Estabilidad Criterio de Routh-Hurwitz

Estabilidad Criterio de Routh-Hurwitz

La estabilidad de un sistema lineal se puede determinar por la ubicación de la los polos de lazo cerrado en el plano “s”, en donde s esta definido por σ + jω, Si cualquiera de los polos queda en el semiplano derecho del plano “s”, al transcurrir el tiempo dan lugar al modo dominante y la respuesta transitoria aumenta en forma monótona y oscila con amplitud creciente a esto se le denomina un sistema inestable.

Por lo tanto, La estabilidad del sistema se pueden ver desde 2 puntos de vista. Estabilidad Absoluta: es estable sí o no Estabilidad Relativa: es la capacidad de un sistema de eliminar eficaz y rápidamente la respuesta transitoria. Para el análisis de estabilidad Absoluta surgen 3 posibles opciones: • Todas las raíces tengan parte real positiva. • Todas o algunas raíces sean imaginarias. • Todas o algunas raíces tengan parte real positiva.

Criterio de Routh-Horwitz

Sin embargo, el hecho de que todos los polos de lazo cerrado queden en el semiplano izquierdo de “s” no garantiza características de respuesta transitoria satisfactoria.

Los métodos utilizados para encontrar estabilidad absoluta son: Criterio de Routh-Horwitz.

2.

Lugar Geométrico de las Raíces.

3.

Diagrama de Bode

4.

Diagrama de Nyquist.

5.

Criterio de Liapanuv.

jω ξ >0.4

σ

ts< 4/σ σ

En cuanto a la estabilidad relativa, se considera que para ξ >0.4 ó ts< 4T el sistema poseerá oscilaciones adecuadas o satisfactorias para aplicaciones prácticas. En estos casos, debe considerarse el criterio de polos dominantes para el análisis de la respuesta transitoria. Para un sistema de orden superior, se consideran como polos dominantes a aquellos par de polos que se encuentran más cercanos al eje imaginario, ya que ellos son los que predominan en los efectos causados en la respuesta transitoria del sistema.


1.

El criterio de Routh-Horwitz es un criterio para el análisis de estabilidad de sistemas, desde el dominio de la frecuencia. Consiste en analizar los coeficientes de la ecuación característica, y crear con ellos una tabulación conocida como arreglo de Routh.

Esto trae como consecuencia que la repuesta natural del sistema tienda eventualmente a cero. Al contrario, en un sistema inestable la respuesta natural aumenta sin cota a medida que avanza el tiempo. La información nos brinda este criterio va más allá del simple conocimiento de la estabilidad de un sistema. Por ejemplo, si se tiene la situación donde en vez de tener los coeficientes numéricos de la ecuación característica, tenemos uno o varios coeficientes literales, cada uno representando un parámetro físico del sistema: calcular los polos se vuelve una tarea tediosa, tanto más cuanto mayor es el orden de la ecuación diferencial del sistema.


Tanto Routh como Horwitz definen que un sistema es estable si todos sus polos (raíces de la ecuación característica) está ubicados del lado izquierdo del eje imaginario del plano complejo (o sea, si la parte real de cada polo es negativa).

Para establecer la estabilidad de los sistemas aplicando este criterio debemos cumplir con dos condiciones . Para un sistema representado mediante una ecuación característica de la forma ansn + an-1sn-1 + an-2sn-2 +…+ a2s2 + a1s1 + a0 = 0 Las dos condiciones que hay que cumplirse son:

• Condición Suficiente: Para cumplir con esta condición es necesario que en el “arreglo de Routh” los coeficientes de la primera columna no cambie de signo. La comprobación de la condición de necesidad puede observarse por simple inspección a la ecuación característica del sistema. Mas, no así la condición de suficiencia que requiere la construcción de una tabla numérica conocida como el arreglo de Routh para su comprobación. Dicha tabla relaciona los coeficientes de la ecuación característica según ciertas reglas que permiten la comprobación de la estabilidad del sistema.


• Condición Necesaria: Todos los coeficientes de la ecuación característica deben ser igual signo y todos los coeficientes distintos de cero.

Una vez conocida la estructura de la ecuación característica del sistema, pasamos a comprobar las dos condiciones que nos garantizan la estabilidad del sistema en cuestión. Para esto, seguimos los siguientes pasos: 1. Coeficientes “negativos”: una condición necesaria pero no suficiente para la estabilidad es que todos los coeficientes sean del mismo signo. Esto significa que no se puede saber con certeza si el sistema es estable o no si todos los coeficientes de la ecuación característica son del mismo signo.

sn sn-1 sn-2

β1,1 = an β1,2 = an-2 β1,3 = an-4 β1,4 = an-6 β21 = an-1 β2,2 = an-3 β2,3 = an-5 β2,4 = an-7 β3,1 β3,2 β3,3 ●●●

●

●

●

●

●

●

s1 s0

βj,1 βk,1

●●● ●●●

Donde las dos filas primeras filas se construyen colocando todos los coeficientes de la ecuación característica, en forma alternada, y los elementos de las filas subsiguientes se calculan como se ilustra a continuación:


2. Arreglo de Routh: construir el siguiente arreglo de números:

Cálculos de términos: los elementos que siguen después de las dos primeras filas se calculan con la siguiente fórmula:

Por ejemplo, β,1

sn sn-1 sn-2 sn-3

β11 β21 β31 β41

β12 β22 β32 β42

β13 β23 β33 β43

β14 β15 ● ● ● β24 β25 ● ● ● β34 ● ● ● β44

Los elementos a partir de la fina “sn-2” se obtienen según el cociente de una multiplicación cruzada, en el numerador, dividida entre el primer elemento de la fila inmediatamente anterior. El arreglo continua hasta llegar a la fila s0; el arreglo de una fila termina cuando los elementos restantes de ella (más a la derecha) son ceros. Al finalizar el arreglo se observa que éste es triangular; las dos últimas filas tienen cada una un solo elemento, en la primera posición.


3.

2s4 + 8s3 + 10s2 + 10s + 20 = 0 4. Simplificación: es posible facilitar el arreglo si se multiplica o divide una fila por un mismo número positivo. 5. Condición General para la Estabilidad: para que el sistema sea estable, todos los elementos de la primera columna de del arreglo deben ser positivas. 6. Elementos Negativos en la Primera Columna: el número de cambios de signo en la primera columna indica el número de raíces de la ecuación característica (polos del sistema) con parte real positiva. Para el ejemplo anterior podríamos hablar de las siguientes conclusiones: a. Todos los coeficientes de la ecuación característica son positivos por ende se cumple la condición de necesidad. b. Se puede apreciar que en el primera columna hay un elemento negativo, por lo tanto el sistema es inestable. c. En la primera columna hay dos cambios de signo, por lo tanto, hay dos raíces cuya parte real es positiva, y por tanto están ubicadas en el semiplano derecho del plano s, y pueden ser reales o complejas conjugadas.


Ejemplo 1: Considerando la siguiente ecuación característica construya su arreglo de Routh.

d. Hay cuatro raíces (dadas por el orden de la ecuación), dos ubicadas en el semiplano izquierdo del plano s, y pueden ser todas reales negativas, o un real negativa y las otras dos complejas conjugadas con parte real negativa. Si al construir el arreglo de Routh uno de los coeficientes de la primera columna fuera igual a cero, esto podría perjudicar la construcción del arreglo. Para evitar esto implementamos un séptimo y último paso.

a. El cero en la primera columna perteneces a una fila en la que por lo menos hay un elemento que no es cero: en este caso, hay dos alternativas para continuar el arreglo. La alternativa más usada es reemplazar el cero por una pequeña cantidad positiva, Є, que tiende a cero, y continuar el arreglo. La otra alternativa es invertir la ecuación característica sustituyendo s=1/x. esto produce una ecuación característica donde el primer elemento es el último de la ecuación característica original, el segundo es el penúltimo de la anterior, y así sucesivamente. En este caso, generalmente, no se producen ceros en la primera columna.


7. Si hay ceros en la primera columna: se pueden presentar dos casos:

b. Hay una fila de ceros. En este caso, se forma una ecuación auxiliar con los coeficientes de la fila anterior. Si la fila anterior sm está formada por los elementos βi,1, βi,2, βi,3, etc., entonces la ecuación auxiliar es βi,1sm + βi,2sm-2 + βi,3sm-4 +…+ βi,jsh = 0, donde h=1 si m es impar, o h=0 si m es par. Esta ecuación auxiliar se deriva y los coeficientes resultantes de la derivación reemplazan a los coeficientes de la fila de ceros. Dos observaciones:

2. Las raíces de la ecuación auxiliar son las raíces de la ecuación característica; por tanto, a aquél se le puede aplicar el criterio de Routh. Además, para encontrar otras raíces se puede dividir el polinomio característico entre el auxiliar, y el polinomio resultante igualarse a cero y resolverse. El sistema es inestable siempre que se presenta el caso 7a). Si se da el caso 7b) y no ocurre cambio de signo, el sistema es marginalmente estable.


1. Si la fila sm-1 es una fila de ceros, indica que hay m/2 partes de raíces simétricamente ubicadas al eje imaginario.

Ejemplo 2: Considerando las siguientes ecuaciones características construya sus arreglos de Routh y diga si el sistema es estable o no.

En el problema 1: a. Como Є>0, se ve que el elemento de la fila s1 es menor que cero, por lo que el sistema es inestable por el signo negativo en la primera columna. b. Hay dos cambios de signo en la primera columna, por tanto hay dos raíces en el semiplano derecho complejo, que pueden ser reales o complejas conjugadas. La otra raíz debe ser real y está en el semiplano izquierdo.


1. s3 + 7s + 46 = 0

2. s6 + 4s4 + 8s2 + 16 = 0

Si tenemos una fila de ceros. Se procede así: el polinomio auxiliar se conforma con los coeficientes de la fila anterior. Como la fila anterior es s6, entonces el polinomio auxiliar es: s6 + 4s4 + 8s2 + 16 = 0 Cuya derivada es 6s5 + 16s3 + 16s = 0 Note que los coeficientes de este polinomio son divisibles exactamente por 2, así que los coeficientes de la fila “s5” , que son [6 16 16], también pueden ser [3 8 8]. Así que reemplazamos la fila de ceros y seguimos. El sistema es inestable por los elementos negativos de la primera columna. Sin embargo, ya sabíamos que el sistema era inestable antes de hacer el arreglo. Note que colocamos los ceros entre paréntesis, para indicar que allí hubo una fila de ceros.


En el problema 2: observamos que hay coeficientes nulos en la ecuación característica. El sistema puede ser inestable.

La ecuación auxiliar coincide con la ecuación característica. Lamentablemente, aunque podríamos hacer el reemplazo z = s2 en la ecuación auxiliar y tener un ecuación de tercer grado, ella no posee raíces reales enteras, por lo que no podemos obtener ninguna raíz bajo las condiciones dadas. Ejemplo 3: La ecuación característica de un sistema es s3 + 16s2 + 650s + 800k = 0 determine el rango de k para el cual el sistema es estable.


Hay dos cambios de signo, por tanto dos de las 6 raíces tienen parte real positiva. Las otras 4 raíces se extienden dentro del semiplano izquierdo, pudiendo incluso estar sobre el eje imaginario (esto lo sabemos por la observación 2- en el punto 7b del criterio). Además, sabemos por la misma razón que las otras 4 raíces son dos parejas de complejos conjugados, o una pareja conjugada sobre el eje imaginario y 2 polos reales opuestos a los polos que hacen inestable al sistema.

Estabilidad Criterio de Routh-Hurwitz

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