On c o ns i d èr e une r a ngée d’ a t o mes i d ent i q ues de mas s e a constante de rappel entre l’atome en position et l’atome enen positionon ’équation de mouvement de l’atome en=+∞position =∑ (− + 2) es solutions sous forme d’onde− exp[exp[ ] + exp[exp exp[[ ]] dans l ’ é quat i o n du mouvement , on obt i e nt =+∞ 4 =∑ sin 2 as des grandes longueurs d’onde,sicn’est ≈ → 0 2 =+∞ 2 ∑ = ’expression de la vitesse du son =+∞ l→im =∑ Les constantes de rappels sont sous la formed’u1ne1fo+nc+tion puissance =+∞ ++ l→im =∑ 11 =+∞ 11++ ∑= l n 2 ln 2 l’action des premiers voisins cours chapitre 7 Diapositive 17
Dans certains matériaux, les forces de rappels exercées par les atomes autres que les proches voisins ne sont pas négligeables. et équidistants de .L (ou ) est notée . L :
L
s planes monochromatiques :
En remplaçant les trois expressions précédentes
Dans le c
-à-dire
, au premier ordre on a :
Ce qui donne :
L
:
:
On a montré au chapitre 5 (énergie de cohésion) que :
Si on se limitait à
:
:
2 ′ lim→ Le rapport des deux vites es s’écrit ′ √ ln20,83255546 l’action des premiers proches voisins. =+∞ 4 =∑ sin 2 20 s i n ∈ℕ 21 sin 2si n 2 12 1 =+∞ 4 ∑= + d’agiosndeent 2 au maxi m um. Par c o nt r e , l e s voi s i n s d’ o r d r e pai r vi b r e nt en phas e et l e s f o r c e s de r a ppel s qu’ils exercent entre eux est nullespourà toutleinssqtuelantl.es le voisin d’ordre sin 1 Ce qui cor espond à l’opposition de phase entre les2atomesles atomes d’ordre 0< 2 1 ≤ ∈ℕ lesquellessilnevoisi0 n d’ordre 2 0<2 ≤ ∈ℕ cel e qu’on obtiendrait si on se limitait à=+∞l’action des1 premiers proches voisins s’obtient en sommant ∑= 2 1 ≈1,051 :
Les actions de tous les voisins contribuent à la vitesse du son, vu la variation des coefficients , qui sont alternativement positifs et négatifs fait que la vitesse finale est inférieure à la valeur obtenue en ne considérant que A la limite de la première zone de Brillouin, on a :
On considère les deux cas : - pair : - impair : Il existe
, tel que
. Donc :
On en déduit :
la signification physique de ce résultat est à la limite de la première zone de Brillouin, la longueur , les atomes de rang impairs vibrent en opposition de phase et les forces de rappels
Les valeurs du module de déterminés par les valeurs de vérifiants :
a une action maximale sont
et
. Ce qui donne
les valeurs de vérifiant :
Les valeurs du module de pour
a une action nulle sont obtenus pour :
Soit :
Les atomes de rang et vibrent alors en phase et la constante de rappel ne joue aucun rôle. Le rapport entre la fréquence de la vibration obtenue à la limite de la première zone de Brillouin et :
