9. EVAPORADORES 9.1 Generalidades:
La evaporación consiste en la separación de un disolvente volátil de un soluto no volátil por vaporización del disolvente, el agua es el disolvente que con más frecuencia se separa. La calefacción se efectúa por medio del vapor condensante. La resolución de los problemas de evaporación se lleva a cabo por aplicación de los conceptos generales referentes a la transmisión del calor desde el vapor condensante hasta la disolución a concentrar. Esta cantidad de calor viene dada por la expresión Q = UA ∆T U !oeficiente integral de transmisión del calor " #uperficie de evaporación ∆t $iferencia de temperatura 9.2 Sistema de de Efecto Simple Simple
El cálculo lo efectuamos como si el sistema operara en estado estacionario, entonces no ha% acumulación, aplicando primeramente un balance de materia % un balance de entalpia a todo el sistema. #e considera el ingreso igual a la salida.
IX.1
F, X TF, hF
V H
Vo, vapor de agua Sat
Tc, Hc
h0
T P
Líquido
L,x h
IX.2
$onde& ' (racción en masa del soluto en el alimento. x (racción en masa del soluto en el licor concentrado. ( (lu)o de alimento, lb*h. L (lu)o de liquido concentrado lb*h. + (lu)o de vapor, lb*h. h( entalpa del alimento, -tu*lb. h entalpa del licor concentrado a la temperatura de ebullición del evaporador, -tu*lb. entalpa del vapor a la temperatura de ebullición del evaporador, -tu*lb. / velocidad del calor transferido a trav0s de los tubos 1desde el vapor de agua hacia el licor concentrado2, -tu*lb. 9.2.1 Balance de materia y ener!a Balance de materia del soluto
F X
= Lx
13.42
Balance de materia del solvente
F ( 4 − X ) = V + L ( 4 − x )
13.52
Balance global de materia
F
= L + V
13.62
Balance de entalpia alrededor alrededor del proceso
entalp lpía ía 1entra ntrada da2 = ∑enta entalp lpía ía 1 sali salida da2 ∑enta F h F + Q = VH + Lh
13.72
#iendo Q el calor suministrado por el vapor. $el balance global de masa F
= L + V
8eemplazando en la ecuación 13.72 Fh F + Q = 1 F − L2 H + Lh
Fh F + Q − ( F − L ) H − Lh = 9
1 F h 2 #umando % restando
IX.3
% reagrupando t0rminos se tiene&
Fh F + Q − FH + LH − Lh − Fh + Fh = 9
F 1 h F − h2 + Q − ( F − L ) 1 H − h2 = 9 Velocidad de transferencia de calor
El calor transferido se puede expresar como& Q =V9 ( H 9 − h9 ) =V9 λ 9
Elemento !alefactor Q = UA ( T9 − T )
:ara el intercambiador donde&
E! U
!oeficiente global de transferencia de calor, -;U*hft 5
•
T 9
Espacio c
;emperatura ;emperatura de saturación del vapor de agua que entra al primer efecto.
•
T
•
•
Camisa de c ;emperatura de ebullición del licor concentrado a la : del espacio con vapor en el primer efecto. Li#sat A P"T", h"P",
T$
9." Sistema de #riple Efecto
Condensa
9.".1 Balance de materia y ener!a
IX.4
F&
E!
L%L"
LicoV
Espacio c
Camisa de
Li#sat
T"
#e aplicaran los balances antes realizados para cada efecto& 9.".1.1 Primer efecto Balance lo$al de materia
F = L4 + V 4 V4 = F − L4
13.=2
Balance de entalpia
F h F + Q4 = V4 H4 + L4 h4
Espaci F TF, hF Camisa d
F h F + Q4 − ( F − L4 ) H4 − L4 h4 = 9 F 1h F − h4 2 + Q4 − ( F − L4 ) 1 H4 − h4 2 = 9
Li#' sat P0T0, h0
$efiniendo el calor latente de vapor del del solvente de licor a ; )% : )& λ
= 1 H − h 2 F 1 h F − h4 2 + Q4 − ( F − L4 ) 1 H4 − h4 2 = 9
Entonces del primer efecto& λ 4
= 1 H4 − h4 2
8eemplazando& F 1 h F − h4 2 + Q4 − ( F − L4 ) λ 4 = 9
$efiniendo la función f 4 !4 = F 1 h F − h4 2 + Q4 − ( F − L4 ) λ 4 = 9
13.>2
Velocidad de transferencia de calor
Q4 = U4 A ( T9 − T4 )
:or otro lado se sabe Q4 = V 9 λ 9
?gualando&
IX.5
Q1 es&
Vo P0, T0, H
U4 A ( T9 − T4 ) = V9 λ 9
U4 A ( T9 − T4 ) −V9 λ 9 = 9
$efiniendo la función f 5 ! 5 = U4 A ( T9 − T4 ) − V 9 λ 9 = 9
13.@2
%.".1.2 Se&ndo efecto Balance lo$al de materia
L4 = V5 + L5 V5 = L4 − L5
13.A2
Velocidad de transferencia de calor
Q2
, siendo un calor latente, se define como&
Q5 = V4 ( H4 − h4 ) =V4 λ 4
V4 = ( F − L4 )
reemplazando
de la ecuación 13.=2&
Q5 = ( F − L4 ) λ 4
:or otro lado
13.32
Q2 es&
Q5 = U 5 A ( T4 − T5 )
13.492
Balance de entalpia
L4 h4 + Q5 = V5 H 5 + L5 h5
reemplazando la ecuación 13.A2 en 13.442&
IX.6
13.442
L4 h4 + Q5
= ( L4 − L5 ) H 5 + L5 h 5 L4 h4 + Q5 − ( L4 − L5 ) H 5 − L 5 h 5 = 9 L4 h4 − L4 h5 + Q5 − ( L4 − L5 ) H 5 − L 5 h 5 + L4 h 5 = 9 L4 h4 − L4 h5 + Q5 − ( L4 − L5 ) H 5 + h5 1L4 − L 5 2 = 9 L4 1h4 − h5 2 + Q5 − ( L4 − L 5 ) 1H 5 − h5 2 = 9 λ 5
= 1 H 5 − h5 2
L4 ( h4 − h5 ) + Q5 − ( L4 − L5 ) λ 5 = 9
reemplazando
Q2
13.452
de la ecuación 13.32 13.32
Q5 = ( F − L4 ) λ 4 L4 ( h4 − h5 ) + ( F − L4 ) λ4 − 1 L4 − L5 2 λ 5 = 9
definiendo la función f 6 !6 = L4 ( h4 − h5 ) + ( F − L4 ) λ4 − ( L4 − L5 ) λ 5 = 9
13.462
igualando las ecuaciones 13.32 % 13.492&
( F − L4 ) λ 4 =U 5 A ( T4 − T 5 ) U 5 A ( T4 − T5 ) − ( F − L4 ) λ 4 = 9
definiendo la función f 7 ! 7 = U 5 A ( T4 − T5 ) − ( F − L4 ) λ 4 = 9
13.472
9.".1."#ercer efecto Balance lo$al de materia
L5 = V6 + L6 V6 = L5 − L6 Velocidad de transferencia de calor
IX.7
13.4=2
Q3
, siendo un calor latente, se define como&
Q6 = V5 ( H 5 − h5 ) =V5 λ 5 V5 = L4 − L5
reemplazando
de la ecuación 13.A2&
Q6 = ( L4 − L5 ) λ 5
13.4>2
:or otro lado
Q3 es&
Q6 = U 6 A ( T5 − T6 )
1A.4@2
Balance de entalpia
L5 h5 + Q6 = V6 H 6 + L6 h6
13.4A2
V6 = L5 − L6
reemplazando
, de la ecuación 13.462&
L5 h5 + Q6
= 1L5 − L6 2H 6 + L6h 6 L5 h5 + Q6 − ( L5 − L6 ) H 6 − L6h6 = 9 L5 h5 − L5h6 + Q6 − ( L5 − L6 ) H 6 − L6h6 + L 5h 6 = 9 L5 1h5 − h6 2 + Q6 − ( L5 − L6 ) H 6 − h 6 1L 5 − L6 2 = 9 L5 1h5 − h6 2 + Q6 − ( L5 − L 6 ) 1H 6 − h6 2 = 9 L5 ( h5 − h6 ) + Q6 − ( L5 − L6 ) λ 6 = 9 Q6
reemplazando
de la ecuación 13.4>2
L5 ( h5 − h6 ) + ( L4 − L5 ) λ5 − ( L5 − L6 ) λ 6 = 9
$efiniendo la función f = != = L5 ( h5 − h6 ) + ( L4 − L5 ) λ5 − ( L5 − L6 ) λ 6 = 9
?gualando las ecuaciones 13.4>2 % 13.4@2&
IX.8
13.432
U 6 A ( T5 − T6 )
= ( L4 − L5 ) λ 5 U 6 A ( T5 − T6 ) − ( L4 − L5 ) λ 5 = 9 $efiniendo la función f > ! > =U 6 A ( T5 − T6 ) − ( L4 − L5 ) λ 5 = 9
13.592
#e pueden generalizar las dos funciones encontradas en base base al balance de entalpia % la velocidad de transferencia de calor, para un proceso con nBefectos, es decir& 9.".1.' Efecto (n) Balance de Entalpia
Ln −4 ( hn −4 − hn ) + ( Ln− 5 − Ln−4 ) λn−4 − ( Ln −4 − Ln ) λ n = 9 Velocidad de transferencia de calor
U n A ( Tn−4 − Tn ) − ( Ln− 5 − Ln−4 ) λ n−4 = 9 9.' *+todo de ,e-tonRap/son para resol0er pro$lemas pro$lemas de diseo de e0aporadores. e0aporadores.
Las ecuaciones no lineales para el diseCo de un sistema de evaporación de tiple efecto pueden ser resueltas utilizando el m0todo de Deton 8aphson Fultivariable. #e tiene un sistema Fultivariable, es decir un sistema sistema de ecuaciones no lineales& lineales& , , xn ) 9 !4 ( x4 , x5… ! 1 x ,x ,… , x 2÷ 9÷ n ÷ 5 4 5 = ÷ ÷ M ÷ M ÷÷ ÷ ! n 1 x4 ,x5 ,… , xn 2 9 ! i
Usando la serie de expansión de ;a%lor ;a%lor para cada
! i ( x + ∆x )
&
t"rminoss de ∂ ! i ∆x t"rmino + orden superior =4 ∂ x 4 G n
= !i ( x ) + ∑
$espreciando los t0rminos de orden superior, % escribiendo de forma matricial& f ( x + ∆x ) = f ( x ) + J ∆ x
donde
IX.9
H = #acobiano, una matri$ deorden de orden I n I
13.4A2
∂ !4 ∂ x4 ∂ ! # = 5 ∂ x4 M ∂ ! n ∂ x4
∂! 4 … ∂xn ∂! 5 … ∂xn M M ∂ ! n … ∂ xn
∂!4 ∂x5 ∂!4 ∂x5 M
∂! n ∂x5
! ( x + ∆x ) = 9
∆ x :uesto que deseamos para
talque
, luego a partir de 13.4A2&
9 = f ( x ) + J ∆x
J k ∆x = − f ( x )
∆ xk = − J k −4 f ( x k ) :ero
13.432
∆ x es simplemente el cambio en el vector x a partir de la iteración anterior&
∆ x k = x k +4 − x k
( 3.59 )
"demás&
∆ x% = [ ∆x4 , ∆ x5 , . . . , ∆ xn ]
∆ x = x ,% +4 − x , % x% = x4, % J x5, % J xn, %
T
, = 4, 5,…, n
x% +4
8emplazando 13.592 en 13.432 % despe)ando el Duevo valor −4
xk +4 = xk − J k f ( x k )
! ( x% )
K el vector
IX.10
es igual a&
&
! ( x% )
= ! ( x4,% ) J ! ( x5, % ) J…J ! ( xn ,% )
T
"plicando el F0todo de Deton 8aphson a las funciones f 4, f 5, f 6, f 7, f =, f >, se tiene&
9 = ! +
∂ ! ∆V 9 ∂ ! ∆T4 ∂! ∆L4 ∂! ∆T5 ∂! ∆L5 ∂! ∆A + + + + + ∂V9 4G ∂T4 4G ∂L4 4G ∂T5 4G ∂L5 4G ∂A 4G
= 4, 5, 6, . . . , n
donde& ∆V9 = V9,% +4 − V 9,%
∆T4 = T4, % +4 − T 4,% ∆ L4 = L4,% +4 − L4,% ∆T5 = T5,% +4 − T 5,% ∆ L5 = L5,% +4 − L5,% ∆ A = A% +4 − A% En donde los subndices % M4, indican las iteraciones % M4 9.'.1 ondiciones de con0erencia con0erencia
!4 , ! 5 , . . ., ! >
#i las las func funcio ione ness % sus derivadas parciales, que aparecen en el Hacobiano H , son continuas % el determinante de H , no es igual a cero, entonces el m0todo de DetonB8aphson converge hacia una solución siempre % cuando el grupo de valores, asumido de las variables sea suficientemente consistente con la solución. #i los cambios en los calores especficos, con la temperatura son despreciables, entonces los t0rminos de
( h F − h4 ) , ( h4 − h5 ) ,( h5 − h6 ) calor sensibles,
, pueden ser remplazados por&
( h F − h4 ) = &p ( TF − T4 ) ( h4 − h5 ) = &p ( T4 − T5 ) ( h5 − h6 ) = &p1T5 − T6 2 En consecuencia las funciones con esta simplificación se transforman, a continuación se procederá a la formación del vector Hacobiano& 3&nci4n
IX.11
f 1
= F 1h F − h4 2 + Q4 − ( F − L4 ) λ 4 = 9 !4 = F &p ( T F − T4 ) + V9λ9 − ( F − L4 ) λ 4 = 9 !4 = F&pT F − F&pT4 + V9λ9 − F λ4 + λ 4L4 = 9 !4
∂ !4 =λ ∂V9 9 ∂ ! b47 = 4 = 9 ∂T5 b44
=
3&nci4n
∂!4 = − F&p ∂T4 ∂! b4= = 4 = 9 ∂L5
J
b45
J
=
J J
b46 b4>
=
=
∂! 4 = λ ∂L4 4
∂! 4 =9 ∂A
f 2
! 5 = U4 A ( T9 − T4 ) − V 9 λ 9 = 9
∂ ! 5 = −λ 9 ∂V9 ∂ ! b57 = 5 = 9 ∂T5 b54 =
3&nci4n
J J
b55 = b5= =
∂! 5 = −U4 A ∂T4
∂! 5 =9 ∂L5
J
J b5> =
b56 =
∂! 5 =9 ∂L4
∂! 5 = U4 ( T9 − T4 ) ∂A
f 3
!6 = L4 ( h4 − h5 ) + ( F − L4 ) λ4 − ( L4 − L5 ) λ 5 = 9 !6 = L4&p ( T4 − T5 ) + ( F − L4 ) λ4 − ( L4 − L5 ) λ 5 = 9 !6 = L4&pT4 − L4&pT5 + F λ4 − L4λ4 − λ5 L4 + λ5 L 5 = 9
∂ !6 ∂! ∂! J b65 = 6 = L4&p J b6= = 6 = λ 5 =9 ∂V9 ∂T4 ∂L5 ∂ ! b66 = 6 = &pT4 − &pT5 − λ4 − λ5 = &p ( T4 − T5 ) − ( λ4 + λ5 ) ∂ L4 ∂ ! ∂! b67 = 6 = − L4&p J b6> = 6 = 9 ∂T5 ∂A b64 =
3&nci4n
f 4
= U 5 A ( T4 − T5 ) − ( F − L4 ) λ 4 = 9 ! 7 = U 5 AT4 − U 5 AT5 − F λ4 + L4λ 4 = 9 ! 7
IX.12
∂ ! 7 =9 ∂V9 ∂ ! b77 = 7 = −U 5 A ∂T5
b74
=
3&nci4n
J
b75 J
∂! 7 =U A ∂T4 5 ∂! b7= = 7 = 9 ∂L5
=
J
=
b76
J
b7>
=
∂! 7 = λ ∂L4 4
∂! 7 = U T −U T = U ( T −T ) ∂A 5 4 5 5 5 4 5
f 5
= L5 ( h5 − h6 ) + ( L4 − L5 ) λ5 − ( L5 − L6 ) λ 6 = 9 ! = = L5h5 − L5h6 + L4λ5 − L5λ5 − L5λ6 + L6λ6 = 9 ! = = L5&p ( T5 − T6 ) + L4λ5 − L5λ5 − L5λ6 + L6λ6 = 9 ! = = L5&pT5 − L5&pT6 + L4λ5 − L5λ5 − L5λ6 + L6λ6 = 9 ! =
∂ != ∂! J b=5 = = = 9 =9 ∂V9 ∂T4 ∂ ! b== = = = &pT5 − &pT6 − λ5 − λ 6 J ∂ L5 b=4 =
3&nci4n
b=6 =
J b=7 =
∂! = = λ 5 ∂L4
∂!= = L5 &p ∂T5
J
b=> =
∂! = =9 ∂A
f 6
= U 6 A ( T5 − T6 ) − ( L4 − L5 ) λ 5 = 9 ! > = U 6 AT5 − U 6 AT6 − L4λ5 + L5 λ 5 = 9 ! >
∂ ! > =9 ∂V9 ∂ ! b>7 = > = U 6 A ∂T5 b>4 =
∂! > J =9 ∂T4 ∂! b>= = > = λ 5 J ∂L5
∂! > = −λ 5 ∂L4 ∂! b>> = > = U6T5 − U6T6 = U6 ( T5 − T6 ) ∂A
b>5 =
J J
b>6 =
Entonces se forma el vector Hacobiano& 9 λ9 − F&p λ 4 −λ −U A 9 9 9 4 9 L4&p b66 − L4&p # % = 9 U 5 A λ 4 −U 5 A 9 9 λ 5 L5&p 9 −λ5 U 6 A 9
IX.13
9 9 λ 5
9 b== λ 5
U4 ( T9 − T4 ) 9 U 5 ( T4 − T5 ) 9 U 6 ( T5 − T6 ) 9
= &p ( T4 − T5 ) − ( λ4 + λ 5 ) b== = &pT5 − &pT6 − λ5 − λ 6
b66
9.5 E6emplo 7.1: E0aporador de de #riple #riple Efecto
#e desea diseCar un sistema de evaporación de efecto triple para concentrar el soluto de una solución del 49 N 1alimento2 a una solución del =9 N en peso. El flu)o de alimento es de =9 999 lb*h % entra al primer efecto como lquido a 499 O(. O(. $ebe usarse usarse alimentación en en paralelo. :ara cumplir con los requisitos de calentamiento del primer efecto se utiliza vapor saturado del solvente a 5=9 P(. El tercer efecto debe ser operado a una presión absoluta correspondiente al punto de ebullición para el solvente puro a 45=P(. $esprecie la elevación del punto de ebullición, al igual que las variaciones de los calores especficos % el calor latente de vaporización con temperatura % composición. $etermine el área " para cada efecto 1deben utilizarse a0reas iguales2, las temperaturas ; 4 % ;5 los flu)os L 4, L5 % L 6, las composiciones x 4 % x5 % el flu)o +o. Datos:
! p 4,9 -tu * lb P( para el alimento % todas las otras corrientes lquidas
λ0 = λ1= λ2
4999 -tu* lb
U4 =99 U5 699 U6 599 La solución de este problema puede iniciarse aplicando los balances de masa % energa para cada efecto, desarrollados en la teora antes mencionada, las cuales son& !4 = F&p ( T F − T4 ) + V9λ9 − F 1λ 4 − L4 2 = 9 ! 5 = U4 A ( T9 − T4 ) − V 9 λ 9 = 9 !6 = L4&p ( T4 − T5 ) + ( F − L4 ) λ4 − 1 L4 − L5 2λ 5 = 9 ! 7 = U 5 A1T4 − T5 2 − 1 F − L4 2λ 4 = 9 != = L5 &p ( T5 − T6 ) + 1 L4 − L5 2λ5 − 1 L5 − L6 2 λ 6 = 9 !> = U 6 A ( T5 − T6 ) − 1 L4 − L5 2λ 5 = 9 9.5.1. Simplificaci4n de las f&nciones f &nciones f i
:ara reducir la magnitud de los t0rminos que aparecen en las ecuaciones funcionales % las matrices, se utiliza el procedimiento de cambios de variable o cambio de escala. :ara fines de cálculos es preferible mane)ar t0rminos con magnitudes cerca de la unidad. La selección de los factores para reducir los t0rminos es arbitraria, pero tiene más significado si en los t0rminos reducidos los valores asociados con los parámetros del problema son seleccionados tales como flu)os de alimento, temperatura del vapor de agua % el calor latente de vaporización del vapor de agua. El siguiente procedimiento de cambio de variable fue usado& 4. !ada !ada ecua ecuaci ción ón func funcio iona nall fue div divid idid idaa por el prod produc ucto to (Q 9% la nueva expresión funcional obtenida se denominó g &
IX.14
g i =
!i F λ 9
5. ;odos ;odos los flu)os flu)os se se expresaron expresaron como como una fracció fracciónn del flu)o flu)o de alimento alimento (, (, es decir& decir& L ) = l ) F % V) = v ) F 6. ;odas ;odas las tempera temperaturas turas se expres expresaron aron como como una fracción fracción de la tempera temperatura tura del vapor vapor de agua agua as& ; ) = u ) × ;9
, el cual define la temperatura fraccional u ). 7. El área de cada efecto efecto fue expres expresada ada como como fracción fracción de un t0rmino t0rmino proporci proporciona onall al flu)o flu)o de alimento, de la siguiente manera&" ) a ) 1(*=92, el cual define la fracción de área a ). ;omando ;omando en cuenta las anteriores consideraciones& gi =
! i F λ . λ 9
; ) = u );9
J
L ) = l )(J
J
+) = v )( J
Las nuevas funciones g i son& 3&nci4n
g 4 =
g 4 =
g4 =
!4 F λ9
=
g 5
=
g 5
=
=
F&p1T F − T4 2 F λ9
F&p1T F − u4;9 2 F λ9 &p1T F − u4;9 2 λ9
3&nci4n
g 5
g1
! 5 F λ9
F λ9
F λ9
−
=
U4 A ( T9 − T4 ) F λ9
U4a ( 4 − u4 ) T 9 =9 λ 9
g3
−
− v9
−
λ 9
−
V 9 λ 9 F λ 9
v9 F λ 9 F λ 9
F 1λ 4 − L4 2 F λ9
1 F − l 4(2λ 4
14 − l 4 2λ 4
g2
=9 F λ9
IX.15
V 9 λ 9
v9 F λ 9
+ v9 −
U4a( ( T 9 − u4;9 )
3&nci4n
+
+
F λ 9
" = a 1( * =92
g 6 = g 6 = g 6 =
! 6 F λ9
g 7 = g 7 =
F λ9 l 4&p ( u4 − u5 ) ;9 λ9
g = = g = =
! 7 F λ9
g > =
g >
=
F λ9
=
( F − l4( ) λ 4 1l4 − l5 2 F λ 5 −
F λ9
−
λ9
U 5 A ( T4 − T5 ) F λ9
=9 F λ9 U 5 a ( u4 − u5 ) ;9 =9 λ9
F λ 9 λ 9
−
−
−
( F − L4 ) λ 4 F λ 9
( F − l4( ) λ 4 F λ 9
( 4 − l4 ) λ 4 λ 9
g5
!= F λ9
L5&p ( T5 − T 6 )
=
F λ9
l5 F&p ( u5 − u6 ) ;9 F λ9 l5&p ( u5 − u6 ) ;9
+
λ9
+
+
1 L4 − L5 2 λ 5 F λ9
1l4 − l5 2 F λ 5 F λ9
1l4 − l 5 2λ 5 λ9
−
−
−
1 L5 − L6 2λ 6 F λ9
1l5 − l6 2 F λ 6 F λ 9
1l5 − l 6 2λ 6 λ 9
g6
! > F λ9
=
U 6 A ( T5 − T6 ) F λ9
U 6aF ( T5 − T6 ) =9 F λ9
−
U 6a ( u5 − u6 ) ;9 =9 λ9
−
1 L4 − L5 2λ 5 F λ 9
1l4 − l5 2 F λ 5
−
F λ 9
1l4 − l 5 2λ 5 λ 9
!on esto las matrices quedan de la siguiente manera&
IX.16
( 4 − l4 ) λ 4 1l4 − l 5 2λ 5
+
U 5 aF ( u4 − u5 ) ;9
3&nci4n
g > =
−
F λ9
g4
3&nci4n
g = =
+
( F − L4 ) λ 4 1 L4 − L5 2λ 5 2
+
F λ9
l 4(&p ( u4 − u5 ) ;9
3&nci4n
g 7 =
L4&p ( T4 − T5 )
=
∂ g4 ∂v 9 ∂ g5 J k = ∂v9 M ∂ g> ∂v9
∂g4 ∂u4 ∂ g5 ∂u4
∂g 4 ∂l 4 ∂ g5 ∂ l4
∂g4 ∂u5 ∂g 5 ∂u5
∂g4 ∂l5 ∂g 5 ∂l5
M
M
M
M
∂g> ∂u4
∂g > ∂l 4
∂g> ∂u5
∂g> ∂l5
g 4 g 5 f k = g 6 M g >
∂g 4 ∂a ∂ g 5 ∂ a M ∂g > ∂a
∆v9 ∆u 4 ∆xk = xk +4 − x k = ∆ l 4 ∆u5 ∆l 5
J
Rbtención de la nueva matriz )acobina&
J k
b44 = M b>4
b45
b46
M
b47
M
b>5
b>6
b4=
M
M
b>7
b>=
b4>
b>>
M
Entonces& Para
g4 =
g1
&p1T F − u4;9 2 λ9
∂ g4 =4 ∂v9 ∂ g b47 = 4 = 9 ∂u5 b44
=
Para
g 5 =
+ v9 −
J J
=9 λ9
IX.17
−
U4aT9 u 4 =9 λ 9
λ9
b45 b47
g2 U4aT9
λ4
− v9
=
+
l 4λ 4
=
&p;9 ∂g4 =− ∂u4 λ9
λ 9
∂g4 =9 ∂l5
J
J b4>
b46
=
=
∂g 4 =9 ∂a
∂g 4 λ 4 = ∂l 4 λ 9
∂ g 5 = −4 J ∂v9 ∂ g b5= = 5 = 9J 9J ∂l5 b54
U aT ∂g 5 ∂g = − 4 9 J b56 = 5 = 9J =9 λ 9 ∂u4 ∂l4 ∂g U T U T u U T b5> = 5 = 4 9 − 4 9 4 = 4 9 14 − u4 2 ∂a =9 λ9 =9 λ9 =9 λ 9
=
Para
g 6 =
b64 =
b55
=
l 4&pu5 ;9
+
b57
=
∂g 5 = 9J ∂u 5
g3 l4&pu4;9 λ9
−
λ9
∂ g6 =9 ∂v9
λ4 λ9
−
l 4λ4 λ9
b65 =
J
−
l 4λ5 λ9
+
l 5λ5 λ9
∂g6 l 4&p;9 = ∂u4 λ 9
∂ g6 &pu4;9 &pu5 ;9 λ4 λ 5 &p;9 ( u4 − u5 ) − 1λ4 + λ 5 2 = − − − = ∂l 4 λ9 λ9 λ9 λ9 λ9 ∂ g ∂g l &p;9 λ b67 = 6 = − 4 J b6= = 6 = 5 J ∂u5 ∂l5 λ9 λ 9 b66 =
Para
g 7 =
U 5 au4;9 =9 λ9
=
Para
g = =
∂g 6 =9 ∂a
g4
∂ g 7 =9 ∂v9 ∂ g b7= = 7 = 9J ∂l5 b74
b6> =
−
U 5 au5;9 =9 λ9
−
λ4 λ9
+
l 4λ 4 λ9
∂g 7 U 5 a;9 ∂g λ ∂g U a; J b76 = 7 = 4 J b77 = 7 = − 5 9 = =9 λ 9 ∂u4 =9 λ9 ∂l4 λ9 ∂u5 ∂g U u ; U u ; U ; b7> = 7 = 5 4 9 − 5 5 9 = 5 9 ( u4 − u5 ) =9 λ9 =9 λ 9 ∂a =9 λ9
J
b75
=
g5 l5&p;9u5 λ9
−
l5&p;9u6 λ9
+
l4λ5 λ9
−
l 5λ 5 λ9
−
l5λ6 λ9
+
l6λ 6 λ9
∂ g= ∂g ∂g λ b=5 = = = 9 J b=6 = = = 5 J =9 J ∂v9 ∂u4 ∂l4 λ9 ∂ g &p;9u5 &p;9u6 λ 5 λ6 &p;9 1u 5 − u6 2 − 1λ5 + λ 6 2 b== = = = − − − = ∂l5 λ9 λ9 λ9 λ9 λ9
b=4 =
IX.18
b=7 J
=
∂g = l5&p;9 = ∂u5 λ 9 ∂g b=> = = = 9 ∂a
Para
g > =
g6 U 6 au 5;9 =9 λ9
−
U 6a u6 ;9
∂ g > =9 J ∂v9 ∂ g λ b>= = > = 5 ∂l5 λ9 b>4
=9 λ9
=
−
λ9
+
l5λ 5 λ9
∂g > ∂g λ b>6 = > = − 5 J =9 J ∂u4 ∂l4 λ9 ∂g U u ; U u ; U 6;9 ( u5 − u6 ) b>> = = = 6 5 9 − 6 6 9 = =9λ9 =9λ9 ∂a =9λ9 b>5
J
l4λ5
=
b>7
=
∂g > U 6a;9 = ∂u5 =9 λ 9
%.5.2 Valores 8niciales:
v9 u 4 l 4 x 9 = u5 l 5 a :ara la solución de este problema tomamos como base los siguientes supuestos& 4. 1;o S ;42 75O( , 1; 4 S ;52 75O( % 1;5 S ;62 74O (. 5. #olven #olvente te evap evapora orado do en en el primer primer efec efecto to + 4 47 999 lb* h. #olvente evaporado en el segundo efecto + 547 999 lb* h. #olvente evaporado en el tercer efecto + 645 999 lb* h. 1Dota& Estas suposiciones son consistentes con el hecho de que la cantidad total de solvente evaporado se toma a partir del enunciado del problema % del balance de material por componente2, de donde& FX = 49 999 lb * h L6 = x6 6. " 4 999 pies5 para cada efecto. 7. +o 4= 999 lb* h, 1supuesto2 8ecordando& F = =9 999 lb * h ;9 = 5=9 ° F ! p = 4, 9 -tu * ( lb °( )
= λ4 = λ 5 = 4999 -tu -tu * lb U4 = =99J U 5 = 699J U 6 = 599 ; ) = u );9 J L ) = l ) (J +) = v )( λ9
" ) = a ) ( ( * = 9 )
IX.19
"plicando estos supuestos se tiene& + ) = v )(
entonces
v9 =
+9 (
4= 999
=
=9 999
= 9, 6
( ;o S ;4 ) = 75O F •
#i& ;4 = ;o S 75O ( = 5=9 O ( S 75O ( = 59A O ( ; ) = u );9
entonces u4 =
J
;4 ;9
59A℉
=
5=9℉
= 9, A65
Del Balance lo$al de materia en el primer efecto:
( 3.=)
V4 = F − L4
L4 = F − V 4
L j =l j F
A
=
entonces l1 =
a )(
entonces a =
=9
L1 F - V1 50 00 000 0 - 14 00 000 0 = = =0,72 F F 50 000
A × =9 (
=
4999 ×=9 =9 999
=4
( ;4 S ;5 ) = 75O ( #i& ;5 = ;4 S 75O ( = 59A O ( S 75O ( = 4>> O ( •
; ) = u );9
J
entonces u 5 =
;5 ;9
=
4>>℉ 5=9℉
= 9, >>7
( ;5 S ;6 ) = 74O ( #i& ;6 = ;5 S 74O ( = 4>> O ( S 74O ( = 45= O ( •
u6 =
;6 ;9
=
4>>℉ 5=9℉
= 9, >>7
Del Balance lo$al de materia en el se&ndo efecto:
IX.20
= V5 + L5 L5 = L4 − V 5 L5 = F − V4 − V 5 L4
L )
= l )(
enton entonce cess l 5
=
L5 (
=
F − V4 − V 5 (
=
=9 999 − 47 999 − 47 999 =9 999
El 0ector inicial es:
9, 6 v9 9,6 u 9,A65 4 l 4 9,@5 x 9 = = u5 9,>>7 l 5 9, 77 a 4
%.5." Preparaci4n del 0ector col&mna f
J k ∆x = − f ( x ) k
g4 ( v9,9 J u4,9 J l4,9 J u5,9 J l5,9 J l5,9 J a ) ! 9 = M g v J u J l J u J l J l J a > ( 9,9 4,9 4,9 5,9 5,9 5,9 ) 8emplazando datos % valores encontrados en las funciones fun ciones g i& &pT F
g4 =
g 4,9
g 5
λ9
=
=
g 5,9
−
4× 499 4999
&pu4;9 2 λ9
−
=
λ4 λ9
4× 9, A65 × 5=9
U4aT9 ( 4 − u4 )
=9λ 9
+ v9 −
4999
l4λ 4 λ9
+ 9, 6 −
4999 4999
+
− v9
=99 ×4× 5=9 ( 4 − 9, A65 )
IX.21
+
=9 ×4999
− 9, 6 = 9,459
9, @5 × 4999 4999
= −9, 9AA
= 9,77
g 6
=
g 6,9
g =
g >,9
4999
=9 × λ9
−
λ9
1l4 − l 5 2λ 5 λ9
−
9, 77 × 4× 5=9 ( 9, >>7 − 9, = ) 4999
U 6a;9 1u5 − u6 2
=
λ 9
=9 ×4999
+
=9 λ9
−
= 9,969
( 4 − l4 ) λ 4
699 ×4× 5=9 ( 9, A65 − 9, >>7 )
l5&p ( u5 − u6 ) ;9
=
g > =
9, @5 ×4× 5=9 ( 9, A65 − 9, >>7 ) + ( 4 − 9, @5 ) 4999 − ( 9, @5 − 9, 77 ) 4999
U 5 a ( u4 − u 5 ) ;9
=
=
g =,9
λ 9
=
g 7 =
g 7,9
l4&p ( u4 − u5 ) ;9 + ( 4 − l4 ) λ 4 − 1l4 − l5 2λ 5
−
( 4 − 9, @5 ) 4999 4999
= −9,95A
1l5 − l 6 2λ 6
+
λ 9
19, @5 @5 − 9, 77 7724999 4999
−
19, 77 77 − 9, 52 524999 4999
= 9,9=A
1l4 − l 5 2λ 5 λ 9
599 ×4× 5=9 × 19, >>7 − 9, =2 =9 ×4999
−
( 9, @5 − 9, 77 ) ×4999 4999
= −9,44>
−9,9AA 9,459 9,969 ! 9 = −9,95A 9,9=A 9,44> − %.5.'. Vector Vector aco$iano para la primera iteraci4n:
:ara formar el vector )acobiano se procede a remplazar datos % valores encontrados en las funciones b&
IX.22
b44
=4
b47
=9
J
b45
=−
&p;9 λ9
=−
b4=
b54 = −4 J
b55 = −
U4aT 9
b5= = 9 J
b5> =
b64 = 9 J b66 =
λ 9
λ9
b74
= 9J
b77
=−
b75
U 5 a;9
b7= = 9J 9J
9, @5 ×4× 5=9
=
=9λ 9 b7>
4999
=
U 5 a;9 =9λ9
=− =
=9λ 9
λ 5 λ9
=
b>=
=
λ 5 λ9
b>5
=
=9
4999 4999
4J = 4J
b>6
=4
=9
=
b56 = 9 J b57 = 9
λ 9
4999 4999
=
b76
699 × 5=9 =9 ×4999
λ 4 λ 9
= 4J
=
= −4,3=A
b6> = 9
4999 4999
=4
4999
× ( 9, A65 − 9, >>7 ) = 9, 5=5
= 4J
4999
b=7 =
=−
λ 5 λ9
b>>
=
=−
l5&p;9 λ 9
=
9, 77 ×4× 5=9 4999
= 9,44
4, 3=3J b=> = 9 = −4,
4999 4999
= −4J
U 6;9 ( u5 − u6 ) =9λ 9
b>7
=
=
U 6a;9 =9λ 9
599 × 5=9 =9 × 4999
9.5.5 Vector Vector sol&ci4n para la primera iteraci4n: ;1
$e donde se obtiene& J 9 ×∆x9 = − f ( x ) 9
IX.23
4999
= −4, =
4999
= 9J
λ 5
= 4, =J
4× 5=9 × 19, >> >>7 − 9, =2 − 14999 + 49992
b>4
4999
9 , 75 × ( 4 − 9, A65 ) = 9,
b6= =
=9 ×4999
( u4 − u5 ) =
b=6 =
λ 9
=
4999
699 ×4× 5=9
=9 ×4999
λ 4
4× 5=9 × ( 9, A65 − 9, >>7 ) − 14999 + 49992
− 9,4AJ
699 ×4× 5=9
U 5 ;9
b=4 = 9J b=5 = 9J
=
=
=
= 9,4A
4999
λ 9
l4&p;9
=99 × 5=9 =9 ×4999
b46
= −5, = J
=9 ×49 4999
9, @5 ×4× 5=9
=
J b4>
=99 × 4× 5=9
( 4 − u4 ) =
&p;9 ( u4 − u5 ) − ( λ4 + λ 5 )
b67 =
b== =
l 4&p;9
b65 =
= −9, 5=
J
=−
=9 × λ 9
=9 λ 9
4999
=9
J
U4T 9
4× 5=9
=
599 × 4× 5=9 =9 × 4999
= 4J
9,4>7 × ( 9, >>7 − 9, =) = 9,
4 9 9 9 4 −9, 5= −4 −5, = 9 9 9 9, 75 9 9,4A −4, 3=A −9,4A 4 9 −4, = 4, = 4 9 9, 5=5 9 9 9 4 9,44 −4, 3=3 9 −4 9 4 4 9,4>7 9
× >× >
∆v9 ∆u4 ∆l 4 ∆u5 ∆l 5 ∆ a
= >×4
−9, 9AA 9,459 9,969 −9, 95A 9,9=A −9,44>
J 9 − × f 9 = ∆x 9 4
3=55@> 9, 3= −9, 67 67=45 −9, 96A=> 9=93= −9, 9= −9, 955=7 5469== 9, 54
−9, 97 97@@5 −9, 67 67=45 −9, 96 96A=> −9, 9= 9=93= −9, 955=7
9, >6 >6679@
9, 99 9964>7
9, 6> 6>6=74
−9, 54 54@4@ −9, >A >A@@ −9, 6= 6=554 −9, 6@9A5
9, 9> 9>9945
−9, 9A 9A96= −9, 6A6>6
9, 54 5469==
9, 54 54=753
9, 6> 6>7@4
9, 944A63
−9, 9= 9=44= 9, 57 57=6>3 9, 9964@4 −9, >35=5 9, 6A696
9, 9@ 9@A@@
9, 9= 9=3@>> −9, 9> 9>6A6 9, A65AA= 9, 9474A= 9, =7653A
9,9=A733 9,969AAA 9,96@556 ∆ x 9 = 9,936556 9,9=6A>6 9,96@757 >×4 ∆ x k = x k +4 − x k K puesto que
entonces&
x k +4 = ∆ x k + x k x4 = ∆ x9 + x 9
9, 9=A733 9, 969AAA 9, 96@556 x 4 = 9 , 9 3 6 5 5 6 9, 9=6A>6 9 , 9 6 @ 7 5 7
IX.24
+ >×4
9, 6
9, A65 9, @5 = 9, >>7 9, 77 4 >×4
9, 6=A 733
556 9, @=@ 9, @=6 556 A>6 9, 736 4,46@757 9, A>5AAA
>×4
9, 9AA 9, 9=A733 −9,459 9, 969AAA −9, 969 9, 96@556 × = 9, 95A 9, 936556 −9, 9=A 9, 9=6A> 6 9,44> >×4 9,96@757 >×>
>×4
9,6=A733 9,A>5AAA 9,@=@556 x4 = 9,@=6556 9,736A> 9, 736A>6 6 4,46@757
v9,4 u 4,4 4,4 l 4,4 = u5,4 l 5,4 a5,4 >×4
>×4
Luego se realiza la siguiente iteración. :ara facilitar todo este procedimiento se utilizara un programa que nos permita calcular la solución a trav0s de un m0todo iterativo. %.5.7. Sol&ci4n del E6emplo 1 por *atla$
IX.25
IX.26
IX.27
IX.28
E6ec&ci4n del Prorama en *atla$.
%.5.<. =a Sol&ci4n del E6emplo %.1
+9
= v 9 ( = 4@AAA, =
L4
= l4( = 6A96A,4
L5
= l 5( = 57@75, 7
lb
h lb h lb h
;4
= u4;9 = 54A, =67℉
;5
= u 5;9 = 4A6, 7>@℉
"=
a( =9
= 446@, 96 pie5
,omenclat&ra
( (lu)o de alimentación, 1masa* tiempo2 L (lu)o de lquido concentrado, 1masa* tiempo2 + (lu)o de vapor, 1masa* tiempo2 ' (racción en masa de soluto en la alimentación x (racción en masa de soluto en el lquido concentrado H F = ¿ Entalpia de la alimentación, 1energa * masa2
he = ¿
Enta Entalp lpia ia del del liqu liquid idoo conc concen entra trado do a la temp tempera eratu tura ra de ebul ebulli lici ción ón del del evap evapor orad ador or
1energa * masa2 Entalpia del vapor a la temperatura de ebullición del evaporador,1energa * masa2 / +elocidad del calor transferido a trav0s de los tubos 1desde el vapor de agua hacia el lquido concentrado2, 1energa * masa2 +9 (lu)o de vapor de agua alimentado a ; 9 % :9 , 1masa* tiempo2 U !oeficiente global de transferencia de calor, 1energa* área tiempo2 ;9 ;emperatura ;emperatura de saturación del vapor de agua que entra al primer efecto ; ;emperatura de ebullición del lquido concentrado a la presión del espacio con vapor
IX.29
