MEDINA SALTOS PAMELA YAGUAL ISAMAR GUAMANQUISPE MENDOZA SANTIAGO SANCHEZ JIMENEZ LUIS SALTOS MORENO JAILER ZARI MEJIA BYRON
LECCION 2 PROCEDIMIENTOS PARA LA SOLUCION DE PROBLEMAS INTRODUCCION: ¿Qué estudiamos en la lección anterior? Estudiamos lo que es un problema y sus características. características.
¿Qué características debe tener un problema? Debe tener información y una pregunta.
¿De qué manera se expresa la información en un problema? Se lo expresa a través de datos, llamados variables.
¿En qué se diferencian un problema estructurado de uno no estructurado? En que, en el estructurado posee información para la solución del problema, a diferencia de los no estructurados que carecen de información y las personas deberán buscar y agregar la información que falta.
¿Qué tipos de variables nos encontramos en el enunciado de un problema? Variables cualitativas para establecer relaciones y las variables cuantitativas para establecer secuencias u orden.
PRESENTACION DEL PROCESO CONSIDEREMOS EL SIGUIENTE EJERCICIO: Ejercicio 1: Miguel necesitaba ropa y fue al centro comercial, para lo cual saco cierta cantidad de dinero de su alcancía. Vio unos bonitos pantalones, y gasto el 50% de lo que llevaba para adquirirlos, luego compró una camisa que le costó 300 UM. Si al final le quedaron 200 UM que gastó para invitar a unos amigos a comer. ¿Cuánto dinero saco de su alcancía? Lo primero que debemos hacer es leer todo el enunciado. Nos preguntamos: ¿Tiene información?
Sí
¿Tiene una interrogante que debemos responder?
Sí
Ya que ambas respuestas son afirmativas, podemos concluir que es un problema ¿De qué trata el problema? De una persona que va de compras con cierta cantidad de dinero; le sobra algo y lo consume en comida.
El segundo paso para continuar la resolución del problema es preguntándonos: ¿Qué datos aporta el enunciado? ¿Cuáles son las variables y características? características?
Variable:
Cantidad de dinero inicial
Variable:
Primera compra
Variable:
Costo de la primera compra
Características: Características:
Variable:
Segunda compra
Características: Características:
Variable:
Costo de la segunda compra
Características: Características:
300 UM
Variable:
Dinero después de las compras Características: Características:
200 UM
Variable:
Destino del remanente
Características: Características: Características: Características:
Desconocida Pantalón 50% del dinero inicial Camisa
Características: Características: Pagar investigación para comer
Muy bien. Hemos extraído todos los datos expresados en el problema. En tercer lugar debemos analizar analizar las relaciones que podemos plantear plantear las operaciones que podemos realizar. Esto es pensar en una estrategia para resolver el problema. ¿Qué relación podemos establecer entre el costo del pantalón y el d inero inicial? A partir de la tercera variable de la lista podemos decir: 1. “El pantalón le costó la mitad del dinero inicial (50%) o lo que es lo mismo, que el dinero inicial es el doble del costo del pantalón.”
Otra relación que podemos establecer es: 2. “Después de comprar el pantalón le quedó una cantidad de dinero igual a la mitad del dinero inicial.”
Una tercera relación a partir de la quinta y sexta variable seria: 3. “Con el dinero sobrante después de comprar el pantalón se compró una camisa de 300 UM y le queda ron 200 UM que gasto en la comida.” Estas relaciones las podemos visualizar de la siguiente manera: Dinero inicial = ?
50%
300 UM
200 UM
El cuarto paso es usar las relaciones relaciones y operaciones planteadas (usar la estrategia de solución que hemos planteado) para resolver el problema. Veamos cómo queda esto: De la segunda y tercera relación podemos sacar que:
La mitad del dinero inicial es igual a la suma de 300 UM y 200 UM, que son 500 UM
Luego, con la primera o segunda relación podemos plantear la siguiente operación:
La cantidad de dinero inicial es el doble de la cantidad que quedo después de comprar el pantalón, la cual es de 500 UM. Por lo tanto, la cantidad de dinero inicial es de 1.000 UM.
El quinto paso es formular la respuesta:
La cantidad de dinero que sacó de la alcancía fue de 1.000 UM.
El sexto y último, paso del procedimiento es verificar si todo e stá correcto. Muy bien. Lo que acabamos de ver ve r es un procedimiento o estrategia que podemos aplicar para resolver cualquier problema. El procedimiento esta listado a continuación. Verifica si esos fueron los pasos que seguimos en la resolución del problema anterior.
PROCEDIMIENTO PARA RESOLVER UN PROBLEMA 1. Lee cuidados cuidadosame amente nte todo todo el proble problema. ma. 2. Lee parte parte por parte del proble problema ma y saca saca todos todos los datos datos del del enunciado. enunciado. 3. Plantea las las relaciones relaciones,, operaciones operaciones y estrate estrategias gias de solución solución que que puedas puedas a partir de de los datos y de la interrogante. 4. Aplica Aplica la estra estrateg tegia ia de solu solución ción del del proble problema. ma. 5. Formula Formula la resp respue uesta sta del proble problema. ma. 6. Verifica Verifica el proces proceso o y el produc producto. to.
¿Crees que es importante tener un procedimiento para la solución de cualquier problema? ¿Por qué? Sí, porque así analizamos el problema parte por parte para poder dar una correcta solución.
¿Qué beneficio crees que tiene aplicar este procedimiento?
Puedo comprender el problema y así determinar la solución o la respuesta que se nos pide.
PRÁCTICA DEL PROCESO PRÁCTICA 1: Luisa gastó 500 UM en libros y 100 UM en cuadernos. Si tenía disponibles 800 UM para gastos de materiales educativos, ¿Cuánto dinero le queda para el resto de los útiles escolares?
1) Lee todo el problema. ¿De qué trata el problema? De los gastos que hizo Luisa
2) Lee parte por parte el problema y saca todos los datos del enunciado. Dinero disponible
800 UM
Gastos en libros
500 UM
Gastos en cuadernos
100 UM
3) Plantea las relaciones, operaciones y estrategias de solución que puedas a partir de los datos y de la interrogante i nterrogante del problema.
Los gastos iban a ser para la compra de materiales m ateriales educativos.
Sumar los gastos que hizo en libros y los gastos que hizo en cuadernos.
Restar el dinero disponible con el resultado de la operación anterior.
4) Aplica la estrategia de solución del problema. 500
Gastos en libros
100
Gastos en cuadernos
600
Resultado de gastos
800
Dinero disponible inicial
600
Gastos
200
Dinero disponible
5) Formula la respuesta del problema.
El dinero disponible que le queda a Luisa para el resto de útiles escolares es de 200 UM.
6) ¿Cuál es el paso final de todos los procedimientos? procedimientos? Verificar el procedimiento y el producto, ¿Seguiste todos los pasos en el orden del procedimiento? ¿Verificaste si los datos eran los correctos o que no confundiste o intercambiaste algún número? ¿Las operaciones matemáticas están correctas?
Luego de verificar las operaciones, determino que están correctamente realizadas.
Práctica 2: María compró 50 libros y pagó 100 UM por cada uno. La editorial le hizo una rebaja de un 20% sobre el precio de lista de cada libro. Se pregunta: ¿Cuánto es el precio lista? ¿Cuánto pagó María por los 50 libros? ¿Cuánto gana el vendedor si logra colocar todos los libros al precio de lista?
1) Lee todo el problema. ¿De qué se trata el problema? María compra libros y le hacen un descuento sobre el precio lista de cada libro
2) Lee parte por parte el problema y saca todos los datos del enunciado. Numero de libros que María compró
50
Cantidad de dinero que pago por cada libro
100
Descuento realizado por la editorial
20% precio lista
Precio lista
Desconocido
3) Plantea las relaciones, operaciones y estrategias de solución que puedas a partir de los datos y de la interrogante del problema.
María compro los 50 libros a 100 UM cada uno
La editorial aplica un descuento del 20% al precio lista
El precio lista se desconoce.
4) Aplica la estrategia de la solución del problema.
PL – D = 100
Pago total = 50 *100
1PL – 0.20PL = 100
Pago total = 5.000 Um
PL (1-0.20) = 100 PL (0.80) = 100 PL = 100 / 0.80 PL = 125 G = 125* 50 G = 6.250
5) Formula la respuesta del problema. El precio lista es de 125 Um María pago por los 50 libros 5.000 Um El vendedor ganaría 6.250 Um si logra vender todos los libros a precio lista.
6) Verifica el procedimiento y el producto. ¿Qué hacemos para verificar el producto? Comprobar y revisar las operaciones realizadas.
Práctica 3: María, Luis y Ana son hijos de Lucia y José. José al morir deja una herencia que alcanza a 400 mil Um, la cual debe repartirse de acuerdo a sus deseos como sigue: el dinero se divide en dos partes, ½ para la madre y el resto para repartirse en partes iguales entre los tres hijos y la madre. ¿Qué cantidad de dinero recibirá cada persona?
1) Lee todo el problema. ¿De qué se trata el problema? Herencia de un padre que deja a su familia.
2) Lee por parte el problema y saca todo los datos del enunciado.
Valor de Herencia
400 mil UM
Número de Familiares
4 personas
Cantidad de dinero a recibir por cada familiar
Desconocido
3) Plantea las relaciones, operaciones y estrategias de solución que puedas a partir de los datos y de la interrogante i nterrogante del problema.
El total de la herencia es 400 mil UM
La madre recibirá la mitad del total de la herencia
HERENCIA
La otra mitad se divide en partes iguales para la madre y los tres hijos. LUCIA
¿Podría representar el reparto del dinero de la herencia en el gráfico que se da a la derecha?
ANA MARÍA
LUCIA
LUIS
4) Aplica la estrategia de solución del problema. Herencia = 400 / 2 Lucia = 200 Otra mitad = 200 / 4 Dinero para cada persona = 50
5) Formula la respuesta del problema. La cantidad de dinero que recibirá cada persona es: Lucía
250 mil UM
María
50 mil UM
Ana
50 mil UM
Luis
50 mil UM
6) Verifica el procedimiento y el producto. ¿Qué hacemos para verificar el resultado?
Verificamos las operaciones y sumamos las cantidades para que el resultado sea el total de la herencia
Practica 4: María, Luis y Ana son hijos de Lucia y José. José al morir deja una herencia que alcanza a 400mil Um, la cual debe repartirse de acuerdo a sus deseos como sigue: el dinero se divide en dos partes, ½ para la madre y el resto para repartirse entre los tres hijos y la madre, con la condición que la hija menor, María, reciba el doble que los demás en esta parte. ¿Qué c antidad de
1) Lee todo el problema. ¿De qué trata el problema? De la herencia que le deja un padre a sus hijos.
¿En qué se diferencia este problema del anterior? En que esta vez María recibe el doble de dinero que lo que recibió anteriormente.
Si. Ahora uno de los hijos, María va a recibir el doble de lo que van a recibir sus dos hermanos y su madre de la parte que es para repartir (la otra mitad es completa de la madre).
2) Lee parte por parte el problema y saca todos los datos del enunciado. Número de hijos= 3 Herencia= 400.000 Um En cuantas partes se reparte= 2 partes
3) Plantea las relaciones, operaciones y estrategias de solución que puedas a partir de los datos y de la interrogante i nterrogante del problema. Trata de usar una representación gráfica como la usada en el problema anterior.
José y Lucia tienen 3 hijos
José muere y como herencia deja 400.000mil Um
La herencia debe dividirse en 2 partes
La primera parte es la mitad de los 400.000mil Um para la madre(esposa)
La segunda parte está dividida para sus hijos
Existe una condición en la cual María recibe el doble que los demás
4) Aplica la estrategia de solución del problema. Lucia=0.5 (400.000)=200.000+x=200.000 + 40.000=240.000 María= 40.000 + 40.000 = 80.000 Luis= 40.000 Ana= 40.000
5) Formula la respuesta del problema. A María le tocó 80.000mil Um A Luis y Ana les tocó 40.000mil Um A lucia le toco 240.000mil Um
6) Verifica el procedimiento y el producto. ¿Qué hacemos para verificar el resultado? Se hizo sumatorias de todas las respuestas hasta lograr un todo tomando en cuenta las condiciones presentadas
REFLEXIÓN En esta lección aprendimos que la solución de los problemas debe hacerse siguiendo un procedimiento, sin importar el tipo o naturaleza del problema. Ahora, la clave para resolver el problema está en el paso tres donde debemos plantear relaciones, operaciones y estrategias para tratar de responder lo que se nos pregunta. En las próximas unidades vamos a conocer varios tipos de problemas, y vamos a practicar ese planteamiento de relaciones, operaciones y estrategias concretas para c ada tipo de problemas.
Cierre ¿Qué aprendimos en esta lección? Aprendimos que todo problema se debe resolver siguiendo un procedimiento.
¿Cuál es el objetivo que se persigue al resolver un problema? Plantear relaciones y soluciones para responder lo que se pregunta.
¿Cuáles son los pasos del procedimiento para resolver un problema? 1.- Lee cuidadosamente el problema. 2.- Lee parte por parte el problema y saca todos los datos. 3.- Plantea las relaciones, operaciones y estrategias de solución que puedas a partir de los datos y de las interrogantes del problema.
4.- Aplica la estrategia de soluciones del problema. 5.- Formula la respuesta del problema. 6.- Verifica el proceso y el producto. ¿Crees que son importantes todos los pasos? ¿Por qué? Si. Porque llevando a cabo estos pasos se puede lograr resolver problemas planteados.
¿Qué crees que pueda ocurrir si olvidamos u omitimos algún paso del procedimiento? El resultado puede no ser el correcto
¿Cómo será más fácil resolver un problema, comenzando a escribir fórmulas de manera entusiasta o siguiendo el procedimiento? ¿Por qué? Definitivamente siguiendo el procedimiento porque si nos equivocamos en algo tendremos todo en orden para así poder revisar detenidamente en que nos equivocamos
LECCION 8 – PROBLEMAS DE SIMULACION CONCRETA Y ABSTRACTA Presentación del Proceso Hasta ahora el tiempo no había jugado ningún papel en todos los problemas que hemos estudiado; a este tipo de evento o situación se les denomina estática. Ahora vamos a encontrarnos con situaciones que cambian en el tiempo, las cuales llamaremos dinámicas. Para entender mejor un fenómeno cambiante podemos ubicarnos en un plano real, y podemos reproducir de manera directa el evento o situación. Esto se denomina simulación concreta. Ahora, también podemos apelar a nuestra memoria, a diagramas y a representaciones simbólicas del fenómeno estudiado; esta segunda alternativa generalmente requiere de un esfuerzo menor y da lugar a lo que llamamos una simulación abstracta. Veamos un ejercicio para ilustrar este tipo de situación.
Ejercicio 1. La casa de Pedro está ubicada en una calle que tiene dirección norte-sur y tiene 10 m de ancho la calle. Pedro sale de su casa y camina 30 metros al norte, dobla a la derecha y camina 40m, dobla de nuevo a la derecha y camina 10 metros; metros; una vez más dobla a derecha y camina 30 metros. Finalmente, dobla dobla a la izquierda y camina 20 metro. ¿Dónde se encuentra Pedro?
Tenemos un enunciado que da información y plantea una interrogante. Por lo tanto, estamos ante un problema. Inmediatamente podemos observar que la posición de Pedro va cambiando a medida que transcurre el tiempo, o sea, que estamos ante un problema dinámico. Las variables involucradas son dirección de recorrido y distancia recorrida, pero va tomando valores diferentes a medida que pasa el tiempo. Podríamos reproducir o simular el recorrido, pero tendríamos que tener un patio muy grande. Eso sería un representación concreta, pero podemos optar una representación mediante dibujos y gráficas. Para esto hagamos un diagrama que nos permita visualizar el problema. A la izquierda tenemos un diagrama que nos sirve para
representar
la
situación
que
plantea
el
problema. Está la casa de Pedro, frente a una calle de
10m de ancho y que tiene una orientación de norte-sur. Con este diagrama como guía podemos iniciar la lectura del problema parte por parte para ir representando los cambios cambios que se describes en el enunciado del problema. Es decir, iniciamos la aplicación de la estrategia particular para la solución de este tipo de problemas. En el diagrama siguiente representamos el inicio del recorrido. Pedro se desplaza 30m en dirección norte. Podemos imaginarnos a Pedro caminando por la dirección norte-sur, con su car mirando en el sentido norte. El recorrido se inicia justo frente a su casa y termina a 30m del punto de partida en el sentido norte. Está representado por la flecha negra con la indicación de 30 m. Seguimos la lectura del programa parte por parte. Al término del recorrido de los 30 m hacia el norte, Pedro dobla a la derecha y recorre 40 m. esto está indicado con la flecha negra que sigue. Ahora Pedro se desplaza en la dirección este-oeste con sentido al este. Luego dobla de nuevo a la derecha, y recorre 10 metros, lo cual está indicado con la tercera flecha. Ahora regresa a la dirección norte-sur, pero ahora con sentido sur. Al término de los 10 metros, dobla de nuevo a su derecha y se desplaza 30 m. Regresa a la dirección este-oeste con sentido oeste. Y finalmente dobla a su izquierda y recorre 20 m, lo cual está representado con la quinta flecha. Hemos completado de vaciar la información del resultado del problema. Como resultado de haber usado el diagrama, ahora podemos visualizar el recorrido completo que siguió Pedro. Por inspección dl diagrama, diagrama, se contesta la pregunta pregunta acerca de la ubicación de Pedro. Está 10 m al este de la puerta de salida de su casa; también podemos contestar que está en la acera de enfrente (cruzando la calle), justo frente a la puerta de su casa. La primera respuesta es precisa ubicando la posición de Ped ro, la segunda es e s informal, en un lenguaje coloquial.
Usando el diagrama podemos verificar la exactitud de cada uno de los pasos, y del resultado final de una manera sencilla. Una vez que verificamos, concluimos el problema. Hemos resuelto el problema usando una nueva estrategia que denominamos simulación. Si la hacemos recorriendo físicamente lo planteado en el problema, la llamamos simulación concreta. Si la hacemos, como fue el caso, usando un diagrama con una representación simbólica de las diferentes acciones que plantea el problema, la llamamos simulación abstracta. Estas son las estrategias básicas para la solución de problemas dinámicos.
Situación Dinámica Una situación dinámica es un evento o suceso que experimenta cambios a medidas que transcurre transcurre el tiempo. Por ejemplo: el movimiento movimiento de un auto que se desplaza de un lugar A a un lugar B, el intercambio de dinero y objetos de una
Simulación Concreta La simulación concreta es una estrategia para la solución de problemas dinámicos que se basa en una reproducción física directa de las acciones que se proponen en el enunciado. También se le conoce con el nombre de uesta en acción.
Simulación Abstracta La simulación abstracta es una estrategia para la solución de problemas dinámicos
que
se
basa
en
la
elaboración
de
gráficos,
diagramas
y
representaciones simbólicas que permiten visualizar las acciones que se proponen en el enunciado sin recurrir a una reproducción física directa.
PRACTICA DEL PROCESO Practica 1: Una persona camina por la calle Carabobo, paralela a la calle Pichincha; continua caminando por la calle Chacabuco que es perpendicular a la Pichincha. ¿Está la persona caminando por una calle paralela o perpendicular a la calle Carabobo?
¿De qué trata el problema? De 1 persona que camina por varias calles
¿Cuál es la pregunta? ¿Está la persona caminando por una calle paralela o perpendicular a la calle Carabobo?
¿Cuantas y cuales variedades tenemos en el problema? Tenemos 2 variables: nombre de las calles y dirección
REPRESENTACION:
RESPUESTA: Esta la persona caminando por una calle perpendicular.
Practica 2: Un conductor emprende el ascenso de una pendiente muy inclinada que además esta resbaladiza por intensas lluvias en la región y que tiene una longitud de 35 metros. Avanza en impulsos de 10 metros pero antes de iniciar el próximo impulso se desliza hacia atrás 2 metros antes de lograr el agarre en la vía. ¿Cuántas veces tiene que impulsarse para subir la pendiente y colocarse en el parte plana de la vía?
¿De qué trata el problema? Sobre un conductor en ascenso de una pendiente
¿Cuál es la pregunta? ¿Cuántas veces tiene que impulsarse para subir la pendiente y colocarse en la p arte ploma de la vía?
¿Cuantas y cuales variables tenemos en el problema? Tenemos dos variables: Longitud de la cima y los metros que avanza el conductor
REPRESENTACIÓN:
Respuesta: Tiene que dar 5 impulsos para llegar a la parte ploma de vía
Práctica 3: Hay cinco cajas de gaseosas en un lugar y tienen que llevarse a diferentes sitios como sigue: la primera a 10 m de distancia del origen, la segunda a 20m, la tercera a 30 m, y así sucesivamente hasta colocarlas siempre a 10 m de la anterior. En cada movimiento movimiento la persona sale del origen, lleva la caja al lugar que corresponde y regresa al lugar de origen. Este proceso se repite hasta mover todas las cajas y regresar al punto de origen. Si solo se puede llevar una caja caja en cada intento, ¿Qué distancia distancia habrá recorrido la persona al finalizar la tarea?
¿De qué trata el problema? De una persona que debe llevar unas cajas desde el lugar de origen hacia diferentes sitios. La 1
era
caja se encuentra a 10 m de distancia del punto de origen y las demás son llevadas a 10 m
de la anterior.
¿Cuál es la pregunta? ¿Qué distancia habrá recorrido la persona al finalizar la tarea?
¿Cuántas y cuales variables tenemos en el problema? Variables: DISTANCIA DE LAS CAJAS
RECORRIDO DE LA PERSONA
Representación: 10
10m
20
30
40
50
O 10 m 20 m 30 m 40 m 50 m 150 m * 2 300 m Respuesta: la persona ha recorrido una distancia distancia de 300 m al finalizar la tarea
Práctica 4: un buque petrolero de 200 m de eslora avanza lentamente a 200m por minuto para pasar un canal que tiene 200 metros de longitud. ¿Cuánto tiempo se demora el buque desde el instante que inicia su entrada al canal hasta el instante en que sale completamente de este?
¿De qué trata el problema? De un buque que pasa por un canal.
¿Cuál es la pregunta? ¿Cuánto tiempo se demora el buque desde el instante que inicia su entrada al canal hasta el instante en que sale completamente de este?
¿Cuántas y cuales variables tenemos en e n el problema? Variables:
Longitud del buque Longitud del canal Velocidad del buque
Representación: Buque
canal
200 m 20m
Respuesta:
1min entrada
El buque demora 2 minutos desde que entra al canal hasta que sale
1min salida
Representación mental de un problema La elaboración de diagramas o gráficas ayuda a entender lo que se plantea en el enunciado y a la visualización de la situación. El resultado de esta visualización del problema es lo que se llama la representación mental mental de éste. Esta Esta representación es indispensable para lograr la solución del problema.
Cierre ¿Qué estudiamos en esta lección? Problema de simulación concreta y abstracta.
¿Qué es problema dinámico? Es un evento o suceso que experimenta cambios a medida que transcurre el tiempo. Por ejemplo: el movimiento de un un auto que se desplaza de un lugar A a un lugar B.___
¿Qué estrategias utilizamos para resolver los problemas? Estrategias que incluyan diagramas para que reflejen los cambios en las situaciones del problema; dichos diagramas muestran intercambio, flujos, simulaciones etc.
¿En qué consiste la simulación concreta? Consiste en una reproducción física directa de las acciones que se proponen en el enunciado. También se le conoce con el nombre de puesta en acción.
¿A qué se refiere la simulación abstracta? Se refiere a la estrategia para la solución de problemas dinámicos que se basa en la elaboración de gráficos, diagramas y representaciones simbólicas que permitan visualizar las acciones que se proponen en el enunciado sin recurrir a una reproducción física directa.
¿Por qué es importante elaborar esos esquemas o diagramas en la solución de estos problemas? Porque así representamos el enunciado y podemos tener una idea más específica de lo que se trata el problema para llegar a una respuesta clara y precisa.