UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD UNAD Escuela de Ciencias Básicas, Tecnología e Ingeniería Ingeniería
CURSO: SISTEMAS DINAMICOS
ETAPA 1 ETAPA 1. MODELAR UN SISTEMA DINAMICO EN FUNCION DEL TIEMPO
Elaborado por: LUIS ALBERTO GOMEZ PASION Código 1143224497
Presentado a: ADRIANA DEL PILAR NOGUERA
GRUPO: 243005_1
BARRANQUILLA, SEPTIEMBRE 24 DE 2017
Actividades a desarrollar Examinar la bibliografía de la unidad 1, de manera que encuentre información que contribuya al desarrollo de la actividad colaborativa según el caso de estudio.
Es recomendable realizar síntesis de información en la forma de tablas, resúmenes, mapas. Igualmente responder las preguntas que se encuentran en el módulo. Cualquier inquietud por favor comunicarla al tutor encargado atendiendo sus horarios sincrónicos y asincrónicos disponible en el foro/Agenda de acompañamiento docente
DESCRIPCIÓN DEL PROBLEMA: La compañía donde usted trabaja ha realizado la adquisición de un nuevo equipo industrial que permitirá incrementar los niveles de producción de la empresa. Con el fin de prevenir fallas y proteger la alta inversión realizada, el presidente de la compañía ha ordenado la creación de un sistema de monitoreo que permita supervisar el buen funcionamiento de la máquina y diagnosticar la existencia de alguna falla. Para el diseño del sistema de monitoreo y diagnóstico de fallas se requiere conocer de forma precis a el modelo matemático del equipo industrial; de esta manera se dice que la máquina está funcionando correctamente si la salida real es similar a la salida de su modelo matemático; en caso contrario es posible que la máquina esté presentando fallas. A continuación se presenta un diagrama simplificado del nuevo equipo industrial, en el cual se tiene como variable de entrada la corriente aplicada y como variable de salida el voltaje en el condensador
()=():
()
El condensador posee una capacitancia =3 F (Faradio). La resistencia es no lineal por lo
que su corriente ( ) depende de la raíz cuadrada del voltaje, esto es:
() = 0()
, donde
=0.4 √VA ⁄ (√Voltios/Amperios ). Usted y sus compañeros de grupo son designados para encontrar el modelo matemático más preciso posible. Para encontrarlo se ha dividido el problema en cuatro etapas:
En la E tapa 1 se deberá encontrar el modelo matemático en el dominio del tiempo y analizar la controlabilidad y la observabilidad del proceso. En la Etapa 1 se deberá encontrar el modelo matemático en el dominio del tiempo y analizar la controlabilidad y la observabilidad del proceso. Se deben realizar 5 tareas teóricas y 1 tarea práctica.
Teóricas:
1. Exprese el modelo matemático del sistema no lineal mediante una ecuación diferencial. 2. Exprese el modelo matemático del sistema no lineal en el espacio de estados mediante variables de estados. 3. Cuando la entrada del sistema es constante , el sistema se estabiliza en un punto de operación . Exprese el modelo matemático linealizado mediante una ecuación diferencial. 4. Exprese el modelo matemático linealizado en el espacio de estados mediante variables de estados. 5. Determine la controlabilidad y la observabilidad del sistema l ineal.
()= = 10 ()= = 1
Prácticas: Utilice MATLAB® para simular el sistema no lineal y grafique la salida del sistema cuando se aplica una entrada constante , durante los primeros 2 segundos y en ese momento se aplica una entrada escalón unitario, esto es, la corriente de entrada cambia de 10 A a 11 A durante 3 segundos más. De manera que la simulación dura 5 segundos.
()= = 10
DESARROLLO Etapa 1. Palabras desconocidas
Controlabilidad: Considere el sistema LTI representado por la ecuación de estados de
˙() = () + (); () = () + ( (1) (; ) (0) = 0 (1) (; )
∈ × ∈ ×
estados, entradas donde controlabilidad solo relaciona entradas y estados, así la ecuación de salida ) es irrelevante.
. La
La ecuación de estado o el par se dice controlable si para todo estado inicial y todo estado final x1, hay una entrada que transfiere a en tiempo finito. En otro caso, se dice no controlable
0 1
Esta definición solo requiere que la entrada sea capaz de llevar el estado a cualquier lugar en el espacio de estados en tiempo finito sin importar qué trayectoria siga el estado.
Linealizado: la linealización es un método para estudiar la estabilidad local de un punto de equilibrio de un sistema de ecuaciones diferenciales no lineales. Este método se utiliza en campos tales como la ingeniería, la física, la economía, y la biología.
Observabilidad: es una propiedad importante de un sistema de control, y gobierna la existencia de una solución de control óptimo. Es una medición que determina cómo los estados internos pueden ser inferidos a través de las salidas externas. La Controlabilidad y la Observabilidad de un sistema son aspectos duales de un mismo problema, estos criterios son utilizados para determinar de antemano la existencia de una solución de diseño según los parámetros y objetivos del diseño. Formalmente, se dice que un sistema es observable si, mediante cualquier secuencia de los vectores de estado y de control, el estado actual puede determinarse en un tiempo
finito usando solamente las salidas (esta definición está orientada hacia la representación de espacios de estados). De manera menos formal, esto significa que a partir de las salidas de un sistema es posible conocer el comportamiento de todo el sistema. Cuando un sistema no es observable, quiere decir que los valo res actuales de algunos de sus estados no pueden ser determinados mediante sensores de salida: esto implica que su valor es desconocido para el controlador y, consecuentemente, no será capaz de satisfacer las especificaciones de control referidas a estas salidas.
Resistencia lineal: Estos componentes de dos terminales representan un valor nominal de resistencia constante (determinado por el fabricante), y un comportamiento lineal.
Resistencia no lineal: Las resistencias no lineales son componentes que su valor varía en función de una magnitud externa (temperatura, luminosidad, etc…).
Resistencia: Se le denomina resistencia eléctrica a la oposición al flujo de electrones al moverse a través de un conductor. La unidad de res istencia en el Sistema Internacional es el ohmio, que se representa con la letra griega omega (Ω), en honor al físico alemán Georg Simon Ohm, quien descubrió el principio que ahora lleva su nombre. Para un conductor de tipo cable.
Condensador: Un condensador eléctrico (también conocido frecuentemente con el anglicismo capacitor , proveniente del nombre equivalente en inglés) es un dispositivo pasivo, utilizado en electricidad y electrónica, capaz de almacenar energía sustentando un campo eléctrico.
Corriente: La corriente eléctrica es el flujo de carga eléctrica que recorre un material.1 Se debe al movimiento de las cargas (normalmente electrones) en el interior del mismo. Al caudal de corriente (cantidad de carga por unidad de tiempo) se lo denomina intensidad de corriente eléctrica. En el Sistema Internacional de Unidades se expresa en C/s (culombios sobre segundo), unidad que se denomina amperio (A).
Voltaje: La tensión eléctrica o diferencia de potencial (también denominada voltaje) es una magnitud física que cuantifica la diferencia de potencial eléctrico entre dos puntos .
Circuito paralelo: El circuito paralelo es una conexión de dispositivos (generadores, resistencias, condensadores, bobinas, etc.) en la que los bornes o terminales de entrada de todos los dispositivos conectados coinciden entre sí, al igual que sus terminales de salida.
Circuito RC paralelo: En un circuito RC paralelo en AC, el valor del voltaje es el mismo en el condensador y en la resistencia. La corriente (corriente alterna) que la fuente entrega al circuito se divide entre la resistencia y el condensador. (It = Ir + Ic).
Ley de ohm: postulada por el físico y matemático alemán Georg Simon Ohm, es una ley de la electricidad. Establece que la diferencia de potencial que aparece entre los extremos de un conductor determinado es proporcional a la intensidad de la corriente que circula
por el citado conductor. Ohm completó la ley introduciendo la noción de resistencia eléctrica ; que es el factor de proporcionalidad que aparece en la relación entre.
=∗ Ley de Kirchhoff: Esta ley también es llamada ley de nodos o primera ley de Kirchhoff y es común que se use la sigla LCK para referirse a esta ley. La ley de corrientes de Kirchhoff nos dice que: En cualquier nodo, la suma de las corrientes que entran en ese nodo es igual a la suma de las corrientes que salen. De forma equivalente, la suma de todas las corrientes que pasan por el nodo es igual a cero
ETAPA 2. Datos conocidos:
= 0.4 √⁄ (√/ ). = 3 (). () = 0() ()=() 1. Exprese el modelo matemático del sistema no lineal mediante una ecuación diferencial.
Reemplazando:
=+
() = () + ∗ () Multiplicamos por R toda la ecuación
()∗ =∗ () +∗∗ () → ()∗= ()+ ∗∗ () Ahora dividimos por CR toda la ecuación
1 ∗()∗ = 1 ∗ ()+ ∗∗ () ∗ 1 → () = () + ()
Teniendo en cuenta que la función que se quiere obtener se encuentra en un radical, se busca la manera de eliminar el radical del numerador
() = ()/ = ()−/ = ()()/ = ()() Al reemplazar este término en nuestra ecuación tenemos que
() = () + () () Resolvemos la derivada de () () = () → () = ,() Reemplazamos los valores de R y tendremos la ecuación diferencial
() = () + ,() 0.4∗ () 2. Exprese el modelo matemático del sistema no lineal en el espacio de estados mediante variables de estados.
̇ =+ = ()() = ̇1() ()==() 1()
() = () +′() () ̇()= 1 0() ()+ 1 () ̇() = 0.4∗31 0() () + 13 () →
Ecuación de estado
̇() = 1.2 1 0() ()+ 0.33 () = ()
Representación matricial de la ecuación de estado
[ ̇] = 1.2 1 0() 0 + 0.33() ()= = 10 ()= = 1 .
3. Cuando la entrada del sistema es constante , el sistema se estabiliza en un punto de operación Exprese el modelo matemático linealizado mediante una ecuación diferencial.
() = 1 ()+′() () 10 = 1 ()+′() 3 1.2 √ 1 3.33 = 0.83 +() → () =2.5 4. Exprese el modelo matemático linealizado en el espacio de estados mediante variables de estados.
̇ =+ = ()() = 1() ̇1() ()==()
() = () +′() () ̇()= 1 0() ()+ 1 () ̇() = 0.4∗31 0() ()+ 13 () →
Ecuación de estado
̇() = 1.2 1 0() ()+ 0.33 ()
5. Determine la Controlabilidad y la Observabilidad del sistema lineal. A=-0.83 B=0.33 C=1 D=0 El sistema no es controlable pues el resultado es 0.3300
El sistema si es observable pues el resultado es 1
K=0.83 Ii=10 If=11
Simulación Matlab diagrama de bloques Imagen 1.
Grafica diagrama de bloque entrada y salida Imagen 2.
Diagrama de bloque verificación entrada, integrador y salida. Imagen 3.
Grafica verificación entrada, integrador y salida. Imagen 4.
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CIRCUITO RC PARALELO EN AC (CORRIENTE ALTERNA) - ELECTRÓNICA UNICROM: Electrónica Unicrom. (2017). Circuito RC paralelo en AC (corriente alterna) Electrónica Unicrom. [web] Recuperado de: http://unicrom.com/circuito-rc-paralelo-en-ac/ [Accedido 25 Septiembre 2017].
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