Estimación Puntual e intervalo de Confianza
ADMINISTRACIÓN
MANUAL BÁSICO DE ESTIMACIÓN PUNTUAL E INTERVALO DE CONFIANZA Lic. Richard Tipe Torvisco
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Estimación Puntual e intervalo de Confianza
ÍNDICE Prefacio Introducción
Capítulo 1: Estimación Puntual de Parámetros 1.1.- Estimación puntual de parámetros 1.2.- Criterios para seleccionar un estimador Capítulo 2: Intervalos de Confianza 2.1.- Intervalos de confianza 2.2.- Intervalo de confianza para la media poblacional u de una población normal con varianza poblacional conocida (σ2)
2.3.- Intervalo de confianza para la media poblacional u de una población normal con varianza poblacional desconocida (σ2)
2.4.- Intervalo de confianza para una proporción poblacional 2.5.- Intervalo de confianza para diferencia de proporciones poblacionales 2.6.- Intervalo de confianza para la varianza de una población normal 2.7.- Intervalo de confianza para diferencia de medias de dos poblaciones normales con varianza poblacionales conocida (σ12 y σ22)
2.8.- Intervalo de confianza para diferencia de medias de dos poblaciones normales con varianza poblacionales desconocida (σ12 y σ22)
2.8.1.- Intervalo de confianza para diferencia de medias con varianza desconocidas (σ12 y σ22) pero iguales σ12 = σ22 = σ2, n1 + n2 ≤ 30
2.8.2.- Intervalo de confianza para diferencia de medias con varianza desconocidas (σ12 y σ22) pero iguales σ12 ≠ σ22, n1 + n2 ≤ 30
2.9.- Intervalo de confianza para la razón de varianzas poblacionales normales 2.10.- Intervalo de confianza para diferencia de medias con muestras relacionadas 2.11.- Aplicaciones Bibliografía Página 2
Estimación Puntual e intervalo de Confianza
ÍNDICE Prefacio Introducción
Capítulo 1: Estimación Puntual de Parámetros 1.1.- Estimación puntual de parámetros 1.2.- Criterios para seleccionar un estimador Capítulo 2: Intervalos de Confianza 2.1.- Intervalos de confianza 2.2.- Intervalo de confianza para la media poblacional u de una población normal con varianza poblacional conocida (σ2)
2.3.- Intervalo de confianza para la media poblacional u de una población normal con varianza poblacional desconocida (σ2)
2.4.- Intervalo de confianza para una proporción poblacional 2.5.- Intervalo de confianza para diferencia de proporciones poblacionales 2.6.- Intervalo de confianza para la varianza de una población normal 2.7.- Intervalo de confianza para diferencia de medias de dos poblaciones normales con varianza poblacionales conocida (σ12 y σ22)
2.8.- Intervalo de confianza para diferencia de medias de dos poblaciones normales con varianza poblacionales desconocida (σ12 y σ22)
2.8.1.- Intervalo de confianza para diferencia de medias con varianza desconocidas (σ12 y σ22) pero iguales σ12 = σ22 = σ2, n1 + n2 ≤ 30
2.8.2.- Intervalo de confianza para diferencia de medias con varianza desconocidas (σ12 y σ22) pero iguales σ12 ≠ σ22, n1 + n2 ≤ 30
2.9.- Intervalo de confianza para la razón de varianzas poblacionales normales 2.10.- Intervalo de confianza para diferencia de medias con muestras relacionadas 2.11.- Aplicaciones Bibliografía Página 2
Estimación Puntual e intervalo de Confianza Anexos
PREFACIO El presente manual se ha elaborado para estudiantes de la Facultad de Administración de la Universidad Nacional Mayor de San Marcos, y tiene como objetivo ser una guía en el curso de Estadística para la Toma de Decisiones, que se desarrolla en el plan de estudios del Pre-Grado de Administración, Negocios Internacionales y Turismo. Por tanto, se ha escrito tomando en cuenta a un grupo de profesionales, en el sentido de que los estudiantes de esta facultad, en su quehacer profesional emplean cotidianamente las herramientas estadísticas. De ahí, que el esfuerzo de los autores sea desarrollar paso a paso las aplicaciones referente a Estimación Puntual e Intervalo de confianza. Los cálculos que se presentan para aplicar Estimación Puntual e Intervalo de confianza son para que los lectores entiendan, la interpretación de los resultados obtenidos. La Estadística no solamente es cálculo, o el simple uso de las fórmulas o expresiones que aparecen en éste y en diversos libros de Estadística, sino razonamiento crítico basado en evidencias objetivas que se obtienen de la población bajo estudio (ser). Una vez que el lector haya asimilado los conocimientos estadísticos, y sus aplicaciones, que brindamos en el presente manual, estará en la capacidad de usar software estadístico. El aprendizaje de la Estadística usando software estadístico sirve como apoyo del profesor para mostrar, en forma precisa y rápida, los gráficos y cálculos estadísticos.
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Estimación Puntual e intervalo de Confianza
INTRODUCCION En este manual se estudia diversos aspectos importantes del muestreo. El primer paso es el estudio del estimador puntual. Un estimador puntual consiste en un solo valor (punto) deducido de una muestra para estimar el valor de una población. Por ejemplo, un analista analista de investigación de mercado quiere estimar el promedio de gastos del fin de semana de una determinada población. Suponga que se realiza una encuesta sobre consumo de productos en los mercados, se elige una muestra de 400 consumidores de nivel medio y se le pregunta a cada uno sobre los gastos del fin de semana. Se calcula la media de esta muestra de 400 y se utiliza el valor de la media muestral como estimador puntual de la media poblacional desconocida. Un estimador es un solo valor, entonces un enfoque que arroja más información consiste en presentar un intervalo de valores del que se espera que se estime el parámetro de la población. Dicho intervalo de valores recibe el nombre de intervalo de confianza. El objetivo de la Inferencia Estadística es hacer afirmaciones sobre una característica dada de una población, en el cual estamos interesados, a partir de informaciones obtenidas de una parte de esa población (muestra). Los problemas más importantes de este proceso son: Estimación de Parámetros y Prueba de Hipótesis. Estimación de Parámetros puede ser puntual o por intervalo. En el primer caso, la estimación del parámetro es un número, mientras que en el segundo caso la estimación incluye un intervalo en el que están incluidos los valores de los parámetros.
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Estimación Puntual e intervalo de Confianza
CAPÍTULO 1 ESTIMACION PUNTUAL DE PARAMETROS 1.1.- ESTIMACION PUNTUAL DE PARAMETROS Parámetros: Son medidas descriptivas que caracterizan a la distribución de la población.
Ejemplos: Media Poblacional:
μ
Varianza Poblacional:
σ2
Proporción Poblacional: p
Estadística o Estadígrafo: Es cualquier función de las variables aleatorias que constituyen la muestra.
Ejemplo: Media Muestral: n
x
i
X
i 1
n
Varianza Muestral: n
2
S
2
( X i X ) i 1
n 1
Proporción Muestral: n
P
x
i
i 1
n
Estimación Puntual: La estimación estadística consiste en utilizar datos muéstrales para determinar los valores de parámetros desconocidos de una Página 5
Estimación Puntual e intervalo de Confianza población. Un estimador puntual es un valor que se usa para estimar un valor poblacional. No toda función de la muestra es un buen estimador del parámetro, un buen estimador, es aquel que está más cerca del parámetro que se estima. Para que un estimador puntual sea bueno debe tener ciertas propiedades, una de las propiedades es que sea insesgado, propiedad conocida también como nosesgado, imparcial o sin vicio. Las otras propiedades son: consistente, eficiente y suficiente.
Estimaciones Puntuales: Estimador puntual de la media poblacional x es un estimador de la u
Estimador Puntual de la Varianza 2
S
2
es un estimador de la
Estimador Puntual de la Desviación Estándar Poblacional S es un estimador de la
Estimador puntual de la media poblacional
p es un estimador de la p Ejemplo: De una población se toma una muestra de 50 ejecutivos y se les pregunta ¿cuántas horas trabajaron la semana pasada?. Se calcula la media en esta muestra y se utiliza el valor de la media muestral como una estimación puntual de la media poblacional que no se conoce.
Ejemplo: Supóngase que la secretaria de turismo de Barbados desea estimar la cantidad media que gasta un turista durante su estancia en ese país. Como sería imposible de entrevistar a cada uno de los viajeros, se toma una muestra aleatoria Página 6
Estimación Puntual e intervalo de Confianza de 500 turistas, en el momento que abandona la isla y se les pregunta la cantidad que gastaron durante su estancia. La cantidad media gastada por los 500 turistas es una estimación del parámetro poblacional. Es decir consideramos a la media muestral como una estimación de u, la media poblacional
1.2.- CRITERIOS PARA SELECCIONAR UN ESTIMADOR Consistente: La varianza del estimador tiende a cero cuando el tamaño de muestra tiende al infinito. Entonces si al aumentar n, el estimador se aproxima al parámetro.
Eficiencia: Proporciona menor error estándar que otros estimadores. Por ejemplo, si hay dos o más estimadores puntuales insesgado de un parámetro, se denomina estimador más eficiente a aquel estimador que tenga menor varianza.
Suficiente: Utiliza mayor cantidad de información contenida en la muestra que otro estimador.
Insesgado (o imparcial): Si el estimador tiende a tomar valores por encima y por debajo del parámetro que estima, con la misma frecuencia. Por ejemplo, la media muestral es un estimador insesgado de la media poblacional. La varianza muestral también es un estimador insesgado de la varianza poblacional.
NOTA: Pero una estimación puntual no da mucha información. Como se espera que la estimación puntual esté cerca del parámetro poblacional, sería deseable saber que tan cerca está en realidad. El intervalo de confianza cumple con este propósito.
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Estimación Puntual e intervalo de Confianza CAPÍTULO 2 INTERVALO DE CONFIANZA 2.1.- INTERVALO DE CONFIANZA: Es un conjunto de valores obtenido a partir de los datos muéstrales en el que hay una determinada probabilidad de que se encuentre el parámetro. A esta probabilidad se le conoce como nivel de confianza (1 - α).
Nivel de Confianza: Probabilidad que asociamos con una estimación del intervalo. Se representa con (1 - α). Los niveles más utilizados son 0.95 0.99 y 0.90; y su elección depende del investigador. La precisión de un estimador puede evaluarse en una muestra, construyendo intervalos de tal manera que podamos establecer el grado de confianza de que tal intervalo incluya dentro de sus límites al parámetro que se está estimando. En virtud de este planteamiento dichos intervalos reciben el nombre de intervalos de confianza. En la práctica cuando construimos un intervalo de confianza para estimar el parámetro poblacional, el valor de este puede caer o no dentro del intervalo. Sin embargo tenemos un nivel de confianza de 1-α que si caerá. Obviamente, si hemos construido un intervalo de confianza de 95%, diremos que la probabilidad (confianza) es 0.95 de que el intervalo incluirá al parámetro que se estima. Los hechos que determinan la amplitud de un intervalo de confianza son:
El tamaño de la muestra, n
La variabilidad de la población normalmente estimada por s.
El nivel de confianza deseado.
Ejemplo: Se estima que en una determinada región el ingreso anual medio de los trabajadores de la construcción es $65000. El intervalo de esta estimación puede ser de $61000 a $69000. Se puede indicar que tan seguro se está, de que el
Página 8
Estimación Puntual e intervalo de Confianza parámetro poblacional se encuentre en este intervalo dando una probabilidad. Se puede indicar por ejemplo que se tiene una seguridad de 90% de que el salario anual medio de los trabajadores de la construcción en esa región esté entre $61000 y $69000.
2.2.- INTERVALO DE CONFIANZA PARA LA MEDIA POBLACIONAL (μ) DE UNA POBLACION NORMAL CON VARIANZA POBLACIONAL CONOCIDA (σ2) Definición 1: Sea X1, X2, …, Xn muestra aleatoria extraída de una población normal N(u, σ2) con varianza σ2 conocida; entonces un intervalo de confianza de longitud mínima para u con coeficiente de confianza γ = 1- α es dado por:
I X z / 2
n
DEFINICION 2: Sea X1, X2, …, Xn
, X z / 2
n
una muestra aleatoria extraída de una
población normal N(u, σ2) con varianza σ2 conocida. Se sabe que: 2
X N (u,
Q
X u 2
n
n
)
X u
N (0, 1)
n
Q es una cantidad pivotal. Supongamos que para γ = 1- α fijo (0 < α < 1) existen números reales q 1 y q2 tal que. P [q1
Q q2 ] 1
Siendo la función de densidad de Q simétrica en torno a cero, el intervalo de confianza de longitud mínima se obtendrá cuando q1 = -q2 Página 9
Estimación Puntual e intervalo de Confianza
f (q )
2
2
q1
0
q2
q2
Por simetría de la distribución normal, la abscisa q2 deja a su derecha un área que representa una probabilidad igual a α/2 y se denota por: q 2 = Zα/2
f (q )
1
2
q1
2
0
z / 2
q2
z / 2
Observaciones:
La longitud del intervalo de confianza para u es: L
2 z
/ 2
n
Como el tamaño de muestra aparece en el denominador, entonces muestras grandes darán intervalos de confianza de longitud más corto, por lo tanto más precisos.
Si se conoce la longitud L del intervalo, el tamaño de muestra será determinado por:
2 z / 2 n L
2
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Estimación Puntual e intervalo de Confianza
El intervalo de confianza para u con coeficiente de confianza γ = 1- α proporciona una estimación de la exactitud del estimador puntual embargo en la mayoría de las veces
X
. Sin
no es exactamente igual a u, es
X
decir hay un error de estimación. El tamaño del error de estimación dado por
e
X
puede tener una confianza de γ = 1- α, de que tal diferencia
u
será menor que
z
/
2
n
error
X
z
/2
u
X z / 2
X
n
n
Así, si se desea conocer que tan grande deberá ser el tamaño de la muestra para asegurar que el error al estimar u sea menor que una cantidad específica e, debemos escoger n de modo que: z
/
2
e
n
Por tanto si se utiliza
X
como estimador de u, se puede tener confianza de γ = 1-
α de que el error será mayor que una cantidad especificada e, cuando el tamaño
de muestra es dado por:
z n
/2 e
2
( z
/2
) 2 2
e
2
Elección de un Tamaño de Muestra: El tamaño necesario de la muestra depende de tres factores: •
El nivel de confianza deseado
•
El margen de error que el investigador está dispuesto a tolerar. Página 11
Estimación Puntual e intervalo de Confianza
•
La variabilidad de la población que se estudia.
Nivel de Confianza: Los investigadores eligen el nivel de confianza, los más usados son: 0.95 (z = 1.96) y 0.99 (z = 2.58). Entre mayor sea el nivel de confianza mayor será el tamaño de la muestra.
Ejemplo: En un estudio de mercado, se realizó una encuesta a 400 familias calculando un gasto medio anual en zapatos de S/. 740 por familia. La desviación estándar poblacional fue S/. 400. Construya e intérprete un intervalo de confianza al 0.95 de la estimación del gasto medio anual de zapatos por familia en esa ciudad.
Solución: u: Gasto medio anual de zapatos n
Hallamos
/
400 1
X
0.95
740
400
0.05
2
0.025
, usando la tabla normal:
P ( z z
P ( z
/2
) 0.5 P ( z z / 2) 0.025
z / 2) 0.475
Tambien :
z
0.475
1
0.95
2 2 El intervalo de confianza para u es: I
I I
X z / 2
740 1.96
700.80
n
,
/ 2
1.96
z
X z / 2
400 400
,
/ 2
1.96
n
740 1.96
400 400
779.20
Interpretación: Hay 95% de confianza que el gasto medio anual de zapatos por familia en esa ciudad (u) se encuentre entre $700.8 y $779.2.
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Estimación Puntual e intervalo de Confianza Ejemplo: Un estudiante de administración pública quiere determinar el ingreso medio mensual de los miembros del consejo ciudadano de una ciudad grande. El error al estimar la media debe ser inferior a $100 con un nivel de confianza de 0.95. El estudiante encontró un informe de la secretaría del trabajo en el que se estimó que la desviación estándar era de $1000. ¿De qué tamaño deberá ser la muestra?
Solución: E = $100 y el valor de z para un nivel de confianza de 95% es zα/2 = 1.96 El valor estimado de la desviación estándar es $1000 2
2
z / 2 s 1.96(1000) 2 n (19.6) 384.16 e 100
OBSERVACION: Cuando la población es finita de tamaño N y el tamaño de la muestra constituye más del 5% del tamaño de la población, se debe usar el factor de corrección de población finita para modificar las desviaciones estándar de las formulas. Así, el intervalo de confianza para u con coeficiente de confianza γ=1-α es dado por: I X z / 2
N n
n
N 1
,
X z / 2
N n
n
N 1
En este caso el tamaño de muestra para que el error de muestreo sea menor que una cantidad específica e es dado por:
( z / 2 ) 2 2 N
n
e
z / 2
( z / 2 ) 2 2 e 2 ( N 1) n
N n N 1
Ejemplo: La asistencia a un juego de beisbol la noche anterior fue de 400 personas. En una muestra aleatoria de 50 personas tomada desea población se encontró que el consumo medio de refrescos por persona había sido 1.86 Página 13
Estimación Puntual e intervalo de Confianza refrescos, con una desviación media de 0.50. Determine un intervalo de confianza de 99% para el número medio de refresco consumidos por persona.
Solución: u: Consumo medio de refrescos
400, 50, ̅ 1.86, 0.50, 1−0.99→ 1−2 0.495( )→/ 2.575
Hallamos zα/2 en la tabla normal:
I X z
/2
N n
n
N 1
,
X z
/2
N n
n
N 1
00−50 , 1.86−2.575 0.√ 5500 4400−1 00−50 〉 〈1.86−2.575 0.√ 5500 4400−1 〈1.6895, 2.0305〉
Interpretación: El consumo promedio de refrescos por persona se encuentra entre $1.6895 y $2.0305 con una de confianza de 95%.
2.3.- INTERVALO DE CONFIANZA PARA LA MEDIA POBLACIONAL (μ) DE UNA POBLACION NORMAL CON VARIANZA DESCONOCIDA (σ2) Sea X1, X2, …, Xn una muestra aleatoria de una población N(u, σ 2), donde la varianza poblacional σ2 es desconocida, se presentan tres casos para encontrar un intervalo de confianza:
CASO I: MUESTRAS DE TAMAÑO n ≤ 30 El intervalo de confianza para u con un nivel de confianza 1- α para varianza desconocida es: I X t / 2, ( n 1)
S n
,
X t / 2, ( n 1)
S n
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Estimación Puntual e intervalo de Confianza
Por simetría, la abscisa
q2 deja a su derecha un área que representa una probabilidad igual a α/2 y se denota por: q2 t / 2, (n 1)
f (q )
1
2
2
q1
0
t / 2, (n 1)
q2
t
/ 2,
(n 1)
Donde es igual al valor de abscisa de la distribución T-student con n-1 grados de libertad que deja a su derecha un área que representa una probabilidad igual a α/2.
Ejemplo: El dueño de una granja quiere estimar el número medio de huevos puestos por una gallina. En una muestra de 20 gallinas se encontró una media de 20 huevos por mes con una desviación estándar de 2 huevos por mes. Determine un intervalo de confianza de 90% para la media poblacional.
Solución: u: número medio de huevos puestos por una gallina
̅ ( 20, 2, 1−0. 20, 9 5 1−0. 9 0→0. 1 0 )→(−1)(19)1.729 I X t / 2, ( n 1)
S n
,
X t / 2, ( n 1)
S n
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Estimación Puntual e intervalo de Confianza
〈20−1.729 √ 220 , 20+1.729 √ 220〉 〈19.2268, 20.7732〉
Interpretación: El número medio de huevos puestos por una gallina se encuentra dentro del intervalo con una confianza de 90%.
Ejemplo: Las cajas de un cereal producidos en una fabrica deben tener un contenido de 16 onzas. Un inspector tomo una muestra que arrojó los siguientes pesos en onzas: 15.7, 15.7, 16.3, 15.8, 16.1, 15.9, 16.2, 15.9, 15.8, 15.66 Indicar si es razonable que el inspector, usando un coeficiente de confianza de 95% ordene que se multe al fabricante.
Solución: X
P (T
15.906
S
t / 2)
I X t / 2 , ( n 1)
0.22292,
2 S n
1
0.95,
0.05,
2
0.025
0.025 0.05 t / 2, (9) 2.262
,
X t / 2 , ( n 1)
0.22292
I
15.906 2.262
I
15.74654, 16.06546
10
S
n
, 15.906 2.262
0.22292 10
Es posible que el inspector no multe al fabricante, por que el contenido es de 16 onzas y este se encuentra en el intervalo.
CASO II: MUESTRAS DE TAMAÑO n>30 Se sabe que para n>30 la distribución de t-student se aproxima a la distribución N(0, 1). Entonces el intervalo de confianza con coeficiente de confianza γ=1-α para la media u de una población normal de varianza desconocida y muestras grandes es: I X z / 2
S n
, X z / 2
S n
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Estimación Puntual e intervalo de Confianza
Tamaño de Muestra:
n
z / 2 S
e
2
OBSERVACION: Cuando la población es finita de tamaño N y el tamaño de la muestra constituye más del 5% del tamaño de la población, se debe usar el factor de corrección de población finita para modificar las desviaciones estándar de las formulas. Así, el intervalo de confianza para u con coeficiente de confianza γ = 1α de una distribución normal de varianza desconocida y muestras grandes es: I X z
/2
S
N n
n
N 1
, X z / 2
S
N n
n
N 1
Tamaño de Muestra:
( z / 2 ) 2 S 2 N
n
e
z / 2
( z / 2 ) 2 S 2 e 2 ( N 1) S
N n
n
N 1
Error Estándar de la Media Muestral:
Si
σ
no es conocido y
n ≥
30, la desviación estándar de la muestra,
designada S, se aproxima a la desviación estándar de la población.
La fórmula para el error estándar es:
s s
x
n
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Estimación Puntual e intervalo de Confianza
Si la desviación estándar es grande entonces el error estándar también lo será.
El error estándar también se ve afectado por el tamaño de muestra.
Conforme aumenta el tamaño de muestra, el error estándar disminuye, indicando esto que hay menos variabilidad en la distribución muestral de la media muestral.
Una estimación obtenida de una muestra grande será más precisa que una estimación obtenida de una muestra pequeña
Ejemplo: Se quiere conocer la permanencia media de horas extras por semana de empleados en una Compañía Textil, con el fin de estudiar un posible aumento de empleados. Se tiene datos referidos a la permanencia, expresados en horas de 600 empleados, obteniéndose los siguientes resultados: X
12.3 horas
S
8 horas
Hallar un intervalo de confianza de 95% para la permanencia media.
Solución: u: Permanencia media de horas extras Muestra grande: n = 600 X
z / 2
12.3 horas
0.05,
S
2
8 horas
0.025,
n
1
0.95,
600
1.96
El intervalo de confianza de 95% es: I X z
S /2
I 12.3 1.96
n
, X z
8 600
S /2
n
, 12.3 1.96
8 600
I 11.6599, 12.9401
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Estimación Puntual e intervalo de Confianza Interpretación: Al nivel de confianza de 95%, el empleado permanece en promedio de 11.65 horas y 12.94 horas semanales. Por lo menos se aumentan un promedio de 100 empleados.
2.4.- INTERVALO DE CONFIANZA PARA UNA PROPORCION POBLACIONAL Sea X1, X 2, …, Xn una muestra aleatoria de una población Bernoulli de parámetro p. El estimador máximo verosímil de p es: n
p
X i i 1
n
Numero de exito en la muestra n
Para n suficientemente grande n>30, se sabe que:
Q
p
p
N (0, 1)
p (1 p)
n
Q es una cantidad pivotal, así para γ = 1- α fijo (0 < α < 1) existen números reales. Donde
z / 2
es el valor de la abscisa de la distribución N(0, 1) que deja a su
derecha un área que representa una probabilidad igual a α/2
P z 2
Q z / 2 1
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Estimación Puntual e intervalo de Confianza
f (q )
1
2
2
q1
0
z
/ 2
q2
z
/ 2
Por tanto el intervalo de confianza del (1- α)100% para el parámetro p es aproximadamente dado por:
p
z
p (1 p
I
/2
n
p (1 p
,
p
z
/2
n
Si se utiliza
p
como estimador de p puede tener una confianza de γ = 1- α de
que el error de estimación sea menor que una cantidad especificada e, cuando el tamaño de muestra es dado por:
n
( z / 2 )
2
p (1 p e2
OBSERVACION: Cuando el muestreo se hace sin remplazamiento en una población finita de tamaño N y el tamaño de la muestra constituye más del 5% del tamaño de la población, se debe usar el factor de corrección de población finita para modificar las desviaciones estándar de las formulas. Así, el intervalo de confianza para el parámetro p con coeficiente de confianza γ = 1- α es dado por:
I
p z / 2
p (1 p) N n n
, 1 N
p z / 2
p (1 p) N n n
1 N Página 20
Estimación Puntual e intervalo de Confianza
Cuando la población es finita de tamaño N, se puede tener una confianza de γ=1-α de que el error de estimación sea menor que una cantidad especificada e, cuando el tamaño de la muestra es dado por:
( z
n
/2
)
2
p (1 p) N
( z
/2
)
2
p (1 p)
e z
2
e ( N 1)
p (1 p)
N n
n
N 1
/2
Ejemplo: El sindicato de una empresa A esta considerando una propuesta de fusionarse con otro sindicato. De acuerdo con los estatutos del sindicato de la empresa A, es necesario que por lo menos tres cuartas partes de los miembros del sindicato aprueben la fusión. En una muestra aleatoria de 2000 miembros del sindicato, se tiene que 1600 están a favor de la fusión. a) ¿Cuál es el valor estimado de la proporción poblacional? b) Determine un intervalo de confianza de 95% para la proporción poblacional c) Interprete los resultados
Solución: a) El valor estimado de la proporción poblacional es:
1600
p 2000 0.80, 1 p 0.20 b) Determine un intervalo de confianza de 95% para la proporción poblacional El valor de z para el nivel de confianza de 95% es z α/2 =1.96
n
2000, p 0.80, 1
p
0.20, z / 2 1.96 Página 21
Estimación Puntual e intervalo de Confianza El intervalo de confianza para un nivel de confianza del 95% es:
p: Proporción de miembros de la empresa A que desean fusionarse
p
I
z
p (1 p)
/2
n
I 0.80 1.96 I 0.782,
,
p
0.80(1 0.80) 2000
z
p (1 p)
/2
n
, 0.80 1.96
0.80(1 0.80) 2000
0.818
c) Interpretación: El extremo inferior es mayor que 0.75, por tanto se concluye que se aceptara la propuesta.
Ejemplo: En una encuesta de opinión, 320 de un total de 400 personas entrevistadas se declararon a favor del candidato GG a la presidencia de la república.
a) Hallar un intervalo de confianza, al nivel de 95%, para estimar la proporción p de todas las personas que están a favor del candidato GG.
n
400,
320
p
400
1 p
0.80,
0.20, z / 2 1.96
El intervalo al nivel de confianza de 95% es:
p: Proporción de personas que se declararon a favor del candidato GG
I
p z
/ 2
n
I 0.80 1.96 I 0.7608,
p (1 p) ,
p z
0.80(1 0.80) 400
/ 2
,
p (1 p) n
0.80 1.96
0.80(1 0.80) 400
0.8392
Página 22
Estimación Puntual e intervalo de Confianza b) Interpretación: Se espera que la proporción de los que votan por GG esté entre 76.08% y 83.92%
2.5.- INTERVALO DE CONFIANZA PARA DIFERENCIA DE PROPORCIONES POBLACIONALES Sean X1, X2, …, Xn1 muestra aleatoria extraída de una población Bernoulli B(1, p1) y Y1, Y2, …, Yn2 muestra aleatoria extraída de una población Bernoulli B(1, p 2). Supongamos que las poblaciones son independientes. Denotemos las proporciones muéstrales de cada muestra por:
n1
p1
X i i 1
n1
Numero de exito en la muestra 1 n1
n2
p2
Y j j 1
n2
Numero de exito en la muestra 2 n2
El estimador puntual de la diferencia entre dos proporciones poblacionales p 1 y p 2
es
p1 p2
que es la diferencia entre dos proporciones muéstrales calculadas a
partir de dos muestras aleatorias independientes tomadas de las dos poblaciones Para n1 y n2 grande se tiene: p p p1 p2 1 2 Q N (0, 1)
p q p q 1
n1
1
2
2
n2
Página 23
Estimación Puntual e intervalo de Confianza
f (q )
1
2
q1
2
z
/
0
2
q2
z / 2
Por tanto el intervalo de confianza del (1- α)100% para la diferencia de proporciones p1 - p2 es aproximadamente dado por: I p p z / 2 1 2
p q p q 1
1
n1
2
2
n2
, p p z / 2 1 2
p q p q 1
1
n1
2
2
n2
Ejemplo: En octubre, 160 personas de una muestra aleatoria de tamaño 400 aprobaron la gestión de un líder político. Dos meses más tarde, en diciembre, la mitad de otra muestra aleatoria de tamaño 500, independiente de la anterior, rechazaba tal gestión. Con un intervalo de confianza del 99%, ¿podemos concluir que dicho líder es aceptado igualmente en diciembre que en octubre?
Solución: p1 - p2: Diferencias de proporciones que aprobaron la gestión en octubre y diciembre.
400, 500, ̂ 160400 0.40, ̂ 250500 0.50 , 1−0.99 1−0.99→ 1−2 0.495( )→/ 2.575
Hallamos zα/2
I p p z / 2 1 2
p q p q 1
n1
1
2
n2
2
, p p z / 2 1 2
p q p q 1
n1
1
2
2
n2
Página 24
Estimación Puntual e intervalo de Confianza
(0.40−0.50) ∓2.575 0.40(0.40060) + 0.50(0.50050) 〈−0.1854, −0.0146 〉
Interpretación: Como el intervalo no cubre al cero entonces, no es aceptado; con una confianza de 99% existen diferencias entre las proporciones de personas de octubre y diciembre, se deduce que la proporción de personas que aprobaron la gestión en octubre es menor que la proporción de persona que aprobaron la gestión en diciembre.
Ejemplo: La asamblea universitaria de la Universidad de Lima desea determinar la opinión de los estudiantes y catedráticos en relación al calendario académico propuesto para el año siguiente. Una muestra aleatoria de 100 estudiantes y 50 catedráticos dio los siguientes resultados.
OPINION Favorecen
al
calendario
propuesto
ESTUDIANTES
CATEDRATICOS
63
30
37
20
Se opone al calendario ¿Hay prueba de una diferencia en la actitud hacia el calendario académico propuesto entre los dos grupos?
Solución: Sea p1 y p2 las proporciones reales de los estudiantes y catedráticos favorables al calendario académico propuesto.
63
30
p1 100 0.63, p2 50 0.60 Para 1 0.95,
2
0.025
P ( Z z / 2 ) 0.025
0.5 P ( Z z / 2 ) 0.025 P ( Z z / 2 ) 0.475 z / 2
1.96
Página 25
Estimación Puntual e intervalo de Confianza
Por tanto el intervalo de confianza de 95% para p 1 - p2 es:
I p p z / 2
I
1
2
0.63 0.60 1.96
I 0.135424
p1 q1 p 2 q 2
n1
n2
0.63(0.37) 100
, p p z / 2
0.6(0.4) 50
1
,
2
p1 q1 p 2 q 2 n1
0.63 0.60 1.96
n2
0.63(0.37) 100
0.6(0.4) 50
, 0.195424
Interpretación: Como el intervalo cubre el cero, entonces podemos decir que no hay evidencia de una diferencia en la actitud hacia el calendario académico propuesto entre los dos grupos.
2.6.- INTERVALO DE CONFIANZA PARA LA VARIANZA DE UNA POBLACION NORMAL Sea X1, X2, …,Xn una muestra aleatoria de una población N(u, σ 2) donde u y la varianza σ2 son desconocidas. 2
_ X i x 2 2 (n 1) S i 1 Q 2 2 n
( n 1)
f (q)
1
2
0
2 2
q1 1
2 / 2
q2 / 2
Página 26
Estimación Puntual e intervalo de Confianza
Q es una cantidad pivotal. Así para γ = 1- α fijo:
P q Q q 1
2
2 2 (n 1) S 2 P 1 / 2, ( n1) / 2, ( n 1) 1 2
la desigualda d de la cantidad pivotal es : 2 2 (n 1) S 2 / 2, ( n 1) 1 / 2, ( n1) 2
es invertido en la forma : (n 1) S 2 2
2
/ 2, ( n 1)
(n 1) S 2 2
1 / 2, ( n 1)
Por lo tanto el intervalo de confianza con coeficiente de confianza γ =1- α para la varianza de una población normal es dado por: 2
(n 1)S 2
2
(n 1)S
,
2
/ 2, ( n1)
1 / 2, ( n1)
También un intervalo de confianza con coeficiente de confianza γ = 1- α para la desviación estándar de una población normal es dado por:
(n 1)S 2 2
(n 1)S 2
,
2
/ 2 , ( n 1)
1 / 2, ( n 1)
Observación: Si el grado de libertad n>30 de una distribución siguientes aproximaciones para calcular: 2 1 / 2 , ( n 1) z / 2 2n 1 2 2 1 2 1 / 2 , ( n 1) z / 2 2n 1 2 2
usaremos las
Página 27
Estimación Puntual e intervalo de Confianza
Donde
es la abscisa de una distribución N(0, 1) que deja a su derecha un
z
/ 2
área que representa una probabilidad igual a α/2
Ejemplo: Los siguientes números son las notas de 15 estudiantes del curso de Estadística Aplicada II 13, 08, 10, 12, 15, 07, 16, 09, 14, 11, 08, 11, 17, 13, 11 Suponiendo que la población de notas esta normalmente distribuida, construir el intervalo de confianza de 95% para la varianza
Solución: σ2: Variabilidad de las notas de todos los estudiantes Haciendo cálculo obtenemos: X
2
11.66667,
S
9.09524
También tenemos:
1
0.95,
0.025,
2 Usando la tabla obtenemos : 2 0.025, (14)
(n
26.119 4.875124,
2
26.119 y 2 0.975, (14)
( n 1) S 2 , 2 / 2, (n 1) 14(9.09524)
1
,
2 1
0.975
5.629
1) S 2
/ 2,
(n
1)
14(9.09524) 5.629
22.62096
Interpretación: La variabilidad de las notas del curso de Estadística se encuentran entre 4.88 y 22.62. Página 28
Estimación Puntual e intervalo de Confianza
2.7.- INTERVALO DE CONFIANZA PARA DIFERENCIA DE MEDIAS DE DOS POBLACIONES NORMALES INDEPENDIENTES CON AMBAS VARIANZAS CONOCIDAS (σ12 y σ22) DEFINICIÓN: Sean X1, X2, …, Xn1 una muestra aleatoria extraída de una población normal N(u1 σ12 ) y Y1, Y2, …, Yn2 una muestra aleatoria extraída de una población normal N(u2 σ22 ) donde σ12 y σ22 son conocidas. Supongamos que las poblaciones son independientes. n
n
1
X i i 1
X 1
n1
Q
y
X 2
(u1 u2 ,
X 1 X 2
Entonces:
2
N
2 1
n1
i 1
n2
n1
2 2
2 2
( X 1 X 2 ) (u1 u2 ) 2 1
Y i
n2
)
N (0, 1)
n2
Q es una cantidad pivotal, así para γ = 1- α fijo (0 < α < 1) existen números reales P z 2
Q z / 2 1
1
2
2
q1
z / 2
q2
z / 2
Página 29
Estimación Puntual e intervalo de Confianza Por lo tanto, invirtiendo la cantidad pivotal, obtenemos el siguiente intervalo de confianza para la diferencia de medias I
u1
( X 1 X 2 ) z
u
2
2
2 1
/2
2
con 1 y 2
n1
conocidas:
2 2
n2
Ejemplo: Una muestra aleatoria de tamaño 36 es seleccionado de una población N(u1 ,9) donde
X
70 .
Otra muestra de tamaño 25 es seleccionada de otra
población N(u1 ,16), donde la para
u
1
u
X
60.
Construir un intervalo con 96% de confianza
2
Solución:
2
1
9,
1
X 1
70,
0.96,
El intervalo de confianza para
n1
2 u
1
u
2 1
I
( X 1 X 2 ) z
I
10 2.054
I
8.06226, 11.93774
9 36
2
/2
n1
16 25
36,
0.02
2
2
16,
z / 2
X 2
60,
n2
25
2.054
con 96% de confianza.
2 2
n2
, 10 2.054
9 36
16 25
Interpretación: Hay diferencias en los promedios poblacionales, se deduce que el promedio de la primera muestra es mayor que el promedio de la segunda muestra.
2.8.- INTERVALO DE CONFIANZA PARA LA DIFERENCIA ENTRE MEDIAS DE DOS POBLACIONES NORMALES CON VARIANZAS POBLACIONALES σ12 y σ22 DESCONOCIDAS
DEFINICIÓN: Sean X1, X2, …, Xn1 una muestra aleatoria extraída de una población N(u1, σ12) y Y1, Y2, …, Yn2 una muestra aleatoria extraída de una población N(u2, σ22) donde σ12 y σ22 son desconocidas. Para las muestras tenemos sus respectivas medias y varianzas muéstrales: Página 30
Estimación Puntual e intervalo de Confianza
n1
n1
X
( X X 1 )
i
i
2
i 1
X 1
S 1
n1
n2
n1 1
(Y X 2 )
i
2
i
2
i 1
i 1
n2
Y X 2
2
S 2
n2
i 1
n2 1
CASO I: INTERVALO DE CONFIANZA PARA DIFERENCIA DE MEDIAS CON VARIANZAS DESCONOCIDAS MUESTRAS GRANDES: n1 + n2 >30 2
S 1
( X 1 X 2 ) z / 2
I
n1
2
S 2
n2
Ejemplo: En una discusión sobre reajuste salarial entre empresarios y el sindicato de los empleados se llego a un impase. Los empresarios afirman que el salario medio de la categoría es de 7.6 salarios mínimos (SM), y los empleados dicen que es de 6.5 SM. Para eliminar dudas, cada uno de los grupos resolvió seleccionar muestras independientes. Los empresarios con una muestra de 90 empleados, observaron un salario medio de 7.0 SM, con una desviación estándar de 2.9 SM. El sindicato, con 60 empleados obtuvo una media de 7.1 SM y una desviación estándar de 2.4 SM. ¿Las muestras obtenidas justifican las respectivas afirmaciones de los dos grupos?
Solución: Se definen los parámetros:
u1: Salario medio obtenido por los empresarios u2: Salario medio obtenido por el sindicato. Empresario s : S 12 Sindicato : S 22
8.41, X 1 7,
5.76, X 2
1 0.95,
2
7.1,
n1 90 n2
60 Página 31
0.025 z / 2
1.96
Estimación Puntual e intervalo de Confianza
Varianzas desconocidas y tamaños muéstrales grandes n 1 + n2 =150>30, entonces la fórmula del intervalo de confianza para u 1 – u2 es: 2
I
( X 1 X 2 ) z / 2
I
(7 7.1) 1.96
I 0.953094,
S 1
n1
8.41 90
2
S 2
n2
5.76 60
0.753094
El intervalo cubre el cero, por lo tanto los datos muéstrales indican que el salario promedio sostenido por ambos grupos son iguales.
CASO II: INTERVALO DE CONFIANZA PARA DIFERENCIA DE MEDIAS CON VARIANZAS DESCONOCIDAS PERO IGUALES σ12 = σ22 = σ2 MUESTRAS PEQUEÑAS: n1 + n2 ≤ 30 S2 es un estimador puntual de la varianza σ2 desconocida: S p2
(n
1
2
1) S 1 (n
2
n n 1
Entonces: Q
2
2
1) S 2
2
( X 1 X 2 ) (u1 u2 ) 1 2 1 S p n1 n2
t (
n1 n2 2 )
Q es una cantidad pivotal, así para γ = 1 - α fijo (0 < α < 1) P t / 2
Q t / 2 1
Página 32
Estimación Puntual e intervalo de Confianza
1
2
q1
2
t
q2
/ 2
t
/ 2
Por lo tanto, obtenemos el siguiente intervalo de confianza para la diferencia de medias
u1
u
2
2
2
con 1 y 2
desconocidas, con coeficiente de confianza de γ = 1- α:
1 1 S n1 n2
I ( X 1 X 2 ) t / 2
2 p
S p2
(n
1
2
1) S 1 (n
2
n n 1
2
2
1) S 2
2
Ejemplo: Una compañía está tratando decidir cuál de los dos tipos de neumáticos va comprar. Es deseo del directorio de la compañía comprar los neumáticos de marca G a menos que haya una evidencia de que la marca F resulte mejor. Se hace un experimento en el que se utilizan 12 neumáticos de cada marca. Los resultados obtenidos fueron: Marca F : X 1 Marca G : X 2
40000 km,
S 1
5000 km
39000 km,
S 1
3000 km
¿Qué marca de neumático decidirá comprar la compañía?
Solución: Varianzas poblacionales desconocidas, tamaño de muestra pequeña. Para la construcción de intervalo de confianza para diferencia de medias, primero
Página 33
Estimación Puntual e intervalo de Confianza se determina si las varianzas poblacionales son iguales o distintas, mediante el
intervalo de confianza para la razón de varianzas
2
:
1
2
2
2
2
1
S 1
2 S 2
S 1
,
F / 2, ( n 1,
2 S 2
n2 1)
1
F / 2, ( n
2 1,
n1 1)
Tenemos los siguientes datos:
1
F / 2, ( n F 1
2
0.95,
1, n1 1)
0.05,
F 0.025, (11, 11)
2 3.56
1 / 2 , ( n2
1, n1 1)
F 0.025, (11, 11)
0.025,
1 3.56
Luego el intervalo de confianza para
n1
1 11,
n2
1 11
0.280899
2
1
2
2
S 12
1
,
2 2
S F / 2, ( n11, (5000) 2 (3000)
2
S 12 2 2
S
n2 1)
(0.280899),
0.780276,
F / 2, ( n2 1,
(5000) 2 (3000)
2
n1 1)
(3.56)
9.888897
Como el intervalo cubre el punto 1, entonces podemos afirmar que las varianzas son iguales. Afirmamos que las varianzas son iguales, entonces para hallar el intervalo de confianza de diferencia de medias, necesitamos los siguientes resultados: 1
0.95,
0.05,
2
0.025
t / 2, ( n1 n2 2 ) t / 2, ( 22) 2.074 2
2 p
S
1
1
1
S p 17000000 2
2
(n 1) S (n 1) S n n 2 2
2
2
11(5000) 2 11(3000) 2 22
Página 34
Estimación Puntual e intervalo de Confianza
El intervalo de confianza a un 95% para I ( X 1 X 2 ) t
1
/2
S p2
n1
I 1000 2.074(1683.2508), I 2491.0622,
u
1
u es: 2
1
n2
1000 2.074(1683.2508)
4491.0622
Observamos que este intervalo cubre el cero, lo cual nos indica que no hay evidencia de que la marca F resulte mejor, pues
u
1
u
2
. Luego, la compañía
posiblemente decida comprar los neumáticos de marca G.
CASO III: INTERVALO DE CONFIANZA PARA DIFERENCIA DE MEDIAS CON VARIANZAS DESCONOCIDAS DISTINTAS σ12 ≠ σ22 MUESTRAS PEQUEÑAS: n1 + n2 ≤ 30 Cuando las poblaciones tienen varianzas desconocidas distintas entonces la variable aleatoria:
Q
( X 1 X 2 ) (u1 u2 ) 2 1
S
n1
2 2
S
t ;
g
n2
Donde el grado de libertad g es dado por : 2
S 12 S 22 n n 1 2 2 exp resado en número entero g 2 2 S 12 S 22 n 1 n2 n1 1 n2 1
Página 35
Estimación Puntual e intervalo de Confianza
Entonces: Q
( X 1 X 2 ) (u1 u2 ) 2 1
S
n1
2 2
S
n2
Q es una cantidad pivotal, así para γ = 1 - α reales.
P t / 2, ( g )
t ;
g
Q t / 2, ( g )
fijo (0 < α < 1) existen números
1
1
2
q1
2
t
q2
/ 2 , ( g )
t
/ 2 , ( g )
Por lo tanto, obtenemos el siguiente intervalo de confianza para la diferencia de medias
u1
u
2
2
2
con 1 y 2
desconocidas y distintas con coeficiente de confianza
de γ = 1 - α
I ( X 1 X 2 ) t / 2, ( g )
S 12 n1
S 22 n2
Donde el grado de libertad g es dado por : 2
S 12 S 22 n n 2 g 1 2 2 2 2 2 S 1 S 2 n1 n2 n1 1 n2 1 Página 36
Estimación Puntual e intervalo de Confianza
Ejemplo: Un fabricante de radio está desarrollando un nuevo modelo de radio y para este fin se pueden utilizar dos tipos de esquemas transistorizados. El fabricante selecciona una muestra de esquemas transistorizados del primer tipo de tamaño 13 y otra del segundo tipo de tamaño 15. Los datos muéstrales respecto a la vida de cada esquema son los siguientes: X 1
X 2
1400 h,
S 1
1500 h,
S 2
30 h,
n1
17 h,
n2
13
15
Construir un intervalo de confianza del 90% para la diferencia de vida media de cada tipo de esquema.
Solución: Las varianzas poblacionales son desconocidas y los tamaños muéstrales son pequeños (n1 + n2 =28 < 30). Entonces construimos un intervalo de
confianza para la razón de varianzas
X 2
1400 h,
S 1
1500 h,
S 2
1
30 h,
n1
17 h,
n2
0.90,
2
0.05,
2
para determinar si las varianzas
2
poblacionales son iguales o distintas. X 1
2
1
13
15
n1
1 12,
n2
1 14
Entonces usando la tabla, se encuentra el intervalo para
2
1
2
:
2
F / 2, ( n F 1
2
1, n1 1)
F 0.05 (14, 12)
1
/ 2, ( n2 1, n1 1)
F / 2, ( n
1
S 12 2 2
1
S F / 2, ( n1 1,
1
1, n2 1)
, n2 1)
900 1 , 289 2.53
S 12 2 2
S
F 0.05, (12, 14)
F / 2, ( n2 1,
900 2.64 289
1.2309 , 8.2215
1
2.53
0.395257
n1 1)
Página 37
Estimación Puntual e intervalo de Confianza
Como el intervalo no cubre el uno, entonces las varianzas poblacionales son distintas. Así el intervalo de confianza para u1 –u2 es: 2
S 1
I ( X 1 X 2 ) t / 2, ( g )
n1
2
S 2
n2
Donde el grado de libertad es: 2
2 S 12 S 2 n n 2 1 g 2 2 2 2 2 S 1 S 2 n n 1 2 n1 1 n2 1 2
900 289 13 15 g 2 19 2 2 900 289 13 15 13 1 15 1
Usando la tabla t-student: g 19,
t / 2, ( g )
1 0.90,
t / 2, (19)
2
S 12 n1
I (1400 1500) 1.729 116.2652348
0.05
1.729
I ( X 1 X 2 ) t / 2 , ( g )
I
,
S 22 n2
900 13
289 15
83.7347652
Página 38
Estimación Puntual e intervalo de Confianza
El hecho de que ambos limites sean negativos indica que u1 –u2 < 0, así u 2 > u 1 Es decir, la vida media del esquema 2 es mayor que la vida media del esquema 1
2.9.- INTERVALO DE CONFIANZA PARA LA RAZON DE DOS VARIANZAS POBLACIONALES NORMALES DEFINICIÓN: Sean X1, X2, …, Xn1 muestra aleatoria extraída de una población N(u1,σ12) y Y1, Y2, …, Yn2 una muestra aleatoria extraída de una población N(u 2, σ22), supongamos que las poblaciones son independientes.
n1
X 1
X
i
i 1
n1
n1
S 12
n2
X 2
La estadística
2
S 1
2
S 2
Y i 1
n2
i
( X X ) 1
i
i 1
n1 1 n2
S 22
2
(Y X ) i
i 1
2
2
n2 1
se llama estimador puntual de
2
1
2
2
Un estimador resulta útil cuando hay interés en averiguar las magnitudes comparativas de dos varianzas. En muchas situaciones debemos saber si las varianzas poblacionales son iguales o no. Por ejemplo, dos métodos de enseñanzas pueden arrojar dos poblaciones de estudiantes que son idénticos en cuanto a las calificaciones promedio, pero Página 39
Estimación Puntual e intervalo de Confianza diferente en cuanto a la variabilidad de las calificaciones. Esto significa que con el método que arroja la varianza más grande, se tiene calificaciones menos homogéneas respecto del método del interés. Generalmente se prefiere la homogeneidad que la heterogeneidad Cuando dos varianzas poblacionales
son iguales, su razón es igual a 1. 2
Si la razón entre dos varianzas muéstrales
2
es muy diferente a 1, nos
S 1 y S 2
inclinamos a poner en tela de juicio la igualdad de las correspondientes varianzas poblacionales
2
1
2
y 2
Un intervalo de confianza con un nivel de confianza γ=1-α para la razón
2 S 2 2 S 1
1 F / 2, ( n 1, 2
2 S 2 2 S 1
, n1 1)
2
2
es:
2
1
F / 2, ( n 1, 1
n2 1)
Hallamos:
1
F 1
/
2 , ( n1 1, n2 1)
F / 2, ( n
2
1, n1 1)
Un intervalo de confianza con un nivel de confianza de γ = 1- α para la razón de varianzas
2
1
es:
2
2
2
2
1
S 1
2 S 2
F / 2 , ( n 1, 1
S 1
,
2 S 2
n2 1)
F / 2, ( n 1, 2
n1 1)
Hallamos:
F 1
1
/ 2, ( n2 1, n1 1)
F / 2, ( n
1
1, n2 1)
Ejemplo: Se dividió en dos grupos una clase de Estadística Aplicada de 40 alumnos. Cada grupo utilizo durante un ciclo un método de enseñanza diferente.
n1
19,
2 S 1
280,
n2
21,
2 S 2
200
Página 40
Estimación Puntual e intervalo de Confianza Al final de ciclo los alumnos se sometieron a una misma prueba de rendimiento obteniéndose los siguientes resultados: Suponer que los datos constituyen muestras aleatorias independientes extraídas de poblaciones normalmente distribuidas. ¿Puede afirmarse que la varianzas poblacionales son iguales? 1 – α = 0.90
Solución:
1
0.90,
0.10,
2
0.05,
n
1
1 18,
n
2
1
20
Usando la tabla F se obtiene:
F / 2, ( n
1
F 1
1, n2 1)
F 0.05, (18, 20)
2.15
1
/ 2 , ( n1 1, n2 1)
F 0.95, (18, 20)
F / 2, ( n
2
1, n1 1)
1
1
F 0.05, ( 20, 18)
Por lo tanto el intervalo de confianza para
2.19
0.456621
2
2
2
1
2
S 2
2
1
,
2
S 1 F / 2, ( n 1, 2
200 280
n1 1)
(0.456621) ,
S 2
2
S 1
F / 2 , ( n 1, 1
200 280
n2 1)
(2.15)
0.32616 , 1.5357 Como el intervalo cubre el punto uno esto es 1 se encuentra en el intervalo, entonces podemos afirmar de que presumiblemente las varianzas sean iguales
Página 41
Estimación Puntual e intervalo de Confianza 2.10.- INTERVALO DE CONFIANZA PARA DIFERENCIA DE MEDIAS SI LAS MUESTRAS SON RELACIONADAS Un procedimiento comúnmente utilizado que da como resultado dos muestras relacionadas es la denominada prueba “antes y después”. Las mediciones se hacen sobre la muestra de sujetos tanto antes como después de la introducción de algún fenómeno. Por ejemplo, si se realiza una prueba sobre una nueva dieta utilizando un grupo de individuos, las muestras están formadas por los pesos antes y después de un periodo de prueba.
DEFINICIÓN: Sean X1, X2, …, Xn1 una muestra aleatoria extraída de una población N(u1 σ12 ) y Y1, Y2, …, Y n2 una muestra aleatoria extraída de una población N(u2 σ22 ) de modo que las muestras son relacionadas D
X Y Hallamos D1 , D2 , ......., D n
D
Di i 1
n
n
y
2
S
D
n
2
( Di D) i 1
n 1
CASO I: INTERVALO DE CONFIANZA PARA MUESTRAS RELACIONADAS PEQUEÑAS: n ≤ 30 I D t / 2 (n 1)
S
D
n
CASO II: INTERVALO DE CONFIANZA PARA MUESTRAS RELACIONADAS GRANDES: n > 30 I D z / 2
S
D
n
Ejemplo: Un analista financiero desea saber si ha habido o no un cambio significativo en las utilidades por acción de un periodo a otro entre las empresas más grandes de Lima Metropolitana. Con un 98% de confianza, ¿hay diferencias significativas en las utilidades por acción entre los dos años? Una muestra aleatoria de 10 empresas seleccionadas arrojo los siguientes resultados:
Página 42
Estimación Puntual e intervalo de Confianza Compañía
Año1 (Xi)
Año2 (Yi)
1
4.12
4.79
2
2.85
3.20
3
2.81
3.34
4
3.39
1.94
5
2.03
-2.86
6
4.91
3.69
7
2.28
2.50
8
4.10
4.30
9
6.39
7.16
10
0.52
1.78
Solución: Como para las mismas empresas se determinan las utilidades por acción en los dos años, entonces estamos frente a un problema de datos pareados.
Compañía
Año1 (Xi)
Año2 (Yi)
Di = Yi - Xi
1
4.12
4.79
0.67
2
2.85
3.20
0.35
3
2.81
3.34
0.53
4
3.39
1.94
-1.45
5
2.03
-2.86
-4.89
6
4.91
3.69
-1.22
7
2.28
2.50
0.22
8
4.10
4.30
0.20
9
6.39
7.16
0.77
10
0.52
1.78
1.26
Página 43
Estimación Puntual e intervalo de Confianza Las muestras son pequeñas, por lo tanto usamos la distribución t a un 98% n
D
S
D
Di i 1
n
n
0.356
1.80606
2
S
y
y
D
t
/2
2
( Di D) i 1
n 1
(n 1)
t
/2
3.261852724
(9)
2.821
El intervalo de confianza para la diferencia de medias a un 98% es: I D t / 2 (n 1)
S
D
n
1.80606 0.356 2.821 10
1.96715, 1.25515 No hay diferencias significativas en las utilidades por acción en los dos años
2.11.- APLICACIONES TEMA: Intervalos de Confianza para la Media Poblacional con Varianzas Conocidas y Desconocidas
1.- De una población normal se toma una muestra de 49 observaciones. La media muestral es 55 y la desviación estándar muestral es 10. Determine un intervalo de confianza de 99% para la media poblacional.
2.- Se toma una muestra de 10 observaciones de una población normal, donde la desviación estándar de la población es 5. La media muestral es 20.
a) Determine el error estándar de la media b) Determine el intervalo de confianza de 95% para la media poblacional. 3.- Una empresa dedicada a hacer encuestas realiza una para determinar la cantidad media semanal que gasta en cigarros un fumador. La media en una muestra de 49 fumadores es
̅$20
(dólares)
$5
a) ¿Cuál es la estimación puntual de la media poblacional? Explique b) Usando el nivel de confianza de 95%, determine el intervalo de confianza
para . Explique Página 44
Estimación Puntual e intervalo de Confianza 4.- El dueño de una gasolinera quiere estimar la cantidad media de galones de gasolina que vende a sus clientes. De su registro de ventas toma una muestra aleatoria de 60 ventas, y encuentra que la cantidad media de galones vendidos es 8.60, y la desviación estándar es 2.30 galones.
a) ¿Cuál es la estimación puntual de la población? b) Determine el intervalo de confianza de 99% para la media poblacional e intérprete.
5.- El dueño de una granja quiere estimar el número medio de huevos puestos por una gallina. En una muestra de 20 gallinas se encontró una media de 20 huevos por mes con una desviación estándar de 2 huevos por mes.
a) ¿Cuál es el valor de la media poblacional? ¿Cuál es la mejor estimación de este valor?
b) Explique por qué se necesita usar la distribución t. c) ¿Cuál es el valor de t para un intervalo de confianza de 95%? d) Determine un intervalo de confianza de 95% para la media poblacional. e) ¿Sería razonable concluir que la media poblacional es 21 huevos? ¿y 25 huevos?
6.- Una asociación de productores de azúcar quiere estimar el consumo anual medio de azúcar. En una muestra de 16 personas se encuentra que el consumo medio anual es 60 libras con una desviación media de 20 libras.
a) ¿Cuál es valor de la media poblacional? ¿Cuál es la mejor estimación de este valor?
b) Explique por qué se necesita emplear la distribución t ¿Qué suposición se tiene que hacer?
c) ¿Cuál es el valor t para un intervalo de confianza de 90%? d) Determine un intervalo de confianza de 90% para la media poblacional e) ¿Sería razonable concluir que la media poblacional es 63 libras? 7.-Dos empresas con una gran cantidad de empleados consideran la posibilidad de ofrecer en conjunto el servicio de guardería para los hijos de sus empleados. Página 45
Estimación Puntual e intervalo de Confianza Como parte de su estudio de viabilidad, desean saber el costo semanal medio de los cuidadores de niños. En una muestra de 10 empleados que han contratado a cuidadores para la atención de sus hijos, se encontraron las siguientes cantidades gastadas la semana pasada. $107
$92
$97
$95
$105
$101
$91
$99
$95
$104
Determine un intervalo de confianza de 90% para la media poblacional. Interprete el resultado.
8.-Se estima que la desviación estándar de una población es 10. Se quiere estimar la media poblacional con un error máximo de 2, y con un nivel de confianza de 95%. ¿De qué tamaño deberá ser la muestra?
9.-Un procesador de zanahorias corta los rabos de estas, las lava e inserta 6 zanahorias en un paquete. Después se colocan 20 paquetes en una caja para su venta. Para verificar el peso de las cajas se toman unas cuantas. El peso medio fue 20.4 libras y la desviación estándar 0.50 libra. ¿Cuántas cajas habrá que tomar como muestra para tener 95% de seguridad de que la diferencia entre la media muestral y la media poblacional no es mayor que 0.2 libras?
10.-Se quiere hacer una encuesta para determinar el número medio de horas que un ejecutivo ve televisión. Un estudio piloto indica que la media semanal es 12, con 3 horas de desviación estándar. Se desea que el error máximo al estimar la cantidad media de horas sea un cuarto de hora. Se quiere un nivel de confianza de 95%. ¿A cuántos ejecutivos habrá que entrevistar?
11.- Un investigador está estudiando la resistencia de un determinado material bajo determinadas condiciones. El sabe que esa variable tiene distribución normal con desviación estándar de 2 unidades.
a) Utilizando los siguientes valores obtenidos de una muestra de tamaño 9, determine el intervalo de confianza para la resistencia media con un coeficiente de confianza de 90% 4.9,
7.0,
8.1,
4.5,
5.6,
6.8,
7.2,
5.7,
6.2 unidades
Página 46
Estimación Puntual e intervalo de Confianza b) ¿Cuál es el tamaño necesario de la muestra si quisiéramos que el error cometido, al estimar la resistencia media, no sea superior a 0.1 unidades con probabilidad de 0.90?
12.- Dados los siguientes pesos de una muestra de 30 piezas: 250 265 267 269 271 275 277 281 283 284 287 289 291 293 293 298 301 303 306 307 307 309 311 315 319 322 324 328 335 339 Por medio de la construcción del intervalo de confianza, responder si esta muestra satisface la especificación por la cual el peso medio debe ser 300 kgr. Use α=0.05
13.- En una fábrica, al seleccionar una muestra de cierta pieza se obtuvo las siguientes medidas para los diámetros: 10 11 11 11 12 12 12 12 13 13 13 13 13 13 13 13 13 13 13 13 14 14 14 14 14 15 15 15 16 16
a) Estimar la media y la varianza b) Construir el intervalo de confianza para la media 14.- Una compañía de seguros emplea 300 agentes de ventas. En una muestra aleatoria de 30 cuentas de gasto de representación en una semana del mes de julio, los auditores encontraron un gasto promedio de $500, con una desviación estándar de $50.
a) ¿Cuál es el valor del estimador puntual para la cantidad promedio de gastos?
b) ¿Establezca un intervalo de confianza de 99% para la cantidad promedio de gastos?
15.- Una maquina de empaquetar bolsas de café, está regulada para embalar bolsas cuyos pesos se distribuyen normalmente con media 500 gr. y desviación estándar 10 gr. Supongamos que la maquina esta desregulada y deseamos saber el nuevo promedio u. Una muestra aleatoria de 25 paquetes arroja una media de 485 gr. Hallar un intervalo de confianza de 95% de confianza para u.
16.- Una muestra al azar de 20 residentes retirados de Florida reveló que escuchan la radio en promedio (media) 40 minutos al día con una desviación Página 47
Estimación Puntual e intervalo de Confianza estándar de 8.6 minutos. Desarrolle un intervalo de confianza del 95% para la población media del tiempo que escucha la radio.
17.- En un estudio del flujo de pacientes a través de las oficinas de médicos generales, se encontró qué, en promedio, una muestra de 35 pacientes llegaban 17,2 minutos tarde a las citas. Una investigación previa había demostrado que la desviación estándar era de 8 minutos aproximadamente. ¿Cuál es el intervalo de confianza del 90 por ciento para , el tiempo medio verdadero de llegada tarde a las citas?. Interprételo.
18.- Se realizó una encuesta para determinar la media de los ingresos de familia en la ciudad de San Luis Potosí. El patrocinador de la encuesta quiere un estimado alrededor de $100 con un 95% de nivel de confianza. La desviación estándar del ingreso está estimada en $400. ¿Cuántas muestras son requeridas?
19.- Un investigador está estudiando la resistencia de un determinado material bajo determinadas condiciones. El sabe que esa variable tiene distribución normal con desviación estándar de 2 unidades.
a) Utilizando los siguientes valores obtenidos de una muestra de tamaño 9, determine el intervalo de confianza para la resistencia media con un coeficiente de confianza de 90% 4.9, 7.0, 8.1, 4.5, 5.6, 6.8, 7.2, 5.7, 6.2 unidades
b) ¿Cuál es el tamaño necesario de la muestra si quisiéramos que el error cometido, al estimar la resistencia media, no sea superior a 0.1 unidades con probabilidad de 0.90?
20.- Fueron retiradas 25 piezas de la producción diaria de una maquina, se encontró para una cierta medida una media de 5.2 mm. Se sabe que las medidas tiene distribución normal con desviación estándar de 1.2 mm. Construir el intervalo de confianza para la media con coeficiente de confianza de 99%
Página 48
Estimación Puntual e intervalo de Confianza
TEMA: Intervalo de Confianza para una Proporción 1.- El dueño de una gasolinera desea estimar la proporción de sus clientes que emplean la nueva modalidad de pago directo en la estación despachadora de gasolina. Esta modalidad de pago le permite al cliente emplear una tarjeta de crédito directamente en la estación. El propietario encuesto a 100 clientes y encontró que 80 pagaban directamente en la estación despachadora de gasolina.
a) Estime el valor de la proporción poblacional. b) Calcule el valor estándar de la proporción. c) Determine un intervalo de confianza de 95%para la proporción poblacional. d) Interprete los resultados. 2.-La cadena de televisión Fox está considerando la posibilidad de sustituir una de sus series policiales por una serie de comedia con orientación familiar. Antes de tomar una decisión, los directores de la red televisiva toman una muestra de 400 televidentes. Después de ver la nueva serie, 250 indican que si la verían y sugieren que reemplace a la serie policiaca.
a) Estime el valor de la proporción poblacional. b) Calcule el valor estándar de la proporción. Página 49
Estimación Puntual e intervalo de Confianza c) Determine un intervalo de confianza de 99% para la proporción poblacional.
d) Interprete los resultados. 3.-Una empresa compra tazas de plástico para imprimir un logotipo en su superficie con relación a un evento deportivo, promoción, cumpleaños u otra ocasión especial. Esta mañana el propietario recibió un pedido grande, y para asegurarse de la calidad del mismo tomo una muestra aleatoria de 300 tazas. Encontró que 15 eran defectuosas.
a) ¿Cuál es la proporción de defectos estimada en la población? b) Determine un intervalo de confianza de 95% para la proporción de tazas defectuosas
4.- En una ciudad hay 20000 votantes. En una muestra aleatoria de 500 de ellos, 350 indicaron que estaban a favor de la reelección de la Senadora Galán. Obtenga un intervalo de confianza de 99% para la proporción de votantes que está a favor de la reelección de la Senadora Galán. ¿Se puede confirmar a partir de esta información muestral que la Senadora será reelecta?
5.- Un banco tiene 650 clientes que tienen cuenta de cheques. En una muestra de 50 de estos clientes se encontró que 26 tienen una tarjeta Visa obtenida en el banco. Calcule el intervalo de confianza de 99% para la proporción de clientes con cuenta de cheques que tienen tarjeta Visa obtenida en el banco.
6.- En una determinada región se estima que 60% de los hogares tienen televisión por cable. Un estudiante desea confirmar ese dato para su clase de comunicación para masas. Si quiere que su estimación tenga un error máximo de estimación de 5%, con un nivel de confianza de 95%. ¿De qué tamaño deberá ser la muestra?
7.- Se desea realizar un estudio para estimar la proporción de la fuerza laboral que tiene dos o más empleos. Se quiere un nivel de confianza de 95% y que la proporción estimada no se aleje más de 2% de la proporción poblacional. En un estudio piloto se encontró que 5 de los 50 entrevistados tenían más de dos
Página 50
Estimación Puntual e intervalo de Confianza empleos. ¿Cuántas personas de la fuerza laboral deberán entrevistarse para satisfacer los requerimientos?
8.- Se desea estimar con un error máximo de estimación del 3%, la proporción de contadores públicos que se ha cambiado de empresa en los últimos tres años. Debe usarse el nivel de confianza de 95%. En un estudio realizado hace algunos años se encontró que el porcentaje de los contadores públicos que se había cambiado de empresa en los últimos tres años era 21.
a) Para actualizar este estudio. ¿Cuántos contadores públicos es necesario entrevistar?
b) Si el nivel de significancia es mayor. ¿Cuántos contadores públicos se entrevistarían?
9.- En una encuesta realizada a 1000 adultos de Estados Unidos, 613 dijeron creer en la existencia de otras formas de vida en algún lugar del universo. Construya un intervalo de confianza de 99% para la proporción poblacional de los que creen que existe vida en algún lugar del universo. ¿Significa esto que la mayoría de los estadounidenses creen que hay vida fuera de la tierra?
Página 51
Estimación Puntual e intervalo de Confianza
TEMA: Intervalo de Confianza para Diferencias de Proporciones 1.- Un fabricante afirma que su nuevo producto de consumo popular prefieren más los hombres que las mujeres. Para comprobar tal afirmación, se toma una muestra aleatoria de 250 varones y se encuentra que 175 prefieren el nuevo producto y otra muestra aleatoria de 200 mujeres donde se encuentra que 120 prefieren el nuevo producto. Utilizando un intervalo de confianza del 95% para la verdadera diferencia de proporciones de preferencias entre los hombres y las mujeres, se puede concluir que el fabricante del nuevo producto tiene la razón.
2.- Una firma distribuye dos marcas de cerveza. En una reciente encuesta se encontró que 60 de 120 prefieren la marca A y 50 de 80 prefieren la marca B. Use un intervalo de confianza del 99% para la diferencia de proporciones con el fin de determinar si las proporciones poblacionales de preferencias son diferentes.
3.- En octubre, 160 personas de una muestra aleatoria de tamaño 400 aprobaron la gestión de un líder político. Dos meses más tarde, en diciembre, la mitad de otra muestra aleatoria de tamaño 500, independiente de la anterior, rechazaba tal gestión. Con un intervalo de confianza del 98%, ¿podemos concluir que dicho líder es aceptado igualmente en diciembre que en octubre?
Página 52
Estimación Puntual e intervalo de Confianza 4.- Para comparar las actitudes de los jóvenes de dos naciones A y B, respecto del peligro de una guerra nuclear, se tomó una muestra de 3370 estudiantes en A y una muestra de 2148 estudiantes en B. A cada estudiante se le preguntó si era posible una próxima guerra nuclear, 20% de los estudiantes en A y 29% de B contestaron afirmativamente. Hallar un intervalo de confianza del 99% para la diferencia de las proporciones de los estudiantes de las dos naciones que piensan afirmativamente.
5.- Se quiere saber si en cierta región existe diferencia significativa entre la proporción de mujeres que fuman y la proporción de hombres que fuman, al nivel de confianza del 99%. Para ello se realizo una encuesta anotándose que de 800 mujeres, 100 fuman y de 600 hombres, 120 son fumadores.
TEMA: Intervalos de Confianza para la Varianza 1.- Diez objetos de forma cilíndrica elegidos al azar entre los producidos en cierta planta industrial han mostrado los siguientes diámetros en centímetros: 10.1,
9.7,
10.3,
10.4,
9.9,
9.8,
9.9,
10.1,
10.3,
9.9
Encuentre un intervalo de confianza del 95% parta la varianza de los diámetros de todos los objetos producidos por esa planta. Suponga que los diámetros de tales objetos se distribuyen según la normal.
2.- Para estimar la variabilidad de los contenidos de un producto que una empresa comercializa en bolsa de 150 gramos. Un analista de métodos cuantitativos escogió una muestra aleatoria de 10 unidades del producto resultando los siguientes pesos en gramos: 15.5
150.7
148.1
150.4
149.3
151.2
150.9
149.2
150.3
149.3 Obtenga el intervalo de confianza del 95% para la varianza de los contenidos de todas las unidades del producto en mención. Supóngase que la población de estos contenidos se distribuye según el modelo de la probabilidad normal.
Página 53
Estimación Puntual e intervalo de Confianza 3.- Suponga que una muestra de tamaño 10 dio S 2=2.25. ¿Cuáles son los límites de confianza al 80% para la verdadera varianza?
4.- El recuento de leucocitos de una muestra de 10 hombres adultos con algún tipo de leucemia dio una varianza de 25000000. Construya un intervalo de confianza al 0,95 para la
2.
5.- En un estudio de los tiempos de conducción del miocardio, se obtuvieron los tiempos de conducción en una muestra de 30 pacientes con enfermedad de la arteria coronaria. Se encontró que la varianza de la muestra era de 1,03. Construya un intervalo de confianza al 0,99 por ciento para la
2.
6.- La compañía A produce focos pequeños de 1.5 voltios y se desea analizar la variabilidad del proceso de producción. Se tomo una muestra aleatoria de 16 focos y se obtuvo una media de duración igual a 120 horas y un coeficiente de variabilidad igual a 25%. Halle un intervalo de confianza del 98% para la desviación estándar poblacional.
7.- Se realizaron 15 mediciones del largo de una barra, los resultados fueron: 42.70, 43.48, 43.63, 42.78, 43.18, 42.56, 42.76, 42.87, 42.95, 43.39, 43.01, 43.06, 41.60, 43.20, 43.10 Suponiendo que la variable aleatoria X que representa a las mediciones es normal, encontrar el intervalo de estimación, al nivel de confianza del 95% para la varianza de las medidas.
8.- Diez objetos de forma cilíndrica elegidos al azar entre los producidos en cierta planta industrial ha mostrado los siguientes diámetros en centímetros: 10.1, 9.7, 10.3, 10.4, 9.9, 9.8, 9.9, 10.1, 10.3, 9.9 Encuentre un intervalo de confianza del 95% para la varianza de los diámetros de todos los objetos producidos por esa planta. Suponga que los diámetros de tales objetos se distribuyen normalmente.
9.- Sea X una variable aleatoria tal que X≈N (u, σ 2) donde u y σ2 son desconocidas. Una muestra de tamaño 15 dió los valores:
Página 54
Estimación Puntual e intervalo de Confianza
∑ 8. 7 ∑ 27. 3 = =
Determine un intervalo de confianza de 95% para σ2.
10.- Se selecciona una muestra aleatoria de 80 empleados de una compañía y se registra el salario anual de cada empleado de la muestra y se calcula la media y la varianza muestral de los salarios obteniéndose:
$7750 640000
Suponiendo que la población de salario esta normalmente distribuido, construya el intervalo de confianza del 95% para σ2
TEMA: Intervalos de Confianza para Diferencias de Medias 1.- Una muestra de tamaño 36 fue extraída de una población normal de media y
σ
9, dando
70. Otra muestra de tamaño 25 fue extraída de otra población
normal de varianza 16 dando de confianza.
60
. Determinar el intervalo para u1-u2 al 96%
2.- Diez lotes de tierra son tratados con el fertilizante ¨A¨ y 12 con el fertilizante ¨B¨. El rendimiento medio de los primeros lotes fue de 8 con una desviación estándar de 0.4. El rendimiento de los segundos lotes fue de 6 con una desviación estándar de 0.2. Construir el intervalo de confianza para la diferencia de las medias al 95%
3.- Un curso de inglés fue dado a 18 estudiantes por medio del método tradicional, obteniéndose una media de 75 y una deviación estándar de 5. Para otro grupo de 15 estudiantes se dio el mismo curso por medio de un método más moderno obteniéndose un medio de 70 y una desviación estándar de 6. Construir el intervalo para la diferencia de las medias, use γ=97.5%
4.- Los alumnos de la facultad de ingeniería industrial pueden escoger entre dos cursos de física, uno de 3 horas semanales sin laboratorio y otro de 4 horas Página 55
Estimación Puntual e intervalo de Confianza semanales con laboratorio. El examen final es el mismo para ambos cursos. Si 12 estudiantes del curso con laboratorio obtienen una calificación promedio de 84 con una desviación estándar de 4, y 18 del curso sin laboratorio obtienen una calificación promedio de 77 con una desviación estándar de 6, encuentre un intervalo de confianza al 99% para las diferencias entre las calificaciones promedio para los dos cursos.
5.- Una compañía de automóviles de alquiler está tratando de decidir la compra de neumáticos, entre las marcas A y B, para su flota de taxis. Para estimar la diferencia entre las dos marcas, se efectúa un experimento empleando 12 de cada marca. Los neumáticos se usan hasta que se desgastan. Los resultados para la
6100 marca A son:
36300km y
5000km y para la marca B:
km. Hallar un intervalo de confianza de 95% para μ1-μ2
38100km y
6.- Cinco operadores de cierto tipo de maquina son entrenados en maquinas de dos marcas diferentes, A y B. Los tiempos empleados para realizar una misma tarea fueron medidos, y los resultados se muestran en el cuadro siguiente:
Operador Marca A (Xi)
Marca B (Yi)
A
80
75
B
72
70
C
65
60
D
78
72
E
85
78
Con un 90% de confianza, ¿podemos afirmar que la tarea realizada en la maquina A demora más tiempo que en la maquina B
7.- El gobierno ha dedicado últimamente fondos a un programa especial para reducir los delitos en una zona donde el índice de criminalidad es elevado. En un estudio de los resultados del programa en ocho zonas de alta criminalidad se obtuvieron los datos siguientes:
Número de Delitos por Área
Página 56
Estimación Puntual e intervalo de Confianza
Antes
A
B
C
D
E
F
G
H
14
7
4
5
17
12
8
9
7
3
6
8
13
3
5
Después 2
¿Ha habido una disminución en la cantidad de delitos desde que empezó el programa? Use el nivel de significancia 0.01.
8.- Se desea comparar dos nuevas líneas de trigo; para esto se toman 10 fincas al azar, plantando en cada una de ellas, y en dos parcelas distintas, ambas líneas. La producción en las 10 fincas fue (en hectáreas):
Línea A 57
49
60
55
57
48
50
61
52
56
Línea B 55
48
58
56
54
48
52
56
50
58
Suponiendo que la distribución es normal, ¿podemos aceptar que la producción es la misma al 95% de confianza?
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