ESTUDO COMPLETO DE UMA FUNÇÃO
Função
y
f x
1 . Domínio: D. 2 . Intersecções com os eixos coordenados: - Cálculo de f 0 (se possível). Permite obter o ponto onde a função intersecta o eixo dos yy. - Cálculo das soluções da equação f
x
0 . Permite obter
os pontos onde a função toca ou intersecta o eixo ei xo dos xx.
3 . Sinais da função: Usando os resultados obtidos em 2 . , determinar os intervalos do domínio onde f x 0 e onde f x 0 . Poderá fazer um quadro de sinais da função e ficará a saber por onde "anda" a função.
4 . Simetrias - Se a função verificar f par. - Se a função verificar f
x x
f x , x
D , ela diz-se
f x , x
D , ela diz-se
ímpar. - Se não se verificar nenhuma das duas condições anteriores, a função não é par nem ímpar.
O conhecimentos da simetria relativamente aos eixos coordenados é útil pois, caso exista, só precisamos de estudar a função num dos quadrantes.
Elaborado por Isabel Rodrigues para a disciplina de Matemática I, DEETC, ISEL, 2/11/2004
1
5 . Periodicidade Se
existir
T
: x
D f x
T
f x ,
repetindo-se a função nas mesmas condições, a função diz-se periódica de período T.
6 . Assimptotas Verticais: x
a é assimptota vertical da função: - à esquerda se lim f x x
- à direita se
a
lim f x x
a
lim f x
Se
x
a
e
lim f x x
, x
a é
a
assimptota vertical da função.
Não verticais: -
y
m1 x
b1 é assimptota não vertical da função se
existirem e forem reais os limites :
m1
-
lim
f x
b1
lim
f x
mx
x
x
m2 x
b2 é assimptota não vertical da função
x
se existirem e forem reais os limites :
m2
lim
x
f x
b2
lim
x
f x
mx
Elaborado por Isabel Rodrigues para a disciplina de Matemática I, DEETC, ISEL, 2/11/2004
2
7 . Continuidade, diferenciabilidade e limites Limites da função
f x tem limite num ponto de aderente do domínio (a
D ) se : lim f x
x
lim f x
a
x
a
lim f x
x
a
Continuidade da função num ponto 1º caso
f x é contínua num ponto a 1
D se :
Existe e é finito o limite:
lim f x
x
2
a
o limite calculado é igual ao valor da função no ponto:
lim f x
x
2º caso
f a
a
Se necessário, recorre-se à utilização de limites laterais e nesse caso a metodologia é a que se segue.
f x é contínua num ponto a 1-
Existem e são finitos os limites:
e lim f x
lim f x x
2-
D se :
a
x
a
se os limites laterais são iguais
lim f x x
a
lim f x x
a
Elaborado por Isabel Rodrigues para a disciplina de Matemática I, DEETC, ISEL, 2/11/2004
3
3-
se os limites laterais são iguais ao valor da função no ponto onde são calculados:
lim f x x
a
lim f x x
f a
a
Classificação das descontinuidades da função Se a função não for contínua num ponto aderente do domínio ela poderá ser: - Prolongável por continuidade nesse ponto - Descontínua de 1ª espécie - Descontínua de 2ª espécie
-- A função é prolongável por continuidade no ponto se se verificarem as duas seguintes condições:
a
D
- se os seus limites laterais nesse ponto forem iguais e - se f a não está definido.
Prolongamento da função por continuidade no ponto
a
D: Seja lim f x
a
Prolongamento:
x
lim f x x
A (finito) .
a
f x
f x
se x
a
A
se x
a
-- A função é descontínua de 1ª espécie no ponto se se verificarem as duas condições seguintes:
a
D
- se os seus limites laterais nesse ponto existirem e forem finitos.
e - se os limites laterais não forem iguais. Elaborado por Isabel Rodrigues para a disciplina de Matemática I, DEETC, ISEL, 2/11/2004
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-- A função é descontínua de 2ª espécie no ponto se se verificar uma das duas seguintes condições:
a
D
- se os seus limites laterais nesse ponto não existirem ou - se os limites laterais não forem finitos.
Diferenciabilidade da função num ponto 1º caso
f x é diferenciável num ponto a
D se :
1 - for contínua em a . 2 - Se o limite da taxa média de variação (também chamada razão incremental) existe e é finito:
lim
x
f x
a
2º caso
f (a )
x
a
f x é diferenciável num ponto a
D se :
1 - for contínua em a . 2 - Se os limites laterais da taxa média de variação (também chamada razão incremental):
lim x
f x
f (a ) a
a
e lim x
f x
a
x
f (a ) a
ou
lim h
0
f a
h h
f (a )
lim x 0
f a
h
f (a )
h
existem e são finitos.
Elaborado por Isabel Rodrigues para a disciplina de Matemática I, DEETC, ISEL, 2/11/2004
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Limites no infinito Tem interesse conhecer, caso existam, os limites:
lim f x
e
x
lim f x
x
8 . Intervalos de monotonia Se não existirem problemas com a diferenciabilidade, calcula-se a derivada da função e: - se x I , I D , f ' x 0 a função diz-se
crescente em I . -
se
x
I, I
D, f ' x
0 a função diz-se
decrescente em I . Se no intervalo considerado existirem pontos onde a função não é diferenciável, teremos que recorrer à definição:
D : x1 x2 função diz-se crescente.
-- se
x1 , x2
f x1
f x 2 , a
x1 , x2
f x1
f x 2 , a
D : x1 x2 função diz-se decrescente.
-- se
9 . Pontos de estacionaridade São os pontos onde a função é diferenciável e que verificam a condição:
f ' x
0.
o que corresponde a pontos onde a tangente ao gráfico é horizontal (m=0).
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10 . Extremantes e extremos Os extremos podem ocorrer nas seguintes situações:
1) Pontos de estacionaridade em que f '' x
0 , i.e.
0 e f '' x
0 . Se necessário recorre-se a derivadas de ordem superior. (Teorema extremos) f ' x
2) Pontos onde a função não é diferenciável e neste caso aplicam-se as definições de máximo e mínimo de uma função:
- a é maximizante da função em D se: x D : f x f a . Nestas condições, f a diz-se o máximo da função em
D .
- a é minimizante da função em D se: x D : f x f a . Nestas condições, f a diz-se o mínimo da função em
D .
3) Pontos da fronteira de
D ,
caso D seja fechado. Aí também se aplicam as definições de máximo e mínimo de uma função.
11 . Concavidades e pontos de inflexão Se a função for duas vezes diferenciável, teremos o seguinte: -- se f '' x
0 a função diz-se convexa.
+
-- se f '' x
0 a função diz-se côncava.
-
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se existir um ponto
a
D tal que: f '' a
0 diz-se +
que a função tem em a uma inflexão ou que a , f ( a ) é um ponto de inflexão de f que
-
corresponde a uma mudança de curvatura da função. Se necessário recorre-se ao teorema das concavidades
12 . Gráfico Com todas as informações colhidas ao longo dos 11 passos anteriores, desenhar o gráfico da função.
13 . Contradomínio Conjunto das imagens dos pontos do domínio de f.
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Exemplo: Estudo da função
f x
1) Domínio: D
x
2
x ln x
: x 0
2) Intersecções com os eixos coordenados: Eixo dos xx:
x 2 ln x
0
f x
0
0
x
x 1
Mas não se deixem enganar!!!! x =0 não pertence ao domínio D , pelo que a função intersecta o eixo xx em x=1. Eixo dos yy: Como
0
D , f 0 não é um real, logo a função não
intersecta o eixo dos yy. 3) Sinal da função Vejamos onde f é positiva:
f
x
0
x
D
2
x ln x (x
2
0
0 ln x
2
0)
0 x
ln x
condiçao impossivel
x
0
1
x
1
x
y
A função é positiva no intervalo 1,
.
+
Vejamos quando é negativa: f
x
0
x
D
x 2 ln x (x
2
0
-
1
x
0 ln x
0)
(x
2
0
ln x
0)
0 x 1 A função é negativa no intervalo 0,1 .
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9
0
4) Simetrias Neste caso, como a função está apenas definida em D não há simetria relativamente ao eixo do yy.
,
5) Periodicidade As função não é periódica porque não existe T que verifique a condição de periodicidade. 6) Assimptotas Nota: RC – Regra de Cauchy. Verticais Vejamos se x=0 é assimptota à direita da função: lim f x
lim
x
0
x
0
x
2
ln x
lim x
0
ln x 1
R C
2
x
1 ln x '
lim x
0
lim
'
1
lim
2
0
x
2
x
x
0
x
2
0
3
x
2
x
x=0 não é assimptota à direita, pois o limite não é infinito. Assim, não existem assimptotas verticais. Não verticais: y
m1
lim
x
m1 x f
x
lim
x
lim x ln x
x
b1 2 x ln x
x
lim
x
ln x 1
x
0
x Como este limite é infinito, não existem assimptotas não verticais quando x tende para mais infinito. Elaborado por Isabel Rodrigues para a disciplina de Matemática I, DEETC, ISEL, 2/11/2004
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Não faz sentido calcular as assimptotas não verticais quando x tende para menos infinito porque o domínio é D
.
7) Limites, continuidade e diferenciabilidade Limites: Pode ter interesse calcular: 2
lim f x
lim x ln x
x
x
Continuidade: A função é contínua em todos os pontos do seu domínio porque é o produto de duas funções contínuas no domínio de f : 2 x é contínua em porque é polinomial. ln x também é contínua em D . Diferenciabilidade: A função é diferenciável em todos os pontos do seu domínio porque é o produto de duas funções diferenciáveis no domínio de f : 2
x é diferenciável em D
porque é polinomial
ln x também é diferenciável em D
.
8) Intervalos de monotonia Cálculo da derivada de f x f ' x
x
2
ln x '
2
x ln x :
2 x ln x
x
2
1 x
2 x ln x
x
Intervalos onde a função é crescente:
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11
0
f ' x x x
2 x ln x
0
2 ln x
0
1
0
0
x
x 2 ln x 1
0
0
2 ln x 1
0 1
1
ln x
x
im possivel
2
0
x
x
e
2
1
x
e
Intervalos onde a função é decrescente:
0
1
x
e
Nota: 1 é um pouco mais pequeno que 1 e maior que 0.5 e 9) Pontos de estacionaridade
0
f ' x x
0
2 x ln x 2 ln x 1
x
0
0
x 2 ln x 1
2 ln x 1
0
Ponto de estacionaridade ou crítico: x, f x
0 1
x 1 e
e ,
1 2e
10 Extremantes e extremos Como a função é diferenciável em todos os pontos do seu domínio e como o domínio não é um conjunto fechado, os únicos extremantes que podem existir são os pontos de estacionaridade. Vejamos se x , f x
1 e
,
1 é extremo: 2e
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Cálculo da 2ª derivada da função:
2 x ln x
f '' x
x '
2 ln x
2x
1
1
x
2 ln x 3
No ponto de estacionaridade a 2ª derivada é :
f ''
1
1
2 ln e
e
2
3
2
0 +
1
que é positiva, pelo que x , f x
e
,
1 é mínimo local. 2e
11) Concavidades e inflexões Analisemos o sinal da 2ª derivada. Vejamos onde ela se anula, o que corresponde a encontrar os pontos de inflexão:
0
f '' x
2 ln x
3
x
e
2
x
3
Nota:
e
3
ln x
3 2
1 e
1
0
3
é um mais pequeno que
1
.
e
Então existe um ponto de inflexão que é: x , f x
1 e
3
3
,
2e
. 3
A concavidade será positiva (tigela virada para cima) se: 3
f '' x
0
x
e
2
x
1 . 3 e
+
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A concavidade será negativa (tigela virada para baixo) se: 3
0
f '' x
x
e
2
0
x
1 . e3
-
12) Gráfico: x2lnx 0.5 0.4 0.3 0.2 minim.
p.i.
0.1 0o
1
1 e3
-0.1
e
-0.2 -0.3 0
0.25
0.5
0.75
1
1.25
1.5
13) Contradomínio:
3 2e
3
,
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