BACHILLERATO
Unidad 12. L a
ley de Coulomb
1
Física y Química 1
Actividades de los epígrafes
Fenómenos eléctricos
Página 329 1 El electroscopio fue desarrollado para detectar la presencia de objetos cargados. La figura muestra uno de los más simples. Esfera metálica Aislante Barra metálica
Laminilla de oro
Razona qué le sucede a la laminilla de oro en los siguientes casos: a) Se acerca a la esfera una varilla cargada negativamente sin llegar a tocarla. b) Se toca la esfera con la varilla. a) Al acercar al electroscopio una varilla cargada negativamente, las cargas de la esfera se distribuyen de forma que se acercan las positivas y se alejan las negativas. Estas últimas se mueven hacia el interior del electroscopio, es decir, a la barra metálica y la lámina de oro. Al estar ambas cargadas negativamente, hace que se repelan, lo que indica que el cuerpo que se ha acercado está cargado. Cuando se retire la varilla, las láminas volverán a juntarse:
– – – – – –
+
– –
+ +
– –
b) Al tocar la esfera con la varilla, la esfera se neutralizará, pero las láminas siguen cargadas y separadas. Pero, ahora, cuando se retira la varilla, las láminas no se juntan, porque el electroscopio ha adquirido carga neta: –
–
–
– +– +– +
– –
– –
363
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La ley de Coulomb
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Actividades de los epígrafes
2 Aunque la electricidad no es un fluido, ¿cuál de las dos teorías rivales, la de Du Fay o la de Franklin, se aproxima más a la realidad física tal como ahora la conocemos? Ambas teorías coinciden en la idea de la existencia de fluidos eléctricos y del equilibrio eléctrico de los cuerpos. Pero la teoría de Franklin atribuye la carga a un solo fluido eléctrico, mientras que la teoría de Du Fay emplea dos fluidos opuestos. Por tanto, esta última se acerca más al concepto moderno de carga.
3 ¿Qué sucede si unimos con un largo hilo de seda dos esferas metálicas que tienen carga de diferente signo? ¿Y si el hilo es de cobre? Si unimos con un hilo de seda dos esferas metálicas con diferente signo, no sucede nada porque la seda es aislante. Sin embargo, si se unen con un hilo de cobre, al ser conductor, las cargas circulan por el hilo y se distribuyen entre las esferas hasta neutralizarse.
2
Fuerza eléctrica entre cuerpos cargados
Página 331 4 Razona si la siguiente proposición es falsa o verdadera: «Cuanto mayor es la constante dieléctrica de una lámina, más intensa es la fuerza eléctrica con que se atraen cargas opuestas colocadas a sus lados». La proposición es falsa. La constante dieléctrica, ε, es inversamente proporcional a la fuerza. Siendo la relación de la fuerza con la constante dieléctrica: F=
q ·q 1 · 12 2 4·π·e r
Por tanto, cuanto mayor sea el valor de ε, menos intensa será la fuerza de Coulomb entre dos cargas.
5 Determina cuánta carga transporta una corriente de 44 mA en un minuto. La intensidad de corriente se define como la carga por unidad de tiempo. Por tanto, la carga que pasa por una corriente de 44 mA en 1 min será: I=
q → q = I · t = 44 · 10–3 A · 60 s = 2,64 C t
6 Una bola de cobre cargada toca a otra idéntica, pero descargada. Tras el contacto, las bolas se repelen con una fuerza de 1,7 N cuando están separadas por 8 cm de aire. ¿Cuál era la carga inicial de la bola de cobre? Al tocar la primera bola cargada a la segunda descargada, la carga inicial de la primera se reparte igualmente entre las dos, quedando ambas con la misma carga. De la ley de Coulomb deducimos esta carga, tomando K = K0: F=K· 2 q = F ·r = K
q2 r2
1, 7 N · (0, 08 m) 2 = 1,1 · 10– 6 C = 1,1 μC 9 · 10 9 N · m 2 · C –2
Por tanto, la carga inicial es el doble de esta: qi = 2 · q = 2,2 μC 364
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Actividades de los epígrafes
7 ¿Puede ser negativa la constante dieléctrica relativa de un medio? ¿Y su permitividad? ¿Por qué? La constante dieléctrica relativa es la relación entre la permitividad del medio y la del vacío. Su valor es siempre positivo y mayor que la unidad, pues cualquier medio dieléctrico interpuesto reduce la fuerza con la que interaccionan las cargas en comparación con el vacío. No puede tomar valores negativos, pues se incumpliría la ley de Coulomb, ya que las cargas del mismo signo se atraerían y las de signo contrario se repelerían. Lo mismo cabe decir del signo de la permitividad de cualquier medio dieléctrico.
3
Carácter vectorial de la fuerza eléctrica
Página 333 8 Entre dos cargas, q1 = +4 C y q2 = +6 C, separadas 2 m, existe un punto en el segmento que las une en el que otra carga, q3 = 2 C, está en reposo. ¿De qué punto se trata? Colocamos las cargas en un eje cartesiano, de forma que q1 está colocada en el origen de coordenadas: q1
F2,3
+
q3
+
q2
F1,3
+ 2–x
x
La carga q3, colocada entre ambas, estará en reposo cuando las fuerzas que recibe de las otras dos cargas sean iguales en módulo pero distinto sentido. La fuerza para cada una de ellas es: F1, 3 = K ·
q1 · q3 x2
F2, 3 = K ·
q2 · q3 (2 – x) 2
Igualando ambas fuerzas: K·
q1 · q3 q ·q = K · 2 32 2 x (2 – x)
q1 · (2 – x)2 = q2 · x 2 q1 (4 + 2 · x – 4x) = q2 · x 2 2 · x 2 + 16 · x – 16 = 0 → x =
–16 ± 384 4
x1 = 0,90 m ; x2 = –8,9 m Al resolver la ecuación se obtienen dos soluciones; tomamos la positiva a 0,9 m de q1, ya que está en el segmento que une ambas cargas. La otra solución carece de sentido físico.
9 En los puntos (0; 0), (0; 0,2) y (0,2; 0) hay tres cargas iguales, q = +5 C. ¿Qué fuerza ejercen sobre otra carga de +2 C situada en el punto (0,2; 0,2), si las distancias están en metros? Las tres cargas iguales se sitúan en tres vértices de un cuadrado de 0,2 m de lado, a los que llamamos puntos 1, 2 y 3, estando la cuarta carga en el cuarto vértice. 365
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Actividades de los epígrafes
Las fuerzas ejercidas por las cargas situadas en los puntos 1, 2, 3 sobre la carga situada en el punto 4 las reflejamos en el esquema:
3
F1,4
F2,4
Y
+
+
F3,4
4
a
+ 1
+
X
2
Las fuerzas F2, 4 y F3, 4 son iguales en módulo, ya que las cargas 2 y 3 son iguales y su distancia a la cuarta carga es la misma. Así, el módulo de la fuerza que ejercen es: F2, 4 = F3, 4 = K ·
–6 –6 q1 · q4 = 9 · 109 N · m2 · C–2 · 2 · 10 C · 5 · 210 C = 2,25 N 2 (0, 2 m) r
Los vectores para F2, 4 y F3, 4, situados en el eje Y y en el eje X respectivamente, son: F 2, 4 = 2, 25 · j N ; F 3, 4 = 2, 25 · i N Para F1, 4, la distancia entre las cargas es de d = 0,2 · 2 m, y el módulo de la fuerza será: –6 –6 q2 · q4 = 9 · 109 N · m2 · C–2 · 2 · 10 C · 5 · 102 C = 1,125 N 2 r 1, 4 (0, 2 · 2 m)
F1, 4 = K ·
Las componentes cartesianas de esta fuerza son: ( F 1, 4 )x = F1, 4 · cos α · i = 1,125 ·
0, 2 · i = 0,8 · i N 0, 2 · 2
( F 1, 4 )y = F1, 4 · sen α · j = 1,125 ·
0, 2 · j = 0,8 · j N 0, 2 · 2
Para calcular la fuerza total, utilizamos el teorema de superposición. Así, su valor será: F = F 1, 4 + F 2, 4 + F 3, 4 = (2, 25 + 0, 8) · i + (2, 25 + 0, 8) · j = 3, 05 · ( i + j ) N
10 Las cargas q1 = –3 C, q2 = +5 C y q3 = +4 C están colocadas en los puntos A (0, 6), B (8, 0) y C (8, 6), respectivamente. Calcula la fuerza que actúa sobre la carga q = –1 C colocada en el origen de coordenadas ( r = 1). Las cargas se colocan en un sistema de coordenadas, con q en el centro de coordenadas. Las fuerzas que experimenta se muestran en el esquema: Y q1 –
C + q3
A
d1
d3
d1 = 6 m
F3 q O
–
a
d2 F2
B
+q 2
d2 = 8 m d3 = 8 2 + 6 2 = 10 m
X
F1
366
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Actividades de los epígrafes
Para calcular el módulo de las fuerzas, utilizamos los valores absolutos de las cargas y suponemos que las distancias están medidas en metros: –6 –6 2 q1 · q = 9 · 10 9 N · m · 3 · 10 C · 1·2 10 C = 7,5 · 10– 4 N 2 2 C (6 m) d1
F1 = K · F2 = K · F3 = K ·
–6 –6 2 q2 · q = 9 · 10 9 N · m · 5 · 10 C · 1·2 10 C = 7 · 10– 4 N 2 2 C (8 m) d2 –6 –6 2 q3 · q · 4 · 10 C · 1·210 C = 3,6 · 10– 4 N = 9 · 10 9 N · m C2 (10 m) d 23
Las componentes cartesianas de cada fuerza, de acuerdo con el esquema, son: F1 = –F1 · j = –7,5 · 10– 4 · j N ; F2 = F2 · i = 7 · 10– 4 · i N F3 = F3X · i + F3Y · j = F3 · cos α · i + F3 · sen α · j F3 = 3,6 · 10– 4 · 8 · i + 3,6 · 10– 4 · 6 · j = (2,88 · 10– 4 · i + 2,16 · 10– 4 · j ) N 10 10 Por tanto, la fuerza resultante sobre la carga q es: F = F1 + F2 + F3 = –7,5 · 10– 4 · j + 7 · 10– 4 · i + 2,88 · 10– 4 · i + 2,16 · 10– 4 · j F = (9,88 · 10– 4 · i – 5,34 · 10– 4 · j ) N También podíamos haber resuelto el problema calculando directamente el vector fuerza producido por cada carga por medio de la expresión vectorial, teniendo en cuenta los vectores unitarios en las direcciones que unen las cargas con el origen: • Para q1: r1 = AO = – 6 · j m ; r1 = 6 m ; u 1 = – j F1 = K ·
2 q1 · q (–3 · 10 –6) C · (–1· 10 –6) C · u 1 = 9 · 10 9 N · m · · (– j ) = –7,5 · 10– 4 · j N 2 2 C (6 m) 2 r1
• Para q3: r3 = CO = (–8 · i – 6 · j ) m ; r3 = 8 2 + 6 2 = 6 m u 3 = – 8 · i – 6 · j = –0,8 · i – 0,6 · j 10 10 F3 = K ·
2 q3 · q 4 · 10 –6 C · (–1· 10 –6) C · (–0, 8 · i – 0, 6 · j ) · u 3 = 9 · 10 9 N · m · 2 2 C (10 m) 2 r3
F3 = 2,88 · 10– 4 · i + 2,16 · 10– 4 · j N • Para q2: r2 = BO = – 8 · i m ; r1 = 8 m ; u 2 = – i F2 = K ·
2 q2 · q 5 · 10 –6 C · (–1· 10 –6) C 9 N·m u · = 9 · 10 · · (– i ) = 7 · 10– 4 · i N 2 C2 (8 m) 2 r 22
Y, por tanto, la fuerza resultante sobre la carga q es, como vimos al resolver el problema por el procedimiento anterior: F = F1 + F2 + F3 = –7,5 · 10– 4 · j + 7 · 10– 4 · i + 2,88 · 10– 4 · i + 2,16 · 10– 4 · j F = (9,88 · 10– 4 · i – 5,34 · 10– 4 · j ) N 367
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11 En los vértices de un triángulo equilátero de 40 cm de lado hay colocadas tres cargas iguales de +2 C cada una. Calcula la fuerza que actúa sobre una carga de +0,2 C si está situada: a) En el centro del triángulo. b) En el punto medio de uno de los lados ( r = 4). Aunque el resultado final es obvio por razones de simetría, vamos a calcularlo numéricamente: a) La distancia de un vértice al centro del triángulo es 2 de la longitud de la mediana: 3 d = 2 · dM 3 Como se aprencia en la figura inferior: L2 = c L m + dM2 → dM = 2
2 3 L2 – c L m = 3 · L2 = ·L 4 2 2
2
Luego: 3 3 3 ·L = ·L = · 0, 4 = 0,23 m d = 2 · dM = 2 · 3 3 2 3 3 Y q3 +
F1
F2
+ q
q1 +
30°
120°
X d
L
+q 2 F3
Otra forma de calcular la distancia d es: cos 30° = L/2 8 d = L/2 = L = 0,23 m d 3 /2 3 Las fuerzas que realizan cada una de las cargas colocadas en los vértices sobre la carga colocada en el centro tienen el mismo módulo, pues la distancia es la misma para las tres: F1 = F2 = F3 = K ·
2 q1 · q 2 · 10 –6 C · 0, 2 · 10 –6 C = 6,8 · 10–2 N = 9 · 10 9 N · m · 2 2 d C (0, 23 m) 2
De acuerdo con el sistema de coordenadas utilizado en la figura anterior, las componentes de estas fuerzas son: 3 · i + 6, 8 · 10 –2 · 1 · j o N F1 = F1 · cos 30° · i + F1 · sen 30° · j = e 6, 8 · 10 –2 · 2 2 3 F2 = –F2 · cos 30° · i + F2 · sen 30° · j = e – 6, 8 · 10 –2 · · i + 6, 8 · 10 –2 · 1 · j o N 2 2 F3 = –F3 · j = – 6,8 · 10–2 · j N 368
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Actividades de los epígrafes
Por tanto, la fuerza resultante sobre q es: F = F1 + F2 + F3 = 0 b) Las fuerzas que actúan sobre la carga q cuando está colocada en el punto medio de un lado (el inferior, en este caso), de acuerdo con la figura adjunta, son: 9 2 q ·q 2 · 10 –6 C · 0, 2 · 10 –6 C · · i → F1 = 0,0225 · i N F1 = K · 1 2 · i = 9 · 10 N · m 2 er 4 C (0, 2 m) 2 d1 9 2 q ·q 2 · 10 –6 C · 0, 2 · 10 –6 C F2 = K · 2 2 · i = –9 · 10 N · m · · i → F2 = –0,0225 · i N er 4 C2 (0, 2 m) 2 d2 9 2 q ·q 2 · 10 –6 C · 0, 2 · 10 –6 C F3 = K · 3 2 · (– j ) = –9 · 10 N · m · · j → F3 = –7,5 · 10–3 · j N 2 2 er 4 C d3 e 3 · 0, 4 m o 2
Y q3 +
L d3 60° + q1
F2
d1
+ q
d2 F1
+ q2
X
F3
Entonces, la resultante en el punto medio del lado inferior es: F = F1 + F2 + F3 = –7,5 · 10–3 · j N La fuerza en cada uno de los otros puntos medios tiene el mismo módulo, 7,5 · 10–3 N, y su dirección se encuentra lo largo de la mediana que pasa por ese punto.
4
Trabajo, energía y potencial eléctricos
Página 337 12 Entre dos puntos hay una d.d.p. de 50 V. ¿Qué carga se ha transportado entre ellos si se ha realizado un trabajo externo de 8 J? La carga que se ha transportado se obtiene despejando en la expresión del trabajo: Wext = q · ΔV → q =
W ext = – 8 J 0,16 C DV 50 V
13 ¿Qué sucedería en el ejercicio resuelto 16 si la partícula fuese un electrón? ¿Se frenaría? Teniendo en cuenta que, según el ejercicio resuelto 16, la partícula penetra en la región en la que existe la d.d.p. con una velocidad de 2 · 107 m/s, y que, además, la masa del electrón es de 9,1 · 10–31 kg, su energía cinética será: Ec = 1 · me- · v 2 = 1 · 9,1 · 10–31 kg · (2 · 107 m/s)2 = 1,82 · 10–16 J 2 2 369
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Actividades de los epígrafes
Dado el valor de la carga del electrón, de –1,6 · 10–19 C, el trabajo realizado por la d.d.p. de 5 kV en este caso es: We = –qe · ΔV = –(–1,6 · 10–19 C) · 5 · 103 V = +8 · 10–16 J Como el trabajo de frenado (negativo) es superior a la Ec , el electrón se frena. nota:
Obsérvese que la d.d.p. se opone al movimiento de la partícula, luego su signo es opuesto al del ejercicio
resuelto 16, ya que tienen carga opuesta las dos partículas.
14 Una carga negativa se mueve de forma espontánea entre dos puntos. ¿Cuál tiene mayor potencial? Para que la carga se mueva de forma espontánea, el trabajo tiene que ser positivo. Según la expresión del trabajo eléctrico: We = –q · ΔV Para que sea positivo, teniendo en cuenta que la carga es negativa, ΔV debe ser positivo. Para que esto se cumpla, el potencial en el punto final debe ser mayor que en el inicial.
15 Determina el trabajo externo para trasladar 2 C de carga de −200 V a +100 V. El trabajo eléctrico tiene un valor de: We = –q · ΔV = –2 · 10– 6 C · [100 V – (–200 V )] = – 6 · 10– 4 J El signo negativo nos indica que el trabajo se realiza desde fuera. Por tanto, el trabajo externo es de signo contrario: Wext = 6 · 10– 4 J
5
Naturaleza eléctrica de la materia
Página 339 16 Explica por qué los átomos son neutros en condiciones normales. Los átomos son neutros debido a que tienen el mismo número de protones y electrones; por tanto, habrá igual carga positiva que negativa, y se neutraliza.
17 ¿Qué es un ion? ¿Cuál es la diferencia entre cationes y aniones? Un ión es un átomo o molécula que, por pérdida o ganancia de electrones, queda cargada eléctricamente. La diferencia entre un anión y un catión es que, el primero de ellos gana electrones, por lo que queda cargado negativamente, y el segundo pierde electrones, y queda cargado positivamente.
18 Clasifica estas sustancias como aislantes o conductoras: agua de mar, gota de mercurio, cerámica, cristal de sal común, aire seco, mina de un lápiz. En condiciones normales, y teniendo en cuenta sus propiedades y estructuras, podemos clasificarlas de esta forma: Aislantes
Conductoras
Cerámica
Agua de mar
Cristal de sal común
Gota de mercurio
Aire seco
Grafito
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La ley de Coulomb
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Actividades de los epígrafes
19 Razona si las siguientes proposiciones son falsas o verdaderas: a) Los protones no son partículas elementales. b) La carga de un ion negativo siempre es un múltiplo entero de la carga del electrón. c) Faraday inventó el término electrón. a) Verdadero. Es una partícula subatómica formada por quarks. b) Verdadero. Una especie química (átomo o molécula) solo acepta números enteros de electrones (1, 2, 3 o 4), por eso su carga será siempre un múltiplo de la carga del electrón. c) Falso. El inventor del término electrón fue G.J.Stoney.
6
Fuerza eléctrica y fuerza gravitatoria
Página 341 20 Determina el exceso de electrones en una microgota de aceite cuya carga es de −2,24 · 10–18 C. Conocida la carga del electrón, qe – = –1,6 · 10–19 C, el número de electrones en la gota cargada será: N=
–2, 24 · 10 –18 = 14 electrones –1, 6 · 10 –19
21 Calcula con qué fuerza se atraen un electrón y un núcleo de oxígeno (Z = 8) separados 25 pm. La fuerza viene determinada por la ley de Coulomb. La carga del electrón es de –1,6 · 10–19 C, y la carga del núcleo de oxígeno es de 8 · 1,6 · 10–19 C. Por tanto, el valor de la fuerza con la que se atraen será: F=K·
q · q' (1, 6 · 10 –19 C) · 8 · (1, 6 · 10 –19 C) = 9 · 10 9 · = 2,95 · 10– 6 N 2 (25 · 10 –12 m) 2 r
22 ¿Cómo es posible que los protones se mantengan juntos en el núcleo? ¿Se debe a que la ley de Coulomb no actúa entre ellos? ¿Es por la fuerza gravitatoria? Razona tu respuesta. La ley de Coulomb sigue actuando, pero sobre ella se impone la interacción fuerte o fuerza nuclear fuerte, que actúa por igual entre protones y neutrones. Por eso, la presencia de neutrones, no afectados por la repulsión culombiana, constituye un factor de estabilidad nuclear. La fuerza gravitatoria no juega ningún papel en el interior del núcleo.
23 ¿Por qué la carga de los iones es siempre un múltiplo entero, positivo o negativo, de la carga del electrón? Debido a que una especie química (átomo o molécula) gana o pierde un número entero de electrones, es decir, n = 1, 2, 3 o 4. Nunca puede no ser entero. Por eso, si gana electrones, el exceso será el número de electrones multiplicado por la carga del electrón, y viceversa, al perderlos, el efecto será el número de electrones perdidos por la carga del electrón.
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Actividades finales
Página 344
Ley de Coulomb 1 ¿Con qué fuerza se repelen dos cargas puntuales de –0,6 mC separadas 50 cm si r = 9? La fuerza se obtiene aplicando la ley de Coulomb: F=K·
q 1 · q 2 K 0 q 1 · q 2 9, 0 · 10 9 N · m 2 (–0, 6 · 10 –3 C) 2 = 1 440 N = · = · er 9 r2 r2 (0, 5 m) 2 C2
2 Escribe, en notación vectorial, la fuerza que una carga q1 = +5 C, colocada en O (0, 0), ejerce sobre una segunda carga, ambas en el vacío, en los casos:
a) q2 = –8 C situada en (8, 0) m. b) q2 = +2 C en (0, 5) m. c) q2 = +1 C en (4, 4) m. d) q2 = –1 C en (0, 2) m. Los valores de la fuerza de los casos planteados en el enunciado se obtienen usando la expresión vectorial de la ley de Coulomb: F =K ·
q1 · q2 · ur r2
La expresión vectorial de la fuerza en cada caso es: 2 5 · 10 – 6 C · (–8 · 10 – 6) C a) F = 9 · 10 9 N · m · i → F = –5,6 · 10–3 · i N · C2 (8 m) 2
–6 –6 2 b) F = 9 · 10 9 N · m · 5 · 10 C · 2 2· 10 C · j → F = 3,6 · 10–3 · j N 2 C (5 m)
–6 –6 2 c) F = 9 · 10 9 N · m · 5 · 10 2 C · 12· 102 C · u r → F = 1,4 · 10–3 · u r = 9,9 · 10– 4 · ( i + j ) N 2 C ( 4 + 4 m)
Donde hemos tenido en cuenta que, en este caso, el vector unitario, u r , es: u r = cos 45° · i + sen 45° · j = 0,71 · ( i + j ) 2 5 · 10 – 6 C · (–1· 10 – 6) C · j → F = –1,1 · 10–2 · j N d) F = 9 · 10 9 N · m · C2 (2 m) 2
3 Calcula el valor de K para una sustancia dieléctrica dentro de la cual dos cargas q1 = +2 mC y q2 = –4 mC separadas por 10 cm se atraen con F = 6,8 · 105 N. Para calcular K en este caso, utilizamos la expresión matemática de la ley de Coulomb: F=K· K=
2 q1 · q2 8 K = F ·r 2 q q · r 1 2
(6, 8 · 10 5 N) · (0, 1m) 2 = 8,5 · 108 N · m2 · C–2 (2 · 10 –3 C) · (4 · 10 –3 C)
Recuérdese que la expresión utilizada corresponde al módulo de la fuerza y, por tanto, no se tiene en cuenta el signo de las cargas. 372
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Actividades finales
4 Calcula el módulo de la fuerza eléctrica que el sistema de cargas de la figura realiza sobre una carga q = +1 mC colocada en el origen de coordenadas. y (m) (0, 2)
4 μC
+
O
–5 μC
–
+
(2, 2)
4 μC
(2, 0)
x (m)
La figura de la derecha muestra las fuerzas que ejercen cada una de las cargas del sistema sobre la carga situada en el origen:
Y 1
–
+
Las cargas en (2, 0) y (0, 2) ejercen fuerzas perpendiculares de igual valor: –6 –3 2 q · q' F1 = F2 = K · = 9 · 10 9 N · m · 4 · 10 C · 1·2 10 C = 9 N 2 2 C (2 m) r
F3 F2
4
+
F
F1
La resultante de estas dos fuerzas es otra fuerza dirigida formando un ángulo de 45° con ambos ejes y cuya módulo es: F = F 12 + F 22 = 12,7 N Por otro lado, la fuerza que ejerce la carga situada en (2, 2) es: –6 2 10 –3 C = 5,6 N F3 = 9 · 10 9 N · m · 5 · 10 2 C · 1· 2 2 C ( 2 + 2 m) 2
La fuerza resultante está dirigida hacia la carga de –5 μC, pero con sentido opuesto (observa que los sentidos de F y F3 son opuestos) y su valor es: F = 12,7 N – 5,6 N = 7,1 N
5 Calcula la fuerza con que se atraen un electrón y un protón separados 1 nm en el vacío. Compárala con la fuerza de atracción gravitatoria entre ellos. Datos: mp = 1,67 · 10–27 kg; me = 9,11 · 10–31 kg. Las fuerzas eléctrica y gravitatoria con que se atraen el protón y el electrón son: Feléc = K ·
Fgrav = G ·
2 q1 · q2 (1, 6 · 10 –19 C) 2 = 2,3 · 10–10 N = 9 · 10 9 N · m · 2 2 C (1· 10 –9 m) 2 r
2 m1 · m2 1, 67 · 10 –27 kg · 9, 11· 10 –31 kg –11 N · m = 6 , 67 · 10 · = 1,0 · 10– 49 N r2 kg 2 (1· 10 –9 m) 2
Observa que la fuerza gravitatoria es 1039 veces más débil que la eléctrica a esa distancia. 373
3
a
+ 2
X
Unidad 12.
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La ley de Coulomb
Física y Química 1
Actividades finales
6 ¿En qué puntos de la línea que une dos cargas de valores q1 = +8 C y q2 = +5 C,
separadas 10 cm en el vacío, la fuerza sobre una carga eléctrica se anula? Repite el ejercicio, pero, ahora, con cargas q1 = +8 C y q3= –5 C. En el primer caso, donde q1 = +8 μC y q2 = +5 μC, representamos la situación en el siguiente esquema: q1
F2
+
q2
F1
+ 10 – x
x
Donde suponemos que la carga testigo es positiva (se obtendría igual resultado si fuera negativa). Para que las fuerzas se anulen, sus módulos deben ser iguales. Así: _ q1 · q b F1 = K · b q2 · q q ·q x2 ` F1 = F2 8 K · 1 2 = K · x (0, 1 – x) 2 q2 · q b F2 = K · b (0, 1 – x) 2 a 8 · 10 – 6 C = 5 · 10 – 6 C → 3 · x 2 – 1,6 · x + 0,08 = 0 x2 (0, 1 – x) 2 x1 = 0,056 m = 5,56 cm x2 = 0,477 m = 47,7 cm Por tanto, la fuerza sobre una carga q se anula en un punto situado entre q1 y q2, a 5,6 cm de la primera y a 4,4 cm de la segunda. El segundo valor de la distancia no lo tenemos en cuenta, porque aunque los módulos de las fuerzas sean iguales en ese punto, sus sentidos no serán opuestos, lo que debe suceder para que las fuerzas se anulen. En el segundo caso, la situación será esta: q1
q3
+
– 10 cm
Fq3
Fq1
x
A diferencia del anterior, en este caso se anula la fuerza ejercida por ambas cargas en un punto externo del segmento que las une. Luego, debe cumplirse: _ q1 · q b q ·q q1 · q (0, 1+ x) 2 b ` F1 = F3 8 K · =K · 3 2 2 x (0, 1+ x) q ·q b F3 = K · 3 2 b x a
F1 = K ·
8 · 10 – 6 C = –5 · 10 – 6 C → 3 · x 2 – x – 0,05 = 0 (0, 1+ x) 2 x2 x1 = 0,377 m = 37,7cm x2 = –0,044 m Por tanto, la fuerza ejercida sobre q se anula a 37,7 cm a la derecha de q3. Como en el caso anterior, la segunda solución corresponde a un punto en el que los módulos de las fuerzas son iguales pero estas no se anulan. 374
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Actividades finales
7 Calcula la distancia entre las cargas q1 = +3 C y q2 = +8 C para que se repelan con F = 0,6 N:
a) Si están en el vacío. b) Si el medio entre ellas es agua ( r = 80). Para resolver el ejercicio, utilizamos la ley de Coulomb, y despejamos de ahí la distancia. a) En el vacío: F=K·
–6 –6 2 q1 · q2 q ·q 8 r = K · 1 2 = 9 · 10 9 N · m · 3 · 10 C · 8 · 10 C = 0,6 m F 0, 6 N C r2
b) En agua: q ·q F= K · 1 2 2 8 r= er r
K · q 1 · q 2 = 9 · 10 9 N · m 2 · C –1 · 3 · 10 –6 C · 8 · 10 –6 C = 0,067 m er F 80 0, 6 N
8 Dos cargas, q1 y q2, se repelen con una fuerza de 4,5 N cuando están separadas por 10 cm de un medio dieléctrico donde q1 + q2 = 9 C.
r
= 4. Calcula el valor de cada carga, si
La fuerza, según la ley de Coulomb, es: q ·q F= K · 1 2 2 er r Ponemos q2 en función de q1: q1 + q2 = 9 μC → q2 = (9 · 10– 6 – q1) C Sustituimos y operamos para obtener el valor de q1: 2 –6 q · (9 · 10 – 6 – q 1) 9 · 10 9 · 9 · 10 · q 1 – q 1 4 5 F= K · 1 = 8 , er 4 r2 0, 1 2
–9 · 109 · q12 + 81 · 103 · q1 – 0,18 = 0 → *
q 1 = 5 · 10 – 6 C q 1 ' = – 4 · 10 – 6 C
De las dos soluciones, tomamos la carga positiva, ya que se trata de una fuerza de repulsión y la suma de las cargas es positiva. Por tanto: q1 + q2 = 9 · 10– 6 C q2 = 9 · 10– 6 C – 5 · 10– 6 C = 4 · 10– 6 C
9 Dos pequeñas esferas iguales de 80 g de masa, cargadas con igual cantidad de carga positiva, al suspenderlas de un mismo punto mediante sendos hilos idénticos de longitud 20 cm se separan hasta que los hilos forman 60°. Calcula: a) El valor de cada una de las fuerzas que actúan sobre cada esfera en la posición de equilibrio. b) El valor de la carga de cada esfera. El esquema de las fuerzas que actúan es:
30° 60°
T
Ty F
Tx P
375
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a) La tensión en el eje Y es igual al peso: Ty = P → Ty = m · g = 0,080 kg · 9,81 m/s2 = 0,785 N Así, la tensión de la cuerda será: T=
Fy 0, 785 N = 0,906 N = cos o cos 30°
Y, por tanto, la fuerza eléctrica será igual a la componente x de la tensión: Fe = Tx → Fe = T · sen θ = 0,906 · sen 30° = 0,453 N b) Conocida la fuerza de repulsión de las bolas de idéntica carga, se despeja la carga de la ley de Coulomb: F=K·
2 q ·q 8 q = F ·r = K r2
0, 453 N · (0, 2 m) 2 = 1,42 · 10– 6 C 9 · 10 9
Donde r coincide con la longitud de los hilos, pues la figura muestra que se forma un triángulo equilátero.
10 Las cargas q1 = +9 C y q2 = –3 C están en el vacío situadas en los puntos (–3, 0) m y (3, 0) m, respectivamente. Calcula la carga q3 que hemos de colocar en el origen de coordenadas para que la fuerza sobre la carga q = +1 C situada en el punto P (6, 0) m sea nula. El esquema que representa la situación dada por el enunciado es el siguiente: Y (–3, 0)
+ q1
(0, 0)
(3, 0)
–
q3
F2
q2
La ley de Coulomb en forma vectorial es: F =K ·
q · q' · ur r2
La fuerza que actúa sobre q debida a cada una de las cargas es: • Debido a q1: r1 = [6 – (–3)] · i + (0 – 0) · j = 9 · i → r1 = 9 m ; u 1 = i –6 –6 2 C = 10–3 · i N F1 = 9 · 10 9 N · m · 9 · 10 C · 10 2 2 C (9 m)
• Debido a q2: r2 = (6 – 3) · i + (0 – 0) · j = 3 · i → r2 = 3 m ; u 2 = i –6 –6 2 F2 = 9 · 10 9 N · m · –3 · 10 C ·210 C = –3 · 10–3 · i N 2 C (3 m)
• Debido a q3: r3 = (6 – 0) · i + (0 – 0) · j = 6 · i → r3 = 6 m ; u 3 = i 2 q · 10 –6 C = 250 · q3 · i N F3 = 9 · 10 9 N · m · 3 2 C (6 m) 2
376
(6, 0) F 1
+ q
X
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La fuerza total se calcula aplicando el principio de superposición. Sabiendo que dicha fuerza debe ser nula, calculamos el valor de q3: F = F1 + F2 + F3 0 = 10–3 – 3 · 10–3 + 250 · q3 → q3 = 8 · 10– 6 C = 8 μC
11 Tres cargas iguales de valor Q = +2 C están colocadas en tres de los vértices de un cuadrado de lado 10 cm. Calcula el módulo de la fuerza que actúa sobre una carga q = +1 C si está colocada: a) En el cuarto vértice. b) En el centro del cuadrado. a) El esquema de las fuerzas que actúan sobre la partícula situada en el cuarto vértice es: Y q1
+
+
q3
F3,4
F2,4 q4+
+
q2
F1,4
X
El vector distancia y la fuerza que experimenta q al estar situada en el vértice del cuadrado es, para cada una de las cargas: • Para q1: r 1, 4 = (0,1 – 0) · i + (0,1 – 0,1) · j = 0,1 · i → r1, 4 = 0,1 m ; u r = i –6 –6 2 C · i = 1,8 · i N F 1, 4 = 9 · 10 9 N · m · 2 · 10 C · 10 2 2 C (0, 1m)
• Para q2: r 2, 4 = (0,1 – 0,1) · i + (0,1 – 0) · j = 0,1 · j → r2, 4 = 0,1 m ; u r = j F 2, 4 = 1,8 · j N El módulo de la fuerza creada por q2 es el mismo que el de la fuerza creada por q1, pero cambia la dirección en que actúa. • Para q3: r 3, 4 = (0,1 – 0) · i + (0,1 – 0) · j = 0,1 · i + 0,1 · j → r3, 4 = 0,1 · 2 m ; u r =
i+j 2
–6 –6 –6 –6 2 2 0, 1 0, 1 F 3, 4 = 9 · 10 9 N · m · i + 9 · 10 9 N · m ·j · 2 · 10 C · 10 2 C · · 2 · 10 C · 10 2 C · 2 2 C C (0, 1· 2 m) 0, 1 · 2 (0, 1· 2 m) 0, 1 · 2
F 3, 4 = 0,64 · ( i + j ) N Aplicando el principio de superposición calculamos la fuerza total: F = F 1, 4 + F 2, 4 + F 3, 4 F = 1,8 · i + 1,8 · j + 0,64 · i + 0,64 · j = 2,43 · ( i + j ) N Su módulo es: F = 2, 43 2 + 2, 43 2 = 3,44 N 377
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b) Cuando la carga está situada en el centro del cuadrado, el esquema de las fuerzas que actúan sobre ella es el siguiente: Y q1 + F2,4
F3,4
+
q4 F1,4
+
+
q3
q2
X
Gráficamente, se observa que F 1, 4 y F 2, 4 se anulan y la fuerza total será la debida a q3. La distancia que une q3 y q es: r 2 = (0,05 m)2 + (0,05 m)2 → r = 0,05 · 2 m El valor de F viene dado por la ley de Coulomb: F = F3, 4 = K ·
–6 –6 2 q3 · q4 = 9 · 10 9 N · m · 2 · 10 C · 10 2 C = 3,6 N 2 2 C r (0, 05 · 2 m)
Página 345
12 La carga q1 = +4 C está en el origen de coordenadas y la carga q2 = –9 C está en el punto B (3, 0) m. Calcula la fuerza sobre una carga q = –1 C situada en el eje X en el punto x = 1,2 m. El esquema de fuerzas es el siguiente: Y
q1
+
F2 F1
–
q2
q
+
X
Calculamos el vector distancia que separa a q de q1 y q2, y la fuerza que ejerce cada una de ellas utilizando la ley de Coulomb: • Para q1: r1 = (1,2 – 0) · i + (0 – 0) · j = 1,2 · i → r1 = 1,2 m ; u 1 = i 2 4 · 10 –6 C · (–10 –6 C) · i = –0,025 · i N F1 = 9 · 10 9 N · m · 2 C (1, 2 m) 2
• Para q2: r2 = (1,2 – 3) · i + (0 – 0) · j = –1,8 · i → r2 = 1,8 m ; u 2 = – i 2 (–9 · 10 –6 C) · (–10 –6 C) · (– i ) = –0,025 · i N F2 = 9 · 10 9 N · m · 2 C (1, 8 m) 2
La fuerza total se calcula aplicando el principio de superposición: F = F1 + F2 = –0,025 · i – 0,025 · i = –0,05 · i N 378
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13 Dos cargas idénticas positivas fijas están separadas 10 cm. ¿En qué punto o puntos se anula la fuerza que el conjunto de ambas cargas ejerce sobre una tercera carga positiva? ¿Y si esta es negativa? Si la carga testigo es positiva, la fuerza se anulará solo en el punto medio que separa las dos cargas: q1
+
F2
F1
q2
+
x 10 cm
Si utilizamos la ley de Coulomb para calcular la distancia: _ q1 · q b b x2 ` q2 · q b F2 = K · (0, 1 – x) 2 ba F1 = K ·
Como las cargas q1 y q2 son iguales, imponiendo la condición de que las fuerzas sean iguales hallamos el punto en que se anulan: F1 = F2 → k ·
q1 · q q2 · q =k · 2 x (0, 1– x) 2
1 = 1 → x = 0,05 m = 5 cm x 2 (0, 1 – x) 2 Comprobamos que, efectivamente, las dos fuerzas de repulsión se anulan en el punto medio de la línea que los une. Si la tercera carga, ahora, es negativa, el punto donde se anulan las fuerzas de atracción es el mismo de antes. En cualquier otro punto del espacio hay una fuerza neta de repulsión o atracción sobre la carga testigo.
Trabajo, energía y potencial eléctricos 14 Indica las proposiciones correctas: a) La energía potencial electrostática puede ser positiva y negativa. b) La constante de la ley de Coulomb es universal. c) El vacío es el medio para el que la fuerza eléctrica entre cargas es máxima. d) Cuando una carga negativa se aleja de una positiva, la energía potencial electrostática del conjunto aumenta. a) Verdadero. Cuando las cargas son del mismo signo será positiva y si son de signo contrario, negativa. b) Falso. La constante depende del medio en el que interaccionen las cargas. c) Verdadero. Debido a que la constante tiene el mayor valor. d) Verdadero. La energía potencial disminuye en valor absoluto, pero al ser cargas de distinto signo la energía potencial es negativa, por lo que el valor será mayor. 379
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15 Calcula la energía potencial electrostática del sistema formado por dos cargas, q1 = q2 = +0,3 C, separadas 2,5 m por aire. Tomando Kaire = K0, la energía potencial del sistema toma un valor de: Ep = K ·
2 q1 · q2 (0, 3 · 10 –6 C) 2 → Ep = 9 · 109 N · m · = 3,24 · 10- 4 J 2 r 2, 5 m C
16 La energía potencial electrostática de un sistema de dos cargas puntuales es, inicialmente, 40 J. Tras el movimiento del sistema, la energía es de 100 J. ¿Cómo ha sido el trabajo eléctrico del sistema? ¿Y el trabajo externo? Razona si el movimiento ha sido espontáneo o forzado. El trabajo eléctrico es igual al incremento de energía potencial, cambiado de signo; este es: Weléc = –ΔEp = –(100 J – 40 J) = – 60 J El trabajo externo que se debe realizar es: Wext = +60 J El movimiento ha sido forzado, se debe realizar trabajo externamente.
17 ¿A qué distancia, en el vacío, de una carga puntual de +25 pC el potencial eléctrico es de 4,5 V? Si utilizamos una pequeña carga testigo de valor q’, la enegía potencial eléctrica entre las dos cargas es: Ep = K ·
q · q' r
Por tanto, el valor del potencial en la posición de q’ resulta: V=
Ep –12 2 q q =K · → r=K· = 9 · 10 9 N · m · 25 · 10 C = 0,05 m r q' V 4, 5 V C2
18 ¿Qué energía potencial electrostática adquiere una carga de +4 C colocada en un punto donde existe un potencial de 80 V? La energía potencial es la carga por el potencial, esto es: Ep = q · V = 4 · 10– 6 C · 80 V = 3,2 · 10– 4 J
19 ¿Cuál es el trabajo necesario para transportar una carga de +5 mC entre los puntos A y B? V (V) 30 A 20
B
10 1
2
3
x (mm)
–10 –20
Como el campo eléctrico es conservativo, el trabajo externo coincide con la diferencia de energía potencial entre los puntos extremos del desplazamiento independientemente del camino: Wext = –We = ΔEp = q · ΔV = 5 · 10–3 C · (20 – 25) V = –0,025 J 380
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20 Calcula el trabajo que realiza el campo eléctrico cuando una carga de +0,1 mC se desplaza entre dos puntos entre los cuales existe una diferencia de potencial V = V2 – V1 = 35 V. ¿Qué significa el signo del trabajo eléctrico que resulta? El trabajo que realiza el campo eléctrico es: Weléc = –ΔEp = –q · ΔV = –0,1 · 10–3 C · 35 V = –3,5 · 10–3 J El signo negativo indica que el campo eléctrico se opone al movimiento de la carga.
21 Calcula la energía potencial de las cargas q1 = +40 C y q2 = +50 C, que están en el
vacío, si la distancia, r, entre ellas es 1 m, 2 m, 3 m, 4 m, 5 m y 6 m, respectivamente. Representa la energía potencial en función de la distancia. Para calcular la energía potencial utilizamos: Ep = K ·
q1 · q2 r
Teniendo en cuenta el valor de K en el vacío, diremos que: • Si r = 1 m: –6 –6 2 Ep = 9 · 109 N · m · 40 · 10 C · 50 · 10 C = 18 J 2 1m C
• Si r = 2 m: –6 –6 2 Ep = 9 · 109 N · m · 40 · 10 C · 50 · 10 C = 9 J 2 2m C
• Si r = 3 m: –6 –6 2 Ep = 9 · 109 N · m · 40 · 10 C · 50 · 10 C = 6 J 2 3m C
• Si r = 4 m: –6 –6 2 Ep = 9 · 109 N · m · 40 · 10 C · 50 · 10 C = 4,5 J 2 4m C
• Si r = 5 m: –6 –6 2 Ep = 9 · 109 N · m · 40 · 10 C · 50 · 10 C = 3,6 J 2 5m C
• Si r = 6 m: –6 –6 2 Ep = 9 · 109 N · m · 40 · 10 C · 50 · 10 C = 3 J 2 6 m C
Si representamos la energía potencial en función de la distancia entre las cargas, obtenemos la siguiente gráfica: Ep (J)
20
10
1
2
3
4
381
5
6
r (m)
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22 Calcula la energía potencial del sistema formado por las cargas q1 = +2 C y q2 = +4 C
cuando están separadas 40 cm. ¿Qué trabajo hay que realizar para que la distancia entre ellas sea de 20 cm? La energía potencial del sistema, inicialmente, es: Ep = K · i
–6 –6 2 q1 · q2 = 9 · 109 N · m · 2 · 10 C · 4 · 10 C = 0,18 J ri 0, 4 m C2
La energía potencial en la situación final vale: Ep = K · f
–6 –6 2 q1 · q2 = 9 · 109 N · m · 2 · 10 C · 4 · 10 C = 0,36 J 2 rf 0, 2 m C
Por tanto, el trabajo eléctrico será: Weléc = –ΔEp = –(0,36 J – 0,18 J) = –0,18 J El trabajo que hay que realizar desde fuera (trabajo externo) será positivo: Wext = 0,18 J.
23 La carga Q = +20 C está fija en el origen de coordenadas. Una partícula cargada, m = 0,1 g y q = +2 C, pasa del punto A (2, 0) m al punto B (6, 0) m. Calcula: a) La fuerza sobre la partícula cuando está en A y cuando está en B. b) La aceleración de la partícula en A y en B. c) Su energía potencial en A y en B. d) El trabajo efectuado por la fuerza eléctrica entre A y B sobre la partícula. e) Su velocidad en A si llega a B con 50 m/s. a) El valor de la fuerza en cada uno de los puntos es: FA = K ·
–6 –6 2 q1 · q2 = 9 · 109 N · m · 20 · 10 C · 22 · 10 C = 0,09 N 2 2 C (2 m) rA
FB = K ·
–6 –6 2 q1 · q2 = 9 · 109 N · m · 20 · 10 C · 22 · 10 C = 0,01 N C2 (6 m) r 2B
b) Si no actúan otro tipo de fuerzas, la fuerza eléctrica será igual a su masa por la aceleración. Teniendo el valor de la masa, la aceleración en cada uno de esos puntos será: F=m·a → a= F m aA =
0, 09 N 0, 01N = 900 m/s2 ; aB = = 100 m/s2 0, 1· 10 –3 kg 0, 1· 10 –3 kg
c) La energía potencial en cada punto es: Ep, A = K ·
–6 –6 2 q1 · q2 = 9 · 10 9 N · m · 20 · 10 C · 2 · 10 C = 0,18 J rA 2m C2
Ep, B = K ·
–6 –6 2 q1 · q2 = 9 · 10 9 N · m · 20 · 10 C · 2 · 10 C = 0,06 J 2 rB 6m C
d) El trabajo efectuado entre estos puntos es: We = –ΔEp = –(0,06 J – 0,18 J) = 0,12 J 382
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e) La energía total se conserva, por tanto, la suma de energía potencial eléctrica y cinética es igual en el punto A y B. Calculamos, en primer lugar, la energía total en B: E = Ep, B + Ec, B = Ep, B + 1 · m · vB2 = 0,06 J + 1 · 0,1 · 10–3 kg · (50 m/s)2 2 2 E = 0,185 J Y despejamos la velocidad en el punto A: E = Ep, A + Ec, A = Ep, A + 1 · m · vA2 2 vA =
(E – E p, A) · 2 = m
(0, 185 J – 0, 18 J) · 2 = 10 m/s 0, 1· 10 –3 kg
Igualmente, el cálculo puede efectuarse mediante el teorema de la energía cinética o de las fuerzas vivas, W = ΔEc.
Página 346
Naturaleza eléctrica de la materia 24 Razona sobre la veracidad de estas proposiciones: a) La electrización por frotamiento solo es posible en metales. b) Los aislantes contienen partículas cargadas. c) Todos los conductores líquidos son de tipo iónico. a) Falso. Todos los materiales pueden electrizarse por frotamiento. b) Cierto. Toda la materia es intrínsecamente eléctrica. c) Falso. Los metales fundidos también conducen la corriente.
25 Cataloga estas sustancias como aislantes o conductores: a) Vidrio.
b) Vinagre.
c) Estaño.
d) Goma.
a) Aislante. b) Conductor. c) Conductor. d) Aislante.
26 Clasifica los siguientes conductores, según la naturaleza de los portadores de carga: a) Cobre.
b) Silicio.
c) Aire ionizado.
a) Cobre: electrónico (metal). b) Silicio: electrónico (semiconductor) c) Aire ionizado: mixto. d) Sal fundida: iónico. 383
d) Sal fundida.
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27 Razona qué le sucederá a la bola neutra colgante al acercar la varilla metálica cargada sin que llegue a haber contacto entre ellas. ¿Y si se tocan?
La bola se electrizará por inducción. En la zona próxima a la varilla se situarán cargas positivas y, por tanto, la bola será atraída por la varilla. Si se tocan, la carga negativa se repartirá entre la bola y la varilla; por tanto, la bola será repelida por la varilla.
28 Explica qué significa la expresión: «La carga eléctrica está cuantizada». Pon ejemplos. ¿Puede una carga valer 1,432 ∙ 10–19 C? ¿Y 1,654 ∙ 10–19 C? ¿Por qué? La expresión «la carga eléctrica está cuantizada» significa que la carga de cualquier sistema cargado es un múltiplo entero de la carga fundamental, es decir, del valor de la carga del protón o electrón, que en el Sistema Internacional es de 1,602 · 10–19 C. Algún ejemplo es Al3+, cuya carga es tres veces la del protón, o el anión SO42–, con carga dos veces la del electrón. Ninguna de las cargas propuestas en el enunciado son múltiplos de la carga del electrón, por lo que no es posible que tomen ese valor.
29 Un electrón (me = 9,11 ∙ 10–31 kg) que se mueve inicialmente a 25 km/s penetra en un tubo donde es acelerado por una diferencia de potencial de 1 000 V. ¿Cuál será la velocidad del electrón al salir del tubo? Calculamos la variación de energía cinética del electrón con el teorema de la energía cinética (fuerzas vivas): W = ΔEc El trabajo total es exclusivamente eléctrico y vale: W = We = –q · ΔV = –(–1,6 · 10–19 C) · 1 000 V = 1,6 · 10–16 J Donde se ha tenido en cuenta que la diferencia de potencial es positiva, ΔV > 0, pues acelera al electrón. De aquí, resultan para la energía cinética final: Ec = Ec + W = 1 · (9,11 · 10–31 kg) · (25 · 103 m/s)2 + 1,6 · 10–16 J = 1,6 · 10–16 J f i 2 Por tanto, la velocidad a la salida del tubo es: vf =
2 · E cf = me
2 · 1, 6 · 10 –16 J = 1,87 · 107 m/s 9, 11· 10 –31 kg 384
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30 Si la distancia entre dos protones en el interior de un núcleo atómico es 0,3 · 10–15 m, calcula la fuerza eléctrica y la fuerza gravitatoria entre ellos. Datos: mp = 1,67 · 10–27 kg; qp = +1,6 · 10–19 C. La fuerza eléctrica corresponde a: 2 q · q' (1, 6 · 10 –19 C) 2 = 9 · 10 9 N · m = 2 560 N · 2 2 C (0, 3 · 10 –15 m) 2 r
Fe = K ·
La fuerza gravitatoria será: 2 (1, 67 · 10 –27 kg) 2 Fg = G · m · 2m' = 6, 67 · 10 –11 N · m2 · = 2,1 · 10–33 N r kg (0, 3 · 10 –15 m) 2
31 Calcula la diferencia de potencial necesaria: a) Para acelerar un protón desde el reposo a una velocidad de 2 · 105 m/s. b) Para frenar un electrón que lleva una velocidad de 5 · 106 m/s. a) Conociendo la velocidad del protón, calculamos su energía cinética final: Ec = 1 · m · vi2 = 1 · 1,67 · 10–27 kg · (2 · 105 m/s)2 = 3,34 · 10–17 J f 2 2 Para acelerar el protón, toda la energía potencial aplicada se transforma en energía cinética. Siendo la energía potencial igual a la carga por la diferencia de potencial, calculamos este: Ec = Ep = q · ΔV → ΔV = f
i
E pi 3, 34 · 10 –17 J = = 208,8 V q 1, 6 · 10 –19 C
b) Conocida la velocidad del electrón, calculamos la energía cinética inicial del electrón: Ec = 1 · m · vi2 = 1 · 9,11 · 10–31 kg · (5 · 106 m/s)2 = 1,14 · 10–17 J 2 2 La energía cinética del electrón pierde por la ganancia de energía potencial. Calculamos la diferencia de potencial aplicada: Ec = Ep = q · ΔV → ΔV =
E p 1, 14 · 10 –17 J = = –71,17 V q –1, 6 · 10 –19 C
32 Los minerales que contienen uranio son emisores de radiación , y . Una forma de separarlos se basa en su capacidad de penetrar la materia como ves en la figura: Papel
Aluminio
Hormigón
Alfa
Beta
Gamma
Busca información sobre la naturaleza de estas radiaciones y razona qué sucede cuando un fino haz, mezcla de los tres tipos de radiación, penetra entre dos placas cargadas eléctricamente de forma paralela a ellas. 385
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El haz se desdobla en cada una de las tres componentes. La radiación gamma no se desviará, porque se trata de luz de alta energía. La radiación alfa se desviará hacia el cátodo (polo –), porque se trata de partículas cargadas positivamente. Y la radiación beta se desviará hacia el ánodo (polo +), porque consiste en partículas cargadas negativamente. – – – – – – – – – – – – – – – –
a
g
b
++++++++++++++++
33 Con los datos del ejercicio resuelto 16 y teniendo en cuenta que los rayos beta son electrones, compara las aceleraciones que recibirán los rayos alfa y beta de la actividad anterior. Los datos del ejercicio resuelto 16 son: mα = 4,0015 u ; 1u = 1,66 · 10–27 kg ; qα = 2 · 1,6 · 10–19 C mβ = 9,11 · 10–31 kg ; qβ = –1,6 · 10–19 C Las aceleraciones respectivas de las partículas α y β dependen de la fuerza eléctrica, o de Coulomb, que reciben entre las dos placas cargadas y de sus masas respectivas: a= F m Por tanto, la relación de las aceleraciones de las partículas α y β será: aa qa · mb 2 · 1, 6 · 10 –19 C · 9, 11· 10 –31 kg = = = –2,74 · 10– 4 a b q b · m a –1, 6 · 10 –19 C · 4, 0015 · 1, 66 · 10 –27 kg Se observa que las aceleraciones tienen sentido opuesto debido a que las cargas son de diferente signo.
34 Los términos ion, ánodo y cátodo, de origen griego, fueron propuestos por Faraday en 1834 para referirse a la materia que se mueve dentro de una cuba electrolítica y a sus electrodos. Averigua el significado de estos términos. El término ion se refiere a una partícula cargada eléctricamente. Es un átomo o molécula que no es eléctricamente neutra. Se forma a partir de una partícula neutra que gana o pierde electrones (anión y catión, respectivamente). El significado de ánodo para Faraday es el de «camino ascendente» o «de entrada», referido al electrolito de una celda electroquímica. En él se produce la oxidación. En el caso de una pila galvánica, corresponde al polo negativo, pero si se trata de una celda electrolítica, se trata del polo positivo. Por otro lado, el significado de cátodo es el de «camino descendente» o «de salida», referido al electrolito de una celda electroquímica. En esta celda se produce la reducción. Corresponde al polo positivo en una pila galvánica, y al polo negativo en una celda electroquímica. 386
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35 Si se conecta un hilo de cobre a una pila de 1,5 V, los electrones libres de su interior avanzan en promedio a 10−5 m/s hacia el polo positivo. Calcula qué velocidad alcanzarían los electrones si se movieran en el vacío sometidos a la misma diferencia de potencial. Justifica por qué van tan despacio dentro del metal. La energía potencial que comunica el potencial de la pila a los electrones es: Ep = q · ΔV = –1,6 · 10–19 C · (–1,5 V) = 2,4 · 10–19 J En el vacío, la energía del electrón se conserva y la energía cinética máxima se corresponde con la energía potencial inicial. Despejamos la velocidad que alcanza el electrón: Ep = Ec = 1 · m · vf2 i f 2 vf =
2 · Ec = m
2 · 2, 4 · 10 –19 J = 7,3 · 105 m/s 9, 11· 10 –31 kg
La diferencia de velocidad de los electrones es tan grande porque los electrones dentro del metal sufren choques, lo que hace que se ralentice su velocidad (la energía del electrón se transforma en calor). Pero en el vacío no pasa esto, y por eso circulan tan rápido.
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36 Justifica si las siguientes proposiciones son verdaderas o falsas: a) En la teoría atómica de Dalton se suponía que los átomos se unían entre sí por fuerzas eléctricas. b) En el modelo atómico de Thomson los electrones giraban en órbitas circulares. c) La visión del átomo propuesta por Rutherford con un pequeño núcleo positivo que contiene casi toda la masa y una gran corteza electrónica prácticamente vacía de materia sigue siendo correcta. a) Falso, en la teoría atómica de Dalton no se especifica cómo se unen los átomos para formar moléculas. b) Falso, los electrones estaban embutidos en una masa uniforme positiva. c) Verdadero. La visión es correcta, aunque hay modelos posteriores que explican de una manera más aproximada la verdadera naturaleza de los átomos (modelo cuántico).
37 Utilizando la expresión deducida en el ejercicio resuelto 12, calcula qué fuerza actuará sobre un protón lanzado al interior de un campo eléctrico donde cada centímetro la d.d.p. aumenta 50 V. Sabiendo la expresión que relaciona la fuerza y la d.d.p., sustituimos los datos y obtenemos el valor de la fuerza: Fe = –q · DV = –1,6 · 10–19 C · 50–2V = –8 · 10–16 N Dr 10 m Observa que es una fuerza de frenado.
38 Cuando luz con la suficiente energía, normalmente ultravioleta, incide sobre la superficie limpia y pulida de un cierto metal, se produce un efecto fotoeléctrico que consiste en la expulsión del metal de electrones que han tomado de la luz la energía suficiente para escapar. Calcula la velocidad máxima de esos electrones sabiendo que una d.d.p. desfavorable de 1,2 V es capaz de frenarlos por completo. 387
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Calculamos la energía potencial que hace frenar los electrones. La diferencia de potencial es negativa, ya que nos indica que es desfavorable: Ep = q · ΔV = –1,6 · 10–19 C · (–1,2 V) = 1,92 · 10–19 J f
Cuando se detiene el electrón toda la energía cinética se convierte en energía potencial. De la expresión de la energía cinética se deduce la velocidad que tenían los electrones: Ep = Ec = 1 · m · v 2 f i 2 v=
2 · E ci = m
2 · 1, 92 · 10 –19 J = 6,5 · 105 m/s 9, 11· 10 –31 C
39 Una microgotita de aceite de 0,55 g de masa cargada con un exceso de 20 electrones entra en la cámara del aparato de Millikan donde hay una d.d.p. vertical que disminuye con la altura a razón de 2 kV/mm. Razona si la gota se mantendrá en equilibrio, bajará o subirá. (Utiliza la expresión del ejercicio resuelto 12). La expresión de la fuerza eléctrica, deducida en el ejercicio resuelto 12, es: Fe = –q · DV Dr En este caso, la fuerza vale: Fe =
20 · 1, 6 · 10 –19 C · 2 · 10 3 V = 6,4 · 10–12 N 10 –3 m
Y la fuerza de la gravedad es: Fg = m · g = 0,55 · 109 kg · 9,81 m/s2 = 5,49 · 10–9 N Al ser la fuerza de la gravedad mayor que la fuerza eléctrica, la gotita de aceite bajará.
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