Universidad Nacional de Ingenier ía / Facultad de Ciencias Sección de Posgrado y 2da. Especialización Profesional
EXAMEN DE ADMISIÓN 2008 – II MAESTRIA EN CIENCIAS, MENCION EN F ÍSICA Y MENCIÓN EN FÍSICA MÉDICA Examen de Especialidad Martes, 26 de agosto del 2008 Duración: 4 Horas. ESCOJA SOLAMENTE DOS PROBLEMAS DE CADA TEMA (TOTAL: 6 PROBLEMAS)
Tema: Mec á nica Cl á sica 1.
Tres bloques de igual masa m se mueven, sin fricci ón, a lo largo del eje X unidos por resortes ideales de igual constante el ástica K (ver figura 1). En el instante t 0 los resortes no est án deformados. =
a) Usando como coordenadas generalizadas diferenciales del movimiento de los bloques. b) Determine las frecuencias propias.
k
= xk – x(0), determine las ecuaciones
Figura 1 2.
Se tiene dos part í culas cargadas A y B de masas iguales a M y m = 0,5 kg, respectivamente. La partí cula A tiene carga Q y la part í cula B tiene carga q. Supongamos que la part í cula A permanece fija y que la única fuerza que act úa sobre la partí cula B es la fuerza el éctrica debido a la part í cula A. En la figura 2 se muestra la posici ón inicial de la part í cula B. Si KQq = 0,5 N-m 2, halle el tiempo que demora la partí cula B en ir del punto inicial al punto donde la distancia al origen de coordenadas es el doble de la distancia inicial (no es necesario efectuar la integraci ón).
Figura 2
3.
Una pequeña bola se mueve (sin rozamiento) en un canal que tiene forma de espiral el cual está contenido en el plano xy y cuya ecuaci ón es C: r = a . En el instante t = 0 la bolita está en el origen de coordenadas y se le imparte la velocidad v = vo i. Determine una ecuaci ón que relacione el tiempo con la coordenada polar r considerando que la fuerza de gravedad es perpendicular al plano xy.
Figura 3 4.
Un bloque A se mueve en el eje x (no hay rozamiento) unido a un resorte ideal cuyo otro extremo está unido a otro bloque que se mueve tambi én en el eje x (ver figura 4) pero con aceleración constante a o. Halle la coordenada del bloque A en función del tiempo.
Figura 4 5.
En la figura 5 se muestra un p éndulo de masa m con punto de suspensi ón que se mueve en el eje X con velocidad constante v o. Usando la dinámica de Lagrange determine la ecuaci ón diferencial de movimiento del péndulo.
Figura 5
Tema: Electromagnetismo 1. Halle la densidad de flujo magnético B a lo largo del eje z (z = 0 est á en el medio de solenoide) en los siguientes casos:
En todos ellos haga el caso general para h << r, h>> r y tambi én para
h
, r 0.
a) Imán cilí ndrico, Norte arriba y Sur abajo (escoger antes los parámetros de un imán permanente. b) Solenoide con una corriente Ib. c) Solenoide con núcleo de hierro ( r = 250, = 1.07 x 10 7 Sm-1), corriente Ic. d) Solenoide con espiras conc éntricas (o espirales), con corriente I d. Halle también las posibles equivalencias bajo que corrientes o condiciones dos o m ás dispositivos son equivalentes. Si es posible verificar experimentalmente. 2. En el caso b) para h , r 0, se conoce tambi én como la cuerda de Dirac (Dirac String). Analice el campo alrededor de un polo y compare con la forma del campo el éctrico de una carga. 3. Use la ecuaci ón de Laplace en coordenadas cil í ndricas para hallar la capacitancia de un cable coaxial (los radios interior y exterior son a y b respectivamente). Tema: Mec á nica Cu á ntica 1. Una partí cula de masa m se mueve en el siguiente pozo de potencial
V(x) =
0 ∞
si si
− a < x < a − a > x > a
Suponga que en t = 0, (x, 0) = A (a 2 – x2). Calcule la probabilidad P0 y P1, de medir las energ í as del nivel fundamental y del primer nivel excitado, E0 y E1, respectivamente.
2. El hamiltoniano H de un cierto sistema f ís ico está representado por la matriz:
H = hw
1 0 0
0
0
2
0 ,
2
0
mientras que los observables A y B est án representados por las matrices:
A =
0
λ
λ 0 0
0
0 , 2λ 0
B =
2 µ 0
0
,
u1
+
0
0
0 µ
0
µ
respectivamente, donde λ y µ son constantes. Se pide: i) Calcular los autovalores de A y B, ii) Si el sistema f í sico se encuentra en el estado
1 u 1 = 0 , 0
u2
u =
0 = 1 , 0
1 2
u3
1 2
u2
+
1 2
u3 ,
con
0 = 0 1
calcule, en este estado u , los valores medios < H >, < A > y < B >. iii) Calcule la probabilidad de que, al hacer una medida del observable A en el estado u se obtenga el mayor de sus autovalores. iv) Calcule la probabilidad de que, al hacer una medida del observable B en el estado u se obtenga el mayor de sus autovalores. 3. Una partí cula, con momento angular orbital
=
1,
1 φ = 4 26 - 3 1
está en el estado
¿Cuál es la probabilidad de que una medida del observable L x dé como resultado cero? Nota: El estado φ está escrito en la base {Y 11 , Y 10 , Y 1−1 } .
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EXAMEN DE ADMISIÓN 2008 – II MAESTRIA EN CIENCIAS, MENCION EN F ÍSICA Y MENCI ÓN EN FÍSICA MÉDICA Examen de Matem ática
Miércoles, 27 de agosto de 2008 Duración: 2 horas y 30 minutos
Tema: M é todos Matem á ticos Aplicados a la Fí sica 1.
Encuentre una serie de Fourier en cosenos que represente a la funci ón f(x) mostrada en la figura, en el intervalo (0,6).
2. Encuentre la distribución de temperaturas en r égimen estacionario en una placa semi-infinita para las condiciones de frontera indicadas en la figura. En el borde inferior la temperatura, a x centí metros del origen, es x grados. El ancho de la placa es 10cm.
3. En el problema del oscilador armónico unidimensional, seg ún la Teorí a Cu ántica, considere las funciones n, n = 0, 1, 2, …, normalizadas, tales que H n = E n n , donde H = D2 + X2, es el hamiltoniano del sistema. D = d/dx es el operador derivada con respecto a x y X es el operador cuya acción sobre cualquier funci ón f(x) del espacio de funciones est á dada por X f(x) = x f(x). a)
Mostrar que
[ D, X ] = I
(Nota: [ D, X ]
es el conmutador de D y X)
b)
Mostrar que
( X + D ) n =
+∞
c)
Calcule la integral
∫
−∞
(φ 2
n=0
0 2n ϕ n − 1
+ φ 1 )
n
( D 2 + X 2
= 1, 2, ...
+ 2 D X )
(φ 1
− φ 2 ) dx .
4. Considere el siguiente problema con condiciones de frontera: d 2 y d x
2
= x ,
(0
x
1 ),
y(0) = 0,
a) Obtenga la correspondiente función de Green. b) Utilice el método de la funci ón de Green para obtener y(x).
y’(1) =
d y d x
=0. x = 1
