Examen Final Calculo Integral 2012-1 Con Solucion

VICERRECTORÍA ACADÉMICA Y DE INVESTIGACIÓN SISTEMA NACIONAL DE EVALUACIÓN ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGÍA E INGENIERÍA CONVOCATORIA NACIONAL I – 2012 CURSO: Cálculo Integral

CÓDIGO: 100411 TEMA A

CUADERNILLO DE PREGUNTAS PREGUNTAS DE SELECCIÓN MÚLTIPLE CON ÚNICA RESPUESTA A continuación, usted encontrará preguntas que se desarrollan en torno a un enunciado, problema o contexto, frente al cual, usted debe seleccionar aquella que responde correctamente a la pregunta planteada entre cuatro opciones identificadas con las letras A, B, C, D. Una vez la seleccione, márquela en su hoja de respuestas rellenando el óvalo correspondiente. Analizando y conceptualizando la antiderivada, podemos pensar que si tenemos una

f ( x ) , la tarea consiste en encontrar otra función D ( x ) tal que D ′( x ) = f ( x ) . Por lo tanto D ( x ) es una antiderivada de f ( x ) .

función

Para solucionar integrales se debe identificar como primero paso el método a emplear, una sugerencia puede ser la siguiente: 9 Identificar si la integral a solucionar en directa.

ax ( n +1 ) + k Para n ≠ − 1 9 Si podemos aplicar la formula a ∫ x dx = (n + 1 ) n

9 Aplicar nuestros conocimientos previos del algebra como la factorización, la simplificación, al división sintética, etc. 9 Utilizar la técnica de la sustitución, por partes, por fracciones parciales y otras. Con base en los anteriores conceptos, solucione las preguntas del 1 hasta el 10 1. Las integrales son importantes dentro de las matemáticas y para resolverlas (n + 1 ) podemos utilizar la ecuación

n ≠ − 1 . Teniendo x−3 ∫ x 3 dx , es: A. B.

1 3 + +k . x 2x2 −1 3 + +k x 2x2

AUTOR:

n ∫ ax dx =

ax +k n +1

siempre y cuando

en cuenta lo anterior, la solución de la integral indefinida

. RTA

JOSE BLANCO

ZONA:

BOGOTA – CUNDINAMARCA Página 1 de 17

CEAD: JOSE ACEVEDO Y GOMEZ



C. D.

−1 3 − +k x 2x2 1 3 − +k. x 2x2

.

Solución:

x −3 dx dx x −1 3 x −2 − 1 3 −2 −3 ∫ x 3 dx = ∫ x 2 − 3∫ x 3 = x − 3x = − 1 − − 2 = x + 2 x 2 + k dx

∫ (a + bx )

2. La solución de la integral

, donde

2

a y b son constantes, es:

−1 + c RTA b(a + bx ) 1 B. +c 2(a + bx ) −1 C. +c 2(a + bx ) 1 D. +c a(a + bx ) A.

Solución:

∫

⎧ u = a + bx 1 dx ⇒ ⎨ ⇒ b a + bx ⎩ du = bdx

3. La solución de la integral

∫ (u )

x2 − 4 ∫ 2(x + 2)dx ,

−2

u −1 −1 du = +c = +c b (a + bx ) −b

es D( x ) =

x2 − x + c , en donde para su 4

adecuada solución se utilizo el método de: A. B. C. D.

Fracciones parciales. Identidades trigonométricas. Sustitución por cambio de variables. Operaciones algebraicas. RTA

Solución: AUTOR:

JOSE BLANCO

ZONA:





∫

x2 − 4 dx = 2 (x + 2 )

∫

( x − 2 )(x + 2 )dx 2 (x + 2 )

∫

=

( x − 2 )dx 2

x2 = −x+c 4 4. La solución de la siguiente integral indefinida

∫

=

1 2

∫

xdx −

∫

a

se considera una

dx

x+2 dx , es: x +1

A. x + ln x + 1 + c RTA B. log x + 1 + c C. ln x + 1 + c D. x + c Solución:

x+2 x+2 1 dx 1 ⇒ = + ⇒ ∫ x +1 x +1 x +1 dx = ∫ dx + ∫ = x + ln x + 1 + c x +1 5. Calcule la siguiente integral indefinida

∫

1 ⎞ ⎛ ⎜1 + ⎟ dx x 1 + ⎝ ⎠

∫ (a + x ) dx , donde 3

constante. A. (a + x ) + c 4

(a − x )4

+c 2 4 ( a + x) + c RTA C. 4 (a + x ) + c D. 2 Solución: B.

∫

u = a+x (a + x ) dx ⇒ ⎧⎨ ⇒ ⎩ du = dx

AUTOR:

3

JOSE BLANCO

ZONA:

∫

(a + x ) + c u4 u du = +c = 4 4 4

3





dx

∫

6. Calcule la siguiente integral indefinida,

(a + bx )

1 3

donde

a y b se consideran

constantes. A. (a + bx )3 + c 2 3 (a + bx )3 + c RTA B. 2b 2 3 (a + bx )3 + c C. 2a 2 1 D. (a + bx )3 + c3 2 Solución: 2

∫ =

dx

(a + bx )

1 3

⎧ u = a + bx ⇒ dx ⇒ ⎨ ⎩ du = bdu

∫

u

−1 3

2 3

1 u du = ⋅ +c b b 23

2 3 (a + bx )3 + c 2b

7. Al solucionar la siguiente integral indefinida ∫ (2 A. B. C. D.

)

n

− 3 0 dx

0

se obtiene:

0. k . RTA 0+k . n+k .

Solución:

∫ (2

0

− 30

) dx = ∫ 0 n

n

dx = k

8. Al resolver de forma adecuada la siguiente integral

∫ [(

)

]

Sen (3 x ) Cos (3 x ) dx , el

mejor método de integración a utilizar es: A. Integración directa AUTOR:

JOSE BLANCO

ZONA:





B. Integración por Sustituciones trigonométricas C. Integración por partes. D. Integración por cambio de variable. RTA Solución:

Sen (3 x )Cos (3 x )dx =

∫

1 (Sen ( x ))2 2 = = 3 3 9 2

∫ (Sen (3 x ))2 Cos (3 x )dx 1

⎧ u = Sen (3 x ) ⇒ ⎨ ⎩ du = 3 Cos (3 x )dx

3

Sen

3

(x ) + c

9. La solución de la siguiente integral indefinida

Sen ( x ) + Cos ( x ) dx es: Sen ( x ) − Cos ( x )

∫

A. 2Cos 2 ( x ) + c B. 2 Sen 2 ( x ) + c

C. 2 Sen( x ) − Cos ( x ) + c RTA

D. 2Tan 2 ( x ) + c Solución:

⎧ u = Sen ( x ) − Cos ( x ) Sen ( x ) + Cos ( x ) dx =⇒ ⎨ Sen ( x ) − Cos ( x ) ⎩ du = (Sen ( x ) + Cos ( x ))dx

∫ =

∫

u

−1 2

[Sen (x ) + Cos (x )]⋅

du = 2 Sen ( x ) − Cos ( x ) + c Sen ( x ) + Cos ( x )

10. La solución a la siguiente integral

A. B. C. D. AUTOR:

∫

sen ( x ) cos ( x ) 1 − cos

2

(x )

dx es :

Cos ( x ) + c Tan( x ) + c Sec( x ) + c Sen( x ) + c RTA JOSE BLANCO

ZONA:





Solución:

∫ =

sen ( x ) cos ( x ) 1 − cos

2

(x )

dx =

∫

sen ( x ) cos ( x ) Sen

2

(x )

dx =

∫

sen ( x ) cos ( x ) dx sen ( x )

Cos ( x )dx = Sen ( x ) + c

∫

f ( x ) de una variable real x y un intervalo [a , b ] la integral definida es igual al área encerrada entre las graficas de f ( x ) , el eje de las abscisas y las líneas verticales x = a y x = b Dada una función

Solucione las preguntas del 11 hasta el 15 las cuales se refieren a integrales definidas b

11. La solución de la integral definida

∫ (x + k )dx , siendo k una constante, es: a

2

⎛b a⎞ A. ⎜ − ⎟ ⎝2 2⎠ ⎛ b2 a2 B. ⎜⎜ − 2 ⎝ 2

+ k (b − a ) .

⎞ ⎟⎟ + k (b − a ) .RTA ⎠ 2 2 C. b + a + k (b + a ) .

(

)

D. (b − a ) + k (b − a ) . 2

Solución: b

∫ (x + k )dx a

b

=

∫ a

b

x2 xdx + k ∫ dx = + kx 2 a

b a

⎛ b2 a2 = ⎜⎜ − 2 ⎝ 2

⎞ ⎟⎟ + k (b − a ) ⎠

π

12. La solución de la siguiente integral definida

Sen ( x )dx ∫ π

es.

/2

A. B. C. D.

0 2 1 −1

AUTOR:

RTA

JOSE BLANCO

ZONA:





Solución: π

∫ Sen (x )dx 0

π ⎛π ⎞ = − Cos ( x ) π / 2 = − Cos (π ) − Cos ⎜ ⎟ = − (− 1 ) − 0 = 1 ⎝ 2⎠

13. La solución de la siguiente integral definida

∫

2

2

(

2 x3/2

)

5/2

dx es

A. 0 RTA B. 1 C. Infinito. D. 5 Solución: Por propiedad de la integral definida

14. La siguiente expresión A. B. C. D.

1 b−a

∫

b

a

∫

b

a

f ( x )dx = 0 , para a = b

f ( x )dx define :

Teorema de simetría. Teorema del valor medio. RTA Primer teorema fundamental del cálculo. Segundo teorema fundamental del cálculo.

Solución: Teorema del valor medio.

f ( x ) = lim

n →∞

1 b−a

n

1 ∑ f (x )Δ x = b − a ∫ i =1

i

b

a

f ( x )dx

x 2 + 3 x − 70 ∫−10 x − 7 dx 0

15. La solución de la siguiente integral definida A. B. C. D.

es:

50 RTA 0 150 25

Solución: AUTOR:

JOSE BLANCO

ZONA:





0 ⎡ (− 10 )2 ⎤ x 2 + 3 x − 70 x2 ( ) ( ) dx = x + 10 dx = + 10 x = − + 10 * − 10 ⎢ ⎥ = 50 ∫−10 x − 7 ∫−10 2 2 ⎣ ⎦ 0

Las integrales tienen múltiples aplicaciones para solucionar problemas en diversos campos de las ciencias y la tecnología, partiendo del análisis de graficas (área bajo curvas, longitud de curva), los volúmenes de sólidos de revolución, las aplicaciones en la solución de problemas prácticos de la física y la economía. Solucione las preguntas del 16 hasta el 22 las cuales se refieren a las aplicaciones de las integrales 16. Calcule el área total bajo la curva de la siguiente función y = x − 3 x − x + 3 , con respecto al eje x , tomando como intervalo el origen y el primer punto de intersección de la función y el eje x positivo. 3

7

2

Unidades Cuadradas RTA

A. 4 7

B. 9 9

C. 12 21

D. 27

Solución: Se calculan las intersecciones con el eje x, Factorizando el polemonio se obtienen

x 3 − 3 x 2 − x + 3 = ( x − 1 )( x + 3 )( x + 1 ) por lo tanto se observa que las intersecciones son en los puntos x = 1 , x = 3 y x = − 1 , pero como -1 y 3 está en la fuera del rango de integración, se deja por fuera de la integral.

A=

∫( 1

0

1

)

7 x4 x2 3 x − 3 x − x + 3 dx = −3 − + 3x = 4 2 4 0

AUTOR:

3

2

JOSE BLANCO

ZONA:





17. Las estadísticas del DANE indican que

t meses

precio del arroz estaba dado por la función

después del principio de año el

16 − 9 t 2 P (t ) = 3t + 4

Dólares por kilo. El

precio medio del kilo de arroz, durante los dos primeros meses fue de: A. B. C. D.

2 .0 4 .0 3 .0 1 .0

Dólares. Dolares. Dólares. Dólares. RTA

Solución: b 2 1 1 ⎛ 16 − 9t 2 ⎞ 3t 2 2 2 ⎟ ⎜ ( ) VM = f x dx dt t t = 4 − 3 = 4 − = 8 − 6 = =1 = b − a ∫a 2 − 0 ∫0 ⎜⎝ 3t + 4 ⎟⎠ 2 0 2

AUTOR:

JOSE BLANCO

ZONA:





18. La longitud de la línea generada por

x = 4 A. B. C. D.

3x2 − 3x − 6 f (x ) = x +1

entre

x = 2

y

, es:

2 10

RTA

20 2 2 40 4 40 2

Solución:

3 ( x − 2 )( x + 1 ) = 3x − 6 x +1 f ′(x ) = 3 f (x ) =

4

L =

∫

4

1 + 9 dx =

10 x

= 4 . 10 − 2 . 10 = 2 10

2

2

19. De un tambor cilíndrico se han desenrollado 50 metro de cable que pesa 3 Kilopondios (Kilogramo-Fuerza) por metro. El trabajo realizado por la fuerza de la gravedad A. B. C. D.

153245 176458 125798 131250

(9 . 8 m / s ) , para desenrollar 250 metros más, es: 2

kp ⋅ m kp ⋅ m kp ⋅ m kp ⋅ m RTA

Solución: x= Sea

Longitud F (x ) = 3 x

AUTOR:

desenrollada

JOSE BLANCO

ZONA:

en

un

momento


dado,

entonces




⇒W =

∫

300

50

3 3 xdx = x 2 2

⎛3 ⇒ W = ⎜ ⋅ (300 ⎝2

300

50

)2 ⎞⎟ − ⎛⎜ 3 ⋅ (50 )2 ⎞⎟ = 135000 ⎠

⎝2

⎠

− 3750 = 131250 kp ⋅ m

PREGUNTAS DE SELECCIÓN MÚLTIPLE CON MÚLTIPLE RESPUESTA De la pregunta 20 a 22, constan de un enunciado, problema o contexto a partir del cual se plantean cuatro opciones numeradas de 1 a 4, usted deberá seleccionar la combinación de dos opciones que responda adecuadamente a la pregunta y marcarla en la hoja de respuesta, de acuerdo con la siguiente información: Marque A si 1 y 2 son correctas. Marque B si 1 y 3 son correctas. Marque C si 2 y 4 son correctas. Marque D si 3 y 4 son correctas.

( )= 6x − x2

20. El área entre las siguientes funciones f x las coordenadas de un punto de corte, son:

y

(

g (x ) = x 2 − 2 x

)

y

64 Unidades Cuadradas RTA 3 2. [4,8] RTA 3. 21.34 Unidades Cuadradas 4. [0,1]

1.

Solución: El área es: Los puntos de corte se hallan igualando las dos funciones 6 x − x 2 = x 2 − 2 x ⇒ 8 x = 2 x 2 ⇒ 4 = x , siendo este el punto de corte entre las dos funciones, ambas funciones se interceptan en el origen.

AUTOR:

JOSE BLANCO

ZONA:





A=

∫ (6 x − x ) − (x 4

2

2

0

2 A = 4x − x3 3

4

= 4 (4 ) − 2

2

A = 64 −

)

− 2 x dx =

0

∫

4

0

8 x − 2 x 2 dx = 8 ∫ xdx − 2 ∫ x 2 dx

2 (4 )3 − 4 (0 )2 − 2 (0 )3 3 3

128 = 21 . 3333 3

21. En electrónica, se entiende por voltaje RMS al valor de la señal alterna (AC – Corriente Alterna) que disipa la misma potencia en la misma carga que en la señal directa (DC – Corriente directa); teniendo que la ecuación para hallar el valor RMS de una señal es

V RMS =

1 T

∫ [ f (wt )] dwt T

2

0

. De acuerdo con la información

anterior el valor RMS de la grafica y el punto de corte con el eje x, son: 1. V RMS =

Vp 2

2.

V RMS = V p

3.

[π , 0 ] RTA

AUTOR:

RTA

JOSE BLANCO

ZONA:





4.

⎡π ⎤ ⎢ 2 ,0 ⎥ ⎣ ⎦

Solución:

V RMS = V RMS =

1 T

∫

T

0

f

(Vp )2 T

2

(wt )d (wt ) =

2π

∫π

∫ [VpSen (wt )] d (wt ) 2π

2

0

⎡ 1 − Cos (22 wt ) ⎤ ⎥⎦ d (wt ⎢⎣ 2

V RMS = Vp

1 ⎡ 2π d (wt ) − 2 T ⎢⎣ ∫0

V RMS = VP

1 2 ⋅ 2π

V RMS = Vp

1 T

⎡ ⎢ (wt ⎢⎣

2π = Vp 4π

)0

2π

−

∫

2π

0

)

Cos (2 wt )d (wt )⎤ ⎥⎦

(Sen (2 wt )) 2 π ⎤ 2

0

⎥ = Vp ⎥⎦

1 [2 π − (0 )] 4π

Vp 1 = 2 2

()

()

22. Las funciones oferta y demanda están dadas por S x = x , D x = − x + 12 respectivamente. El excedente del consumidor (EC) y el excedente del productor (EP) en el punto de equilibrio, son: 1. 2. 3. 4.

EC = 4.5 EP = 27 EC = 4.5 EP = 18

AUTOR:

2

RTA RTA

JOSE BLANCO

ZONA:





x 2 = − x + 12 x 2 + x − 12 = 0 x=3 y =9 3

( )

3 − x2 EC = ∫ (− x + 12)dx − 3 * 9 = + 12x = −4.5 + 36 − 27 = 4.5 2 0 0 3

EP = 3 * 9 − ∫ x 2 dx = 27 − 0

x3 3 = 27 − 9 = 18 3 0

PREGUNTAS DE ANÁLISIS DE RELACIÓN De la pregunta 23 a 25, constan de dos proposiciones así: una Afirmación y una Razón, unidas por la palabra PORQUE. Usted debe examinar la veracidad de cada proposición y la relación teórica que las une. Para responder este tipo de preguntas, debe leerla completamente y señalar en la hoja de respuesta, la elegida de acuerdo con las siguientes instrucciones: Marque A si la afirmación y la razón son VERDADERAS y la razón es una explicación CORRECTA de la afirmación. Marque B si la afirmación y la razón y la razón son VERDADERAS, pero la razón NO es una explicación CORRECTA de la afirmación. Marque C si la afirmación es VERDADERA, pero la razón es una proposición FALSA. Marque D si la afirmación es FALSA, pero la razón es una proposición VERDADERA. AUTOR:

JOSE BLANCO

ZONA:





23. La solución a la integral

∫

4

0

1⎞ ⎛ ⎜ 4 x − ⎟ dx es 20 PORQUE se trata de una integral 2⎠ ⎝

definida cuyos límites de integración son 0 y 4 Solución:

Al resolver la integral se tiene:

∫

4

0

4

1⎞ ⎛ ⎡ 2 x⎤ ⎜ 4 x − ⎟ dx = ⎢ 2 x − ⎥ = 30 2⎠ 2 ⎦0 ⎝ ⎣

Es decir, la afirmación es falsa, pero la razón es verdadera. Respuesta D

24. Sea f ( x ) una función discontinua en un intervalo definido, por consiguiente es

integrable en un intervalo cerrado [a , b ] , sea P ( x ) una antiderivada de f ( x ) , en

∫ f (x )dx b

el intervalo dado, entonces

a

= P (a ) − P (b ) PORQUE para que se

cumpla el segundo teorema fundamental del cálculo, la función f ( x ) tiene que ser

∫ f (x )dx b

continua en un intervalo definido y cumplir que

a

= P (b ) − P (a )

Solución: La afirmación es falsa, pero la razón es verdadera. Respuesta D Sea f ( x ) una continua en un o intervalo definido, por consiguiente es integrable

[a , b ] , sea P (x ) una antiderivada b intervalo dado, entonces ∫ f ( x )dx = P (b ) − P (a ) . a en un intervalo cerrado

de

f ( x ) , en el

25. En un salón de clases de la UNAD, el tutor plantea la siguiente integral indefinida

∫

1− x dx (1 + x )3 , la cual es desarrollada por un estudiante con el siguiente

procedimiento: AUTOR:

JOSE BLANCO

ZONA:





1− x

∫ (1 + x )

3

dx =

1− x +1−1

∫ (1 + x )

3

∫

1− x dx = (1 + x )3

∫

(x + 1 ) 1− x dx = 3 −2 (1 + x )

∫

dx =

2 dx − (x + 1 )3 −2

−

∫

2 − (1 + x )

∫ (1 + x )

3

dx

1+ x dx (1 + x )2

(x + 1 )−1 −1

=

−1 1 + +c 2 x +1 2 (x + 1 )

La solución planteada por el estudiante al ejercicio del tablero es incorrecta PORQUE el procedimiento desarrollado por el mismo estudiante es claro y conciso, llegando a la respuesta correcta. Solución: La afirmación es verdadera pero la razón es falsa. Respuesta C

u = 1+ x du = dx x = u −1

1 − (u + 1 ) 2 − u −3 −3 −2 ∫ u 3 = u 3 = (2 − u )u = 2 u − u

−1 1 2 u −2 u −1 − = 2 + +k −2 −1 u u

Formulario: ax(n+1) ∫ ax dx = (n +1) + k con n ≠ −1 n

Integral básica:

b

Área entre dos funciones:

A = ∫ [ f (x) − g (x)]dx a

AUTOR:

JOSE BLANCO

ZONA:





Volumen de un sólido entre dos funciones:

{

b

}

V = π ∫ [ f ( x)] − [g( x)] dx 2

2

a

b

L = ∫ 1 + [ f ′( x)] dx 2

Longitud de línea:

a

Q

Excedente del consumidor (EC):

EC = ∫ D(x)dx − QP 0

Q

EP = QP − ∫ S (x)dx

Excedente del productor (EP):

0

Identidad trigonométrica: sen ( x) = 2

1 − cos(2x) 2 b

Valor promedio:

AUTOR:

1 VM = f ( x )dx b − a ∫a

JOSE BLANCO

ZONA:



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