ESTUDIO DE LA RESONANCIA SUBSÍNCRONA

UNIVERSIDAD PONTIFICIA COMILLAS ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE INGENIERÍA (ICAI) INGENIERO INDUSTRIAL

PROYECTO FIN DE CARRERA

ESTUDIO DE LA RESONANCIA SUBSÍNCRONA

Alumna: Mercedes Vallés Rodríguez Director: Luis Rouco Rodríguez MADRID, junio de 2009

Autorizada la entrega del proyecto al alumno: Mercedes Vallés Rodríguez

EL DIRECTOR DEL PROYECTO Luis Rouco Rodríguez Fdo:

Fecha:

Vº Bº del Coordinador de Proyectos Tomás Gómez San Román

Fdo:

Fecha:

Autorizada la entrega del proyecto al alumno: Mercedes Vallés Rodríguez

EL DIRECTOR DEL PROYECTO Luis Rouco Rodríguez Fdo:

Fecha:

Vº Bº del Coordinador de Proyectos Tomás Gómez San Román

Fdo:

Fecha:

Resumen

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Resumen ESTUDIO DE LA RESONANCIA SUBSÍNCRONA En este proyecto se analiza el fenómeno de la resonancia subsíncrona y el problema de estabilidad en el que se engloba, que es el de la estabilidad de ángulo y las oscilaciones electromecánicas en los sistemas de energía eléctrica. Los rotores de los generadores síncronos experimentan oscilaciones naturales poco amortiguadas de frecuencia próxima a 1 Hz cuando se produce una perturbación, como un cortocircuito en la red eléctrica a la que está conectada o una variación en la potencia mecánica suministrada por la turbina o en la excitación del generador. La causa de posibles inestabilidades en esta clase de oscilaciones es de tipo eléctrico. Otro tipo de modos oscilatorios poco amortiguados que se superponen a las anteriores son las oscilaciones torsionales que tienen lugar en el mismo eje de un generador. El rotor de un turbogenerador, accionado por turbinas de vapor, es un sistema mecánico muy complejo formado por varios elementos de grandes dimensiones acoplados a lo largo de su eje. Su aproximación por un conjunto de masas concentradas acopladas elásticamente permite determinar los modos oscilatorios torsionales que se presentan de forma natural en el mismo ante la ocurrencia de perturbaciones. Dichos modos presentan frecuencias naturales en el rango subsíncrono, esto es, inferiores a la frecuencia fundamental del sistema. Relacionada con los anteriores, la resonancia subsíncrona es un fenómeno de inestabilidad en generadores síncronos que afecta a los modos eléctricos o mecánicos del sistema que se encuentran en el rango de frecuencias inferiores a la de sincronismo. Se produce por una interacción de los sistemas eléctrico y mecánico asociados al generador síncrono que implica un intercambio de energía entre el generador y la red a una o más frecuencias naturales del sistema por debajo de la frecuencia fundamental. La situación más común en la que se puede presentar la resonancia subsíncrona es en turbogeneradores que estén conectados al sistema a través de líneas con condensadores en serie. La compensación serie se utiliza para reducir la reactancia inductiva de la conexión de un generador a una red cuando la longitud de las líneas de

Resumen

iv

conexión es muy grande. En una situación así, la resonancia subsíncrona puede ocurrir cuando la frecuencia complementaria a la natural de oscilación de la línea, debida a la presencia del condensador, está próxima a alguna de las frecuencias naturales de las oscilaciones torsionales del rotor del turbogenerador. La interacción electromecánica que el fenómeno implica puede producir oscilaciones inestables en los modos torsionales del eje del turbogenerador y también en las magnitudes eléctricas del sistema. Otras causas de oscilaciones subsíncronas inestables pueden ser también los sistemas de regulación del generador interactuando con la red o el sistema mecánico de su eje. Se pueden distinguir tres mecanismos por los que el generador puede interactuar con el sistema provocando resonancia subsíncrona: el efecto generador de inducción, interacción torsional y pares transitorios, pero siempre se trata de una interacción de una resonancia eléctrica o la acción de reguladores del sistema eléctrico con las oscilaciones torsionales de un eje. El objetivo del presente proyecto ha sido el desarrollo de modelos de cálculo detallados para la realización de simulación en el tiempo de grandes perturbaciones, análisis modal y el análisis modal selectivo del fenómeno de la resonancia subsíncrona en el caso de un turbogenerador conectado a una red eléctrica a través de una línea compensada serie. El análisis modal del fenómeno de la resonancia subsíncrona consiste en el cálculo de los autovalores, autovectores y factores de participación de la matriz de estados del modelo dinámico lineal que resulta de la linealización alrededor de un punto de funcionamiento del modelo dinámico no lineal de turbogenerador y de su conexión a la red a través de la línea con compensación serie. La respuesta en el tiempo ha mostrado la presencia de oscilaciones torsionales inestables. El autoanálisis del modelo lineal ha permitido caracterizar la oscilación torsional inestable. Se ha explorado también la variación del amortiguamiento de los modos torsionales la variar el factor de compensación de la línea. El análisis modal se ha complementado con el Análisis Modal Selectivo (SMA) del fenómeno. El SMA permite, de forma general, obtener modelos reducidos de los sistemas dinámicos L.T.I. que representen con precisión únicamente los modos asociados a una dinámica de interés del sistema. Su aplicación al estudio de la

Resumen

v

resonancia subsíncrona permite una simplificación de los cálculos y una mejor interpretación física del fenómeno y de los resultados obtenidos. En particular, el Análisis Modal Selectivo ha permitido estudiar los modos torsionales del turbogenerador y la influencia de la parte eléctrica del sistema en su estabilidad mediante la obtención del modelo reducido del sistema mecánico. Sobre dicho modelo, se han aplicado las técnicas de análisis modal mediante las que representar el sistema para cada modo como un modelo masa-muelle ficticio, caracterizado por los parámetros H (inercia), K (rigidez) y D (amortiguamiento) modales. Dichos parámetros recogen la dinámica del sistema completo y reflejan las inestabilidades que puedan darse en los modos torsionales. También se ha procedido a descomponer estos parámetros en aportaciones de los diferentes subsistemas de la unidad generadora, que son: el sistema mecánico (siempre estable de forma aislada) y el sistema eléctrico (máquina eléctrica, sistema de turbinas, excitación y condensador de la red eléctrica). De esta forma, en el caso de producirse la inestabilidad de un modo torsional, se puede identificar en qué subsistema está la causa según el valor que tomen los parámetros modales, en especial el amortiguamiento. Así se simplifica el estudio del fenómeno y desaparece la necesidad de analizar las participaciones del sistema completo.

Summary

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Summary STUDY OF SUBSYNCHRONOUS RESONANCE The subsynchronous resonance phenomenon is analyzed in this project within the framework of the rotor angle stability problem and electromechanic oscillations in power systems. The rotor of a synchronous generator experiences poorly damped natural oscillations at a very low frequency (about 1 Hz) whenever a disturbance affects it, such as a short-circuit in the transmission line to which it is connected or a sudden change in the mechanic input or in the excitation voltage value. Possible instabilities of these oscillations are due some aspect of the electric system. Simultaneously with the oscillation of the entire generator rotor with respect to the system, poorly damped torsional oscillations between different sections of a turbinegenerator rotor occur naturally after small disturbances. The rotor of a thermal generating unit is a complex mechanic system, made up of large machined shaft sections coupled together. A representation of several predominant masses connected by shafts of finite stiffness accounts for those natural modes of torsional oscillation that are below the synchronous frequency. Subsynchronous resonance is a dynamic problem that affects synchronous generators that can bring about the instability of some mechanic and electric modes of the system that oscillate below the rated frequency. It is due to an interaction between electric and mechanic dynamics that involves an exchange of energy between the network and the generator at one or more subsynchronous frequencies. The most common situation in which subsynchronous resonance can take place is when a synchronous generator is connected to the network through a series compensated line. Series compensation consists of a series capacitor in the line and its purpose is to compensate for its inductive reactance when the transmission line is too long. In such a situation, subsynchronous resonance is bound to happen if the complementary of the natural frequency of the transmission line, due to the capacitor, is close to any of the natural torsional frequencies of the rotor.

Summary

vii

This electromechanic interaction can destabilize not only the turbine-generator torsional oscillations, but also currents and voltages of the electric system. Unstable subsynchronous oscillations can also be caused by the interaction of the generator regulation systems interacting with the network or the rotor shaft. Instability due to subsynchronous resonance can take place in three different ways: the generatorinduction effect, torsional interaction and transient torques. However, it is always a matter of an electric resonance or the action of a regulator interacting with the torsional oscillations of the generator rotor. The main purpose of this Project has been to develop highly detailed mathematic models for numerical integration, modal analysis and selective modal analysis of the subsynchronous resonance problems that may affect a single turbine-generator connected to the network through a series compensated transmission line. The modal analysis involves the calculation of the eigenvalues, eigenvectors and participation factors of the estate matrix. The state matrix is obtained from the linearization of the nonlinear dynamic model of the turbine-generator and its connection to the network. Time response has shown the presence of unstable torsional oscillations due to the capacitor effects. The eigenanalysis of the linear model has made it possible to determine the characteristics and reasons of the instability. The variation in the damping of each mode of interest in the system and its dependence of the compensation level of the line has also been studied. The eigenalysis has been completed with the Selective Modal Analysis (SMA) of the phenomenon. In a general way, he SMA lets us obtain reduced order dynamic models of LTI systems that account accurately for the modes of some specific dynamics of interest. Its application to the study of subsynchronous resonance makes calculus less complex and provides a clearer physical interpretation of the problem. In particular, Selective Modal Análisis, makes it posible to study the torsional modes of the turbine-generator and the influence that the electric system has in them by obtaining a reduced model of the mechanic system. Some modal analysis techniques have been applied to this model to obtain a fictitious single spring-mass model for each torsional mode, characterized by the modal parameters H (inertia), K

Summary

viii

(stiffness) and D (damping). Those parameters account for the complete system effects on the mechanic dynamics and reflect the possible instabilities of the torsional modes. Afterwards, the modal parameters have been split into contributions of the different subsystems of the generating unit, which are: the mechanic system (always stable if isolated) and the electric system (electric machine, turbines and governor, exciter, capacitor). This way, if a torsional mode turns out to be unstable, the decomposition of the modal parameters will let us determine the origin of such instability. Therefore, the study of the subsynchronous resonance problem is simplified and the need of analysing the complete system disappears.

Índice

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Índice 1 INTRODUCCIÓN ...................................................... ........................................................... ........... 15

1.1 Tema del proyecto ............................................................................................ 15 1.1.1

Oscilaciones electromecánicas de generadores síncronos

15

1.1.2

Oscilaciones torsionales de turbogeneradores

15

1.1.3

Resonancia subsíncrona

16

1.2 Objetivos del proyecto ..................................................................................... 16 1.3 Organización del documento ......................................................................... 17 2 SISTEMAS DINÁMICOS ................................................... ........................................................... . 18

2.1 Modelos lineales y no lineales ........................................................................ 18 2.2 Solución de sistemas dinámicos no lineales ................................................. 20 2.3 Solución de los sistemas dinámicos lineales ................................................. 21 2.3.1

Autovalores y autovectores

22

2.4 Residuos............................................................................................................. 25 2.4.1

Sensibilidades

26

2.4.2

Factores de participación

26

3 OSCILACIONES ELECTROMECÁNICAS Y TORSIONALES DE UN GENERADOR

.... 28

3.1 Oscilaciones electromecánicas ........................................................................ 28 3.1.1

Modelo no lineal

28

3.1.2

Simulación del modelo no lineal

33

3.1.3

Modelo lineal

35

3.1.4

Simulación y análisis del modelo lineal

37

3.2 Oscilaciones torsionales ................................................................................... 39 3.2.1

Modelo no lineal

39

3.2.2


44

3.2.3

Modelo lineal

47

3.2.4


49

3.2.5

Parámetros modales

55

4 RESONANCIA SUBSÍNCRONA ......................................................... ......................................... 60

4.1 Introducción a la resonancia subsíncrona..................................................... 60 4.1.1

Resonancia eléctrica en líneas con compensación serie

61

4.1.2

Tipos de interacciones debidos a la resonancia subsíncrona

63

4.1.3

Técnicas de análisis

64

Índice

x

4.2 Modelo simplificado ........................................................................................ 65 4.2.1

Simulación del modelo simplificado

67

4.2.2

Análisis del modelo simplificado lineal

68

4.3 Modelo detallado .............................................................................................. 69 4.3.1

Modelo no lineal

70

4.3.2


84

4.3.3

Modelo lineal

93

4.3.4

Análisis del modelo lineal

97

5 ANÁLISIS MODAL SELECTIVO DE LA RESONANCIA SUBSÍNCRONA ..................... 106

5.1 Análisis Modal Selectivo ............................................................................... 106 5.2 Parámetros modales de los modos torsionales por medio del Análisis Modal Selectivo .............................................................................................. 110 5.2.1

Descomposición de los parámetros modales en componentes eléctrica y mecánica

110

5.2.2

Descomposición de De y Ke en aportaciones de los distintos bloques

113

5.2.3

Resultados obtenidos en el estudio de los modos torsionales con SMA

113

6 CONCLUSIONES ....................................................... ........................................................... ......... 113 7 REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS .................................................... ....................................... 113

Introducción

xi

Índice de Figuras Figura 2-1: Relación entre la localización de los autovalores de la matriz de estados y la respuesta temporal ante un impulso.........................................................................................24 Figura 3-1: Circuito equivalente de un generador síncrono para estudios de estabilidad............ 31 Figura 3-2: Diagrama unifilar de un generador síncrono conectado a un nudo de potencia infinita............................................................................................................................................31 Figura 3-3: Circuito equivalente de un generador síncrono conectado a un nudo de potencia infinita............................................................................................................................................32 Figura 3-4:.Simulación de la oscilación electromecánica de un generador síncrono conectado a un nudo de potencia infinita en caso de una falta trifásica franca: variación de velocidad y ángulo del rotor. ................................................................. .................................... 34 Figura 3-5:.Simulación de la oscilación electromecánica de un generador síncrono conectado a un nudo de potencia infinita en caso de variación de potencia mecánica suministrada por la turbina: variación de velocidad y ángulo del rotor.............................. 38 Figura 3-6. Estructura del sistema de masas del rotor de un turbogenerador................................40 Figura 3-7: Diagrama de masas y muelles de un turbogenerador.................................................... 40 Figura 3-8: Pares actuando sobre una masa genérica j del eje...........................................................43 Figura 3-9:.Simulación de las oscilaciones torsionales de un turbogenerador conectado a un nudo de potencia infinita en caso de una falta: variación de velocidad de las turbinas de alta presión y presión intermedia.........................................................................................46 Figura 3-10:.Simulación de las oscilaciones torsionales de un turbogenerador conectado a un nudo de potencia infinita en caso de una falta: variación de velocidad de las turbinas de baja presión..............................................................................................................................46 Figura 3-11: Simulación de las oscilaciones torsionales de un turbogenerador conectado a un nudo de potencia infinita en caso de una falta: variación de velocidad del generador y de la excitatriz...............................................................................................................................47 Figura 3-12: Simulación de las oscilaciones de un turbogenerador conectado a un nudo de potencia infinita en caso de una falta: variación del ángulo del rotor del generador. ....... 47 Figura 3-13:.Simulación de la oscilación electromecánica de un generador síncrono conectado a un nudo de potencia infinita en caso de variación de potencia mecánica suministrada por la turbina de alta presión: variación de velocidad de las turbinas de alta presión y presión intermedia.............................................................. ................................ 50 Figura 3-14:.Simulación de la oscilación electromecánica de un generador síncrono conectado a un nudo de potencia infinita en caso de variación de potencia mecánica suministrada por la turbina de alta presión: variación de velocidad de las turbinas de baja presión...................................................................................................................................50

Índice de Figuras

xii

Figura 3-15:.Simulación de la oscilación electromecánica de un generador síncrono conectado a un nudo de potencia infinita en caso de variación de potencia mecánica suministrada por la turbina de alta presión: variación de velocidad del rotor del generador y de la excitatriz. ........................................................... ............................................ 51 Figura 3-16: Simulación de la oscilación electromecánica de un generador síncrono conectado a un nudo de potencia infinita en caso de variación de potencia mecánica suministrada por la turbina de alta presión: variación del ángulo del rotor del generador. ...................................................... .................................................................... ........... 51 Figura 3-17:. Forma de los modos torsionales 1, 2 y 3 (componentes de los autovectores) de un turbogenerador conectado a un nudo de potencia............................................................53 Figura 3-18: Forma de los modos torsionales 4, 5 y 6(componentes de los autovectores) de un turbogenerador conectado a un nudo de potencia infinita....................................................53 Figura 3-19:.Participaciones de los modos torsionales de un turbogenerador conectado a un nudo de potencia infinita............................................................................................................54 Figura 3-20: Diagrama de masas, muelles y amortiguadores de un turbogenerador....................58 Figura 4-1: Esquema unifilar equivalente de una línea compensada serie ..................................... 61 Figura 4-2: Circuito equivalente de un generador síncrono conectado a un punto de red infinita a través de un condensador serie.................................................................................66 Figura 4-3: Simulaciónde las oscilaciones eléctricas de un generador síncrono conectado a un nudo de potencia infinita a través de una línea compensada serie cuando se produce una variación de tensión en el nudo de potencia infinita: componentes del flujo en la inductancia equivalente ............................................................... ............................................... 67 Figura 4-4: Simulación de las oscilaciones eléctricas de un generador síncrono conectado a un nudo de potencia infinita a través de una línea compensada serie cuando se produce una variación de tensión en el nudo de potencia infinita: componentes de la tensión del condensador. .......................................................... .................................................. 68 Figura 4-5: Conexión de un turbogenerador a un nudo de potencia infinita a través de una línea compensada serie. ............................................................. ................................................. 70 Figura 4-6: Tensiones consideradas en el modelo electromagnético................................................ 71 Figura 4-7: Circuito equivalente del generador con un devanado amortiguador en eje q............ 73 Figura 4-8: Circuito equivalente del generador con dos devanados amortiguadores en eje q..... 74 Figura 4-9: Diagrama fasorial del sistema de referencia y las tensiones.......................................... 76 Figura 4-10: Diagrama de bloques de una excitación estática y del regulador de tensión............ 76 Figura 4-11: Selección de variables de estado de una excitación estática........................................77 Figura 4-12: Modelo de una turbina de vapor y del regulador de turbina. .................................... 78 Figura 4-13: Selección de variables de estado de una turbina de vapor..........................................79

Introducción

xiii

Figura 4-14: Simulación de las oscilaciones torsionales de un turbogenerador conectado a un nudo de potencia infinita en caso de una falta: variación de velocidad de las turbinas de alta presión y presión intermedia.........................................................................................85 Figura 4-15: Simulación de las oscilaciones torsionales de un turbogenerador conectado a un nudo de potencia infinita en caso de una falta: variación de velocidad de las turbinas de baja presión..............................................................................................................................86 Figura 4-16: Simulación de las oscilaciones torsionales de un turbogenerador conectado a un nudo de potencia infinita en caso de una falta: variación de velocidad del generador y de la excitatriz...............................................................................................................................86 Figura 4-17: Simulación de las oscilaciones torsionales de un turbogenerador conectado a un nudo de potencia infinita en caso de una falta: variación del ángulo del rotor del generador. ...................................................... .................................................................... ........... 87 Figura 4-18: Datos de la línea.................................................................................................................88 Figura 4-19: Modelo alternativo de sistema de excitación.................................................................89 Figura 4-20: Modelo altenativo de sistema de turbinas y regulador................................................89 Figura 4-21: Simulación de la oscilación torsional de las turbinas de baja presión ante una falta y con un Factor de Compensación del 45%........................................................ ............. 90 Figura 4-22: Simulación de la oscilación torsional de las turbinas de alta y media presión ante una falta y con un Factor de Compensación del 45%..............................................................91 Figura 4-23: Simulación de la oscilación torsional del rotor del generador ante una falta y con Factor de Compensación del 45%.......................................................................................91 Figura 4-24: Simulación de la oscilación torsional de las turbinas de alta y media presión ante una falta y con un Factor de Compensación de 1.5%..............................................................92 Figura 4-25: Simulación de la oscilación torsional de las turbinas de baja presión ante una falta y con un Factor de Compensación de 1.5% ..................................................... ................ 92 Figura 4-26: Simulación de la oscilación torsional del rotor del generador ante una falta y con un Factor de Compensación de 1.5%.........................................................................................93 Figura 4-27: Variación del amortiguamiento de los modos eléctricos supersíncrono y subsíncrono al variar el factor de compensación de la línea................................................101 Figura 4-28: Variación del amortiguamiento de los modos torsionales al variar el factor de compensación de la línea. .......................................................... ............................................... 102 Figura 4-29: Variación del amortiguamiento del modo electromecánico al variar el factor de compensación de la línea. .......................................................... ............................................... 102 Figura 4-30: Parte real de los autovalores en función del factor de compensación..................... 104 Figura 4-31: Amortiguamiento de los modos en función del factor de compensación ............... 104 Figura 4-32: Frecuencia de los modos en función del factor de compensación............................105 Figura 5-1: Representación en forma de diagrama de bloques del sistema dinámico lineal con separación de dinámicas relevantes y menos relevantes. .................................................... 107

Índice de Figuras

xiv

Figura 5-2: Representación en forma de diagrama de bloques del sistema dinámico lineal con representación de la dinámica menos relevante como función de transferencia matricial.......................................................................................................................................109 Figura 5-3: Modelo masa-muelle equivalente para cada modo con descomposición de los parámetros modales K y D ......................................................... .............................................. 113

1 Introducción

15

1 Introducción Este capítulo presenta el tema del proyecto, los objetivos del mismo y la organización del documento.

1.1 Tema del proyecto 1.1.1

Oscilaciones electromecánicas de generadores síncronos

Los rotores de los generadores síncronos experimentan oscilaciones naturales poco amortiguadas de frecuencia próxima a 1 Hz cuando se produce un cortocircuito en la red eléctrica a la que está conectado el generador o cuando varía la potencia mecánica suministrada por la turbina o la excitación del generador ([1], [3], [4]). La estabilidad de los generadores síncronos está interesada en capacidad de estas máquinas de seguir funcionando en sincronismo, a velocidad constante e igual a la de sincronismo, cuando se producen perturbaciones. Se habla de estabilidad de gran perturbación cuando la perturbación que ocurre es un cortocircuito en la red eléctrica. En este caso las ecuaciones diferenciales que rigen el comportamiento dinámico no se pueden linealizar para el análisis del fenómeno. Se habla de estabilidad de pequeña perturbación cuando la perturbación que tiene lugar es una variación de la potencia mecánica suministrada por la turbina o la excitación del generador. En este caso las ecuaciones diferenciales que rigen el comportamiento dinámico se pueden linealizar alrededor del punto de funcionamiento para el análisis. 1.1.2

Oscilaciones torsionales de turbogeneradores

Los turbogeneradores son generadores síncronos accionados por turbinas de vapor. Constituyen un complejo sistema mecánico formado por masas, correspondientes a cada uno de los cuerpos de las turbinas y del generador síncrono, acopladas elásticamente [5].

1 Introducción

16

Los rotores de los turbogeneradores presentan oscilaciones torsionales en el margen de frecuencias subsíncrono, es decir, inferiores a la frecuencia fundamental (50 Hz). Las oscilaciones torsionales son debidas a los acoplamientos elásticos entre las masas de los turbogeneradores. En las oscilaciones electromecánicas (de frecuencia próxima a 1 Hz), todas las masas del rotor del turbogenerador oscilan al unísono. Por tanto, el límite inferior del margen de frecuencias de las oscilaciones torsionales es 1 Hz. Las oscilaciones torsionales pueden ser excitadas por perturbaciones como los cortocircuitos en la red y la sincronización fuera de fase. Si bien los rotores de los turbogeneradores están diseñados para soportar los pares que resultan de dichas perturbaciones, la determinación de la fatiga debido a ellas ha sido un tema de gran interés en la literatura técnica [6]. 1.1.3

Resonancia subsíncrona

La resononancia subsíncrona estudia la inestabilidad de las ocilaciones torsionales de turbogeneradores conectados a través de líneas con compensación serie. Una línea eléctrica con compensación serie tiene instalado un condensador en serie con la línea. La compensación serie se utiliza para reducir la reactancia inductiva de la conexión de un generador a una red cuando la longitud de las líneas de conexión es muy grande. La resonancia subsíncrona puede ocurrir cuando la frecuencia natural de oscilación de la línea con compensación serie está próxima a una de las frecuencias de las oscilaciones torsionales del rotor del turbogenerador [7].

1.2 Objetivos del proyecto El objetivo del presente proyecto es el desarrollo de modelos de cálculo para la realización del análisis modal y del análisis modal selectivo del fenómeno de la resonancia subsíncrona en el caso de un turbogenerador conectado a una red eléctrica a través de una línea compensada serie. El análisis modal del fenómeno de la resonancia subsíncrona consiste en el cálculo de los autovalores, autovectores y factores de participación de la matriz de estados del modelo dinámico lineal resultante de la linealización alrededor de un punto de funcionamiento del modelo dinámico no lineal de turbogenerador y de su conexión a la red a través de la línea con compensación serie.

1 Introducción

17

El análisis modal se complementará con el Análisis Modal Selectivo del fenómeno. El Análisis Modal Selectivo permitirá la obtención de los parámetros H (inercia), K (rigidez) y D (amortiguamiento) modales y su descomposición en contribuciones de los subsistemas de la unidad generadora ( [8], [9]).

1.3 Organización del documento Este proyecto tiene otros seis capítulos. 

El capítulo 2 introduce los conceptos fundamentales de los sistemas dinámicos.



El capítulo 3 presenta los fenómenos de las oscilaciones electromecánicas y torsionales de un generador síncrono.



El capítulo 4 presenta el fenómeno de la resonancia subsíncrona.



El capítulo 5 aborda el análisis modal selectivo de la resonancia subsíncrona.



El capítulo 6 ofrece las conclusiones del proyecto.



El capítulo 7 contiene las referencias bibliográficas.

2 Sistemas dinámicos

18

2 Sistemas dinámicos Este capítulo presenta los conceptos fundamentales del modelado, simulación y análisis de sistemas dinámicos.

2.1 Modelos lineales y no lineales Considérese un sistema dinámico cuyo comportamiento viene descrito por un conjunto de ecuaciones diferenciales y algebraicas no lineales escritas de la forma:

x& = G ( x, z, u )

(2.1)

0 = H ( x, z, u )

Donde G y H son vectores de funciones no lineales, x son las variables de estado, z

son las variables algebraicas y u son las variables de entrada. ×

x ∈ℜ N 1 ×1

z ∈ℜM

×

u ∈ℜ L 1

El estado de un sistema es el conjunto mínimo de variables del sistema que, junto con el valor de las entradas al sistema, proporcionan una descripción completa del comportamiento del sistema. Cualquier conjunto de n variables linealmente independientes del sistema puede constituir el vector de estado y el resto de variables del sistema podrán determinarse con el conocimiento del estado del mismo. La elección de las variables de estado implica que, aunque el estado del sistema en un instante determinado sea único, su representación no lo es. El estado del sistema de representa en un espacio Euclídeo N-dimensional llamado espacio de estado, perteneciente a ℜ Nx1 . Cambiar la elección de variables de estado supone realizar un cambio de coordenadas del sistema. Cuando el sistema dinámico está expresado en términos de las variables de estado y de las variables algebraicas, se dice que está escrito en forma implícita.


19

Si el tipo de estabilidad que se quiere estudiar en un sistema no lineal es local, es decir, intenta determinar si es sistema puede permanecer alrededor del punto de equilibrio cuando es sometido a pequeñas perturbaciones, entonces puede analizarse linealizando las ecuaciones de estado en el punto de trabajo y determinar así si el sistema es estable en esas condiciones de funcionamiento. Si el sistema de ecuaciones diferenciales no lineales (2.1) se linealiza alrededor del punto de trabajo x = x0 , z = z 0 , u = u0 , resulta: ⎡ ∂ G ( x, z, u ) ∂ G ( x, z, u ) ⎢ ∂x ∂ z x = x , z = z ,u = u x= x , z = z , u= u ⎡ Δx& ⎤ ⎢ = ⎢0⎥ ⎢ ∂ H ( x, z, u ) ⎣ ⎦ ⎢ ∂ H ( x, z, u ) ⎢ ∂x ∂ x x = x , z = z ,u= u x= x , z= z , u= u ⎣ ⎡ ∂ G ( x, z, u ) ⎤ ⎢ ⎥ ∂ u ⎢ x = x ,z = z , u = u ⎥ +⎢ ⎥ Δu ⎢ ∂ H ( x, z, u ) ⎥ ⎢ ⎥ ∂ u x = x ,z =z , u = u ⎦ ⎣ ⎡ A A ⎤ ⎡ Δx ⎤ ⎡ B ⎤ = ⎢ 1 2 ⎥ ⎢ ⎥ + ⎢ 1 ⎥ Δu ⎣ A3 A 4 ⎦ ⎣ Δz ⎦ ⎣B 2 ⎦ 0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

⎤ ⎥ ⎥ ⎡ Δx ⎤ ⎥ ⎢ Δz ⎥ ⎥⎣ ⎦ ⎥ ⎦

(2.2)

De esta manera, las variables pasan a ser incrementales: Δx = x − x0 , Δz = z − z 0 , Δu = u − u0

Si se eliminan las variables algebraicas z de las ecuaciones (2.1), entonces el sistema dinámico queda descrito por un conjunto de ecuaciones diferenciales no lineales expresadas en términos de las variables de estado x y de las variables de entrada u : x& = F ( x, u )

(2.3)

Cuando el sistema dinámico está expresado en términos de las variables de estado, se dice que está escrito en forma explícita. Si el sistema de ecuaciones diferenciales no lineales (2.3) se linealizan alrededor del punto de trabajo x = x0 , u = u0 , resulta:


20

Δx& =

∂ F ( x, u ) ∂x

+

∂ F ( x, u ) ∂ u

x = x0 , u= u0

Δu x= x0 , u= u0

(2.4)

= AΔx + BΔu

Por supuesto, no siempre es posible eliminar las variables algebraicas de un sistema dinámino no lineal escrito en forma implícita (2.1) para pasar a otro escrito en forma explícita (2.3). Sin embargo, siempre es posible pasar de un sistema dinámico lineal escrito en forma implícita (2.2) a otro escrito en forma explícita (2.4). −1

A = A1 − A 2 A 4 A 3 −

B = B1 − A 2 A 41B 2

(2.5)

2.2 Solución de sistemas dinámicos no lineales La solución del sistema de ecuaciones diferenciales no lineales se obtiene por simulación en el dominio del tiempo. La simulación en el dominio del tiempo consiste en la integración numérica de las ecuaciones diferenciales que describen el comportamiento dinámico del sistema. Un algoritmo de integración numérica de las ecuaciones diferenciales, obtiene en el caso más sencillo las variables de estado en el paso k + 1 a partir de las variables de estado en el paso anterior k : x k +1 = Γ ( x k )

siendo Γ una función que depende del método considerado. El método de Euler predictor-corrector obtiene x k +1 en dos pasos: xˆ k +1 = x k + x& k Δt = x k + F ( xk ) Δ t

Δt x k + ⎡⎣ F ( x k ) + F ( xˆ k +1 ) ⎤⎦ = ⎦ 2 2

x k +1 = x k + ⎡ x& k + x&ˆ k +1 ⎤

⎣

Δt

El método de Runge-Kutta de orden 4-5 se obtiene x k +1 según:


21

x k +1 = x k +

1 6

( k1 + 2k2 + 2k3 + k 4 )

k 1 = F ( x k ) k 1 ⎞ ⎛ ⎟ 2⎠ ⎝ k ⎞ ⎛ k 3 = F ⎜ x k + 2 ⎟ 2⎠ ⎝ k4 = F ( x k + k 3 ) k 2 = F ⎜ x k +

2.3 Solución de los sistemas dinámicos lineales La solución del sistema de ecuaciones diferenciales lineales cuando se produce la variación de una de las variables de entrada Δu tiene dos componentes: la solución homogénea y la solución particular de la completa. La solución homogénea es la solución que corresponde a entrada nula y condiciones iniciales no nulas. La solución particular de la completa es la solución que corresponde a condiciones iniciales nulas y entradas no nulas. La solución del sistema de ecuaciones diferenciales (2.4) cuando se puede expresar en términos de la exponencial de la matriz de estado A de acuerdo con la expresión: t

Δx ( t ) = Δx h ( t ) + Δx p ( t ) = e A (t −t ) Δx ( t0 ) + ∫ e A(τ −t )bΔu (τ ) dτ 0

0

t 0

(2.6)

La exponencial de la matriz de estado A se puede calcular usando el desarrollo en serie de Taylor: e

At

=I+

A 1!

t+

A

2

2!

t 2 + L

Sin embargo, este método no es siempre numéricamente robusto. Una solución numéricamente robusta y llena de sentido físico se puede obtener en términos de los autovalores y autovectores de la matriz de estado.


2.3.1

22

Autovalores y autovectores

Una alternativa llena de significado físico está basada en los autovalores y autovectores de la matriz de estado A . Esta matriz contiene la información necesaria para determinar la estabilidad local del sistema que representa. Un autovalor λ i de la matriz de estado A y los correspondientes autovectores derecho v i e izquierdo w i asociados se definen como: Avi = v i λ i

(2.7)

w Ti A = λ i wT i

(2.8)

Las entradas de los autovectores derechos tienen las mismas dimensiones físicas que el estado correspondiente y los izquierdos, tienen las dimensiones inversas. Por otro lado, el estudio de las ecuaciones (2.7) y (2.8) indica que los autovalores derecho e izquierdo no están determinados de forma única (éstos se calculan como la solución de un sistema lineal de N ecuaciones y N+1 incógnitas). Una forma de eliminar el grado de libertad es introducir la siguiente normalización, ya que el autovector izquierdo de un autovalor es ortogonal al autovector derecho de otro: 1 w T i vi =

(2.9)

En el caso de N autovalores distintos, las ecuaciones (2.7)-(2.9) se pueden escribir juntas para todos los autovalores en forma matricial:

A [ v1

⎡ w1T ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ M ⎥ [ v1 T ⎢ w N ⎥ ⎣ ⎦

v N ] = [ v 1

L

⎡ w1T ⎤ ⎡λ 1 ⎢ ⎥ ⎢M M A = ⎢ ⎥ ⎢ ⎢ wT ⎥N ⎢⎣ 0 ⎣ ⎦

L

L

L

⎡1 ⎢ v N ] = M ⎢ ⎢⎣0

O L L O L

⎡λ 1 L 0 ⎤ ⎢ ⎥ v N ] M O M ⎢ ⎥ ⎢⎣ 0 L λ N ⎥⎦ 0 ⎤ ⎡ w1T ⎤ ⎥⎢ ⎥ M ⎢ M ⎥ ⎥ λ ⎥⎦N⎢⎣ w T ⎥⎦N 0⎤

⎥ ⎥ 1 ⎥⎦ M

(2.10)


23

o en forma más compacta como: AV = V WA =

(2.11)

W

WV = I

donde

, V y W son respectivamente las matrices de los autovalores y los

autovectores derechos e izquierdos: ⎡λ 1 ⎤ ⎢ O ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣ λ N ⎥⎦ V = [ v1 L v N ]

⎡ wT 1 ⎤ ⎢ ⎥ W=⎢ M ⎥ T ⎢ w N ⎥ ⎣ ⎦

Si la exponencial de la matriz de estado e At se expresa en términos de los autovalores y de los autovectores derechos e izquierdos de la matriz de estados A , resulta: e

At

= VW +

V W 1!

t+

2

V

W

2!

t 2 + L

2 ⎛ ⎞ = V ⎜ I + t + t 2 + L ⎟ W = Ve t W ⎝ 1! 2 ! ⎠

(2.12)

La solución (2.6) del sistema de ecuaciones diferenciales (2.4) en términos de los autovalores y autovectores de una matriz: t

Δx ( t ) = Ve Λ(t −t ) WΔx ( t0 ) + ∫ Ve Λ(τ −t ) WbΔu (τ ) dτ 0

0

t 0

(2.13)

Por otra parte, la solución homogénea (2.4) del sistema de ecuaciones diferenciales lineales (2.4) se puede expresar en términos de los autovalores y de los autovectores derechos e izquierdos de la matriz de estados A como: N

Δx ( t )h = Ve WΔx ( t0 ) = ∑ vi e λ t ⎡⎣ wT i Δx ( t 0 ) ⎤⎦ t

i

i =1

(2.14)


24

El estudio de la ecuación (2.4) permite obtener las siguientes conclusiones. 

El estado del sistema evoluciona según una combinación de la respuesta del sistema para N modos distintos, determinados por sus autovalores y autovectores.



Los autovalores de la matriz de estado A determinan la estabilidad del sistema. Un autovalor real negativo (positivo) indica un comportamiento exponencial decreciente (creciente) mientras que un autovalor complejo con parte real negativa (positiva) indica un comportamiento oscilatorio decreciente (creciente), tal y como se muestra en la Figura 2-1.



La excitación total de cada modo i se reparte entre los distintos estados según lo indica el autovector derecho v i ; sus componentes indican la actividad relativa de cada variable en el modo i-ésimo.



Las componentes de autovector izquierdo w i pesa las condiciones iniciales en la costrucción del modo i-ésimo.

Imag

Re

Figura 2-1: Relación entre la localización de lo s autovalores de la matriz de estados y la respuesta temporal ante un impulso.


25

2.4 Residuos Considérese que se define en el sistema una variable de salida

. Entonces la

descripción del sistema queda en la forma: Δx& ( t ) = AΔx ( t ) + bΔu ( t ) Δ y( t) = cΔx ( t)

(2.15)

La función de transferencia expresada en términos de los polos y los residuos queda: N Δ y ( s ) R −1 = c ( sI − A ) b = ∑ i Δu ( s ) i =1 s − pi

(2.16)

La función de transferencia (2.16) también se puede expresar en términos de los autovalores y autovectores de la matriz de estados como: N Δ y ( s ) cvi wT i b −1 = cV ( sI − Λ ) Wb = ∑ Δu ( s ) i =1 s − λ i

(2.17)

Por tanto los autovalores son los polos de cualquier función de transferencia que se pueda considerar pi = λ i y los residuos se puedan calcular en términos de los autovectores derechos e izquierdos como: Ri = cvi wT i b

(2.18)

Los residuos se pueden descomponer en términos de los factores de observabilidad y controlabilidad modal. En efecto, si se considera la transformación: cx = Vξ

ξ = Wx

La ecuación (2.15) resulta: Δξ& ( t ) = ΛΔξ ( t ) + bWΔu ( t ) Δ y( t) = cVΔξ ( t)

o también:


26

Δξ&i ( t ) = λi Δξ i ( t ) + bwT i Δu ( t ) ⎫⎪ ⎬ i = 1,K , N Δ y( t) = cvi Δξ i ( t) ⎪⎭

(2.19)

De donde se deducen los factores modales de observabilidad y controlabilidad: ci , Δy = cvi bi , Δu = bw T i

2.4.1

Sensibilidades

La sensibilidad del autovalor λ i con relación a un parámetro q de la matriz de estados se puede calcular como: ∂A ( q ) ∂λ i vi = wT i ∂q ∂q

(2.20)

Si el parámetro es un elemento diagonal de la matriz de estados a jj , la sensibilidad del autovalor λ i resulta: ∂λ i = wij v ji ∂a jj

2.4.2

(2.21)

Factores de participación

El factor de participación de la variable j-ésima en el modo i-ésimo se define como el producto de las componentes j-ésimas del autovector derecho v ji e izquierdo w ji en el modo i-ésimo ([10], [11]): p ji= w jiv

ji

(2.22)

Las propiedades de los factores de participación permiten que puedan ser utilizados como una medida de la significación que tiene cada estado en cada uno de los modos del sistema. Tienen la ventaja de ser magnitudes adimensionales, por lo que su valor no depende de las unidades en las que estén expresadas las variables de estado.


27

Además, como resultado de la normalización adoptada (1.6), la suma de los factores de participación de todas las variables en un modo y la suma de los factores de participación de todos los modos en una variable son igual a la unidad, aunque individualmente pueden ser mayores que la unidad. N

N

∑ p = ∑ p j =1

ji

=ji1

i =1

(2.23)

Muchos sistemas dinámicos resultan de la interconexión de subsistemas dinámicos. La participación del subsistema es una herramienta útil en este entorno. La participación del subsistema se define como la suma de los factores de participación de las variables que describen el subsistema dinámico. pSi =

∑p j∈S

ji

(2.24)

Así, es posible identificar qué subsistemas están relacionados con qué dinámicas y modos de comportamiento del sistema, según lo elevada que sea su participación neta en cada uno de ellos. Las participaciones o factores de participación dependen de la elección del conjunto de variables de estado del sistema. Sin embargo, uno de los valores de la participación del subsistema viene del hecho de que es independiente de la selección de las variables de estado para modelar el subsistema. En otras palabras, es invariante con respecto a las transformaciones que sólo afectan a las variables del sistema.

3 Oscilaciones electromecánicas y torsionales de un generador

28

3 Oscilaciones electromecánicas y torsionales de un generador Este capítulo presenta las oscilaciones electromecánicas y torsionales de un generador síncrono. Para ello se obtienen modelos simplificados no lineales y lineales del generador síncrono que permiten reproducir las oscilaciones electromecánicas y torsionales. Además presentan resultados tanto de la simulación de grandes perturbaciones utilizando los modelos no-lineales como de la simulación de pequeñas perturbaciones utilizando los modelos lineales y del análisis modal, también del modelo lineal.

3.1 Oscilaciones electromecánicas 3.1.1

Modelo no lineal

En el estudio de oscilaciones locales de un generador contra el resto del sistema considera que los rotores del motor primario y del generador, acoplados en el mismo eje, constituyen un único sólido rígido. El movimiento del rotor de un generador síncrono está descrito por la ecuación de la dinámica de rotación de un sólido rígido: J

d Ω dt

= Tm − Te − Ta = Tm − Te − KD ( Ω − Ω0 )

(3.1)

Donde: J es el momento de inercia del rotor expresado en Nms= kgms2

Ω es la velocidad angular del rotor rad s mecánicos p

Número de pares de polos del generador

Ω0 es la velocidad angular de sincronismo del rotor rad s mecánicos, es decir Ω0 = 2π f 0 p siendo f 0 la frecuencia de sincronismo T m es el par mecánico aplicado por la turbina expresado en Nm


29

T e es el par eléctrico aplicado por el generador T e =

P e

Ω0

T a es el par amortiguador Ta = K D ( Ω − Ω 0 ) K D es el coeficiente de par amortiguador ( N ⋅ m ⋅ s / rad ) t m , t e

Pares mecánico y eléctrico en magnitudes unitarias.

p m , p e

Potencia mecánica y eléctrica en magnitudes unitarias. 1 J Ω 0

2

H Constante de inercia ( s ) ( H =

2 S B

).

D Factor o coeficiente de amortiguamiento ( puT ), ( D = K D

Ω 02 S B

).

Posición angular del rotor en rad eléctricos respecto a una referencia que gira a

δ

la velocidad de sincronismo. 0

Pulsación de sincronismo o pulsación base, en grados eléctricos ( rad / s ). Velocidad del rotor en magnitudes unitarias de la máquina ω = Ω ⋅ p / ω 0

Es preciso resaltar que el par amortiguador refleja el efecto de los devanados amortiguadores del generador síncrono que crean un par que se opone a la variación de velocidad cuando el rotor gira a velocidad distinta de la síncronismo. Si la ecuación (3.1) se expresa en magnitudes unitarias resulta: J

Ω0 d Ω S

B

dt

=

Tm T

JΩ02 1 d Ω S

B

Ω0

B

−

T e T

− K D

B

Ω0

( Ω − Ω0 )

S B

Ω 20 1 = − − K D ( Ω − Ω0 ) dt TB T B S B Ω 0 T

m

T

e

Siendo: T B =

S B

Ω B

=

S B

Ω0

el par base y S B la potencia base

(3.2)


30

Definiendo la inercia y el coeficiente de amortiguamiento como: 1 J Ω 0

2

H =

S B

2

D = K D

Ω20 S B

La ecuación (3.2) resulta: 2 H dΩ

Ω0 dt

= tm − t e −

D

Ω0

( Ω − Ω0 )

(3.3)

Expresando la velocidad angular en radianes eléctricos por segundo por unidad ω = pΩ ω 0 , la ecuación (3.3) queda finalmente:

2H

d ω dt

= tm − te − D(ω − 1)

(3.4)

En el estudio de las oscilaciones electromecánicas de los generadores, el rotor no experimenta grandes excursions de velocidad. Por ello, el par en magnitudes unitarias puede considerarse igual a la potencia:

t=

T T B

P

P

S B

S B

Ω0

Ω0

Ω P = Ω = 0 = =p S B

Bajo esta suposición, la ecuación (3.4) quedaría en la forma: 2H

d ω dt

= pm − pe − D(ω − 1)

(3.5)

En el modelo clásico para estudios de estabilidad, el generador síncrono se representa como una fuente de tensión ideal detrás de la reactancia transitoria en eje directo.


31

Figura 3-1: Circuito equivalente de un generador síncrono para estudios de estabilidad.

Si el generador está conectado a un nudo de potencia infinita a través de un transformador y una línea, la potencia eléctrica entregada por el generador viene dada por la expresión: pe =

e′u∞ xT

sen δ

Donde: e′ es el módulo de la excitación δ es el ángulo de la excitación con relación a la tensión del nudo infinito

u∞ es el módulo de la tensión del nudo de potencia infinita xT = x′ + xt + xl es la reactancia total x′ es la reactancia transitoria del generador xt es la reactancia del transformador xl es la reactancia de la línea

Figura 3-2: Diagrama unifilar de un generador síncrono conectado a un nudo de potencia infinita.

(3.6)


32

Figura 3-3: Circuito equivalente de un generador síncrono conectado a un nudo de potencia infinita.

La conexión de los modelos mecánico y eléctrico viene determinada por el hecho que el ángulo de excitación es precisamente el ángulo del rotor. En efecto, el ángulo del rotor con relación a una referencia fija, expresado en radianes eléctricos por segundo, viene dado por: α = Ω0t +

δ p

La velocidad angular del rotor resulta ser: dα dt

= Ω = Ω0 +

1

d δ

p dt

(3.7)

Si se expresa la velocidad en radianes eléctricos por segundo por unidad en la ecuación (3.7), resulta: ω = 1 +

1

d δ

ω 0 dt

(3.8)

Las ecuaciones (3.4), (3.6) y (3.8) se pueden escribir en forma compacta comos sigue. Se presenta el sistema de ecuaciones diferenciales no lineales que describe el comportamiento del generador síncrono conectado a un nudo de potencia infinita: ⎡ ω0 (ω − 1) ⎤ ⎡ δ & ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ = ⎢ 1 p − 1 e′v ∞ sen δ − D ω − 1 ⎥ &⎦ ( ) ⎣ω ⎢⎣ 2 H m 2 H xT ⎥⎦ 2 H

O de forma compacta:

(3.9)


33

x& = F ( x, u )

(3.10)

Donde: ⎡δ ⎤ x=⎢ ⎥ ⎣ω ⎦ u = pm

⎡ ω0 (ω − 1) ⎤ ⎢ ⎥ F ( x) = 1 1 e′v ∞ D ⎢ sen δ − pm − ( ω − 1) ⎥ ⎢⎣ 2 H ⎥⎦ 2 H x 2 H T

3.1.2


Se van a ilustrar la oscilación electromecánica de un generador síncrono conectado a un nudo de potencia infinita (la Tabla 3-1 detalla los datos del generador, el transformador y la línea de conexión del generador a una red de potencia infinita; estos datos corresponden al “First Benchmark Model for Computer Simulation of Subsynchronous Resonance” [12] con un factor de compensación de la línea del 50%: en realidad la reactanciua de la línea vale 0.56 pu y tiene en serie un condensador cuya reactancia vale -0.28 pu) cuando ocurre un cortocircuito trifásico franco de 100 milisegundos de duración. El valor de la frecuencia es 60 Hz. Un cortocircuito es una gran perturbación y su estudio requiere la simulación en el dominio del tiempo del sistema de ecuaciones diferenciales no lineales (3.9). ′ = 0.169 pu, H = 2.88s

s

Generador

u = 1 pu, s = 1 pu , cos ϕ = 0.9ind

Transformador

t

= 0.14 pu

Línea

l

= 0.28 pu

Tabla 3-1: Datos del caso ejemplo de un generador conectado a un nudo de potencia infinita.

Un paso previo es el cálculo de las condiciones iniciales del generador, tal y como se indica a continuación: ∗

⎛ p + jq0 ⎞ i0 = ⎜ 0 ⎟ ⎝ u0∠0° ⎠


e′0 = v 0 +

′jix0 = 0∠ v 0° +

34

⎛ p − jq0 ⎞ ′j⎜x 0 e δ ˆ0 ⎟ = ′0∠ ⎝ u0∠0° ⎠ ⎛ p0 − jq0 ⎞ ⎟ = v∞ 0∠θ 0 ∠ ° 0 v ⎝ 0 ⎠

v ∞ 0 = v 0 − j( xt + xl ) i 0 = v0∠0° − j( xt + xl ) ⎜

δ 0 = δˆ0 − θ 0

La Figura 3-4 muestra la evolución de la variación de velocidad del rotor del generador (con relación a la velocidad de sincronismo) y la variación del ángulo. Varias conclusiones se pueden extraer del análisis de la Figura 3-4: 

La variación de velocidad del rotor crece linealmente durante la ocurrencia del cortocircuito mientras que el ángulo crece cuadráticamente.



Tras el despeje del cortocircuito, tanto la variación de velocidad como el ángulo muestran una oscilación sostenida con un periodo de aproximadamente 1 segundo. La oscilación es sostenida porque se ha supuesto que el amortiguamiento del generador es nulo. Esta oscilación se denomina electromecánica: mecánica porque es el rotor el que oscila, eléctrica porque es debida a la conexión del generador a la red eléctrica.



La variación de velocidad oscila aproximadamente entre +2% y -2% y el ángulo en 105º y 0º. 0.04 0.02 ) u p (

0

ω Δ

-0.02 -0.04 -0.5

0

0.5

1

1.5

2

1

1.5

2

Tiempo (s) 150 100 ) º (

δ

50 0 -50 -0.5

0

0.5 Tiempo (s)

Figura 3-4:.Simulación de la oscilación electromecánica de un generador síncrono conectado a un nudo de potencia infinita en caso de una falta trifásica franca: variación de velocidad y ángulo del rotor.


3.1.3

35

Modelo lineal

La linealización de las ecuaciones del generador síncrono conectado a un nudo de potencia infinita, (3.5), (3.6) y (3.8)quedan en la forma: 2

H

d Δω dt

Δ pe =

= Δ pm − Δ pe − DΔω

e′v ∞ xT

cos δ 0 Δδ = K Δδ

Δω =

1

d Δδ

ω 0 dt

(3.11)

(3.12)

(3.13)

Escritas como una ecuación diferencial de segundo orden resultan: 2H

d2 Δδ

ω0

dt 2

+

D dΔ δ

+ K Δδ = Δpm

ω 0 dt

(3.14)

Como un sistema de ecuaciones diferenciales lineales resultan: Δ x& = A Δ x + B Δu ⎡ d Δδ ⎤ ⎢ dt ⎥ ⎡ 0 ω 0 ⎤ ⎡ Δδ ⎤ ⎡ 0 ⎤ ⎢ ⎥ = ⎢ − K − D ⎥ ⎢ ⎥ + ⎢ 1 ⎥ Δ pm ⎥ ⎣ Δω ⎦ ⎢ ⎥ ⎢ d Δω ⎥ ⎢ ⎣ 2 H⎦ ⎢⎣ dt ⎥⎦ ⎣ 2 H2 H⎦

(3.15)

En la ecuación se pueden apreciar las dos componentes del par restaurador que actúan para evitar inestabilidades en el generador: par sincronizante ( K Δδ ) y par amortiguador ( D Δ ). ω 0 ⎤ ⎡ 0 Del análisis de la matriz de estado A = ⎢ − K − D ⎥ , se puede determinar la ⎢ ⎥ ⎣ 2 H 2 H ⎦

estabilidad local o de pequeña perturbación del generador en unas condiciones dadas.


36

La ecuación característica correspondiente a la ecuación diferencial lineal de segundo orden (3.14) o al sistema de dos ecuaciones diferenciales lineales de primer orden (3.15) es: 2 H

ω0

s2 +

D

s+ K = 0

ω 0

(3.16)

o también: s 2 +

D 2 H

s+

K ω 0 2 H

=0

(3.17)

Las raíces de la ecuación característica (3.17) son: − D s12 =

2

± j

4

2

⎛ D ⎞ −⎜ ⎟ H ⎝ 2 H⎠

K ω 0 2

H

2

Las raíces de la ecuación característica cuando D=0 son: s12 = ± j

K ω 0 2 H

El signo del coeficiente del par sincronizante hace que se puedan presentar dos casos. En primer lugar, si el coeficiente es positivo, lo cual ocurre si el ángulo del rotor está comprendido entre 0º y 90º, resultan dos raíces conjugadas puras y, por tanto, la respuesta es oscilatoria pura. Si el coeficiente de par sincronizante fuera negativo, en caso de estar el ángulo del rotor entre 90º y 180º, resultarían dos raíces reales, una positiva y otra negativa. La raíz positiva, que determinaría una respuesta exponencialmente creciente terminaría venciendo a la exponencialmente decreciente de la raíz negativa, dando lugar a una situación inestable de pérdida de sincronismo. La solución de la ecuación diferencial lineal de segundo orden se puede obtener por medio de la transformada de Laplace: 2 H

ω0

s2 Δδ ( s) +

Δδ ( s ) =

D ω 0

sΔ δ ( s) + KΔδ ( s) = 1

ω 0

1

K ω 0 D s + s+ 2 H 2 H

2H

s

2

Δ pm

Δpm

s


Δδ ( s ) =

37

ω n2

1

K s ( s 2 + 2ςωn s + ω n2 )

Δpm

Realizando la antitransformada de Laplace resulta: ⎛ Δδ ( t ) = ⎜ 1 − K ⎜ ⎝ 1

1 1 − ς

2

e

−ςω t

(

sen ωn

⎞ 1 − ς t + φ ⎟ Δpm ⎟ ⎠

)

2

donde: 1 − ς

2

φ = arctg

ς

La transformada de la Laplace de la variación de velocidad es: Δω ( )s = Δs δ ( )s =

ω n2

1

K ( s 2 + 2ςωn s + ω n2 )

Δ mp

Realizando la antitransformada de Laplace resulta: Δω ( t ) =

3.1.4

1⎛

⎞ ω n −ζω ⎜ e t sen ωn 1 − ζ 2 t ⎟ Δpm ⎟ K ⎜ 1 − ζ 2 ⎝ ⎠ n


La oscilación electromecánica que experimentaba el generador cuando se producía un cortocircuito trifásico franco, en también aparece cuando se aplica una variación de potencia mecánica suministrada por la turbina en forma de escalón. Se ha aplicado una variación -0.1 pu de potencia suministrada por la turbina (desde 0.9 pu hasta 0.8 pu). Un escalón de pequeña magnitud de la potencia mecánica suministrada por la turbina es una pequeña perturbación y su estudio se puede abordar por medio del sistema de ecuaciones diferenciales lineales (3.15). La Figura 3-5 muestra la evolución de la variación de velocidad del rotor del generador (con relación a la velocidad de sincronismo) y la variación del ángulo. Varias conclusiones se pueden extraer del análisis de la Figura 3-5: 

Tanto la variación de velocidad del rotor como el ángulo caen al aplicar el escalón hacia abajo de potencia mecánica.

3 Oscilaciones electromecánicas y torsionales de un generador 

38

Tanto la variación de velocidad como el ángulo muestran una oscilación sostenida con un periodo de aproximadamente 1 segundo. La oscilación es sostenida porque se ha supuesto que el amortiguamiento del generador es nulo.



La variación de velocidad oscila aproximadamente entre +0.2% y -0.2% y el ángulo entre 45º y 35º. La amplitud de las oscilaciones de velocidad y de ángulo son más pequeñas que en el caso mostrado en la Figura 3-4 porque la perturbación es pequeña. 2

x 10

-3

1 ) u p ( ω Δ

0

-1 -2 -0.5

0

0.5

1

1.5

2

1

1.5

2

Tiempo (s) 40

) º ( 35 δ

30 -0.5

0

0.5 Tiempo (s)

Figura 3-5:.Simulación de la oscilación electromecánica de un generador síncrono conectado a un nudo de potencia infinita en caso de variación de potencia mecánica suministrada por la turbina: variación de velocidad y ángulo del rotor.

El autoanálisis de la matriz de estados del sistema de ecuaciones diferenciales lineales (3.15) confirma los resultados de la simulación en el dominio del tiempo mostrada en la Figura 3-5. La matriz de estados tiene dos autovalores complejos conjugados (ver Tabla 3-2) cuya parte real es nula (no se ha tenido en cuenta el amortiguamiento del generador) y cuya parte imaginaria indica una frecuencia natural de oscilación de 1.3 Hz que corresponde a un periodo aproximado de 1 segundo tal y como la Figura 3-5 ha mostrado.


Nº

Real 1

0

39

Autovalores complejos Imgaginaria Amortiguamiento (%) Frecuencia (Hz) 9.5754 0 1.52

Tabla 3-2: Autovalores del modelo linealizado de un generador conectado a un nudo de potencia infinita.

3.2 Oscilaciones torsionales En esta sección se describe y analiza una ampliación en el aspecto mecánico del modelo anterior, que permitirá estudiar los modos naturales de oscilación torsional de un turbogenerador. Aquellos modos cuya frecuencia es inferior a la de sincronismo pueden llegar a interactuar con el sistema eléctrico en determinadas circunstancias, como ocurre en la Resonancia Subsíncrona. Por ello, es necesario conocer las características torsionales de los turbogeneradores y definir un modelo mecánico adecuado que las represente. 3.2.1

Modelo no lineal

El eje del rotor de una unidad de generación térmica es un sistema mecánico muy complejo, formado por varios elementos de grandes dimensiones acoplados a lo largo del mismo eje. Un sistema así tiene un gran número de modos vibratorios torsionales naturales en un amplio rango de frecuencias que requerirían un modelo de parámetros continuos de la estructura mecánica para ser determinados. Suponiendo que el eje está dividido en un número finito de elementos, se puede obtener un modelo de masas concentradas unidas mediante tramos del eje de una determinada elasticidad. Dicho modelo de parámetros concentrados, representaría fielmente el comportamiento del eje en un rango de bajas frecuencias, por debajo de la frecuencia de sincronismo de la red, las cuales serán de interés en el caso de posibles interacciones con el sistema eléctrico. La aplicación de este modelo para el sistema mecánico junto con el modelo simplificado o clásico del generador síncrono conectado a nudo infinito no es suficientemente detallado para detectar dichas inestabilidades, pero sí permite analizar las características torsionales naturales del sistema mecánico del turbogenerador. Hay distintas configuraciones posibles de turbinas-generadores en una central térmica, en función del número de etapas de expansión y de si las turbinas se sitúan en un mismo eje o en dos ejes distintos. Las ecuaciones del modelo mecánico presentado son generalizables y se pueden aplicar a los dos tipos de sistemas, pero se hará la


40

suposición de que todas las turbinas están acopladas a un único eje y solo hay un generador, además de un sistema de excitación de masa no despreciable. Considérese el rotor de turbogenerador formado por seis masas:

Figura 3-6. Estructura del sistema de masas del rotor de un turbogenerador



Turbina de alta presión (high pressure, HP, turbine)



Turbina de presión intermedia (intermediate pressure, IP, turbine)



Cuerpo A de la turbina de baja presión (low pressure A, LPA, turbine)



Cuerpo B de la turbina de baja presión (low pressure B, LPB, turbine)



El generador (GE)



La excitatriz (EXC)

El modelo de masas y muelles equivalente sin amortiguamiento sería: K ip−lpa

K hp−ip H hp

H IP

K lpa−lpb H lpa

K lpb− g H LPB

K −e H

H e

Figura 3-7: Diagrama de masas y muelles de un turbogenerador.

La notación adicional que se va a utilizar en la descripción de los parámetros y ecuaciones utilizados en el modelo es la siguiente: Ω j Velocidad en grados mecánicos de la masa j ( rad / s ). j

Velocidad de la masa j en magnitudes unitarias de la máquina

j

= Ω j ⋅ p / 0 .


41

Δω j Desviación de velocidad de la masa j respecto al sincronismo en pu Δ

j

=(

j

− 1) .

δ j Posición angular de la masa j en grados eléctricos respecto a una referencia que

gira a la velocidad de sincronismo ( δ j =

0

(

j

−1) t + δ j 0 ).

T Par aplicado a una masa ( N ⋅ m ). t m , t e Pares mecánico y eléctrico en magnitudes unitarias. p m , p e Potencias mecánica y eléctrica en magnitudes unitarias

j pu Momento de inercia en magnitudes unitarias ( s ), ( J B =

S B

Ω02

).

H j Constante de inercia ( s ). K Coeficiente de elasticidad o rigidez torsional ( N ⋅ m / rad ). K ij Coeficiente de elasticidad del eje entre las masas i y j, ( puT / rad ).

Las características dinámicas del eje se modelan con tres conjuntos de parámetros ([3]): la constante de inercia H de las masas individuales, la rigidez torsional K de cada tramo de eje que une dos masas adyacentes y el coeficiente de amortiguación D asociado a cada masa. Se hace la suposición de que los materiales del eje turbinasgenerador son sometidos a esfuerzos y deformaciones por debajo de su límite elástico y, por tanto, son aplicables las relaciones lineales de la ley de deformación elástica de Hooke y la ley mecánica de Newton con coeficientes H, K, D constantes. Su significado físico es: 

La constante de inercia H asignada a cada masa es su propia inercia más la porción correspondiente de los tramos de eje entre las masas.



La rigidez torsional K de cada tramo de eje entre masas adyacentes, que es la relación entre el par transmitido y la torsión angular a la que está sometido el eje entre sus dos extremos.


42

T = K ⋅ Θ

Cada coeficiente de elasticidad o rigidez torsional será la rigidez equivalente del tramo considerado, que en realidad estará formado por varios tramos con secciones y elasticidades diferentes. Expresado en magnitudes unitarias de par y radianes eléctricos, si el número de pares de polos de la máquina es P : K pu T / elec



rad =

K Nm / mech

rad

p ⋅ T B ( N ⋅ m)

=

K Nm / mech rad ⋅ Ω0 p ⋅ S B (VA)

=

K Nm / mech

rad

S B (VA)

⋅

ω 0 p2

El coeficiente de amortiguamiento D de las oscilaciones asociado a cada masa. Puede tener su origen en la histéresis del material que constituya el eje, la fuerza del vapor en los álabes de las turbinas cuando oscilan o en los elementos del sistema eléctrico (generador, sistema de excitación o la red). En la práctica, los niveles de amortiguamiento asociados a las oscilaciones torsionales son muy pequeños y difíciles de determinar debido a la complejidad de los sistemas que contribuyen al amortiguamiento y a la variabilidad de esa contribución. Por ello, el amortiguamiento aquí se supondrá nulo.

La ecuación dinámica de rotación de un sólido rígido de la Segunda Ley de Newton:

∑ T = J

d Ω dt

(3.18)

Para una masa genérica j, conectada a las masas i y k, la ecuación (3.18) queda: 2 H

d ω j dt

= t m − t e − K ij (δ j − δ i ) − K jk (δ j − δ k ) j

j

(3.19)

Siendo d δ j dt

= ω 0 (ω j − 1)

(3.20)


43

Se aplican a cada masa del sistema para obtener las ecuaciones (3.19) y (3.20) del modelo completo.

Figura 3-8: Pares actuando sobre una masa genérica j del eje

Entonces, empleando el par o la potencia en magnitudes unitarias ( t m , t e , p m , p e ) indistintamente, las ecuaciones del modelo mecánico no lineal del turbogenerador son: d δ hp dt d δ ip dt d δ lpa dt d δ lpb dt d δ g dt d ω hp

2 Hhp

dt d ω ip

2 Hip 2 H lpa 2 H lpb 2 H

= ω0 (ω lpa − 1)

(3.21)

= ω0 (ω lpb − 1) = ω0 (ω g − 1)

= pm,ip − Khp −ip (δ ip − δ hp ) − Kip −lpa ( δip − δ lpa )

dt d ω lpb

dt

= ω0 (ω ip − 1)

= mp,hp − Khp −ip (δ hp − δ ip )

dt d ω lpa

dt d ω g

g

= ω0 (ω hp − 1)

= mp,lpa − Klpa −ip (δ lpa − δ ip ) − Klpa −lpb ( δlpa − δlpb ) = mp,lpb − K lpb − δ g ) lpb −lpa ( δ lpb − δ lpa ) − K lpb − g ( δ

= − K lpb− g(δ g− δ b ) − pe

(3.22)


44

A estas ecuaciones hay que añadir la expresión de la potencia eléctrica suministrada por el generador. Como se ha dicho, la potencia y el par aplicado en cada masa son prácticamente equivalentes en unitarias. En este modelo se usarán indistintamente una y otro. t e ≈ p e =

e′ ⋅ v∞ xT

(3.23)

sen δ g

Las ecuaciones (3.21), (3.22) y (3.23) se pueden escribir en forma compacta como sigue: x& = F ( x, u )

(3.24)

Donde: ⎡δ ⎤ x=⎢ ⎥ ⎣ω ⎦ δ = ⎡⎣δ hp

δip

δ lpa

ω = ⎡⎣ωhp

ωip

ωlpa

δ lpb ωlpb

δ g ⎤⎦

T

ωg ⎤⎦

T

u = p = [ pm ,hp pm ,ip pm,lpa pm,lpb ]T

3.2.2


Se van a ilustrar la presencia de oscilaciones torsionales en la oscilación electromecánica de un generador síncrono conectado a un nudo de potencia infinita (la Tabla 3-3 detalla los datos del rotor del turbogenerador; estos datos corresponden al “First Benchmark Model for Computer Simulation of Subsynchronous Resonance” [12] ; debe notarse que para poder realizar comparaciones se considera la frecuencia base de la referencia [12], que es 60 Hz)) cuando ocurre un cortocircuito trifásico franco de 100 milisegundos de duración. Un cortocircuito es una gran perturbación y su estudio requiere la simulación en el dominio del tiempo en este caso del sistema de ecuaciones diferenciales no lineales (3.24).


45

Tabla 3-3: Datos del rotor del turbogenerador de la Tabla 3-1.

Inercia de las masas:

H hp = 0.092897 s H ip = 0.155589s H lpa = 0.858670 s H lpb = 0.884215 s H g = 0.868495 s H e = 0.0342165s

Constates de rigidez de los acoplamientos:

K = 19.303

pu

hp−ip

K = 34.929

pu

ip−lpa

K = 52.038

pu

pla− lpb

K = 70.858

pu

lpb − g

K= 2.822

pu

g − e

Proporciones de potencia suministrada por cada turbina:

K = 0.3

hp

K= 0.26

ip

pu pu

K= 0.22

pu

K= 0.22

pu

pla lpb

La Figura 3-9, la Figura 3-10, la Figura 3-11 y la Figura 3-12 muestran la evolución de la variación de velocidad de la turbina de alta presión, de presión intermedia, de baja presión, del generador y de la excitatriz (con relación a la velocidad de sincronismo) y la variación del ángulo del rotor del generador. Una conclusión se puede añadir a las ya obtenidas: Las variaciones de velocidad de las turbinas y del generador exhiben junto con la componente de frecuencia fundamental de 1 Hz (1 segundo de periodo), otras componentes frecuencia superior a 1 Hz. Las velocidades de los cuerpos de baja presión de la turbina exhiben las oscilaciones torsionales en menor medida.


46

0.05

) u p (

P H

0

ω Δ

-0.05 -0.5

0

0.5

1

1.5

2

1

1.5

2

Tiempo (s) 0.04 0.02

) u p (

P I

ω Δ

0 -0.02 -0.04 -0.5

0

0.5 Tiempo (s)

Figura 3-9:.Simulación de las oscilaciones torsionales de un turbogenerador conectado a un nudo de potencia infinita en caso de una falta: variación de velocidad de las turbinas de alta presión y presión intermedia.

0.04 0.02

) u p (

A P L

ω Δ

0 -0.02 -0.04 -0.5

0

0.5

1

1.5

2

1

1.5

2

Tiempo (s) 0.04 0.02

) u p (

B P L

ω Δ

0 -0.02 -0.04 -0.5

0

0.5 Tiempo (s)

Figura 3-10:.Simulación de las oscilaciones torsionales de un turbogenerador conectado a un nudo de potencia infinita en caso de una falta: variación de velocidad de las turbinas de baja presión.


47

0.04

) u p (

0.02 0

g

ω Δ

-0.02 -0.04 -0.5

0

0.5

1

1.5

2

1

1.5

2

Tiempo (s) 0.05

) u p (

0

e

ω Δ

-0.05 -0.5

0

0.5 Tiempo (s)

Figura 3-11: Simulación de las o scilaciones torsionales de un turbogenerador conectado a un nudo de potencia infinita en caso de una falta: variación de velocidad del generador y de la excitatriz.

150 100 ) º ( δ

50 0 -50 -0.5

0

0.5

1

1.5

2

Tiempo (s)

Figura 3-12: Simulación de las oscilaciones de un turbogenerador conectado a un nudo de potencia infinita en caso de una falta: variación del áng ulo del rotor del generador.

3.2.3

Modelo lineal

Las ecuaciones del modelo mecánico lineal del turbogenerador son:


d Δδ hp dt d Δδ ip dt d Δδ lpa dt d Δδ lpb dt d Δδ g dt

2 H hp 2 H ip 2 H lpa 2 H lpb 2

d Δω hp dt d Δω ip

48

= ω0 Δω hp = ω0 Δω ip = ω0 Δω lpa

(3.25)

= ω0 Δω lpb = ω0 Δω g

= Δ mp,hp − K hp −ip ( Δδ hp − Δδ ip ) δ δ = Δ mp,ip − K δ ip − Δδ lpa ) hp −ip ( Δ ip − Δ hp ) − K ip −lpa ( Δ

dt d Δω lpa dt d Δω lpa

δ lpa − Δδlpb ) = Δ mp,lpa − K lpa −ip ( Δδ lpa − Δδ ip ) − K lpa −lpb ( Δ

(3.26)

= Δ mp,lpb − K K lpb −lpa ( Δδ lpb − Δδ lpa ) − lpb − g ( Δ δ lpb − Δδ g )

dt d Δω g H =− g dt

K − g( Δδ g− Δδ b) − Δ lpb

p

e

y la de la potencia eléctrica del generador linealizada alrededor del punto de funcionamiento: Δ p e =

Donde K g =

e′ ⋅ v ∞ xT

e′ ⋅ v∞ xT

cos δ g 0 Δδ g

(3.27)

cos δ 0 Δδ es el coeficiente de par sincronizante.

Se ha despreciado el amortiguamiento, por su valor despreciable y dificultad de determinación en la práctica ( D = 0 ). Las ecuaciones (3.25), (3.26) y (3.27) se pueden escribir en forma compacta como: Δx& = A Δx + B Δu


49

⎡ d Δδ ⎤ ⎢ dt ⎥ ⎡ 0 ω 0 I ⎤ ⎡ Δδ ⎤ ⎡ 0 ⎤ ⎢ ⎥=⎢ ⎥ ⎢ Δω ⎥ + ⎢M −1 ⎥ Δpm −1 M K 0 ω d Δ − ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎢ ⎥ ⎣ ⎢⎣ dt ⎥⎦

(3.28)

Donde: T

Δδ = ⎡⎣ Δδ hp

Δ δip

Δ δ lpa Δ δlpb Δ δ g ⎤⎦

Δω = ⎡⎣ Δωhp

Δ ωip

Δωlpa Δ ωlpb Δ ωg ⎤⎦

T

0 0 0 ⎤ ⎡ H hp 0 ⎢ 0 H ⎥ 0 0 0 ip ⎢ ⎥ 0 H lpa 0 0 ⎥ M = 2⎢ 0 ⎢ ⎥ 0 0 H lpb 0 ⎥ ⎢ 0 ⎢ 0 0 0 0 H g ⎥⎦ ⎣

⎡ K hp −ip ⎢− K ⎢ hp −ip K = ⎢ 0 ⎢ ⎢ 0 ⎢ 0 ⎣

3.2.4

− K hp −ip Khp −ip + Kip −lpa − Kip −lpa

0

0 0

0

− Kip −lpa Kip −lpa + Klpa −lpb − Kip −lpb

0

0

− Kip −lpb Klpb − g + Klpb − g − Klpb − g

⎤ ⎥ 0 ⎥ ⎥ 0 ⎥ − Klpb − g ⎥ Klpb − g + Kg ⎥⎦ 0


Las oscilaciones de frecuencia superior a 1 Hz junto con la oscilación de 1 Hz también pueden apreciarse tras la aplicación de un escalón de potencia mecánica suministrada por la turbina de alta presión de pequeña magnitud ( -0.03 pu, que es -0.1pu del caso de tener una única masa multiplicado por la fracción de potencia de la turbina de baja presión). Un escalón de pequeña magnitud de la potencia mecánica suministrada por la turbina de alta presión es una pequeña perturbación y su estudio se puede abordar por medio del sistema de ecuaciones diferenciales lineales (3.28). La Figura 3-13, la Figura 3-14, la Figura 3-15 y la Figura 3-16 muestran la evolución de la variación de velocidad de la turbina de alta presión, de presión intermedia, de baja presión, del generador y de la excitatriz (con relación a la velocidad de sincronismo) y la variación del ángulo del rotor del generador. Una conclusión se puede añadir a las ya obtenidas: Las variaciones de velocidad de las turbinas y del


50

generador exhiben junto con la componente de frecuencia fundamental de 1 Hz (1 segundo de periodo), otras componentes frecuencia superior a 1 Hz.

0.02 0

) u p (

P H ω Δ

-0.02 -0.04 -0.06 -0.5

0

0.5

1

1.5

2

1

1.5

2

Tiempo (s) 2

x 10

-3

1

) u p (

P I ω Δ

0 -1 -2 -0.5

0

0.5 Tiempo (s)

Figura 3-13:.Simulación de la oscilación electromecánica de un generador síncrono co nectado a un nudo de potencia infinita en caso de variación de potencia mecánica suministrada por la turbina de alta presión: variación de velocidad de las turbinas de alta presión y presión intermedia.

2 ) u p (

x 10

-3

1

A P L ω Δ

0 -1 -2 -0.5

0

0.5

1

1.5

2

1

1.5

2

Tiempo (s) 1 ) u p (

B P L ω Δ

x 10

-3

0.5 0 -0.5 -1 -0.5

0

0.5 Tiempo (s)

Figura 3-14:.Simulación de la oscilación electromecánica de un generador síncrono co nectado a un nudo de potencia infinita en caso de variación de potencia mecánica suministrada por la turbina de alta presión: variación de velocidad de las turbinas de baja presión.


1 ) u p (

g ω Δ

x 10

51

-3

0.5 0 -0.5 -1 -0.5

0

0.5

1

1.5

2

1

1.5

2

Tiempo (s) 1 ) u p (

e ω Δ

x 10

-3

0.5 0 -0.5 -1 -0.5

0

0.5 Tiempo (s)

Figura 3-15:.Simulación de la oscilación electromecánica de un generador síncrono co nectado a un nudo de potencia infinita en caso de variación de potencia mecánica suministrada por la turbina de alta presión: variación de velocidad del rotor del generador y de la excitatriz.

0.691 0.69 ) º (

g δ

0.689 0.688 0.687 -0.5

0

0.5

1

1.5

2

Tiempo (s)

Figura 3-16: Simulación de la oscilación electromecánica de un generador síncrono conectado a un nudo de po tencia infinita en caso de variación de potencia mecánica suministrada por la turbina de alta presión: variación del ángulo del rotor del generador.

La dificultad del análisis de las oscilaciones de frecuencia superior a 1 Hz en la respuesta temporal, hace necesario el autoanálisis de la matriz de estados del sistema de ecuaciones diferenciales lineales (3.28). Del autoanálisis de dicha matriz pueden conocerse los modos según los cuales evolucionaría este sistema en el tiempo ante pequeñas perturbaciones, como variaciones en el nivel de carga o de potencia aplicada en las turbinas. La Tabla 3-4 muestra que la matriz de estados tiene seis parejas de


52

autovalores complejos conjugados cuya parte real es nula (no se ha tenido en cuenta ningún amortiguamiento) y cuya parte imaginaria indica una frecuencia natural de las oscilaciones. Las frecuencias que refleja están en grados eléctricos. Se puede observar que todas ellas se encuentra, como es habitual, por debajo de la frecuencia de sincronismo del sistema eléctrico.

Nº

Real 1 2 3 4 5 6

0 0 0 0 0 0

Autovalores complejos Imaginaria Amortiguamiento (%) Frecuencia (Hz) 298.1803 0 47.46 203.0208 0 32.31 160.6396 0 25.57 127.0312 0 20.22 99.2218 0 15.79 9.5095 0 1.51

Tabla 3-4: Autovalores del modelo linealizado de un generador conectado a un nudo de potencia infinita con representación detallada del rotor del generador.

La caracterización de los autovalores requiere el análisis de las formas de los modos, o los desplazamientos relativos entre masas para cada modo de oscilación, (proporcionados por los autovectores derechos) y de los factores de participación. Para una masa en particular, puede usarse indistintamente la entrada correspondiente a la velocidad o al ángulo. Contienen la misma información y se han normalizado de forma que la componente de máximo valor sea igual a la unidad. La Figura 3-17 y la Figura 3-18 muestra la forma del modo (componentes de los autovector derechos correspondientes a los ángulos) de los autovalores de la Tabla 3-4. La Figura 3-19 muestra el módulo de los factores de participación (componentes a los ángulos) de los autovalores de la Tabla 3-4. En ambos casos la numeración de masas considerada es la detalladan en la Tabla 3-5.


53

Forma del modo 1 1 0 #

-1

1

2

3

4

5

6

1

2

3

4

5

6

1

2

3

4

5

6

1 2 0 #

-1 1 3 0 #

-1

Masa

Figura 3-17:. Forma de los modos torsionales 1, 2 y 3 (componentes de los a utovectores) de un turbogenerador conectado a un nudo de potencia

Forma del modo 1 4 #

0.5 0 -0.5

1

2

3

4

5

6

1

2

3

4

5

6

1

2

3

4

5

6

1 5 0 #

-1 1 6 0 #

-1

Masa

Figura 3-18: Forma de los modos torsionales 4, 5 y 6(componentes de los autovectores) de un turbogenerador conectado a un nudo de potencia infinita


54

Factores de participacion 0.5 1 #

0

1

2

3

4

5

6

1

2

3

4

5

6

1

2

3

4

5

6

0.5 2 #

0 0.5 3 #

0

Masa

.

Figura 3-19:.Participaciones de los modos torsionales de un turbogenerador conectado a un nudo de potencia infinita.

Número

Masa

1

Turbina de alta presión

2

Turbina de presión intermedia

3

Cuerpo A de la turbina de baja presión

4

Cuerpo B de la turbina de baja presión

5

Generador

6

Excitatriz Tabla 3-5: Numeración de masas del rotor.

De análisis de la Figura 3-17 y de la Figura 3-19 se pueden extraer las siguientes conclusiones: 

El modo #1 corresponde a una oscilación de la turbina de alta presión con la de presión intermedia. La turbina de presión intermedia es el elemento de mayor participación.

3 Oscilaciones electromecánicas y torsionales de un generador 

55

El modo #2 corresponde a una oscilación de la turbina de alta presión y el cuerpo de baja presión B contra el cuerpo de baja presión A y el generador. El cuerpo de baja presión B es el elemento de mayor participación.



El modo #3 corresponde a una oscilación de la turbina de alta presión, la presión intermedia y el generador contra los cuerpos A y B de la turbina de baja presión. La turbina de alta presión es el elemento de mayor participación.



El modo #4 corresponde a una oscilación de la excitatriz contra el resto de las masas. La excitatriz es el elemento de mayor participación.



El modo #5 corresponde a una oscilación de la turbina de alta presión, de presión intermedia y al cuerpo A de la turbina de baja presión contra el cuerpo B de la turbina de baja presión, el generador y la excitatriz. El generador es el elemento de mayor participación.



El modo #6 corresponde a una oscilación al unísono de todos los elementos. Los elementos de mayor participación son los cuerpos de baja presión de la turbina y el generador.

3.2.5

Parámetros modales

El sistema de ecuaciones diferenciales lineales de primer orden (3.28) se puede escribir como un sistema de ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden: M

d 2 Δδ 1 dt 2 ω 0

+ K Δδ = Δp m

(3.29)

cuya ecuación homogénea es: M

d 2 Δδ 2

1

dt ω 0

+ K Δδ = 0

(3.30)

y cuya matriz de estados es: −1

A = −ω 0 M K

Los autovalores

(3.31)

y autovectores derechos V de la matriz de estados A cumplen:


56

AV = V

o lo que es lo mismo: V 1

ω 0

−ω 0 M −1KV −KV

MV

(3.32)

Si se premultilplican ambos lados de la ecuación (3.32) por la matriz transpuesta de la matriz de autovectores derechos VT se obtiene: 1

ω 0

−VT KV

VT MV

(3.33)

Donde las matrices VT MV y VT KV son matrices diagonales y sus elementos diagonales son los parámetros modales (masa y rigidez). Una demostración sencilla que prueba que las citadas matrices son diagonales es la siguiente: 

Considerar la ecuación (3.33) para los modos i-ésimo y j-ésimo: 1

ω 0 1

ω 0

Mv i λ i + Kv i = 0

(3.34)

Mv λ j j + Kv j = 0

(3.35)

vT j M = −



λ j

vT j K

(3.36)

Premultiplicar por vT j la ecuación (3.34): 1

ω 0 

ω 0

vTjMv iλ i + vT jKv i = 0

Substituir (3.36) en la(3.37) :

(3.37)


57

⎛ −λ i ⎞ T + 1 ⎟ v jKv i = 0 v Kv iλ i + v Kv i = ⎜ ⎜ λ j ⎟ ω0 λ j ⎝ ⎠ −ω0

1

T j

T j

v T j Kv i = 0

Lo que confirma que la matriz VT KV es diagonal. De forma similar se llega a conclusión que VT MV es diagonal. vT j K = − 1

ω0

vTjMv iλ i −

λ j ω0

λ j ω 0

vT j M

⎛ λ i

vTjMv i = ⎜

⎝ ω0

−

λ j ⎞

⎟ v jMv i = 0 ω0 ⎠ T

=0 vT j Mv i

Otra explicación se deduce del problema de autoanálisis Evi λ i = Avi , con A y E semidefinidas positivas ( E es diagonal y los términos diagonales de A son mayores o iguales que la suma de los términos de fuera de la diagonal), según el cual existe una transformación congruente V que diagonaliza las matrices A y E . Ello puede verse por ejemplo en el texto [13]. Si a la ecuación (3.29) se aplica el cambio de variables Δδ = VΔθ y se premultiplica por la matriz transpuesta de la matriz de autovectores derechos VT se obtiene: T

V MV

d 2 Δθ 2

dt ω 0

M mi d 2 Δθ i ω 0 2 H mi

ω 0

1

2

dt

+ K mi Δθ i = vT i Δp m

d 2 Δθ i 2

dt

+ V T KVΔθ = V T Δp m

(3.38)

+ K mi Δθ i = vT i Δp m

Siendo H mi y K mi la inercia y la rigidez modal correspondientes al modo i-ésimo. Por supuesto el autovalor i-ésimo se obtiene directamente a partir de los parámetros modales como: λ i = ± j

K miω 0 2 H mi


58

La Tabla 3-6 presenta los parámetros modales del caso del turbogenerador conectado a un nudo de potencia infinita ya considerado. Merece la pena comparar al menos los parámetros modales de modo en el que todas las masas oscilan al unísono con los parámetros de inercia y coeficiente de par sincronizante del caso del generador conectado a un nudo de potencia infinita en el que el rotor se representó por una única masa. La inercia en ese caso era 2.894 s y el coeficiente de par sincronizante valía 1.4077 pu. Valores muy próximos a los ahora obtenidos cuando se representa con todo detalle el turbogenerador tal y como se detallan en la Tabla 3-6.

Nº 1 2 3 4 5 6

Parámetros modales Imaginaria Hm 298.1803 0.2246 203.0208 1.5141 160.6396 0.1910 127.0312 0.0389 99.2218 0.3609 9.5095 2.8041

Km 105.9469 331.0820 26.1440 3.3331 18.8500 1.3452

Tabla 3-6: Parámetros modales de un turbogenerador conectado a un nudo de potencia infinita.

K hp−ip

H hp

K ip−lpa

H lpa

H IP

Dip

K lpb− g

H

H LPB

Dip−lpa

Dip−lpa Dhp

K lpa−lpb

Dlpb− g

Dlpa−lpb Dlpa

Dlpb

Dlpb

Figura 3-20: Diagrama de masas, muelles y amortiguadores de un turbogenerador

En el modelo de la oscilación electromecánica del generador y en el modelo de las oscilaciones torsionales no se incluyeron los amortiguadores, pero pueden considerarse. En ese caso el diagrama de la Figura 3-7 pasa a ser el diagrama de la Figura 3-20 y el sistema de ecuaciones diferenciales lineales de primer orden (3.28) queda de la forma: ⎡ d Δδ ⎤ ⎢ dt ⎥ ⎡ 0 ω 0 I ⎤ ⎡ Δδ ⎤ ⎡ 0 ⎤ ⎢ ⎥=⎢ ⎥ + ⎢M −1 ⎥ Δp m −1 −1 ⎥ ⎢ Δ − − Δ M K M D ω ω d ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎢ ⎥ ⎣ ⎢⎣ dt ⎥⎦

(3.39)


59

Donde: − D 0 0 ⎡ D hp + D hp − ip hp − ip ⎢ −D − Dip −lpa 0 Dip + Dhp −ip + Dip −lpa hp −ip ⎢ − Dip −lpa − Dip −lpb 0 Dlpa + Dip −lpa + Dlpa −lpb D=⎢ ⎢ − Dip −lpb 0 0 Dlpb + Dlpb − g + Dlpb − g ⎢ ⎢ − Dlpb − g 0 0 0 ⎣

⎤ ⎥ 0 ⎥ ⎥ 0 ⎥ − Dlpb− g ⎥ ⎥ Dg + D lpb − g ⎦

y la ecuación diferencial lineal de segundo orden (3.29) queda: M

d 2 Δδ 1 dt 2 ω 0

+D

d Δδ 1 dt ω 0

+ K Δδ = Δp m

(3.40)

Si a la ecuación (3.40) se aplica el cambio de variables Δδ = VΔθ y se premultiplica por la matriz transpuesta de la matriz de autovectores derechos VT se obtiene: T

V MV

d 2 Δθ 1 2

dt

ω 0

+ V T DV

d Δθ 1 dt ω 0


(3.41)

Las nuevas variables son variables modales. Debe notarse que en este caso la matriz VT DV

no tiene porque ser diagonal, pues la matriz de paso se ha obtenido del

problema de oscilaciones no amortiguadas (suponiendo D igual a cero).

0

4 Resonancia subsíncrona

60

4 Resonancia subsíncrona Este capítulo presenta el fenómeno de la resonancia subsíncrona y los modelos no lineales y lineales de un turbogenerador conectado a un nudo de potencia infinita a través de una línea compensada serie para su estudio. Este capítulo también muestra resultados tanto de la simulación no lineal en el dominio del tiempo como del análisis modal del modelo lineal. La aproximación al problema se realizará, en primer lugar, mediante modelos simplificados no lineales y lineales del generador síncrono. A continuación, se presenta un modelo más detallado con todos los componentes de los sistemas que rodean al generador considerando el efecto de los sistemas de regulación.

4.1 Introducción a la resonancia subsíncrona La resonancia subsíncrona es un problema de inestabilidad en generadores síncronos que afecta a los modos del sistema que se encuentran en el rango de frecuencias inferiores a la fundamental (50 Hz ó 60 Hz). Se basa en la interacción de los sistemas eléctrico y mecánico asociados al generador. Puede producir oscilaciones inestables en los modos torsionales del eje del generador y también en las magnitudes eléctricas del sistema. La definición formal propuesta por el IEEE [7] establece que la resonancia subsíncrona es la condición en la que se encuentra un sistema de energía eléctrica cuando la red intercambia energía con un generador a una o más frecuencias naturales del sistema por debajo de la frecuencia de sincronismo. La definición es general y se refiere tanto a los modos naturales debidos a características inherentes al sistema eléctrico como a los modos forzados por la actuación de los distintos reguladores y equipos de control. La situación más común en la que se puede presentar la resonancia subsíncrona es en generadores que estén conectados al sistema a través de líneas con condensadores en serie que compensan la reactancia de las mismas. Ése sería un modo natural al sistema. Otras causas de oscilaciones subsíncronas inestables pueden ser también los


61

sistemas de regulación del generador, que introducirían modos forzados, interactuando con la red o el sistema mecánico de su eje. 4.1.1

Resonancia eléctrica en líneas con compensación serie

Cuando un generador está conectado a un nudo de potencia infinita a través de una línea compensada, el sistema eléctrico constituido tiene carácter de RLC con una frecuencia de resonancia f e .

Figura 4-1: Esquema unifilar equivalente de una línea compensada serie

f e =

1 2π LT C e

= f 0

X C

(4.1)

X LT

Siendo: f 0

La frecuencia fundamental del sistema

LT

La inductancia total del circuito ⎜⎜ Le + Lt +

X LT

La reactancia inductiva total: X LT = 2π f 0 ⋅ LT

X C

La reactancia capacitiva: X C = (2π f 0 ⋅ C e )−1

⎛ ⎝

X ′′ ⎞

⎟⎟ 2π f 0 ⎠

La medida que indica el grado de compensación de la reactancia de la línea es el factor de compensación (F.C.), que se define como: F .C . =

X C X Le

(4.2)


62

Cuyo valor suele estar comprendido en el margen del 25% al 75%, por lo que f e

es inferior a la frecuencia fundamental f 0 . Por las características dinámicas del circuito RLC, cualquier perturbación en el

sistema eléctrico originará corrientes transitorias que oscilarán a una frecuencia igual a la natural del circuito f e , en realidad algo menor por el efecto de las resistencias. En el caso de faltas desequilibradas, las corrientes se descompondrán en los sistemas de secuencia directa, inversa y homopolar. El sistema homopolar de corrientes en el estator no produce campos magnéticos en el entrehierro de una máquina rotativa, por lo que no tiene efectos sobre el rotor. Los sistemas de secuencia directa e inversa sí producen campos magnéticos en el entrehierro, por lo que darán lugar a pares pulsatorios de frecuencia distinta según la secuencia: Secuencia directa: f 0 − f e Secuencia inversa: f 0 + f e Si se utiliza un sistema de referencia en ejes dq solidario al rotor, éstas serán también las frecuencias de las corrientes transitorias. Los sistemas de corrientes de secuencia directa e inversa se denominarán modos eléctricos subsíncrono y supersíncrono, respectivamente. Suele referirse a la frecuencia del par producido por la componente de secuencia inversa de la corriente como supersíncrona y a la de la secuencia directa como frecuencia subsíncrona, y se dice que ésta es complementaria a f e , ya que la suma de ambas es igual a f 0 . Estos pares aplicados en el rotor del generador hacen que oscile a frecuencias subsíncronas. Como se ha visto en la sección 3.2, el eje de un turbogenerador tiene unos modos naturales de oscilación torsional, cuyas frecuencias suelen encontrarse por debajo de f 0 . Si alguna de ellas se encuentra próxima a la frecuencia subsíncrona del sistema, podría dar lugar a la inestabilidad del modo eléctrico subsíncrono o de los modos torsionales, con la consecuente rotura o fatiga del eje del turbogenerador o la desestabilización del sistema eléctrico. Se pueden distinguir tres mecanismos por los


63

que el generador puede interactuar con el sistema provocando resonancia subsíncrona: el efecto generador de inducción, interacción torsional y pares transitorios. 4.1.2

Tipos de interacciones debidos a la resonancia subsíncrona 

Efecto generador de inducción

Este fenómeno consiste en una inestabilidad producida por la autoexcitación del sistema eléctrico. Para los sistemas de intensidades de frecuencia subsíncrona que puedan surgir tras cualquier tipo de perturbación, el generador funciona como una máquina de inducción. Esto se debe a que el campo magnético producido por las intensidades subsíncronas gira a f e mientras que el generador gira a la velocidad de sincronismo f 0 , por lo que el rotor ve girar a ese campo con un deslizamiento negativo: s =

f e − f 0 f e

< 0, f e < f 0

La resistencia equivalente del rotor para corrientes subsíncronas, vista desde los terminales del estator, es negativa. Cuando la resistencia negativa iguale o supere al resto de resistencias del circuito, las intensidades subsíncronas serán crecientes provocando la inestabilidad del modo. Si, además, la reactancia total se anula, se darán condiciones de resonancia eléctrica en el sistema. 

Interacción torsional

La interacción torsional ocurre cuando los pares en el entrehierro producidos por corrientes transitorias subsíncronas están próximos a alguno de los modos torsionales del turbognerador. Cuando por alguna pequeña perturbación se produce la oscilación natural del eje de turbinas-generador a alguna de sus frecuencias naturales f m , se inducen tensiones y corrientes en devanado trifásico del estator con frecuencias f 0 ± f m . Si la corriente de frecuencia f 0 − f m coincide o se encuentra próxima en

frecuencia a la de resonancia del circuito f e , la oscilación torsional y la resonancia eléctrica se excitarán o reforzarán mutuamente dando lugar a resonancia subsíncrona. En tal caso, la resonancia eléctrica actuará como un amortiguamiento negativo para la


64

oscilación torsional, y ésta última actuará de la misma forma para la resonancia eléctrica. 

Pares transitorios

Este problema se da ante faltas severas cuando la frecuencia del modo subsíncrono está próxima a la de alguno de los modos torsionales del generador. Los pares transitorios son aquellos que se producen por grandes perturbaciones en el sistema. Estas perturbaciones o faltas causan cambios repentinos en la configuración de la red, provocando cambios bruscos en las intensidades, que tenderán a oscilar a las frecuencias naturales del sistema. En una línea sin compensación serie, estas componentes transitorias son unidireccionales amortiguadas con el tiempo según una constante de tiempo que depende de las resistencias e inductancias del circuito (sistema de primer orden RL). En líneas que tienen compensación serie, ante una falta o perturbación de gran magnitud, las corrientes transitorias serán oscilatorias de frecuencia f e , como ocurría con las pequeñas perturbaciones. Si la frecuencia complementaria a f e , o frecuencia subsíncrona, se asemeja a alguna de las frecuencias naturales del sistema mecánico, se podrán producir pares torsionales con picos muy elevados, proporcionales a las intensidades transitorias, tanto en los cortocircuitos como en sus despejes. Como consecuencia, se sometería a las distintas secciones del eje a esfuerzos torsionales muy elevados. 4.1.3

Técnicas de análisis

De los tres tipos de interacciones descritos, los dos primeros se pueden considerar problemas de estabilidad de pequeña perturbación, al menos inicialmente. El tercer tipo se produce ante grandes perturbaciones, por lo que las no linealidades del sistema deben ser consideradas en el análisis. Por ello, el efecto de generador de inducción y la interacción torsional pueden estudiarse con las técnicas de análisis modal sobre el modelo linelizado. Sin embargo, el fenómeno de los pares torsionales debe estudiarse mediante la integración numérica de las ecuaciones diferenciales del modelo que se defina, para conocer la evolución temporal de las variables del sistema.


65

Los conceptos de efecto generador de inducción, interacción torsional y pares transitorios permiten una comprensión cualitativa del fenómeno de la resonancia subsíncrona. Para un análisis más profundo del mismo es necesaria la definición de un modelo matemático adecuado que sirva de base de estudio. Como este fenómeno implica la interacción de una resonancia eléctrica o la acción de reguladores del sistema eléctrico con las oscilaciones torsionales de un eje, un modelo unificado y detallado de los sistemas eléctrico y mecánico es conveniente para su estudio. Los límites del modelado para estudiar la resonancia subsíncrona estarán definidos en primer lugar por el conjunto de aquellos subsistemas cuyas dinámicas e interacciones son más relevantes en el fenómeno, y en segundo lugar, por el alcance del estudio. Los subsistemas implicados son del generador y la red. El alcance del estudio se limita a las interacciones entre la máquina síncrona y la red eléctrica en el rango de frecuencias subsíncronas, es decir, por debajo de la frecuencia fundamental del sistema.

4.2 Modelo simplificado Las ecuaciones del generador y del condensador de serie con relación a un sistema de referencia que gira a la velocidad del rotor del generador son, para los parámetros de la Figura 4-2: ⎡ ed′ ⎤ 1 d ⎡ψ d ⎤ ⎡ 0 −1⎤ ⎡ψ d ⎤ ⎡ vd ⎤ = + ω ⎢ e′ ⎥ ⎢ψ ⎥ g ⎢ ⎥ ⎢ψ ⎥ + ⎢ v ⎥ 1 0 ω dt ⎣ ⎦⎣ q⎦ ⎣ q⎦ 0 ⎣ q⎦ ⎣ q⎦ ⎡ψ d ⎤ ⎡ Le 0 ⎤ ⎡id ⎤ ⎢ψ ⎥ = ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎣ q ⎦ ⎣ 0 Le ⎦ ⎣ iq ⎦ ⎡id ⎤ 1 d ⎡vcd ⎤ ⎡0 −1⎤ ⎡ vcd ⎤ = + ω C C ⎢i ⎥ ⎢ ⎥ g ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎣1 0 ⎦ ⎣ vcq ⎦ ⎣ q ⎦ ω 0 dt ⎣ vcq ⎦ ⎡ vd ⎤ ⎡vcd ⎤ ⎡ v∞d ⎤ ⎢ v ⎥ = ⎢v ⎥ + ⎢ v ⎥ ⎣ q ⎦ ⎣ cq ⎦ ⎣ ∞q ⎦

(4.3)

(4.4)


66

X ′

e′=e′∠δ

+ −

X t

X l

c

vc

Xe = X′+ Xt + Xl

v

+ −

v ∞ =v∞ ∠0°

Figura 4-2: Circuito equivalente de un generador síncrono conectado a un punto de red infinita a través de un condensador serie

Se considerará que la velocidad de rotor del generador es constante e igual a la velocidad de sincronismo. Este modelo permite analizar como el rotor del generador va a “ver” la oscilación natural del circuito serie LC formado por la inductancia equivalente del generador, el transformador y la línea y la capacidad del condensador de compensación serie. El modelo no lineal toma la forma (ecuaciones (4.8),(4.9)): x& = G ( x, z, u )

(4.5)

0 = H ( x, z, u )

donde los vectores de variables de estado, variables algebraicas y es variables de entrada son: T x = ⎡⎣ψ d

zT = ⎡⎣id

ψ q iq

uT = [ v∞

vcd vd

vcq ⎤⎦ vq ⎤⎦

e′]

En realidad, dado que la velocidad del generador es constante, resulta que el modelo es lineal y la eliminación de las variables algebraicas son: ⎡ x& ⎤ ⎡ A1 A 2 ⎤ ⎡ x ⎤ ⎡ B1 ⎤ ⎢ 0 ⎥ = ⎢ A A ⎥ ⎢ z ⎥ + ⎢B ⎥ u ⎣ ⎦ ⎣ 3 4⎦ ⎣ ⎦ ⎣ 2⎦

(

−

)

(

−

(4.6)

)

x& = A1 − A 2 A 41A 3 x + B1 − B 2A 41A 3 u

= Ax + Bu

(4.7)


4.2.1

67

Simulación del modelo simplificado

Se va a simular una variación en forma de escalón de la tensión en el nudo de potencia infinita (-0.1 pu) considerando que tanto el módulo como el ángulo de la excitación permanecen constantes. La Figura 4-3 muestra la evolución temporal de las componentes del flujo. La Figura 4-4 muestra la evolución temporal de las componentes de la tensión. Todas las magnitudes muestran una componente de frecuencia superior a la de sincronismo y otra de frecuencia inferior a la de sincronismo.

0.86

) 0.84 u p ( d ψ

0.82

0.8 -0.05

0

0.05 0. 1 Tiempo (s)

0.15

0.2

0

0.05 0. 1 Tiempo (s)

0.15

0.2

-0.05

) -0.06 u p ( q ψ

-0.07

-0.08 -0.05

Figura 4-3: Simulaciónde las oscilaciones eléctricas de un generador síncrono conectado a un nudo de potencia infinita a través de una línea compensada serie cuando se produce una variación de tensión en el nudo de potencia infinita: componentes del flujo en la inductancia equivalente


68

-0.01 -0.015 ) u p (

-0.02

d c

v

-0.025 -0.03 -0.05

0

0.05 0.1 Tiempo (s)

0.15

0.2

0

0.05 0.1 Tiempo (s)

0.15

0.2

-0.25

) -0.26 u p ( q

c v -0.27

-0.28 -0.05

Figura 4-4: Simulación de las o scilaciones eléctricas de un generador síncrono conectado a un nudo de potencia infinita a través de una línea compensada serie cuando se produce una variación de tensión en el nudo de potencia infinita: componentes de la tensión del condensador.

En efecto, las frecuencias supersíncrona ω 1 y subsícrona ω 2 se calculan como: ω1,2 = ω0 (1 ± ω n ) ω n =

1

Le C

=

X c X e

En nuestro caso resultan ser: = 0.169X+ 0.14 + 0.56 = 0.869 = 0.28 pu cX e

pu

ω 1 = 377 × (1 + 0.5676 ) = 590.9984 rad s ω 2 = 377 × (1 − 0.5676 ) = 163.0016 rad s ω n =

4.2.2

0.28 0.869

= 0.5676

Análisis del modelo simplificado lineal

El autoanálisis de la matriz de estado del sistema dinámico lineal (4.11) confirma los resultados obtenidos. La Tabla 4-1 detalla los autovalores del citado modelo. Resultan


69

dos parejas de autovalores complejos conjugados de parte real nula (ya que la resistencia del circuito es nula) cuyas frecuencias son las ya obtenidas.

Nº

Real 1 2

0 0

Autovalores complejos Imgaginaria Amortiguamiento (%) Frecuencia (Hz) 590.9984 0 94.06 163.0016 0 25.94

Tabla 4-1: Autovalores del modelo linealizado de un generador conectado a un nudo de potencia infinita a través de una línea compensadas serie.

4.3 Modelo detallado En esta sección se describe con detalle el modelo matemático utilizado para representar el sistema dinámico que constituye un turbogenerador conectado a la red en el que puede tener lugar el fenómeno de resonancia subsíncrona, bien sea por la compensación de la reactancia de la línea o por la influencia de los diferentes reguladores del generador. Se va a considerar, por tanto, un sistema de una sola máquina, que consistirá en un solo generador síncrono conectado a un punto de red infinita mediante una línea con compensación serie. El modelo incluye los siguientes elementos del sistema: 

Sistema mecánico del rotor



La máquina síncrona



La red eléctrica



Turbinas y regulador de potencia



Sistema de excitación

En primer lugar se presentan las ecuaciones dinámicas, generalmente no lineales, de cada uno de los subsistemas y su justificación, para luego constituir el sistema completo. En segundo lugar, se procede a linealizar dichas ecuaciones en torno a un


70

punto de operación para la aplicación de técnicas de análisis modal en el estudio de la estabilidad frente a pequeñas perturbaciones. 4.3.1

Modelo no lineal

Se considera el caso de un generador conectado a un nudo de potencia infinita a través de una línea compensada serie tal y como se muestra en el diagrama unifilar de la Figura 4-5. Re

X e

X c

Figura 4-5: Conexión de un turbogenerador a un nudo de potencia infinita a través de una línea compensada serie.



Modelo mecánico del rotor de la turbina y generador

Se presentan las ecuaciones del modelo mecánico no-lineal del turbogenerador en el que no se utiliza la potencia mecánica como si fuera el par porque en el modelo de las turbinas se obtiene directamente como salida esta magnitud, y no hay que dividirla entre la velocidad de cada masa. d δ hp dt d δ ip dt d δ lpa dt d δ lpb dt d δ g dt

= ω0 (ω hp − 1) = ω0 (ω ip − 1) = ω0 (ω lpa − 1) = ω0 (ω lpb − 1) = ω0 (ω g − 1)

(4.8)


2 Hhp 2 Hip 2 H lpa

d ω hp dt d ω ip

71

= pm,hp − Khp −ip (δ hp − δ ip ) − D hp ( ω hp − 1) = pm,ip − Khp −ip (δ ip − δ hp ) − D ip ( ω ip − 1)

dt d ω lpa dt d ω lpb

= mp,lpa − Klpa −ip (δlpa − δ ip ) − D lpa ( ω lpa − 1)

(4.9)

δ δ ω = mp,lpb − K lpb −lpa ( l pb − lpa ) − D lpb ( lpb − 1) dt d ω g =− K 2 H K g lpb− g( δ g − δ b) − g− e( δ g − δ e ) − Dg ( ω g − 1 ) − pe dt d ω e = − gK−e (δ e − δ g ) − eD(ω e − 1) 2 H e dt 2 H lpb

Las variables de estado son los ángulos y las velocidades angulares:



δ = ⎡⎣δ hp

δip

δ lpa

ω = ⎡⎣ωhp

ωip

ωlpa

δ lpb ωlpb

δ g ⎤⎦

T

ωg ⎤⎦

T

Modelo electromagnético del generador síncrono

Las ecuaciones tanto de la máquina eléctrica como de la red se plantearán en ejes dq solidarios al rotor, con el eje d paralelo al flujo de excitación principal del rotor, y el eje q adelantado 90º. Se escribirán solamente las ecuaciones correspondientes a los ejes d y q, ya que las componentes homopolares no influyen en el fenómeno estudiado. Se usarán magnitudes unitarias referidas a las bases del generador, tanto en la máquina como en la red eléctrica. En las ecuaciones de la máquina síncrona se incuirá la impedancia inductiva de la línea en las impedancias de los devanados del estator y se dejará como tensión de referencia para los sistemas de regulación la tensión vt , en bornes de la máquina, no la que se usa en las ecuaciones del estátor.

Figura 4-6: Tensiones consideradas en el modelo electromagnético


72

Donde: v = v d + j v q

es la tensión en bornes del generador (la resistencia y la reactancia de

la línea se han incorporado a la resistencia y reactancia de dispersión del generador respectivamente). v c = vcd + jvcq

es la tensión en el condensador serie.

v ∞ = v ∞d + j v ∞q

es la tensión en el nudo de potencia infinita.

Re y Le Resistencia e inductancia totales de la línea, se incluyen en la máquina.

Las variables de estado del sistema máquina eléctrica son los flujos:

[

ψ = ψ d ψ q ψ fd ψ kd ψ kq

] = [ψ T

ψ rot ]

T

est

Las ecuaciones del modelo electromagnético del generador síncrono cuando tiene dos circuitos amortiguadores, uno en eje directo y otro en eje transverso incluyendo la resistencia y la inductancia de la línea de conexión al nudo de potencia infinita serán [14]: 0 ⎤ ⎡ −id ⎤ 1 d ⎡ψ d ⎤ ⎡ vd ⎤ ⎡ Ra + Re ⎡ 0 −1⎤ ⎡ψ d ⎤ = + + ω ⎢v ⎥ ⎢ ⎢ ⎥ g ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎥⎢ ⎥ Ra + Re ⎦ ⎣ −iq ⎦ ω 0 dt ⎣ψ q ⎦ ⎣1 0 ⎦ ⎣ψ q ⎦ ⎣ q⎦ ⎣ 0

e

= R fdi fd+ fd

0 = Rkd ikd + 0 = Rkqikq +

1 d ψ fd

ω 0

dt

1 d ψ kd

ω 0

dt

(4.10)

1 d ψ kq

ω 0

⎡ψ d ⎤ ⎡ Ll + ⎢ ψ ⎥ ⎢ ⎢ q⎥ ⎢ ⎢ψ fd ⎥ = ⎢ ⎢ ⎥ ⎢ ⎢ψ kd ⎥ ⎢ ⎢ψ kq ⎥ ⎢ ⎣ ⎦ ⎣

dt Lad + Le 0

0

L+ aq L + eL

l

Lad

Lad

0

0

0

L

aq

L ad

0

Lfd + L ad

L ad

0

L ad

0

L ad

L kd + L ad

0

0

0

0

L

aq

L+

kq

⎤ ⎡ −id ⎤ ⎥ ⎢ −i ⎥ ⎥⎢ q⎥ ⎥ ⎢ fdi ⎥ ⎥⎢ ⎥ ⎥ ⎢ kdi ⎥ L ⎥⎦ ⎢⎣ kqi ⎥⎦ aq


73

Los parámetros de los circuitos de la máquina síncrona se obtienen a partir de los parámetros de respuesta (reactancias y constantes de tiempo transitorias y subtransitorias en eje directo y subtransitorias en eje transverso) como: Lad = Ld − Ll L fd= L R fd =

Ld ′ − Ll Ld − Ld ′

ad

Lad + L fd ω 0T d ′0

L′′ − Ll Lkd = ( Ld ′ − Ll ) d Ld′ − Ld ′′ R fd =

Lkq + Ld ′ − Ll ω 0T ¨′′d 0

Laq = Lq − Ll Lkq = Lad Rkq =

Ld ′′ − Ll Ld − Ld ′′

Laq + Lkq ω 0T q′′

Figura 4-7: Circuito equivalente del generador con un devanado amortiguador en eje q

En el caso de que el generador síncrono tenga tres circuitos amortiguadores, uno en eje directo y dos en eje transverso, las ecuaciones resultan ser:


74

⎡ vd ⎤ ⎡ Ra + Re 0 ⎤ ⎡ −id ⎤ 1 d ⎡ψ d ⎤ ⎡ 0 −1⎤ ⎡ψ d ⎤ = + + ω ⎢v ⎥ ⎢ ⎢ ⎥ g ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎥⎢ ⎥ Ra + Re ⎦ ⎣ −iq ⎦ ω 0 dt ⎣ψ q ⎦ ⎣1 0 ⎦ ⎣ψ q ⎦ ⎣ q⎦ ⎣ 0 e

= R fdi fd+ fd

0 = Rkd ikd +

1 d ψ fd

ω 0

dt

1 d ψ kd

ω 0

0 = Rkq1ikq1 +

dt

1 d ψ kq1

ω 0

0 = Rkq 2ikq 2 +

dt

(4.11)

1 d ψ kq 2

dt

ω 0

⎡ ψ d ⎤ ⎡ Ll + ⎢ ψ ⎥ ⎢ ⎢ q ⎥ ⎢ ⎢ψ fd ⎥ ⎢ ⎢ ⎥=⎢ ψ ⎢ kd ⎥ ⎢ ⎢ψ kq1 ⎥ ⎢ ⎢ ⎥ ⎢ ψ ⎣⎢ kq 2 ⎦⎥ ⎣⎢

Lad + Le 0

0

Lad

Lad

0

0

Ll + Laq + Le

0

0

Laq

Laq

ad

L

0

0

L + ad L

0

0

L aq

ad

L

0

L L fd + ad

ad

L

0

ad

0

L aq

0

0

L kq1 + L aq

0

L aq

0

0

L aq

L

kd

+ L kq 2

⎤ ⎡ − di ⎤ ⎥ ⎢− i ⎥ ⎥⎢ q⎥ ⎥ ⎢ fdi ⎥ ⎥⎢ ⎥ ⎥ ⎢ kdi ⎥ ⎥ ⎢ kqi 1 ⎥ ⎥⎢ ⎥ L ⎥ ⎣⎢ kqi 2 ⎦⎥ aq ⎦

Los parámetros de los circuitos de la máquina síncrona se obtienen a partir de los parámetros de respuesta (reactancias y constantes de tiempo transitorias y subtransitorias tanto en eje directo como en eje transverso) como:

Figura 4-8: Circuito equivalente del generador con dos devanados am ortiguadores en eje q


75

Lad = Ld − Ll L fd= L R fd =


ad

Lad + L fd ω 0T d ′0

L′′ − Ll Lkd = ( Ld ′ − Ll ) d Ld′ − Ld ′′ Lkq + Ld ′ − Ll

R fd =

ω 0T d ′′0

Laq = Lq − Ll Lk1 = Lad Rk 1 =


Laq + Lkq1 ω 0T q′

Lq′′ − Ll Lkd 2 = ( Lq′ − Ll ) Lq′ − Lq′′ Rkq 2 =

Lkq 2 + Lq′ − Ll ω 0T q′′0

El par electromagnético aplicado por el generador síncrono responde a la expresión: * t e = Im {iψ }

= Im {( id + jiq )(ψ d − jψ q )} = Im {(idψ d − iqψ q ) + j (iqψ d − i sdψ sq )}

(4.12)

= −ψ q id +ψ d iq



Modelo del condensador de la compensación serie

Según lo señalado en  , la referencia del nudo infinito siempre gira a la velocidad de sincronismo de referencia:

0

. Definiendo el ángulo δ g del generador de esta forma en el sistema


76

Figura 4-9: Diagrama fasorial del sistema de referencia y las tensiones.

Las ecuaciones del condensador serie con relación a un sistema de referencia que gira a la velocidad del rotor del generador, con v c = [vcd , vcq ]T como variables de estado, son: ⎡id ⎤ 1 d ⎡vcd ⎤ ⎡0 − 1⎤ ⎡vcd ⎤ C ⎢ ⎥ + ω g C ⎢ ⎢i ⎥ = ⎥ ⎢v ⎥ v ω 1 0 dt q cq ⎣ ⎦ ⎣ cq ⎦ 0 ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎡v sd ⎤ ⎡vcd ⎤ ⎡vd ⎤ ⎢ v ⎥ = ⎢v ⎥ + ⎢ v ⎥ ⎣ sq ⎦ ⎣ cq ⎦ ⎣ q ⎦

(4.13)

v∞d = v∞ sen δ

(4.14)

v∞q = v∞ cos δ 

Sistema de excitación

Se ha considerado una excitación estática realimentado con la tensión que hay en bornes de la máquina. El diagrama de bloques de la excitación y del regulador de tensión se muestran en la Figura 4-10. E FDmax vref

+ − vt

K A

1

1 + sT A

1 + sT E

E FD

E FDmin

Figura 4-10: Diagrama de bloques de una excitación estática y del regulador de tensión.


77

La variable E fd representa la tensión de excitación en magnitudes unitarias tomando como base la tensión de excitación es necesaria para obtener la tensión nominal en bornes de la máquina en vacío. En las ecuaciones de la máquina síncrona, la tensión de excitación e fd toma como base la tensión nominal de la máquina. En bases de la máquina, para conseguir la tensión nominal estando la máquina en vacío se necesita una excitación e fd ,0 =

r fd Lad

, por lo que para pasar de E fd a e fd hay que hacer:

e fd = E fd ⋅

r fd Lad

Eligiendo como variables de estado x e = [ xe1 , xe 2 ]T :

vref

+

+

1

K A

sT A

−

−

+

xe1

1

−

xe 2

E X

sT E

vt Figura 4-11: Selección de variables de estado de una excitación estática.

Las ecuaciones de la representación en espacio de estado de la excitación cuando se la selección de variables de estado de la Figura 4-11 son: &xe1

=

&xe 2

=

E

1

⎡− xe1 + ( vref − vt ) ⎤ ⎦ T A ⎣ 1

T E

( − xe 2 +

KA xe1 )

(4.15)

= x 2e

fd

vt = vtd2 + vtq2 e

=fd

r fd

Lad

E

fd

Donde las componentes de la tensión en bornes del generador se obtienen así:


78

⎡ vtd ⎤ ⎡ Re 0 ⎤ ⎡id ⎤ ⎡0 −1⎤ ⎡ψ ed ⎤ 1 d ⎡ψ ed ⎤ ⎡ vsd ⎤ = + ω ⎢v ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ i ⎥ g ⎢1 0 ⎥ ⎢ψ ⎥ + ω dt ⎢ψ ⎥ + ⎢ v ⎥ 0 R ⎣ ⎦ ⎣ eq ⎦ e⎦⎣ q⎦ 0 ⎣ tq ⎦ ⎣ ⎣ eq ⎦ ⎣ sq ⎦ ⎡ψ ed ⎤ ⎡ Le 0 ⎤ ⎡ id ⎤ ⎢ψ ⎥ = ⎢ ⎥ ⎢i ⎥ 0 L eq ⎣ ⎦⎣ q⎦ e ⎣ ⎦

(4.16)

Sistema de turbinas y regulador



El modelo del sistema de turbinas representa la aportación de cada una de ellas a la potencia mecánica neta y los retardos introducidos por recalentadores intermedios. El modelo considerado consiste en la aplicación del modelo más general ([7]) al sistema mecánico de la Figura 3-6, que dispone de todas las turbinas en un solo eje. Se ha considerado una turbina de vapor. El diagrama de bloques de la turbina y del regulador de turbina se muestran en la Figura 4-12.

ω REF

+ −

php

pip

plpa

plpb

K hp

K ip

K lpa

K lpb

K

1

1

1

1

1 + sT 1

1 + sT 3

1 + sT 4

1 + sT 5

1 + sT 6

ω

Figura 4-12: Modelo de una turbina de vapor y del regulador de turbina.

Donde: REF

g

es la velocidad de referencia en pu.

es la velocidad del generador respecto al sincronismo, pu.

T 1 , T 3

es la constante de tiempo del regulador, en segundos.

T 4 , T 5 , T 6 son las constantes de tiempo del sistema de turbinas [s]. K HP , K IP , K LPA , K LPB

son las proporciones en las que aporta cada turbina a la potencia mecánica total, en tanto por uno.


79

p HP , p IP , p LPA , p LPB

So las potencias mecánicas de cada turbina, en pu.

La representación de estado del sistema se ha hecho de acuerdo con la siguiente elección de variables de estado: x t = [ xt 1 , xt 2 , xt 3 , xt 4 , xt 5 ]

T

pm,hp K hp

ω REF

+

+ −

1

+

xt 1 K

sT 1

−

1

−

+

xt 2

sT 3

1

−

xt 3

sT 4

(ω − 1)

pm ,ip

pm ,lpa

K ip xt 3

+

1

−

sT 5

xt 4

K lpa

+

1

−

pm ,lpb K lpb

xt 5

sT 6

Figura 4-13: Selección de variables de estado de una turbina de vapor.

Las ecuaciones de la representación en espacio de estado de la turbina cuando se la selección de variables de estado de la Figura 4-13 son:


80

x&t1 = &tx 2 = &x t3

=

&x t4

=

&x t5

=

1

⎡− xt1 + (ωref − (ω − 1) ) ⎤ ⎦

1

(−

t2

(−

xt 3 + xt 2 )

(−

xt 4 + xt 3 )

(−

xt 5 + xt 4 )

T 1 ⎣ T 2 1

T 3 1

T 5 1

T 6

x + Kx t 1 )

(4.17)

pm,hp = Khp xt 3 pm,ip = Klp xt 4 pm,lpa = Klpa xt 5 pm,lpb = Klpb xt 5 

Condiciones iniciales

En primer término, se determina el ángulo del rotor y la tensión en el nudo de potencia infinita: ∗

⎛ p + jq0 ⎞ i0 = ⎜ 0 ⎟ = i0 ∠ϕ ˆ0 ⎝ u0∠0° ⎠ eq 0 = v 0 + ( Ra + jXq ) i 0 = v0∠0° + ( Ra + jXq ) 0i∠ϕ 0 = eq 0∠δ ˆ0 v ∞ 0 = v 0 − ⎡⎣ Re + j( Xe − Xc ) ⎤⎦ i 0 = v∞ 0∠θ 0

δ g 0 = δˆ0 − θ 0 ϕ0 = ϕˆ0 − θ 0

Después se obtiene las componentes en ejes directo y transverso de la tensión y la corriente en el nudo de potencia infinita: vd 0 = v0 sen δ g 0 vq 0 = v0 cos δ g 0 id 0 = i0 sen (δ g 0 − ϕ 0 ) iq 0 = i0 cos (δ g 0 − ϕ 0 )


81

A continuación se calculan las componentes del flujo del estator, la corriente de excitación, la tensión de excitación, y el par electromagnético: vd 0 + jvq 0 = ( Ra + Re ) ( id 0 + jiq 0 ) + jω g 0 (ψ d 0 + jψ q 0 ) ψ d 0 + ψ j q0 =

1

⎡ vd 0 + jvq 0 ) − ( Ra + Re ) ( di 0 + jiq 0 ) ⎤ ⎦

( jω g 0 ⎣

ψ d 0 = Ld id 0 + Lad ifd 0 i

0 fd

=

1

Lad

e

0 fd

(ψ d0 − L id d0 ) = R fdi

0 fd

te 0 = −ψ q 0id 0 +ψ d 0iq 0

(4.18)

Finalmente y teniendo presente que las corrientes por los devanados amortiguadores son nulas: ikd 0 = ikq10 = ikq 20 = 0

se calculan todos los flujos por medio: ⎡ ψ d 0 ⎤ ⎡ Ll + ⎢ ψ ⎥ ⎢ ⎢ q0 ⎥ ⎢ ⎢ψ 0 ⎥ fd ⎢ ⎢ ⎥=⎢ ψ ⎢ kd 0 ⎥ ⎢ ⎢ψ kq10 ⎥ ⎢ ⎢ ⎥ ⎢ ψ ⎣⎢ kq 20 ⎦⎥ ⎣⎢

Lad + Le 0

0

Lad

Lad

0

0

Ll + Laq + Le

0

0

Laq

Laq

0

0

0

0

L aq

0

L + fdL

ad

L

0

ad

0

L aq

0

0

+ L L kq1 aq

0

L aq

0

0

L aq

L

ad

L

Por otra parte, tendiendo presente que: ω hp 0 = 1 ω ip 0 = 1 ω lpa 0 = 1 ω lpb 0 = 1 ω g 0 = 1 ω e 0 = 1 pm0 = t e 0

ad

L

L + ad L

kd

ad

L kq 2 +

⎤ ⎡ − di0 ⎤ ⎥ ⎢− i ⎥ ⎥ ⎢ q0 ⎥ ⎥ ⎢ i 0 ⎥ fd ⎥⎢ ⎥ i ⎥ ⎢ kd 0 ⎥ ⎥ ⎢ kqi 10 ⎥ ⎥⎢ ⎥ L i ⎥ ⎣⎢ kq 20 ⎥⎦ aq ⎦


82

pm,hp 0 = Khp pm 0 pm,ip 0 = Kip pm 0 pm,lpa 0 = Klpa pm 0 pm,lpb 0 = Klpb pm 0

Los ángulos de las masas de las turbinas se determinan a partir de: ⎡0⎤ ⎡ t m,hp 0 ⎤ ⎢0⎥ ⎢ t ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ m,ip 0 ⎥ ⎢0⎥ ⎢t m,lpa 0 ⎥ ⎢ ⎥=⎢ ⎥ ⎢0⎥ ⎢t m,lpb 0 ⎥ ⎢0⎥ ⎢ −t e 0 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ 0 0 ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ − K hp −ip ⎡ K hp −ip ⎢− K ⎢ hp −ip Khp −ip + Kip −lpa ⎢ 0 − Kip −lpa −⎢ 0 ⎢ 0 ⎢ 0 0 ⎢ 0 ⎣⎢ 0

0

0

0

− Kip −lpa Kip −lpa + Klpa −lpb − Kip −lpb

0

0 0

0

− Kip −lpb Klpb − g + Klpb − g − K lpb− g

0

0

⎤ ⎡ δ hp 0 ⎤ ⎥ ⎢ δ ⎥ 0 ⎥ ⎢ ip 0 ⎥ 0 ⎥ ⎢δ lpa 0 ⎥ ⎥⎢ ⎥ 0 ⎥ ⎢δ lpb 0 ⎥ − Kg −e ⎥ ⎢ δ g 0 ⎥ ⎥⎢ ⎥ K g− e ⎦⎥ ⎣⎢ δ g0 ⎦⎥ 0

− Klpb −g Klpb − g + Kg −e − K g− e

Como: ⎡ δ hp 0 ⎤ ⎡ hp −ipK ⎢ δ ⎥ ⎢ − K ⎢ ip 0 ⎥ = ⎢ hp −ip ⎢δ lpa 0 ⎥ ⎢ 0 ⎢ ⎥ ⎢ ⎢⎣δ lpb 0 ⎥⎦ ⎢⎣ 0

−

K

hp −ip

K hp −ip + K ip −lpa

− Kip −lpa 0

0

⎤ ⎥ 0 ⎥ − Kip −lpb ⎥ ⎥ Klpb −g + Klpb −g ⎥⎦ 0

− K ip −lpa Kip −lpa + Klpa −lpb − Kip −lpb

−1

⎛ ⎡ m ,hp 0 t⎤ ⎡ ⎜⎢ ⎥ ⎢ ⎜ ⎢ mt,ip 0 ⎥ − ⎢ ⎜ ⎢ mt ,lpa 0 ⎥ ⎢ ⎜⎢ ⎜ ⎢ mt ,lpb 0 ⎥⎥ ⎢⎢− ⎦ ⎣ ⎝⎣

y − K g− eδ g0 + K g− eδ e0 = 0 δ g 0 = δ e 0

Las condiciones iniciales de la excitación se determinan de acuerdo con: xe 20 = E fd 0 xe10 =

xe 20 K A

vref 0 = xe10 + vt 0

⎞ ⎟ ⎥ 0 ⎥ δ ⎟ 0 ⎥ g 0 ⎟ ⎥ ⎟⎟ Klpb − g ⎥⎦ ⎠ 0 ⎤


83

Las condiciones iniciales de la turbina se determinan de acuerdo con: pm,lpa 0

xt 50 =

K lpa

pm ,lpb 0

=

K lpb

pm,ip 0

xt 40 =

K ip pm,hp 0

xt 30 =

K hp

xt 20 = xt 30 xt 10 =

xt 20 K

ωref 0 = xt 10 + (ω g 0 − 1) 

Modelo completo

El modelo no lineal toma la forma: x& = F ( x, u )

En realidad toma la forma: x& = G ( x, z, u ) z = H ( x, u )

Donde los vectores de variables de estado, variables algebraicas y es variables de entrada son, en el caso de que el generador síncrono tenga tres circuitos amortiguadores, uno en eje directo y dos en eje transverso, y no se representan ni regulador de tensión con excitación ni el regulador de turbina ni turbina: xT = ⎡⎣ψ d

ψ q ψ fd

ψ kd δg

δ hp

δ ip

δ lpa

δ lpb

xe1

xe 2

xt 1

xt 2

zT = ⎡⎣id

pm, hp

iq pm,ip

i fd

ikd

pm,lpa

xt 3 ikq1

ψ kq1 ψ kq 2 δe

ωhp

xt 4

xt 5 ]

ikq 2

te

v∞d

vcd

ωip

v ∞q

pm ,lpb ⎤⎦ uT = ⎡⎣vref

ω ref v∞ ⎤⎦

vcq

ωlpa

vd

ωlpb

vq

ωg

v td

ωe

v tq

e fd


4.3.2

84


Se va a ilustrar la posibilidad de inestabilidad de los modos torsionales de un generador síncrono conectado a un nudo de potencia infinita a través de una línea compensada serie. Se utilizan los datos del “First Benchmark Model for Computer Simulation of Subsynchronous Resonance” [12] y, para los sistemas de regulación, los datos son los detallados en [15] y utilizados en [8] y [9]. Se realiza la simulación en el dominio del tiempo para un cortocircuito trifásico franco de 100 ms de duración.

Re = Rt + Rl Xe = Xt + Xl

= 0.01 R

t

Red:

pu

X= 0.14

pu

= 0.02 R

pu

l

X= 0.56

pu

c

X= 0.28

pu

t l

D= 0.1

hp

pu

D= 0.1 pu

ip

Rotor (factores de amortiguamiento):

D = 0.1

pu

D = 0.1

pu

lpa lpb

D= 0.1 pu

g

D= 0.1 pu

e

Td ′0 = 4.3s Td ′′0 = 0.032s d

L= 1.79

′= L 0.169 ′′ = 0.135 d L Tq′0 = 0.85s d

Generador síncrono:

pu pu pu

Tq′′0 = 0.05s q

L= 1.71

pu

′L = 0.228 pu ′′ = 0.2 pu qL d

=R0.0015 pu L= 0.13 pu l a


85

K A = 50 T A = 0.01s

Excitación:

T E = 0.002s K= 25 pu T1 = 0.2s T3 = 0.3s

Turbina:

T4 = 0.3s T5 = 7 s T6 = 0.2s Tabla 4-2: Datos del turbogenerador

La Figura 4-14, la Figura 4-15, la Figura 4-16 y la Figura 4-17 muestran la evolución de la variación de velocidad de la turbina de alta presión, de presión intermedia, de baja presión, del generador y de la excitatriz (con relación a la velocidad de sincronismo) y la variación del ángulo del rotor del generador. Una conclusión se puede añadir a las ya obtenidas: Las variaciones de velocidad de las turbinas y del generador exhiben junto con la componente de frecuencia fundamental de 1 Hz (1 segundo de periodo), otras componentes frecuencia superior a 1 Hz de amplitud creciente. 0.4 ) u p (

P H ω Δ

0.2 0 -0.2 -0.4 -0.5

0

0.5

1

1.5

2

1

1.5

2

Tiempo (s) 0.2 ) u p (

P I ω Δ

0.1 0 -0.1 -0.2 -0.5

0

0.5 Tiempo (s)

Figura 4-14: Simulación de las o scilaciones torsionales de un turbogenerador conectado a un nudo de potencia infinita en caso de una falta: variación de velocidad de las turbinas de al ta presión y presión intermedia.


86

0.1 0.05

) u p (

0

A P L

ω Δ

-0.05 -0.1 -0.5

0

0.5

1

1.5

2

1

1.5

2

Tiempo (s) 0.05 ) u p (

0

B P L

ω Δ

-0.05 -0.5

0

0.5 Tiempo (s)

Figura 4-15: Simulación de las o scilaciones torsionales de un turbogenerador conectado a un nudo de potencia infinita en caso de una falta: variación de velocidad de las turbinas de baja presión.

0.1 0.05

) u p (

0

g

ω Δ

-0.05 -0.1 -0.5

0

0.5

1

1.5

2

1

1.5

2

Tiempo (s) 0.3

) u p (

e

ω Δ

0.2 0.1 0 -0.1 -0.5

0

0.5 Tiempo (s)

Figura 4-16: Simulación de las o scilaciones torsionales de un turbogenerador conectado a un nudo de potencia infinita en caso de una falta: variación de velocidad del generador y de la excitatriz.


87

100

) º (

δ

50

0 -0.5

0

0.5

1

1.5

2

Tiempo (s)

Figura 4-17: Simulación de las o scilaciones torsionales de un turbogenerador conectado a un nudo de potencia infinita en caso de una falta: variación del ángulo del rotor del generador.

En este apartado también se analiza la respuesta de otro sistema de generador conectado a red algo distinto en el que los datos utilizados son parámetros típicos en magnitudes unitarias respecto a las bases del generador. Se realiza igualmente la simulación de un cortocircuito trifásico franco de 100 milisegundos de duración. Los datos son los siguientes:

Masa

Eje

HP

H [s]

0.1 HP-IP

IP

0

0.2

LPA

0 35

1 LPA-LPB

LPB

D[pu]

20

IP-LPA

0 50

1 LPB-GEN

GEN

K[pu/rad]

0 70

1 Tabla 4-3: Datos típicos de un generador sin excitatriz

Los parámetros de la máquina eléctrica son:

0


88

Eje d

Eje q

x d = 1.05

x q = 0.7

x d ′ = 0.35

x q′ = 0.328

x d ′′ = 0.25

x ′q′ = 0.3

T d ′ = 5 s T d ′′ = 0.25 s

T q′′ = 0.05 s

xl = 0.1 Ra = 0.005 Tabla 4-4: Datos del sistema eléctrico del generador

Los datos de la red eléctrica son:

Figura 4-18: Datos de la línea

Llínea = 0.30 pu

Lt = 0.1 pu

Le = Llínea + Lt Rlínea + Rt = Re = 10% Le = 0.04 pu X ≈ L ( pu ) X C = F .C .⋅ X línea ; C = 1 X C

El valor de la capacidad está en función del grado de compensación que se le quiera dar a la línea, parámetro variable para comprobar su efecto en la resonancia subsíncrona. Los sistemas de regulación varían un poco respecto a los descritos. El sistema de excitación, según el diagrama de la Figura 4-19, en el que v s es, en realidad, v:


89

Figura 4-19: Modelo alternativo de sistema de excitación

K A = 200 T A = 0.01 s T B = 10 s T 5 = 1 s

Los datos del sistema de turbinas y regulador, según el diagrama de la Figura 4-10: K hp = 0.2 K ip = 0.2 K lpa = 0.3 K lpb = 0.3 T 3 = 0.3 s T 4 = 0.1 s T 5 = 0.5 s T 6 = 0.6 s T 7 = 0.6 s

Figura 4-20: Modelo altenativo de sistema de turbinas y regulador

En este caso, se utiliza el par en lugar de la potencia en las ecuaciones del sistema mecánico, relacionados así: t m, hp = t m,ip =

K HP ⋅ xt 2 ω hp

K IP ⋅ xt 3

t m,lpa = t m,lpb =

ω ip K LPA ⋅ xt 4 ω lpa K LPB ⋅ xt 5 ω lpb


90

Para determinar las condiciones iniciales de trabajo se considera que el generador trabaja con una tensión nominal de red, que coincide con la nominal del generador (1 pu), en el nudo de red infinita y que suministra una potencia igual a 1 pu, con fp = 1. v = 1 pu , p0 = 1 pu ,

q0 = 0

En la Figura 4-21, la Figura 4-22 y la Figura 4-23 se muestra la evolución de la variación de velocidad de la turbina de alta presión, de presión intermedia, de baja presión y del rotor del generador (con relación a la velocidad de sincronismo) y la variación del ángulo, para un factor de compensación del 45%. Ahora que se ha modelado el sistema eléctrico con más detalle que en el modelo anterior, se pone de manifiesto una interacción electromecánica que provoca la tendencia creciente de algunas de las oscilaciones torsionales que, igual que en el caso anterior, se producen de forma natural en el eje del generador.

1.06 1.04

) u p (

P H

1.02

a n i b r u T d a d i c o l e V

1

0.98 0.96 0.94 -0.2

0

0.2

0.4 Tiempo (segundos)

0.6

0.8

1

0

0.2


0.6

0.8

1

1.03 1.02

) u p (

P I a n i b r u

1.01

T

1

d a d i c o l e V

0.99 0.98 0.97 -0.2

Figura 4-21: Simulación de la oscilación torsional de las turbinas de baja presión ante una falta y con un Factor de Compensación del 45%.


91

1.04 ) u p (

1.02

A P L a n i b r u T

1

d a d i c o l e V

0.98

0.96 -0.2

0

0.2


0.6

0.8

1

0

0.2


0.6

0.8

1

1.05 ) u p ( B P L a n i b r u T

1

d a d i c o l e V

0.95 -0.2

Figura 4-22: Simulación de la oscilación torsional de las turbinas de alta y media presión ante una falta y con un Factor de Compensación del 45%.

70 60

) s o d a r g ( r o d a r

50 40

e n e g

30

o l u g n Á

20 10 0 -0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0.6

0.8

1

Tiempo (segundos)

1.05

) u p ( r o d a r e n e g

1

d a d i c o l e V

0.95 -0.2

0

0.2


Figura 4-23: Simulación de la oscilación torsional del rotor del generador ante una falta y con Factor de Compensación del 45%

Se puede observar que el grado de compensación de la reactancia de la línea puede tener mucha influencia en la estabilidad de las oscilaciones torsionales. Las gráficas


92

muestran el comportamiento de las masas del turbogenerador para un factor de compensación mucho menor, de un 1,5%.

1.04 ) u p (

1.02

P H a n i b r u T

1

d a d i c o l e V

0.98

0.96 -0.2

0

0.2


0.6

0.8

1

0

0.2


0.6

0.8

1

1.04 1.03

) u p (

1.02

P I a n i b r u T

1.01

d a d i c o l e V

1

0.99 0.98 0.97 -0.2

Figura 4-24: Simulación de la oscilación torsional de las turbinas de alta y media presión ante una falta y con un Factor de Compensación de 1.5%

1.04 1.03

) u p (

1.02

A P L a n i b r u T

1.01 1

d a d i c o l e V

0.99 0.98 0.97 -0.2

0

0.2


0.6

0.8

1

0

0.2


0.6

0.8

1

1.03 ) u p (

1.02

B P L

1.01

a n i b r u T

1

d a d i c o l e V

0.99 0.98 0.97 -0.2

Figura 4-25: Simulación de la oscilación torsional de las turbinas de baja presión ante una falta y con un Factor de Compensación de 1.5%


93

70 60

) s o d a r g ( r o d a r e n e G

50 40 30

o l u g n Á

20 10 0 -0.2

0

0.2


0.6

0.8

1

0

0.2


0.6

0.8

1

1.04 1.03

) u p ( r o d a r e n e G

1.02 1.01

d a d i c o l e V

1

0.99 0.98 0.97 -0.2

Figura 4-26: Simulación de la oscilación torsional del rotor del generador ante una falta y con un Factor de Compensación de 1.5%

4.3.3

Modelo lineal 

Modelo mecánico del rotor de la turbina y el generador síncrono d Δδ hp dt d Δδ ip dt d Δδ lpa dt d Δδ lpb dt d Δδ g dt

= ω0 Δω hp = ω0 Δω ip = ω0 Δω lpa = ω0 Δω lpb = ω0 Δω g

(4.19)


2 H hp 2 H ip 2 H lpa 2 H lpb

d Δω hp dt d Δω ip

94

= Δ mp,hp − K hp −ip ( Δδ hp − Δδ ip ) = Δ mp,ip − K δ ip − Δδ lpa ) hp −ip ( Δδ ip − Δδ hp ) − K ip −lpa ( Δ

dt d Δω lpa dt d Δω lpb

= Δ mp,lpa − K δ lpa − Δδlpb ) lpa −ip ( Δδ lpa − Δδ ip ) − K lpa −lpb ( Δ δ δ δ δ = Δ mp,lpb − K K lpb −lpa ( Δ lpb − Δ lpa ) − lpb − g ( Δ lpb − Δ g )

dt d Δω g =− H g dt

2



(4.20)

K − lpb

( Δδ

g

− Δδ b) − Δ e t

g

Modelo electromagnético del generador síncrono

De la forma más general, con dos devanados amortiguadores en eje transverso, las ecuaciones quedan así: ⎡ Δvd ⎤ ⎡ Ra 0 ⎤ ⎡ −Δid ⎤ 1 d ⎡ Δψ d ⎤ ⎡ 0 −1⎤ ⎡ψ d 0 ⎤ ⎡0 −1⎤ ⎡ Δψ d ⎤ = + + Δ ω + ω ⎢ Δv ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎥ g ⎢ g 0 ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎥⎢ ⎣1 0 ⎦ ⎣ψ q 0 ⎦ ⎣1 0 ⎦ ⎣ Δψ q ⎦ ⎣ q ⎦ ⎣ 0 Ra ⎦ ⎣ −Δiq ⎦ ω 0 dt ⎣ Δψ q ⎦ 1 d Δψ fd Δe fd= R fdiΔ fd+ dt

ω 0

0 = Rkd Δikd +

1 d Δψ kd

ω 0

0 = Rkq1Δikq1 + 0 = Rkq 2 Δikq 2 +

dt

1 d Δψ kq1

ω 0

dt

(4.21)

1 d Δψ kq 2

ω 0

d t

0 ⎡ Δψ d ⎤ ⎡ lL+ adL ⎢ Δψ ⎥ ⎢ 0 + L L l q ⎥ aq ⎢ ⎢ ⎢ Δψ ⎥ fd ⎢ 0 L ad ⎢ ⎥=⎢ 0 L ⎢ Δψ kd ⎥ ⎢ ad ⎢ Δψ kq1 ⎥ ⎢ 0 L aq ⎢ ⎥ ⎢ L ⎢⎣ Δψ kq 2 ⎥⎦ ⎢⎣ 0 aq

ad

L

ad

L

0

0

0

0

L aq

L aq

0

0

L + ad L

0

0

0

0

L kq1 + L aq

L aq

0

0

L aq

L + fd L L

ad

L

ad kd

ad

Δte = −Δψ qid 0 + Δψ d iq 0 −ψ q 0 Δid +ψ d 0 Δ iq 

Modelo del condensador de la compensación serie

+ L kq 2

⎤ ⎡ −Δ d i⎤ ⎥ ⎢ −Δ i⎥ ⎥⎢ q⎥ ⎥⎢Δ i ⎥ ⎥⎢ ⎥ Δ i kd ⎥⎢ ⎥ ⎥ ⎢ Δ kqi 1 ⎥ ⎥⎢ ⎥ Δ L i ⎥ ⎢ ⎥ aq ⎦ ⎣ kq 2 ⎦

fd

(4.22)


95

⎡ Δid ⎤ 1 d ⎡ Δvcd ⎤ ⎡ 0 −1⎤ ⎡ Δvcd ⎤ ⎡0 −1⎤ ⎡ vcd 0 ⎤ = + ω + Δ ω C C C ⎢ Δi ⎥ ⎢ ⎥ g 0 ⎢ ⎥ g ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎣1 0 ⎦ ⎣ Δvcq ⎦ ⎣1 0 ⎦ ⎣ vcq 0 ⎦ ⎣ q ⎦ ω 0 dt ⎣ Δvcq ⎦ ⎡ Δvd ⎤ ⎡ Δvcd ⎤ ⎡ Δv∞d ⎤ ⎢ Δv ⎥ = ⎢ Δv ⎥ + ⎢ Δv ⎥ ⎣ q ⎦ ⎣ cq ⎦ ⎣ ∞q ⎦

Δv∞d = Δv∞ 0 sen δ 0 + v∞ 0 cos δ 0Δδ Δv∞q = Δv∞ 0 cos δ 0 − v∞ 0 sen δ 0Δδ



(4.23)

(4.24)

Modelo del sistema de excitación Δ &xe1 =

1

⎡ −Δ xe1 + ( Δ vref − Δ v) ⎤ ⎦

1

( −Δ xe 2 +

T A ⎣

Δ &xe 2 =

T E

KA Δ xe1 )

Δ E fd= Δ x 2 e

(4.25)

r

Δe = fd fd ΔE Lad

Δvt =

vtd 0 vt 0

Δvtd +

fd

vtq 0 vt 0

Δvtq

⎛ ⎡ e R0 ⎤ ⎡ Δvtd ⎤ ⎡ 0 −1⎤ ⎡ e L0 ⎤ ⎞ ⎡ −Δ id ⎤ ⎡0 −1⎤ ⎡ e L0 ⎤ ⎡id 0 ⎤ + ω + Δ ω ⎟ ⎢ Δv ⎥ = − ⎜ ⎢ ⎢ ⎥ g ⎢ ⎥ R g 0 ⎢1 0 ⎥ ⎢ 0 ⎥ L −Δ i ⎥ ⎢Li ⎥ ⎥⎢ 0 0 1 0 tq q ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ q0 ⎦ e e e ⎣ ⎦ ⎦ ⎝ ⎠⎣ 0 ⎤ d ⎡ Δid ⎤ ⎡ Δvsd ⎤ 1 ⎡ L + ⎢ e ⎥ ⎥ ⎢ ⎥+⎢ ω 0 ⎣ 0 Le ⎦ dt ⎣ Δiq ⎦ ⎣ Δvsq ⎦

(4.26)

En forma matricial: ⎡ −1 ⎡ Δ x&e1 ⎤ ⎢⎢ T ⎢ Δ x& ⎥ = ⎢ K ⎣ e2 ⎦ A ⎢T ⎣ E

⎤

⎡ −1 ⎤ ⎢ T ⎥ ⎡ vtd 0 ⎥⎢ + A ⎢ −1⎥ ⎣ Δxe 2 ⎥⎦ ⎢ ⎥ ⎣ vt 0 ⎢⎣ 0 ⎥⎦ T E ⎥⎦ r fd ⎡ Δx ⎤ e fd = [0 1] ⎢ e1 ⎥ Lad ⎣ Δ xe 2 ⎦ 0⎥ ⎡ ΔA xe1 ⎤

⎡1⎤ Δ v ⎡ ⎤ ⎤ td tq ⎢ 0 ⎥ ⎥ ⎢ Δv ⎥ + ⎢ T A ⎥ Δvref vt 0 ⎦ ⎣ tq ⎦ ⎢⎣ 0 ⎥⎦

v

(4.27)


96

⎛ ⎡ e R0 ⎤ ⎡ Δvtd ⎤ ⎡ 0 −1⎤ ⎡ e L0 ⎤ ⎞ ⎡ −Δ id ⎤ ⎡0 −1⎤ ⎡ e L0 ⎤ ⎡id 0 ⎤ = − + ω + Δ ω ⎜⎢ ⎢ Δv ⎥ g ⎢ ⎥ g 0 ⎢1 0 ⎥ ⎢ 0 ⎥ ⎟ ⎢ −Δ i ⎥ ⎥ ⎢i ⎥ ⎥⎢ ⎣ ⎦⎣ ⎣1 0 ⎦ ⎣ 0 e⎦ R e ⎦ ⎠L e ⎦ ⎣Lq 0 ⎦ ⎣ tq ⎦ ⎣ q⎦ ⎝⎣ 0 0 ⎤ d ⎡ Δid ⎤ ⎡ Δvsd ⎤ 1 ⎡ L + ⎢ e ⎥ ⎥ ⎢ ⎥+⎢ ω 0 ⎣ 0 Le ⎦ dt ⎣ Δiq ⎦ ⎣ Δvsq ⎦ 

Modelo de la turbina Δ x&t1 =

1

⎡−Δxt1 + ( Δωref − Δ ω ) ⎤ ⎦ T ⎣ 3

Δ &xt 2 = Δ &tx3 = Δ &tx4 = Δ &tx5 =

1

T 4 1

T 5 1

T 6 1

T 7

( −Δ xt 2 + KΔ xt 1 ) ( −Δ tx3 + Δ t x2 ) ( −Δ

x + Δ t x3 )

t4

(4.29)

( −Δ tx5 + Δ t x4 )

Δ pm,hp = Khp Δ xt 2 Δ pm,ip = Klp Δ xt 3 Δ pm,lpa = Klpa Δ xt 4 Δ pm,lpb = Klpb Δ xt 5 ⎡ −1 ⎤ 0 0 0 0 ⎢ T ⎥ ⎢ 1 ⎥ ⎢ K −1 ⎥ ⎡ −1⎤ ⎡1⎤ 0 0 0 ⎥ ⎡ Δxt 1 ⎤ ⎢ ⎥ ⎡ Δ x&t1 ⎤ ⎢ ⎢ T ⎥ ⎢ Δ x& ⎥ ⎢ T3 T 3 ⎢ Δx ⎥ ⎢ T1 ⎥ ⎥ ⎢ 1⎥ 2 2 t t ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢0⎥ ⎥⎢ ⎢0⎥ 1 −1 0 0 ⎥ ⎢ Δxt 3 ⎥ + ⎢ ⎥ Δω + ⎢ ⎥ Δω ref ⎢ Δ x&t 3 ⎥ = ⎢ 0 T4 T 4 ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ Δx ⎥ ⎢ 0 ⎥ ⎢0⎥ &t 4 Δ x ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ t 4 ⎥ ⎢ 0 ⎥ ⎢0⎥ 1 −1 ⎢⎣ Δ x&t 5 ⎥⎦ ⎢ 0 0 0 ⎥ ⎢⎣ Δxt 5 ⎥⎦ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ T T 0 5 5 ⎣ ⎦ ⎣0⎦ ⎢ ⎥ ⎢ 1 −1 ⎥ 0 0 ⎢0 ⎥ T T ⎣ 6 6 ⎦ ⎡ Δ x ⎤ 0 ⎤ ⎢ t 1 ⎥ ⎡ Δ pm,hp ⎤ ⎡ 0 0 K hp 0 ⎢ Δ p ⎥ ⎢ 0 0 0 K ⎥ Δ x 0 ⎢ t 2 ⎥ , m ip lp ⎢ ⎥=⎢ ⎥ ⎢ Δ x ⎥ ⎢ Δ pm,lpa ⎥ ⎢ 0 0 0 0 K lpa ⎥ ⎢ t 3 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ Δ x 0 K lpb ⎥⎦ ⎢ t 4 ⎥ ⎢⎣ Δ pm,lpb ⎥⎦ ⎢⎣ 0 0 0 ⎢⎣ Δ xt 5 ⎥⎦

(4.30)

(4.28)


97

Si las ecuaciones linealizadas de los componentes del modelo (4.19) - (4.30) se escriben juntas en forma de un sistema de ecuaciones algebraico-diferencial quedan en la forma: ⎡ I 0⎤ ⎡ Δx& ⎤ ⎡ A1 A 2 ⎤ ⎡ Δx ⎤ ⎡ B1 ⎤ ⎢E 0 ⎥ ⎢ Δz& ⎥ = ⎢ A A ⎥ ⎢ Δz ⎥ + ⎢ B ⎥ Δu ⎣ 3 ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ 3 4⎦ ⎣ ⎦ ⎣ 2⎦

(4.31)

Se pasa de un sistema implícito a uno explícito: Δx& = ( I − A 2 A −41E3−1 )

−1

(A

−1 −1 − 1 1 − A 2 A 4 A 3 ) Δ x + ( I − A 2 A 4 E3 )

−1

( B − B A− A ) Δ u 1

2

1 4

3

(4.32)

La solución homogénea es la que determina la estabilidad del sistema, es decir, el análisis del modelo lineal se realiza sobre la matriz de estados A . 4.3.4

Análisis del modelo lineal

Un análisis similar al anterior a través de las participaciones permite identificar los modos con dinámicas en las que están involucrados con más actividad determinados subsistemas. La dificultad del análisis de las oscilaciones de frecuencia superior a 1 Hz en la respuesta temporal, hace necesario el autoanálisis de la matriz de estados del sistema de ecuaciones diferenciales lineales. El modelo lineal está descrito por las siguientes variables de estado: ΔxT = [Δω Δδ Δx t

Δv c

Δψ est

Δψ rot

Δx e ]

Se analizan los dos casos de la simulación: primero el modelo del “First Benchmark Model for Computer Simulation of Subsynchronous Resonance” [12] y a continuación el modelo del generador con los parámetros típicos. En el primer caso, el modelo lineal está descrito por 26 variables de estado. Las Tablas 4-5 y 4-6 muestran respectivamente los autovalores complejos y reales de la matriz de estados. La Tabla 4-5 muestra que la matriz de estados tiene nueve parejas de autovalores complejos conjugados. Una pareja tiene parte real positiva. La Tabla 4-6 muestra que la matriz de estados tiene ocho autovalores reales. Todos los reales son


98

negativos. En consecuencia, el autoanálisis de la matriz de estados confirma la instabilidad detectada por la simulación del modelo lineal.

Nº 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Real -7.1168 -0.1818 -0.0234 -6.9587 0.8107 -0.6413 -0.1099 -0.1921 -4.8273

Autovalores complejos Imgaginaria Amortiguamiento (%) Frecuencia (Hz) 591.2651 1.20 94.10 298.1801 0.06 47.46 202.7179 0.01 32.26 162.2485 4.28 25.82 160.7780 -0.50 25.59 127.0745 0.50 20.22 99.4999 0.11 15.84 10.0339 1.91 1.60 0.2921 99.82 0.05

Tabla 4-5: Autovalores complejos del modelo linealizado de un generador conectado a un nudo de potencia infinita con representación detallada del generador (Benchmark).

Nº 19 20 21 22 23 24 25 26 27

Autovalores reales Real Constante de tiempo (s) -0.1418 7.050 -1.8129 0.552 -3.3217 0.301 -3.9311 0.254 -8.4650 0.118 -25.4258 0.039 -32.3707 0.031 -101.8509 0.010 -499.9786 0.002

Tabla 4-6: Autovalores reales del modelo linealizado de un generador conectado a un nudo de potencia infinita con representación detallada del generador (Benchmark).

Autovalores complejos Nº Subsistema 1 Devanados estator-Condensador serie: Eléctrico supersincrono 2 Rotor: Torsional 1 3 Rotor: Torsional 2 4 Devanados estator-Condensador serie: Eléctrico subrsincrono 5 Rotor: Torsional 3 6 Rotor: Torsional 4 7 Rotor: Torsional 5 8 Rotor: Electromecánico 9 Turbina Tabla 4-7: Asociación de los autovalores complejos a los subsistemas del modelo de un generador conectado a un nudo de potencia infinita con representación detallada del generador


99

Autovalores reales Nº Subsistema 19 Turbina 20 Devanados amortiguadores 21 Devanados amortiguadores 22 Turbina 23 Devanado de campo 24 Devanados amortiguadores 25 Devanados amortiguadores 26 Excitación 27 Excitación Tabla 4-8: Asociación de los autovalores reales a los subsistemas del modelo de un generador conectado a un nudo de potencia infinita con representación detallada del generador

Las Tablas 4-7 y 4-8 detallan la asociación de los autovalores a los subsistemas componentes del modelo del sistema. A ello se ha llegado por análisis de los factores de participación (Tablas 4-9 y 4-11) y de las participaciones de los subsistemas componentes (Tablas 4-10 y 4-11) del modelo. El autovalor que resulta inestable está asociado al rotor: es una oscilación torsional de la turbina de alta presión con la del cuerpo A de la turbina de baja presión.

Variable psisd psisq psifd psikd psikq1 psikq2 omegahp omegaip omegalpa omegalpb omegag omegae deltahp deltaip deltalpa deltalpb ddeltag ddeltae vcd vcq xexc1 xexc2 xturb1 xturb2 xturb3 xturb4 xturb5

1 0.253 0.247 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.253 0.247 0 0 0 0 0 0 0

2 0 0 0 0 0 0 0.128 0.346 0.025 0.001 0 0 0.128 0.346 0.025 0.001 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

3 0.001 0.001 0 0 0 0 0.023 0 0.073 0.295 0.11 0.002 0.023 0 0.073 0.295 0.11 0.002 0.002 0.001 0 0 0 0 0 0 0

Factores de participación Autovalores complejos 4 5 6 0.228 0.028 0.001 0.225 0.034 0.001 0 0 0 0.003 0 0 0.002 0 0 0.001 0 0 0.028 0.214 0.016 0.005 0.042 0.009 0.018 0.107 0.003 0.006 0.018 0.019 0.012 0.057 0.017 0.001 0.005 0.438 0.028 0.214 0.016 0.005 0.042 0.009 0.018 0.107 0.003 0.006 0.018 0.019 0.01 0.061 0.017 0.001 0.005 0.438 0.221 0.032 0 0.229 0.031 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

7 0.003 0.002 0 0 0 0 0.075 0.07 0.13 0.017 0.163 0.049 0.075 0.07 0.13 0.017 0.164 0.049 0.001 0.002 0 0 0 0 0 0 0

8 0.015 0.006 0.009 0.005 0.023 0.008 0.016 0.027 0.149 0.15 0.143 0.006 0.016 0.027 0.149 0.15 0.153 0.006 0.002 0.005 0 0.002 0.003 0.003 0.003 0 0

9 0.002 0 0.081 0.014 0.099 0.023 0 0 0.001 0.001 0.001 0 0 0 0.001 0.001 0.059 0 0 0.001 0.001 0.004 0.895 0.2 0.2 0.054 0.727

Tabla 4-9: Módulos de los factores de participación de las variables en los autovalores complejos del modelo linealizado de un generador conectado a un nudo de potencia infinita con representación detallada del generador.


Subsistema Devanados estator Devanado de campo Devanados amortiguadores Rotor Condesador serie Excitación Turbina

100

1 0.5 0 0 0 0.5 0 0

2 0 0 0 1 0 0 0

3 0.002 0 0 1.005 0.003 0 0

Participación de susbistema Autovalores complejos 4 5 6 0.453 0.063 0.001 0 0 0 0.005 0.001 0 0.11 0.886 1.002 0.45 0.062 0.001 0 0 0 0 0 0

7 0.004 0 0 1.007 0.003 0 0

8 0.009 0.009 0.026 0.99 0.003 0.003 0.008

9 0.002 0.081 0.109 0.052 0.001 0.005 0.96

Tabla 4-10: Participaciones de los subsistemas en los autovalores complejos del modelo linealizado de un generador conectado a un nudo de potencia infinita con representación detallada del generador.

Variable psisd psisq psifd psikd psikq1 psikq2 omegahp omegaip omegalpa omegalpb omegag omegae deltahp deltaip deltalpa deltalpb ddeltag ddeltae vcd vcq xexc1 xexc2 xturb1 xturb2 xturb3 xturb4 xturb5

19 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.007 0 0 0 0 0 0 0 0 0.992 0

20 0.003 0 0.092 0.024 0.507 0.137 0.001 0.001 0.005 0.005 0.005 0 0 0.001 0.005 0.005 0.061 0 0 0 0 0.002 0.038 0.08 0.08 0.027 0.01

21 0.004 0 0.036 0.008 0.793 0.201 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.004 0 0.001 0 0.021 0.021 0 0

Factores de participación Autovalores reales 22 23 24 0.008 0 0 0.001 0.001 0 0.178 0.898 0.001 0.034 0.067 0.001 0.722 0.085 0.202 0.177 0.015 0.799 0 0.002 0 0 0.003 0 0.002 0.015 0 0.002 0.015 0 0.002 0.016 0 0 0.001 0 0 0.001 0 0 0.003 0 0.002 0.015 0 0.002 0.015 0 0.173 0.001 0 0 0.001 0 0.001 0.001 0 0.006 0.001 0 0.001 0.02 0 0.007 0.105 0 0.662 0.012 0 1.183 0.008 0 1.183 0.008 0 0.077 0 0 0.242 0 0

25 0.001 0 0.025 0.864 0 0.002 0 0 0.002 0.003 0.004 0 0 0 0.002 0.003 0 0 0.001 0.004 0.023 0.161 0 0 0 0 0

26 0 0 0.017 0.047 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.004 0.94 0 0 0 0 0

27 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0

Tabla 4-11: Módulo de los factores de participación de las variables en los autovalores reales del modelo linealizado de un generador conectado a un nudo de potencia infinita con representación detallada del generador

Variable Devanados estator Devanado de campo Devanados amortiguadores Rotor Condesador serie Excitación Turbina

19 0 0 0 0.007 0 0 0.993

20 0.004 0.092 0.668 0.032 0 0.003 0.215

21 0.003 0.036 0.986 0 0.004 0.001 0.042

Participación de susbistema Autovalores reales 22 23 24 0.008 0.001 0 0.178 0.898 0.001 0.865 0.167 1 0.162 0.086 0 0.005 0.001 0 0.009 0.124 0.001 1.87 0.028 0

25 0.001 0.025 0.861 0.017 0.003 0.185 0

26 0 0.017 0.047 0 0 0.936 0

27 0 0 0 0 0 1 0

Tabla 4-12: Participaciones de los subsistemas en los autovalores reales del modelo linealizado de un generador conectado a un nudo de potencia infinita con representación detallada del generador.


101

Resulta muy interesante investigar el efecto de la variación del factor de compensación de la línea (cociente entre la reactancia de la línea y la reactancia del condensador de compensación serie). La Figura 4-27 muestra la variación del amortiguamiento de los modos eléctrico supersíncrono y subsíncrono al aumentar el factor de compensación. El amortiguamiento del modo supersíncrono no varía síginifcativamente al variar el factor de compensación. El amortiguamiento del modo subsíncrono aumenta al aumentar el factor de compensación.

10 Eléctrico s upersincrono 9

Eléctrico subsincrono

8 7

) % ( o 6 t n e i m 5 a u g i t r 4 o m A

3 2 1 0

0

10

20

30 40 50 60 70 Factor de compensacion (%)

80

90

100

Figura 4-27: Variación del amortiguamiento de los modos eléctricos supersíncrono y subsíncrono al variar el factor de compensación de la línea

La Figura 4-28 presenta la variación del amortiguamiento de los modos torsionales al aumentar con el factor de compensación. El amortiguamiento del modo torsional 1 no está afectado significativamente por el factor de compensación de la línea. Por el contrario, se aprecia claramente como existen factores de compensación que afectan el amortiguamiento el amortiguamiento de los modos 2, 3, 4 y 5. Para bajos factores de compensación son los modos 2 y 3 los afectados, mientras que altos factores de compensación afecta el amortiguamiento de los modos 4 y 5.


102

5 Torsional 1 4

Torsional 2

3

Torsional 3 Torsional 4 Torsional 5

2

) % ( o 1 t n e i m 0 a u g i t r o -1 m A

-2 -3 -4 -5

0

10

20


80

90

100

Figura 4-28: Variación del amortiguamiento amo rtiguamiento de los modos torsionales al variar el factor de compensación de la línea.

10 Electromecanico 8 6 4

) % ( o 2 t n e i m 0 a u g i t r o -2 m A

-4 -6 -8

-10 0

10

20


80

90

100

Figura 4-29: Variación del amortiguamiento del modo electromecánico al variar el factor de compensación de la línea.

La Figura 4-29 muestra la variación del amortiguamiento del modo electromecánico al aumentar con el factor de compensación. Lógicamente aumenta al disminuir la reactancia equivalente de la línea de interconexión.


103

Para el segundo caso, el de los valores típicos, se aplican valores del factor de compensación de 0.3, 0.5 y 0.7. Los autovalores y modos del sistema toman los valores que refleja la Tabla 4-13. El la Figura 4-30, la Figura 4-31 y la Figura 4-32 se puede ver la relación entre los autovalores de los modos mecánicos y los eléctricos, subsíncrono y supersíncrono, y el factor de compensación. Se puede ver que los rangos de valores de FC para los que se vuelve inestable algún modo torsional se encuentran en torno a una zona en la que se aproximan la frecuencia natural del modo torsional y la del modo subsíncrono. Entonces, el amortiguamiento se hace negativo.

Modo Eléctrico supersíncrono Eléctrico subsíncrono Torsional 4 Torsional 3 Torsional 2 Torsional 1 Modo 0

Turbinas-regulador

Devanados rotor Excitación

F.C. = 0.3 F.C. = 0.5 F.C. = 0.7 Real(λ) Imag(λ) Real(λ) Imag(λ) Real(λ) Imag(λ) -11,5607 428,2900 -12,0187 456,5731 ‐12,158 12,1589 9 482,84 482,8461 61 -8,2309 199,3414 6,8427 145,11 145,1164 64 -8,4886 171,3392 ‐6,8427 -0,3382 249,6757 0,3395 249,67 249,6757 57 -0,3395 249,6757 ‐0,3395 -0,0158 171,8232 0,0424 171,35 171,3575 75 0,6942 171,5356 ‐0,0424 -0,2880 137,9518 0,0655 0,0655 138,26 138,2688 88 -0,2659 138,0108 -0,1825 84,7356 -0,1987 85,0622 -0,176 84,7934 -0,5560 8,1637 -0,8842 8,8038 -0,666 8,269 -3,2211 -3,2303 -3,2390 -10,1801 -10,1756 -10,1709 -0,1989 -0,1990 -0,1991 -1,6657 0,1353 -1,6659 0,1210 -1,6658 0,1309 -39,3816 -39,6024 -40,2260 -32,5178 -32,6707 -35,2092 0,8799 1,3876 1,9082 -0,6630 -0,7428 -0,7968 -100,2265 -100,4197 -100,6579

Tabla 4-13: Autovalores del sistema completo para varios valo res de FC


104

Parte real de autovalores en función del F.C.

4

Modo 1 2

Modo 3

Modo 2

0

) r o l a v o t u a ( e R

Modo 0

-2

Modo 4

-4

Modo subsíncrono

-6

-8

-10

Modo supersíncrono -12 0

0.5

1

1.5

F.C.

Figura 4-30: Parte real de los autovalores en función del factor de compensación

Amortiguamiento en función del F.C.

15

Modo 0

10

) % ( o t n e i m 5 a u g i t r o m A

Modo subsíncrono Modo supersíncrono

0

Modo 3

Modo 2

Modo 4 Modo 1

-5

0

0.5

1 F.C.

Figura 4-31: Amortiguamiento de los modos en función del factor de compensación

1.5


105

Frecuencia natural de los modos en función del F.C. 600

500

Modo supersíncrono 400 ) s / d a r ( l a r u t a 300 n n ó i c a s l u P

Modo subsíncrono Modo 4

200

Modo 3 Modo 2

100

Modo 1

Modo 0 0

0

0.5

1 F.C.

Figura 4-32: Frecuencia de los modos en función del factor de compensación

1.5

5 Análisis modal selectivo de la resonancia subsíncrona

106

5 Análisis modal selectivo de la resonancia subsíncrona Este capítulo presenta los resultados del Análisis Modal Selectivo de la resonancia subsíncrona. Precisamente se busca primero la obtención de los parámetros modales correspondientes a los modos torsionales por medio del Análisis Modal Selectivo y después la descomposición de los mismos en las contribuciones de los diferentes subsistemas. El capítulo comienza con una revisión de los algoritmos del Análisis Modal Selectivo.

5.1 Análisis Modal Selectivo El Análisis Modal Selectivo, o Selective Modal Analysis (SMA) en la literatura técnica en inglés, es un método completo para la caracterización y análisis de partes seleccionadas de los sistemas dinámicos lineales. El SMA contiene medidas de sensibilidad para identificar las relaciones entre las variables de estado y los modos y algoritmos de autoanálisis de orden reducido para determinar los modos seleccionados. Las medidas de sensibilidad del SMA son los factores de participación. Los factores de participación han sido presentados en el capítulo 2. Esta sección presentan los algoritmos de autoanálisis de orden reducido. El SMA está interesado en determinar un conjunto de modos de un sistema dinámico lineal (5.1) que están particularmente relacionados con un conjunto de variables de estado r denominadas “relevantes”. Las variables de estado restantes z se denominan “menos relevantes”. Debe notarse que se ha eliminado el símbolo Δ por simplicidad. x& = Ax x ∈ℜ

×1 N

,A∈ℜ

× N N

(5.1)

Bajo esa suposición, el sistema original (5.1) puede reescribirse como (5.2) y representarse como se muestra en la Figura 5-1.


107

⎡ r& ⎤ ⎡ A11 A12 ⎤ ⎡ r ⎤ ⎢ z& ⎥ = ⎢ A A ⎥ ⎢ z ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ 21 22 ⎦ ⎣ ⎦ × − × r ∈ℜ n 1 , z ∈ℜ N n 1

(5.2)

Figura 5-1: Representación en forma de diagrama de bloques del sistema dinámico lineal con separación de dinámicas relevantes y menos relevantes.

La función de transferencia matricial de las dinámicas menos relevantes puede obtenerse fácilmente de la Figura 5-1: −1

H ( s ) = A12 ( sI − A 22 ) A 21

La idea básica del algoritmo del algoritmo de SMA es muy sencilla. Supóngase que se tiene una primera aproximación del autovalor de interés 0 λ 1 (puede obtenerse del autoanálisis de la submatriz A11 ), se construye una matriz reducida 1 A R incorporando a la representación de la dinámica relevante A11 , la función de transferencia matricial de la dinámica menos relevante para el modo de interés H ( 0λ 1 ) . 1

A R = A11 + H ( 0λ 1 )

(5.3)

El autoanálisis de la matriz reducida proporciona una mejor aproximación del autovalor 1 λ 1 si la selección de variables relevantes es apropiada. De hecho, el algoritmo converge si y solo sí la relación de participación del autovalor de interés es mayor o igual a 1:


108 n

ρ r1 =

w T r1 ⋅ v r1 wT z1 ⋅ v z1

∑w =

j =1

v j1

j1

≥1

N

∑w j = n +1

v

j1 j1

El algoritmo de SMA para determinar un modo de interés puede resumirse como sigue: 1. Poner el contador de interaciones a cero (j=0). 2. Determinar un valor inicial del autovalor de interés 0 λ 1 . Determinar un valor inicial del autovalor de interés A11 : 0 0 0 A11 vr1 = vr1 λ 1

3. Determinar la función de transferencia matricial de la dinámica menos relevante para el autovalor de interés como: −1

H ( jλ1 ) = A12 ( jλ 1I − A 22 ) A 21

4. Determinar la matriz reducida para el autovalor de interés como: j +1

j A R = A11 + H ( λ 1 )

5. Realizar el autoanálisis de la matriz reducida de interés para la siguiente iteración

j +1

A R

y seleccionar el autovalor

j +1

λ 1 .

6. Comprobar la condición de parada. Si no se ha satisfecho, incrementar el contador de iteraciones (j=j+1) y volver al paso 3. El algoritmo de SMA para determinar un modo de interés puede extenderse para calcular varios modos de interés. La idea básica consiste en obtener una función de transferencia matricial de la dinámica menos relevante válida para los modos de interés. En ese caso, el diagrama de bloques de la Figura 5-1 puede representarse como se muestra en la Figura 5-2).


109

Figura 5-2: Representación en forma de diagrama de bloques del sistema dinámico lineal con representación de la dinámica menos relevante como función de transferencia matricial.

La función de transferencia matricial para los modos de interés puede obtenerse como: H ( jλ 1 ) ⋅ r ( t ) =

j +1

M ⋅ r ( t )

(5.4)

M

H ( jλ h ) ⋅ r ( t ) =

j +1

M ⋅ r ( t )

La ecuación (5.4) puede también expresarse como: H

( λ ) ⋅ ⎡⎣ j

1

v r1 ⋅ r ( 0 ) ⎤⎦ ⋅ jv r 1e

j

j

λ1t

=

+j 1

M ⋅ ⎡⎣ jv r1 ⋅ r ( 0 ) ⎤⎦ ⋅ jv r 1e

j

λ 1t

(5.5)

M

H

(

j ⎡ j ⎤ j λ h ) ⋅ ⎣ v rh ⋅ r ( 0 ) ⎦ ⋅ v rh e

j

λh t

=

+j 1

M ⋅ ⎡⎣ v rh ⋅ r ( 0 ) ⎤⎦ ⋅ v rh e j

j

j

λ h t

El sistema de ecuaciones (5.5) también puede expresarse como: + j1

j j j j L H ( λ h ) v rh ⎤ M ⎡⎣ jv r1 L jvrh ⎤⎦ = ⎡ H ( λ 1 ) v r1 ⎣ ⎦

(5.6)

El algoritmo de Análisis Modal Selectivo para determinar varios modos de interés se puede resumir como sigue: 1. Poner el contador de iteraciones a cero (j=0). 2. Determinar los valores iniciales de los autovalores de interés t

0 h

y de las

componentes de las variables relevantes asociadas a los autovectores derechos 0

Vrh . Determinar un valor inicial de los autovalores de interés A11 : A11 0 Vrh = 0 Vrh 0

h


110

3. Determinar la función de transferencia matricial de la dinámica menos relevante para los autovalores de interés resolviendo: j+1

j j j j M ⎡⎣ jv r1 L jv rh ⎤⎦ = ⎡ H ( λ v r1 L H ( λ v rh ⎤ ) ) 1 h ⎣ ⎦

4. Determinar la matriz reducida para el autovalor de interés como: j +1

A R = A11 +

5. Realizar el autoanálisis de la matriz reducida

j +1

M

j +1

autovalores y autovectores derechos de interés

A R

y seleccionar los

j +1 h

y

j +1

Vrh

6. Comprobar la condición de parada. Si no se ha satisfecho, incrementar el contador de iteraciones (j=j+1) y volver al paso 3. Las condiciones de convergencia del algoritmo para determinar varios modos de interés son menos precisas que las condiciones de convergencia para determinar uno sólo modo de interés. Sin embargo, se pueden esperar buenas condiciones de convergencia si las relaciones de participación de las variables relevantes en los modos de interés son mucho más grandes que la unidad y las relaciones de participación de las variables menos relevantes en los modos de interés son mucho más pequeñas la unidad. ρ ri >> 1 ρ zi << 1

5.2 Parámetros modales de los modos torsionales por medio del Análisis Modal Selectivo 5.2.1

Descomposición de los parámetros modales en componentes eléctrica y mecánica

En el capítulo 3 se vio cómo el sistema de ecuaciones dinámicas de respuesta libre sin amortiguamiento de un sistema mecánico de varios grados de libertad, como es el sistema de masas del eje de un turbogenerador, puede desacoplarse diagonalizando las matrices de inercia M y rigidez K . Por propiedades de las matrices, ambas se


111

comportan como ortogonales respecto a los modos de vibración del sistema y se diagonalizan con la matriz de paso formada por los autovectores de A = −ω M − K . 1

0

Así, el sistema de ecuaciones en (3.40) queda desacoplado en coordenadas modales como viene en la ecuación (4.7): T

V MV

d 2 Δθ 1 2

dt

ω 0

+ V T DV

d Δθ 1 dt ω 0


La matriz VT DV no es diagonal pero se hace esa suposición porque los elementos de fuera de la diagonal no tienen apenas influencia en el amortiguamiento de las vibraciones. Para poder estudiar el comportamiento del sistema para cada modo por separado, se consideran los parámetros modales (ver [8]): H md ,i = Dmd ,i = K md ,i =

hm ,i v ji2 d m,i v ji2

(5.7)

k m ,i v ji2

Donde: hm,i , d m ,i , k m ,i son los elementos de las diagonales de las matrices anteriores v ji es la entrada correspondiente al generador del autovector del modo i

Tales parámetros corresponden a un modelo masa-muelle ficticio que representa el movimiento de la masa del generador para el modo i y que almacena la misma energía que el sistema. Además, son independientes de la normalización elegida para los autovectores, no así los elementos de las diagonales principales de las matrices obtenidas en (4.7).


112

Los parámetros calculados utilizando las ecuaciones (4.7) y (5.7) corresponden al sistema mecánico aislado y siempre reflejarán una situación estable, es decir, amortiguamiento positivo de los modos. Sin embargo, el sistema mecánico no está aislado y la influencia del resto del sistema puede afectar a su estabilidad. El Análisis Modal Selectivo (SMA) permite obtener un modelo reducido del sistema representado por los ángulos y velocidades como estados relevantes r = [δ ω]T , que caracterice la dinámica de los modos mecánicos con la influencia de la parte eléctrica del sistema. Entonces, reordenando la matriz de estado con las ecuaciones del sistema completo (4.19) - (4.30), el modelo reducido obtenido por SMA tiene esta forma: & ⎤ ⎛ ⎡H −1 D H −1K ⎤ ⎡ΔHD ΔHK ⎤ ⎞ ⎡ω ⎤ ⎡ω ⎡ω⎤ ⎜ ⎟ = + = + [ ] A M ⎢ ⎥ 11 ⎢ δ& ⎥ ⎜ ⎢ ⎥⎟ ⎢δ⎥ ⎢δ ⎥ ⎣ ⎦ ⎝ ⎣ ω 0 I ⎦ ⎠ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎦ ⎣

Donde no se ha supuesto amortiguamiento nulo y ⎡2 H hp ⎢ ⎢ H =⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

2 H ip 2 H lpa 2 H lpb

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ 2 H g ⎥⎦

K hp−ip ⎡− K hp−ip ⎤ ⎢ K ⎥ ( hp−ip + K ip−lpa) K ip−lpa ⎢ hp−ip − K ⎥ ⎥ ( ip−lpa + K lpa−lpb) − K K ip−lpa K lpa−lpb K =⎢ ⎢ ( lpa−lpb + K lpb− g ) K lpb− g ⎥⎥ − K K lpa−lpb ⎢ ⎢ ( lpb− g + K g )⎥⎦ − K K lpb− g ⎣

⎡− Dhp ⎢ ⎢ D =⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

− Dip − Dlpa − Dlpb

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ − D g ⎥⎦

(5.8)


113

Así, se reduce el estudio del fenómeno de la resonancia subsíncrona a una extensión del modelo mecánico, en el que la contribución del sistema eléctrico equivale a añadir amortiguamientos y elasticidades, como se ve en la estructura de M en (5.14). Los autovalores y autovectores de la matriz de estado del modelo reducido son exactamente los mismos que los de los modos mecánicos del sistema completo. Además, los parámetros modales que se calculen como (5.7) a partir de dicha matriz recogerán la influencia del resto del sistema. Por otro lado, al representar la matriz M los efectos del sistema eléctrico sobre el mecánico, se pueden descomponer los parámetros modales en dos aportaciones, una mecánica (del sistema aislado) y otra eléctrica. Si se definen

[K + ΔK ] = −H ⋅ [H −1K + ΔHK ]

(5.9)

[D + ΔD] = −H ⋅ [H −1D + ΔHD]

(5.10)

Del autoanálisis de H −1K + ΔHK se obtiene la matriz de transformación de autovectores V y, con ella, se pueden diagonalizar (las de antes).

{k md }diag = V T [K + ΔK ]V = V TK V + V TΔK V = {k m }diag + {k e }diag

(5.11)

{k md }diag = V T [K + ΔK ]V = V TK V + V TΔK V = {k m }diag + {k e }diag

(5.12)

Donde y son las componentes mecánica y eléctrica de los elementos de la diagonal de las nuevas matrices K y D . Los parámetros modales que representen el movimiento de la masa del generador para cada modo se obtienen aplicando (5.7). Entonces se cumple para cada modo: Dmd = Dm + De K md = K m + K e

(5.13)


114

Te

δg ωg

Km Dm Ke

Hmd

De

Figura 5-3: Modelo masa-muelle equivalente para cada modo con descomposición de los parámetros modales K y D

5.2.2

Descomposición de De y Ke en aportaciones de los distintos bloques

La base de la descomposición de los parámetros De y Ke en aportaciones de los diferentes subsistemas se puede ver en [8]. La utilidad principal de este método es identificar el origen de inestabilidades en el caso de que se produzcan en los modos trosionales. La técnica se basa en la aplicación del SMA al sistema eligiendo como estados relevantes r = [δ ω]T , convergiendo a uno solo de los modos cada vez y distinguiendo a qué subsistemas corresponden cada uno de las submatrices de la matriz de estado implicadas. La matriz de estado del sistema completo, reordenada como (5.2), tiene esta estructura: 1 ⎡ −1 ⎤ −1 −1 & ⎤ ( ) H D D H K H C C + ⋅ ⎡ Δω t t me ⎢ ⎥ ⎡ Δω ⎤ 2 H g ⎢ Δδ& ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ Δδ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ [ω 0 ] ⎥ ⎢ ⎢ Δx& t ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ Δx t ⎥ Bt At ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⋅ ⎢ Δv ⎥ &c = v Δ ⎢ ⎥ ⎢ B re,2 A re B re,1 ⎥ ⎢ c ⎥ ⎢ Δψ& est ⎥ ⎢ ⎥ ⎢Δψ est ⎥ B B A A ω [ ] ⎢ ⎥ ⎢ me,11 me,12 0 me,11 me,12 ⎥ ⎢Δψ ⎥ & Δ ψ ⎢ rot ⎥ ⎢ rot ⎥ A me,21 A me,22 B me,3 ⎥ ⎢ ⎢ Δx& ⎥ ⎢ ⎢ ⎥ ⎣ Δx e ⎥⎦ ⎣ e ⎦ B e,2 Be Ae ⎦ ⎣

(5.14)


115

Donde, en el caso de haber un solo devanado amortiguador en eje q y unos sistemas de regulación como los del caso de análisis de parámetros típicos (Figura 4-19 y Figura 4-20) , serían: 1 ⎡ ⎤ ⎡ − v sd 0 − 0 ⎥ ⎢ ⎢ T v T B ⎥; B e = ⎢ B s 0 Ae = ⎢ T ⎞ 1 ⎢ 1 ⎛ ⎢ − T C v sd 0 ⎜⎜1 − C ⎟⎟ − ⎥ ⎢ T ⎢ T T v T A ⎥⎦ ⎣ A B s 0 ⎣ A ⎝ T B ⎠

⎡ −1 ⎤ ⎢ T ⎥ 3 ⎢ ⎥ 1 K − ⎢ ⎥ ⎢ T 4 T 4 ⎥ ⎢ ⎥ 1 −1 ⎢ ⎥⋅; At = T T ⎢ ⎥ 5 5 ⎢ ⎥ −1 1 ⎢ ⎥ T 6 T 6 ⎢ ⎥ − 1 1 ⎢ ⎥ ⎢⎣ T 7 T 7 ⎥⎦

⎡ ⎢0 ⎢ ⎢ Bt = ⎢ ⎢ ⎢ ⎢0 ⎣

− v sq 0 ⎤ ⎥ ⎡ v0 cos δ g 0 ⎤ T B v s 0 ⎥ ; B e2 = Be ⋅ ⎢ ⎥ − T C v sq 0 ⎥ δ − v sen 0 0 g ⎣ ⎦ ⎥ T AT B v s 0 ⎦

O

L

⎡0 K hp ⎤ ⎡ − t m,hp 0 ⎢0 ⎥ ⎢ K ip ⎢ ⎥ Ct = ; Dt = ⎢ ⎢0 ⎥ ⎢ K lpa ⎢ ⎥ ⎢ 0 K lpb ⎥ ⎣⎢ ⎦ ⎣⎢ Cme = − iq 0

id 0

0

0

0+ −

q0

d 0

− 1⎤ T 3 ⎥ ⎥ 0⎥ M ⎥ ⎥ 0 ⎥ 0 0 ⎥⎦

0⎤

− t m,hp 0 − t m ,hp 0

L p

Donde L p es la matriz constituida por las dos primeras filas de [ L ]−1 ⎡0 A re = −ω 0 ω g 0 ⎢ ⎣1 B re1 = −

− 1⎤ ⎥ = −ω 0 ω g 0 [W ] 0⎦

ω 0 ⎡1

⎢

C ⎣

1

⎡vcd 0 ⎤ ⎥ ⎣vcq 0 ⎦

B re2 = −ω 0 [W ] ⎢

⎤ −1 ⎥ [L] ⎦

⎥ ⎥ 0⎥ ⎥ 0⎦⎥ 0

− t m,hp 0


⎛ ⎡[W ] [A me ] = −ω 0 ⎜⎜ ω g 0 ⎢ ⎝

116

⎡ A me,11 A me,12 ⎤ −1 ⎞ ⎟ − ⋅ = R L [ ] [ ] ⎥ ⎥ ⎟ ⎢ 0⎦ ⎠ ⎣ A me,21 A me,22 ⎦ 0⎤

⎣ 0

⎡ω 0 ⋅ [C e ]⎤ ⎡ ω 0v0 cos δ g 0 ⎤ ⎡ ω 0 ψ q 0 ⎤ B me,11 = ⎢ ; B me,12 = ⎢ ; B me,3 = ⎢ 0 0 ⎥ ⎥ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣− ω 0 ψ d 0 ⎦ ⎣− ω 0v0 sen δ g 0 ⎦ ⎣ 0 0 ⎦

Teniendo en cuenta que: 1 2 H g

⋅ Cme es un vector fila que afecta a Δ & g .

B re,2

, B me,11 son vectores columna que afectan a Δω g .

B e,2

, B me,12 son vectores columna que afectan a Δδ g .

Para cada modo torsional de autovalor λ, el algoritmo de SMA con h=1 dará lugar a una matriz compleja: ⎡ΔHD ΔHK ⎤ −1 ⎥ = A12 (λI − A 22 ) A 21 ⎣ ⎦

M=⎢

(5.15)

ΔHD y ΔHK pueden escribirse en términos de los bloques de la matriz de estados

correspondientes a los distintos subsistemas eléctricos: − ΔHD = H 1Ct A′t B t −

ΔHK = −

1 2 H g 1

2 H g

[

Cme S1 B re,2 + S 2 B me,11 + S 3 B me,21

[

Cme S 2 B me,12 + S 4 B e,2

]

]

Donde: −1

A′t = ( λI − A t )

S1 , S 2 , S 3 , S 4

son submatrices complejas de la aplicación de (ecuación de M)

En (5.16) y (5.17) se ve cómo cada término se corresponde con un subsistema.

(5.16)

(5.17)


117

Las contribuciones de ΔHD : H 1Ct A′t B t −

−

−

1 2 H g 1 2 H g

del sistema de turbinas y regulador de velocidad

Cme S1 B re,2

de la red eléctrica, es decir, del condensador de la línea

[

Cme S 2 B me,11 + S 3 B me,21

] de la máquina eléctrica

Las contribuciones de ΔHK : −

−

1 2 H g 1 2 H g

Cme S 2 B me,12

Cme S 4 B e,2

de la máquina eléctrica

del sistema de excitación

Es posible transformar estas matrices complejas en reales con manipulaciones algebraicas (ver [8]). Así, con una matriz M real, que reproduce la dinámica menos relevante de forma exacta para el modo λ, se pueden determinar las contribuciones a los parámetros modales en términos reales. 5.2.3

Resultados obtenidos en el estudio de los modos torsionales con SMA

Se han aplicado las técnicas descritas basadas en el Análisis Modal Selectivo al estudio de los modos torsionales del segundo caso analizado en el capítulo 4, el generador con parámetros de valores típicos. En primer lugar, se calculan los parámetros modales del sistema mecánico aislado, con (4.7) y (5.7) para un factor de compensación de 0.3. Los modos torsionales del sistema aislado de la parte eléctrica siempre son estables. En este caso, al suponer amortiguamiento nulo, los parámetros D también lo son.


118

Sistema mecánico aislado (F.C. = 0.3) Modo Hmd Kmd Dmd 0 3,41 1,54 0 1 2,67 121,56 0 2 8,42 1019,73 0 3 4,70 881,82 0 4 14011,25 5560464,52 0 Tabla 5-1: Parámetros modales del sistema mecánico aislado

Aplicando el SMA para evaluar cómo afecta el sistema eléctrico a la estabilidad de los modos torsionales, se obtienen los parámetros modales descompuestos en su parte eléctrica y mecánica, como se ve en la Tabla 5-2, para los mismos valores del factor de compensación que en 4.3.4 (0.3, 0.5, 0.7). F.C

0.3

0.5

0.7

Modo Hmd Km 0 3,39 0,02 1 2,66 119,72 2 8,37 1011,43 3 4,61 862,36 4 14136,90 5610329,95 0 3,40 0,02 1 2,65 119,43 2 8,27 999,64 3 5,01 938,35 4 14081,80 5588462,32 0 3,41 0,03 1 2,64 118,98 2 8,25 997,67 3 4,85 908,35 4 14215,66 5641586,28

Ke Kmd Dm 1,43 1,45 1,09 1,90 121,62 1,50 2,31 1013,74 9,90 3,23 865,59 1,55 -0,07 5610329,88 19127,24 1,54 1,56 1,10 2,25 121,69 1,49 3,72 1003,36 9,77 -3,83 934,52 1,74 0,55 5588462,87 19052,67 1,67 1,70 1,10 2,83 121,81 1,49 4,00 1001,67 9,75 -1,10 907,24 1,66 -0,94 5641585,34 19233,82

De Dmd 6,51 7,60 0,44 1,94 -0,27 9,63 -1,27 0,28 -0,39 19126,85 8,59 9,68 0,50 1,99 -1,19 8,58 -11,65 -9,91 -0,82 19051,85 11,08 12,18 0,60 2,09 -28,58 -18,83 -0,41 1,25 -0,66 19233,16

Tabla 5-2: Descomposición de los parámetros modales en ap ortaciones mecánica y eléctrica

Al igual que los autovalores del sistema completo, los parámetros modales permiten identificar qué modos torsionales se vuelven inestables para qué valores del factor de compensación. Así, como se vio en 4.3.4, para una compensación del 50%, el modo 3 es inestable, y para el 70%, el modo 2. El la Tabla 5-2 se ve que en esos casos, el parámetro Dmd, amortiguamiento, es negativo debido a que la influencia del sistema eléctrico (De)

implica

una

aportación

de

amortiguamiento

amortiguamiento de origen mecánico (Dm).

negativo

superior

al


119

Si se quiere determinar el origen concreto de estas inestabilidades, dentro de los diferentes subsistemas del sistema eléctrico, se descomponen los parámetros De y Ke en aportaciones de los distintos bloques, como se ve en las tablas siguientes. Descomposición de Ke FC Modo 0 1 0.3 2 3 4 0 1 0.5 2 3 4 0 1 0.7 2 3 4

Turbinas 0,0303 -0,0014 0,0017 -0,0003 0,0187 0,0297 -0,0014 0,0017 -0,0003 0,0187 0,0290 -0,0014 0,0019 -0,0003 0,0188

Red 0,0005 0,0197 0,0638 0,1095 -0,3992 0,0012 0,0398 0,1346 -2,7176 -0,2836 0,0022 0,0724 -2,7018 -0,5189 -0,2318

Máq. Eléc. 1,3781 1,8827 2,2463 3,1271 0,4853 1,4750 2,2144 3,6085 -0,7951 0,6511 1,5870 2,7643 7,4949 -0,6199 0,7268

Excitación 0,0183 0,0021 0,0012 0,0011 0,0004 0,0346 0,0034 0,0024 0,0084 0,0007 0,0541 0,0044 0,0278 0,0027 0,0010

Total:Ke 1,4275 1,9013 2,3120 3,2266 -0,0705 1,5413 2,2547 3,7204 -3,8333 0,5484 1,6741 2,8295 3,9996 -1,1029 -0,9381

Tabla 5-3:Descomposición de Ke en contribuciones del sistema eléctrico

Descomposición de De FC Modo 0 1 0.3 2 3 4 0 1 0.5 2 3 4 0 1 0.7 2 3 4

Turbinas -0,4230 0,0350 -0,0428 0,0069 -0,4578 -0,4528 0,0349 -0,0425 0,0075 -0,4569 -0,4821 0,0346 -0,0424 0,0072 -0,4591

Red -0,1215 -0,2192 -0,4357 -1,0548 0,6851 -0,2163 -0,4466 -1,3584 0,5518 0,5884 -0,3240 -0,8210 -5,2349 1,3288 0,5396

Máq. Eléc. 5,1082 0,6200 0,2137 -0,2102 -0,6614 6,1804 0,9077 0,1595 -12,6547 -0,5108 7,6637 1,3674 -23,3266 -1,7700 -0,4504

Excitación 1,8971 0,0087 0,0027 0,0024 -0,0004 3,0544 0,0183 0,0095 -0,0071 -0,0005 4,1088 0,0347 0,0261 -0,0057 -0,0006

Tabla 5-4: Descomposición de De en contribuciones del sistema eléctrico

Total:De 6,5105 0,4423 -0,2735 -1,2706 -0,3937 8,5863 0,4995 -1,1887 -11,6509 -0,8186 11,0825 0,6026 -28,5824 -0,4104 -0,6643


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Se puede ver que el origen de la inestabilidad del modo 3 para un FC de 0.5 se debe a la máquina eléctrica y, en el caso de FC = 0.7, el amortiguamiento negativo del modo 2 tiene aportación principalmente de la máquina y del condensador de la red.

6 Conclusiones

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6 Conclusiones Este proyecto ha abordado el estudio del fenómeno de la resonancia subsíncrona. La resonancia subsíncrona estudia la inestabilidad de las ocilaciones torsionales de turbogeneradores conectados a través de líneas con compensación serie. Para ello este proyecto ha desarrollado modelos no lineales y lineales de un turbogenerador conectado a través de una línea compensada serie a un nudo de potencia infinita. El proyecto ha revisado en primer lugar los conceptos fundamentales del modelado, simulación y análisis de sistemas dinámicos. Después, utilizando un modelo simplificado ha discutido la diferencia entre las oscilaciones electromecánicas y las oscilaciones torsionales de un turbogenerador conectado a un nudo de potencia infinita. Las oscilaciones electromecánicas son oscilaciones mecánicas de 1 Hz en las que todas las masas del turbogenerador oscilan al unísono. Los rotores de los turbogeneradores presentan oscilaciones torsionales en el margen de frecuencias subsíncrono que quiere decir que son inferiores a la frecuencia fundamental (50 Hz). Las oscilaciones torsionales son debidas a los acoplamientos elásticos entre las masas de los turbogeneradores. El estudio de la resonancia subsíncrona se ha abordo con un modelo completamente detallado del turbogenerador y de la conexión del mismo a una red infinita a través de una línea compensada serie con un grado de compensación del 50%. La respuesta en el tiempo ha mostrado la presencia de oscilaciones torsionales inestables. El autoanálisis del modelo lineal ha permitido caracterizar la oscilación torsional inestable. Se ha explorado también la variación del amortiguamiento de los modos torsionales la variar el factor de compensación de la línea. El autoanálisis del modelo lineal, gracias a los autovalores, autovectores y factores de participación, permite caracterizar con mucha mayor precisión que la respuesta en el tiempo ante grandes o pequeñas perturbaciones las oscilaciones torsionales. También se ha utilizado el análisis modal, que es una herramienta muy adecuada para la caracterización del sistema en el estudio de este fenómeno y para la evaluación de su

6 Conclusiones

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estabilidad. Asimismo, permite medir la actividad e interacciones electromecánicas de los subsistemas que integran el generador y la línea compensada a la que esté conectado. Se ha comprobado que los modelos reducidos obtenidos por técnicas de análisis modal selectivo reflejan con exactitud el comportamiento de los modos de interés y permiten una mejor comprensión e interpretación física del problema. La aplicación de las metodologías basadas en este tipo de análisis para la obtención de los parámetros modales y sus descomposiciones en aportaciones de los distintos subsistemas ha dado resultados coherentes con el análisis modal y la simulación.

7 Referencias bibliográficas

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I.M. Canay, “A Novel Approach to the Torsional Interaction and Electrical Damping of the Synchronous Machine Part II: Application to an arbitrary network”, IEEE Transactions on Power Apparatus and Systems, Vol. PAS-101, No. 10, Oct. 1982, pp. 3639 – 3647.

ESTUDIO DE LA RESONANCIA SUBSÍNCRONA

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