BACHILLERATO
Unidad 11. L ey
de gravitación universal
2
Física y Química 1
Actividades de los epígrafes
Las leyes de Kepler del movimiento planetario
Página 307 1 ¿Cuántas vueltas alrededor del Sol da Mercurio en un año? La distancia media Mercurio-Sol es 0,39 veces la distancia Tierra-Sol. Al aplicar la tercera ley de Kepler:
f
T2 T1
2
3
p =f 2p r r1
Donde T1 y r1 se refieren a la Tierra, y T2 y r2, a Mercurio, resulta: 3
2
0, 39 · r1 f p =f p → T2 = 0,24 años r1 1 año T2
En consecuencia, en un año, Mercurio da: 1 = 4,2 vueltas 0, 24
2 Calcula la excentricidad de una elipse en la que el eje mayor duplica al eje menor. Aunque existen diferentes formas de expresar la excentricidad, es frecuente utilizar la siguiente: e=
1–
b2 a2
Donde a y b son los semiejes mayor y menor, respectivamente. Al sustituir, queda: e=
1–
b2 = (2 · b) 2
3 = 0,866 4
3 Demuestra, a partir de la ley de las áreas, que en una órbita circular la velocidad del planeta es uniforme. Como la órbita es circular, el Sol ocupa el centro geométrico. En diferentes puntos de la órbita, las áreas barridas en un mismo tiempo, t, por el radio vector del planeta, A1, A2, A3, etc., son iguales, tal como predice la ley de las áreas:
A1 s2
A2
Sol
A1 = A2 = A3 = … Pero como se trata de sectores circulares de igual radio, R, los arcos recorridos por el planeta tienen que ser idénticos:
A3
s1 = s2 = s2 = …
s3
En consecuencia, la velocidad orbital del planeta se mantiene constante: v=
s → v1 = v2 = v3 = … t 339
s1
R
Unidad 11.
BACHILLERATO
Lay de gravitación universal
Física y Química 1
Actividades de los epígrafes
4 Un asteroide sigue una órbita circular que completa en 820 días. ¿Cuánto mide el radio de su órbita, comparado con el de la Tierra? Al aplicar la tercera ley de Kepler a la Tierra (T1, r1) y al asteroide (T2, r2), resulta:
f
T2 T1
2
p =f
3
3
2 r2 r r p 8 f 820 días p = f 2 p 8 2 = 1,72 → r2 = 1,72 · r1 r1 r1 r1 365 días
El radio de la órbita del asteroirde es 1,72 veces mayor que el de la órbita terrestre.
Página 309 5 Para cierto asteroide, la velocidad en el afelio es la mitad que en el perihelio. Calcula el semieje mayor de la órbita en función de rp. Según la expresión de la ley de las áreas, podemos escribir para el perihelio y el afelio que: rp · vp = ra · va Sabiendo que vp = 2 · va sustituimos en la ecuación anterior: rp · 2 · va = ra · va → ra = 2 · rp Por tanto, si el semieje mayor se calcula como la mitad de la suma de la distancia del Sol al perihelio y del Sol al afelio, su valor será: ra + rp
a=
2
ra = 2 · rp
⎯⎯⎯⎯→
2 · rp + rp 2
=
3 · rp 2
6 Compara los períodos de dos satélites artificiales en órbita circular, el primero a 20 000 km del centro de la Tierra, y el segundo, a 40 000 km. Para una órbita circular, los radios coinciden con la distancia al centro de la Tierra. Aplicando la tercera ley de Kepler, la relación entre los períodos será:
f
T2 T1
2
p =f
3
aA p aB
2
3 T2 40 000 km f p =f = 8 = 2, 83 p =8 8 T1 T1 20 000 km
T2
7 Obtén el período de revolución de Saturno a partir de las distancias medias al Sol de ese planeta y de la Tierra. Compara tu resultado con el valor de la tabla. El período de la Tierra es de 1 año. La distancia del Sol a Saturno es de 9,54 ua y a la Tierra, de 1 ua. Deducimos el período de revolución de Saturno:
f
TSaturno TTierra
2
p =f
3
a Saturno p → (TSaturno)2 = (9,54)3 = 868 a Tierra TSaturno = 29,47
Muy próximo al valor de la tabla.
8 Un asteroide tarda cuatro años en completar una órbita circular. Con los datos de la tabla, razona si su velocidad orbital será mayor o menor que 20 km/s. Deducimos el semieje mayor de la órbita, que al ser un m.r.u. coincide con el radio. Según la tercera ley de Kepler:
f
TA TB
2
p =f
3
aA p aB
340
Unidad 11.
BACHILLERATO
Lay de gravitación universal
Física y Química 1
Actividades de los epígrafes
Tomando como referencia la tabla de esta página, el período de la Tierra es de 1 año y la distancia media al Sol desde la Tierra es de 1 ua. A partir de estos datos, deducimos el radio del asteroide: 2
3
2 a a 3 f p = f A p 8 e 4 o = e A o 8 a A = 3 16 = 2,52 ua aT TT 1 1
TA
Sabiendo que 1 ua equivale a 1,5 · 1011 m, la distancia del asteroide al Sol es: aA = 2,52 ua ·
1, 5 · 10 11 m = 3,78 · 1011 m 1ua
Al tratarse de un movimiento circular uniforme, podemos calcular su velocidad angular: ω=
2· π 2· π 1año 1día 1h = 4,98 · 10–8 rad/s = · · · T 4 años 365 días 24 h 3 600 s
Su velocidad lineal será: v = ω · R = 4,98 · 10–8 rad/s · 3,78 · 1011 m = 18 828,03 m/s v = 18 828,03
m 1km · = 18,83 km/s s 1000 m
Por tanto, la velocidad es inferior a 20 km/s.
9 Razona si es válida la siguiente proposición: dos astros cuyas órbitas tienen igual semieje mayor se aproximan lo mismo al Sol. Falsa. Depende de la excentricidad, o sea, de la relación b/a. Dos astros pueden tener igual el semieje mayor pero distinta distancia al afelio y al perihelio, por lo que no tienen por qué aproximarse lo mismo al Sol.
3
Ley de la gravitación universal
Página 311 10 Calcula con qué fuerza se atraen mutuamente el Sol y la Tierra suponiendo que la órbita de la Tierra es circular y de radio 150 · 106 km. Datos: M Sol = 2,0 · 1030 kg MTierra = 6,0 · 1024 kg. Obtenemos la fuerza por sustitución directa en la ley de gravitación universal: F=G·
m1 · m2
F = 6,67 · 10–11 N · m2/kg2 ·
r
2
=G ·
M Sol · M Tierra R2
2, 0 · 10 30 kg · 6, 0 · 10 24 kg (150 · 10 · 10 m) 6
3
2
= 3,56 · 1022 N
11 Sabiendo que la distancia del centro de la Tierra al de la Luna es unas sesenta veces el radio de la Tierra, estima la aceleración centrípeta de la Luna. La aceleración centrípeta de la Luna será: ac =
v2 R
Donde suponemos que la órbita lunar es circular de radio R = 60 · R T. 341
Unidad 11.
BACHILLERATO
Lay de gravitación universal
Física y Química 1
Actividades de los epígrafes
Por otra parte, la velocidad orbital de la Luna se calcula según: v=
2· π ·R T
Por tanto, queda: ac =
e
2
2· π ·R o T 4 · π2 · R = R T2
Por otro lado, de acuerdo con la tercera ley de Kepler: 4 · π2 G · MT = T2 R3 Entonces: ac =
G · MT R
3
·R =
G · MT R
2
=
G · MT (60 · R T)
2
=
G · MT 1 · 3 600 R 2T
Sabiendo que: G · MT R 2T
= g0 = 9,81 m/s2
Siendo este el valor de la aceleración de la gravedad en la superficie terrestre. Por tanto, la aceleración centrípeta de la Luna resulta: ac =
9, 81m/s 2 = 2,72 · 10–3 m/s2 3 600
Otra forma más intuitiva de resolver el ejercicio es la siguiente: La aceleración centrípeta de la Luna coincide con la aceleración de la gravedad que la Tierra produce sobre ella. Como la gravedad en la superficie terrestre es 9,81 m/s2, la gravedad a la distancia de la Luna será 602 = 3 600 veces menor, ya que la fuerza gravitatoria se debilita con el cuadrado de la distancia de separación. Por tanto: ac (Luna) =
a c (superficie terrestre) 9, 81m/s 2 = = 2,72 · 10–3 m/s2 3 600 60 2
12 Razona si es correcta la siguiente proposición: «Newton descubrió la fuerza gravitatoria». Literalmente es falsa. Lo que Newton descubrió es que no se trata de un fenómeno peculiar de la superficie terrestre, sino que corresponde a una interacción presente en todo el universo. Es decir, que la misma fuerza que hace caer una manzana es la que mantiene en órbita a la Luna.
13 Calcula la masa de Marte sabiendo que su pequeño satélite Deimos orbita circularmente con un período de 1,262 días a una distancia de 23 460 km. Aplicamos la 3ª ley de Kepler a Deimos para poder expresar la masa de Marte en función de los datos que nos ofrece el ejercicio: k=
2 3 4 · π2 = T 2 → M = 4 · π · 2r Marte 3 G · M Marte G ·T r
El valor del período en unidades del SI es: T = 1,262 días · 24 h · 3 600 s = 109 036,8 s 1día 1h 342
Unidad 11.
BACHILLERATO
Lay de gravitación universal
Física y Química 1
Actividades de los epígrafes
Por tanto, sustituyendo por los datos del enunciado, obtenemos el siguiente resultado: MMarte =
4 · π 2 · (23 460 · 10 3 m) 3 = 6,4 · 1023 kg 6, 67 · 10 –11 N · m 2 · kg –2 · (109 036, 8 s) 2
14 ¿Cuáles son las dimensiones de la constante de proporcionalidad de la tercera ley de Kepler? La tercera ley de Kepler viene dada por la expresión: T 2 = k · a 3 Las dimensiones del período de revolución son: [T ] = T Y las del semieje mayor: [a ] = L Para que la ecuación sea homogénea, las dimensiones de k deben ser: [k ] =
4
T2 = T2 · L–3 L3
Carácter central de la fuerza gravitatoria
Página 313 15 Comparamos dos satélites artificiales en órbita circular de igual radio, uno en Marte y otro en la Tierra. ¿Se moverán a la misma velocidad? ¿Depende de la masa de los satélites? La constante de la tercera ley de Kepler vale: 4 · π2 4 · π2 3 T2 2 k ·r = = 8 T = G ·M G ·M r3 Sabiendo que la masa planetaria de Marte es menor que la de la Tierra, MM < MT y que los radios orbitales son iguales, rM = rT, podemos afirmar que el período en Marte será mayor que en la Tierra, TM > TT. Es decir, el satélite que está situado en la órbita marciana es más lento. Las masa del satélite no interviene en absoluto.
16 Una masa puntual se mueve en línea recta con velocidad uniforme. Demuestra que su momento angular es constante respecto de un punto. Tomemos un punto cualquiera, O, como origen. El momento angular respecto de O vale: LO = r Ò p = m · r Ò v La dirección y el sentido de L O son constantes: L O es perpendicular al plano que forman O y la trayectoria recta del móvil, y el sentido lo da la regla del tornillo. En cuanto al módulo, resulta: LO = m · r · v · sen θ = m · v · r · sen θ = m · v · d = cte Donde d es la distancia de O a la trayectoria recta, puesto que: r · sen θ = d. 343
Unidad 11.
BACHILLERATO
Lay de gravitación universal
Física y Química 1
Actividades de los epígrafes
17 El cometa Hale-Bopp tiene una órbita muy excéntrica (e = 0,997). Razona en qué punto de esta: a) Se mueve más deprisa. b) Su momento angular es mayor. c) Tiene menor momento lineal. d) Presenta mayor velocidad areolar. a) Se mueve más deprisa en el perihelio, porque es el punto más cercano al Sol. b) El momento angular es constante en toda la órbita. c) El momento lineal tiene su valor menor en el afelio, punto más alejado del Sol, donde se mueve más despacio. d) La velocidad areolar es constante en toda la órbita.
18 Calcula la velocidad areolar de Venus dividiendo el área de su órbita circular por el tiempo que tarda en recorrerla. ¿Se obtiene el mismo resultado que en el ejercicio resuelto? ¿Por qué? ¿Qué sucedería con un planeta que tuviera órbita elíptica? Como suponemos que la órbita es circular, usando los datos del ejercicio resuelto 13, tenemos: vA =
π · (1, 082 · 10 11 m) 2 dA π · R 2 = = = 1,9 · 1015 m2/s T (224, 7 · 24 · 3 600) s dt
Obtenemos el mismo resultado que en el ejercicio resuelto 13, puesto que el planeta Venus sigue un m.c.u. y la velocidad orbital es constante en todo momento. Si la órbita fuese elíptica, obtendríamos la velocidad areolar correcta dividiendo el área de la elipse por el período: vA =
π ·a·b T
Siendo a y b los semiejes mayor y menor de la elipse, respectivamente.
5
Carácter central de la fuerza gravitatoria
Página 317 19 Compara la aceleración de la gravedad, a una altura igual al radio terrestre, en la Tierra con la de otro planeta que tenga el mismo radio, pero cuya densidad sea la mitad. Si la densidad del otro planeta es la mital y el radio es igual, tenemos: • Para la Tierra: d=
MT 4 · π · R3 3
8 d=
3 · MT 4 · π · R3
• Para el otro planeta: MP 6 · MP d 8 d= = 2 4 · π · R3 4 · π · R3 3 Dividiendo ambas expresiones se obtiene: 1=
3 · MT 6 · MP
8 MP =
344
MT 2
Unidad 11.
BACHILLERATO
Lay de gravitación universal
Física y Química 1
Actividades de los epígrafes
La expresión de la gravedad en la superficie de un planeta es: g=G·
M R2
Para el planeta, al ser el radio igual al de la Tierra, y su masa, la mitad, el valor de g también lo será. Es decir: gP = G ·
MP R
2
=G ·
MT 2·R
2
8 gP =
gT 2
20 Un satélite artificial se mueve a 6,18 km/s en óbita circular estable de 8 500 km de radio en torno a un astro del sistema solar. ¿Cuál es la masa del astro? Al describir el satélite una órbita circular, la fuerza gravitatoria será igual a la fuerza centrípeta, por tanto: FG = FC → G ·
M·m r2
=m·
v2 r
Despejando la masa del satélite: M=
5 2 3 v 2 · r (6, 18 · 10 m/s) · 8 500 · 10 m = = 4,87 · 1024 kg G 6, 67 · 10 –11 N · m 2 · kg –2
21 Razona cómo varían la energía mecánica, la energía cinética y la energía potencial de un satélite artificial a lo largo de su órbita suponiendo que esta es: a) Circular. b) Elíptica. a) En el caso de que la órbita del satélite sea circular, la energía mecánica es constante a lo largo de ella. La energía cinética será constante, ya que no hay variación del módulo de la velocidad. Para la energía potencial también permanecerá constante, puesto que no hay variación de la distancia a la Tierra. b) Cuando la órbita es elíptica, la energía mecánica también se conserva en toda la órbita. La velocidad varía, siendo mayor en el perihelio, por lo que la energía cinética será mayor en este punto, y menor en el afelio. La distancia será menor en el perihelio con energía potencial menor, mientras que en el afelio será mayor y por tanto mayor energía potencial.
Página 319 22 Explica, con base científica, por qué ocurren los fenómenos que has ido observando, y después localiza Júpiter, busca el zoom adecuado, y observa lo mismo que vio Galileo al enfocar su anteojo a este planeta. Respuesta abierta. Se recomienda que el profesorado verifique que el manejo del simulador por parte del alumnado es el correcto, y que trabaje con él en el aula de informática. Asimismo, se sugiere que se realice, o se indique a los estudiantes cómo hacerlo, alguna práctica de observación del cielo nocturno; a este fin, pueden resultar de utilidad diversas aplicaciones de los modernos teléfonos móviles que, gracias a la ubicación satelital, permiten determinar con relativa precisión la ubicación de las estrellas y planetas visibles desde la superficie terrestre, junto con información acerca de ellas.
345
Unidad 11.
BACHILLERATO
Lay de gravitación universal
Física y Química 1
Actividades finales
Página 322
La revolución de Copérnico 1 ¿Por qué decimos que en el viejo sistema geocéntrico del mundo había dos mecánicas diferentes? En la visión de la Grecia clásica, que se mantuvo hasta el siglo xvii, la mecánica de los cielos (mundo supralunar) era diferente a la mecánica en la Tierra (mundo sublunar). Newton unificó las dos mecánicas.
2 Razona sobre la validez de esta proposición: «La mecánica celeste de Copérnico se basaba en principios diferentes a los de los antiguos griegos». La prpoposición es falsa. En lo esencial, la mecánica celeste de Copérnico y de Ptolomeo coinciden. La diferencia está en la posición y en los movimientos de la Tierra.
3 Indica si las siguientes proposiciones son ciertas o falsas: a) El heliocentrismo que proponía Copérnico fue rechazado por las autoridades religiosas, pero rápidamente aceptado por los expertos en matemáticas y astronomía. b) El sistema de Copérnico reduce mucho el movimiento del conjunto de los astros en comparación con la idea de que la Tierra permanece inmóvil. c) Suponer que el universo sea geocéntrico o heliocéntrico no afecta al tamaño que se le atribuye. d) Los métodos matemáticos de cálculo astronómico de Copérnico eran similares a los que se venían utilizando desde la antigüedad clásica. a) Falso, la mayoría de los especialistas fueron indiferentes a las nuevas ideas de Copérnico, a excepción de algunas universidades como Tubinga y Salamanca. b) Verdadero, en el sistema geocéntrico eran necesarios unos ochenta círculos para explicar el movimiento de siete planetas, mientras que el sistema heliocéntrico eliminaba muchas dificultades, haciendo más económico el método de cálculo. c) Falso. El sistema heliocéntrico exige un universo mucho mayor para justificar la inmovilidad a lo largo del año de las estrellas de la última esfera, o sea, las estrellas fijas. La distancia de la Tierra al Sol tiene que ser minúscula comparada con la distancia del Sol a las estrellas fijas. d) Verdadero. Apenas hay novedades matemáticas entre el Almagesto y el libro de Copérnico. La diferencia está en la posición que ocupa la Tierra y en su inmovilidad o no.
4 Busca información sobre la vida de Tycho Brahe y razona si la razón por la que rechazó el heliocentrismo fue debida a sus convicciones religiosas. La razón por la que Tycho Brahe rechazó el heliocentrismo no fue debida a sus convicciones religiosas o prejuicios de otras índoles, sino a su propia experiencia científica. Tycho Brahe midió la posición de las estrellas con la mayor precisión jamás conseguida antes de la invención del telescopio. Peo si se aceptaba la visión del Universo que proponía Copérnico, como la Tierra se movía en torno al Sol, la posición aparente de las estrellas en el cielo vistas desde la Tierra debería cambiar un poco a lo largo del año, algo que Tycho no observó. Por tanto, se planteaban dos alternativas: a) La Tierra no se mueve. b) El universo es tan inmenso (muchísimo mayor que lo previsto por lo astrónomos antiguos) que el cambio de posición de la Tierra a lo largo del año es insignificante comparado con el distancia hasta las estrellas fijas. Ante este dilema, Tycho prefirió la primera opción. 346
Unidad 11.
BACHILLERATO
Lay de gravitación universal
Física y Química 1
Actividades finales
Las leyes de Kepler 5 ¿Para qué contrató Tycho Brahe a Kepler? ¿Cumplió este los deseos de su patrón? ¿Por qué Kepler sustituyó a Tycho como astrónomo imperial? Tycho Brahe había diseñado y divulgado su propio sistema del Universo, híbrido entre geocéntrico y heliocéntrico. Pero necesitaba un buen matemático, experto en astronomía, para demostrar sin lugar a dudas que el sistema era correcto encajando todas las observaciones disponibles, incluidas algunas anomalías en el movimiento de Marte. Para eso contrató a Kepler en enero de 1600. La elección fue acertada, porque Kepler era el mejor astrónomo matemático de la época. Pero por fortuna para el avance de la ciencia, y desgraciadamente para los intereses de Tycho, Kepler era defensor a ultranza del sistema de Copérnico y rechazaba el sistema de Tycho. Por esto, y otras razones de tipo personal, no se entendieron bien. Pero por un golpe del destino, Tycho murió inesperadamente el 24 de octubre de 1601. Entonces, el emperador Rodolfo nombró a Kepler sucesor de Tycho para que terminase un nuevo catálogo actualizado de estrellas y posiciones planetarias que se había quedado sin concluir. Kepler lo completó y publicó mucho más tarde, en 1627, con el título de Tablas Rudolfinas.
6 Razona sobre la veracidad de las afirmaciones siguientes: a) Las leyes de Kepler se aplican únicamente al movimiento orbital de los planetas. b) En su afelio, cada planeta se mueve más despacio que en el perihelio. c) Aunque la masa de la Tierra fuera como la de Júpiter, su período de revolución orbital sería el mismo. d) La velocidad de traslación de un planeta en órbita elíptica es inversamente proporcional a su distancia al Sol en todo momento. a) Falsa. La leyes de Kepler se aplican a todos los cuerpos en órbita a causa de la gravitación: asteroides, cometas, satélites, etc. b) Cierta. Se debe a que la velocidad del planeta disminuye con la separación al Sol, y el afelio es el punto más alejado. c) Cierta. En las leyes de Kepler no interviene la masa del planeta, solo la distancia al Sol. d) Falsa. La velocidad de traslación disminuye con la distancia al Sol, pero solo son proporcionales en el perihelio y en el afelio. En el resto de posiciones, interviene el ángulo que forman r y v .
7 Dibuja una elipse de semiejes a y b y demuestra que la distancia desde un foco a los extremos del eje menor coincide con el semieje mayor, a. En una elipse, la suma de las distancias desde todos sus puntos a los focos es constante y vale 2 · a, como puedes comprobar para el caso del punto P. x
f
x'
b
a
O
P f'
fP + f’P = (fO + Of’ + f’P ) + f’P = 2 · (Of’ + f’P ) = 2 · a Donde hemos tenido en cuenta que fO = Of’. 347
Unidad 11.
BACHILLERATO
Lay de gravitación universal
Física y Química 1
Actividades finales
Por tanto, como la distancia desde los focos a los extremos del eje menor no depende del foco que se elija, x = x’, resulta que: 2 · a = x + x’ = 2 · x → x = x’ = a
8 Calcula la distancia media de cierto cometa al Sol, en comparación con la de la Tierra, teniendo en cuenta que su período es de 50 años. Si aplicamos la tercera ley de Kepler: T 21
=
T 22
r 31 r 32
Donde T1 es el período de revolución de la Tierra, igual a 1 año; T2, el período de revolución del cometa, igual a 50 años; r1, la distancia media de la Tierra al Sol, de 150 000 000 km, y r2, la distancia media del cometa al Sol. Tenemos: r 23 = f
T2 T1
2
p · r 31 8 r2 = r1 · 3 f
T2 T1
2
p
Y sustituyendo datos numéricos, se obtiene: r2 = 1,5 · 108 km ·
3
e
2
50 a o = 2,036 · 109 km 1a
9 Neptuno y la Tierra describen órbitas en torno al Sol, siendo el radio medio de la órbita del primero treinta veces mayor que el de la segunda. ¿Cuántos años terrestres tarda Neptuno en recorrer su órbita? Aplicando la tercera ley de Kepler: T 21 T 22
=
r 31 r 23
Donde T1 es el período de revolución de la Tierra, igual a 1 año; T2, el período de revolución de Neptuno (en años terrestres); r1, la distancia media de la Tierra al Sol, y r2, la distancia media de Neptuno al Sol, r2 = 30 · r1. Y sustituyendo datos numéricos, se obtiene: 2 r1 3 1a p → T2 = 164,3 a (terrestres) f p =f T2 30 · r1
10 La figura muestra la órbita de un cometa. Calcula la velocidad en el perihelio si en el afelio es de 13 km/s. ¿Cuánto vale la velocidad areolar del cometa?
b = 387 · 10 6 km
a = 800 · 10 6 km
348
Unidad 11.
BACHILLERATO
Lay de gravitación universal
Física y Química 1
Actividades finales
El eje mayor de la elipse, d, es la suma de las distancias del Sol al afelio, ra, y al perihelio, rp. Como d = 2 · a, tenemos que:
2 · a = 2 · 800 · 106 km = 1,6 · 109 km = ra + rp
[1]
Por otro lado, al aplicar la segunda ley de Kepler, o ley de las áreas, para esos dos puntos concretos, afelio y perihelio, será: vp · rp = va · ra → vp = va ·
ra [2] rp
De acuerdo con la figura: a rp
b = 3,87 · 108 km
a
a=8·
108
va
km
a – rp vp
sen α =
b 387 · 10 6 km = 0,48375 → α = 28,9° 8 sen a = a 800 · 10 6 km
Luego: cos α =
a – rp a
8 cos 28, 9° =
800 · 10 6 km – rp 800 · 10 6 km
→ rp = 9,96 · 107 km
Y, de acuerdo con [1]: ra = 1,6 · 109 km – rp = 1,6 · 109 km – 9,96 · 107 km = 1,5 · 109 km Por lo que obtenemos, al aplicar la expresión [2]: vp = 13
km 1, 5 · 10 9 km · = 195,8 km/s s 9, 96 · 10 7 km
Obsérvese cómo vp > va; en concreto, su valor es 15 veces mayor. Por último, la velocidad areolar, vA, será, para el afelio y el perihelio: vA =
1 · r · v · sen 90° 2
Y tomando cualquiera de los dos puntos, afelio o perihelio, nos queda: vA =
1 · 9,96 · 107 m · 195,8 · 103 m/s = 9,75 · 1012 m2/s 2
Observa que sus unidades son área (m2) por unidad de tiempo.
11 Deimos y Fobos son los dos pequeños satélites de Marte. Siguen órbitas casi circulares de radios 23 400 km y 9 270 km, respectivamente: a) Razona cuál de los dos tiene una velocidad orbital superior. b) Obtén el período de revolución de Deimos, sabiendo que el de Fobos es de 7 h 39 min 27 s. c) Si se descubriera un tercer satélite de Marte y su período fuera de 50 h, ¿a qué distancia media del centro de Marte orbitaría? 349
Unidad 11.
BACHILLERATO
Lay de gravitación universal
Física y Química 1
Actividades finales
a) Si tenemos en cuenta la tercera ley de Kepler, r 3 / T 2 = cte, escrita en forma:
f
TD TF
2
p =f
3
rD p rF
Donde los subíndices D y F hacen referencia a los satélites de Marte, Deimos y Fobos, respectivamente. Vemos que al ser rD > rF , el lado derecho de la igualdad será mayor que uno, lo que obliga a que TD > TF . Al seguir trayectorias casi circulares, la velocidad orbital será uniforme, y podemos aplicar que: v= Luego:
2· π ·r 2· π ·r 8 T= v T
J N2 K 2 · π · rD O 2 3 K vD O TD rD O = f p 8 vF = vD · f p =K rF K 2 · π · rF O TF KK OO vF L P
rD rF
Es decir, la velocidad orbital de Fobos es mayor que la de Deimos, puesto que rD es mayor que rF . b) Si aplicamos de nuevo la tercera ley de Kepler, nos queda: T 2D = T 2F · f
3
3
r rD p 8 TD = TF · f D p rF rF
Y al sustituir datos numéricos: TD = 27 567 s ·
f
3
23 400 km p = 110 559 s (30 h 42 min 39 s) 9 270 km
c) Aplicando la tercera ley de Kepler, y tomando como «referencia» a Deimos: 2 r D3 r3 r3 T 3 3 cte r r = 8 = 8 = · p D f TD T2 T 2 T D2
r 3 = (23 400 km)3 · f
2
50 h · 3 600 s · h –1 p → r = 32 384 km 110 559 s
12 Dos satélites artificiales siguen órbitas circulares en torno a la Tierra. La órbita del segundo es el doble de grande que la del primero. ¿Qué relación guardan los respectivos períodos orbitales? Órbita 2
Órbita 1 r1 r2
350
Unidad 11.
BACHILLERATO
Lay de gravitación universal
Física y Química 1
Actividades finales
Aplicando la tercera ley de Kepler: r 31 r 32 r3 = cte 8 = T2 T 21 T 22 Que podemos poner de la forma:
f
2
T1
Como r2 = 2 · r1, nos queda:
3
p =f 2p
T2
r r1
3
2
2 · r1 T p =8 8 2 =2· 2 f p =f r1 T1 T1 T2
Es decir, el período orbital del satélite más alejado, T2, es 2 · 2 veces mayor que el período orbital del satélite más cercano.
Página 323
La gravitación universal 13 Discute la corrección de estas proposiciones: a) De las dos primeras leyes de Kepler se deduce que existe una fuerza que atrae a los planetas hacia el Sol, pero solo con ellas no se puede especificar cómo es esa fuerza. b) La tercera ley de Kepler solo se aplica cuando las órbitas son circulares. c) El tamaño y la masa de los planetas no intervienen en las leyes de Kepler. d) La constante de proporcionalidad de la tercera ley de Kepler está relacionada con la masa del Sol. a) Cierto. De ellas se deduce que la fuerza de atracción solar disminuye con la separación al Sol, pero solo la tercera ley permite detallar cómo es dicha fuerza. b) Falso. Kepler y Newton la emplearon, sobre todo, para órbitas elípticas, donde adopta la forma:
f
T2 T1
2
3
p =f
a2 p a1
En la que a corresponde al semieje mayor de la órbita. c) Cierto. Solo interviene la distancia del planeta al Sol. d) Cierto. Si aplicamos las leyes de Kepler a los planetas, resulta: 4 · π2 T2 C = = G · M Sol r3
14 Calcula la aceleración centrípeta de la Tierra en su movimiento orbital, suponiendo que sea un m.c.u. con v = 30 km/s y diámetro de 3 · 108 km. Si la trayectoria es circular, la aceleración centrípeta (o normal) vale: an =
v2 r
Sustituyendo datos numéricos, se obtiene: an =
(30 · 10 3 m/s) 2 1, 5 · 10 11 m
= 6 · 10–3 m/s2
351
Unidad 11.
BACHILLERATO
Lay de gravitación universal
Física y Química 1
Actividades finales
15 ¿Con qué fuerza se atraen mutuamente el Sol y Júpiter cuando este se encuentra en el afelio? Datos: rafelio = 815,7 · 106 km; MJ = 1,90 · 1027 kg, MS = 1,99 · 1030 kg. Aplicando la ecuación que recoge la ley de la gravitación universal, tenemos que la fuerza con que se atraen mutuamente -la que ejerce el Sol sobre Júpiter y este sobre el Sol- es igual en módulo y dirección, pero su sentido, en cada caso, es opuesto, tal y como indica la figura:
vJ Sol
FSJ Júpiter
FJS
Por tanto: F JS = F SJ = G ·
MS · MJ r2
Sustituyendo datos numéricos, resulta: FJS = 6,67 · 10–11 N · m2 · kg–2 ·
1, 99 · 10 30 kg · 1, 90 · 10 27 kg (815, 7 · 10 9 m) 2
FJS = 3,79 · 1023 N En notación vectorial, y tomando como origen de coordenadas la posición del Sol: F JS = 3,79 · 1023 · u r N ; F SJ = –3,79 · 1023 · u r N
16 Suponiendo órbitas circulares, deduce la relación entre la masa del Sol y la constante de proporcionalidad de la tercera ley de Kepler (k = T 2/r 3). ¿Depende de la masa de cada planeta? Calcula su valor sabiendo que MSol = 1,99 · 1030 kg. La expresión de la tercera ley de Kepler puede tomar la forma: T 2 = cte r3 Si un planeta sigue una trayectoria circular, está sometido a una fuerza centrípeta que, en este caso, es la fuerza de atracción gravitatoria. Por tanto, podemos igualar Fc y Fg: 2 Fc = Fg → m · v = G · M ·2m 8 v 2 = G · M [1] r r r
Por otro lado, al llevar velocidad constante (en módulo), tenemos que: v = s 8 v = 2· π ·r t T Al elevar al cuadrado, nos queda:
2 2 v 2 = 4 · π 2 · r [2] T
Comparando las ecuaciones [1] y [2], podemos escribir: G · M = 4 · π2 · r 2 r T2 352
Unidad 11.
BACHILLERATO
Lay de gravitación universal
Física y Química 1
Actividades finales
Que, ordenada de otra forma, se puede expresar como: 2 2 T 2 · G · M = 4 · π2 · r 3 → T3 = 4 · π = cte G ·M r
Esa constante, que llamaremos k, no depende de la masa del planeta, m. Su valor será: k=
4 · π2 = 2,97 · 10–19 s2/m3 6, 67 · 10 –11 N · m 2 · kg –2 · 1, 99 · 10 30 kg
17 Con el valor calculado en el ejercicio anterior, calcula la distancia media entre Neptuno y el Sol si el período orbital de Neptuno es de 164,8 años. La expresión de la tercera ley de Kepler toma la forma: T2 = k r3 Donde k es una constante que calculamos en la actividad anterior, y cuyo valor es: k = 2,97 · 10–19 s2/m3. Por tanto, al sustituir datos numéricos, nos queda: 2 2 (164, 8 · 365 · 24 · 3 600 s) 2 r 3 = T 8 r = 3 T = 3 = 4,5 · 1012 m k k 2, 97 · 10 –19 s 2 /m 3
18 Titania y Oberón son los mayores satélites del planeta Urano. Titania sigue una órbita casi circular de 4,36 · 105 km de radio y tiene un período orbital en torno a Urano de 8,706 días: a) Calcula la masa del planeta Urano. b) ¿Con qué fuerza se atraen Urano y Titania, si la masa de esta última es 3,49 · 1021 kg? c) Obtén las velocidades orbital y areolar de Titania. d) Estima el período orbital de Oberón, si su órbita circular tiene un radio de 582 600 km. Para empezar, realizamos un esquema de la situación de los satélites Titania y Oberón respecto a Urano: Titania Oberón
rTi
rOb
a) Podemos suponer que, al ser la órbita de Titania casi circular, su velocidad (en módulo) es constante y se puede calcular como: 2 2 v = s 8 v = 2 · π · r 8 v2 = 4 · π 2· r t T T
Por otro lado, al igualar la fuerza centrípeta de Titania con la fuerza de atracción gravitatoria que ejerce sobre él el planeta Urano, de masa MU, nos queda: 2 M ·m G · MU 8 v2 = m · v =G · U2 r r r
353
Unidad 11.
BACHILLERATO
Lay de gravitación universal
Física y Química 1
Actividades finales
Igualando ambas expresiones de v 2, y sustituyendo datos numéricos, la masa de Urano resulta: 4 · π2 · r 2 = G · MU 8 M = 4 · π2 · r 3 U r G T2 T2 4 · π 2 · (4, 36 · 10 8 m) 3 MU = = 8,67 · 1025 kg –11 6, 67 · 10 N · m 2 · kg –2 · (8, 706 · 24 · 3 600 s) 2 b) La fuerza de atracción (en módulo) con la que se atraen Urano y Titania vale: F = 6,67 · 10–11 N · m2 · kg–2 ·
8, 67 · 10 25 kg · 3, 49 · 10 21 kg = 1,06 · 1020 N (4, 36 · 10 8 m) 2
c) La velocidad orbital de Titania será: 2 · π · 4, 36 · 10 8 m v = 2· π ·r = = 3 642 m/s T 8, 706 · 24 · 3 600 s La velocidad areolar, por ser la órbita circular, es: vA =
A órbita π · r 2 π · (4, 36 · 10 8 m) 2 = = = 7,94 · 1011 m2/s T T 8, 706 · 24 · 3 600 s
d) Para obtener el período orbital de otro de los satélites alrededor de Urano, Oberón, aplicamos la tercera ley de Kepler, tomando como referencia el satélite Titania: 3
r T 21 T 22 = 3 8 T2 = T 21 · e 2 o 3 r1 r1 r2 T2 =
(8, 706 · 24 · 3 600 s) 2 · c 582 600 km m = 1,162 · 106 s = 13,45 días 436 000 km 3
19 Dos masas idénticas de 100 kg cuelgan del techo verticalmente quedando a la misma altura. ¿A qué distancia centro-centro deben colocarse para que se atraigan con una fuerza de 3 · 10–7 N? Suponemos que las masas pueden considerarse puntuales o esféricas y aplicamos la expresión de la fuerza gravitatoria: F=G·
m1 · m2 (100 kg) 2 –11 2 –2 = 6,67 · 10 N · m · kg · = 3 · 10–7 N r2 r2
Despejando r, resulta: r=
6, 67 · 10 –11 N · m 2 · kg –2 · (100 kg) 2 = 1,49 m 3 · 10 –7 N
Fuerzas centrales y momento angular 20 Razona si es correcta la afirmación siguiente: «La fuerza gravitatoria es central porque la distancia entre dos masas que se atraen debe medirse de centro a centro». La afirmación es incorrecta. La expresión «central» hace referencia a que la fuerza va dirigida hacia un centro de atracción o repulsión y que su valor solo depende de la distancia a ese centro de fuerzas.
21 Menciona dos fuerzas centrales distintas de la fuerza de la gravedad. La fuerza elástica (ley de Hooke) y la fuerza eléctrica de Coulomb son dos ejemplos de fuerzas centrales. A diferencia de la fuerza gravitatoria, pueden ser de atracción y de repulsión. 354
Unidad 11.
BACHILLERATO
Lay de gravitación universal
Física y Química 1
Actividades finales
22 Demuestra que el valor numérico del momento de una fuerza respecto a un punto se puede calcular como el producto del módulo de la fuerza por la distancia que hay desde el punto a la línea de acción de la fuerza. MO
F O
r
q
d
Como ves en la figura, se cumple que: M O = r Ò F → MO = r · F · sen θ Pero como sen θ = sen (180° – θ), queda: MO = F · r · sen (180° – θ) = F · d Donde d es la distancia de O a la recta de acción de F .
23 Calcula el momento de la fuerza que realiza la mano respecto al eje de giro de la tuerca. ¿Qué sucedería si se duplicaran la fuerza de la mano y la distancia de esta hasta el eje de giro?
F = 300 N
40 cm
Como la fuerza es perpendicular a la llave, resulta: M = r · F · sen θ = 0,4 m · 300 N · sen 90° = 120 N · m La dirección de M es perpendicular al plano del papel y el sentido hacia fuera, tal como prevé la regla del tornillo. Si se duplicaran la fuerza de la mano y la distancia de esta hasta el eje de giro, el momento aplicado sería mayor; en concreto: M’ = r’ · F’ · sen θ = 2 · r · 2 · F · sen θ = 4 · r · F · sen θ = 4 · M = 4 · 120 = 480 N · m Esto es, el módulo del momento se multiplicaría por cuatro, manteniéndose su dirección y su sentido.
Página 324
24 Un péndulo de 2 m de longitud oscila verticalmente, siendo de 15° el ángulo máximo abierto respecto a la vertical en cada oscilación. Si la bola del péndulo tiene una masa de 400 g, calcula el momento de la fuerza que realiza su peso respecto al punto de suspensión: a) En cada extremo de la oscilación. b) Al pasar por el punto más bajo de la trayectoria. 355
Unidad 11.
BACHILLERATO
Lay de gravitación universal
Física y Química 1
Actividades finales
Para entender mejor el ejercicio, realizamos un esquema de fuerzas que actúan en el péndulo: S
l=2m
15° r1
r2
m = 400 g q P
P
a) En los extremos de la oscilación, el valor del momento del peso, respecto de S, es: MS = r1 · F1 · sen θ = r1 · P · sen θ = r1 · m · g · sen θ Operando, queda: MS = 2 m · 0,4 kg · 9,8 m/s2 · sen 15° = 2,03 N · m La dirección de M S es perpendicular al plano del papel (plano de oscilación del péndulo); su sentido depende del extremo: a la derecha, va hacia dentro del papel, y a la izquierda, hacia fuera del papel. b) En el punto más bajo, r 2 y F 2 = P son paralelos, de modo que en ese caso el momento de la fuerza respecto a S es nulo.
25 Una masa puntual de 200 g hace un movimiento circular uniforme con una frecuencia de 4,5 Hz. Si el radio de la circunferencia es de 8 cm, obtén el momento angular respecto al centro geométrico en cada punto de la trayectoria. El momento angular o cinético respecto del centro geométrico de una masa puntual que realiza un m.c.u. es constante y de valor: L = m · v · R = m · ω · R 2 = m · 2 · π · f · R 2 Por tanto, al sustituir, resulta: L = 0,2 kg · 2 · π · 4,5 rad/s · (0,08 m)2 = 0,036 kg · m2 · s–1 El vector L es perpendicular al plano de la circunferencia, y su sentido depende del sentido de giro de la masa.
26 Con los datos de la figura, calcula el vector momento de la fuerza respecto al origen de coordenadas para las tres fuerzas mostradas. z(m) F2 = 80 · j N F3 = – 60 · j N y (m)
F1 = – 100 · k N
x (m)
356
Unidad 11.
BACHILLERATO
Lay de gravitación universal
Física y Química 1
Actividades finales
A la vista de la figura resulta, en unidades del S.I.: M 1 = r 1 Ò F 1 = (2 · j ) Ò (–100 · k ) = –200 · i N · m M 2 = r 2 Ò F 2 = (2 · k ) Ò (80 · j ) = –160 · i N · m M 3 = r 3 Ò F 3 = (– j ) Ò (– 60 · j ) = 0 N · m
27 Calcula la velocidad areolar de la masa en rotación de la actividad 25 mediante los siguientes procedimientos y verifica que se obtiene idéntico resultado: a) A partir del momento angular. b) Directamente, como cociente entre el área barrida y el tiempo empleado en barrerla. a) La relación entre la velocidad areolar y el momento angular es: vA =
2 –1 L = 0, 036 kg · m · s = 0,09 m2/s 2·m 2 · 0, 2 kg
b) Por otra parte, al efectuar la masa un m.c.u., también se cumple que: vA =
S círculo π · R 2 = f · π · R 2 = 4,5 s–1 · π · (0,08 m)2 = 0,09 m2/s = T 1/f
28 Razona sobre la veracidad de estas proposiciones: a) El valor del momento angular de los planetas en sus órbitas solo es constante si la órbita es circular. b) Cuanto más excéntrica es la órbita de un cometa, mayor es la diferencia entre las velocidades en el perihelio y en el afelio. c) La constancia del momento angular orbital de los planetas exige que el Sol se encuentre en el plano de la órbita. a) Falsa. El momento angular es constante en cualquier tipo de órbita. b) Cierta. Cuanto más excéntrica es la órbita, mayor es la diferencia entre la distancia al Sol en el perihelio y el afelio y, por ello, más diferentes serán las respectivas velocidades. c) Cierta. La constancia del momento angular exige que las órbitas sean planas y que el centro de atracción, el Sol, pertenezca al plano orbital.
29 La velocidad orbital media y el radio orbital medio de Marte son 24,13 km/s y 227,9 · 106 km, respectivamente. Si la masa del planeta Marte es de 6,42 · 1023 kg, calcula: a) El valor del momento angular orbital de Marte. b) La velocidad areolar. c) La velocidad orbital de Marte en su afelio, si rafelio = 249,2 · 106 km. a) El valor de L para Marte será: L =
· · sen <θ> = · m · · sen 90° Donde y son el radio orbital medio y la velocidad orbital media, respectivamente. El ángulo que, por término medio, forman r y v , es <θ> = 90°. Sustituyendo estos valores, queda: L = 2,279 · 1011 m · 6,42 · 1023 kg · 2,413 · 104 m/s = 3,53 · 1039 kg · m2 · s–1 b) Para calcular la velocidad areolar empleamos la relación: vA =
39 2 –1 L = 3, 53 · 10 kg · m · s = 2,75 · 1015 m2/s 2·m 2 · 6, 42 · 10 23 kg
357
Unidad 11.
BACHILLERATO
Lay de gravitación universal
Física y Química 1
Actividades finales
c) Como hemos estudiado, la velocidad orbital y la velocidad areolar están relacionadas por: vA = 1 · r · v · sen θ 2 En el afelio, sen θ = 1, así que queda: v=
2 · v A 2 · 2, 75 · 10 15 m 2 /s = = 22,1 · 103 m/s r 249, 2 · 10 9 m
Aplicaciones de la gravitación 30 Razona sobre la validez de la siguiente proposición: «La gravedad de un planeta disminuye con la altura de tal modo que cuando esta iguala el radio del planeta, la gravedad se reduce a la mitad». Falso. Si la altura es igual al radio, la gravedad se reducirá a una cuarta parte de su valor: 2 2 2 g g = g0 · c R m = g 0 · c R m = g 0 · c 1 m = 0 R +R 4 2 R +h
31 Calcula la gravedad superficial de Ganímedes, el mayor satélite del sistema solar, sabiendo que su densidad es de 1,94 g/cm3, y su radio, de 2 634 km. La densidad de Ganímedes en unidades del SI es: ρ = 1,94
6 3 1kg g · 10 cm = 1 940 kg/m3 · 3 3 1000 g cm 1m
Poniendo la masa en función de la densidad y el volumen, la gravedad superficial de Ganímedes será: G · p · 4 · π ·r3 G · p ·V G M · 3 g= = = =G · p · 4 · π ·r 2 3 r2 r2 r g = 6,67 · 10–11 N · m2 · kg–2 · 1 940 kg/m3 · 4 · π · 2 630 · 103 m = 1,43 m/s2 3
32 Un satélite de masa 8,93 · 1022 kg sigue una órbita circular de radio 422 · 106 km. Sabiendo que el período orbital es de 1,77 días, determina: a) La masa del planeta alrededor del cual orbita. b) El valor del momento angular del satélite. a) El período del satélite en unidades del SI es: T = 1,77 días · 24 h · 3 600 s = 152 928 s 1día 1h Así, la velocidad angular del satélite vale: ω = 2 · π = 2 · π rad = 4,11 · 10–5 rad/s T 152 928 s Como su movimiento es circular, igualamos la fuerza gravitatoria a la fuerza centrípeta y obtenemos el valor de la masa del planeta (M ): F G = FC → G · M=
2 3 M·m = m · u2 · r 8 M = u · r 2 G r
(4, 11· 10 –5 rad/s) 2 · (422 · 10 9 m) 3 = 1,9 · 1036 kg 6, 67 · 10 –11 N · m 2 · kg –2
b) El momento angular viene dado por la expresión: L = m · r · v · sen θ = m · r 2 · ω · sen θ L = 8,93 · 1022 kg · (422 · 109 m)2 · 4,11 · 10–5 rad/s · sen 90° = 6,53 · 1041 kg · m2/s 358
Unidad 11.
BACHILLERATO
Lay de gravitación universal
Física y Química 1
Actividades finales
33 Un cuerpo de 500 kg está sobre el origen de coordenadas, y otro, de 2 kg, en (4, 5) m. Calcula el vector fuerza gravitatoria que el segundo cuerpo experimenta por la mutua atracción con el primero. Para calcular el vector fuerza, podemos seguir dos estrategias: a) Determinamos por separado el módulo de la fuerza y el vector unitario radial: y (m) (4, 5)
5
ur m 2 = 2 kg
F1,2 4 3 2
r
1 a m 1 = 500 kg
F1, 2 = G ·
1
2
3
4
x (m)
m1 · m2 500 kg · 2 kg = 6,67 · 10–11 N · m2 · kg–2 · = 1,63 · 10–9 N 2 r (4 2 + 5 2) m u r = cos a · i + sen a · j = 4 · i + 5 · j 41 41
Y ahora: F 1, 2 = –F1, 2 · u r = (–1, 63 · 10 –9 N) · e 4 · i + 5 · j o = – (1, 02 · i + 1, 27 · j ) · 10 –9 N 41 41 b) Efectuamos el cálculo directo: F 1, 2 = –G ·
m1 · m2 m ·m m ·m · u r = –G · 1 2 2 · r = –G · 1 3 2 · r 2 r r r r
F 1, 2 = – 6, 67 · 10 –11 N · m 2 · kg –2 ·
500 kg · 2 kg · (4 · i + 5 · j ) = – (1, 02 · i + 1, 27 · j ) · 10 –9 N ( 4 2 + 5 2 m) 3
Página 325
34 Calcula el vector fuerza gravitatoria sobre m1 por la atracción de las otras masas, aplicando el principio de superposición: F 1 = F 2, 1 + F 3, 1 + F 4, 1 . y (m) (0, 3)
m 4 = 50 kg
m 3 = 100 kg
m 1 = 100 kg (0, 0)
(4, 0)
m 2 = 50 kg (2, –3)
359
x (m)
Unidad 11.
BACHILLERATO
Lay de gravitación universal
Física y Química 1
Actividades finales
A la vista de la figura, podemos escribir las siguientes expresiones para las fuerzas que las masas m2, m3 y m4 ejercen sobre la masa m1: y (m) F 2, 1 = G ·
F4,1 m 1 = 100 kg
m ·m F 3, 1 = G · 1 2 3 · i r 3, 1 F 4, 1 = G ·
m 4 = 50 kg
(0, 3)
m1 · m2 · (cos a · i + sen a · j ) r 22, 1
a
(0, 0)
m 3 = 100 kg
F3,1
(4, 0)
x (m)
F2,1
m1 · m4 ·j r 24, 1
(2, –3)
m 2 = 50 kg
Sustituyendo valores, se obtiene: 100 kg · 50 kg ·e 2 · i – 3 · jo (2 2 + 3 2 m) 2 13 13 = (1, 423 · i – 2, 135 · j ) · 10 –8 N
F 2, 1 = 6, 67 · 10 –11 N · m 2 · kg –2 · F 2, 1
F 3, 1 = 6, 67 · 10 –11 N · m 2 · kg –2 ·
100 kg · 100 kg · i = 4, 169 · 10 –8 · i N (4 m) 2
F 4, 1 = 6, 67 · 10 –11 N · m 2 · kg –2 ·
100 kg · 50 kg · j = 3, 706 · 10 –8 · j N (3 m) 2
Por tanto, el vector fuerza resultante sobre m1 debido a la atracción de las otras masas, calculado según la expresión dada por el enunciado, es el siguiente: F 1 = (5, 592 · i + 1, 571· j ) · 10 –8 N
35 Un satélite artificial gira alrededor de la Tierra a 3,6 · 107 m de su
v
superficie. Calcula: a) La velocidad del satélite.
h RT
b) Su aceleración. c) El período de rotación del satélite alrededor de la Tierra, expresado en días. Datos: R T = 6,38 · 106 m; MT = 5,97 · 1024 kg; G = 6,67 · 10–11 N · m2 · kg–2. a) Si el satélite gira alrededor de la Tierra, está sometido a una fuerza centrípeta, que es la fuerza de atracción gravitatoria. Igualando sus respectivas expresiones: Siendo r = RT + h.
2 m · v = G · m ·2m 8 v 2 = G · M r r r
Sustituyendo datos, se obtiene el valor de la velocidad del satélite: v=
6, 67 · 10 –11 N · m 2 · kg –2 · 5, 97 · 10 24 kg = 3 065,3 m/s (6, 38 + 36) · 10 6 m
b) Aunque el módulo de su velocidad es constante, el satélite cambia su dirección; luego, tiene aceleración normal, an, que vale: 2 (3 065, 3 m/s) 2 an = v 8 a n = = 0,22 m/s2 r 42, 38 · 10 6 m c) Como se desplaza con velocidad constante (en módulo), tenemos: 2 · π · 42, 38 · 10 6 m v = s = 2· π ·r 8 T = 2· π ·r = = 86 870 s = 1 día t v T 3 065, 3 m/s Los satélites cuyo período es 1 día se denominan geosíncronos. 360
Fc = Fg
Unidad 11.
BACHILLERATO
Lay de gravitación universal
Física y Química 1
Actividades finales
36 Dos satélites, A y B, giran alrededor de un planeta siguiendo órbitas circulares de radios 2 · 108 m y 8 · 108 m, respectivamente. Calcula la relación entre sus velocidades (tangenciales) respectivas.
rB rA
La representación de la situación expresada en el enunciado es: La velocidad tangencial de un satélite coincide con las velocidad orbital, que tiene por fórmula: v = G ·M r Por tanto, para cada uno de ellos, podemos escribir: vA =
G ·M = rA
vB =
G · M = G · M 8 v2 = G · M B rB 8 · 10 8 8 · 10 8
G · M 8 v2 = G · M A 2 · 10 8 2 · 10 8
Como G y M son constantes, la relación entre las velocidades será: G·M 8 v 2A v = 2 · 10 = 8 = 4 8 A = 2 2 vB 2 vB G·M 8 8 · 10
37 Un satélite se encuentra en órbita circular alrededor de la Tierra. Su masa es de 10 000 kg, y su velocidad, de 4,2 km/s. Calcula:
v m = 10 000 kg
a) El radio de la órbita.
h
b) Lo que tarda en dar diez vueltas a la Tierra. RT
Datos: G = 6,67 · 10–11 N · m2 · kg–2; MT = 5,98 · 1024 kg; RT = 6 370 km. a) Si el satélite describe una trayectoria circular, está sometido a una fuerza centrípeta, que es la fuerza de atracción gravitatoria. Por tanto, se cumplirá:
r = h + RT
2 G · MT M ·m m · v =G · T2 8 v2 = r r r
Despejando el radio de la órbita, r, y sustituyendo datos numéricos, nos queda: 6, 67 · 10 –11 N · m 2 · kg –2 · 5, 98 · 10 24 kg r = G ·2M 8 r = = 2,26 · 107 m = 22 600 km v (4, 2 · 10 3 m/s) 2 b) El satélite se desplaza en su órbita con velocidad constante en módulo; luego: v= s 8 t= s v t Como cada órbita mide 2 · π · r, sustituyendo datos numéricos, resulta: t = 10 ·
2 · π · 2, 26 · 10 7 m = 338 095 s = 3 d 21 h 54 min 55 s 4 200 m/s
361
Fc = Fg
