U NIVERSIDAD PRIVADA A NTENOR ORREGO FACULTAD DE I NGENIERÍA NGENIERÍA ESCUELA PROFESIONAL DE I NGENIERÍA ELECTRÓNICA
CONTROL II LABORATORIO N° 4
Estabilidad de Funciones Discretas Cri Cr i ter ter i o de de E stabi tabi l i dad dad de de Jur Ju r y
Alumno:
Ricardo CASTAÑEDA SOLÓRZANO
Trujillo 15 de Mayo del 2014
1. MARCO TEÓRICO Criterio algebraico de Jury: Este es un criterio que permite determinar si los polos del sistema en Z están o no en el interior del círculo unitario, sin necesidad de calcular el valor de estos polos. Es el equivalente a los criterios de Routh o Hurwitz en sistemas continuos. Para una función de transferencia en Z de la forma:
() () () con la ecuación característica () , siendo () un polinomio de la forma: () se construye la tabla de criterio de Jury siguiente: 1
b0,0
a0
b0,1
a1
b0,2
a2
b0,3
a3
b0,n 2
b0,n 1
2
b0,n
b0,n 1
b0,n 2
b0,n 3
b0,2
b0,1
3
b1,0
b1,1
b1,2
b1,3
b1,n 2
b1,n 1
4
b1,n 1
b1,n 2
b1,n 3
b1,n 4
b1,1
b1,0
5
b2,0
b2,1
b2,2
b2,3
b2,n 2
6
b2,n 2
b2,n 3
b2,n 4
b2, n 5
b0,0
bn 2,1
bn 2,2
2n 3 bn
donde:
2,0
b0,n
an
b0,0
*+ *+
Ejemplo:
El criterio de Jury establece que la ecuación () tiene sus polos en el interior del circuito unitario sí y solo si se cumplen todas las desigualdades siguientes: 1) | | 2) () 3) () () 4) *+ 2
Nota:
La condición 1 implica que . La condición 4, que debe verificarse para sistemas de orden 3 o superior, se cumple si para cada línea impar de la tabla, a excepción de la primera, el coeficiente de la primera columna tiene un valor absoluto mayor que el de la última columna no nula.
Para un sistema de orden 3, la cuarta condición puede simplificarse como sigue:
| || | 2. EJERCICIO Sea el siguiente sistema de bucle cerrado:
() ( )()
Determine el valor de para que se cumplan las condiciones de Jury. Solución: Acomodando
(), la expresión queda: () () ()
La ecuación característica es:
() () y el polinomio característico:
() () () Teniendo en cuenta que el coeficiente de es positivo y que el grado de () es 3, calcularemos los valores de : 1 1 1) || 4 4 1 2) () ()() 2
3
3)
()() ()()
1 4
4) El cuadro de Jury del sistema es:
()
1 4
1
1
1
2 1
1
1
4
3 b1,0
b1,1
b1,2
4
1
1
4
donde: b0,0
b0,3
b0,3
b0,0
b0,0
b0,2
b0,3
b0,1
b0,0
b0,1
b0,3
b0,2
b1,0
b1,1
b1,2
1
4
1
1
1
2
1
1
1
4
1 4 2 3 1 1
4
1
1 4 2 3 1 1
4
16 2 1
1
quedando:
3 16
2
1
4
2
3
1
4
2
3
1
Debe cumplirse que:
*+ entonces: 16
2
1 4
2
3 1
0
Si observamos las condiciones previas de , vemos que la más restricta se da cuando
1 4
1 4
; y usando esto en la inecuación, nos percatamos que ambas expresiones
son negativas, entonces: (16 2 1) (4 2 3 1) 0 (12 3) 0 1 0, 4 E interceptando con la condición de análisis, se concluye que:
0
4
1 4
3. REFERENCIAS [1] Jean-François Dulhoste, Teoría de Control . Escuela de Ingeniería Mecánica, Universidad de los Andes, Venezuela, pp. 184-188. [2] Katsuhiko Ogata, Sistemas de Control en Tiempo Discreto . Prentice Hall, Segunda edición, 1995, pp. 186-191.
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