RESISTENCIA DE MATERIALES II EJERCICIOS DE HARDY CROSS
INTEGRANTES:
Esquivel Saavedra Edith Gamez Velasquez Milagros Niño Palacios Yelka Matta Valdiviezo Bryan Mariños Medina Oscar
NUEVO CHIMBOTE, 11 de Dic. de 15
1. LA VIGA CONTINUA CONTINUA DE LA FIGURA ES DE SECCIÓN CONSTANTE CONSTANTE Y HOMOGÉNEA Y ESTÁ PERFECTAMENTE EMPOTRADA EN SUS EXTREMOS.
FD
0 0.4
MEP
+2000 4000
transmisión
-1600
Momentos finales
-800 +1200 5600
-
-
0.6
0
+8000 8000 -2400
-
-1200 5600 9200
-
SOLUCION Aunque I es desconocido, desconocido, conviene conviene tomarlo como como el mínimo común común múltiplo de los claros, 12 en este caso, con lo que los valores de las rigideces relativas K=I/L serán números enteros y sencillos. Los factores de distribución se calculan de acuerdo a la ecuación y están indicados en el cuadro de la figura. Suponiendo que todos los nudos son fijos:
Tramo AB:
Tramo AB: Con la convención de signos establecida, se ha puesto signo positivo a los momentos de la izquierda del claro y signo negativo a los de la derecha. Al dejar libre el nudo B, el momento desequilibrado es:
Por lo que el momento a distribuir entre las barras es 4000 N.m para que la suma total de momentos en B sea nula, como se ha dicho. Utilizando los valores de los FD, a la izquierda de B le corresponde:
Y a la derecha:
Ahora se transmiten la mitad de dichos valores, con su mismo signo, a los extremos opuestos. Así pues -1600 aplicado a la izquierda de B transmite -800 a A, y -2400 aplicado a la derecha de B transmite -1200 a C. Como A y C están perfectamente empotrados, y así han de quedar, absorben estos momentos transmitidos y la distribución ha concluido. Los valores finales del momento en cada apoyo se obtienen sumando algebraicamente para cada uno de los valores de la columna vertical que se indica en el cuadro. Si se quiere, estos momentos finales se pueden convertir fácilmente en momentos flexionantes convencionales, cambiando el signo a la izquierda de cada tramo.
2. En la viga continua de la figura soporta las mismas cargas que la del problema anterior, pero los extremos A y C están simplemente apoyados. Calcular los momentos en los apoyos.
FD
1
0.4
0.6
1 MEP 1ª. Distribución Transmisión 2ª. Distribución Transmisión 3ª. Distribución Transmisión 4ª. Distribución ∑
+2000 -2000 -800 -1000 +800 -1200 -600 +600 -200 +200
-4000 +8000 -1600 -2400 +4000 -1800
0
-7800 +7800
+400 -400 +300 -300
+600 -600 +450 -450
-8000 +8000 -1200 +1200
-900 +900 -300 +300
0
SOLUCION Se calculan los valores de K y de FD como en el problema anterior. Supuesto que todos los nudos son rígidos y fijos, los MEP se calculan como antes y se escriben en el cuadro. Ahora se dejan libre los nudos, lo que devuelve a la viga sus condiciones iniciales. El momento no equilibrado en cada muro debe ser compensado y distribuido entre las vigas que a él concurren. En B, la distribución es igual a la descrita en el problema anterior. Pero al soltar los nudos A y C es como si se añadieran los momentos de -2000 y +8000 N.m respectivamente, de manera que el momento total sea nulo en ambos extremos(esto equivale a suponer un FD igual a la unidad en ambos extremos). Terminada esta distribución y vueltos a fijar todos los nudos, los momentos distribuidos producen la transmisión indicada con las flechas, lo que introduce un nuevo desequilibrio en los nudos sensiblemente menor que el inicial. Se vuelven a dejar libres los nudos, se distribuye el momento equilibrado y se vuelven a fijar los nudos, con lo que se completa el otro ciclo de distribución, y así hasta que los momentos sean despreciables o como en la 3° distribución, hasta que la suma de los momentos transmitidos y de los distribuidos sea nula en todos los nudos.
FD MEP 1ª. Distribución Transmisión 2ª. Distribución Transmisión 3ª. Distribución Transmisión 4ª. Distribución ∑
1 0.5
0.5
0.5
+8000 -8000
+3000 -2500
+4800 -900
-1250 4000 +1250 +2225 -1113 +1113
- -450 +1250 +2225 2495 -1213 +919
+3600 -2425
-460 +460
-335 +446
0
+7092
0.5 1 +
+225 -669
+
+607 -534
-4704 +7800
PROBLEMA 3 Calcular los momentos y reacciones, luego dibujar los DFC y DMF de la siguiente viga, usando Hardy Cross y verificar por el Teorema de los Tres Momentos. (Determinando y ubicando lo puntos críticos). 3T/m A 2m
1)
2m
4Tn
B 6m
Calculo de K
3T/m
1.5T/m
D
C 7m
5m
2)
Calculo de
PUNTO A
3)
PUNTO B
PUNTO C
Calculo de momento de empotramiento perfecto Tramo AB
3T/m
6m
Tramo BC 2m
4Tn 1.5T/m
Tramo CD
PUNTO D
3T/m
5m
2m
3T/m
2m
0.00 -6.00
4Tn 3T/m
1.5T/m
7m
6m
5m
1.00 +9.00
0.54 -9.00
0.46 10.21
0.42 -7.78
-3.00
-0.65
-0.56
+0.64
-0.33
-1.50
+0.32
-0.28
+0.33 +0.32 -0.32 +0.12
+0.64 +0.17 +0.23 -0.16
+0.54 -0.60 +0.20 -0.01
-1.20 +0.27 -0.02 +0.10
-0.12 +0.05
+0.09 -0.06
+0.08 -0.12
-0.23 +0.04
-0.05 +6.00
+0.10 -10.14
+0.08 +10.1 4
-0.02 -8.48
0.58 +6.2 5 +0.8 9 +3.1 3 -1.65 -0.23 -0.02 +0.4 4 -0.31 +0.0 1 -0.03 +8.4 8
1.00 0.00 -6.25 +6.25 +0.45 -0.45 -0.83 +0.83 -0.01 +0.01 -0.16 +0.16 0.00
4)
Obtención de Reacciones Definitivas
2m
Q=3T/m
2m
6.00
9.00
7m
9.00
-0.69
+0.69
8.31
9.69
14.31
Q=3T/m
Q=1.5T/
6m
6.00
P=4
5m
5.25
5.25
2.86
1.14
+0.24
-0.24
8.33
18.02
6.17
7.50
7.50
Ro p
9.19
15.36
5.81
R Def
5.81
N Col
Ro q = Reacciones isostáticas de las cargas Q (uniformes). Ro p = Reacciones isostáticas de las cargas P (puntuales). Dm/L = termino de corrección, si el momento izquierdo (MA) es mayor que el derecho (MB) la reacción de finitima RA Def se incrementa (se suma la reacción isostática) y la otra se decrementa. Y viceversa. R Def = reacciones definitivas, es la suma de los valores anteriores. N Col = cargas llegan a las columnas (suma de las reacciones concurrentes al nudo). Estas deben ser sumarse a las vigas en sentido perpendicular a las consideradas. 5)
Ro q
Momentos Máximos de tramo Tramo AB: La posición del momento máximos (corte nulo) desde el apoyo A es:
Tramo BC: Si la carga puntual está a la izquierda del centro de la luz de la viga, calculamos la posición de X desde el apoyo derecho ( ) y viceversa:
Tramo CD:
En la unión del tramo CD – columna (apoyo derecho) en general el momento negativo es:
Diagrama de Corte y Momentos Flectores: DFC: 9.19 8.33
8.31
4.11
2.77
5.81
6.00 617 9.69
DMF:
-10.16
-6.00
-6.00 -3.75
+4.18 +5.5
+5.58
PROBLEMA 4:
Aplicando el Teorema de Tres Momentos hallar los Momentos Flectores de la viga continua y comprobar por Hardy Cross. Sabiendo que I 1=3I y I2=4I
SOLUCION Hacemos un tramo imaginario de L=0 y I=00
M1=M5=0 , L4=0 Hallamos los valores de los Momentos analizando por tramos.
Tramo 1-3
M1L1 + 2M2(L1+L2) + M3(L2) =
Tramo 2-4
Tramo 3-5
-
Haciendo:
Luego:
Reemplazando en
COMPROBANDO POR HARDY CROSS
Cálculo de rigideces:
Cálculo de los coeficientes de distribución:
Cálculo de los momentos de empotramiento
1.00 +3.75 -3.75
3/11 -8.25 2.25 -1.875 0.69
0.226 0.07
0.023
0
0.008 -6.86
8/11 0 6 0.667 1.85 -0.83 0.6 -0.26 0.19 0.085 0.062 -0.03 0.02 6.86
5/9 4/9 0 2.4 -1.333 -1.067 3 0 -1.667
1.333 0.93 0 -0.52 -0.41 0.3 0 -0.17 -0.13 0.095 0
-0.053 0.031 -0.017 0.599
-0.042 0 -0.014 -0.599
0 -3.6 0 -0.534 0 -0.665 0 -0.21 0 -0.065 0 -0.021 0 -5.095
5.-Calcular lo momentos de los apoyos de la viga si los extremos estan empotrados. SOLUCIÓN
1.- Calculamos su I :
I=mcm(3;4,3)=12
2.- calculamos la rigidez de cada tramo: K=(I/L)
;
;
3.- calculamos la fuerza de distribucion de cada tramo: FD=(K/∑K)
4.-Calculamos los momentos de empotramiento perfecto (MEP) (según tabla )
Tramo AB:
TramoBC:
Tramo CD:
5.-proceso de la distribucion
4
K=(I/L)
3
A
B
C
D FD 1ra Distrubucion
0 +1500
2da Distrubucion
-333.084
3ra Distrubucion 4ta Distrubucion Momentos totales
0.571 + -1500 -666.167
0.429 +2666.667 -500.5
0.429 + -2666.667 +500.5
0.571 +1500 +666.167
0 + -1500
-250.25 +107.357 +142.893
+333.084
-142.893
+250.25 -107.357
-71.447 -30.65
+53.679 -23.028
-53.679 +23.028
+30.65
-6.574
+11.514 -4.940
-11.514 +4.940
+6.574
-15.325 +1080.144
-2346.284
+2346.284
-2346.284
+71.447 +15.325 +2346.284
-1080.144
Finalmente se obtienes lo momentos en cada apoyo :
6.
7. La figura muestra un ejemplo con los casos de cargas más usuales en la práctica con todos los valores hasta la obtención de los Momentos Definitivos de Apoyos. Las filas de la figura muestran: 1) rigideces de las vigas. 2) los coeficientes de distribución 3) los momentos isostáticos de apoyo (ver figura anterior) 4) los procesos de aproximaciones sucesivas 5) los Momentos Definitivos de Apoyo
METODOLOGÍA DEL CÁLCULO 1) Se calculan las rigideces suponiendo las secciones constantes de las vigas. r = 1/L, salvo las vigas extremas r= 0.75/L Tramo 1 r = 0 Tramo 2 r = 1/6 = 0.17 Tramo 3 r = 1/7 = 0.14 Tramo 4 r= 0.75/ 5 = 0.15 2) Se calculan los coeficientes de distribución para cada viga según rigideces (%). Ej.: Tramo 3 C3 = 0.14/ (0.14 + 0.15) = 0.49 Tramo 4 C4= 0.15/ (0.14 + 0.15) = 0.51 3) Se determinan los momentos de empotramiento perfecto de las vigas (se colocan con signo alternado): Tramo 1: MB= q x L2/ 2 = 3 x 4 / 2 = 6.00tm Tramo 2: MA=MB= q x L2/12 = 3 x (6)2 / 12 = 9.00 tm Tramo 3 carga repartida:
MAq=MBq = q x L2 / 12 = 1.5 x (7)2 / 12 = 6.15 tm Carga Concentrada: MAp = P x b / L = 4 x 5/ 7 = 4.08 tm MBp = P x a /L = 4 x 2/ 7 = 1.63 tm MAq + MAp = 10.23 tm MBq+ MBp = 7.78 tm Tramo 4: MA = q x L2 / 8 = 3 x (5)2/ 8 = 9.35 tm 4) Se equilibran los nudos con momentos de igual valor y signo contrario según los coeficientes de rigidez. Ej.: Tramo 2/3: +9.0 -10.23 = -1.23 ----> 0.54 x (+1.23) = +0.66 ------> 0.46 x (+1.23) =+0.57 Luego: -1.23 + 0.66 + 0.57 = 0 (equilibrado) Se repite para el resto de los apoyos. 5) Se transmiten los momentos al nudo opuesto con la mitad de su valor y el mismo signo. (Ver figura) 6) Se repiten los pasos 4) y 5) sucesivamente 7) Equilibrio final de los nudos cuando los valores son ya muy pequeños. 8) Obtención de los Momentos Definitivos de Apoyo: La suma de los valores de las columnas a izquierda y derecha de las verticales debes ser iguales en valor pero con signo contrario. Obtención de Reacciones Definitivas Obtenidos los momentos definitivos de apoyo pasamos a calcular los momentos máximos de tramo, para obtener la armadura final de las vigas a la flexión. Las filas de la figura muestran los siguientes valores:
Ro q = Reacciones isostáticas de las cargas q (uniformes) Ro p = Reacciones isostáticas de las cargas P (puntuales) dM/L = Término de corrección, si el momento izquierdo (MA) es mayor que el derecho (MB) la reacción definitiva RA Def se incrementa (se suma a la reacción isostática) y la otra se decrementa. Y viceversa. R Def = Reacciones Definitivas, es la suma de los valores anteriores. N Col = Cargas que llegan a las columnas (suma de las reacciones concurrentes al nudo). Estas deben sumarse a las vigas en sentido perpendicular a las consideradas.
Momentos máximos de tramo Viga 2 (6m): La posición del momento máximo (corte nulo) desde el apoyo A es: Xa= RA/ q ---> 8.31tn/ (3tn/m) = 2.77m Mmáx= 8.31tn x 2.77m - 3tn/m x 2.77m x 2.77m x 0.5 - 6tnm Mmáx= 5.5 tnm Viga 3 (7m): Si la carga puntual está a la izquierda del centro de la luz de la viga, calculamos la posición de X desde el apoyo derecho (Xb) y viceversa. Xb= RB/ q --> 6.17/ 1.5 = 4.11mMmáx= 6.17tn x 4.11m - 1.5tn/m x 4.11m x 4.11m x 0.5 8.46tnmMmáx= 4.2 tnm Viga 4 (5m): Xa= RA/ q ----> 9.19tn/ 3(tn/m) = 3.06mMmáx= 9.19tbn x 3.06m 3tn/m x 3.06m x 3.06m x 0.5 - 8.46tnmMmáx= 5.6 tnm En la unión viga 4-columna (apoyo derecho) en general el momento negativo vale:M=q (L)2/ 20M = (3tn/m x 5m x 5m )/ 20 = -3.75 tnm
La figura muestra los diagramas de Corte y Momentos Flectores calculad
Datos Viga de Acero (obviar peso propio) q1= 200 kg / ml Coeficientes de Distribución por Nudo. q2= 300 kg / ml P = 500 kg L = 3,00 m
PROBLEMA 9 Calcular los momentos y reacciones, luego dibujar los DFC y DMF de la siguiente viga, usando Hardy Cross. (Determinando y ubicando lo puntos críticos).
2m
4Tn 3T/m
3T/m A
1.5T/m B
2m
7m
6m
D
C 5m
1) Calculo de K
2)
Calculo de
PUNTO A
PUNTO B
PUNTO C
PUNTO D
3)
Calculo de momento de empotramiento perfecto Tramo AB
3T/m
6m
Tramo BC
2m
4Tn 1.5T/m
Tramo CD 3T/m
5m
2m
3T/m
2m
1.00 +9.00 -3.00 -0.33 +0.33 +0.32 -0.32 +0.12 -0.12 +0.05 -0.05 +6.00
3T/m
1.5T/m
7m
6m
0.00 -6.00
4)
4Tn
0.54 -9.00 -0.65 -1.50 +0.64 +0.17 +0.23 -0.16 +0.09 -0.06 +0.10 -10.14
5m
0.46 10.21 -0.56 +0.32 +0.54 -0.60 +0.20 -0.01 +0.08 -0.12 +0.08 +10.14
0.42 -7.78 +0.64 -0.28 -1.20 +0.27 -0.02 +0.10 -0.23 +0.04 -0.02 -8.48
0.58 +6.25 +0.89 +3.13 -1.65 -0.23 -0.02 +0.44 -0.31 +0.01 -0.03 +8.48
1.00 -6.25 +6.25 +0.45 -0.45 -0.83 +0.83 -0.01 +0.01 -0.16 +0.16 0.00
0.00
7.50
Ro q
Obtención de Reacciones Definitivas
2m
Q=3T/m
2m
6.00
Q=3T/m
Q=1.5T/
7m
6m
9.00
P=4
9.00
5m
5.25
5.25
2.86
1.14
7.50
Ro p
6.00
-0.69
+0.69
+0.24
-0.24
8.31
9.69
8.33
6.17
14.31
18.02
9.19
15.36
5.81
R Def
5.81
N Col
Ro q = Reacciones isostáticas de las cargas Q (uniformes). Ro p = Reacciones isostáticas de las cargas P (puntuales). Dm/L = termino de corrección, si el momento izquierdo (MA) es mayor que el derecho (MB) la reacción de finitima RA Def se incrementa (se suma la reacción isostática) y la otra se decrementa. Y viceversa. R Def = reacciones definitivas, es la suma de los valores anteriores. N Col = cargas llegan a las columnas (suma de las reacciones concurrentes al nudo). Estas deben ser sumarse a las vigas en sentido perpendicular a las consideradas. 5)
Momentos Máximos de tramo Tramo AB: La posición del momento máximos (corte nulo) desde e l apoyo A es:
Tramo BC: Si la carga puntual está a la izquierda del centro de la luz de la viga, calculamos la posición de X desde el apoyo derecho ( ) y viceversa:
Tramo CD:
En la unión del tramo CD – columna (apoyo derecho) en general el momento negativo es:
Diagrama de Corte y Momentos Flectores: DFC: 9.19
8.33
8.31
4.11
2.77 5.81
6.00 617 9.69 DMF:
-10.16
-6.00
-6.00 -3.75
+4.18 +5.5
+5.58
POR EL TEOREMA DE TRES MOMENTOS
3T/m
Tramo A-B
4Tn 3T/m 1.5T/m
B
A 2m
2m
D
C 7m
6m
5m
B-C 4Tn 2m
3T/m
1.5T/m B
A 6m
DMF
C
B 7m
Tramo B-C 2m
C-D 4Tn
3T/m 1.5T/m
7m
DMF
Resumen:
5m
Solución del Sistema de Ecuaciones: Reescribamos el sistema de ecuaciones en la forma de una matriz y lo resolvamos por e l método de eliminación de Gauss-Jordan 1
0
0
0
-6
6 0
26 7
7 24
0 5
-358.94 -273.85
0
0
0
1
0
de 2 filas sustraigamos la 1 línea, multiplicada respectivamente por 6 1
0
0
0
-6
0
26
7
0
-322.94
0
7
24
5
-273.85
0
0
0
1
0
Dividamos 2-ésimo por 26 1 0
0 1
0 7/26
0 0
-6 -16147/1300
0
7
24
5
-273.85
0
0
0
1
0
de 3 filas sustraigamos la 2 línea, multiplicada respectivamente por 7 1 0
0 1
0 7/26
0 0
-6 -16147/1300
0
0
575/26
5
-60744/325
0
0
0
1
0
Dividamos 3-ésimo por 575/26 1
0
0
0
-6
0
1
7/26
0
-16147/1300
0
0
1
26/115
-121488/14375
0
0
0
1
0
de 2 filas sustraigamos la 3 línea, m ultiplicada respectivamente por 7/26 1
0
0
0
-6
0
1
0
-7/115
-583361/57500
0 0
0 0
1 0
26/115 1
-121488/14375 0
de 2; 3 filas sustraigamos la 4 línea, multiplicada respectivamente por -7/115; 26/115 1 0
0 1
0 0
0 0
-6 -583361/57500
0 0
0 0
1 0
0 1
-121488/14375 0
Resultado: = -6 Tn.m = -583361/57500 = -10.14 Tn.m = -121488/14375 = -8.44 Tn.m =0 Para las Reacciones se realiza del mismo método que en Hardy Cross. PROBLEMA 10: Aplicando el Teorema de Tres Momentos hallar los Momentos Flectores de la viga continua y comprobar por Hardy Cross
SOLUCION Hacemos un tramo imaginario de L=0 y M5=0
M1=M5=0 , L4=0 Hallamos los valores de los Momentos analizando por tramos .
Tramo 1-3
M1L1 + 2M2(L1+L2) + M3(L2) =
Tramo 2-4
Tramo 3-5
-
Haciendo:
Luego:
Reemplazando en
COMPROBANDO POR HARDY CROSS
Cálculo de rigideces:
Cálculo de los coeficientes de distribución:
