem regularmente o referido programa, concluiu-se que 240 são homens. Pode-se concluir, para um nível de significância de 10%, que a notícia é falsa? Resolução

n = 400

pˆ = 0,6

α = 10%

H0: p = 0,5 H1: p > 0,5 P(Rejeitar Ho/Ho verdadeira) = α = 10% P ( X ≥ c / p = 0,5) = 0,1 ⇔ P (

pˆ − p p (1 − p ) n

≤

c − 0,5

0,5 * 0,5 400

) = 0,9 ⇔

c − 0,5

0,5 * 0,5 400

= 1,282 ⇔ c = 0,53205

Como pˆ = 0,6 > c = 0,53205, pertence à região crítica, logo rejeita-se Ho a um nível de significância de 1% (a notícia é falsa).


104


3.6. Aplicações estatísticas Fiabilidade de componentes e sistemas 3.6.1 Conceito de fiabilidade

Define-se fiabilidade como sendo a probabilidade de um sistema (ou componente) desempenhar a função para a qual foi concebido, nas condições previstas e nos intervalos de tempo em que tal é exigido. A análise da fiabilidade será, então, um método de quantificar o que se espera que aconteça e pode ser usada para indicar méritos relativos de sistemas, tendo em atenção um pré-definido nível de fiabilidade. A fiabilidade de um componente pode ser obtida a partir da sua taxa de avarias. Se um sistema fôr constituído por vários componentes, então a fiabilidade será dependente da fiabilidade dos componentes que compõem esse mesmo sistema. É necessário, quando se apresentam os resultados de um estudo de fiabilidade saber expô-los, pois os interpretadores poderão não ter a noção daquilo que se está a querer transmitir. Assim, dizer que a fiabilidade de um sistema ou componente é de 0,998 pode não significar muito; no entanto, se tal facto fôr traduzido em que, por ano, o sistema em questão estará fora de serviço por avaria num período de 9 horas já significa alguma coisa. Como o estudo da fiabilidade se trata de um estudo extremamente importante, pois que muitas vezes estão em jogo vidas humanas, é importante desenvolver um estudo de probabilidade relativo ao funcionamento adequado de um componente ou sistema.

3.6.2 Fiabilidade de um sistema

Ao analisar a fiabilidade de um sistema constituído por vários componentes, é necessário estudar a fiabilidade desses componentes e a forma como estão ligados (estrutura do sistema e definição do funcionamento do sistema). De seguida, são apresentados 3 casos: (i) as associações de componentes em


105


paralelo; (ii) a associação de n unidades idênticas em paralelo em que é apenas necessário o funcionamento de m (m<=n) para o sistema funcionar; (iii) e as associações em série.

(i) Associação em paralelo

Consideremos vários componentes redundantes e independentes:

1

2

3

4

Uma vez que os componentes são redundantes, basta apenas um para que o sistema funcione. Considerando um sistema composto por apenas 2 componentes, se cada um dos componentes estiver no seu período de vida útil, a fiabilidade do sistema (Rs) é dada por: Rs

= P (funcionar pelo menos um componente) = P (funcionarem 1 ou 2 componentes) = 1 – P (não funcionar nenhum) = 1 – P (não funcionar comp.1 e não funcionar comp.2) = 1 - P (não funcionar comp.1) x P(não funcionar comp.2) pois o funcionamento é independente = 1 – q1 x q2

onde q1 e q2 são, respectivamente as indisponibilidades (isto é, as probabilidades de não funcionamento) das componentes 1 e 2. Se houver n componentes ligadas em paralelo, a fiabilidade do sistema é dada por Rs = 1 - q1 x q2 x q3 x … x qn = 1 -

∏q

i

i


106


Veja-se que, no caso de sistemas redundantes, a fiabilidade do sistema aumenta à medida que aumenta o número de componentes ligadas ao sistema (que representam como garantias de funcionamento adicionais).

(ii) Associação em paralelo de componentes não redundantes

Se o sistema não fôr redundante, as condições de funcionamento e de avaria para o sistema têm de ser definidos, isto é, é necessário saber qual o número mínimo de componentes que necessitam de estar em funcionamento para que o sistema sobreviva. Para o efeito, vai considerar-se de novo um sistema composto por quatro componentes em paralelo. Se as componentes forem todas iguais, com probabilidade de funcionamento p e de indisponibilidade q, a probabilidade associada a cada um dos estados possíveis (1, 2, 3 ou 4 componentes, no mínimo, a funcionar), a fiabilidade do sistema é dada pelo quadro seguinte: Nº mínimo de componentes necessárias ao funcionamento do sistema 4 3 2 1

Probabilidade de o sistema funcionar p4 p4 + 4p3q 4 p + 4p3q + 6p2q2 p4 + 4p3q + 6p2q2 + 4pq3

Ou seja, a fiabilidade do sistema funcionar pode ser calculada recorrendo à lei binomial. Assim, por exemplo, para um nº mínimo de 3 componentes necessárias, vem: Rs

= P(pelo menos 3 componentes a funcionar) = P(funcionarem as 4) + P (funcionarem 3) = C 44 p 4 q 4− 4 + C 34 p 3 q 4−3 = p 4 + 4 p3q

Por exemplo, se todos os componentes tivessem fiabilidade 0,9 (p=0.9), então a fiabilidade de um sistema deste tipo seria 94,77%.


107


(iii) Associação em série

Quando os componentes se encontram associados em série, para que o sistema funcione torna-se necessário que todos os componentes se encontrem em bom estado de funcionamento.

1

2

3

No caso mais vulgar de os componentes serem independentes, a fiabilidade do sistema é dada por Rs = p1 x p2 x p3 x ... x pn No caso de todas as componentes serem iguais Rs = pn Facilmente se depreende que a fiabilidade do sistema diminui à medida que aumenta o número de componentes ligadas em série. A distribuição exponencial é a mais usada em estudos de fiabilidade, já que a probabilidade de um componente sobreviver até ao instante t é dada por

e − λt A probabilidade de avariar até ao instante t é dada por

1 − e − λt Num sistema com várias componentes em série, em que o componente se encontra a funcionar no seu período de vida útil, a fiabilidade do sistema é dada por

Rs = e

−

n i =1

λi t

(iv) Outros sistemas

Quando a estrutura do sistema não puder ser enquadrada em nenhuma das anteriores, terão que ser analisadas técnicas mais gerais, tais como a árvore de avarias. O método consiste basicamente em identificar todos os modos

possíveis de avaria e controlá-los. Assim, supondo que se pretende analisar a fiabilidade da iluminação de uma sala com uma lâmpada.


108


Se o objectivo fôr calcular a probabilidade de falta de energia (acontecimento secundário) vem P (avaria) = P (A ∪ B) = P (A) + P(B) + P(A)xP(B) Para o acontecimento prioritário (sala às escuras) vem: P(sala às escuras) = P(falta de energia ∪ lâmpada estragada) Esta metodologia pode ser aplicada a estudos de fiabilidade de sistemas de protecção e esquemas de comando (fiabilidade de mísseis e reactores nucleares, por exemplo). Sala às escuras

Falta de energia

Avaria na rede


Lâmpada estragada

Actuação da protecção

109


3.7. Aplicações estatísticas Controlo Estatístico de Qualidade

É do conhecimento geral que nenhum processo de produção executa dois produtos iguais. Os processos industriais são caracterizados por produzirem peças cujas características variam dentro de certos valores toleráveis. As variações são inevitáveis, podendo ser grandes, pequenas, muito ou pouco dispersas. O conhecimento do tipo, da extensão e da evolução dessas variações é extremamente importante para podermos garantir que nos é possível produzir produtos que vão cumprir as especificações, para eles definidas, a um nível aceitável. Os testes descritos anteriormente referiam-se em situações em que o estudo não era cronológico. É simples imaginar situações onde, pelo contrário, o processo a analisar deva ser monitorado ao longo do tempo. Situações deste tipo ocorrem em linhas de fabrico de produtos, estudos de conservação de materiais e máquinas, qualidade de serviços. Duma forma geral, entende-se por controle de qualidade a monitorização de um processo, cujos resultados de natureza quantitativa se devem encontrar dentro de determinados limites. Um processo está sob controle se os resultados estão em conformidade com os limites impostos; caso contrário, o processo deve ser investigado para que sejam detectadas as causas do desvio. A "qualidade" pode referir-se a um valor fixo, que constitui o objectivo desejado (por exemplo, a conformidade da média relativamente a "limites normais"). A avaliação do processo implica, que em certos intervalos de tempo se proceda a uma amostragem. O controlo estatístico de qualidade permite uma intervenção nos processos, no sentido de se ajustarem e corrigirem os processos, antes de qualquer alteração não natural passar a fazer efeito de forma contínua. As cartas de controlo são um instrumento poderoso que permite identificar as causas de variação não natural nos processos. Ao definir uma carta de controle para a média, é necessário começar por definir a norma para µ (µ0) e 2 níveis de controle: os de vigilância “garantida” (limites


110


inferior e superior de vigilância: LIV e LSV) e os de controle (limites inferior e superior de controle: LIC e LSC). Se a média amostral cair fora da área de tolerância definida pelos LIC e LSC, é por que há alguma anomalia e deve haver paragem da produção. Supõe-se que a variável em estudo segue Distribuição Normal, sendo os LIC e LSC calculados da seguinte forma: LIC / LSC = µ0 +/-

cσ

n (metodologia baseada na estimação por intervalos estudada atrás)

Ao definir uma carta de controle para a proporção, por exemplo, de defeituosos, é necessário começar por definir a norma para p (p0) e 2 níveis de controle: os de vigilância “garantida” (limites inferior e superior de vigilância: LIV e LSV) e os de controle (limites inferior e superior de controle: LIC e LSC). Se a proporção amostral cair fora da área de tolerância definida pelos LIC e LSC, é por que há alguma anomalia e deve haver paragem da produção. Os LIC e LSC calculados da seguinte forma:


111


pˆ (1 − pˆ ) n (metodologia baseada na estimação por intervalos estudada atrás) As cartas de controlo são instrumentos fáceis e simples de aplicar pelos LIC / LSC = p0 +/-

executantes, no sentido de se obter o controlo contínuo do processo. Podem ser traçadas nos próprios locais de trabalho, dando informações preciosas sobre os momentos em que são necessárias acções correctivas. Desde que o processo esteja sob controlo estatístico, as cartas de controlo permitem prever de forma adequada o comportamento do processo, e melhorar os processos, com base na informação disponível nas cartas, no sentido de reduzir a sua variabilidade. As cartas são elaboradas a partir de medições efectuadas de uma característica do processo (a média, por exemplo). Os dados são obtidos de amostras de tamanho constante, geralmente 3 ou 5 unidades, recolhidas consecutivamente em intervalos de tempo constantes. Deve ser elaborado um plano de recolha de dados, que deverá ser usado como base para a colheita, registo e marcação dos dados no gráfico. As amostras a utilizar devem ser de tamanho racional, isto é, devem ser eficazes para o controlo sem acarretar esforço demasiado e desnecessário na colheita. A interpretação dos limites de controlo é a seguinte: se a variabilidade peça a peça do processo permanecesse constante e nos níveis encontrados, seria legítimo concluir que na base de um ponto fora dos limites de controlo estariam causas que importa conhecer e sanear. Um ponto fora do controlo deve merecer uma análise imediata quanto à causa. Pode ser mantido um registo das médias amostrais por meio de uma carta como a representada na figura abaixo, denominada carta de controle de qualidade. Cada vez que for calculada uma média amostral, ela será representada por um ponto particular. Enquanto eles caírem entre o limite inferior e o superior, o processo está sob controle. Quando um ponto estiver fora desses limites de


112


controle (como ocorreu com a terceira amostra tomada na quinta-feira), há a possibilidade de haver alguma anomalia, o que justifica uma investigação. Os limites de controlo especificados são denominados de limites de confiança. A escolha, em cada caso, depende das circunstâncias particulares de cada processo. Média Amostral (cm)

Segunda-feira

LSuperior •

•

•


•

•

50 LInferior

Terça-feira

•

•

Quarta-feira

• • •

•

Quinta-feira

• • •

•

• •

• •

Sexta-feira

• • •

•

•

•

•

113


3.8. Aplicações estatísticas Tratamento estatístico de inquéritos 3.8.1 Teste de independência do qui-quadrado

O teste do

é muito eficiente para avaliar a associação existente entre

variáveis qualitativas. Trata-se de um teste de hipóteses semelhante aos anteriormente estudados, mas que se inclui na categoria dos testes nãoparamétricos, isto é, aqueles que não incidem explicitamente sobre um parâmetro de uma ou mais populações (por exemplo, o valor esperado ou a proporção, como os estudados anteriormente). No entanto, a lógica de formulação das hipóteses e de definição de uma regra de decisão é equivalente aos testes paramétricos. O princípio básico deste método nãoparamétrico é comparar as divergências entre as frequências observadas e as esperadas. Este teste encontra aplicabilidade no tratamento estatístico de inquéritos. De facto, para além do tratamento frequencista dos inquéritos, é por vezes interessante aferir da existência de relações estatísticas relevantes entre as diversas questões (por exemplo, testar se há alguma coerência entre quem respondeu à opção 1 da pergunta X e à opção 2 da pergunta Y). O estudo destas relações encontra aplicabilidade no campo das análises de mercado, em que o objectivo é proceder à sua segmentação. A existência de associações entre as questões permite determinada um vector comum entre grupos de inquiridos que responderam de forma semelhante a certo tipo de questões (concluir algo como que os habitantes de uma dada área foram sempre os que assinalaram determinado tipo de respostas e constituem, por isso, um segmento geográfico autónomo e com características próprias de entre o total dos inquiridos). De uma maneira geral, pode dizer-se que dois grupos se comportam de modo semelhante se as diferenças entre as frequências observadas e as esperadas em cada categoria forem muito pequenas ou próximas de zero.


114


Exemplo: Um pesquisador deseja verificar se há associação entre três cursos de uma

universidade e dependência de drogas. Entrevistou 120 alunos, sendo 25 de Medicina, 35 de Farmácia e 60 de Biologia, perguntando sobre o uso de drogas, admitindo somente duas respostas: sim ou não. Após o processamento dos dados, chegou-se à seguinte tabela de distribuição de frequências: Medicina

Farmácia

Biologia

Total

Usa drogas

10

20

30

60

Não usa drogas

15

15

30

60

Total

25

35

60

120

As tabelas como aquela na qual se apresentam os resultados referentes ao exemplo são habitualmente designadas de tabelas de contingência. Admitase que os resultados que nela figuram resultam de amostras aleatórias. Tais resultados representam o número de observações incluídas nas diferentes combinações das classes nas quais as duas variáveis em estudo se exprimem. Mod. 1

Mod. 2

…

Mod. n

Total

Modalidade 1

n11

n12

…

…

n1.

Modalidade 2

n21

n22

…

…

n2.

…

…

…

…

…

…

Modalidade n

…

…

…

nnn

ni.

Total

n.1

n.2

…

n.j

n

onde nij: frequência observada na célula ij n.j: frequência marginal observada na modalidade j ni.: frequência marginal observada na modalidade i n: dimensão da amostra


115


O objectivo do teste é o de verificar se as duas variáveis em questão são ou não relacionadas. As hipóteses nula e alternativa são então as seguintes: Ho: As variáveis são independentes H1: As variáveis não são independentes As frequências observadas são obtidas directamente dos dados da amostra, enquanto que as frequências esperadas são calculadas a partir destas, sob o pressuposto de que Ho é verdadeira, isto é, admitindo a hipótese de independência. Na prática, a frequência esperada é calculada pela multiplicação do total da coluna respectiva pelo total da linha a que pertence, dividindo-se o produto pela dimensão total da amostra: eij =

O

n i . * n. j n

é calculado da seguinte forma: (nij − eij ) 2

= i

j

eij

Note-se que o numerador faz referência à diferença entre frequência observada e frequência esperada, que deverá ser calculada para cada célula da tabela. Quando as frequências observadas são muito próximas das esperadas, o valor do numerador é pequeno; no entanto, quando as discrepâncias são grandes, o valor do numerador passa a ser grande e, consequentemente, o

assume

valores altos. Ou seja, quando há fortes discrepâncias entre o que de facto foi observado e o que seria de esperar sob a hipótese de independência, a variável de decisão

assume um valor elevado e há motivos ou significância

estatística para rejeitar Ho.

No teste qui-quadrado compara-se o valor

calculado com o valor crítico

fornecido em uma tabela, considerando o nível de significância adoptado e os graus de liberdade GL ou d.f. (obtidos por (número de linhas-1)*(número de colunas-1)).


116


Tome-se o caso de GL (d.f.) = 4:

Para

o

nível

de

significância

tabela de valores críticos da

Rejeita-se a hipótese nula se

de

5%,

obtém-se

da

(ver página seguinte):

for maior que o valor crítico fornecido na

tabela. Resolução: Como pode ser observado, entre os 120 alunos incluídos no estudo há um

número igual (60) que afirma usar e não usar drogas. No entanto, a distribuição entre os vários cursos não ocorre de forma homogénea. Medicina

Farmácia

Biologia

Total

Usa drogas

10

20

30

60

Não usa drogas

15

15

30

60

Total

25

35

60

120

Os dados são do tipo qualitativo, pois cada aluno entrevistado foi classificado sob uma determinada categoria. Neste caso, pode usar-se o teste do quiquadrado com duas hipóteses de trabalho: Ho: Não há associação entre tipo de curso e dependência de drogas H1: Há associação entre tipo de curso e dependência de droga


117


Se o

obtido fôr maior ou igual ao

Para o cálculo do

crítico, Ho deverá ser rejeitada.

recomendam-se os seguintes passos:

1. Calcular as frequências esperadas eij =

n i . * n. j n

Por exemplo, se as duas variáveis fossem independentes, seria de esperar que o número de estudantes de Medicina a admitir usar drogas fosse de: eij =

ni. * n. j

=

n

25 * 60 = 12,5 120

2. As frequências esperadas deverão ser anotadas nas correspondentes células: Usa drogas Não usa drogas

Medicina

Farmácia

Biologia

Total

nij

10

20

30

60

eij

12,5

17,5

30,0

nij

15

15

30

eij

12,5

17,5

30,0

25

35

60

Total

3. A seguir aplica-se a fórmula

(nij − eij ) 2

= i

j

eij

60 120

= …=1,7

4. Determinam-se os graus de liberdade na tabela Os graus de liberdade da tabela são calculados multiplicando (número de linhas-1)*(número de colunas-1)= (2-1)*(3-1)=2 GL 5. Por último, compara-se o valor do

observado obtido (1,7) com o valor do

crítico, considerando os graus de liberdade (GL) e o nível de significância adoptado (ver tabela anexa). Vem que o

obsv.=1,7 é menor do que o valor obtido a partir da tabela, que

é 5,991 (cruzamento da linha 2 com a coluna 0,05). Assim sendo, a hipótese Ho não pode ser rejeitada, concluindo-se que, no grupo estudado, não há associação entre as variáveis. Em média, a proporção de alunos que usam ou não drogas não varia entre os cursos.


118


Observação: Caso 20% ou mais das células tenham frequências esperadas menores que 5, ou haja uma ou mais frequências esperadas com valores menores ou igual a 1, não se deve usar o teste do

. Uma boa alternativa para estes casos é o

agrupamento de linhas e colunas adjacentes, desde que tenha algum sentido lógico, de modo a diminuir os graus de liberdade associados.


119


! " ! #$&%'($ )"*+, - ./0120

0.995

0.975

0.9

0.5

0.1

0.05

0.025

0.01

0.005

0.001

1

0.000

0.001

0.016

0.455

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879 10.827

2

0.010

0.051

0.211

1.386

4.605

5.991

7.378

9.210 10.597 13.815

3

0.072

0.216

0.584

2.366

6.251

7.815

9.348 11.345 12.838 16.266

4

0.207

0.484

1.064

3.357

7.779

9.488 11.143 13.277 14.860 18.466

5

0.412

0.831

1.610

4.351

9.236 11.070 12.832 15.086 16.750 20.515

6

0.676

1.237

2.204

5.348 10.645 12.592 14.449 16.812 18.548 22.457

7

0.989

1.690

2.833

6.346 12.017 14.067 16.013 18.475 20.278 24.321

8

1.344

2.180

3.490

7.344 13.362 15.507 17.535 20.090 21.955 26.124

9

1.735

2.700

4.168

8.343 14.684 16.919 19.023 21.666 23.589 27.877

10

2.156

3.247

4.865

9.342 15.987 18.307 20.483 23.209 25.188 29.588

11

2.603

3.816

5.578 10.341 17.275 19.675 21.920 24.725 26.757 31.264

12

3.074

4.404

6.304 11.340 18.549 21.026 23.337 26.217 28.300 32.909

13

3.565

5.009

7.041 12.340 19.812 22.362 24.736 27.688 29.819 34.527

14

4.075

5.629

7.790 13.339 21.064 23.685 26.119 29.141 31.319 36.124

15

4.601

6.262

8.547 14.339 22.307 24.996 27.488 30.578 32.801 37.698

16

5.142

6.908

9.312 15.338 23.542 26.296 28.845 32.000 34.267 39.252

17

5.697

7.564 10.085 16.338 24.769 27.587 30.191 33.409 35.718 40.791

18

6.265

8.231 10.865 17.338 25.989 28.869 31.526 34.805 37.156 42.312

19

6.844

8.907 11.651 18.338 27.204 30.144 32.852 36.191 38.582 43.819

20

7.434

9.591 12.443 19.337 28.412 31.410 34.170 37.566 39.997 45.314

21

8.034

10.283 13.240 20.337 29.615 32.671 35.479 38.932 41.401 46.796

22

8.643

10.982 14.041 21.337 30.813 33.924 36.781 40.289 42.796 48.268

23

9.260

11.689 14.848 22.337 32.007 35.172 38.076 41.638 44.181 49.728

24

9.886

12.401 15.659 23.337 33.196 36.415 39.364 42.980 45.558 51.179

25 10.520 13.120 16.473 24.337 34.382 37.652 40.646 44.314 46.928 52.619 26 11.160 13.844 17.292 25.336 35.563 38.885 41.923 45.642 48.290 54.051 27 11.808 14.573 18.114 26.336 36.741 40.113 43.195 46.963 49.645 55.475 28 12.461 15.308 18.939 27.336 37.916 41.337 44.461 48.278 50.994 56.892 29 13.121 16.047 19.768 28.336 39.087 42.557 45.722 49.588 52.335 58.301 30 13.787 16.791 20.599 29.336 40.256 43.773 46.979 50.892 53.672 59.702


120


FIABILIDADE

Exercícios

Exercício 1

Num centro comercial, está instalado um sistema de 10 máquinas para utilização de cartão multibanco. Diz-se que o sistema está em funcionamento se pelo menos uma das máquinas funciona. Suponha que cada máquina funciona independentemente das outras e a probabilidade de funcionamento de cada máquina é 85%. Calcule a probabilidade do sistema estar em funcionamento. Resolução

P(avaria) = 1-0,85 = 15% P(sistema estar em funcionamento) = 1 – P(sistema avariar) = 1 – P(nenhuma das máquinas funcionar) = 1 – P(maq1 não funcionar e...e maq 10 não funcionar) = 1 – 0,15*0,15*...*0,15 = 1 (aproximadamente)

2. Quatro componentes de um sistema encontram-se associados de acordo com a figura junta. Estão no seu período de vida útil e as taxas médias de avarias são 10-4 avarias/hora (A), 2x10-5 avarias/hora (B e C) e 5x10-5 avarias/hora (D). B A

D C

Calcule a probabilidade do sistema estar em funcionamento após 5 000 horas. Resolução

A: Rs = e

−10−4 *5000

D: Rs = e

− ( 5*10−5 ) *5000


= e −0,5 = 60,6531% = e −0, 25 = 77,8801%

121


B e C: Rs = e

− ( 2*10−5 ) *5000

= e −0,1 = 90,4837%

P(funcionar 1 ou 2) = 1-P(funcionar nenhuma) = 1 – (1-0,904837)2 = 99,0944% Logo, P(sistema estar em funcionamento após 5 000 horas) = = 0,606531*0,990944*0,778801 = 46,8%

Exercício 3

Foram ensaiadas durante 3 000 horas, sem que se verificasse qualquer avaria, cinco unidades idênticas de um equipamento que se sabe ter uma curva de sobrevivência que obedece a uma distribuição exponencial, com um MTBF de 17 500 horas. Calcule a fiabilidade do equipamento. Resolução

X: tempo de funcionamento sem avarias da máquina (em horas) (isto é, tempo que decorre entre avarias consecutivas (em horas)) X segue Exp(α=1/17500) MTBF = 17500 Y: nº de avarias no intervalo [0,3000] horas

Rs = e

−

3000 17500

= e −0,171429 = 84,25%

Exercício 4

O tempo de funcionamento sem avarias de uma determinada máquina de produção contínua segue uma lei exponencial negativa com valor esperado igual a 4,5 horas. Imagine que a máquina é (re)colocada em funcionamento no instante t=0 horas. a) Qual a probabilidade de não ocorrerem avarias antes do instante t=6 horas? b) Admitindo que a máquina se encontrava em funcionamento no instante

t=4 horas, qual a probabilidade de não ocorrerem avarias até t=6 horas? c) Qual a probabilidade de se verificarem 2 avarias durante as primeiras 6

horas de funcionamento da máquina?


122


a) X: tempo de funcionamento sem avarias da máquina (em horas) (isto é, tempo que decorre entre avarias consecutivas (em horas)) X segue Exp(α=1/4,5)

MTBF = 4,5

P(X ≥ 6) = 1 − P ( X < 6) = 1 −

6 0

1

6

− 1 − 4,5 e dx = e 4,5 = 26,4% 4,5

Ou considerando Y: nº de avarias no intervalo [0,6] horas, como Y segue Po(1/4,5), vem que P(X ≥ 6) = P(Y=0) = e-λt = e-(1/4,5)t = e-(6/4,5) = 26,4%

−

6

P( X ≥ 6 ∩ X ≥ 4) P( X ≥ 6) e 4,5 b) P(X ≥ 6/ X ≥ 4) = = = 4 = 64,1% = P( X ≥ 2) − P( X ≥ 4) P( X ≥ 4) e 4 ,5 c) Y: nº de avarias no intervalo [0,6] horas P(Y=2) =

e

−

6 4,5

x(6 / 4,5) 2 = 23,4% 2!

Exercício 5

Sabe-se que um determinado modelo de lâmpadas apresenta no período de vida útil (3625 horas) um MTBF de 12 000 horas. Calcular: a) A probabilidade de falha de uma ou mais lâmpadas, num conjunto de 10, no período de vida útil. b) Quantas lâmpadas, de um conjunto de 1 000, estarão provavelmente em

funcionamento após 2 000 horas de utilização. Resolução

a) Rs = e

−

3625 12000

= e −0,302 = 73,9%

Em 10, 1 - P(falhar nenhuma) = 1 - 0,73910 = 1 – 0,0488 = 95,12% b) Rs = e

−

2000 12000

= e −0,1667 = 84,6%


Logo, 0,846x1000 lâmpadas = 846

123


Exercício 6

Num grande centro comercial existem 3 telefones públicos, colocados estrategicamente a fim de satisfazer adequadamente os utentes. A observação prolongada do funcionamento dos telefones levou a concluir que as probabilidades dos 3 telefones, T1, T2 e T3 se encontrarem avariados são, respectivamente, 0,15, 0,2 e 0,25 e que as avarias são independentes. O grupo de telefones satisfaz minimamente o serviço se pelo menos 2 estiverem sem avarias. Qual a probabilidade de pelo menos dois destes telefones estarem sem avarias? Resolução

P(pelo menos dois destes telefones estarem sem avarias ) = P(2 ou 3 estarem sem avarias) = 0,095+0,51=60,5% P(2 sem avarias) = 0,15*0,2*0,75+0,85*0,2*0,25+0,15*0,8*0,25=9,5% P(3 sem avarias) = 0,85*0,8*0,75=51%

Exercício 7

Um sistema é constituído por 5 componentes iguais, sendo 0.05 a probabilidade de um elemento falhar ao longo de qualquer dia da semana. No caso de nenhum elemento avariar o sistema funciona normalmente; se um dos elementos avariar o sistema funciona com probabilidade 0.7; se mais de um elemento avariar o sistema não funciona. Calcule: a)

a probabilidade do sistema funcionar ao longo do dia.

b)

a função de probabilidade do nº de falhas registadas nos seus componentes ao longo de um dia, indicando o valor médio de tal distribuição.

Resolução

a) P(sist. funcionar) = P(0 avariar e funcionar) + P(1 avariar e funcionar) = (0,955)* 1 + (5*0,954*0,05)*0,7 = 0,7738 + 0,1425 = 91,63% b) Bi(n=5;p=0,05) Valor médio=5*0,05=0,25


124


CONTROLE ESTATÍSTICO DE QUALIDADE

Exercícios

Exercício 1

Uma empresa fabrica e comercializa condutores eléctricos cujas condições de controlo da produção e aceitabilidade a seguir se indicam (relativos à resistência de um componente em Ω): −

Característica sob controlo: µ

−

LIC: 49,8775

−

LSC: 50,1225

−

n=16

−

σ=0,25

−

Proceder-se-á à paragem da produção sempre que os limites de controlo sejam desrespeitados

−

Um condutor é considerado não defeituoso se a sua resistência em Ω estiver compreendida entre [49,530; 50, 470]

Nestas condições, determine: a)

O valor da norma µ0

b)

A probabilidade de se proceder a uma paragem indevida da produção

c)

A probabilidade de, estando a norma a ser cumprida, se produzir um

artigo defeituoso. Resolução

X: resistência de um componente em Ω X ∩ N ( µ ; (0,25) 2 )

a)

LIC = µ −

LSC = µ +

cσ n

cσ n

= 49,8775

= 50,1225

Como LIC + LSC = 100 vem que µ −

cσ n

+ µ+

cσ n

= 2 µ = 100

Logo µ=100/2 = 50 Ω


125


b) P (parar indevidamente o processo produtivo) = P( X cair fora dos limites de controlo quando µ=µ0) = 1 - P(49,8775 ≤ X ≤ 50,1225 sendo µ=50) = 1 - P(

49,8775 − 50 50,1225 − 50 ≤X ≤ )= 0,25 0,25 16

16

1- P(-1,96 ≤ X ≤ 1,96) = Na tabela da Normal, vem D(1,96) = 0,95 donde 1 – 0,95 = 5% c)

P(produzir um artigo defeituoso, sendo a norma respeitada) =

1 – P(49,53 ≤ X ≤ 50,47 sendo µ=50) = 1 - P(

49,53 − 50 50,47 − 50 ≤X ≤ )= 0,25 0,25 16

16

1 - P(-1,88 ≤ X ≤ 1,88) = Na tabela da Normal, vem D(1,88) = 0,9399 donde 1 – 0,9399 = 6,01%

Exercício 2

A empresa “TRADECHO, SA” mantém um diferendo com os seus principais clientes, que afirmam que os produtos produzidos (em série) por esta empresa não obedecem às normas de qualidade estabelecidas e que são: -

a norma para o comprimento médio das peças é de 20 cm;

-

a norma para a variância é de 4 e está a ser cumprida;

-

a amplitude do intervalo de controle para a média deve ser de 1,96;

-

a dimensão das amostras a extrair é de 16

Afirmam os clientes que a probabilidade de parar indevidamente o processo produtivo é superior àquela que decorre das normas.


126


a) Determine a probabilidade referida. b) Represente a carta de controle para a média c) A recolha de 5 amostras forneceu os seguintes resultados para a média: 20,05

19,90

20,00

20,30

20,15

Qual a medida a tomar? Resolução

X: comprimento das peças em cm X ∩ N ( µ ; 4)

a) P (parar indevidamente o processo produtivo) = P( X cair fora dos limites de controlo quando µ=µ0) = 1 - P(20-1,96/2 ≤ X ≤ 20+1,96/2 sendo µ=20) = 1 - P(

− 0,98 0,98 ≤X ≤ )= 2 2 16

16

1- P(-1,96 ≤ X ≤ 1,96) = Na tabela da Normal, vem D(1,96) = 0,95 donde 1 – 0,95 = 5% b) e c) Média Amostral (cm) 20,98

Amostra 1

• •20,5 •

19,02

•

•

20

Amostra 2

•

Amostra 3

•

• 19,90 • • •

• 20 •

Amostra 4

•

•

• •

• •20,3

Amostra 5

•

• •20,15

•

•

•

•

Não é necessário parar o processo produtivo (valores dentro dos limites de controlo).


127


Exercício 3

Numa empresa procede-se ao exame das condições de produção relativas à duração (em horas) das lâmpadas fabricadas (produção em série). Sabe-se que o desvio-padrão da duração de uma lâmpada é de 100 horas. O Departamento de Produção construiu o seguinte intervalo para a duração média de uma lâmpada, a partir de uma amostra de dimensão 100: [983,55; 1016,45]

parando-se o processo produtivo se o valor médio amostral se situar fora deste intervalo. a) Calcule o valor adoptado para a norma (µ0) b) Determine a probabilidade de se parar indevidamente o processo produtivo. Resolução

X: duração das lâmpadas em horas X ∩ N ( µ ; (100) 2 )

a) LIC = µ − LSC = µ +

cσ n

cσ n

= 983,55

= 1016,45

Como LIC + LSC = 2000 vem que µ −

cσ n

+ µ+

cσ n

= 2 µ = 2000

Logo µ=2000/2 = 1000 h b) P (parar indevidamente o processo produtivo) = P( X cair fora dos limites de controlo quando µ=µ0) = 1 - P(983,55 ≤ X ≤ 1016,45 sendo µ=1000) = 1 - P(

983,55 − 1000 1016,45 − 1000 ≤X ≤ )= 100 100 100

100

1- P(-1,645 ≤ X ≤ 1,645) =


128


Na tabela da Normal, vem D(1,645) = 0,9 donde 1 – 0,9 = 10% Exercício 4

O novo Conselho de Administração da empresa de componentes eléctricas “Alta Tensão, SA” resolveu efectuar um estudo aprofundado sobre o controle estatístico de qualidade das peças produzidas. Assim, definiu com o director de produção os aspectos considerados relevantes no controle da duração média das componentes: -

o limite superior de qualidade (LSC) deve ser de 10,8 milhares de horas

-

a amplitude do intervalo não deve exceder 1,96 milhares de horas

-

a probabilidade de se parar indevidamente a produção é de 5%

Sabe-se ainda que o desvio padrão da duração de uma componente é de 4 mil horas. a) Determine a dimensão da amostra que é necessário recolher para cumprir as condições definidas. b) Calcule a norma. Resolução

X: duração das componentes em milhares de horas X ∩ N ( µ ; ( 4) 2 )

a) LSC = µ +

cσ n

= 10,8

D(c)= 5% logo c= 1,96 2

cσ n

≤ 1,96 logo 2

b) LSC = µ +

cσ n

1,96 * 4 n

≤ 1,96 ⇔ n ≥ 64

= 10,8 logo µ = 10,8 -

1,96 * 4 64

= 9,82

Exercício 5

O director de produção da empresa DISLIX, SA pretende implementar um sistema de controle interno de qualidade de um determinado tipo de geradores fabricados em série. Para tal, procede à verificação da produção de energia Estatística Aplicada

129


eléctrica (em kws/hora) tendo e vista a construção de um intervalo de controle para a produção média de energia de um gerador que cumpra os seguintes objectivos: -

Norma de produção para a média: 10

-

A amplitude do intervalo não deve exceder 3,92

-

A probabilidade de se parar indevidamente a produção não deve exceder 5%

Sabe-se que o desvio padrão da produção da energia eléctrica de um gerador é de 4 kws/hora e que a variável segue distribuição Normal. a) Determine a dimensão mínima da amostra a utilizar para o controle de produção. b) Represente a carta de controle para a média. Resolução

X: energia eléctrica produzida em kws/hora X ∩ N ( µ ; ( 4) 2 )

a) D(c)= 5% logo c= 1,96 2

cσ n

≤ 3,92 logo 2

1,96 * 4 n

≤ 3,92 ⇔ n ≥ 16

b) Média Amostral (cm)

Amostra 1

11,96

Amostra 2

•

•

•

•

10

•

8,04 LIC = µ −

•

•

•

•

•

Amostra 3

•

Amostra 4

•

• •

•

• •

• •

Amostra 5

• • •

•

•

•

cσ

LSC = µ +

n cσ n

= 10 −

1,96 * 4

= 10 +


16

= 8,04

1,96 * 4 16

•

= 11,96

130


TRATAMENTO ESTATÍSTICO DE INQUÉRITOS

Exercícios

Exercício 1

A empresa BrasFruta Lda está a instalar-se em Portugal com um produto inovador, um concentrado de fruta semelhante a um sumo de fruta natural. A intenção é vender o produto em cafés, esplanadas e bares que passariam a dispor de uma imitação perfeita de um sumo acabado de fazerva um preço vantajoso. Através de um estudo qualitativo com consumidores, conseguiu-se apurar que existia uma grande sensibilidade ao preço. Apesar de haver uma preferência generalizada por sumos naturais face a refrigerantes, os consumidores mostravam-se cépticos em relação à qualidade quando se falav em preços baixos. Entendeu-se então levantar a seguinte questão: “a sensibilidade ao preço é afectada pelo poder de compra dos clientes?” Numa sondagem efectuada a 1973 clientes potenciais, confrontaram-se os inquiridos com três alternativas: adquirir sumo natural a preço elevado, adquirir sumo natural a preço baixo ou adquirir refrigerantes. A sondagem revelou que, dos clientes classes A/B/C1, 598 pagariam um preço mais elevado pelo sumo natural, enquanto 212 não estariam dispostos a gastar tanto. Em relação aos 977 clientes das classes C2/D/E, 164 só consumiriam sumo natural se o preço fosse baixo e 285 preferiam refrigerante. Represente adequadamente e interprete a informação contida nestes dados. Utilize um nível de significância de 1%. Resolução

Preço Elevado

Preço Baixo

Refrigerante

Total

A/B/C1

598

212

186

996

C2/D/E

528

164

285

977

Total

1126

376

471

1973

As conclusões foram retiradas pelo recurso à análise correlacionada através do teste do qui-quadrado. Estes testes foram elaborados sobretudo com o intuito


131


de segmentar o mercado. As frequências

foram utilizadas para analisar o

mercado como um todo e para interpretar o resultado dos testes de correlação, para os quais se convencionou a adopção de um nível de significância de 5%, considerado razoável face aos valores normalmente utilizados. Para o cálculo das frequências esperadas, procedeu-se à aplicação de eij =

n i . * n. j

, de que resultou a seguinte tabela:

n

A/B/C1 C2/D/E

Preço Elevado

Preço Baixo

Refrigerante

Total

nij

598

212

186

996

eij

568.4

189.8

237.8

nij

528

164

285

eij

557.6

186.2

233.2

1126

376

471

Total

977 1973

Ho: As variáveis são independentes H1: As variáveis não são independentes

crítico (GL=2; α=0,05)=5,991 observado = 31,141

Vem que o

obsv.=31,141 é maior do que o valor obtido a partir da tabela,

que é 5,991 (cruzamento da linha 2 com a coluna 0,05). Assim sendo, a hipótese Ho será rejeitada, concluindo-se que, no grupo estudado, há associação entre as variáveis. Em média, o poder de compra do consumidor influencia a sensibilidade ao preço. Exercício 2

Aos exames de primeira época de determinada disciplina compareceram 105 alunos, dos quais 20 não tinham prestado qualquer prova durante o ano. O número de aprovações foi de 33, das quais 3 foram de alunos que não tinham efectuado provas durante o ano.


132


Diga, com base nestes elementos, se, para um nível de significância de 5%, se pode afirmar que existe independência entre a comparência (ou não) a provas durante o ano de aprovação (ou não) em exame. Resolução

Aprovações Comparecem Sim Não Total

Aprovado

Reprovado

Total

30 3 33

55 17 72

85 20 105

Ho: As variáveis são independentes H1: As variáveis não são independentes crítico (GL=2; α=0,05)=3,84 observado = 3,122

Vem que o

obsv.= 3,122 é menor do que o valor obtido a partir da tabela.

Logo, a hipótese Ho não será rejeitada (há independência).

Exercício 3

Com o objectivo de testar se existe relação entre a formação do gerente de uma dependência bancária e a respectiva “performance”, construiu-se a seguinte tabela de contingência, relativa a 300 balcões de diferentes bancos: Formação Gerente Vol. Negócios Baixo Médio Elevado

Média

Superior

44 55 51

52 43 55

Que conclui, a um nível de significância de 1%? Resolução



133


Valores esperados: Formação Gerente Vol. Negócios Baixo Médio Elevado

Média

Superior

48 49 53

48 49 53


Valor obsv. est. teste = Vem que o

(44 − 48) 2 (55 − 53) 2 + ... + = 2,2876 > 9,21 48 53

obsv.= 2,2876 é maior do que o valor obtido a partir da tabela,

Assim sendo, a hipótese Ho será rejeitada, concluindo-se que há associação entre as variáveis. Exercício 4

Pretendendo-se analisar o comportamento do volume de divisas ao longo do ano, deu-se particular atenção à influência exercida pelas remessas de emigrantes. Assim, o ano foi dividido em duas épocas: Época de Ponta, compreendendo os meses de vinda de emigrantes (Verão e Natal) e Época Normal (restantes meses). Assim, observou-se o nível de Disponibilidades Líquidas sobre o Exterior (DLX) para cada mês, tendo-se obtido: Volume DLX

Época Normal Ponta

Baixo/Médio

Elevado

150 20

50 80

A um nível de significância de 5%, que pode concluir?

Resolução



134


Valores esperados: Volume DLX

Época Normal Ponta

Baixo/Médio

Elevado

113,33 6,66

86,66 43,33

crítico (GL=1; α=0,05)=5,991 observado = 85,069 Valor obsv. est. teste = Vem que o

(150 − 113,33) 2 (80 − 43,33) 2 + ... + = 85,069 > 3,84 113,33 43,33


Assim sendo, a hipótese Ho será rejeitada, concluindo-se que há associação entre as variáveis.

Exercício 5

Num estudo que pretendia averiguar a existência de relação entre a procura de moeda e a taxa de juro, procedeu-se à recolha periódica de elementos sobre essas variáveis, construindo-se a seguinte tabela de contingência: Taxa juro Proc. Moeda 0-10 10-45 45-70

Reduzida

Média

Elevada

20 20 250

30 400 30

200 30 20

Utilizando um nível de significância de 5%, que conclusão pode tirar? Resolução

Ho: As variáveis são independentes H1: As variáveis não são independentes Valores esperados: Taxa juro Proc. Moeda 0-10 10-45 45-70


Reduzida

Média

Elevada

72.5 130.5 87

115 207 138

62.5 112.5 75

135



Vem que o



Exercício 6

Um investigador seleccionou três amostras de estudantes, A, B e C, que fazem parte de um determinado projecto de estudo e aplicou-lhes uma escala de atitudes com o objectivo de conhecer as suas opiniões em relação ao projecto. Os resultados de uma amostra de 140 estudantes foram os seguintes: Grupo de Tipo estudantes de atitude Atitude negativa Atitude positiva

A

B

C

30 10

30 20

10 40

Utilizando um nível de significância de 5%, que conclusão pode tirar? Resolução

Ho: As variáveis são independentes H1: As variáveis não são independentes Valores esperados: Grupo de Tipo estudantes de atitude Atitude negativa Atitude positiva

A

B

C

20 20

25 25

25 25

crítico (GL=2; α=0,05)=3,84 observado = 30 Vem que o

obsv.= 30 é maior do que o valor obtido a partir da tabela,



136

Estatística Aplicada - Exercícos Resolvidos

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