Exemple de calcul de dimensionnement dimensionnement Ayant obtenu le gradient linéaire équivalent par une des deux méthodes proposées cidessus, il devient possible d’étudier l’impact des actions climatiques en question dans le dimensionnement des dalles des planchers hauts. Les planchers hauts des parkings ouverts sont généralement des dalles constituées de plusieurs travées en continuité. En tenant compte des conditions limites thermiques (température de l’air extérieur sur les deux faces de la dalle et rayonnement solaire sur la surface supérieure) l’élongation longitudinale de la dalle est très faible par rapport à la courbure due au gradient dans son épaisseur. L’étude néglige donc les efforts normaux induits par l’élongation longitudinale et ne s’intéresse qu’aux efforts induits par le blocage en rotation des appuis. L’incidence de la prise en compte des effets thermiques dans le dimensionnement dimensionnem ent des dalles revient donc à déterminer l’augmentation du moment fléchissant positif sur appuis (au niveau des continuités) pour ensuite le combiner correctement avec le reste des actions et calculer la section d’armature nécessaire (par mètre linéaire de dalle) pour reprendre l’ensemble des efforts de flexion. Vu que la dalle continue est considérée reposer sur plus de deux appuis simples (actions verticales des liaisons), pour trouver le moment thermique, la formule connue sous le nom de l’équation des trois moments peut être appliquée successivement (par paires de trois appuis adjacents). Cette équation (pour la situation présente où on étudie l’effet de l’action des variations de température sur les dalles continues) se réduit à:
( ) La rotation dûe au gradient thermique linéaire d’une section courante de dalle est le rapport entre la dilatation thermique d’une fibre extrême et l’épaisseur de la dalle: ‘ϕ = ΔL/h’. Cette dilatation dilatation thermique ‘ΔL’ s’exprime par rapport à la déformation thermique de la fibre à travers l’équation : ‘ε= ΔL/(L/2)’. On en déduit finalement la rotation due au gradient thermique : ϕ = (ε*L)/2h = ( *ΔT*L)/2h
Pour illustrer l’application de la méthode m éthode de calcul proposée, on imagine à priori le cas le plus simple d’une dalle pleine continue, à 2 travées égales, reposant sur 3 appuis (comme illustré dans la figure suivante), soumise à l’action d’un même gradient thermique linéaire.
Figure 1 : Schéma statique de la dalle continue (sur 3 appuis simples) utilisé pour déterminer les sollicitations dues au gradient thermique
En appliquant l’équation des trois moments (pour les appuis 1-2-3) on retrouve le
moment thermique dans l’appui central :
Si on imagine l’éxemple d’une dalle sur 4 appuis (3 travées), on retrouve (conformément au schéma ci-dessous) les moments thermiques de la même façon :
Figure 2 : Schéma statique de la dalle continue (sur 4 appuis simples) utilisé pour déterminer les sollicitations dues au gradient thermique
En appliquant deux fois l’équation des trois moments (pour les appuis 1-2-3 et respectivement 2-3-4) on obtient un système linéaire à deux inconnues :
.
Tenant compte de la symétrie, du nombre paire d’appuis continus (2) et de l’homogéneité (travée, inertie dalle, gradient thermique appliqué) de l’exemple cité, les deux moments seront égaux, et leur valeur sera :
En reprenant ensuite l’exemple sur un cas similaire, mais avec 4 travées et donc 5 appuis simples, on retrouve de la même façon (en appliquant trois fois l’équation des trois moments) les moments flechissants sur les trois appuis continus :
Figure 40 : Schéma statique de la dalle continue (sur 5 appuis simples) utilisé pour déterminer les sollicitations dues au gradient thermique
Vu la symétrie géométrique de ce cas et le nombre impaire d’appuis continus (3), les valeurs des moments thermiques seront :
De cette façon, pour tout cas de figure envisageable, en fonction du nombre d’appuis simples, des longueurs des travées, mais aussi de l’inertie de la dalle, de son épaisseur et du type de béton utilisé, on peut retrouver facilement les moments dus au gradient thermique, sur appui. Une application numérique de dimensionnement d’une dalle aux états limites ultimes est présentée dans l’Annexe 1 pour un cas simple d’une dalle pleine continue sur 3 appuis.
Annexe 1 – Exemple numérique de dimensionnement aux actions thermiques – cas d’une dalle pleine continue
La présente annexe illustre un cas simple de dimensionnement d’une dalle de parking ouvert (terrasse), soumise aux actions climatiques (en suivant une analyse linéaire, sans redistribution des moments à l’ELU). En reprenant la Figure 38 de la méthode de calcul (§2.4.3), on choisit une épaisseur de la dalle pleine h=20 cm et une longueur de la travée L=5 m (en béton normale C25/30):
Figure 3 : Schéma statique de dalle continue (sur 3 appuis simples) utilisé pour le dimensionnement aux actions thermiques
CHARGES :
Permanentes (G) :
Poids propre : 25 kN/m3 * 0.2m = 5kN/m2 ;
Revêtements : asphalte coulé sablé : 0.5 kN/m2 ;
Utiles (Q) :
Terrasses non accessibles : 2.3 kN/m2 ;
Gradient Thermique : - en appliquant la méthode simplifiée (§2.4.1).pour un béton normal ( λ = 2 W/(m.K)) et pour un revêtement de base (complexe 3.4), on obtient le gradient dimensionnant caractéristique :
- suivant la méthode complète (§2.4.2) on obtient pour la même dalle de 20 cm avec un revêtement (complexe 3.4) une valeur du gradient caractéristique de :
On observe que la méthode complète donne des valeurs similaires du gradient thermique. La valeur du gradient caractéristique retenue pour les calculs est celle calculée, de 15.5°C
COMBINAISONS DE CHARGES (E.L.U.) : Actions
Action Variable
Actions variables
Permanentes
dominante
d’accompagnement
défavorable
favorable
défavorable
favorable 0
défavorable
favorable 0
(equations et valeurs cf. NF EN 1990+AN et NF EN 1991+AN) Il en résultent (pour le présent cas), les suivantes possibilitées : -
Q = actions dominantes (défavorables)
-
T = action d’accompagnement (favorables)
-
T = action dominante (défavorable)
-
Q = actions d’accompagnement (favorables)
-
Q = actions dominantes (défavorables)
-
T = action d’accompagnement (défavorable)
-
T = action dominante (défavorable)
-
Q = actions d’accompagnement (défavorables)
ANALYSE LINEAIRE (SANS REDISTRIBUTION) : détermination de la formule des moments (sur appui et en travées) dus aux chargements (P1 sur la travée 1 et P2 sur la travée 2) et du gradient thermique – pour cette configuration de dalle
: M2 (théorème des 3 moments) :
( )
Moments en travée : M12
∑ ∑
Moments en travée :M23
∑
∑ ( )
Moment Thermique : M2,th
Observation : au vue la grande variabilité journalière des gradients thermiques ( §2.1.2.4), le module du béton est pris égal à sa valeur instantanée dans les calculs à suivre. Pour un béton C25/30, cette valeur est égale à (suivant la NF EN 1992-1-1) :
[ ]
SUPERPOSITION DES CAS DE CHARGE : détermination des différents cas de chargement (selon les 4 combinaisons possibles) pour trouver la courbe enveloppe des moments (Mmax sur appui et en travée) - à prendre en compte pour dimensionner la dalle.
Chargement 1 (moment négatif maximal sur appui):
A) combinaison A B) charges gravitaires (p1 et p2) C) absence du moment thermique
p1 = 1.35g + 1.5q
10.875
(kN/m)
p2 = 1.35g + 1.5q
10.875
(kN/m)
Moments des charges (g et q) : 2
- sur Appui :
M2 = -(p1+p2)L /16
-33.98 (kNm/m)
Moment du gradient thermique (T) : - sur Appui :
Mth = 0
0.00 (kNm/m)
Diagramme moments COMB A) : - sur Appui :
M2,C1 = M2+Mth
-33.98
Chargement 2 : (moment positif maximal sur appui):
A) Combinaison B B) Charges gravitaires (p1 et p2) C) Moment thermique ΔT
(kNm/m)
p1 = 1.0g
5.5
(kN/m)
p2 = 1.0g
5.5
(kN/m)
Moments des charges (g et q) : 2
- sur Appui :
M2 = -(p1+p2)L /16
-17.19 (kNm/m)
Moment du gradient thermique (T) : - sur Appui :
Mth = 3/2*EI*αth(1.5ΔT)/ep
36.04 (kNm/m)
Diagramme moments COMB B)1 : - sur Appui :
M2,C1 = M2+Mth
18.85
(kNm/m)
Chargement 3a (et son symétrique) – moment positif en travée :
A) Combinaison C B) Charges gravitaires (p1 et symétriquement p2) C) Moment thermique ΔT
p1 = 1.35g+1.5q
10.875
(kN/m)
p2 = 1.35g
7.425
(kN/m)
Moments des charges (g et q) : 2
- sur Appui :
M2 = -(p1+p2)L /16
- Travée 12 :
x12= L/2+M2/p1L max
M12 - Travée 23 :
= p1x12(L-x12)/2+M2x12/L
x23= L/2-M2/p2L max
M23
= p2x23(L-x23)/2+M2(1-x23/L)
-28.59 (kNm/m) 1.974 (m) 21.2 (kNm/m) 3.270 (m) 11.1 (kNm/m)
Moment du gradient thermique (T) : - sur Appui :
Mth = 3/2*EI*αth(1.5*0.6*ΔT)/ep
21.62 (kNm/m)
Diagramme moments COMB1 : - sur Appui :
M2,C1 = M2+Mth
-6.97 (kNm/m)
max
29.7
max
18.6 (kNm/m)
- Travée 12 :
M12,C1=
M12
- Travée 23 :
M23,C1=
M23
+(x12/L)Mth +((L-x23)/L)Mth
(kNm/m)
Chargement 3b (et son symétrique) – moment positif maximal en travée :
A) Combinaison D
B) Charges gravitaires (p1 et symétriquement p2) C) Moment thermique ΔT
p1 =
1.35g+1.5*0.7q 9.84
(kN/m)
p2 =
1.35g
(kN/m)
7.425
Moments des charges (g et q) : 2
- sur Appui :
M2 = -(p1+p2)L /16
- Travée 12 :
x12= L/2+M2/p1L max
M12 - Travée 23 :
= p1x12(L-x12)/2+M2x12/L
x23= L/2-M2/p2L max
M23
= p2x23(L-x23)/2+M2(1-x23/L)
-26.98 (kNm/m) 1.952 (m) 18.7 (kNm/m) 3.227 (m) 11.7 (kNm/m)
Moment du gradient thermique (T) : - sur Appui :
Mth = 3/2*EI*αth(1.5ΔT)/ep
36.04 (kNm/m)
Diagramme moments COMB1 : - sur Appui :
M2,C1 = M2+Mth
9.1 (kNm/m)
max
32.8
max
24.5 (kNm/m)
- Travée 12 :
M12,C1=
M12
- Travée 23 :
M23,C1=
M23
+(x12/L)Mth +((L-x23)/L)Mth
(kNm/m)
Finallement, en réalisant le diagramme enveloppe des cas de chargement étudiés, on obtient le schéma suivant dimensionnant (moments maximums sur appui et en travées) :
