UNIVERSIDAD NORORIENTAL PRIVADA “GRAN MARISCAL DE AYACUCHO” FACULTAD DE INGENIERÍA - ESCUELA DE INGENIERÍA Asignatura: INVESTIGACION DE OPERACIONES Nombre y Apellido: ______________________ _________________________________ ______________ ___ Cédula: ______________ ______________ Nota: __________ __________ Fecha: 19 19 julio 2013 2013 - Sección Sección Única - Semestre: Semestre: II – 2.013 - Intensivo I Examen Parcial – UNIDAD 1 y 2 – Método Grafico y Simplex
I Parte – Desarrollo - Ejercicios 1.
Un taller tiene tres (3) tipos de máquinas A, B y C. Puede fabricar dos (2) productos 1 y 2, todos los productos tienen que ir a cada máquina y cada uno va en el mismo orden: Primero a la máquina A, luego a la B y luego a la C. La tabla siguiente muestra: 1. Las horas requeridas en cada máquina, por unidad de producto 2. Las horas totales disponibles para cada máquina, por semana 3. La ganancia por unidad vendida de cada producto Tipo de Máquina Producto 1 Producto 2 Horas disponibles por semana 2 2 16 A B 1 2 12 4 2 28 C Ganancia por unidad 1 1,50 Determinar la solución más óptima por el método grafico ¿Qué cantidad de cada producto (1 y 2) se debe manufacturar cada semana, para obtener la máxima ganancia? ¿Cuantas horas semanales sobran en cada departamento? (Valor 4,00 Puntos)
2.
F.O:
Maximizar Z = 5x1 + 5x2 S.A:
12x1 + 8 x2 96 6 x1 + 12x2 72 x1 2 x1; x2 0 Determinar la solución más óptima por el método grafico (Valor 2,00 Puntos)
3. Una empresa química “Chemical” produce limpiadores para automóviles X y pulidores Y , y gana 10,00 Bs en cada lote de X, y 30,00 Bs en Y. Ambos productos requieren procesarse en las mismas máquinas, A y B, pero X requiere cuatro (4) horas en A y ocho (8) en B, mientras que Y requiere seis (6) horas en A y cuatro (4) en B. Durante la semana entrante las máquinas A y B tienen doce 12 y dieciséis 16 horas de capacidad disponible, respectivamente. Suponiendo que existe demanda de ambos productos, ¿cuántos lotes de cada uno deben producirse para alcanzar la unidad óptima Z? Determinar la solución más óptima por el método Simplex (Valor 6,00 Puntos)
4. F.O: Maximizar Z = 60X1 + 30X2 + 20X3 S.A:
8 X1 + 6 X2 + X3 48 2 X1 + 1,5 X2 + 0,5 X3 4 X1 + 2 X2 + 1,5 X3 X2 X1; X2 0 Determinar la solución más óptima por el método Simplex (Valor 8,00 Puntos)
1.
Un taller tiene tres (3) tipos de máquinas A, B y C. Puede fabricar dos (2) productos 1 y 2, todos los productos tienen que ir a cada máquina y cada uno va en el mismo orden: Primero a la m áquina A, luego a la B y luego a la C. La tabla siguiente muestra: 1. Las horas requeridas en cada máquina, por unidad de producto 2. Las horas totales disponibles para cada máquina, por semana 3. La ganancia por unidad vendida de cada producto
Tipo de Máquina A B C Ganancia por unidad
Producto 1 2 1 4 1
Producto 2 2 2 2 1,50
Horas disponibles por semana 16 12 28
Determinar la solución más óptima por el método grafico ¿Qué cantidad de cada producto (1 y 2) se debe manufacturar cada semana, para obtener la máxima ganancia? ¿Cuantas horas semanales sobran en cada departamento?
SOLUCION: Formulación 1. Definición de las variables: X j = Unidades semanales a producir del articulo j-ésimo ( j=1 y 2) 2. Función objetivo: Maximizar Z = X 1 + 3/2 X2 Con las siguientes restricciones (c.s.r.): 3. Restricciones: 2X1 + 2X2 ≤ 16 Restricción debida a las horas disponibles por semana de la MQ A X1 + 2X2 ≤ 12 Restricción debida a las horas disponibles por semana de la MQ B 4X1 + 2X2 ≤ 28 Restricción debida a las horas disponibles por semana de la MQ C 4. Condición de no negatividad: X j ≥ 0 ; j = 1 y 2 5. Solución Mediante el método gráfico: Preparamos analíticamente las restricciones para graficarlas sobre el plano cartesiano, así: 2X1 + 2X2 ≤ 16 X1 + 2X2 ≤ 12 4X1 + 2X2 ≤ 28 Z = X1 + 3/2 X2 2X1 + 2X2 = 16
X1 + 2X2 = 12
4X1 + 2X2 = 28
Z = X1 + 3/2 X2 = 3
X1 = 0 X 2 = 0
X1 = 0 X 2 = 0
X1 = 0 X2 = 0
X1 = 0 X2 = 0
X2= 8 X1 = 8
X2 = 6 X1 = 12
X2 =14 X1 = 7
X2 = 2 X1 = 3
P(0,0) => 0 ≤ 16 P(0,0) => 0 ≤ 12 P(0,0) => 0 ≤ 28 Verdad Verdad Verdad Fíjese que la función objetivo X 1 + 3/2 X2 = Z es la ecuación de una familia de rectas paralelas, las que se generan cada
vez que cambiemos el valor de Z, aquí hemos dado el valor arbitrario a Z de 3. Como observará en la gráfica siguiente, la recta que representa a ésta función objetivo, la desplazaremos a izquierda o derecha para encontrar el último punto que intercepta a la derecha del área de soluciones factibles, para encontrar la solución factible ó ptima.
X1 + 3/2 X2 = 3 X1 = 0 X 2 = 0 X2 = 2 X 1 = 3
X1 + 3/2 X2 = 6 X1 = 0 X 2 = 0 X2 = 4 X 1 = 6
X1 + 3/2 X2 = 9 X1 = 0 X2 = 0 X2 = 6 X 1 = 9
Tiempo sobrante de cada máquina: Máquina A Máquina B 2X1*+2X2* ≤ 16 X1*+2X2* ≤ 12 2(4) +2(4) ≤ 16 (4) +2(4) ≤ 12 16 ≤ 16 12 ≤ 12 Se usan todas las horas Se usan todas las horas semanales disponibles semanales disponibles
2.
F.O:
Maximizar Z = 5x1 + 5x2 S.A:
12x1 + 8 x2 96 6 x1 + 12x2 72 x1 2 x1; x2 0 Determinar la solución más óptima por el método grafico
SOLUCION:
Máquina C 4X1*+2X2* ≤ 28 4(4) +2(4) ≤ 28 24 ≤ 28 A la Máquina C le sobran 4 horas Semanales
Estos dos puntos y la línea que los une se muestran en la siguiente figura:
Con el punto óptimo localizado gráficamente, la única tarea que queda es encontrar las coordenadas del punto. Nótese que el punto óptimo está en la intersección de las líneas de restricción para materiales y horas de mano de obra. Las coordenadas de este punto se pueden encontrar resolviendo el sistema de ecuaciones que forman estas dos restricciones utilizando cualquiera de los métodos de solución (suma y resta, sustitución o igualación). Las coordenadas de este punto resultan ser (6, 3). La sustitución de este punto en la función objetivo da la ganancia máxima: Z = 5(6) + 5(3) = $45
3. Una empresa química “Chemical” produce limpiadores para automóviles X y pulidores Y , y gana 10,00 Bs en cada lote de X, y 30,00 Bs en Y. Ambos productos requieren procesarse en las mismas máquinas, A y B, pero X requiere cuatro (4) horas en A y ocho (8) en B, mientras que Y requiere seis (6) horas en A y cuatro (4) en B. Durante la semana entrante las máquinas A y B tienen doce 12 y dieciséis 16 horas de capacidad disponible, respectivamente. Suponiendo que existe demanda de ambos productos, ¿cuántos lotes de cada uno deben producirse para alcanzar la unidad óptima Z? Determinar la solución más óptima por el método Simplex
SOLUCION:
B
D
D
E
F
G
H
I
ITERACION: 1 COEFICIENTE DE L A FUNCION OBJETIVO
7
10,00
30,00
0,00
0,00
X1
X2
S1
S2
S1
4,00
6,00
1,00
0,00
12,00 BJ
/
S1
y X1
=
2,00
12,00
/
4,00
=
3,00
S2
8,00
4,00
0,00
1,00
16,00 BJ
/
S2
y X1
=
4,00
16,00
/
8,00
=
2,00
11
ZJ
-10,00
-30,00
0,00
0,00
12
ZJ - CJ
CJ
8 S E S L A B C I A I S R A A B V
9
10
BJ
FORMULAS
Var que entra X2
Var que Sale S1
13 14
ITERACION: 2
15
COEFICIENTE DE L A FUNCION OBJETIVO
16
10,00
30,00
0,00
0,00
X1
X2
S1
S2
BJ
X2
0,67
1,00
0,17
0,00
2,00
BJ
/
X1
y X2
=
S2
5,33
0,00
-0,67
1,00
8,00
BJ
/
S2
y X2
=
20
ZJ
10,00
0,00
5,00
0,00
60,00
21
ZJ - CJ
CJ
17 S E S L A B C I A I S R A A B V
18
19
FORMULAS
22 23
PARA HALLAR 2DA ITERACION
24
S2(X1)= +E10-($F$10*E18)
ZJ(X1)= +E11-($F$11*E18)
F1
=
F1
-
(PV F1
*
F3)
25
S2(X2)= +F10-($F$10*F18)
ZJ(X2)= +F11-($F$11*F18)
F2
=
F2
-
(PV F2
*
F3)
26
S2(S1)= +G10-($F$10*G18)
ZJ(S1)= +G11-($F$11*G18)
F3
=
F3
/
27
S2(S2)= +H10-($F$10*H18)
ZJ(S2)= +H11-($F$11*H18)
F4
=
F4
-
(PV F4
*
F2)
28
S2(BJ)= +I10-($F$10*I18)
ZJ(BJ)= +I11-($F$11*I18)
ZJ
=
ZJ
-
(PV ZJ
*
F2)
29
PV DE F3
Variable que entra
30
X1(X1)= +E9/$F$9
31
X1(X2)= +F9/$F$9
X1
=
0
32
X1(S1)= +G9/$F$9
ZJ
=
60
33
X1(S2)= +H9/$F$9
34
X1(BJ)= +I9/$F$9
SOLUCION OPTIMA
35
Z
= 10
Z
= 60
4. F.O: Maximizar Z = 60X1 + 30X2 + 20X3 S.A:
8 X1 + 6 X2 + X3 48 2 X1 + 1,5 X2 + 0,5 X3 4 X1 + 2 X2 + 1,5 X3 X2 X1; X2 0 Determinar la solución más óptima por el método Simplex
SOLUCION:
*
X2
=
2
0
+
30
*
2
ITERACION: 1 COEFICIENTE DE LA FUNCION OBJETIVO
CJ S A C I S A B S E L B A I R A V
60,00
30,00
20,00
0,00
0,00
0,00
0,00
X1
X2
X3
S1
S2
S3
S4
S1
8,00
6,00
1,00
1,00
0,00
0,00
0,00
48,00 BJ
/ S1
y X1
=
6,00
S2
2,00
1,50
0,50
0,00
1,00
0,00
0,00
8,00 BJ
/ S2
y X1
=
4,00
S3
4,00
2,00
1,50
0,00
0,00
1,00
0,00
20,00 BJ
/ S3
y X1
=
5,00
S4
0,00
1,00
0,00
0,00
0,00
0,00
1,00
5,00 BJ
/ S4
y X1
=
----
-60,00
-30,00
-20,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
ZJ
BJ
FORMULAS
CJ-ZJ
ITERACION: 2 COEFICIENTE DE LA FUNCION OBJETIVO
CJ S A C I S A B S E L B A I R A V
60,00
30,00
20,00
0,00
0,00
0,00
0,00
X1
X2
X3
S1
S2
S3
S4
BJ
S1
0,00
0,00
-1,00
1,00
-4,00
0,00
0,00
16,00
X1
1,00
0,75
0,25
0,00
0,50
0,00
S3
0,00
-1,00
0,50
0,00
-2,00
S4
0,00
1,00
0,00
0,00
0,00
15,00
-5,00
0,00
ZJ
FORMULAS BJ
/ S1
y X3
=
-16,00
F1
=
F1
-
(PV F1
0,00
4,00 BJ
/ S2
y X3
=
16,00
F2
=
F2
/
2
1,00
0,00
4,00 BJ
/ S3
y X3
=
8,00
F3
=
F3
-
0,00
0,00
1,00
5,00 BJ
/ S4
y X3
=
----
F4
=
F4
30,00
0,00
0,00
ZJ
=
ZJ
240,00
CJ-ZJ
*
F2)
(PV F3
*
F2)
-
(PV F4
*
F2)
-
(PV ZJ
*
F2)
NO HAY SOLUCION OPTIMA POR NEGATIVIDAD DE ZJ
ITERACION: 3 COEFICIENTE DE LA FUNCION OBJETIVO
CJ S A C I S A B S E L B A I R A V
ZJ CJ-ZJ
60,00
30,00
20,00
0,00
0,00
0,00
0,00
X1
X2
X3
S1
S2
S3
S4
BJ
S1
0,00
-2,00
0,00
1,00
-8,00
2,00
0,00
24,00
F1
=
F1
-
(PV F1
-
F3)
X1
1,00
1,25
0,00
0,00
1,50
-0,50
0,00
2,00
F2
=
F2
-
(PV F2
-
F3)
X3
0,00
-2,00
1,00
0,00
-4,00
2,00
0,00
8,00
F3
=
F3
/
0,50
S4
0,00
1,00
0,00
0,00
0,00
0,00
1,00
5,00
F4
=
F4
-
(PV F4
-
F3)
0,00
5,00
0,00
0,00
10,00
10,00
0,00
280,00
ZJ
=
ZJ
-
(PV ZJ
-
F3)
FORMULAS
SOLUCION OPTIMA POR NO NEGATIVIDAD DE ZJ
