ECOLE DES PONTS
DYNAMIQUE DES OUVRAGES
Devoir 2016 Partie I : Séance du 10 mai 2016
LIVRABLE 1 Généralités sur la propagation des ondes dans les conduites forcées L’objectif du devoir est l’étude des coups de bélier dans les conduites forcées des installations hydroélectriques. Pour cela, on commence par réfléchir aux problèmes des conduites forcées en général, puis on forme les équations de propagation des ondes dans les conduits rigides (livrable I). Dans le livrable II, on s’intéressera aux conduits souples, et on verra comment on peut calculer le comportement des écoulements dans les conduites forcées de façon simple lorsque le matériau et la section de la conduite sont homogènes sur tout le linéaire. Un coup de bélier se produit lorsqu’on ferme brusquement une vanne alors qu’un écoulement est en place : le fluide en mouvement se trouve alors soumis à un choc, qui va produire une élévation importante de la pression dans la conduite. Souvent, ce choc est le phénomène dimensionnant pour les conduites forcées.
Partie A : Les conduites forcées, typologies et environnement On s’intéresse dans cette partie à quelques généralités sur les conduites forcées, et aux problèmes que se pose l’ingénieur avant de se lancer dans les calculs de dimensionnement. Les aménagements hydroélectriques de montagne ont principalement trois fonctions :
fournir de l’énergie pendant les périodes de pic de la demande. Ces centrales démarrent assez rapidement et se couplent vite au réseau, ce qui en fait de bons compléments aux centrales thermiques et nucléaires, qui tournent en permanence ; stocker de l’énergie durant les périodes de faible demande. Avec des turbines réversibles, le surplus d’énergie disponible sur le réseau est utilisé pour pomper de l’eau depuis la vallée vers les réservoirs d’altitude, et ainsi stocker de l’énergie potentielle de pesanteur ; être un système de secours en cas de blackout du réseau. En France par exemple, quelques centrales hydroélectriques sont capables de démarrer sans apport d’énergie, et de fournir le courant nécessaire au redémarrage d’une centrale nucléaire qui, à son tour, permettra de redémarrer l’ensemble du parc.
L’énergie produite par une turbine est proportionnelle au produit du débit turbiné, par la pression à l’amont de l’usine. On essaie donc, en général, d’installer les réservoirs de montagne le plus en altitude possible, et les usines le plus bas possible dans la vallée, tout en restant dans des coûts d’aménagement raisonnables. Entre ces deux ouvrages, on construit une conduite forcée pour transporter l’eau. Question 1 : Matériaux et types de conduite Les conduites forcées sont souvent en acier, mais aussi parfois en fonte, en béton ou en PRV (polyester renforcé au verre). A votre avis, ceci impact-il l’équation de propagation des ondes dans la conduite forcée ? Si oui, quelles sont les propriétés des matériaux qui peuvent avoir une importance ?
Conduites aériennes en acier de Tanafnit (Maroc)
Les conduites forcées peuvent être aérienne, souterraine ou bien encore creusées dans le rocher. Dans ce dernier cas, on peut protéger le rocher par un anneau de béton ou par un blindage en acier. D’après vous, ces différentes configurations ont elles un impact sur l’équation de propagation des ondes ? Si oui, de quelle manière ? Quelles données faut-il alors essayer de connaître à propos du sol, du rocher ou du béton dans lequel on place la conduite ?
Pose de la conduite enterrée en béton renforcée des Clapeys ; Barrage des Clapeys (France)
Question 2 : Phénomène à considérer Dans l’exemple d’une conduite aérienne, quels phénomènes doivent être considérés pour le dimensionnement de la conduite ? En se rappelant que ces conduites sont souvent installées en montagnes, quels phénomènes naturels en particulier sont dangereux ? Dans l’exemple d’une conduite souterraine, qu’est-ce qui change ? D’autres phénomènes préjudiciables apparaissent-ils (naturels ou non) ? Parmi les phénomènes que vous avez cités, au moins un pourrait demander de résoudre l’équation de propagation des ondes dans les conduites forcées. Lequel ? Pourquoi ? Sous quelle(s) forme(s) serait excité le fluide dans la conduite ? En pratique, ce dernier phénomène n’est jamais étudié, et seule l’étude des régimes transitoires dans les conduites forcées fait l’objet de calculs de dynamique des fluides. Question 3 : Implantation des conduites Une fois qu’est choisi un site pour l’implantation d’une prise d’eau (en altitude) et un autre pour l’usine (dans la vallée) se pose la question du tracé de la conduite entre les deux sites.
Projections de tracé d’une conduite forcée à flanc de talus
La figure ci-dessus représente une proposition de tracé de conduite forcée pour un avant-projet sur une île quelque part dans le Pacifique1. Voyant la pente des talus, quels problèmes pratiques vont se poser ? Quelles solutions pratiques et bon marché proposeriez-vous aux ingénieurs en charge du projet ? (la solution n’est pas encore fixée, soyez imaginatifs !) Quelle énergie portée par le fluide est dissipée lors d’un coup de bélier ? De façon intuitive, est-il donc plus avantageux d’imaginer des tracés de conduite plutôt longs ? Plutôt courts ? Ou bien cela n’a aucune importance ?
Partie B : Propagation des ondes dans les conduits infiniment rigides On considère une conduite forcée menant l’eau d’un bassin de mise en charge à une usine hydroélectrique. A l’entrée de l’usine, une vanne permet de couper le débit. Le volume du bassin est suffisamment important pour que la vitesse de l’eau puisse toujours y être considérée nulle, et la surface de l’eau à une altitude constante.
La conduite, de longueur L et inclinée d’un angle φ sur l’horizontale, est un tube mince circulaire en acier, de section S, de rayon R, et d’épaisseur e << R. L’altitude du niveau d’eau dans le bassin de mise en charge est Zm ; l’altitude de la vanne est Zv. En régime permanent, lorsque l’usine est en fonction, l’eau dans la conduite forcée a une vitesse constante U0, qui correspond à un débit Q0. L’écoulement dans la conduite est étudié via les fonctions de pression et de vitesse le long de l’abscisse (Ox), axe de la conduite. L’écoulement est supposé uniforme sur les sections perpendiculaires à cette abscisse. La conduite est supposée rectiligne et tous les frottements sont négligés.
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Pour des raisons de confidentialité, on ne dira pas où !
Pour l’étude des ondes dans une conduite, on se place dans le cadre des petites vitesses (puisqu’on étudie des phénomènes apparaissant lorsqu’on coupe le débit), et on confond alors la dérivée Lagrangienne et la dérivée Eulérienne. 𝑑𝐴 𝜕𝐴 𝜕𝐴 ⃗ . ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = +𝑈 𝑔𝑟𝑎𝑑𝐴 ≈ 𝑑𝑥 𝜕𝑥 𝜕𝑥 On rappelle le théorème de Bernoulli : dans un fluide parfait en régime permanent, le long d’une ligne de courant, la charge H est constante : 𝐻=𝑧+
𝑃 𝑣2 + 𝜌𝐸 𝑔 2𝑔
Dans la suite, on s’intéresse à la sur-pression p, qui est la différence de pression par rapport à la pression hydrostatique. Question 1 : Rappeler l’expression du principe fondamental de la dynamique dans un milieu continu 3D, où le tenseur des contraintes est noté σ, la masse volumique ρE, la vitesse U, et les forces volumiques extérieurs g ρE. On prendra garde à écrire cette équation pour le cas d’une masse volumique ρ non-constante. Question 2 : Dans un fluide, les contraintes sont sphériques, et on définit la pression P par σ = - P 1. Projeter le principe fondamental de la dynamique sur l’axe rectiligne (Ox) pour obtenir une équation ne portant que sur des scalaires. On note p la perturbation de pression par rapport à la pression hydrostatique : p = P – PHS. On rappelle que PHS = ρE g (Zm - Z). Écrire l’équation portant sur p. On note (E) cette équation. Question 3 : En faisant un bilan de masse sur une tranche de fluide de longueur dx, et sur un temps dt, retrouver l’équation de continuité (C) : 𝜕𝜌𝐸 𝜕(𝜌𝐸 𝑈) + =0 𝜕𝑡 𝜕𝑥 Question 4 : L’équation de comportement de l’eau s’écrit à l’aide du module volumique de l’eau KE. 𝑑𝜌𝐸 𝑑𝑉 𝑝 = = 𝜌𝐸 𝑉 𝐾𝐸 On note cette équation (L). A l’aide de (E), (C) et (L), et en supposant que les termes proportionnels à la vitesse U sont négligeables, retrouver le système : 𝜕𝑝 𝜕𝑈 + 𝜌𝐸 =0 𝜕𝑥 𝜕𝑡
(1)
𝜕𝑝 𝜕𝑈 + 𝐾𝐸 =0 𝜕𝑡 𝜕𝑥
(2)
Dans l’équation (1), on peut supposer que ρE varie peu. Dans ce cas, montrer alors que la propagation des ondes dans une conduite forcée est régie par l’équation de d’Alembert, et que la célérité des ondes est : K𝐸 𝑐= √ 𝜌𝐸 Avec KE = 2,2 GPa, calculer numériquement la célérité c.
