Puškice → Treći razred Analitička geometrija u ravni Tačka:
Trougao:
Rastojanje između tačaka A1 ( x1 , y1 ) i A2 ( x2 , y2 ) :
( x2 − x1 ) + ( y2 − y1 ) 2
d=
Površina trougla sa temenima A1(x1, y1), A2 (x2 , y2 ) i A3 (x3 , y3 ):
2
Središte duži A1 A2 :
⎛ x + x y + y2 ⎞ S⎜ 1 2 , 1 2 ⎟⎠ ⎝ 2
x1 1 x2 2 x3
y1 1
P=
1 x1 ( y2 − y3 ) + x2 ( y3 − y1 ) + x3 ( y1 − y2 ) 2
y2 1 y3 1
Uslov paralelnosti dve prave:
Jednačina prave: 1.
Opšti oblik: Ax + By + C = 0
2.
Segmentni oblik:
3.
Eksplicitni oblik: y = kx + n
Prave y = k1 x + n1 i y = k2 x + n2 su paralelne ako i samo
x y + = 1, a b
ako je k1 = k2
a ≠ 0, b ≠ 0
Uslov normalnosti dve prave: Prave y = k1 x + n1 i y = k2 x + n2 su normalne ako i samo
Pramen pravih: Ako je data tačka A( x0 , y0 ) tada su formulom y − y0 = k ( x − x0 ) date sve prave koje sadrže ovu tačku. Jednačina prave kroz dve tačke: Ako su date dve tačke A1 ( x1 , y1 ) i A2 ( x2 , y2 ) tada jednačina prave koja sadrži ove tačke glasi:
y − y1 =
P=
y2 − y1 ( x − x1 ) x2 − x1
ako je k1 ⋅ k2 = −1 Ugao između dve prave: Ugao između pravih y = k1 x + n1 i y = k2 x + n2 se računa pomoću formule:
tgϕ =
k2 − k1 za 1 + k1 ⋅ k2 ≠ 0. 1 + k1 ⋅ k2
ako je 1 + k1 ⋅ k2 = 0 tada je ϕ = 90o
Rastojanje tačke od prave: Rastojanje tačke M ( x0 , y0 ) od prave Ax + By + C = 0 je
d=
Ax0 + By0 + C A2 + B 2
Kružnica:
Elipsa:
Jednačina kružnice sa centrom u tački C ( p, q ) i poluprečnikom r je:
Jednačina elipse sa centrom u koordinatnom početku je:
( x − p) + ( y − q) 2
2
x2 y2 + =1 a 2 b2
= r2
Tangenta kružnice: ako tačka M ( x0 , y0 ) pripada kružnici onda je jednačina tangente:
( x0 − p )
2
Sledeće formule važe ako je a > b Ekcentricitet: e =
( x − p ) + ( y0 − q ) ( y − q) = r 2
c pri čemu je c = a 2 − b 2 a
Fokusi ( žiže ): F1 (−c, 0), F2 (c, 0) Uslov dodira prave i kružnice:
Tangenta elipse:
prava y = kx + n je tangenta kružnice ako i samo ako je:
(1 + k ) r = ( kp + n − q ) 2
2
ako tačka M ( x0 , y0 ) pripada elipsi onda je jednačina tangente:
2
x0 x y0 y + 2 =1 a2 b Uslov dodira prave i elipse: prava y = kx + n dodiruje elipsu ako i samo ako je:
a 2 k 2 + b2 = n2 autor: Miloš Petrović
Hiperbola:
Parabola:
Jednačina hiperbole sa centrom u koordinatnom početku je: 2
Jednačina parabole sa centrom u koordinatnom početku je:
y 2 = 2 px
2
x y − =1 a 2 b2
⎛p ⎞ ,0⎟ ⎝2 ⎠
Fokus ( žiža ): F ⎜
Sledeće formule važe ako je a > b Ekcentricitet: e =
c pri čemu je c = a 2 + b 2 a
Direktrisa: x = −
Fokusi ( žiže ): F1 (−c, 0), F2 (c, 0)
p 2
Tangenta hiperbole:
Tangenta parabole:
ako tačka M ( x0 , y0 ) pripada hiperboli onda je jednačina tangente:
ako tačka M ( x0 , y0 ) pripada paraboli onda je jednačina tangente:
y0 y = p ( x + x0 )
x0 x y0 y − 2 =1 a2 b
Uslov dodira prave i parabole:
Uslov dodira prave i hiperbole:
prava y = kx + n dodiruje parabolu ako i samo ako je:
prava y = kx + n dodiruje hiperbolu ako i samo ako je:
a k −b = n 2
2
2
2kn = p
2
Asimptote hiperbole:
y=
b b xi y=− x a a
Nizovi: Aritmetički niz:
Geometrijski niz:
Niz je aritmetički ako je razlika njegovih susednih članova konstantna: pr: 2, 5, 8, 11, ...
Niz je geometrijski ako je količnik njegovih susednih članova konstantna: pr: 2, 6, 18, 54, ...
d : razlika aritmetičkog niza ( u primeru je d = 3 )
q : količnik geometrijskog niza ( u primeru je q = 3 )
a1 : prvi član niza ( u primeru je a1 = 2 )
a1 : prvi član niza ( u primeru je a1 = 2 )
k – ti član niza: ak = a1 + (k − 1)d Zbir prvih k članova niza: S k = ka1 +
k −1 k – ti član niza: ak = a1 ⋅ q
k (k − 1)d a1 + ak = 2 2
Zbir prvih k članova niza: S k = b1
1 − qk 1− q
Ako je −1 < q < 1 tada može da se izračuna zbir SVIH članova geometrijskog niza:
S=
autor: Miloš Petrović
a1 1− q
