Ljuban Dedi´c
DIFERENCIJALNA GEOMETRIJA skripta 04.06.2008
Sadrˇ za j Predgovor
ii
1 Uvod
1
2 Krivulje 2.1 Osnovna svo jstva krivulja 2.2 Fleksija i torzija . . . . . . 2.3 Frenetove formule . . . . . 2.4 Spirale . . . . . . . . . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
3 Plohe 3.1 Osnovna svojs ojstva ploha . . . . . . . 3.2 Metriˇcki oper perator i oper perator oblika 3.3 Fundamentalne forme . . . . . . . . 3.4 Zakrivljenosti ploha . . . . . . . . . 3.5 Krivulje na plohama . . . . . . . . 3.6 Preslikavanja ploha . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
. . . .
9 9 11 13 19
. . . . . .
22 22 27 28 29 38 44
Sadrˇ za j Predgovor
ii
1 Uvod
1
2 Krivulje 2.1 Osnovna svo jstva krivulja 2.2 Fleksija i torzija . . . . . . 2.3 Frenetove formule . . . . . 2.4 Spirale . . . . . . . . . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
3 Plohe 3.1 Osnovna svojs ojstva ploha . . . . . . . 3.2 Metriˇcki oper perator i oper perator oblika 3.3 Fundamentalne forme . . . . . . . . 3.4 Zakrivljenosti ploha . . . . . . . . . 3.5 Krivulje na plohama . . . . . . . . 3.6 Preslikavanja ploha . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
. . . .
9 9 11 13 19
. . . . . .
22 22 27 28 29 38 44
Predgovor Ova skripta je napisana s namjerom da pomogne studentima Prirodoslovnomatematiˇ mate matiˇckog ckog fakulte fak ulteta ta Sveuˇciliˇ ciliˇsta sta u Mostaru Mosta ru pri po polagan laganju ju ispita ispi ta iz kolegija kolegij a njo jojj se s e izlaˇ i zlaˇze ze element ele mentarn arnaa klasiˇ klasiˇcna cna Uvod u diferencijalnu geometriju . U n teorija krivulja i ploha u trodimenzionalnom realnom euklidskom prostoru. Podijeljena je u tri poglavlja. U prvom poglavlju se uvode standardne oznake i nazivi te daju neke elementarne tvrdnje u obliku primjera. U drugom poglavlju pogl avlju se izlaˇze ze klasiˇcna cna teorija krivulja krivulj a u R3 , dokazuju se Frenet renetoove form formule, ule, kao i nek neke druge druge eleme elemen ntarne tarne tvrdnj tvrdnjee o krivul krivuljam jama, a, te daju primje primjeri ri raznih raznih krivul krivulja. ja. Osno Osnovni teorem teorem teorije teorije krivul krivulja ja je na nav voden bez dokaza. U tre´cem cem p oglavlj ogl avlju u se prouˇ prouˇcava cava klasiˇ klasiˇcna cna lokalna lokal na teori teorija ja ploha plo ha u R3, uvodi se metriˇ metriˇcki cki operator, operator oblika, oblika, fundamentalne fundamentalne forme te razne zakrivljenos krivljenosti ti ploha. ploha. Takoder akoder se prouˇ prouˇcav cavaju krivulje krivulje na plohama plohama te njihove njihove zakrivlje zakrivljenost nosti. i. Navodi Navodi se i dosta dosta primjera primjera raznih ploha. Na koncu se bez dokaza navodi Gaussov theorema egregium.
Poglavlje 1 Uvod Neka je R3 standardni vektorski prostor nad R dimenz dimenzije ije 3. Elemen Elemente te od 3 3 su x, y R zovemo vektori, a elemente od R skalari. Ako su R , α R, x = (x1 , x2 , x3 ), y = (y1 , y2 , y3 ), onda su formulama
∈
∈
x + y = (x1 + y1 , x2 + y2 , x3 + y3 ), αx = (αx1 , αx2 , αx3 ) dane operacije zbrajanja i mnoˇ zenje zen je sa skalaro skalarom m. Ako je e1 = (1, 0, 0), e2 = (0, 1, 0) i e3 = (0, 0, 1), onda je (e1 , e2 , e3 ) baza od R3 pa se svaki ze napisati napi sati,, na jedinstven jedi nstven naˇcin, cin, u obliku obli ku linearne kombinacije x R3 moˇze x = x 1 e1 + x2 e2 + x3 e3 . Bazu (e1 , e2 , e3 ) zovemo standardna baza od R3 . Ako su x, y R3 onda definiramo skalarni produkt (x y) sa
∈
∈
|
(x y) = x 1 y1 + x2 y2 + x3 y3
|
i normu x = (x x)1/2 = (x21 + x22 + x23 )1/2 . Ako je (x y) = 0 onda kaˇ kaˇzemo zemo da su x i y okomiti ili ortogonalni. Ako je x =1 onda kaˇ kaˇzemo zemo da je x normiran vekt vektor. or. Zamij Zamijeti etimo mo da su bazni bazni vektori e1 , e2 , e3 medusobno okomiti i normirani pa kaˇzemo zemo da su ortonor o dnosno sno da ˇcine cin e ortonormiranu bazu od R3 . mirani, odno Ako su x, y R3 , x = 0 i y = 0, onda definiramo kut α izmedu x i y formulom (x y) = x y cos α. Ako su x, y R3 onda definiramo vektorski produkt x y sa
|
|
∈ | ∈ × x × y = (x y − x y , x y − x y , x y − x y ) 2 3
3 2
3 1
1 3
1 2
2 1
ˇsto sto se moˇze ze nap napisa isati ti u obliku obl iku simbo si mboliˇ liˇ cke cke determ det ermina inante nte
e x × y = x y
1 1
1
e2 e3 x2 x3 y2 y3
POGLA POGLAVL VLJE JE 1. 1.
2
UVOD UVOD
Takoder definiramo mjeˇsovit sovitii pr pro odu dukt kt [x, y, z] formulom
x [x, y, z] = (x × y| z) = y z
1
1
1
x y z
x2 y2 z 2
3
3
3
Ako Ako su X i Y vektorski onda da sa L(X, Y ) ozvektorski podprostori od R3 on Y i uvodimo oznaku naˇcav cavamo skup svih linearnih operatora A : X L(X ) = L(X, X ). Ako je A L(X, Y ) onda definiramo Aτ L(Y , X ) formulom (Ax y) = (x Aτ y), x X, X , y Y
→
∈
|
|
∈
∈
∈
i zovemo ga transponirani operator od A. Kaˇzemo zemo da je op operato eratorr A L(X ) pozitivan i piˇsemo em o A 0, ako je A zemo da je A strogo simetriˇcan tj. Aτ = A i (Ax x) 0, za svaki x. Kaˇzemo pozitivan ako je A regularan i pozitivan. Spektar pozitivnog operatora je sadr sa drˇˇzan zan u [0 , ), a strogo pozitivnog u (0, ).
∈ | ≥
≥
∞
PRIMJERI 1.1 Neka su a, b, x, y, z
∞
∈R
3
iα
∈ R.
(1) Skalarni produkt je linearan po obje varijable i vrijedi: (a) (x y) = (y x) (b) (x y) x y (Cauchy-Schwarzova nejednakost) Nor ma zadovoljav zadovolj avaa sljede´ slje de´ce ce relacije relac ije:: (2) Norma (a) x 0 i x = 0 ako i samo ako x = 0. (b) αx = α x (c) x + y x + y (relacija trokuta) (d) x + y 2 = x 2 + y 2 + 2(x y) (e) x + y 2 + x y 2 = 2 x 2 + 2 y 2 (relacija paralelograma ) (f) (f ) x y x y (3) Vektorski produkt je linearan po obje varijable i vrijedi: (a) x y = 0 ako i samo ako su x i y linearno zavisni. (b) x y = y x, x x = 0 (c) (a b x y) = (a x)(b y) (a y)(b x) (d) x y 2 = x 2 y 2 (x y)2 (e) x y je okomit na x i y i vrijedi x y = x y sin α gdje je α kut izmedu x i y. (f) (f ) x y x y (g) x y je jednak povrˇ pov rˇ sini sini par parale alelog logra rama ma sa stranicama x i y. (h) x (y z) = (x z)y (x y)z, (x y) z = (x z)y (y z)x Dakle, vektorski produkt nije asocijativan . (i) x (y z) + y (z x) + z (x y) = 0 ( Jacobijeva identiteta )
|
| | | | ≤ ≥ | | ≤ | − | − | ≤ − × × − × × × | × | | − | | × − | × × × ≤ × × × | − | × × | − | × × × × × ×
POGLAVLJE 1.
3
UVOD
(j) Vektor x, y, z = x ( y z) (x y ) z se zove asocijator od x, y, z i za njega vrijedi x, y, z = (y z)x (x y)z (k) x, y, x = x, x z, z = 0 (4) Ako je T x L (R3 ), T x y = x y, onda vrijedi: (a) Matrica T x od T x , u standardnoj bazi, je dana sa
× × − × × | − | × ∈ ×
T = x
0 x3 x2
−
−x 0 x1
x2 x1 0
3
−
(b) T xτ = T x tj. T x je antisimetriˇ can operator. (c) T x3 = (x x)T x (d) Spektar od T x je jednak 0, i x , i x i vrijedi det T x = tr T x = 0 (e) T x T y = B x,y (x y)I, gdje je Bx,y operator ranga 1, Bx,y z = (x z)y (f) tr T x T y = 2(x y) (g) T x×y = T x T y T y T x = B x,y By,x (h) x T x je linearno i injektivno preslikavanje. (i) T x (y z) = T x y z + y T x z (j) Ax Ay = A + (x y), A L (R3 ) (k) Ax y + x Ay = (I trA Aτ )(x y) gdje je A + operator algebarskih komplemenata dan sa A τ A+ = I det A. Zamijetimo da je (AB )+ = A+ B + i (αA)+ = α2 A+ . Ako je A regularan onda je A+ = (A−1 )τ det A. Ako je A ortogonalan tj. AAτ = I onda je A+ = A det A. Ako je A = T x onda je A+ = B x,x . Nadalje, (A+ )+ = A det A (l) Definiramo operatore U x = T x / x , P x = U x2 = T x2 / x 2 , za x = 0 i U 0 = P 0 = 0. Tada je P x projektor na ravninu im T x tj. njegova slika je im T x i vrijedi P x2 = P x = P xτ . (m) Ako je f parni polinom onda je f (T x ) = f (0)(I P x ) + f (i x )P x , a ako je f neparni polinom onda je f (T x ) = if (i x )U x . Specijalno je T x2n = ( 1)n x 2n P x , T x2n+1 = ( 1)n x 2n+1U x , n 1 . (n) Ako je z = x (x ( (x y)) ), gdje se x pojavljuje 11 puta, a y samo jedanput na kraju, onda je z = T x11 y = x 10 x y. (o) Ako je E x = I P x +cos x P x +sin x U x, onda je E x ortogonalan tj. E x E xτ = I , E −x = E xτ i E 0 = I . Nadalje, tr E x = 1+2 cos x , det E x = 1, dok je 1, exp i x , exp( i x ) spektar od E x , za svaki x. (5) Mjeˇsoviti produkt je linearan po svakoj varijabli i vrijedi: (a) [x, y, z] = 0 ako i samo ako su x, y, z linearno zavisni. (b) [x, y, z] je jednak volumenu paralelepipeda sa bridovima x, y, z. (c) [x, y, z] x y z (Hadamardova nejednakost ) (d) [x, y, z] = det A, gdje je A matrica ˇciji su redci koordinate vektora x, y, z. Determinanta matrice AAτ se zove Gramova determinanta i oz-
− − |
− | − | − → × × × × × ×
{ − }
|
−
×
∈ −
×
−
−
− − − − ≥ × × ···× × ··· − × − · · { − } | |
| | ≤
POGLAVLJE 1.
4
UVOD
naˇcava se sa Γ( x, y, z). Prema tome [ x, y, z]2 = Γ(x, y, z). Zamijetimo da je Γ(x, y, z) 0 i da je Γ(x, y, z) = 0 ako i samo ako su x , y, z linearno zavisni. (e) Neka su x, y, z nezavisni i d = [x, y, z] / x y . Tada je d visina paralelepipeda s bridovima x, y, z, nasuprot paralelograma sa stranicama x, y. Nadalje, d je takoder udaljenost od z do ravnine generirane sa x, y. (f) [Ax, Ay,Az] = [x, y, z]det A, Γ(Ax, Ay,Az) = (det A)2 Γ(x, y, z) (g) [Ax, y, z] + [x, Ay, z] + [ x, y,Az] = [x, y, z] tr A (h) (x y) (x z) = [x, y, z] x (i) [y z, z x, x y] = [x, y, z]2 (j) [a b, c d, e f ] = [a, b, e][c, d, f ] [a, b, f ][c, d, e]
≥
|
× × × × × × × × ×
| ×
−
PRIMJERI 1.2 U sljede´cim primjerima dajemo algebarsku verziju teorije ploha u trodimenzionalnom euklidskom prostoru. (1) Neka je Π podprostor od R3 generiran linearno nezavisnim vektorima r1 , r2 R3 i R L (R2 , R3 ), Rx = x 1 r1 + x2 r2 = x ♮ . Ako je A L (R2 ) onda definiramo operator A♮ L (Π) sa A♮ x♮ = (Ax)♮ , x R2 . Tada vrijedi (a) Preslikavanje A A ♮ je linearni operator i bijekcija izmedu vektorskih prostora L(R2 ) i L(Π). (b) (AB x)♮ = A ♮ (B x)♮ = A ♮ B ♮ x♮ (c) (AB )♮ = A ♮ B ♮ , pa je A A ♮ izomorfizam algebra. (d) RA = A ♮ R, za svaki A L (R2 ) (e) Relacija Ax = y je ekvivalentna sa A♮ x♮ = y♮ , za svaki x i y, pa je matrica od A, u standardnoj bazi, jednaka matrici od A♮ , u bazi (r1 , r2 ). (f) Spektar od A♮ je jednak spektru od A. (g) Matrica R od R, u standardnim bazama, ima dva stupca: prvi stupac ˇcine koordinate od r1 , a drugi koordinate od r2 . Matrica od Rτ je Rτ . (h) Operator G = Rτ R L (R2 ) je regularan, simetriˇ can i pozitivan i ima matricu (r1 r1 ) (r1 r2 ) G = (r2 r1 ) (r2 r2 )
∈
∈
∈ →
∈
∈
→ ∈
∈
| |
| |
pri ˇcemu je det G = (r1 r1)(r2 r2 ) (r1 r2 )2 = r1 r2 2 . (i) Inverz preslikavanja A A ♮ je dan sa A = G −1 Rτ A♮ R (j) Aτ = R τ (A♮ )τ RG−1 = G −1 Rτ (Aτ )♮ R (k) Operatori (A♮ )τ i (Aτ )♮ ne moraju biti jednaki tj. izomorfizam ♮ op´cenito ne ˇ cuva transponiranje. Ako su r1 i r2 ortogonalni i jednake norme tj. ako je G = αI, gdje je α = (r1 r1 ), onda je (A♮ )τ = (Aτ )♮ , pa tada izomorfizam ♮ ˇ cuva transponiranje. Vrijedi i obrat. (l) Ako je P = RG−1 Rτ onda je P projektor na Π tj. njegova slika je Π i vrijede relacije P 2 = P τ = P.
|
| − | →
×
|
POGLAVLJE 1.
5
UVOD
(m) Ako je ν = r1 r2 / r1 r2 , onda je ν normala na Π i (r1 , r2, ν ) je baza od R3 . Nadalje, P = I P ν , gdje je P ν L(R3 ), P ν z = (z ν )ν , projektor na normalu. (n) Neka su ν 1 , ν 2 Π. Tada definiramo operatore B, S L(R2 ) i operator N L (R2 , R3) sa
× × − ∈
∈
N x = x 1 ν 1 + x2 ν 2 , B =
Za njih vrijedi RS = S ♮R =
∈
|
∈
τ
S = G −1 B
−R N,
τ ♮
♮
−N i R S R = B pa je S Rx = −N x, tj. S (x r + x r ) = −x −x ♮
1 1
1 ν 1
2 2
2 ν 2
Operatori S i S ♮ imaju isti spektar. Ako je S x = αx onda je S ♮x♮ = αx♮ . Zamijetimo da je N τ N = S τ GS = B τ S. Matrice od G−1 i B su dane sa G−1 =
1 det G
(r2 r2 ) (r2 r1 )
|
− |
−(r |r ) 1
2
(r1 r1 )
|
, B=
−(r |
−(r | −(r |
1 ν 1 )
1 ν 2
− (r |
2 ν 1 )
)
2 ν 2 )
dok je S = G −1 B matrica od S. (o) ν 1 ν 2 = r 1 r2 det S, r1 ν 2 + ν 1 r2 = r1 r2 tr S (2) Neka je B simetriˇcan operator tj. B τ = B. To je ekvivalentno sa simetriˇcnoˇs´cu od B tj. (r1 ν 2 ) = (r2 ν 1 ). (a) Neka je T = G 1/2 i H = T −1 BT −1 . Tada su T i H simetriˇcni operatori, G = T 2 i S = T −1 HT, ˇsto znaˇci da je S sliˇ can simetriˇ cnom operatoru H . Dakle, H i S imaju iste svojstvene vrijednosti i one su realne, a oznaˇcavamo ih sa k1 i k2 , pri ˇcemu smatramo da je k2 k1 . Zamijetimo da je u ovom sluˇ caju i S ♮ simetriˇcan operator, zbog Rτ S ♮ R = B. (b) Neka su y1 i y2 svojstveni vektori od H pridruˇzeni k1 i k2 . Tada je (y1 y2 ) = 0 pa ako je x1 = T −1 y1 i x2 = T −1 y2 onda su x1 i x2 svojstveni vektori od S pridruˇzeni k1 i k2 i vrijedi (Gx1 x2 ) = 0, dok su x♮1 i x♮2 svojstveni vektori od S ♮ i (x♮1 x♮2 ) = 0. Smatramo da su oni normirani tj. (x♮1 x♮1 ) = 1 i (x♮2 x♮2 ) = 1. (c) tr S = tr G−1 B = k 1 + k2 i
×
× |
×
×
− ×
|
≤
| |
|
|
|
det B (r1 ν 1 )(r2 ν 2 ) det S = = det G (r1 r1)(r2 r2 )
2
| − (r | ) = k k | | − (r | r ) dok je svojstveni polinom od S dan sa λ − λ tr S + det S, ˇsto je ujedno i svojstveni polinom od S . (d) Neka je κ (x) = (B x|x)/(Gx|x) i τ (x) = [Rx, ,N x]/(Gx|x), x = 0. Tada je κ (tx) = κ (x) i τ (tx) = τ (x), za svaki t ∈ R, t = 0. |
1 ν 2
1
2
2
1 2
2
♮
ν
(e) Za κ vrijedi Eulerova formula κ (x) = k 1 cos2 θ + k2 sin2 θ, gdje je θ kut izmedu x♮ i x♮1 , a x1 svojstveni vektor od S pridruˇzen k1 .
POGLAVLJE 1.
6
UVOD
(f) k2 κ (x) k 1 , a jednakosti se dostiˇzu na x1 i x2 (g) Za τ vrijedi Bonnetova formula τ (x) = (k2 k1 )cos θ sin θ, gdje je θ kut izmedu x♮ i x♮1 . (3) Operatori G, B i S imaju vaˇ znu ulogu u teoriji ploha u R3 . Svakoj toˇcki na plohi se pridruˇzuje ovakva operatorska trojka. Operator G se zove metriˇ cki operator (ili metriˇcki tenzor), a S operator oblika (ili tenzor zakrivljenosti) plohe u toj toˇ cki. Tako se zove i operator S ♮ , kojeg mi rjede koristimo. Nadalje, k = det S se zove Gaussova zakrivljenost , h = 12 tr S se zove srednja zakrivljenost, κ (x) se zove normalna zakrivljenost u smjeru vektora x, τ (x) se zove geodetska torzija u smjeru vektora x, dok se k1 i k2 zovu glavne zakrivljenosti plohe u toj toˇcki. Svojstveni vektori x1 i x2 od S se zovu glavni smjerovi plohe u toj toˇcki. Tako se zovu i svjstveni vektori x♮1 i x♮2 operatora S ♮ . Funkcije g, b : R2 R2 R, g (x, y) = (Gx y), b(x, y) = (B x y), se zovu prva i druga fundamentalna forma plohe u toj toˇcki. Ako je Π tangencijalni prostor plohe u toj toˇcki, onda je x x♮ izomorfizam izmedu R2 i Π, dok je A A♮ izomorfizam algebre L(R2 ) i algebre L(Π). Nadalje, g (x, y) = (x♮ y♮ ) i b(x, y) = (S ♮ x♮ y♮ ). Ako vrijedi cki. Tako se zove κ (x) = 0 onda se x zove asimptotski smjer plohe u toj toˇ i x♮ . Umjesto g (x, x) piˇsemo g (x), a b(x) umjesto b(x, x). (4) Neka je B simetriˇcan operator, C = N τ N i c : R2 R2 R, funkcija definirana sa c(x, y) = (C x y). Tada se c zove tre´ ca fundamentalna forma plohe u danoj toˇcki. Kra´ce piˇsemo c(x) = c (x, x). (a) C = S τ GS = BS i det C = k 2 det G (b) C = kG + 2hB, ˇsto se dobije iz S 2 2hS + kI = 0 (c) c = kg + 2 hb (d) c(x) 0, za svaki x (e) c(x, y) = (S ♮ x♮ S ♮ y♮ ), za svaki x i y (f) 2hκ (x) k, za svaki x = 0 (g) Za c vrijedi Eulerova formula c(x)/g (x) = k 12 cos2 θ + k22 sin2 θ, gdje je θ kut izmedu x♮ i x♮1 . (h) Ako je x asimptotski smjer onda je c(x) = kg (x) (5) Vrijede sljede´ce tvrdnje (a) k1 = h + ( h2 k )1/2 , k2 = h (h2 k )1/2 (b) ν 1 ν 2 = k r1 r2 , r1 ν 2 + ν 1 r2 = 2h r1 r2 (c) Ako je k > 0 onda nema asimptotskih smjerova (d) Ako je k < 0 onda je k2 < 0 < k1 i postoje dva asimptotska smjera y1 i y2 , pri ˇcemu je y1 = a1 x1 + a 2x2 , y2 = a1 x1 + a 2x2 , gdje su x1 i x2 ♮ k2 1/2 k1 1/2 , a , ϕ glavni smjerovi i a1 = ( k− ) = ( ) dok je kut izmedu y 2 1 i k1 −k2 1 −k2
≤
≤
−
× →
|
|
|
→
→
|
× →
|
− − ≥
−
|
≥
−
×
−
×
×
−
− ×
−
−
×
POGLAVLJE 1.
7
UVOD
y2♮ dan sa cos ϕ = (k1 + k2 )/(k1 k2 ) = h/(h2 k )1/2 ili ctg2 ϕ = h2 /k. Prema tome su y1♮ i y2♮ okomiti ako i samo ako je h = 0. (e) Ako je k = 0 i h = 0 onda postoji samo jedan asimptotski smjer i on je x1 , za k1 = 0, odnosno x2 , za k2 = 0. (f) Ako je k = 0 i h = 0 onda je svaki smjer asimptotski R, funkcija definirana sa (6) Neka je B simetriˇcan operator i d : R2 R2
−
−
−
× →
2d(x, y) = [Rx, ν ,N y] + [Ry, ν ,N x] Tada se d zove ˇ cetvrta fundamentalna forma plohe u danoj toˇcki. Kra´ce piˇsemo d(x) = d (x, x) pa je d(x) = [Rx, ν ,N x]. (a) d(x, y) = (Dx y), gdje je D = (det G)1/2 J (hI S ), a J L(R2 ) operator rotacije za pravi kut tj. J e1 = e2 , J e2 = e1 . Matrica od D, u standardnoj bazi, je dana sa
|
D = 12 (det G)1/2
−
s22 s11 2s21 s22 s11 2s12
−
−
−
−
, J =
∈
0
1
−1 0
pri ˇcemu je S = [sij ] matrica operatora oblika, u standardnoj bazi. (b) det D = 14 (k1 k2 )2 det G = (k h2 )det G (c) 2d(x, y) = [x♮ , S ♮ y♮ , ν ] + [ y♮ , S ♮ x♮ , ν ] (d) d(x) = [x♮ , S ♮x♮ , ν ] (e) b(x)2 + d(x)2 = g (x)c(x) (f) d(x)2 = kg (x)2 + 2hg (x)b(x) b(x)2 (g) τ (x) = d (x)/g (x) (h) κ (x)2 + τ (x)2 = c (x)/g (x) (i) τ (x)2 = k + 2 hκ (x) κ (x)2 (j) τ (x) = 0 ako i samo ako je x svojstveni vektor od S (k) d(x1 , x2 ) = (k2 k1 )/2, gdje su x1 i x2 glavni smjerovi (l) Ako je x asimptotski smjer onda je τ (x)2 = k (m) Ako je k < 0 onda za asimptotske smjerove y1 i y2 vrijedi
−
−
−
−
−
−
−
−
τ (y1 ) =
−(− k )
−
1/2
, τ (y2 ) = ( k )1/2 , τ (y1 )τ (y2 ) = k
−
PRIMJERI 1.3 U sljede´cim primjerima uvodimo oznake i navodimo neke elementarne tvrdnje iz analize koje nam trebaju u drugom i tre´cem poglavlju. 3 3 R i f : R R , f (x) = (f 1 (x),f 2 (x),f 3 (x)) derivabilne (1) Neka su f : R3 funkcije. (a) Linearni operator f ′ (x) L (R3 ), definiran sa
→
→ ∈
f ′ (x)ei = ∂ i f (x) = (∂ i f 1 (x),∂ i f 2 (x),∂ i f 3(x)), i = 1, 2, 3
POGLAVLJE 1.
8
UVOD
gdje je ∂ i = ∂/∂xi , se zove derivacija od f u toˇcki x. Njegova matrica, u standardnoj bazi, je [∂ j f i (x)]. (b) div f (x) = tr f ′ (x) = ∂ 1 f 1 (x)+ ∂ 2 f 2 (x)+ ∂ 3 f 3 (x) se zove divergencija od f u toˇcki x. (c) rot f (x) = (∂ 2 f 3 (x) ∂ 3 f 2(x), ∂ 3 f 1 (x) ∂ 1 f 3 (x), ∂ 1 f 2 (x) ∂ 2 f 1(x)) se zove rotacija od f u toˇcki x. (d) f ′ (x) = (∂ 1 f (x), ∂ 2 f (x), ∂ 3 f (x)) se zove derivacija ili gradijent od f u toˇcki x. Vektor f ′(x) se drugukˇcije oznaˇcava sa grad f (x) ili sa f (x), gdje je = ∂ 1 e1 + ∂ 2 e2 + ∂ 3 e3 tzv. nabla operator , koji se shva´ca kao simboliˇcki vektor. (e) div f (x) = ( f (x)), za svaki x (f) rot f (x) = f (x), za svaki x (2) Ako je f iz (1) takva da je njezina derivacija f ′ derivabilna funkcija, onda se linearni operator f ′′ (x) L (R3 ), zadan matricom [ ∂ i ∂ j f (x)], u standardnoj bazi, zove druga derivacija od f u toˇcki x. (a) f ′′ (x) je simetriˇcan operator, za svaki x (b) Operator ∆ definiran sa
−
−
−
∇
∇
∇| ∇×
∈
∆f (x) = trf ′′ (x) = ∂ 12 f (x) + ∂ 22 f (x) + ∂ 32 f (x) se zove Laplaceov operator ili Laplacian, a njegova veza s nabla operatorom je dana sa ∆ = ∂ 12 + ∂ 22 + ∂ 32 = ( ). (c) div f ′ (x) = ∆f (x), za svaki x (d) div rot f (x) = 0, za svaki x (e) rot f ′ (x) = 0 , za svaki x 2 2 (3) Ako je f : R2 R i f : R R onda gornje definicije ostaju iste (osim rotacije koja se ne definira), s tim ˇsto svi vektori imaju dvije koordinate, a f ′ (x) i f ′′ (x) su iz L(R2 ).
∇|∇
→
→
Poglavlje 2 Krivulje 2.1
Osnovna svojstva krivulja
Neka je I interval u
R
i x : I
3
→ R
x(t) = (x1 (t), x2 (t), x3 (t)) = x 1 (t)e1 + x2 (t)e2 + x3 (t)e3 Tada se funkcije xi : I R, i = 1, 2, 3, zovu koordinatne funkcije od x. Kaˇzemo da je funkcija x neprekidna [odnosno derivabilna, glatka, integrabilna] ako su sve njezine koordinatne funkcije neprekidne [odnosno derivabilne, glatke, integrabilne]. Ako je x derivabilna onda se
→
x′ (t) = (x′1 (t), x′2 (t), x′3 (t)) = x ′1 (t)e1 + x′2 (t)e2 + x′3 (t)e3 zove derivacija od x u toˇcki t I. Funkcija x′ se zove derivacija od x, x′′ = (x′ )′ se zove druga derivacija od x, itd. U daljem razmatramo samo glatke funkcije tj. beskonaˇcno derivabilne funkcije. Skup svih glatkih funkcija x : I R3 oznaˇcavamo sa C ∞ (I ). 3 R , gdje K R nije Ponekad takoder razmatramo i funkcije z : K interval, pri ˇcemu smatramo da postoji interval I koji sadrˇzi K i glatka funkcija x : I R3 takva da je x K = z . Kaˇzemo da su x C ∞ (I ) i y C ∞ (J ) ekvivalentne ako postoji glatka I takva da je y(t) = x(ϕ(t)) i ϕ′ (t) > 0, za svaki t J. bijekcija ϕ : J C ∞ (I ) se zove krivulja u R3, a funkcija x Klasa ekvivalencije C od x C ∞ (J ) ekvivalentna sa se zove parametrizacija krivulje C. Ako je y x C ∞ (I ) onda se y zove reparametrizacija od C. Kaˇzemo da je krivulja C regularna ako je x′ (t) = 0, za svaki t I . U daljem razmatramo samo regularne krivulje. Radi jednostavnije vizualizacije krivulju C, s parametrizacijom x C ∞ (I ), ˇcesto poistovje´cujemo sa skupom x(I ) R3 tj. sa slikom od x.
∈
→
→ ∈ →
→
⊂
| ∈
∈
∈
∈
∈
⊂
∈ ∈
10
POGLAVLJE 2. KRIVULJE
Kaˇzemo da je krivulja C ravninska ako je C sadrˇzana u nekoj ravnini. Neka je C krivulja s parametrizacijom x C ∞ (I ) i [a, b] I . Tada se
∈ x (t)dt L (a, b) = b a
x
⊂
′
zove duljina luka krivulje C , od a i b. Duljina luka ne zavisi o reparametrizaciji. Naime, ako je y(t) = x(ϕ(t)) reparametrizacija od C onda je po teoremu o zamjeni varijable Lx (ϕ(a), ϕ(b)) = L y (a, b). Kaˇzemo da je x prirodna parametrizacija krivulje C ili da je C parametrizirana duljinom luka ako vrijedi x′ (t) = 1, t I. Parametar duljine luka obiˇcno oznaˇcavamo sa s umjesto sa t.
∈
PROPOZICIJA 2.1 Regularna krivulja ima prirodnu parametrizaciju. Dokaz Neka je I = (a, b), t0 I i x C ∞ (I ) parametrizacija krivulje C. t s(t) = t0 x′ (u) du striktno rastu´ca na I i s′ (t) = Tada je funkcija t ϕ(s) = t, pri ˇcemu vrijedi ϕ′ (s) = x′ (t) pa ima inverznu funkciju s 3 R , y(s) = x(ϕ(s)). Tada 1/ x′ (ϕ(s)) . Neka je J = (s(a), s(b)), y : J je y′ (s) = x′ (ϕ(s))ϕ′ (s) = x′ (ϕ(s)) ϕ′ (s) = x′(t) / x′ (t) = 1, ˇsto znaˇci da je y C ∞ (J ) prirodna parametrizacija od C.
∈
→
∈
∈ →
→
PRIMJERI 2.2 (1) Neka su a, b R3 , b =1, i C krivulja s parametrizacijom x C ∞ (R), x(t) = a + t b. Tada se C zove pravac. On prolazi kroz a i ima smjer b. Budu´ci da je x ′ (t) = b i x′ (t) = b =1 zakljuˇcujemo da je pravac regularna krivulja parametrizirana duljinom luka. (2) Elipsa C u R2 zadana implicitnom jednadˇzbom
∈ (x 1
−c ) 1
2
∈
/a21 + (x2
−c ) 2
2
/a22 = 1
2 a1 > 0, a2 > 0, ima parametrizaciju x : I R , I = [0, 2π ], x(t) = c + a1 cos t e1 + a2 sin t e2 . Toˇcka c R2 se zove srediˇ ste elipse C, dok se a 1 i a2 zovu poluosi elipse. Ako je c R3 i ako su u1 , u2 R3 ortonormirani 3 R , vektori onda je krivulja C u R3 zadana parametrizacijom y : [0, 2π ]
·
·
→
∈ ∈
∈
→
y(t) = c + a1 cos t u1 + a2 sin t u2
·
·
R koja elipsa u ravnini Π = c + Ru1 + Ru2 = c + t 1 u1 + t 2 u2 ; t1 , t2 prolazi kroz c i generirana je vektorima u1 , u2 . Budu´ci da je y′ (t) 2 = a21 sin2 t + a22 cos2 t, zakljuˇcujemo da je elipsa regularna krivulja. Ako je a1 = a 2 = r onda se C zove kruˇznica polumjera r sa srediˇstem u c. Za nju vrijedi y′ (t) = r pa je y(t/r ) prirodna parametrizacija kruˇznice.
{
∈ }
11
POGLAVLJE 2. KRIVULJE
(3) Parabola C u R2 zadana implicitnom jednadˇzbom x2 = x21 ima para′ 2 2 2 metrizaciju x : R R , x(t) = t e1 + t e2 = (t, t ) i vrijedi x (t) = e 1 + 2te2 , x′ (t) 2 = 1 + 4t2 . Sliˇcno kao u prethodnom primjeru zakljuˇcujemo da je 3 2 R , y(t) = c + tu1 + t u2 , krivulja C u R3 zadana parametrizacijom y : R parabola u ravnini Π s vrhom u toˇcki c. R glatka funkcija. Tada je njezin graf (4) Neka je f : R
→
→
→
G(f ) = (t, f (t)) : t
{
∈ R}
R2 , x(t) = te1 + f (t)e2 . Graf je krivulja u R2 s parametrizacijom x : R regularna krivulja zbog x′ (t) = e 1 + f ′(t)e2 , x′ (t) 2 = 1 + f ′(t)2 . (5) Krivulja C u R3 zadana parametrizacijom x C ∞ (R),
→
∈
x(t) = r cos t e1 + r sin t e2 + ate3 = (r cos t, r sin t,at)
·
·
r > 0, a = 0, se zove obiˇ cna cilindriˇ cna spirala. Ona je regularna zbog x′ (t) 2 = r 2 + a2 , dok je parametrizacija duljinom luka dana formulom y(s) = x (s/c), c = (r2 + a2 )1/2 . (6) Krivulja C u R2 se ˇcesto zadaje implicitnom jednadˇzbom f (x) = 0, ′ C. gdje je f : R2 R glatka funkcija takva da je f (x) = 0, za svaki x Tada piˇsemo C = f −1 (0). Ako je x C ∞ (I ) parametrizacija krivulje C, onda je f (x(t)) = 0, t I , pa deriviranjem dobijemo (f ′ (x(t)) x′ (t)) = 0, t I .
→ ∈
2.2
∈
∈ ∈
|
Fleksija i torzija
DEFINICIJA 2.3 Neka je x C ∞ (I ) parametrizacija krivulje C u R3 . (1) v(t) = x ′ (t) se zove brzina od C u toˇcki t, a v (t) = v(t) = x′ (t) se zove skalarna brzina od C u toˇcki t. (2) a(t) = v ′ (t) = x ′′ (t) se zove ubrzanje od C u toˇcki t. (3) t(t) = x ′ (t)/v (t) se zove tangenta od C u toˇcki t. (4) Ako su x′ (t) i x′′ (t) nezavisni onda se vektor n(t) = t ′ (t)/ t′ (t) zove normala od C u toˇcki t, a b(t) = t (t) n(t) se zove binormala od C u toˇcki t. Uredena trojka (t(t), n(t), b(t)) se zove trobrid od C u toˇcki t. (5) Πot = x (t) + Rt(t)+Rn(t) se zove oskulacijska ravnina , Πnt = x (t) + Rn(t)+Rb(t) se zove normalna ravnina , Πrt = x (t) + Rt(t)+Rb(t) se zove rektifikacijska ravnina krivulje C u toˇcki t.
∈
×
DEFINICIJA 2.4 Neka je x C ∞ (I ) parametrizacija krivulje C u R3 . ′ (1) Funkcija κ : I R, κ (t) = x (t) x′′ (t) /v (t)3 , se zove fleksija ili zakrivljenost krivulje C. Ako je κ (t) = 0 onda se ρ(t) = 1/κ (t) zove cki t. radius fleksije krivulje C u toˇ
→
∈
×
12
POGLAVLJE 2. KRIVULJE
′ ′′ ′′′ ′ (2) Funkcija τ : I x ′′ (t) 2 , se R, τ (t) = [x (t), x (t), x (t)]/ x (t) zove torzija krivulje C, pri ˇcemu stavljamo τ (t) = 0, ako su x′ (t) i x′′ (t) linearno zavisni.
→
PRIMJERI 2.5 Ako su x, y, z : I vrijede sljede´ce formule
3
→ R
i f :
×
→ R glatke funkcije onda
R
(a) (x + y)′ = x ′ + y′ , (αx)′ = α x′ , α R (b) (x y)′ = (x′ y) + ( x y′ ) (c) (x y)′ = x ′ y + x y′ (d) [x, y, z]′ = [x′ , y, z] + [x, y′ , z] + [x, y, z′ ] (e) (f x)′ = f ′ x + f x′ (f) x ′ = (x′ x)/ x (g) [f ( x )]′ = f ′ ( x )(x′ x)/ x .
| ×
|
×
|
∈
×
| |
PROPOZICIJA 2.6 Trobrid (t(t), n(t), b(t)) je ortonormiran i ne zavisi od reperametrizacije. Dokaz Budu´ci da je t = 1 tj. (t t) = 1 deriviranjem slijedi ( t t′ ) = 0 tj. (t n) = 0, ˇsto znaˇci da su t, n ortonormirani, a onda su t, n, t n takoder ortonormirani. Ako je y(t) = x(ϕ(t)) reparametrizacija krivulje C i (t1 , n1 , b1 ) trobrid od C, izraˇcunat u parametrizaciji y, onda je t1 (t) = t (ϕ(t)), n1 (t) = n(ϕ(t)) i b1 (t) = b (ϕ(t)), ˇsto znaˇci da trobrid ne zavisi od reparametrizacije.
|
|
| ×
PROPOZICIJA 2.7 Vrijede sljede´ce tvrdnje (1) t′ = v κ n (2) a = v ′ t + v 2 κ n (3) x′ x′′ = v 3 κ b (4) n n′ = t ′ t′′ / t′ 2 (5) [x′ , x′′ , x′′′ ] = v 6 κ 2 τ (6) [t, t′ , t′′ ] = v 3 κ 2 τ (7) b′ = vτ n
× ×
×
−
Dokaz (1) Iz t = x ′ /v slijedi t′ = x ′′ /v (x′ x′′ )x′ /v 3 pa uzimanjem norme dobijemo t′ = x′ x′′ /v 2 ˇsto daje t′ = v κ pa je t′ = t′ n = v κ n. (2) Iz v = x ′ = v t dobijemo a = x ′′ = v ′ t+v t′ = v ′ t + v 2 κ n (3) x′ x′′ = v t [v ′ t + v 2 κ n] = v 3 κ b. (4) Iz n = t′ / t′ slijedi n′ = t′′ / t′ (t′ t′′ )t′ / t′ 3 pa vektorskim mnoˇ zenjem dobijemo formulu. (5) Slijedi iz definicije od κ i τ .
× × ×
− |
− |
13
POGLAVLJE 2. KRIVULJE
(6) Budu´ci da je t = x′ /v i t′ = x′′ /v (x′ x′′ )x′ /v 3 dobijemo t′′ = x′′′ /v + ( ), gdje je ( ) linearna kombinacija od x′ i x′′ , pa je [t, t′ , t′′ ] = [x′ /v, x′′ /v, x′′′ /v ]. Sada primijenimo prethodnu formulu. (7) Budu´ci da je (b b) = 1 deriviranjem dobijemo (b b′ ) = 0. Na sliˇcan naˇcin iz (b t) = 0 dobijemo (b′ t) + (b t′ ) = 0 pa je (b′ t) = (b t′ ) = v κ (b n) = 0. Prema tome je b′ okomit na t i b pa je proporcionalan sa n tj. vrijedi b′ = (b′ n)n. Budu´ci da je (b n) = 0 dobijemo (b′ n) = (b n′ ) = (t n n′ ) = (n t n′ ) = (t n n′ ) = (t t′ t′′ )/ t′ 2 = [t, t′ , t′′ ]/ t′ 2 = vτ , gdje smo koristili formule (4) i (6).
∗
− |
∗
|
|
− | − | − × | − − 2.3
|
|
|
|
− | | − |×
| − | ×
×|
|
Frenetove formule
TEOREM 2.8 (Frenetove formule) (1) t′ = v κ n (2) n′ = v κ t + vτ b (3) b′ = vτ n
− −
Dokaz Formule (1) i (3) su dokazane u prethodnoj propoziciji. Dokaˇzimo formulu (2). Budu´ci da je (n n) = 1 dobijemo (n′ n) = 0 pa je n ′ (t) linearna kombinacija od t(t) i b(t) tj. vrijedi n′ = (n′ t)t + (n′ b)b. Budu´ci da je (n t) = 0 dobijemo (n′ t) + (n t′ ) = 0 pa je ( n′ t) = (n t′ ) = v κ . Sliˇcno je (n′ b) + ( n b′ ) = 0, iz ˇcega slijedi (n′ b) = (n b′ ) = vτ .
|
|
|
|
|
|
|
|
| | | − | − |
−
KOROLAR 2.9 Vektor ω = vτ t + v κ b se zove kutna brzina ili Darbouxov vektor od C i za njega vrijedi t′ = ω t, n′ = ω n, b′ = ω b.
×
×
×
Dokaz Slijedi neposredno iz prethodnog teorema. KOROLAR 2.10 Fleksija i torzija ne zavise od reparametrizacije. Dokaz Ako je y(t) = x (ϕ(t)) reparametrizacija krivulje C i (t1 , n1, b1 ) trobrid od C, izraˇcunat u parametrizaciji y, onda je po 2.6 t1 (t) = t(ϕ(t)), n1 (t) = n(ϕ(t)) i b1(t)) = b(ϕ(t)). Budu´ci da je v1 (t) = v (ϕ(t))ϕ′ (t) po prvoj Frenetovoj formuli dobijemo t′1 (t) = v 1 (t)κ 1 (t)n1 (t) pa je t′ (ϕ(t))ϕ′ (t) = v (ϕ(t))ϕ′ (t)κ 1 (t)n(ϕ(t)), iz ˇcega slijedi t′ (ϕ(t)) = v (ϕ(t))κ 1 (t)n(ϕ(t)). Opet po prvoj Frenetovoj formuli dobijemo κ 1 (t) = κ (ϕ(t)). Na sliˇcan naˇcin, koriste´ci tre´cu Frenetovu formulu, dobijemo τ 1 (t) = τ (ϕ(t)), ˇsto znaˇci da fleksija i torzija ne zavise od reparametrizacije. PRIMJERI 2.11
14
POGLAVLJE 2. KRIVULJE
(1) Ako je x prirodna parametrizaacija od C onda se formule iz prethodne propozicije i teorema pojednostavljuju pa vrijedi (a) v = x′ = 1 tj. skalarna brzina je jednaka 1 . (b) t = x ′ , t′ = x ′′ = a = κ n, κ = x′′ (c) n′ = κ t + τ b, b′ = τ n (d) x′ x′′ = κ b, x′′′ = κ 2 t + κ ′ n + κ τ b (e) (x′ x′′ ) = 0, (x′ x′′′ ) = κ 2 , (x′′ x′′′ ) = κκ ′ (f) [x′ , x′′ , x′′′ ] = [t, t′ , t′′ ] = κ 2 τ (g) n′′ = κ ′ t (κ 2 + τ 2 )n + τ ′ b (h) [n, n′ , n′′ ] = κ 2 (τ /κ )′ , [b, b′ , b′′ ] = κ τ 2 (2) Ako je C krivulja u R2 tj. ako je x(I ) R2 onda su x′ , x′′ , x′′′ zavisni pa je τ = 0. Nadalje x′ x ′′ = (x′1 x′′2 x′′1 x′2 )e3 pa za fleksiju dobijemo ′ ′′ x′′1 x′2 / x′ 3 . Medutim, ˇcesto se u ovom sluˇcaju κ definira tako κ = x1 x2 da izostavimo znak apsolutne vrijednosti u brojniku pa κ moˇze biti i negativna. Ako je krivulja C zadana u polarnim koordinatama sa ϕ r (ϕ) onda su duljina luka i fleksija od C dani sa
− × | | − −
|
−
− − −
|
|
×
−
⊂
→
ϕ
2
′
2 1/2
s(ϕ) = (r(ϕ) + r (ϕ) ) ϕ0
r (ϕ)2 + 2r′ (ϕ)2 r(ϕ)r ′′ (ϕ) dϕ, κ (ϕ) = (r (ϕ)2 + r ′ (ϕ)2 )3/2
−
(3) Neka je C = f −1 (0) krivulja u R2 dana implicitnom jednadˇzbom f (x) = ′ 0, gdje je f : R2 R glatka funkcija takva da je f (x) = 0, za svaki x C. Nadalje, neka je κ ∗ : C R, κ ∗ (x) = (f ′′ (x)+ f ′ (x) f ′ (x))/ f ′ (x) 3 . Ako je x C ∞ (I ) parametrizacija od C onda je fleksija krivulje C dana I. Ovdje smo izostavili znak apsolutne sa κ (t) = κ ∗ (x(t)), za svaki t vrijednosti, kao u (2), pa nam fleksija moˇ ze biti i negativna. Zamijetimo da je brojnik od κ ∗ (x) dan sa
∈
→
→ ∈
∈
|
f (x) (f (x) f (x)|f (x)) = − f (x) f (x) + ′
′′
11
′
21 1
f 12 (x) f 22 (x) f 2 (x)
f (x) f (x) 0
1 2
gdje je f i(x) = ∂ i f (x), f ij (x) = ∂ i ∂ j f (x), ∂ i = ∂/∂xi , i = 1, 2. Ako umjesto f stavimo f onda se C ne mijanja , ali κ ∗ (x) promijeni predznak. Ova promjena je ekvivalentna promjeni predznaka normale n, koja je dana formulom n = f ′ (x)/ f ′ (x) . (4) Ako je C = G (f ) graf funkcije f onda je x(t) = (t, f (t)), x′ (t) = (1, f ′ (t)), x′′ (t) = ( 0, f ′′ (t)), pa je x′ 2 = 1 + f ′2 i κ = f ′′ /(1 + f ′2 )3/2 . Ovo se moˇze dobiti i po prethodnom primjeru budu´ci da je g (x) = f (x1 ) x2 = 0 implicitna jednadˇzba od G(f ) pa je g ′ (x) = (1 + f ′(x1 )2 )1/2 ˇsto onda daje (g ′′ (x)+ g ′ (x) g ′ (x)) = f ′′ (x1 ).
− ±
|
−
15
POGLAVLJE 2. KRIVULJE
(5) Ako je C pravac s parametrizacijom x(t) = a + tb, onda je x′ (t) = b i x′′ (t) = 0 pa je κ = τ = 0. (6) Ako je C kruˇznica u R3 i x (t) = c + r cos t u1 + r sin t u2 , onda je v = r, x′ x′′ = r2 u1 u2 pa je t = x′ /r, n = x′′ /r, b = u1 u2 iz ˇcega slijedi κ = 1/r i τ = 0. Dakle, kruˇ znica ima konstantnu fleksiju . (7) Ako je C obiˇcna cilindriˇcna spirala onda je [x′ , x′′ , x′′′ ] = ar 2 i takoder x′ (t) x′′ (t) = (ar sin t, ar cos t, r 2), iz ˇcega slijedi x′ 2 = r2 + a 2 dok je x′ x′′ 2 = r2 (a2 + r 2 ) pa za fleksiju i torziju dobijemo κ = r/ (a2 + r 2 ), τ = a/ (a2 + r2 ). Dakle, obiˇ cna cilindriˇ cna spirala ima konstantnu fleksiju i torziju . 3 3 3 τ R , A : R R ortogonalan operator tj. A A = I, i (8) Neka je a 3 3 R , f (x) = A x + a. Tada se f zove izometrija od R . f : R3 (a) Neka je C krivulja u R3 s parametrizacijom x C ∞ (I ), f izometrija od R3 i C 1 = f (C ) krivulja s parametrizacijom x1 C ∞ (I ), x1 (t) = f (x(t)) tj. x1 (t) = Ax(t) + a . Tada je x(k) = Ax(k) , za k 1, v1 = v , t1 = At, 1 n1 = A n, b1 = A b det A pa dobijemo κ 1 = κ , τ 1 = τ det A. (b) Kaˇzemo da su krivulje C i C 1 kongruentne ako postoji izometrija f od R3 takva da je C 1 = f (C ) i det A = 1. Dakle, kongruentne krivulje imaju istu fleksiju i torziju . (c) Ako je C 1 = rC + a, r > 0, krivulja s parametrizacijom x1 (t) = r x(t) + a , onda je trobrid od C 1 jednak trobridu od C, dok je κ 1 = κ /r i τ 1 = τ/r. U ovom sluˇcaju kaˇzemo da su C i C 1 homotetiˇ cne. (d) Krivulju C s paramertizacijom x C ∞ ( I ), x(t) = x( t), zovemo suprotna krivulja od C ili suprotno orijentirana krivulja od C. Takoder kaˇzemo da smo obrnuli orijentaciju od C. Za nju vrijedi x′ (t) = x′ ( t), x′′ (t) = x ′′ ( t), x′′′ (t) = x′′′ ( t) pa je v (t) = v ( t), ˇsto daje t(t) = t( t), n(t) = n ( t), b(t) = b( t), a onda je κ (t) = κ ( t) i τ (t) = τ ( t). Dakle, fleksija i torzija ne zavise od orijentacije krivulje . (9) Neka je C krivulja u R3 s parametrizacijom x C ∞ (I ) i t 0 I . Nadalje, 3 neka je C (t0 ) kruˇznica zadana parametrizacijom y : [0, 2π ] R ,
×
·
×
× ×
· ×
−
∈
→
→
∈ ∈ ≥
∈
−
−
y(s) = c (t0 )
− − − −
−
−
−
− ∈
−
→
− − − −
∈
− ρ(t )cos sκ (t ) · n(t ) + ρ(t )sin sκ (t ) · t(t ) 0
0
0
0
0
0
gdje je c(t0 ) = x(t0 ) + ρ(t0 )n(t0 ) i ρ = 1/κ polumjer fleksije od C. Tada se C (t0 ) zove oskulacijska kruˇ znica od C u toˇcki t0 . Kruˇznica C (t0 ) leˇ zi u oskulacijskoj ravnini Πot0 , prolazi kroz y(0) = x(t0 ), ima srediˇste c(t0 ) te ima istu fleksiju κ (t0 ) kao i C u toˇcki t0 . 2 R glatka funkcija i C krivulja u R s para(10) Neka je θ : [0, b] s s 2 metrizacijom x : [0, b] R , x(s) = ( 0 cos θ (u)du, 0 sin θ(u)du). Tada je x′ (s) = (cos θ(s), sin θ(s)) i x′′ (s) = θ ′ (s)( sin θ (s), cos θ(s)) pa je x′ (s) = 1, ˇsto znaˇci da je x prirodna parametrizacija od C. Nadalje, vrijedi formula κ (s) = θ ′ (s).
→ →
−
16
POGLAVLJE 2. KRIVULJE
Zanimljivo je da za svaku ravninsku krivulju C postoji glatka funkcija θ, koja je jedinstvena do na aditivni faktor 2 πk, k Z, takva da C ima ovakvu prirodnu parametrizaciju x i fleksiju κ (s) = θ ′ (s). Specijalno, ako je θ (s) = s 2 /2 onda je κ (s) = s pa se tada C zove klotoida. 2 R . Tada je (11) Neka je C krivulja u R2 s parametrizacijom x : I formulom y (t) = x (t) + ρ(t)n(t) definirana parametrizacija krivulje C − u R2 , koju zovemo evoluta od C. (a) Ako je C elipsa s parametrizacijom x(t) = (a cos t,b sin t), onda se njezina evoluta zove astroida. Parametrizacija astroide je dana formulom y(t) = (a2 b2 )( a1 cos3 t, 1b sin 3 t). (b) Ako je C hiperbola s parametrizacijom x(t) = (a ch t,b sh t), onda C − ima parametrizaciju y(t) = (a2 + b2 )( a1 ch3 t, 1b sh 3 t). (c) Ako je C parabola s parametrizacijom x(t) = (t,t2 /(2 p)), p > 0 , onda C − ima parametrizaciju y(t) = ( t3 /p2 , p + 3t2 /(2 p)). (12) Neka su C i C + krivulje u R2 . Kaˇzemo da je C + evolventa ili involuta od C, ako je C evoluta od C + tj. C = (C + )− . Evolventa nije jedinstvena. Ako je s x (s) prirodna parametrizacija od C, onda C + ima parametrizaciju y(t) = x (t) + ( α t)t(t), gdje je α R proizvoljan. (a) Ako je C kruˇznica s jednadˇzbom x21 + x22 = r 2 onda njezina evolventa ima parametrizaciju x(t) = (r cos t + r (t α)sin t, r sin t r(t α)cos t). (b) Krivulju C zadanu jednadˇzbom x2 = a ch(x1 /a), a > 0, zovemo lanˇcanica. Njezina fleksija je dana formulom κ (s) = a/ (a2 + s2 ) = a1 cos2 t, gdje je s parametar duljine luka od C, pri ˇcemu je t = arctg(s/a). Evolventa lanˇcanice, koja prolazi kroz njezin vrh, se zove traktrisa i ima parametrizaciju x(t) = (a cos t + a log tg(t/2), a sin t), t (0, π ). (13) Krivulja C u R3 se ˇcesto zadaje implicitnom jednadˇ zbom f (x) = 0, ′ ′ g (x) = 0, gdje su f, g : R3 R glatke funkcije takve da su f (x) i g (x) C. Ako je x C ∞ (I ) parametrizacija od C onnezavisni, za svaki x I, pa deriviranjem dobijemo da je f (x(t)) = g (x(t) ) = 0, za svaki t (f ′ (x(t)) x′ (t)) = (g ′ (x(t)) x′ (t)) = 0, ˇsto znaˇci da f ′ (x(t)) i g ′ (x(t)) generiraju normalnu ravninu Πnt , za svaki t I , pa za tangentu dobijemo formulu t = f ′ (x) g ′ (x)/ f ′(x) g ′ (x) . Vivianijeva krivulja C se zadaje implicitnom jednadˇzbom
∈
→
−
−
−
−
→
−
∈
−
− −
∈
→
∈
|
±
×
| ×
f (x) = x 21 + x22 + x23
∈
− 4r
2
∈
∈
= 0, g (x) = x 21 + x22
− 2rx
1
Ona ima parametrizaciju x(t) = r (1 + cos t, sin t, 2sin(t/2)), t njezina fleksija i torzija su dane sa (13 + 3 cos t)1/2 6 cos(t/2) , τ t ( ) = κ (t) = r(3 + cos t)3/2 r (13 + 3 cos t)
=0
∈ [0, 4π], a
17
POGLAVLJE 2. KRIVULJE
(14) Neka je τ R, τ = 0, b C ∞ (I ), a I , b(t) = 1 i b′ (t) = τ , za svaki t. Definiramo krivulju C prirodnom parametrizacijom x C ∞ (I ),
∈
∈
∈
x(s) = x (a) +
1 τ
s a
||
∈
′
b(t) × b (t)dt
Tada krivulja C ima konstantnu torziju τ i njezina binormala je jednaka b(s). Nadalje, svaka krivulja s konstantnom torzijom τ = 0 se moˇ ze zadati na ovaj naˇ cin . (15) Neka je C krivulja u R3 s prirodnom parametrizacijom x C ∞ (I ), za koju je κ > 0 i τ = 0. Ako je C b krivulja s parametrizacijom b C ∞ (I ), gdje je b binormala od C, onda su fleksija κ b i torzija τ b od C b dane sa
±
∈
κ b
= (κ 2 + τ 2 )1/2 / τ ,
||
∈
τ b = τ (κ /τ )′ /(κ 2 + τ 2 )
(16) Neka je C krivulja u R3 s parametrizacijom x C ∞ (I ) i a I. Tada t t vrijede formule x(t) = a v(s)ds + x(a), v(t) = a a(s)ds + v(a) i
∈ x(t) = (t − s)a(s)ds + (t − a)v(a) + x(a)
∈
t a
(17) Neka je C krivulja u R3 s injektivnom parametrizacijom x C ∞ (I ), 3 3 R . Tada se f zove vektorsko polje na R . [a, b] I i f : R3 b (a) Integral W = a (f (x(t)) x′ (t))dt se zove tok vektorskog polja f po krivulji C, od a do b. ′ R, takva da je f (x) = f (x), Ako postoji derivabilna funkcija f : R3 onda kaˇ zemo da je f konzervativno ili potencijalno polje , a funkciju f zovemo potencijal od f . b Ako je f konzervativno polje onda je W = a df (x(t)) = f (x(b)) f (x(a)). (b) Ako je I = [a, b] i x(a) = x (b) onda se C zove zatvorena krivulja. Prema tome, tok konzervativnog vektorskog polja po zatvorenoj krivulji je nula. Primjeri zatvorenih krivulja su elipsa i kruˇ znica. b ′ R neprekidna onda se L = a f (x(t)) x (t) dt zove (c) Ako je f : R3 integral funkcije f po krivulji C, od a do b. Specijalno, ako je f = 1 onda je L = Lx (a, b). Zamijetimo da integrali W i L uvijek postoje zbog W m1 Lx (a, b), L m2 Lx (a, b), gdje je m1 = maxa≤t≤b f (x(t)) , m2 = maxa≤t≤b f (x(t)) . (d) Ako je C 1 = x ([a, b]) onda integral L drukˇ cije oznaˇ cavamo sa
⊂
→
∈
|
→
−
→
| |≤
L =
C 1
||≤ |
|
f (x)dl(x) ili L =
C 1
f dl
i zovemo ga integral od f po C . Specijalno je L (a, b) = 1
x
duljini od C 1 . Integrali W i L ne zavise od reparametrizacije .
C 1
dl = C 1 jednak
| |
18
POGLAVLJE 2. KRIVULJE b a
2
x (t) dt se zove energija krivulje C, od a (e) Integral E (a, b) = x
′
do b, i za nju vrijedi nejednakost L x (a, b)2 ( b a)E x (a, b). Energija zavisi od reparametrizacije, sliˇcno kao brzina i ubrzanje krivulje. (18) Neka je C zatvorena ravninska krivulja s parametrizacijom x : [a, b] 2 zemo da je C jednostavna krivulja ako se R2 C sastoji od dvije komR . Kaˇ ponente: vanjske neograniˇcene i unutraˇ snje ograniˇcene koju oznaˇcavamo sa U. Smatramo da je C orijentirana tako da obilazimo U jedanput u pozitivnom smjeru. R2 , f (x) = (f 1 (x),f 2 (x)), deriAko je C jednostavna krivulja i f : R2 vabilna funkcija, onda vrijedi Greenova formula
≤ −
→
\
→
b a
′
[∂ f (x) − ∂ f (x)]dx dx = (f (x(t))|x (t))dt U
1 2
2 1
1
2
(a) Ako u Greenovu formulu uvrstimo bilo koju od sljede´cih funkcija f (x) = (0, x1 ), f (x) = ( x2 , 0), f (x) = 12 ( x2 , x1 ) dobijemo povrˇsinu U unutraˇ snje komponente U tj.
−
b a
−
b a
′
′
| |
b a
1 2
′
′
|U | = x (t)x (t)dt = − x (t)x (t)dt = [x (t)x (t) − x (t)x (t)]dt 1
2
2
1
1
2
2
1
(b) Ako je C elipsa s poluosima a i b onda je U = πab C 2 , gdje je C (c) Vrijedi izoperimetrijska nejednakost 4π U duljina od C, pri ˇcemu jednakost vrijedi samo za kruˇznicu. 3 I, n N, onda za x vrijedi R glatka funkcija, a (19) Ako je x : I Taylorova formula
| | | |≤| | ∈ ∈
→
x(t) = gdje je R(t) =
1 n!
t a
(n+1)
x
n 1 (k) k=0 k! x (a)(t
(s)(t
k
− a)
| |
+ R(t)
n
− s) ds ostatak Taylorove formule.
NAPOMENA 2.12
Pored trobrida (t, n, b) definiraju se i drugi trobridi. Jedan od njih se zove trobrid paralelnog transporta (t, n1 , n2 ) krivulje C, gdje je t (t) tangenta od C, a n1 (t) i n2 (t) ortonormirani vektori u normalnoj ravnini krivulje C u toˇcki t i definirani su formulama (1) t′ = v κ 1 n1 + v κ 2 n2 (2) n′1 = v κ 1 t (3) n′2 = v κ 2 t koje imaju ulogu Frenetovih formula za ovaj trobrid, pri ˇcemu vrijedi
− −
2
κ
= κ 12 + κ 22 , v κ 2 τ = κ 1 κ 2′
′
− κ κ 2
1
19
POGLAVLJE 2. KRIVULJE
Nadalje, vτ = θ ′ , gdje je θ = arctg(κ 2 /κ 1 ). Zamijetimo da κ 1 i κ 2 imaju ulogu kartezijevih koordinata toˇcaka u normalnoj ravnini, ako κ i θ shvatimo kao polarne koordinate tih toˇcaka. Pripadni vektor kutne brzine je dan sa ω = v κ 2 n1 + v κ 1 n2 pa dobijemo t′ = ω t, n′1 = ω n1 , n′2 = ω n2 . Ako krivulja C leˇzi na plohi M u R3 onda se definira joˇs jedan trobrid tzv. geodetski trobrid ( t, ng , m) od C , gdje je t(t) tangenta od C, a ng (t) i m(t) ortonormirani vektori u normalnoj ravnini krivulje C u toˇcki t, koji se zovu geodetska i ploˇsna normala od C u toˇcki t. Ovaj trobrid je veoma vaˇzan i o njemu ´ce biti rijeˇci u sljede´cem poglavlju.
×
2.4
×
−
×
Spirale
PROPOZICIJA 2.13 Neka je C krivulja u R3 za koju je κ = 0 i τ = 0. Tada su sljede´ce tvrdnje ekvivalentne: (1) Postoji a R3 , a = 0, takav da je (a t) = const (2) Postoji a R3 , a = 0, takav da je (a n) = 0 (3) Postoji a R3 , a = 0, takav da je (a b) = const (4) τ /κ = const Krivulja C s ovim svojstvima se zove spirala .
∈ ∈ ∈
| | |
Dokaz (1) (2): Ako je (a t) = const onda deriviranjem dobijemo (a t′ ) = 0 tj. (a v κ n) = 0 pa je ( a n) = 0. (2) (3): Ako je (a n) = 0 onda je po tre´coj Frenetovoj formuli (a b′ ) = 0 pa je (a b) = const. (3) (4): Ako je (a b) = const, onda je (a b′ ) = 0 tj. (a n) = 0 te ( a n′ ) = 0 pa po drugoj Frenetovoj formuli slijedi κ (a t) = τ (a b) ˇsto znaˇci da je κ /τ = (a b)/(a t) = const. (4) (1): Ako je τ /κ = const, onda po prvoj i tre´coj Frenetovoj formuli dobijemo t′ /κ + b′ /τ = 0 pa je (τ /κ )t′ + b′ = 0 te (τ /κ )t + b = const = a , ˇsto daje (a t) = τ /κ = const.
|
⇒
|
⇒
|
|
|
|
⇒
|
|
|
|
|
|
⇒
|
|
|
|
PRIMJERI 2.14 (1) Ako je C spirala onda je (a t) = c = const pa je ( a x′ ) = cv, pa integriranjem od t0 do t dobijemo duljinu luka spirale cs = (a x(t) x(t0 )), pri ˇcemu je c = τ /κ i a = (τ /κ )t + b. Pravac Π = Ra se zove os spirale C. (2) Ako je C obiˇcna cilindriˇcna spirala onda je κ = const i τ = const, pa je τ /κ = const tj. C je spirala. Obrat ne vrijedi. (3) Ako je x0 R3 , (u1 , u2 , u3 ) ortonormirana baza od R3 i C krivulja s parametrizacijom x(t) = x0 + r cos t u1 + r sin t u2 + atu3, t R, gdje je r > 0 i a = 0, onda je κ = r/(a2 + r2 ) i τ = a/ (a2 + r 2 ) pa je C kongruentna obiˇcnoj cilindriˇcnoj spirali.
|
∈
|
·
·
|
−
∈
20
POGLAVLJE 2. KRIVULJE
(4) Ako je C krivulja s parametrizacijom x(t) = a(ch t, sh t, t), t R, gdje je a = 0, onda je C spirala i κ (s) = τ (s) = a/ (2a2 + s2 ), gdje je s parametar duljine luka od C. (5) Ako je C krivulja s parametrizacijom x(t) = (at, 2a log t, a/t), t > 0, gdje je a = 0, onda je C spirala i κ (s) = τ (s) = a 2/(4a2 + s2 ), gdje je s parametar duljine luka od C. (6) Ako je C krivulja s parametrizacijom x(t) = (3t t3 , 3t2 , 3t + t3 ), t R, onda je C spirala i κ (t) = τ (t) = 13 (1 + t2 )−2 . (7) Ako je x prirodna parametrizacija od C onda vrijedi (a) [t, b, b′ ] = τ , [b′ , b′′ , b′′′ ] = τ 5 (κ /τ )′ (b) [x′′ , x′′′ , x(4) ] = [t′ , t′′ , t′′′ ] = κ 5 (τ /κ )′ (c) C je spirala ako i samo ako je κ τ = 0 i [x′′ , x′′′ , x(4) ] = 0 (8) Neka je C krivulja u R3 s fleksijom κ i torzijom τ . Ako postoje A, B R takvi da je Aκ + Bτ = 1, onda se C zove Bertrandova krivulja. Krivulja C ∗ = C, koja ima istu normalu kao i C, se zove dualna krivulja od C. C ∞ (I ) prirodna parametrizacija Bertrandove krivulje C , Ako je x (t, n, b) njezin trobrid i C ∗ krivulja s parametrizacijom y(t) = x (t) + An(t), t I , onda vrijedi (a) y x = A i y′ = (1 Aκ )t + Aτ b (b) C ∗ i C imaju istu normalu n tj. C ∗ je dualna krivulja od C. (c) C ∗ je Bertrandova krivulja. (d) Kut α izmedu tangenti od C i C ∗ je konstantan. (e) Za kut α vrijedi cos2 α = B 2 /(A2 + B 2 ) (f) Svaka krivulja s konstantnom fleksijom κ = 0 je Bertrandova krivulja. (g) Obiˇcna cilindriˇcna spirala je Bertrandova krivulja. (h) Obiˇcna cilindriˇcna spirala ima beskonaˇcno dualnih krivulja. (i) Svaka Bertrandova krivulja C ima jedinstvenu dualnu krivulju, osim u sluˇcaju kad je C obiˇcna cilindriˇcna spirala.
∈
√
√
−
∈
∈
∈
∈
− | |
−
TEOREM 2.15 Neka je C krivulja s fleksijom κ i torzijom τ . (1) Ako je κ = 0 onda je C dio nekog pravca u R3 . (2) Ako je κ = 0 i τ = 0 onda je C sadrˇzana u nekoj ravnini u R3 . (3) Ako je κ = const = 0 i τ = 0 onda je C dio neke kruˇznice u R3 . (4) Ako je κ = const = 0 i τ = const = 0 onda je C kongruentna dijelu obiˇcne cilindriˇcne spirale. (5) Ako je κ τ = 0 i τ /κ = const onda je C spirala.
Dokaz Neka je x ∈ C (I ) prirodna parametrizacija od C. (1) Budu´ci da je t (s) = κ (s) = 0 postoje a, b ∈ R takvi da je t (s) = b ∈ R i x(s) = a +sb ˇsto znaˇci da je C ⊂ a +Rb. (2) Budu´ci da je b (s) = 0 dobijemo b (s) = b ∈ R , za svaki s ∈ I . Ako je f (s) = (x(s) − x(s )|b) onda ∞
3
′
′
3
′
3
0
21
POGLAVLJE 2. KRIVULJE
je f (s0 ) = 0 i f ′(s) = (t(s) b) = 0 ˇsto znaˇci f (s) = 0, za svaki s I, pa je x(s) element oskulacijske ravnine Π os0 , za svaki s I. Prema tome je C sadrˇzana u Πos0 . (3) Neka je y(s) = x (s) + n(s)/κ . Tada je
|
∈
∈
y′ (s) = n (s) + (
−κ t(s) + τ b(s))/κ = 0 ˇsto znaˇci y(s) = a ∈ R , za svaki s ∈ I, pa je x(s) − a = 1/κ . Dakle, x(s) ∈ S, gdje je S sfera sa srediˇstem u a, polumjera ρ = 1/κ , pa je C ⊂ S. S druge strane, po (2) je C ⊂ Π pa je C ⊂ Π ∩ S, a ovo je kruˇznica. (4) Ako je a = (τ /κ )t + b, kao u dokazu prethodne propozicije, onda je a = (κ + τ ) /κ , i cs = (a|x(s) − x ), gdje je c = τ /κ . Po prethodnoj propoziciji je (a|n(s)) = 0, za svaki s ∈ I, ˇsto znaˇci da je n(s) ∈ Π, gdje je Π podprostor okomit na a. Neka je (u , u ) ortonormirana baza u Π i u = a/a. Tada je (u , u , u ) ortonormirana baza od R , pri ˇcemu smatramo da su u i u odabrani tako da je [u , u , u ] = 1. Budu´ci da je x (s) = 1, 3
o s0
2
o s0
2 1/2
0
1
1
1
2
2
3
3
3
2
1
2
′
3
x′′ (s) = κ n(s) i n(s) = cos αsu1 + sin αsu2 , α = (κ 2 + τ 2 )1/2 , dobijemo x′ (s) =
1 κ sin αsu1 α
1 α
1 α
− κ cos αsu + τ u pa je x(s) = x − ( ) κ cos αsu − ( ) κ sin αsu + τ su . Definiramo U ∈ L (R ) sa U e = −u , U e = −u , U e = u i preslikavanje f : R → R , 3
0
1 2 α
1
1
1 2 α
1
2
2
2
3
2
3
3
1 α
3
3
3
f (x) = x0 + U x. Tada je f kongruencija i f (C 0) = C, gdje je C 0 dio obiˇcne cilindriˇcne spirale s fleksijom κ i torzijom τ , zadan prirodnom parametrizacijom. (5) Slijedi iz prethodne propozicije.
TEOREM 2.16 (Osnovni teorem teorije krivulja) (1) Fleksija i torzija jedinstveno odreduju krivulju do na kongruenciju tj. ako dvije krivulje imaju istu fleksiju i torziju onda su one kongruentne. (2) Ako su κ , τ : [0, b] R, κ > 0, glatke funkcije onda postoji krivulja C u R3 , parametrizirana duljinom luka, takva da su κ i τ fleksija i torzija od C.
→
Dokaz Dokaz je dosta kompliciran pa ga ne navodimo.
Poglavlje 3 Plohe 3.1
Osnovna svojstva ploha
Neka je U otvoren skup u
2
R
3
i r : U
→ R ,
r(u) = (r1 (u), r2 (u), r3 (u)) = r 1 (u)e1 + r2 (u)e2 + r3 (u)e3 gdje je u U, u = (u1 , u2 ). Tada se funkcije ri : U R, i = 1, 2, 3, zovu koordinatne funkcije od r. Kaˇzemo da je funkcija r neprekidna [odnosno derivabilna, glatka, integrabilna] ako su sve njezine koordinatne funkcije neprekidne [odnosno derivabilne, glatke, integrabilne]. Ako je r derivabilna onda se r1 (u) = ∂ 1 r(u) = (∂ 1 r1 (u), ∂ 1 r2 (u), ∂ 1 r3 (u))
∈
→
r2 (u) = ∂ 2 r(u) = (∂ 2 r1 (u), ∂ 2 r2 (u), ∂ 2 r3 (u)) zovu parcijalne derivacije od r u toˇcki u , gdje je ∂ 1 = ∂/∂u1 i ∂ 2 = ∂/∂u2 . U daljem razmatramo samo glatke funkcije tj. funkcije r koje imaju sve parcijalne derivacije ∂ 1n ∂ 2m r(u) =
∂ + ∂u 1 ∂u 2 n
m
n
m
r(u), n, m
≥ 0.
Skup svih glatkih funkcija r : U R3 oznaˇcavamo sa C ∞ (U ). R3 , gdje K R2 nije Ponekad takoder razmatramo i funkcije f : K otvoren, pri ˇcemu smatramo da postoji otvoren skup U koji sadrˇzi K, i glatka funkcija r : U R3 takva da je r K = f . 3 Neka je r C ∞ (U ) i r′ (u) : R2 R linearni operator definiran sa
→
→ ∈
|
→
⊂
→
r′ (u)x = x 1 r1(u) + x2 r2 (u)
Tada se r′ (u) zove derivacija od r u toˇcki u U. Ako je Ru matrica od r′ (u), u standardnim bazama od R2 i R3, onda Ru ima dva stupca: u prvom stupcu su koordinate od r1 (u), a u drugom koordinate od r2 (u).
∈
POGLAVLJE 3.
23
PLOHE
U glatka bijekcija takva Neka su U, V R2 otvoreni skupovi i ϕ : V V glatka funkcija. Tada se funkcija ϕ zove da je njezin inverz ϕ−1 : U U difeomorfizam onda je ϕ′ (u) linearni difeomorfizam. Ako je ϕ : V operator na R2 , ϕ′ (u)x = x 1 ∂ 1 ϕ(u) + x2 ∂ 2 ϕ(u), pa za njegovu matricu F u , u standardnoj bazi od R2 , vrijedi
⊂
→
→
F u =
→
∂ ϕ (u)
∂ 2 ϕ1 (u) 1 1 ∂ 1 ϕ2 (u) ∂ 2 ϕ2 (u)
∂ 2 ϕ1 ∂ 1 ϕ2 i gdje je ϕ(u) = (ϕ1 (u), ϕ2 (u)). Dakle, det ϕ′ = ∂ 1 ϕ1 ∂ 2 ϕ2 det ϕ′ (u) = 0, za svaki u V. Kaˇzemo da su r C ∞ (U ) i r C ∞ (V ) ekvivalentne ako postoji difeomorfizam ϕ : V U takav da je r(u) = r (ϕ(u)) i det ϕ′ (u) > 0, u V. Klasa ekvivalencije M od r C ∞ (U ) se zove ploha u R3 , a funkcija r se zove parametrizacija plohe M. Ako je r C ∞ (V ) ekvivalentna sa r onda se r zove reparametrizacija od M. Neka je M ploha s parametrizacijom r C ∞ (U ). Kaˇ zemo da je ploha M regularna ako je r′ (u) injektivan operator, za svaki u U, tj. ako su r1 (u) i r2 (u) linearno nezavisni, za svaki u U. Ako je r reparametrizacija od M onda je po pravilu deriviranja kompozicije r′ (u) = r ′ (ϕ(u))ϕ′ (u), ˇsto znaˇci da r′ (u) i r′ (ϕ(u)) imaju isti rang, za svaki u U. U daljem razmatramo samo regularne plohe. Radi jednostavnije vizualizacije plohu M, s parametrizacijom r C ∞ (U ), ˇcesto poistovje´cujemo sa skupom r(U ) R3 tj. sa slikom od r. Ako je M ploha u R3 s parametrizacijom r C ∞ (U ) onda se
∈ →
−
∈
∈
∈
∈
∈ ∈ ∈
∈
∈
⊂
∈
∈
T u M = Rr1 (u) + Rr2 (u) = α1 r1(u) + α2 r2 (u); α1 , α2
{
∈ R}
zove tangencijalni prostor od M u toˇcki u, dok se ravnina r(u) + T u M C ∞ (V ), zove tangencijalna ravnina na plohu M u toˇcki u. Ako je r r(u) = r (ϕ(u)), reparametrizacija od M i T u M tangencijalni prostor od M, izraˇcunat u r, onda je r′ (u) = r ′(ϕ(u))ϕ′ (u) pa je
∈
r1 (u) = r1 (ϕ(u))∂ 1 ϕ1 (u) + r2 (ϕ(u))∂ 1 ϕ2 (u) r2 (u) = r1 (ϕ(u))∂ 2 ϕ1 (u) + r2 (ϕ(u))∂ 2 ϕ2 (u)
(3.1)
iz ˇcega slijedi T u M = T ϕ(u) M, ˇsto znaˇci da tangencijalni prostor ne zavisi od reparametrizacije. Svaki element iz T u M se zove tangencijalni vektor na M u toˇcki u. Ako je f C ∞ (U ) onda se f zove vektorsko polje na M. Kaˇzemo da je f tangencijalno vektorsko polje ako je f (u) T u M, u U. Primjeri tangencijalnih vektorskih polja su f = r1 i f = r2 , gdje je r parametrizacija
∈
∈
∈
POGLAVLJE 3.
24
PLOHE
U, svako od M. Budu´ci da je (r1 (u), r2 (u)) baza od T u M, za svaki u tangencijalno polje se moˇze napisati u obliku f = f 1r1 + f 2 r2 , gdje su f 1 , f 2 : U R glatke funkcije. Vektorsko polje
∈
→
ν (u)
= r 1 (u)
× r (u)/r (u) × r (u) 2
1
2
se zove normala na M u toˇcki u. Ako je r(u) = r(ϕ(u)) reparametrizacija od M i ν (u) normala na M, izraˇcunata u parametrizaciji r, onda je po (3.1)
r1 (u)
′
× r (u) = r ( (u)) × r ( (u)) · det (u) (u)), za svaki u ∈ V, ˇsto znaˇci da normala ne zavisi od 1 ϕ
2
2 ϕ
ϕ
pa je ν (u) = ν (ϕ reparametrizacije. Ploha je regularna ako i samo ako ima normalu u svakoj toˇ cki. Zamijetimo da je ( r1 (u), r2 (u), ν (u)) baza od R3 , za svaki u U. U daljem nam trebaju i parcijalne derivacije od r drugog reda pa za njih uvodimo oznake r11 = ∂ 12 r, r12 = r21 = ∂ 1 ∂ 2 r, r22 = ∂ 22 r, kao i prve parcijalne derivacije normale ν 1 = ∂ 1 ν , ν 2 = ∂ 2 ν . Zamijetimo da su ν 1 i ν 2 tangencijalna vektorska polja. Naime, kako je (ν ν ) = 1, parcijalnim deriviranjem dobijemo (ν 1 ν ) = 0 i (ν 2 ν ) = 0, ˇsto znaˇci da su ν 1 i ν 2 okomiti na ν . 3 R , definiran formulom Linearni operator ν ′ (u) : R2
∈
|
|
|
→
′
ν (u)x = x 1 ν 1 (u) +
x2 ν 2 (u)
se zove derivacija od ν u toˇcki u. Njegova matrica, u standardnim bazama od R2 i R3 , izgleda sliˇcno kao matrica od r′ (u). U daljem vaˇznu ulogu imaju operatori Gu , Bu , S u L (R2 ),
∈
Gu = r ′ (u)τ r′ (u), Bu =
′
−r (u)
τ ′ ν (u),
1 S u = G − u Bu
Operator Gu se zove metriˇ cki operator (ili metriˇcki tenzor), a S u se zove operator oblika (ili tenzor zakrivljenosti) plohe M u toˇcki u. Budu´ci da je r′ (u) injektivan operator zakljuˇcujemo da je Gu regularan, simetriˇ can i pozitivan operator. Ponekad nam treba i operator S u♮ L (T u M ), S u♮ r′ (u) = ν ′ (u) tj.
∈
S u♮ (x1 r1 + x2 r2 ) =
Dakle, S u♮ r1
−
−x − x , x , x ∈ R × = r × r det S i = − , S r = − , r × + × r = −r × r trS ν 1
♮
ν 2 ν 1
u 2
1
1 ν 1
ν 2
ν 1
2 ν 2
ν 2
2
1
1
1
2
♮
2
2
u
♮
u
POGLAVLJE 3.
25
PLOHE
Zamijetimo da je S u♮ r′ (u) = r′ (u)S u pa je spektar od S u♮ jednak spektru od S u . Ako je S u x = α x onda je S u♮ r′(u)x = α r′ (u)x. Za S u♮ vrijedi r′ (u)τ S u♮ r′(u) = Bu . Operator S u♮ se takoder zove operator oblika plohe M u toˇcki u. Budu´ci da je ν ′ (u) = r′ (u)S u = S u♮ r′ (u), za operator C u = ν ′ (u)τ ν ′ (u) dobijemo C u 0 i C u = S uτ Gu S u = B uτ S u .
−
≥
−
PRIMJERI 3.1 (1) Svaki otvoreni skup U R2 je regularna ploha s parametrizacijom r : U R2 R3 , r(u) = u , pri ˇcemu je ν (u) = e3 , za svaki u U. Posebno su vaˇzni U = R2 i jediniˇ cni disk U = D 2 = u R2 ; u < 1 . (2) Neka je a R3 i neka su b1 , b2 R3 nezavisni vektori. Nadalje, neka 3 je M ploha u R3 s parametrizacijom r : R2 R , r(u) = a + u1 b1 + u 2 b2 . Tada se M zove ravnina u R3 i oznaˇcavamo je sa M = a + Rb1 + Rb2 . Za nju vrijedi r1(u) = b1 , r2 (u) = b2 i r1 (u) r 2 (u) = b1 b2 , dok je T u M = Rb1 + Rb2 . Dakle, ravnina je regularna ploha. R glatka funkcija onda je njezin graf (3) Ako je f : R2
⊂
→ ⊂
{ ∈ ∈ →
∈
∈ }
×
×
→ G(f ) = {(u , u , f (u)); u ∈ R } = {(u, f (u)); u ∈ R } ploha s parametrizacijom r : R → R , 1
2
2
2
2
3
r(u) = (u1 , u2 , f (u)) = u 1 e1 + u2 e2 + f (u)e3 = u + f (u)e3 i za nju vrijedi r1 = (1, 0, ∂ 1 f ), r 2 = (0, 1, ∂ 2 f ) i r1 r2 = ( ∂ 1 f, ∂ 2 f, 1) pa je G(f ) regularna ploha i r1 r2 2 = 1 + f ′ 2 . (4) Neka je S 2 = x R3 ; x = 1 jediniˇcna sfera u R3 i
×
S +2
× { ∈ } = {x ∈ S : x > 0}, S = {x ∈ S 2
2
3
2
−
−
: x 3 < 0
−
}
Tada se S +2 zove gornja polusfera, S −2 donja polusfera, dok se skup S 02 = x S 2 : x 3 = 0 zove ekvator i vrijedi S 2 = S +2 S −2 S 02 . (a) S +2 = G(f + ), S −2 = G(f − ), gdje je f ± (u) = (1 u 2)1/2 , u D 2 . Prema tome, S +2 i S −2 su regularne plohe. 3 2 (b) Neka je r : R2 1)/( u 2 + 1). R , r(u) = (2u1 , 2u2 , u Tada je r(u) = 1, za svaki u, pa je r(u) S 2 i r(R2 ) = S 2 e3 . Nadalje, 2 r je glatka bijekcija od R2 i S 2 e3 i ima inverz r−1 : S 2 e3 R dan formulom r −1 (x) = (x1 , x2 )/(1 x3 ), a zove se stereografska projekcija iz sjevernog pola e3 . 3 (c) Neka je r : R2 R , r(u) = (2u1 , 2u2 , 1 u 2 )/( u 2 + 1). 2 Tada je r glatka bijekcija od R2 i S 2 R e3 , a inverz r−1 : S 2 e3 je dan sa r−1 (x) = (x1 , x2 )/(1 + x3 ), i zove se stereografska projekcija iz juˇ znog pola e3 .
{ ∈
}
→
\{ } −
→
−
∪ ∪ ± − ∈ − ∈ \{ } \{ } →
\{− }
−
\{− } →
POGLAVLJE 3.
26
PLOHE
(d) Neka je r(u) = (2(1 u 2 )1/2 u1 , 2(1 u 2 )1/2 u2 , 2 u 2 1), u D 2 . D2, Tada je r parametrizacija od S 2 e3 koja ima inverz r−1 : S 2 e3 r−1 (x) = (x1 , x2 )/(2 2x3 )1/2 i vrijedi ν = r . (e) Neka je K = [0, 2π ] ( π/ 2, π/ 2) R2 i r : K R3 ,
− − \{ } ×− ⊂
−
− ∈ \{ } →
→
r(u) = (cos u1 cos u2 , sin u1 cos u2 , sin u2 ) Tada je r glatka funkcija, r(K ) = S 2 e3 , e3 , i zove se geografska parametrizacija od S 2 e3 , e3 . Parametar u1 se zove geografska duˇzina , a u2 geografska ˇ sirina . Funkcija r nije injektivna, naime nulti meridijan se pokrije dvaput. Ako proˇsirimo r na K = [0, 2π ] [ π/ 2, π/ 2] onda pokrijemo cijelu sferu, tj. r(K ) = S 2, ali izgubimo regularnost u sjevernom i juˇznom polu. Ako restringiramo r na K ◦ = (0, 2π ) ( π/ 2, π/ 2) onda ne pokrijemo nulti meridijan, tj. r(K ◦ ) = S 2 r(K K ◦ ), ali dobijemo bijekciju. (5) Plohe u R3 se ˇcesto zadaju implicitnom jednadˇ zbom
\{ − }
\{ − }
\
×− ×−
\
M = f −1 (0) = x
3
{ ∈ R ; f (x) = 0} gdje je f : R → R glatka funkcija takva da je f (x) = 0, za svaki x ∈ M. Medutim, moˇ ze se dogoditi da parametrizacija r : U → R ovakve plohe M ne pokrije cijelu plohu tj. da je r(U ) = M. Ovaj sluˇcaj smo imali kod jediniˇ cne sfere M = S , koja ima implicitnu jednadˇzbu x = 1 tj. (x|x) = 1, pri ˇcemu je u ovom sluˇcaju f (x) = (x|x) − 1. Ovakav naˇcin zadavanja plohe ima jednu dobru stranu, naime lako je na´ci normalu. Ako je r : U → R parametrizacija od M = f (0) onda je f (r(u)) = 0 pa deriviranjem slijedi (f (r(u))|r (u)) = (f (r(u))|r (u)) = 0, ˇsto znaˇci da je f (r) okomit na r i r pa je normala dana sa = ±f (r)/f (r). Ravnina M = a + Rb + Rb iz (2) se moˇze zadati u obliku M = f (0), ako stavimo f (x) = (x − a|b), gdje je b = b × b . 0, simetriˇcan operator, a ∈ R , α ∈ R i (6) Ako je A ∈ L (R ), A = f : R → R, f (x) = (Ax|x) + 2(a|x) + α 3
′
3
2
3
−1
′
′
1
′
2
′
ν
2
1
1
′
−1
2
1
2
3
3
3
onda se M = f −1 (0) zove kvadrika ili ploha drugog reda. Budu´ci da je f ′ (x) = 2Ax + 2a, dobijemo f ′ (x) = 0, za svaki x M 0 , gdje je M 0 skup svih x R3 za koje vrijedi Ax + a = 0 . Dakle, ako je M M 0 = ∅ onda je M regularna, a ako je M M 0 = ∅ onda M nije regularna. U tom sluˇcaju umjesto M moˇzemo razmatrati M M 0. Kaˇzemo da je M nedegenerirana kvadrika ako je (A+ a a) = α det A. Zamijetimo da je α det A (A+ a a) dan 4 4 determinantom
∈
∈
∩ −
\
|
|
×
A α det A − (A a|a) = a +
∩
τ
a α
POGLAVLJE 3.
27
PLOHE
Ako je M nedegenerirana i det A = 0 onda je M elipsoid ili hiperboloid (ˇsto zavisi od spektra od A), a ako je det A = 0 onda je M paraboloid. Primjeri degeneriranih kvadrika su konusi i cilindri. Sfera M sa srediˇstem u a R3, polumjera r > 0, se zadaje imlicitnom jednadˇzbom x a = r tj. (x a x a) r2 = 0 ˇsto se moˇze napisati u obliku (x x) 2(a x) + ( a a) r2 = 0, pa je M kvadrika za A = I .
− | − |
3.2
∈ − | − − | −
Metriˇ cki operator i operator oblika
PROPOZICIJA 3.2 Neka je M ploha s parametrizacijom r C ∞ (U ). (1) Ako je Gu matrica od Gu , u standardnoj bazi, onda je
∈
Gu =
E (u)
F (u)
F (u) G(u)
gdje je E = (r1 r1 ), F = (r1 r2 ), G = (r2 r2). Nadalje, det Gu = E G F 2 = r1 r2 2 . (2) Ako je B u matrica od Bu , u standardnoj bazi, onda je
|
| −
|
×
Bu =
e(u)
f (u) f (u) g (u)
gdje su matriˇcni koeficijenti dani sa e = (r1 ν 1 ) = (r11 ν ), g = (r22 ν ), f = (r1 ν 2 ) = (r12 ν ) = (r2 ν 1 ). Nadalje, Bu je simetriˇ can operator i det Bu = eg f 2 .
|
− |
|
− |
− |
|
−(r |
2 ν 2 )
=
−
Dokaz (1) Neka je Ru matrica od r′ (u). Tada je Gu = Ruτ Ru iz ˇcega slijedi tvrdnja. (2) Ako je N u matrica od ν ′ (u) i B u matrica od Bu , onda je B u = Ruτ N u . Zamijetimo da je ( ν r1 ) = 0 i (ν r2 ) = 0 pa parcijalnim deriviranjem po prvoj varijabli dobijemo (ν 1 r1 ) + (ν r11 ) = 0 i (ν 1 r2 ) + (ν r12) = 0 iz ˇcega slijedi (ν 1 r1) = (ν r11) i (ν 1 r2) = (ν r12) = (ν 2 r1 ). Na sliˇcan naˇcin, deriviraju´ci po drugoj varijabli, dobijemo (ν 2 r2) = (ν r22), iz ˇcega slijedi tvrdnja.
−
|
|
− |
|
|
| |
− |
|
|
|
|
− |
TEOREM 3.3 Vrijede sljede´ce tvrdnje (1) Operator S u je sliˇ can simetriˇ cnom operatoru . (2) Operator S u ima dvije realne svojstvene vrijednosti , a ako su x1 i x2 pripadni svojstveni vektori onda je (Gu x1 x2 ) = 0.
|
1/2 Dokaz Neka je T = Gu i H = T −1 Bu T −1 . Tada su T i H simetriˇcni 1 operatori i vrijedi T −1 HT = T −1 T −1 Bu T −1 T = G− u Bu = S u pa je S u je sliˇcan simetriˇcnom operatoru H. Dakle, spektar od S u je jednak spektru
POGLAVLJE 3.
28
PLOHE
od H, pa S u ima dvije realne svojstvene vrijednosti. Ako je H y = αy i x = T −1 y onda je Bu x = αGu x pa je S u x = αx. Dakle, ako su y1 i y2 svojstveni vektori od H onda su x1 = T −1 y1 i x2 = T −1 y2 svojstveni vektori od S u i vrijedi (y1 y2 ) = 0, pa je (Gu x1 x2 ) = (T x1 T x2 ) = (y1 y2 ) = 0.
|
|
|
|
C ∞ (U ). PROPOZICIJA 3.4 Neka je M ploha s parametrizacijom r Ako je r C ∞ (V ), r(u) = r (ϕ(u)), reparametrizacija od M, i ako su Gu , B u i S u operatori izraˇcunati u r, onda je Gu = ϕ′ (u)τ Gϕ(u)ϕ′ (u), B u = −1 τ ′ ′ ′ ′ ϕ (u) Bϕ(u) ϕ (u) i S u = ϕ (u) S ϕ(u) ϕ (u).
∈
∈
Dokaz Budu´ci da je Gu = r ′ (u)τ r′ (u) dobijemo Gu = [r′ (ϕ(u))ϕ′ (u)]τ r′ (ϕ(u))ϕ′ (u) = ϕ′ (u)τ Gϕ(u)ϕ′ (u)
i sliˇcno za B u , a onda mnoˇzenjem dobijemo formulu za S u .
DEFINICIJA 3.5 Neka je M ploha s parametrizacijom r C ∞ (U ). (1) Neka je C krivulja u R3 s parametrizacijom x C ∞ (I ). Ako postoji 2 ravninska krivulja C 1 s parametrizacijom u : I U i R takva da je u(t) x(t) = r (u(t)), za svaki t I, onda kaˇzemo da je C krivulja na plohi M, ili da C leˇ zi na M. (2) Krivulja s parametrizacijom u 1 r (u), zadana sa u 2 = const, se zove prva koordinatna krivulja na M, a krivulja s parametrizacijom u2 r(u), zadana sa u1 = const, se zove druga koordinatna krivulja na M. (3) Neka su C 1 i C 2 krivulje na M s parametrizacijama x(t) = r(u(t)), t I , i y(s) = r(v(s)), s J. Ako je u(t0 ) = v (s0 ), za neki t0 I i s0 J, onda kaˇzemo da se C 1 i C 2 sijeku u toˇ cki u (t0 ) i definiramo kut α izmedu C 1 i C 2 u toˇ cki. cki u(t0 ) kao kut izmedu njihovih brzina u toj toˇ
→
∈
∈
∈
∈
→
→
∈
∈
∈
3.3
Fundamentalne forme
∈
DEFINICIJA 3.6 Neka je M ploha s parametrizacijom r C ∞ (U ). ′ ′ (1) Funkcija gu : R2 R2 R, gu (x, y) = (r (u)x r (u)y), se zove prva ce piˇsemo gu (x) = g u (x, x). fundamentalna forma od M u toˇcki u. Kra´ ′ ′ (2) Funkcija b u : R2 R2 R, bu (x, y) = (ν (u)x r (u)y), se zove drucki u. Kra´ce piˇsemo b u (x) = b u (x, x). ga fundamentalna forma od M u toˇ Ako je bu (x, y) = 0 onda kaˇzemo da su x i y konjugirani smjerovi u u.
× → × →
∈
|
−
|
DEFINICIJA 3.7 Kaˇzemo da je parametrizacija r plohe M : (1) ortogonalna ako je (r1 r2 ) = 0. (2) polugeodetska ako je ortogonalna i r1 = const ili r2 = const. (3) konformna ako je ortogonalna i r1 = r2 . (4) harmonijska ako je r11 + r22 = 0 .
|
POGLAVLJE 3.
29
PLOHE
PROPOZICIJA 3.8 Neka je M ploha s parametrizacijom r C ∞ (U ). (1) gu(x, y) = (Gu x y), bu (x, y) = (Bu x y), za svaki x, y (2) gu(x, y) = E (u)x1 y1 + F (u)[x1 y2 + x2 y1 ] + G(u)x2 y2 Sliˇcna formula vrijedi za bu (x, y). (3) r je ortogonalna ako i samo ako je F = 0. (4) r je konformna ako i samo ako je Gu = E (u)I, za svaki u.
|
∈
|
Dokaz (1) Imamo gu (x, y) = (r′ (u)τ r′ (u)x y) = (Gu x y) i sliˇcno za bu . (2) Slijedi iz (r′ (u)x r′ (u)y) = (r1 (u)x1 + r2 (u)x2 r1 (u)y1 + r2(u)y2 ) skalarnim mnoˇzenjem. Dokaz za bu je sliˇ can. Tvrdnje (3) i (4) slijede iz 3.2.
|
|
|
|
KOROLAR 3.9 (1) Ako je C krivulja na M s parametrizacijom x(t) = r(u(t)) onda je x′ (t) T u(t) M , za svaki t, i vrijedi x′ (t) = r′ (u(t))u′ (t) = r1 (u(t))u′1 (t) + r2 (u(t))u′2 (t), pri ˇcemu je x′ (t) 2 = g u(t) (u′ (t)). (2) Ako su C 1 i C 2 krivulje na M s parametrizacijama x(t) = r(u(t)), t I , i y(s) = r (v(s)), s J, koje se sijeku u toˇcki u(t) = v (s), onda je kut α izmedu C 1 i C 2 u toˇcki u(t) dan formulom
∈
∈
∈
cos α = g u(t) (u′ (t), v′ (s))/[gu(t) (u′ (t))gu(t) (v′ (s))]1/2 (3) r1(u) i r2 (u) su brzine koordinatnih krivulja u1 r(u) i u2 r(u) u toˇcki u, dok je kut α izmedu koordinatnih krivulja u toˇcki u dan formulom cos α = F (u)/[E (u)G(u)]1/2 . Koordinatne krivulje su okomite u toˇcki u ako i samo ako je F (u) = 0. (4) Ako je parametrizacija r ortogonalna onda su koordinatne krivulje okomite u svim toˇckama.
→
→
zene funkcije, Dokaz Prva formula iz (1) slijedi po pravilima deriviranja sloˇ a druga iz prve i prethodne propozicije. Tvrdnja (2) slijedi iz (1) i definicije kuta, dok (3) slijedi iz definicije koordinatnih krivulja i (2). Tvrdnja (4) slijedi iz (3).
3.4
Zakrivljenosti ploha
DEFINICIJA 3.10 Neka je M ploha u R3 s parametrizacijom r C ∞ (U ), k1 (u) i k2 (u) svojstvene vrijednosti operatora S u , k2 (u) k1 (u), i x1 (u) i x2 (u) pripadni svojstveni vektori takvi da je gu (x1 (u)) = g u (x2 (u)) = 1. Tada se k1 (u) i k2 (u) zovu glavne zakrivljenosti , a x1 (u) i x2 (u) glavni smjerovi plohe M u toˇcki u. Nadalje, K (u) = k1 (u)k2 (u) se zove Gaussova zakrivljenost , a H (u) = 12 (k1 (u) + k2 (u)) se zove srednja cki u. zakrivljenost plohe M u toˇ Ako je H = 0 onda se M zove minimalna ploha , a ako je K = 0 onda se M zove razvojna ploha .
≤
∈
POGLAVLJE 3.
30
PLOHE
PROPOZICIJA 3.11 Neka je r C ∞ (U ) parametrizacija i r C ∞ (V ), r(u) = r (ϕ(u)), reparametrizacija od M. Tada vrijedi k 1 (u) = k1 (ϕ(u)), k 2 (u) = k2 (ϕ(u)), K (u) = K (ϕ(u)), H (u) = H (ϕ(u)), ˇsto znaˇci da glavne zakrivljenosti te Gaussova i srednja zakrivljenost ne zavise od reparame−1 trizacije. Za glavne smjerove vrijede formule x1 (u) = ϕ′ (u) x1 (ϕ(u)), x2 (u) = ϕ′ (u)−1 x2 (ϕ(u)).
∈
∈
Dokaz Po 3.4 je S u = ϕ′ (u)−1 S ϕ(u) ϕ′ (u), ˇsto znaˇci da S u i S ϕ(u) imaju iste svojstvene vrijednosti i vrijedi gornja formula za svojstvene vektore. PROPOZICIJA 3.12 (1) Ako je S u matrica od S u onda vrijedi S u =
1 det Gu
Ge − F f Ef
− F e
Gf − Fg
Eg
(2) K = (eg f 2)/(EG F 2 ) (3) H = 12 (Eg + eG 2F f )/(EG F 2 ) (4) k1 = H + (H 2 K )1/2 , k2 = H (H 2
−
−
−
−
−
−
− F f 1/2
− K )
1 Dokaz Budu´ci da je det Gu = EG F 2 , S u = G − u Bu i
−
1 G− u
1 = det Gu
G F
−
−F E
mnoˇ zenjem matrica dobijemo (1), a uzimanjem determinante i traga dobi jemo (2) i (3). Nule svojstvenog polinoma λ2 2H (u)λ + K (u) od S u su glavne zakrivljenosti pa dobijemo (4).
−
KOROLAR 3.13 Neka je M ploha s parametrizacijom r. (1) Ako je r ortogonalna onda je K = (eg f 2 )/(EG), 2H = (Eg + eG)/(EG)
−
(2) Ako je r polugeodetska i E = 1 onda je K = (eg f 2)/G, 2H = (g + eG)/G
−
(3) Ako je r konformna onda je Gu = EI, S u = B u /E i K = (eg f 2 )/E 2 , 2H = (e + g )/E
−
(4) Ako je r konformna i harmonijska onda je K =
2
2
2
−(e +f )/E ,
H = 0
Dokaz Prve tri tvrdnje slijede neposredno iz prethodne propozicije, a ˇcetvrta iz e + g = (r11 + r22 ν ) = 0.
|
POGLAVLJE 3.
31
PLOHE
PROPOZICIJA 3.14 Neka je M ploha s parametrizacijom r C ∞ (U ), 2 U , x u R , x = 0 . Tada se κ u (x) = bu (x)/gu (x) zove normalna cki u, u smjeru od x, i za nju vrijedi Eulerova zakrivljenost od M u toˇ
∈
∈
∈
formula κ u (x)
= k 1 cos2 θ + k2 sin2 θ
gdje je θ kut izmedu tangencijalnih vektora r′ (u)x i r′ (u)x1 . Nadalje, vrijedi k2 (u) k1 (u), pri ˇcemu se jednakosti dostiˇzu κ u (x) na svojstvenim vektorima operatora S u . Ako je κ u (x) = 0 onda kaˇzemo da je x asimptotski smjer u toˇcki u. Asimptotski smjer je sam sebi konjugiran.
≤
≤
Dokaz Zamijetimo da je κ u (tx) = κ u (x), za svaki t R, t = 0. Neka je 2 ci da glavni smjerovi x1 i x2 ˇcine bazu u R2 , R i gu (x) = 1. Budu´ x postoje α1 , α2 R takvi da je x = α1 x1 + α2 x2 . Za njih je α1 = gu (x, x1 ), α2 = gu (x, x2 ), α21 + α22 = gu(x) = 1, pa je α1 = cos θ, α2 = sin θ. Nadalje, za i = 1, 2, je Bu xi = ki Gu xi , (Bu xi xi ) = ki i (Bu x1 x2 ) = 0 pa imamo 2 2 κ u (x) = b u (x) = k 1 α1 + k2 α2 . Nejednakosti slijede iz Eulerove formule za θ = 0 i θ = π/2.
∈
∈
∈
|
|
PROPOZICIJA 3.15 Neka je M ploha s parametrizacijom r C ∞ (U ), u U , x R2 i x = 0. Nadalje, neka je Πu (x) = r (u) + Rr′ (u)x + Rν (u) i C u (x) = Πu (x) M. Tada se krivulja C u (x) zove normalni presjek od M u toˇcki u, u smjeru vektora x. Ako je x(t) = r(u(t)) parametrizacija od C u (x), takva da je u(t) = u i u′ (t) = x, za neki t, onda je fleksija κ (t) krivulje C u (x) u toˇcki t, jednaka κ u (x).
∈
∈
∩
∈
±
Dokaz Budu´ci da je x′ (t) = r 1 (u(t))u′1 (t) + r2 (u(t))u′2 (t) dobijemo x′′ (t) = r11 (u(t))u′1 (t)2 + 2r12 (u(t))u′1 (t)u′2 (t) + r22 (u(t))u′2 (t)2 + r1 (u(t))u′′1 (t) + r2 (u(t))u′′2 (t) a kako je v (t)2 = x′ (t) 2 = gu (x) i n(t) = ν (u), imamo v (t)2 κ (t) = (x′′ (t) n(t)) = (x′′ (t) ν (u)) = bu (x). Dakle, κ (t) = bu (x)/v (t)2 = κ u (x). Ovdje smatramo da fleksija κ (t) ravninske krivulje C u (x) moˇ ze biti i negativna kao u 2.11, (2).
±
|
±
|
±
±
LEMA 3.16 Neka je M ploha u s parametrizacijom r operator C u = ν ′ (u)τ ν ′ (u) vrijedi (1) ν ′ (u) = r′(u)S u = S u♮ r′ (u) (2) C u = S uτ Gu S u = B u S u = S uτ Bu (3) C u = KGu + 2 HBu (4) det C u = K 2 det Gu
−
−
−
±
∞
∈ C
(U ). Tada za
POGLAVLJE 3.
32
PLOHE
Dokaz Prve dvije tvrdnje slijede iz definicije operatora. Operator S u poniˇstava svoj karakteristiˇcni polinom tj. S u2 2H (u)S u + K (u)I = 0 p a mnoˇze´ci ovu relaciju slijeva sa Gu dobijemo (3), a uzimanjem determinante u (2) dobijemo (4).
−
C ∞ (U ). PROPOZICIJA 3.17 Neka je M ploha s parametrizacijom r ′ ′ Tada se funkcija cu : R2 R2 R, cu (x, y) = (ν (u)x ν (u)y), zove tre´ ca fundamentalna forma plohe M u toˇcki u i za nju vrijedi (1) cu (x, y) = (C u x y) (2) cu (x, y) = Kgu (x, y) + 2 Hbu (x, y) (3) cu (x) = c u (x, x) 0 (4) 2H κ u (x) K (5) Ako je x asimptotski smjer onda je cu (x) = Kgu (x)
× →
− ≥
∈
|
|
≥
−
Dokaz Prve dvije tvrdnje slijede iz prethodne leme, formule (1) i (3). Budu´ci da je C u 0 dobijemo tre´cu tvrdnju, dok ˇcetvrta slijedi iz druge i tre´ce za x = y . Posljednja formula slijedi iz druge.
≥
PROPOZICIJA 3.18 Za cu vrijedi Eulerova formula cu (x)/gu (x) = k 12 cos2 θ + k22 sin2 θ gdje je θ kut izmedu tangencijalnih vektora r′ (u)x i r′ (u)x1 .
Dokaz Koristimo iste oznake kao u dokazu od 3.14. Ako je x = α 1 x1 + α2 x2 i gu (x) = 1, onda je cu (x) = (S ♮u r′ x S ♮u r′ x) = α1 k1 r′ x1 + α2 k2 r′ x2 2 = k12 α21 + k22 α21 , gdje je α1 = cos θ, α2 = sin θ.
|
PROPOZICIJA 3.19 Neka je M ploha s parametrizacijom r Tada se funkcija du : R2 R2 R, definirana formulom
× →
∞
∈ C
(U ).
2du (x, y) = [r′ (u)x, ν (u), ν ′ (u)y] + [ r′ (u)y, ν (u), ν ′ (u)x] zove c cki u i za nju vrijedi ˇetvrta fundamentalna forma plohe M u toˇ (1) du (x, y) = (Du x y), gdje je Du = (det Gu )1/2 J (H (u)I S u ), a J operator rotacije za pravi kut. Matrica od Du je dana sa
|
Du = 12 (det Gu )1/2
−
s22 s11 2s21 s22 s11 2s12
−
−
−
, J =
0
1
pri ˇcemu je S u = [sij ] matrica operatora oblika. (2) det Du = 14 (k1 k2 )2 det Gu = (K H 2 )det Gu (3) bu (x)2 + du (x)2 = g u (x)cu (x), gdje je du (x) = d u (x, x) (4) du (x)2 = Kgu (x)2 + 2Hgu (x)bu (x) bu (x)2
− −
−
− −
−1 0
POGLAVLJE 3.
33
PLOHE
Dokaz (1) [r′ x, ν , ν ′ y] = [r′ x, r′ S u y, ν ], za svaki x, y. Nadalje, r ′ x r′ S u y + r′ y r′ S u x je jednak [2s21 x1 y1 + (s22 s11 )(x1 y2 + x2 y1 ) 2s12 x2 y2 ]r1 r2 pa mnoˇze´ci skalarno ovu formulu sa ν dobijemo da je 2du (x, y) jednak [2s21 x1 y1 + (s22 s11 )(x1 y2 + x2 y1 ) 2s12 x2 y2 ](det Gu )1/2 , iz ˇcega slijedi tvrdnja. Tvrdnja (2) slijedi uzimanjem determinante u (1). Imamo r′ (u)x ν ′ (u)x 2 = r′(u)x 2 ν ′ (u)x 2 (r′ (u)x ν ′ (u)x)2 ˇsto je jednako gu (x)cu (x) bu (x)2 . Nadalje, r′(u)x ν ′ (u)x je kolinearan sa ν pa je du (x)2 = (r′ (u)x ν ′ (u)x ν (u))2 = r′ (u)x ν ′ (u)x 2 , iz ˇcega slijede (3) i (4) po 3.17, formula (2).
×
−
−
−
− × − × |
×
×
− | × ×
PROPOZICIJA 3.20 Neka je M ploha s parametrizacijom r C ∞ (U ), u U , x R2 , x = 0 . Tada se τ u (x) = du (x)/gu (x) zove geodetska torzija od M u toˇcki u, u smjeru od x, i za nju vrijedi Bonnetova formula
∈
∈
∈
τ u (x) = (k2
− k )cos θ sin θ 1
gdje je θ kut izmedu tangencijalnih vektora r′ (u)x i r′ (u)x1 .
Dokaz Koristimo iste oznake kao u dokazu Propozicije 3.14. Zamijetimo da je τ u (tx) = τ u (x), za svaki t = 0. Budu´ci da je ν ′ (u) = r′ (u)S u dobijemo [r′ (u)x, ν (u), ν ′ (u)x] = [r′ (u)x, r′ (u)S u x, ν (u)] pa za x = α1 x1 + α2 x2 i gu (x) = 1 imamo r′x r′ S u x = (α1 r′ x1 + α2 r′ x2 ) (α1 k1 r′ x1 + α2 k2 r′ x2 ) = (k2 k1 )α1 α2 r′ x1 r′x2 , a kako je ( r′ x1 , r′ x2 , ν ) ortonormirana baza od 3 ′ ′ k1 )α1 α2 , iz ˇcega slijedi tvrdnja, zbog R dobijemo [r x, r S u x, ν ] = (k2 α1 = cos θ, α2 = sin θ.
−
×
−
×
×
−
KOROLAR 3.21 τ u (x) = 0 ako i samo ako je x svojstveni vektor od S u . Dokaz Po prethodnoj propoziciji je τ u (x) = 0 ako i samo ako je k2 = k1 , a onda je svaki vektor svojstveni, ili je cos θ sin θ = 0 ˇsto znaˇci da je x proporcionalan sa x1 ili sa x2 . KOROLAR 3.22 Vrijede formule (1) κ u (x)2 + τ u (x)2 = c u (x)/gu (x) (2) τ u (x)2 = K + 2H κ u (x) κ u (x)2
−
−
Dokaz Tvrdnje slijede iz 3.19, (3) i (4). KOROLAR 3.23 Ako je x asimptotski smjer onda je τ u (x)2 = Dokaz Stavimo u prethodnom korolaru
κ u (x)
= 0.
−K (u).
POGLAVLJE 3.
34
PLOHE
DEFINICIJA 3.24 Kaˇzemo da je toˇcka r(u) M : (1) eliptiˇ cka ako je K (u) > 0 (2) hiperboliˇ cka ako je K (u) < 0 cka ako je K (u) = 0 i H (u) = 0 (3) paraboliˇ (4) planarna ako je K (u) = H (u) = 0 (5) umbiliˇ cka ako je k1 (u) = k 2 (u).
∈
PROPOZICIJA 3.25 Neka je M ploha u R3. Tada vrijedi (1) U eliptiˇckoj toˇcki plohe nema asimptotskih smjerova. (2) U hiperboliˇckoj toˇcki postoje dva asimptotska smjera y1 i y2 , gdje je y1 = a 1 x1 + a2 x2 , y2 = a1x1 + a2 x2 , pri ˇcemu su x1 i x2 glavni smjerovi i 1/2 a1 = ( k2 )1/2 /(k1 k2 )1/2 , a2 = k 1 /(k1 k2 )1/2 . Nadalje, kut ϕ izmedu tangencijalnih vektora r′ (u)y1 i r′ (u)y2 je dan formulom cos ϕ = H/(H 2 K )1/2 . (3) U paraboliˇckoj toˇcki postoji samo jedan asimptotski smjer i on je x1 , za k1 = 0, odnosno x2 , za k2 = 0. (4) U planarnoj toˇcki je svaki smjer asimptotski.
−
−
−
−
−
Dokaz (1) Ako je K (u) > 0 onda je operator Bu strogo pozitivan ili negativan pa nema asimptotskih smjerova. (2) Ako je x = α 1 x1 + α2 x2 asimptotski smjer i gu (x) = 1 onda je κ u (x) = 0 i cu (x) = K (u) pa po Eulerovim formulama dobijemo: k1 α21 + k2 α22 = 0, k12 α21 + k22 α22 = K, gdje je α1 = cos θ, α2 = sin θ. Ovaj sustav jednadˇzbi ima dva rjeˇsenja: α1 = a1 , α2 = a2 te α1 = a1, α2 = a2 , pa smo time dobili asimptotske smjerove, dok za kut ϕ imamo cos ϕ = gu (y1 , y2 ) = α21 + α 22 = (k1 + k2 )/(k1 k2 ) ˇsto je jednako H/(H 2 K )1/2 . (3) Ako je K = 0 i H = 0 onda gornji sustav jednadˇzbi ima rjeˇsenje α1 = 1, α2 = 0, za k1 = 0, odnosno α1 = 0, α2 = 1, za k2 = 0. (4) Ako je K = H = 0 onda je Bu = 0 pa je bu = 0.
−
− −
−
−
−
KOROLAR 3.26 Ako je K (u) < 0 onda za asimptotske smjerove y1 i y2 vrijede formule (1) τ u (y1 ) = ( K (u))1/2 , τ u (y2 ) = ( K (u))1/2 (2) τ u (y1 )τ u (y2 ) = K (u)
−−
−
Dokaz (1) Po prethodnoj propoziciji i Bonnetovoj formuli imamo τ u (y1 ) = 2a1 a2 du (x1 , x2 ) = a1 a2 (k2 k1 ) iz ˇcega slijedi prva formula, i sliˇcno druga. (2) Slijedi iz (1).
−
DEFINICIJA 3.27 Neka je M ploha s parametrizacijom r krivulja na M s parametrizacijom x C ∞ (I ), x(t) = r (u(t)).
∈
∞
∈ C
(U ) i C
POGLAVLJE 3.
35
PLOHE
(1) Kaˇzemo da je C glavna krivulja (ili krivulja zakrivljenosti) od M ako je u′ (t) svojstveni vektor operatora S u(t) , za svaki t, tj. ako je x′ (t) svojstveni vektor operatora S u♮ (t) , za svaki t. (2) Kaˇzemo da je C asimptotska krivulja od M ako je bu(t) (u′ (t)) = 0, za svaki t, tj. ako je u′ (t) asimptotski smjer u toˇcki u(t), za svaki t.
PRIMJERI 3.28 (1) Svaki otvoreni skup U R2 je regularna ploha s parametrizacijom r : 2 3 U U , pa je cemu je ν (u) = e3 , za svaki u R R , r(u) = u, pri ˇ r′ (u) = I , ν ′ (u) = 0, Gu = I , Bu = S u = 0. Prema tome sve zakrivljenosti su jednake nuli . (2) Neka je a R3 i neka su b1 , b2 R3 nezavisni vektori. Nadalje, neka je M = a + Rb1 + Rb2 ravnina u R3 s parametrizacijom r (u) = a + u1 b1 + u2 b2 . Tada je r1 = b1 , r2 = b2 i r1 r 2 = b1 b 2 , pa je Bu = S u = 0 i sve zakrivljenosti su jednake nuli. Sve toˇcke u ravnini M su planarne i umbiliˇcke. (3) Ako je f : R2 R glatka funkcija onda je njezin graf G(f ) ploha s parametrizacijom r (u) = (u1 , u2 , f (u)) i za nju vrijedi r1 r2 = ( f 1 , f 2, 1), rij = f ij e3 , gdje je f i = ∂ if i f ij = ∂ i ∂ j f . Nadalje, E = 1 + f 12, F = f 1 f 2 , G = 1 + f 22, e = f 11 /h, f = f 12 /h, g = f 22 /h, gdje je h = (1 + f ′ 2 )1/2 . 2 Prema tome je K = (f 11 f 22 f 12 )/h4 i
→
⊂
⊂
∈
∈
∈
×
×
→
×
− −
−
2h3 H = (1 + f 12 )f 22 + (1 + f 22)f 11
− 2f f f
1 2 12
(4) Neka je S 2 = x R3 ; x = 1 jediniˇcna sfera u R3 . 3 2 (a) Ako je r : R2 1)/( u 2 + 1), onda R , r(u) = (2u1 , 2u2 , u je r konformna parametrizacija i Gu = 4I/( u 2 + 1) 2 . Nadalje, ν = r i Bu = Gu , C u = Gu , S u = I, iz ˇcega slijedi k1 = k2 = 1, K = 1, H = 1, Du = 0. Prema tome sve toˇcke na sferi su eliptiˇcke i umbiliˇcke . Ista tvrdnja vrijedi i za inverz stereografske projekcije iz juˇznog pola. (b) Neka je r(u) = (2(1 u 2 )1/2 u1 , 2(1 u 2 )1/2 u2 , 2 u 2 1) , za u D 2 . Tada je r parametrizacija od S 2 e3 i
{ ∈ →
−
−
}
−
−
−
∈
−
−
−
\{ } 2 − u G = 4(1 − u )I + 4 P 1 − u gdje je P x = (x|u)u. Nadalje, F (u) = 4(2 − u )u u /(1 − u ) pa je B = −G , S = −I, C = G , D = 0. Zamijetimo da je det G = 16. (c) Neka je K = [0, 2π ] × (−π/ 2, π/ 2) ⊂ R i r : K → R , 2
2
u
2
2
u
u
u
u
u
u
u
2
1 2
u
u
2
r(u) = (cos u1 cos u2 , sin u1 cos u2 , sin u2 )
3
POGLAVLJE 3.
36
PLOHE
Tada je r polugeodetska parametrizacija od S 2 e3 , e3 , E (u) = cos u2 , F = 0, G = 1, a svi operatori su kao i prije. (5) Parametrizaciju r sfere M = rS 2 + a, sa srediˇstem u a R3 , polumjera r > 0, dobijemo tako ˇsto odaberemo neku parametrizaciju r od S 2 i stavimo r(u) = r r(u) + a. Tada je ν = r normala na M i
\{ − }
∈
Gu = r 2 r′(u)τ r′ (u), Bu =
1 G , r u
1 r
u
1
1
C u =
1 r
− B , D =0 pa je S = − I, k = k = −1/r, K = 1/r , H = −1/r. (6) Neka je C krivulja u R s parametrizacijom x ∈ C (I ), zadanom sa x(t) = (x (t), 0, x (t)), x (t) > 0 , t ∈ I . Definiramo plohu M s parametrizacijom r :[0, 2π ] × I → R , −
u
2
2
3
3
u
∞
1 3
r(u) = (x1 (u2 )cos u1 , x1 (u2 )sin u1 , x3 (u2 )) Tada se M zove rotacijska ploha i ona se dobije rotiranjem krivulje C oko tre´ce koordinatne osi. Prva koordinatna krivulja u1 r(u1 , u2 ) je kruˇznica polumjera x1 (u2 ) i zove se paralela od M, na geografskoj ˇsirini u2 , dok se druga u2 r (u1 , u2 ) zove meridijan, na geografskoj duˇzini u1 . Zamijetimo da se nulti meridijan tj. sama krivulja C, pokrije dvaput, za u1 = 0 i u1 = 2π . Imamo r1 r2 = x 1 (u2 )(x′3 (u2 )cos u1 , x′3 (u2 )sin u1 , x′1 (u2 )). Dakle, r1 r 2 = x1 (u2 ) x′ (u2 ) . Nadalje, E = x1 (u2 )2 , F = 0, G = x′ (u2 ) 2 , dok je f = 0, e = x1 (u2 )x′3 (u2 )/ x′ (u2 ) pri ˇcemu za g vrijedi g = (x′′1 (u2 )x′3 (u2 ) x′1 (u2 )x′′3 (u2 ))/ x′ (u2 ) . Kako je F = 0 i f = 0 zakljuˇcujemo da se operatori Gu , Bu i S u dijagonaliziraju u standardnoj bazi, pa su koordinatne krivulje tj. meridijani i paralele, glavne krivulje plohe M . Nadalje, k1 = e/E, k2 = g/G, K = eg/(EG) i 2H = e/E + g/G. Ako je x prirodna parametrizacija od C onda je k1 = x′3 (u2 )/x1 (u2 ), k2 = x′′1 (u2 )x′3 (u2 ) x′1 (u2 )x′′3 (u2 ), pa je K = x′′1 (u2 )/x1 (u2 ), zbog uvjeta (x′ (t) x′ (t)) = 1 i (x′ (t) x′′ (t)) = 0. Posebni sluˇcaj rotacijske plohe je torus koji se dobije rotacijom kruˇznice C sa rediˇstem a = Re1 , polumjera r, pri ˇcemu je R > r. Ako je kruˇznica zadana sa x(t) = (R + r cos t, 0, r sin t), onda za torus dobijemo
→
→ × × −
|
−
−
|
−
−
−
r(u) = ((R + r cos u2 )cos u1 , (R + r cos u2 )sin u1 , r sin u2 ) Meridijani i paralele torusa su kruˇznice i K = 1r cos u2 /(R + r cos u2 ). Dakle, vanjske toˇ cke torusa su eliptiˇcke (za u2 < π/ 2 ili u2 > 3π/ 2), unutraˇsnje toˇcke su hiperboliˇcke (za π/ 2 < u2 < 3π/ 2), dok su toˇcke s gornje i donje kruˇ znice paraboliˇcke (za u2 = π/2 ili u2 = 3π/ 2). (7) Kako na´ci sve rotacijske plohe konstantne Gaussove zakrivljenosti ? Pretpostavimo da je krivulja C zadana prirodnom parametrizacijom. Tada
POGLAVLJE 3.
37
PLOHE
je x′ (t) = 1, t I i K (u) = K, u U, pa imamo sustav diferencijalnih jednadˇ zbi: x′′1 (t) + Kx1 (t) = 0, x′1 (t)2 + x′3 (t)2 = 1. Ovaj sustav ima viˇse rjeˇsenja npr. sferu polumjera r = K −1/2 , za K > 0, ravninu za K = 0, ali i neke plohe za K < 0. Plohu M ˇcija je Gaussova zakrivljenost konstantna i negativna zovemo hiperboliˇcka ravnina. Rotacijska ploha M s 3 parametrizacijom r :[0 , 2π ] (0, π ) R ,
∈
∈
×
→
r(u) = (r sin u2 cos u1 , r sin u2 sin u1 , r cos u2 + r log tg(u2 /2)) se zove pseudosfera. Ona se dobije rotacijom krivulje x C ∞ (0, π ),
∈
x(t) = (r sin t, 0, r cos t + r log tg(t/2)) koja se zove traktrisa. Za M vrijedi F = f = 0, E = r 2 ctg2 u2 , G = r 2 sin2 u2 , e = r ctg u2 , g = r sin u2 cos u2 , pa je k1 = 1r ctg u2 , k2 = 1r tg u2 , iz ˇcega slijedi H = 1r ctg 2u2 , K = 1/r2 , ˇsto znaˇci da je M hiperboliˇ cka ravnina. Asimptotske krivulje na pseudosferi M su zadane uvjetom log tg(u2 /2) u1 = const. 3 R , zadana sa (8) Rotacijska ploha M s parametrizacijom r :[0, 2π ] R r(u) = (r cos u1 , r sin u1 , u2 ), gdje je r > 0, se zove cilindar nad kruˇ znicom, a dobije se rotacijom pravca Π = r e1 + Re3 , oko tre´ce osi. Za nju vrijedi E = r 2 , F = 0, G = 1 i e = r, f = 0, g = 0, pa je k1 = 1/r, k2 = 0, K = 0, H = 1/(2r ), ˇsto znaˇci da je M razvojna ploha , a ujedno i degenerirana kvadrika. 3 Rotacijska ploha M s parametrizacijom r :[0 , 2π ] R R , zadana sa r(u) = (ch u2 cos u1 , ch u2 sin u1 , u2 ), se zove katenoid. Za njega je H = 0 i K = 1/ ch4 u2 , ˇsto znaˇci da je katenoid minimalna ploha . Asimptotske krivulje katenoida su dane uvjetom u1 u2 = const. (9) Neka su C 1 i C 2 krivulje u R3 s parametrizacijama x, y C ∞ (I ) i M ploha s parametrizacijom r : I J R3 ,
−
−
−
±
× →
× →
−
±
× →
∈
r(u) = x (u1 ) + u2 y(u1 ) Tada se M zove pravˇ casta ploha. Krivulja C 1 se zove direktrisa plohe M. Ako je x(t) = x0 R3 , t I, onda se M zove konus. Ako je C 1 ravninska krivulja, a y(t) = y0 R3 , t I, onda se M zove cilindar nad C 1 . Ako je y(t) = x′ (t), t I, onda se M zove tangencijalna ploha krivulje C 1 . Ako je y (t) = n(t), t I , gdje je n (t) normala na C 1 , onda se M zove normalna ploha od C 1 . Ako je y(t) = b(t), t I, gdje je b(t) binormala na C 1 , onda se M zove binormalna ploha od C 1 . Op´cenito M nije regularna ploha pa se razmatraju specijalni sluˇ cajevi. Za M imamo r1 = x ′ (u1 ) + u2 y′ (u1 ), r2 = y (u1 ), r12 = y ′ (u1 ) i r22 = 0 pa je g = 0 i f = [x′ (u1 ), y(u1 ), y′ (u1 )]/ r1 r2 .
∈
∈ ∈
∈
∈
∈
∈
×
POGLAVLJE 3.
38
PLOHE
Dakle, K = [x′ (u1 ), y(u1 ), y′ (u1 )]2 / r1 r2 3 pa zakljuˇcujemo da je Gaussova zakrivljenost od M negativna. (a) Ako je M konus ili cilindar onda je K = 0. (b) Pravˇcasta ploha M se zove helikoid ako su krivulje C 1 i C 2 dane sa x(t) = at e3 , y(t) = cos te1 + sin te2 , pa je parametrizacija helikoida
−
×
r(u) = x (u1 ) + u2 y(u1 ) = (u2 cos u1 , u2 sin u1 , au1), u
∈R
2
Za njega vrijedi r1 r2 = (a2 + u22 )1/2 , E = a 2 + u22 , F = 0, G = 1, e = 0, f = a(a2 + u22 )−1/2 , g = 0, pa imamo K = a2 (a2 + u22 )−2 , H = 0, pri ˇcemu je k1 = a(a2 + u22 )−1 , k2 = a(a2 + u22 )−1 . Helikoid je minimalna ploha . Koordinatne krivulje helikoida su asimptotske krivulje. (c) Ako je x prirodna parametrizacija od C 1 onda za tangencijalnu plohu od C 1 vrijedi E (u) = 1 + κ (u1 )2 u22 , F = 1, G = 1, dok je f = g = 0, e(u) = κ (u1 )τ (u1 )u2 , pa je K = 0, H = τ (u1 )/(2κ (u1 )u2 ). Tangencijalna ploha nije regularna za u2 = 0 tj. u toˇckama krivulje C 1 . Glavne krivulje na M su dane uvjetima u1 = const, u1 + u2 = const. (d) Ako je x prirodna parametrizacija od C 1 onda za normalnu plohu od C 1 vrijedi E (u) = (1 κ (u1 )u2 )2 + τ (u1 )2 u22 , F = 0, G = 1, i
×
−
−
−
−
−
−
K (u) =
−
[κ ′ (u1 )τ (u1 ) τ (u1 )2 , H (u) = 2 E (u)
′
2 2
− τ (u )κ (u )]u + τ (u )u 1
1
1
2
2E (u)3/2
Krivulja C 1 je asimptotska krivulja svoje normalne plohe . (e) Ako je x prirodna parametrizacija od C 1 onda za binormalnu plohu od C 1 vrijedi E (u) = 1 + τ (u1 )2 u22 , F = 0, G = 1, i K (u) =
3.5
−
τ (u1 )2 , H (u) = E (u)2
2 2 u2 2E (u)3/2
κ (u1 ) + κ (u1 )τ (u1 )
′
− τ (u )u 1
2
Krivulje na plohama
PROPOZICIJA 3.29 (Rodrigues) Neka je M ploha u R3 s parametrizacijom r C ∞ (U ) i C krivulja na M s parametrizacijom x C ∞ (I ), x(t) = r(u(t)), te y C ∞ (I ), y(t) = ν (u(t)). Tada je C glavna krivulja od M ako i samo ako postoji glatka funkcija λ : I R takva da je y′ (t) + λ(t)x′ (t) = 0, t I .
∈
∈
→
∈
∈
Dokaz Ako postoji λ C ∞ (I ) takva da je y ′ (t) = λ(t)x′ (t), t I , onda je ′ ′ ν (u(t))u (t) = λ(t)r′ (u(t))u′ (t) pa je Bu(t) u′ (t) = λ(t)Gu(t) u′ (t) odnosno S u(t) u′ (t) = λ (t)u′ (t) ˇsto znaˇci da je u′ (t) svojstveni vektor od S u(t) . Obrat se dokazuje sliˇcno.
−
∈
−
∈
POGLAVLJE 3.
39
PLOHE
PROPOZICIJA 3.30 Neka je M ploha s parametrizacijom r C ∞ (U ) i C krivulja na M s parametrizacijom x C ∞ (I ), x(t) = r (u(t)). (1) C je glavna krivulja ako i samo ako zadovoljava jednadˇzbu
∈
∈
2
u (t) E (u(t)) e(u(t)) ′
2
′
′
−u (t)u (t) 1
2
F (u(t)) f (u(t))
2
u (t) G(u(t)) = 0 g (u(t)) ′
1
koju zovemo diferencijalna jednadˇ zba glavnih krivulja . (2) Koordinatne krivulje su glavne ako i samo ako je F = f = 0.
Dokaz (1) C je glavna krivulja ako i samo ako postoji glatka funkcija λ : I R takva da je S u(t) u′ (t) = λ (t)u′ (t), ˇsto se moˇze zapisati u obliku
→
(Ge F f )u′1 + ( Gf (Ef F e)u′1 + (Eg
− −
′
2
′
2
′
− F g)u = (EG − F )λu − F f )u = (EG − F )λu + (Eg − Ge)u (t)u (t) + (F g − Gf )u (t) 2 ′
2
1 2
′ ′ ′ 2 pa je (Ef F e)u′1 (t)2 = 0, a 1 2 2 ovo se drukˇcije zapisuje u obliku gornje determinante. (2) Operator S u se dijagonalizira u standardnoj bazi ako i samo ako je F = f = 0.
−
PROPOZICIJA 3.31 Neka je M ploha s parametrizacijom r C ∞ (U ) i C krivulja na M s parametrizacijom x C ∞ (I ), x(t) = r (u(t)). (1) C je asimptotska krivulja ako i samo ako zadovoljava jednadˇzbu
∈
∈
e(u(t))u′1 (t)2 + 2f (u(t))u′1 (t)u′2 (t) + g (u(t))u′2 (t)2 = 0 koju zovemo diferencijalna jednadˇ zba asimptotskih krivulja . (2) Koordinatne krivulje su asimptotske ako i samo ako je e = g = 0.
Dokaz (1) C je asimptotska krivulja ako i samo ako vrijedi bu(t) (u′ (t)) = 0, za svaki t I , ˇsto se drukˇcije zapisuje u obliku gornje diferencijalne jednadˇzbe. (2) Koordinatne krivulje su asimptotske ako i samo ako je κ u (e1 ) = 0 i sto se svodi na e = 0 i g = 0. κ u (e2 ) = 0, ˇ
∈
DEFINICIJA 3.32 Neka je M ploha u R3 s parametrizacijom r C ∞ (U ) i C krivulja na M s parametrizacijom x C ∞ (I ), x(t) = r(u(t)). Ako je m(t) = ν (u(t)) i ng (t) = m (t) t(t) onda se m(t) zove ploˇsna normala , ng (t) se zove geodetska normala , a (t(t), ng (t), m(t)) se zove geodetski cki t. trobrid krivulje C u toˇ
×
∈
∈
POGLAVLJE 3.
40
PLOHE
DEFINICIJA 3.33 Neka je M ploha s parametrizacijom r C ∞ (U ) i C krivulja na M s parametrizacijom x C ∞ (I ), x(t) = r(u(t)), trobridom (t, n, b) i fleksijom κ . R, κ g (t) = κ (t)(n(t) ng (t)), se zove geodetska (1) Funkcija κ g : I zakrivljenost ili geodetska fleksija od C. Kaˇzemo da je C geodetska krivulja ako je κ g = 0. (2) Funkcija κ n : I R, κ n (t) = κ (t)(n(t) m(t)), se zove normalna zakrivljenost ili normalna fleksija od C. ′ ′ ′ 2 (3) Funkcija τ g : I R, τ g (t) = [x (t), m(t), m (t)]/ x (t) , se zove geodetska torzija od C.
∈
∈
→
|
→ →
|
PROPOZICIJA 3.34 Neka je M ploha s parametrizacijom r C ∞ (U ) i C krivulja na M s parametrizacijom x C ∞ (I ), x(t) = r(u(t)). Tada za svaki t I vrijede sljede´ce tvrdnje (1) κ 2 = κ g2 + κ n2 (2) κ n (t) = κ u(t) (u′ (t)) (3) κ g (t) = [x′ (t), x′′ (t), m(t)]/ x′ (t) 3 (4) τ g (t) = τ u(t) (u′ (t)) (5) Funkcije κ n , κ g i τ g ne zavise od reparametrizacije.
∈
∈
∈
Dokaz (1) Prikaz vektora κ n u ortonormiranoj bazi (t, ng , m) je dan formulom κ n = κ g ng + κ nm pa tvrdnja slijedi uzimanjem norme. (2) Po prvoj Frenetovoj formuli je t ′ = x′ κ n pa je κ n = (t′ m)/ x′ = (t m′ )/ x′ = (x′ m′ )/ x′ 2 = (r′ (u)u′ ν ′ (u)u′ )/ x′ 2 = bu (u′ )/gu (u′ ) = κ u (u′ ). (3) Slijedi iz κ g = κ (b m) i x′ x′′ = x′ 3 κ b, po 2.7, a (4) iz 3.20, dok je (5) evidentno budu´ ci da oba trobrida i fleksija ne zavise od reparametrizacije.
− |
− |
| ×
|
− |
KOROLAR 3.35 Neka je C krivulja na M. Tada vrijedi (1) C je asimptotska krivulja ako i samo ako je κ n = 0. (2) C je glavna krivulja ako i samo ako je τ g = 0. Dokaz (1) slijedi iz prethodne propozicije, formula (2), a (2) iz 3.21. C ∞ (U ) i C KOROLAR 3.36 Neka je M ploha s parametrizacijom r krivulja na M s parametrizacijom x C ∞ (I ), x(t) = r (u(t)). (1) C je geodetska krivulja ako i samo ako zadovoljava jednadˇzbu
∈
∈
[x′ (t), x′′ (t), m(t)] = 0, t I
∈
(2) C je glavna krivulja ako i samo ako zadovoljava jednadˇzbu [x′ (t), m(t), m′ (t)] = 0, t I
∈
POGLAVLJE 3.
41
PLOHE
Dokaz Tvrdnje slijede iz 3.34 i 3.35. PROPOZICIJA 3.37 Za geodetski trobrid krivulje vrijedi (1) t′ = v κ g ng + v κ n m (2) n′g = v κ g t + vτ g m (3) m′ = v κ n t vτ g ng
− −
−
Dokaz Zamijetimo da je geodetski trobrid ortonormirana baza od R3 pa se t′ , n′g i m′ mogu prikazati kao linearne kombinacije vektora geodetskog trobrida. Formula (1) je dokazana u 3.34. Deriviraju´ ci evidentne relacije (t t) = (ng ng ) = (m m) = 1 i (t ng ) = (t m) = (ng m) = 0 dobijemo preostale dvije.
|
|
|
|
KOROLAR 3.38 Vektor ω g = vτ g t kutna brzina od C i vrijedi t′ = ω g
|
|
− vκ n + v κ m se zove geodetska × t, n = × n , m = × m. n g
g
′
ωg
g
g
′
ωg
Dokaz Tvrdnja neposredno slijedi iz prethodne propozicije. KOROLAR 3.39 v κ 2 (τ
′
′
− τ ) = κ κ − κ κ g
g
n
n
g
Dokaz Iz 2.7 slijedi [ t, t′ , t′′ ] = v 3 κ 2 τ , a iz prethodne propozicije dobijemo [t, t′ , t′′ ] = v 2 (κ g κ n′ κ n κ g′ ) + v 3 κ 2 τ g pa slijedi tvrdnja.
−
KOROLAR 3.40 Neka je C krivulja na M . Tada vrijedi (1) Ako je C asimptotska krivulja onda je κ n = 0, κ g = κ , τ g = τ . (2) Ako je C geodetska krivulja onda je κ g = 0, κ n = κ , τ g = τ . (3) Ako je C glavna krivulja onda je τ g = 0, κ n (t) = k 1 (u(t)) ili k2 (u(t)).
| | | |
Dokaz Tvrdnje slijede iz 3.37, 3.39 i Frenetovih formula. KOROLAR 3.41 τ g (t)2 =
2
−K (u(t)) + 2H (u(t))κ (t) − κ (t) n
n
Dokaz Dokaz slijedi iz 3.22 i 3.34. KOROLAR 3.42 Ako je C asimptotska krivulja na M onda za njezinu torziju vrijedi Beltramijeva formula τ (t)2 = K (u(t)), t I .
−
∈
Dokaz Slijedi iz prethodna dva korolara. PROPOZICIJA 3.43 Neka je M ploha za koju je K < 0 . Tada vrijedi (1) Kut ϕ izmedu asimptotskih krivulja je dan sa cos ϕ = H/(H 2 K )1/2 . (2) Asimptotske krivulje od M su okomite u svim toˇckama ako i samo ako je M minimalna ploha. cki (3) Ako su τ 1 i τ 2 torzije asimptotskih krivulja, koje se sijeku u toˇ r(u(t)), onda vrijedi τ 1 (t)τ 2 (t) = K (u(t)), t I .
−
∈
POGLAVLJE 3.
42
PLOHE
Dokaz (1) Budu´ci da su sve toˇcke od M hiperboliˇcke, po 3.25 u svakoj toˇcki postoje dva asimptotska smjera, koji se sijeku pod kutom ϕ, ˇsto znaˇci da se asimptotske krivulje s tim brzinama takoder sijeku pod kutom ϕ. (2) ϕ = π/2 ako i samo ako je H = 0. (3) Slijedi iz 3.26. KOROLAR 3.44 Neka je M ploha s parametrizacijom r C ∞ (U ). (1) Normalna zakrivljenost koordinatnih krivulja je dana sa
∈
κ n
= e/E ;
κ n
= g/G
(2) Geodetska zakrivljenost koordinatnih krivulja je dana sa κ g
= [r1 , r11 , ν ]/ r1
3
;
κ g
= [r2 , r22, ν ]/ r2
3
(3) Geodetska torzija koordinatnih krivulja je dana sa τ g = [r1 , ν , ν 1 ]/ r1
2
; τ g = [r2 , ν , ν 2 ]/ r2
2
Dokaz Dokaz slijedi iz 3.34, formule (2), (3) i (4). PRIMJERI 3.45 (1) Neka je M rotacijska ploha iz 3.28, (6). (a) Meridijan od M, na geografskoj duljini u1 , ima parametrizaciju x(u2 ) = r(u), pa je x′ (u2 ) = r2 (u) i x′′ (u2 ) = r22 (u). Za njega vrijedi κ g = 0, ˇsto znaˇci da je meridijan geodetska krivulja od M. (b) Paralela od M, na geografskoj ˇsirini u2 , ima parametrizaciju x(u1 ) = r(u), pa je x′ (u1 ) = r1 (u) i x′′ (u1 ) = r11 (u). Paralela nije geodetska krivulja, osim za x′1 (u2 ) = 0. (c) Meridijani i paralele su glavne krivulje na M pa su njihove normalne zakrivljenosti jednake glavnim zakrivljenostima od M. (d) Geodetska zakrivljenost paralele pseudosfere je dana sa κ g (u1 ) = 1/r, za 0 < u2 < π/ 2, κ g (u1 ) = 1/r, za π/ 2 < u2 < π. (2) Vrijede sljede´ce tvrdnje: (a) Pravci su geodetske krivulje u ravini . Svaka geodetska krivulja u ravnini je dio nekog pravca. Ako je C pravac ili dio pravca na plohi M onda je C geodetska krivulja. Naime, tada je [ x′ (t), x′′ (t), m(t)] = 0 zbog toga ˇsto je t x (t) linearna funkcija pa je x′′ (t) = 0, za svaki t. (b) Neka je M sfera u R3 polumjera R i C kruˇznica na M polumjera r . Tada je geodetska zakrivljenost od C dana formulom κ g = (R2 r 2)1/2 /(Rr ). Ako je R = r onda se C zove velika kruˇ znica na M i ona je geodetska krivulja na M. Svaka geodetska krivulja na M je dio neke velike kruˇznice.
−
→
−
POGLAVLJE 3.
43
PLOHE
(c) Neka je M helikoid s parametrizacijom r(u) = (u2 cos u1 , u2 sin u1 , au1 ). Prva koordinatna krivulja od M je obiˇcna cilindriˇcna spirala. Njezina geodetska zakrivljenost je dana sa κ g (u1 ) = u2 /(u22 + a 2 ). Druga koordinatna krivulja od M je pravac pa je geodetska krivulja od M. (d) Krivulja je geodetska i asimptotska ako i samo ako je dio pravca. Naime, tada je κ = κ g = 0. (e) Geodetska krivulja je glavna ako i samo ako je ravninska. Naime, tada je τ = τ g = 0. (f) Ako je krivulja asimptotska i glavna onda je τ = τ g = 0, K (u(t)) = 0, za svaki t, i m(t) = const. (g) Svaka krivulja je geodetska krivulja svoje binormalne plohe i asimptotska krivulja svoje normalne plohe . (3) Neka je M ploha u R3 s parametrizacijom r C ∞ (U ) i C krivulja na M s parametrizacijom x C ∞ (I ), x(t) = r(u(t)). Ako se materijalna toˇcka mase m giba po C pod djelovanjem vanjske sile f , onda je jednadˇ zba R µt(t), gdje je R reakcija gibanja dana sa mx′′ (t) = f (t) + R m(t) podloge, a µ koeficijent trenja . Ako jednadˇzbu gibanja pomnoˇzimo skalarno sa x′ (t) m(t) dobijemo m[x′ (t), x′′ (t), m(t)] = [x′ (t), f (t), m(t)]. Ako nema vanjske sile tj. ako je f = 0 , onda je [x′ (t), x′′ (t), m(t)] = 0, ˇsto znaˇci da se materijalna toˇ cka giba po geodetskoj krivulji . (4) Neka je M ploha i r(u) = (f 1 (u1 ), f 2 (u1 ), u2 ). Ako je C geodetska krivulja na M onda je C pravac, koji je paralelan tre´ coj osi, ili je C zadana uvjetom u2 = αu1 + β, i ima parametrizaciju x(t) = (f 1 (t), f 2 (t), αt + β ). (5) Neka je C krivulja s prirodnom parametrizacijom x C ∞ (I ), r > 0, 3 r κ (s) < 1, s I , i M ploha s parametrizacijom r : I [0, 2π ] R ,
∈
∈
− | |
×
∈
×
∈
→
r(u) = x (u1 ) + r n(u1 )cos u2 + r b(u1 )sin u2 gdje su n i b normala i binormala od C. Tada se M zove tubularna ploha od C i za nju vrijedi (a) r1 r2 = r (1 r κ (u1 )cos u2 ) (b) E = (1 rκ (u1 )cos u2 )2 + r2 τ (u1 )2 , F = r 2 τ (u1 ), G = r 2 (c) Gaussova i srednja zakrivljenost od M su dane sa
× −
K (u) =
−
u − r(1 −κ (ruκ ()cos , u )cos u ) 1
2
1
2
H (u) =
1 2r
u − 2(1 −κ (ruκ )cos (u )cos u ) 1
2
1
2
(d) Glavne krivulje od M su dane uvjetom u1 = const, ˇsto je kruˇznica, te uvjetom u2 + τ (u1 )du1 = const. (e) Budu´ci da je r22 = r ν dobijemo [r2 , r22, ν ] = 0, ˇsto znaˇci da je druga koordinatna krivulja ujedno i geodetska krivulja na M.
POGLAVLJE 3.
44
PLOHE
(f) Ako je C kruˇznica polumjera R > r onda je M torus tj. torus je tubularna ploha kruˇznice. U ovom sluˇcaju je binormala konstantna. (6) Ako je parametrizacija plohe M polugeodetska i E = const, onda je prva koordinatna krivulja geodetska. C ∞ (I ) injektivna parametrizacija krivulje C na plohi M, (7) Ako je x [a, b] I i C 1 = x ([a, b]) onda se
∈
⊂
κ ∗
(C ) = 1
κ C 1 g
b κ (t) a g
dl =
′
x (t)dt
zove totalna geodetska zakrivljenost od C 1 . Ona ne zavisi od reparametrizacije i vrijedi κ ∗ (C 1 ) m C 1 , gdje je m = maxa≤t≤b κ g (t) . (a) Ako je C kruˇznica u ravnini polumjera r onda je κ g = 1/r pa za totalnu geodetsku zakrivljenost od C dobijemo κ ∗ (C ) = 2πr κ g = 2π. (b) Ako je C jednostavna zatvorena krivulja u ravnini onda za totalnu geodetsku zakrivljenost vrijedi κ ∗ (C ) = 2π, pri ˇcemu predznak zavisi od orijentacije krivulje. Ova tvrdnja se zove Hopfov teorem, a popularnija je pod njemaˇckim nazivom Hopf Umlaufsatz. (c) Ako je C suprotna krivulja od C, s parametrizacijom x C ∞ ( I ), x(t) = x ( t), onda je t (t) = t( t), n g (t) = ng ( t) i m (t) = m( t) pa je κ n (t) = κ n ( t), κ g (t) = κ g ( t) i τ g (t) = τ g ( t), dok za totalnu geodetsku zakrivljenost dobijemo κ ∗ (C 1 ) = κ ∗ (C 1 ). Dakle, normalna zakrivljenost i geodetska torzija ne zavise od orijentacije krivulje, dok geodetska zakrivljenost i totalna geodetska zakrivljenost mijenjaju predznak pri promjeni orijentacije krivulje.
|
|≤ | |
|
|
±
−
3.6
− − − − −
−
∈
− − −
−
−
Preslikavanja ploha
PRIMJERI 3.46 U sljede´cim primjerima uvodimo neke nove pojmove, koji su standardni u teoriji ploha, i dopunjujemo prethodnu teoriju. (1) Neka su V 1 i V 2 otvoreni podskupovi od R3 i f : V 1 V 2 glatka bijekcija V 1 takoder glatka. Tada se f zove difeomorfizam. takva da je f −1 : V 2 Ako je f difeomorfizam onda je det f ′ (x) = 0, x V 1 . Kaˇzemo da f ˇ cuva orijentaciju ako je det f ′ (x) > 0, x V 1 . C ∞ (U ), f : V 1 V 2 difeNeka je M ploha s parametrizacijom r V 1 i M = f (M ) ploha s parametrizacijom r C ∞ (U ), omorfizam, M r(u) = f (r(u)). Tada kaˇzemo da su M i M difeomorfne plohe . Kaˇzemo da su M i M = f (M ) konformne ili konformno ekvivalentne ako je f difeomorfizam i postoji glatka funkcija λ : U R 0 takva da je
→
→
∈
⊂
∈
∈
f ′ (r(u))τ f ′ (r(u)) = λ (u)2 I,
→ ∈
→ \{ } u ∈ U
POGLAVLJE 3.
46
PLOHE
reparametrizacija od M i Q = ϕ(Q) onda je po teoremu o zamjeni varijable Ar (Q) = Ar (Q), ˇsto znaˇci da Ar (Q) ne zavisi od reparametrizacije. Umjesto kompaktnog skupa Q se moˇze uvrstiti i nekompaktni skup, ali takav da integral postoji. (a) Ako je M rotacijska ploha iz 3.28, (6) i Q = [0, 2π ] [a, b] onda je b povrˇsina plohe izmedu dvije paralele dana sa Ar (Q) = 2π a x1 (t) x′ (t) dt. (b) Povrˇsina torusa M je dana sa M = 4π 2 rR (c) Ako je M tubularna ploha krivulje C i M 1 dio plohe M izmedu kruˇznica danih sa u1 = a i u1 = b, a < b, onda je povrˇsina od M 1 dana formulom M 1 = 2πr (b a). (d) Povrˇsina pseudosfere je 4πr 2 i jednaka je povrˇsini sfere polumjera r. 3 (4) Neka je f : R3 R neprekidna funkcija, M ploha s injektivnom parametrizacijom r C ∞ (U ) i Q U kompaktan podskup. (a) Integral W = Q (f (r(u)) ν (u))dσ(u) zovemo tok vektorskog polja f po plohi M iznad Q. f (r(u))dσ (u) (b) Ako je f : R3 R neprekidna funkcija onda se A = Q zove integral funkcije f po plohi M iznad Q. Specijalno, ako je f = 1 onda je A = A r (Q). (c) Zamijetimo da integrali W i A uvijek postoje zbog W m 1 Ar (Q) i A m 2 Ar (Q), gdje je m1 = maxu∈Q f (r(u)) , m2 = maxu∈Q f (r(u)) . (d) Ako je T = r (Q) onda integral A drukˇ cije oznaˇ cavamo sa
×
| |
| |
−
∈
→
⊂
|
→
| |≤
| | ≤ |
|
A = f (r)da(r) ili A = f da T
T
i zovemo ga integral od f po T ⊂ M. Specijalno je A (Q) = da = |T | r
T
povrˇsina skupa T = r (Q) M. Integrali W i A ne zavise od reparametrizacije . (e) Realni broj E r (Q) = Q r1 (u) r2 (u) 2 du se zove energija plohe M iznad Q i za nju vrijedi Ar (Q)2 Q E r (Q), gdje je Q povrˇsina skupa Q. Zamijetimo da energija zavisi od reparametrizacije . Umjesto kompaktnog skupa Q u gornjim formulama se moˇ ze uvrstiti i nekompaktni skup, ali takav da integrali postoje. C ∞ (U ) i (5) Neka je M ploha u R3 s injektivnom parametrizacijom r M = f (M ) ploha u R3 s parametrizacijom r C ∞ (U ), r(u) = f (r(u)), gdje je f difeomorfizam. Tada vrijedi dσ (u) = f ′ (r(u))+ ν (u) dσ (u), a ako je f konformna ekvivalencija onda je dσ (u) = λ(u)2 dσ (u), dok za izometriju vrijedi dσ (u) = dσ (u). Ako je f : R3 R neprekidna funkcija onda je
⊂
× ≤| |
| |
∈
∈
→
′
+
f (r(u))dσ(u) = f (f (r(u)))f (r(u)) Q
Q
za svaki kompaktni skup Q
ν (u)
dσ(u)
⊂ U . Specijalno, za f = 1 dobijemo f (r(u)) (u)dσ(u) A (Q) = r
′
Q
+
ν
POGLAVLJE 3.
47
PLOHE
Ako je f konformna ekvivalencija onda je 2
f (r(u))dσ(u) = f (f (r(u)))λ(u) dσ(u) pa za f = 1 dobijemo A (Q) = λ(u) dσ (u). Q
Q
2
r
Q
Ako je f izometrija onda je Ar (Q) = Ar (Q) tj. izometrija ˇ cuva povrˇ sinu plohe iznad kompakta . Umjesto kompaktnog skupa Q se moˇze uvrstiti i nekompaktni skup, ali takav da integrali postoje. (6) Neka je M ploha u R3 s injektivnom parametrizacijom r C ∞ (U ), Q kompaktan podskup od U, r(Q) = T i
∈
∗
K (T ) = K da = K (u)dσ (u) ∗
T
Q
∗ R, K (r(u)) = K (u). Tada se K ∗ (T ) zove totalna gdje je K ∗ : M zakrivljenost od T M. Ona ne zavisi od reparametrizacije . (a) Ako tri toˇ cke na plohi spojimo geodetskim krivuljama onda omedeni dio plohe zovemo geodetski trokut na M. Ako su α, β i γ kutovi u vrhovima trokuta T onda je K ∗ (T ) = α + β + γ π. (b) Ako je Gaussova zakrivljenost od M konstantna, onda dobijemo K ∗ (T ) = K T = α + β + γ π, gdje je T povrˇsina od T . (c) Ako je M ravnina onda je K = 0 pa je α + β + γ = π tj. suma kutova u geodetskom trokutu je jednaka π. Geodetski trokut je u ovom sluˇcaju obiˇcni trokut. (d) Ako je M sfera polumjera r onda je K = 1/r2 pa za povrˇsinu geodetskog trokuta dobijemo T = r 2 (α + β + γ π), iz ˇcega slijedi α + β + γ > π tj. suma kutova u geodetskom trokutu na sferi je ve´ca od π. (e) Ako je M hiperboliˇcka ravnina onda je K = 1/r2 pa dobijemo T = r 2 (π α β γ ), iz ˇcega slijedi α + β + γ < π tj. suma kutova u geodetskom trokutu u hiperboliˇckoj ravnini je manja od π. 3 (f) Ako je M sfera sa srediˇstem u a R , polumjera r > 0, onda je K ∗ (M ) = 4π. Dakle, ona ne zavisi od srediˇ sta niti od polumjera . (g) Ako je M torus onda je K ∗ (M ) = 0. (7) Ako tri toˇcke na plohi M spojimo glatkim krivuljama, koje se ne sijeku, onda omedeni dio plohe zovemo trokut na M. Rub trokuta T oznaˇcavamo sa ∂T i smatramo da je pozitivno orijentiran. Ako su α, β i γ kutovi u vrhovima trokuta T onda je
→ ⊂
−
| |
−
| |
| |
| |
−
−
− − −
∈
K ∗ (T ) + κ ∗ (∂T ) = α + β + γ
−π
gdje je κ ∗ (∂T ) totalna geodetska zakrivljenost ruba trokuta T. Ako je T geodetski trokut onda je κ ∗ (∂T ) = 0, budu´ci da je tada κ g = 0.
POGLAVLJE 3.
48
PLOHE
(a) Umjesto trokuta T na plohi moˇzemo razmatrati ˇ cetrverokut T 4 , tako ˇsto uzmemo ˇcetiri toˇcke na M, u op´cem poloˇzaju, i spojimo ih glatkim krivuljama koje se ne sijeku. Rub od T 4 oznaˇcavamo sa ∂T 4 . Zamijetimo da se T 4 sastoji od dva trokuta pa iz formule za trokut dobijemo K ∗ (T 4 ) + κ ∗ (∂T 4 ) = α 1 + α2 + α3 + α4
− 2π
gdje su α i , i = 1, 2, 3, 4, kutovi u vrhovima ˇcetverokuta. Ako je T 4 geodetski ˇ cetverokut tj. ako su njegove stranice geodetske krivulje, onda je κ ∗ (∂T 4 ) = 0, kao i u sluˇcaju geodetskog trokuta. (b) Ako je T n n-terokut na M, pri ˇcemu je n 3, onda dijeljenjem n-terokta na trokute dobijemo formulu
≥
K ∗ (T n ) + κ ∗ (∂T n ) = α 1 +
··· + α − (n − 2)π n
gdje su α i, i = 1, . . . , n , kutovi u vrhovima n -terokuta. Ako je T n geodetski n-terokut onda je κ ∗ (∂T n ) = 0. Ova tvrdnja se zove Gauss-Bonnetov teorem. (8) Kaˇzemo da je M zatvorena ploha ako se R3 M sastoji od jedne neograniˇcene komponente te jedne ili viˇse ograniˇcenih komponenti . Kaˇzemo da je M jednostavna zatvorena ploha ako postoji difeomorfizam f od R3 takav da je M = f (S 2 ), gdje je S 2 jediniˇcna sfera od R3 . U ovom sluˇcaju je f (R3 (D3 S 2 )) neograniˇcena komponenta od R3 M, a f (D3 ) je jedina ograniˇcena komponenta od R3 M i zovemo je unutraˇsnja komponenta od M, gdje je D3 = x R3 ; x < 1 jediniˇ cni disk od R3 . Neka je M jednostavna zatvorena ploha u R3 s unutraˇsnjom komponentom V i parametrizacijom r C ∞ (U ), takvom da je r injektivna i pokrije cijeli M osim eventualno neke krivulje na M, pri ˇcemu je ν vanjska norma3 R derivabilna funkcija. Tada vrijedi la na M. Nadalje, neka je f : R3 Gaussova formula
\
\
∪
{ ∈ ∈
\
\
}
→
div f (x)dx = (f (r(u))| (u))dσ(u) V
ν
U
Ova tvrdnja se takoder zove teorem o divergenciji. Za parametrizaciju od M moˇzemo uzeti f (r(u)), gdje je r neka parametrizacija od S 2 iz 3.1, (4). (a) Ako u Gaussovoj formuli stavimo f (x) = x onda je div f = 3 pa je volumen V unutraˇsnje komponente V dan sa 3 V = U (r(u) ν (u))dσ(u). (b) Specijalno, ako je M = S 2 onda je U dσ (u) = 3 D3 = S 2 = 4π. (9) Neka je M ploha u R3 s parametrizacijom r C ∞ (U ) i C jednostavna zatvorena krivulja na M s parametrizacijom x C ∞ (I ), I = [a, b]. Oznaˇcimo sa N dio plohe omeden sa C , pri ˇcemu je N = r(Q) i r injektivan na Q. Smatramo da je C orijentirana tako da obilazimo N jedanput u pozitivnom
| |
∈
| | ∈
|
| | | |
POGLAVLJE 3.
49
PLOHE
3 smjeru. Ako je f : R3 R , f (x) = (f 1 (x),f 2 (x),f 3 (x)), derivabilna funkcija onda vrijedi Stokesova formula
→
b a
′
(rot f (r(u))| (u))dσ(u) = (f (x(t))|x (t))dt ν
Q
Ako je M = R2 onda je r(u) = u , dσ (u) = du, ν (u) = e3 , za svaki u, i vrijedi (rot f (u) e3 ) = ∂ 1 f 2 (u) ∂ 2 f 1 (u) pa dobijemo Greenovu formulu. Dakle, Greenova formula je specijalni sluˇcaj Stokesove formule. (10) (Implicitno zadane plohe ) Neka je ploha M = f −1 (0) u R3 zadana implicitnom jednadˇzbom f (x) = 0, gdje je f : R3 R glatka funkcija takva da je f ′(x) = 0, za svaki x M. Definiramo funkcije K ∗ , H ∗ : M R,
|
−
→
∈
(f ′′ (x)+ f ′ (x) f ′ (x)) ∗ K (x) = , H (x) = f ′ (x) 4
|
∗
→
∆f (x) (f ′′ (x)f ′ (x) f ′ (x)) + 2 f ′ (x) 2 f ′ (x) 3
−
|
C ∞ (U ) parametrizacija od M onda za Gaussovu i srednju Ako je r zakrivljenost od M vrijedi K (u) = K ∗ (r(u)) i H (u) = H ∗ (r(u)). Ako umjesto f stavimo f onda dobijemo istu plohu M , K ∗ ostaje ista, ali H ∗ promijeni predznak. Ova promjena je ekvivalentna promjeni predznaka normale na plohu tj. promjeni orijentacije plohe. Zamijetimo da je brojnik od K ∗ (x) dan 4 4 determinantom
∈
−
×
f (x) (f (x) f (x)|f (x)) = − f (x)
f (x) 0
f : R3
|
+ ′
′′
′′
′
′
′
(11) Neka je A L (R3 ), A = 0, simetriˇcan operator, a
∈
→ R,
τ
3
∈ R , α ∈ R, i
f (x) = (Ax x) + 2(a x) + α
|
Tada je M = f −1 (0) kvadrika, f ′ (x) = 2Ax + 2a, f ′′ (x) = 2A i (A+ a a) α det A ∗ K (x) = , H (x) = Ax + a 4 ∗
| −
− 2AtrxA+ a + (A(A2xA+xa+)|Aax + a) 3
Dakle, M je nedegenerirana kvadrika ako i samo ako je Gaussova zakrivljenost od M razliˇ cita od nule . Zamijetimo da K ∗ ne mijenja predznak . Ako je M sfera onda je f (x) = (x x) 2(a x) + (a a) r 2 pa je K ∗ (x) = 1/r2 i H ∗ (x) = 1/r, za svaki x M. R glatka funkcija onda je njezin graf M = G(f ) dan (12) Ako je f : R2 implicitnom jednadˇzbom x3 f (x1 , x2 ) = 0 pa po (10) dobijemo
−
→
∈ −
| − |
| −
det f ′′ (x) ∆f (x) K (x) = , H ( ) = x (1 + f ′ (x) 2 )2 2(1 + f ′ (x) 2 )1/2
−
(f ′′ (x)f ′ (x) f ′ (x)) 2(1 + f ′ (x) 2 )3/2
|
POGLAVLJE 3.
50
PLOHE
za svaki x R2 . Usporediti ove formule sa 3.28, (3). (a) Ako je f ′ (x) = 0 onda je K (x) = det f ′′ (x) i H (x) = 12 ∆f (x). (b) Ako je f (x) = 12 (x x) onda se G(f ) zove eliptiˇcki paraboloid i za njega vrijedi K (x) = (1 + (x x))−2 , H (x) = (1 + f (x))/(1 + (x x))3/2 . Totalna zakrivljenost eliptiˇckog paraboloida je 2π. (c) Ako je f (x) = 12 (x21 x22 ) onda se G(f ) zove hiperboliˇcki paraboloid . Za njega vrijedi K (x) = (1 + (x x))−2 , H (x) = f (x)/(1 + (x x))3/2 . Njegova totalna zakrivljenost je 2π. (13) (Teorem o paralelnoj plohi) Neka je M ploha u R3 s parametriC ∞ (U ) i M ploha s parametrizacijom r C ∞ (U ), gdje je zacijom r R. Tada kaˇ zemo da je M paralelna r(u) = r(u) + aν (u), za neki a sa M na udaljenosti a. Ako je θ = 1 2aH + a2K onda za dovoljno male a, takve da je θ > 0, vrijede sljede´ce tvrdnje (a) r1 r2 = θ r1 r2 , ν = ν , dσ = θdσ (b) Gu = G u 2aBu + a2 C u = (1 a2 K )Gu + 2a(aH 1)Bu (c) B u = B u aC u = aK Gu + (1 2aH )Bu (d) S u = (S u aKI )/θ, C u = C u , D u = D u (e) det Gu = θ 2 det Gu , det B u = K θ det Gu (f) k 1 = (k1 aK )/θ, k 2 = (k2 aK )/θ (g) K = K/θ, H = (H aK )/θ (h) Ako je H/K = const i a = H/K onda je M minimalna ploha. (i) Ako je H = const = 0 i a = 12 H −1 onda je K = 4H 2 = const (j) Ako je K = const > 0 i a = K −1/2 onda je H = 12 K 1/2 = const (14) Neka je M ploha s parametrizacijom r C ∞ (U ). (a) bu (x) + bu (y) = 2H (u), za gu (x) = g u (y) = 1, gu (x, y) = 0 (b) Ako je r konformna onda je r11 + r22 = 2HE ν Naime, deriviraju´ci relacije (r1 r2) = 0, (r1 r1 ) = (r2 r2 ) parcijalno po u1 i u2 dobijemo da je r11 + r22 okomit na r1 i r2 pa je proporcionalan sa ν . (c) Konformna parametrizacija je harmonijska ako i samo ako je H = 0. (d) Neka je x R2 i θ kut izmedu tangencijalnih vektora r ′ (u)x i r ′ (u)x1 . π 2π 1 Tada vrijedi formula H (u) = π1 0 κ u (x)dθ = 2π κ u (x)dθ, a dobije se 0 integriranjem Eulerove formule od κ u (x). (15) Neka je M ploha u R3 . Tada vrijedi Baltzerova formula
∈
|
|
|
− −
|
∈
−
−
×
− − − −
|
∈
∈
×
−
− −
−
−
−
−
∈
|
|
∈
|
K = 14 (d1
2 2
− d )/(EG − F ) 2
pri ˇcemu su d1 i d2 dani sljede´cim determinantama
4F d =
12
1
− 2G − 2E 2F − G 11
2
G2
22
1
E 1 E F
2F − E , F G 1
2
0 d = E G 2
2 1
E 2 E F
G F G 1
