SIMULACIÓN Y OPTIMIZACIÓN DE PROCESOS MODELADO Y SIMULACIÓN DE UN SISTEMA DE EVAPORACIÓN DE TRIPLE EFECTO El proceso de evaporación consiste en concentrar en cada efecto la corriente líquido, soluto no volátil, y evaporar el solvente puro (generalmente H2O) Se requiere de una fuente externa de energía, que no entra en contacto directo, generalmente es vapor saturado.
“Flujo en Corriente Directa”
(L0), (X0) F, XF, TF, hF
V0, 0, Q0
V2
V3
hv1
hv2
hv3
T1
T2
T3
P1
P2
P3
P0 T0
Condensado
I.
V1
AL1 U1
L1 X1 hL1
1 Q1
P1 T1
Condensado
2 P2 Q2 T2
AL2 U2
L2 X2 hL2
Condensado
AL3 U3
L3 X3 hL3
Definición de Variables: F: (L0) Flujo de alimentación al Evaporador ( Alimentación estado líquido = Solvente + Soluto) XF: (X0) Fracción másica de soluto de alimentación. TF: Temperatura de alimentación. hF: Entalpia de alimentación. Q0: Flujo de calor proporcionado por el vapor vivo, en el efecto 1. V0: Flujo másico del vapor de calentamiento (vapor vivo), ingreso al efecto 1.
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SIMULACIÓN Y OPTIMIZACIÓN DE PROCESOS T0: Temperatura del vapor de calentamiento ( vapor vivo), ingreso al efecto 1. P0: Presión del vapor de calentamiento ( vapor vivo), ingreso al efecto 1. 0: Calor del vapor de calentamiento (vapor vivo), ingreso al efecto 1. Qi: Flujo de calor proporcionado por condensación de vapor, i = 1,2 Vi: Flujo másico de solvente evaporado en efecto “i” Pi: Presión en el interior del efecto “i” Ti: Temperatura en el interior del efecto “i” Xi: Fracción másica del soluto en el efecto “i” Li: Flujo másico de líquido concentrado en el efecto “i” hLi : Entalpía del líquido concentrado en el efecto “i”
i =1, 2, 3
hvi : Entalpía del solvente evaporado en el efecto “i” i : Calor latente del solvente evaporado en el efecto “i”, Ui: Coeficiente global de transferencia de calor en el efecto “i” Ai: Área de transferencia de calor en el efecto “i”
Yi = 0.00 (No existe soluto en la fase vapor) II. Definición de relaciones intervinientes. * Balance de Materia y Energía (Asumiendo estado estacionario) - Balance Efecto 1 Masa
………………………….….....… (1)
Componente
….………………….…… (2)
Energía Transf. Calor
………..…… (3)
–
………………….. (4)
- Balance Efecto 2 Masa Componente Christian Verde Chaupis
……………………………………..… (5) ……………………………………. (6) Página 2
SIMULACIÓN Y OPTIMIZACIÓN DE PROCESOS Energía
……….. (7)
Transf. Calor
–
……………..... (8)
- Balance Efecto 3 Masa
……………………………………… (9)
Componente
………………………………….. (10)
Energía
…........ (11)
Transf. Calor
–
…………….… (12)
* Balance Global y por Componente a toda la Planta ……………………… (13) ……………………..…..… (14) * Relaciones Algorítmicas Auxiliares De (1), (5) y (9)
…………………….....… (15) (
(2), (6) y (10)
)
……………..........… (16) …………….....................… (17)
Relaciones Termodinámicas
……………...........… (18)
* Grados de Libertad [
]
[
]
III. Modelamiento matemático: “Síntesis del Proceso” Como se podrá observar, analizando las relaciones intermitentes, en cada etapa se puede obtener dos (02) ecuaciones funcionales. Por tanto en el sistema de evaporación por triple efecto quedara definido por (06) ecuaciones funcionales no lineales; es decir se tendrá que evaluar (06) variables de estado a partir de (09) variables de diseño (para completar los 15 grados de libertad requeridos).
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SIMULACIÓN Y OPTIMIZACIÓN DE PROCESOS 3.1 Diseño del nuevo Sistema Generalmente se desea calcular el área de transferencia de calor , en este caso se especifica
. Como también; la cantidad de vapor requerido V 0 para
iniciar la evaporación, los flujos (L 1 , L 2 ) y temperaturas en cada efecto (T 1 , T 2 ). *Variables de Diseño (09): F, X F , T F , T 0 (ó P 0 ), T 3 (ó P 3 ), X 3 (o L 3 ), U 1 , U 2 , U 3 *Variables de Estado (06): V 0 , L 1 , L 2 , A, T 1 , T 2 Las seis (06) ecuaciones funcionales obtenidas a partir de los balances en cada efecto son:
EFECTO 1:
EFECTO 2:
EFECTO 3:
Haciendo una expansión de Taylor de las funciones f 1 , f 2 , f 3 , f 4 , f 5 y f 6
Dónde:
Estas seis ecuaciones pueden ser establecidas en una forma compacta por medio de la siguiente ecuación matricial.
⃗ Ji: Matriz Jacobiana ⃗
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SIMULACIÓN Y OPTIMIZACIÓN DE PROCESOS La solución de un sistema de ecuaciones funcionales no lineales, se resuelven empleando métodos numéricos. Para este caso se recomienda el método de Newton-Raphson de orden N (multivariable). UNIVARIABLE (Una ecuación no lineal)
MULTIVARIABLE
⃗
(Generalización a sistemas de ecuación no lineal)
⃗
⃗
Dónde: ⃗
: Vector inicial que contiene variables a calcular; ⃗
⃗
: Vector de aproximación de las variables a calcular.
⃗
: Vector funcional, contiene el conjunto de ecuaciones funcionales ⃗ : Jacobiano del vector funcional, contiene derivadas parciales. : Inversa de la matriz Jacobiana.
El criterio de aproximación numérica:
⃗
⃗⃗⃗
⃗⃗⃗
‖ ⃗‖
(Vector de errores) (Módulo de Vector de error)
(Se recomienda 0.001%) JACOBIANO:
{
}
Aplicando al problema planteado: ( n v=6 variables) ⃗ ⃗ Christian Verde Chaupis
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SIMULACIÓN Y OPTIMIZACIÓN DE PROCESOS Si los cambios en los calores específicos con la temperatura en los alrededores de la solución de las ecuaciones de las funciones f 1 al f 6 son despreciables, entonces los términos de calor sensible , y pueden ser reemplazados por sus respectivos equivalentes , y .
(
) Siendo;
[
]
(
)
i=1, 2,3,…, n iteraciones El vector de valores iniciales ⃗ se debe asignar con criterio EJEMPLO ILUSTRATIVO: Se desea diseñar un sistema de evaporación de efecto triple para concentrar el soluto de una solución del 10% (alimento) a una solución del 50% en peso. El flujo de alimento es de 50.000 Ib/h y entra al primer efecto como líquido a 100 ºF. Debe usarse alimentación en paralelo. Para cumplir con los requisitos de calentamiento del primer efecto se utiliza vapor saturado del solvente a 250 ºF. El tercer efecto debe ser operado a una presión absoluta correspondiente al punto de ebullición para el solvente puro a 125 ºF. Desprecie la elevación del punto de ebullición, al igual que las variaciones de los calores específicos y el calor latente de vaporización con temperatura y composición. Determine el área A para cada efecto (deben utilizarse áreas iguales), las temperaturas T1 y T2 los flujos L1, L2 y L3 las composiciones x1 y x2 y el flujo V0. DATOS:
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SIMULACIÓN Y OPTIMIZACIÓN DE PROCESOS SOLUCION: Calculamos L3:
Calculamos la cantidad de agua evaporada.
Por lo tanto supondremos:
De donde tendremos los valores iniciales de L1 y L2.
Para el cálculo de las temperaturas iniciales T 1 y T2, supondremos lo siguiente:
Por lo tanto:
También supondremos los valores iniciales de V 0 y A:
Por lo tanto nuestros valores iniciales para comenzar las iteraciones serán los siguientes: ⃗
[
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]
[
] Página 7
SIMULACIÓN Y OPTIMIZACIÓN DE PROCESOS Ahora si empezamos con las iteraciones aplicando el método de Newton-Raphson multivariable:
⃗
⃗
⃗
Primera iteración: Cálculo del Jacobiano:
(
)
La inversa del Jacobiano:
(
)
La matriz de las funciones y los valores iniciales son los siguientes:
⃗
⃗ [
]
[
]
El producto de la inversa del Jacobiano por la matriz funcional
⃗⃗ [
]
El valor de ⃗ , será el siguiente:
⃗ [
]
[
]
[
]
El cálculo del error, se hace de la siguiente manera: ⃗⃗
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SIMULACIÓN Y OPTIMIZACIÓN DE PROCESOS Hallamos el módulo de H: ‖ ‖
√
‖ ‖ Por lo tanto, diremos que el proceso iterativo terminará, cuando el error, es decir, el valor del módulo de H, se aproxime a cero. Las demás iteraciones se resumirán en el siguiente cuadro: i
V0
T1
L1
T2
L2
A
H
0
15000
208
36000
166
22000
1000
4519,36483
1
17968,72196850 219,87331194 38024,94362840
185,76721324 24737,02007131 1138,35133036
648,044601
2
17321,45100117 219,28351365 38049,05908465
183,96715945 24754,39330729 1127,62160486
27,7965022
3
17349,23102390 219,24139111 38048,66284900
183,92702214 24753,66117999 1128,09008717
2,01454745
4
17351,24446528 219,23874899 38048,62342847
183,92530752 24753,61902075 1128,12346299
0,12632422
5
17351,37071956 219,23858232 38048,62094701
183,92519903 24753,61635879 1128,12555645
0,00796855
6
17351,37868369 219,23857180 38048,62079041
183,92519218 24753,61619079 1128,12568851
0,00050287
7
17351,37918628 219,23857114 38048,62078053
183,92519175 24753,61618019 1128,12569685
0,00003174
8
17351,37921800 219,23857109 38048,62077990
183,92519172 24753,61617952 1128,12569737
0,00000200
9
17351,37922000 219,23857109 38048,62077986
183,92519172 24753,61617948 1128,12569741
0,00000013
10
17351,37922013 219,23857109 38048,62077986
183,92519172 24753,61617948 1128,12569741 0,00000001
Los valores finales serán los siguientes:
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