Informe del Criterio de Jury determinar la estabilidad de un Sistema.Descripción completa
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La estabilidad es una característica muy importante en Ingeniería de Control. Un sistema es estable cuando ante una entrada de amplitud finita responde el sistema con una salida también de amplitud finita. Por el contrario, un sistema inestable presentara oscilaciones que tienden a infinito ante entradas finitas. Este tipo de oscilaciones arbitrariamente grandes ante entradas finitas pueden causar serios daños a las personas y al propio sistema (que normalmente posee un espacio de trabajo limitado). Por tanto, siempre hay que asegurar la estabilidad de los sistemas y tomar ciertas medidas de protección durante los experimentos de ajuste (setas de interrupción de corriente, botones de “hombre muerto”, etc.).
El criterio de estabilidad en el plano complejo S era que todos los polos del sistema tuvieran parte real negativa. Con la transformación del plano S a Z, se puede afirmar como criterio general que un sistema discreto es estable si y solo si todos sus polos se encuentran dentro del círculo unitario. La posición de los ceros no afecta a la estabilidad. Los polos que se encuentren justo sobre la circunferencia de radio unidad harán que la salida posea una oscilación permanente no amortiguada y de frecuencia igual a la frecuencia de Nyquist. En la ecuación característica escrita en términos de z no se pueden aplicar ni la condición Cardano-Viete ni el criterio de Routh-Hurwitz. Asi por ejemplo, un sistema con la siguiente ecuación característica:
. Es evidente que su único polo está dentro del círculo unitario y por tanto el sistema es estable. Sin embargo, no se cumple la condición necesaria pero no suficiente de Cardano-Viete de que todos los coeficientes del polinomio deben ser positivos y no nulos. Sin embargo, para ecuaciones características con más de dos polos, es necesario contar con un criterio de estabilidad equivalente al de RouthHurwitz. Es decir, que diga si el sistema es estable o no sin necesidad de obtener analíticamente todas las raíces de dicha ecuación.
El criterio de estabilidad de Jury permite deducir la estabilidad o no de un sistema discreto sin necesidad de calcular todas las raíces de la ecuación característica.
Es un método que trata de determinar a través de los coeficientes del polinomio, si todas las raíces están dentro del circulo de unidad, por lo que permite evaluar la estabilidad absoluta en sistemas discretos, directamente de la ecuación característica. Sea la ecuación característica:
() Donde
> 0. La tabla de Jury que así:
Con:
El siguiente es estable si y sólo si, se cumplen las siguientes condiciones: | |
() () ()
Ejemplo. Supóngase el mismo ejemplo ya analizado. El criterio de Jury se aplica directamente a la ecuación característica del sistema a lazo cerrado (1+GH(z)). De la ecuación:
Dado que se trata de una ecuación de segundo orden, el arreglo de Jury se reduce a:
0.368 + 0.264K
0.368K – 1.368
1
La aplicación de las condiciones conduce a: a) () (. .) (. .) Esta condición es satisfecha para todo K>0. b) () () (. .) (. .) Esta condición es satisfecha para K<26.3 c) | | |. .| Esta condición es satisfecha para K<2.39 Por lo tanto el sistema es estable para valores de la ganancia comprendidos entre 0
. , Siendo sus raíces
. . . La expresión anterior indica que para un período de muestreo T = 1 seg. y una ganancia de K = 2.39, el sistema en lazo cerrado oscilará a una frecuencia de (./Π) /seg.
