criterio de error

Tema 4 Análisis y diseño en el espacio de estados en continua 1. INTRODUCCIÓN........................................................................................................................... INTRODUCCIÓN........................................................................................................................... 3

2. CONCEPTOS BÁSICOS................................................................................................................ BÁSICOS................................................................................................................ 3 2.1 CONTROLABILIDAD.....................................................................................................................5 2.2 OBSERVABILIDAD.......................................................................................................................6 2.3 TEOREMAS DE ESTABILIDAD DE LIAPUNOV......................................................................................7 3. REPRESENTACIONES EN VARIABLES DE ESTADO......... ESTADO. ................ ................ ......................................... ................................. 8 3.1 FORMA CANÓNICA CONTROLABLE..................................................................................................9 3.2 FORMA CANÓNICA OBSERVABLE....................................................................................................9 3.3 FORMA CANÓNICA DE JORDAN....................................................................................................10 4. DISEÑO DE SISTEMAS DE CONTROL POR MEDIO DE LA UBICACIÓN DE POLOS. ............................................................................................................................................................. 10 4.1 FÓRMULA DE ACKERMANN.........................................................................................................13 4.2 SELECCIÓN DE LOS POLOS DESEADOS............................................................................................14 5. OBSERVADORES DE ESTADO................................................................................................ ESTADO. ............................................................................................... 15 5.1 OBSERVADOR EN BSERVADOR EN BUCLE ABIERTO................................................................................................15 5.2 OBSERVADOR ASINTÓTICO BSERVADOR ASINTÓTICO DE ORDEN COMPLETO. ..........................................................................16 5.3 OBSERVADORES DE ORDEN REDUCIDO. ........................................................................................20 6. DISEÑO DE SERVOSISTEMAS................................................................................................ SERVOSISTEMAS. ............................................................................................... 23 6.1 INTRODUCCIÓN DE LA SEÑAL DE REFERENCIA. ..............................................................................23 6.2 CONTROL INTEGRAL. ................................................................................................................24

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7. SISTEMAS DE CONTROL ÓPTIMO........................................................................................ ÓPTIMO. ....................................................................................... 27 7.1 INTRODUCCIÓN A LA OPTIMIZACIÓN. ...........................................................................................27 7.2 SISTEMAS DE CONTROL ÓPTIMO CUADRÁTICO. ..............................................................................28 8. TÉCNICAS DE CONTROL AVANZADAS............................................................................... AVANZADAS............................................................................... 32 8.1 SISTEMAS DE CONTROL CON MODELO DE REFERENCIA. ...................................................................32 8.2 SISTEMAS DE CONTROL ADAPTABLE. ............................................................................................33 9. BIBLIOGRAFÍA........................................................................................................................... BIBLIOGRAFÍA. .......................................................................................................................... 33

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Análisis y diseño en el espacio de estados

1. Introducción. La teoría clásica de control se vuelve poco práctica a la hora de tratar sistemas complejos con múltiples entradas y salidas. El inconveniente radica en el enfoque de “caja negra” que se emplea, considerando sólo la descripción externa del sistema, esto es, las relaciones entrada/salida. De esta forma, y especialmente cuando el nivel de acoplamiento del sistema es elevado, el análisis clásico se complica enormemente. Para abordar estos problemas surgen las técnicas de la teoría moderna de control, basadas en la descripción interna y el concepto de estado de un sistema. El análisis en el espacio de estados es una técnica del dominio temporal que se fundamenta en la descripción del sistema en base a n ecuaciones ecuaciones diferenciales diferenciales de primer orden. Cada una de dichas ecuaciones está asociada a una dimensión del estado del sistema o variable de estado, estado, modelando modelando su evoluci evolución ón temporal temporal.. Con respecto respecto a la represent representaci ación ón clásic clásicaa en ecuaciones diferenciales de orden elevado, las ecuaciones de estado aportan una notación matricial compacta que facilita su manipulación, con lo que el aumento del orden del sistema o del número de entradas o salidas no supone un incremento significativo en la complejidad del problema. Una ventaja adicional importante es que puede mantenerse prácticamente la misma formulación con independencia de que se trabaje con sistemas lineales o no lineales, estáticos o variantes en el tiempo, deterministas o estocásticos, etc.

2. Conceptos básicos. El comportamiento de un sistema determinado puede modelarse modelarse a través de un conjunto de ecuaciones diferenciales. Si las ecuaciones resultantes pueden descomponerse en un conjunto de n (siendo n el orden del sistema) ecuaciones diferenciales de primer orden, dicho conjunto estará integrado por las denominadas ecuaciones de estado, y las variables que intervienen en las mismas se designan como variables de estado. De esta forma, y a partir de un instante de tiempo dado t0 (estado inicial), las ecuaciones de estado contienen la información mínima que permite determinar el comportamiento futuro del sistema (evolución del estado y de las salidas) ante un conjunto de señales de entrada conocidas. El conjunto de ecuaciones de estado y de salida que describen el sistema pueden agruparse para obtener una representación más compacta. Resultan así, para un sistema de orden n con p entradas y q salidas, las ecuaciones matriciales Ecuación de estado: x' = Ax + Bu Ecuación de salida: y = Cx + Du donde x es el vector de estado estado (de dimensión dimensión n), A es la matriz del sistema ( nxn), u es el vector de entrada o de control ( px1), y es el vector de salida ( qx1), y B, C y D son matrices de

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dimensiones nxp, qxn y qxp respectivamente. Si las matrices utilizadas son estáticas, el sistema descrito es invariante en el tiempo. La dinámica del sistema viene determinada por los valores propios o raíces características de la matriz A, puesto que coinciden con los polos de la ecuación característica del sistema.

λ I - A= 0 A esta conclusión se llega aplicando transformada de Laplace a las ecuaciones de estado. MATRIZ DE TRANSICIÓN DE ESTADO La matriz de transición de estado se define como la matriz que permite reconstruir la trayectoria en el espacio de estados de un sistema a partir del estado inicial del mismo y las entradas que recibe. Para un sistema lineal resultaría x(t) = Φ (t, t 0, u( τ ))x(t 0)

donde t 0 es el tiempo inicial de tiempo y u( τ ) representa las entradas futuras del sistema (τ >=t 0). a

Para un sistema invariante en el tiempo, y tomando t 0=0, la expresión anterior se reduce

x(t) = Φ (t, u( τ ))x(0) Si consideramos ahora el caso no forzado ( u(t)=0), y derivando la expresión resultante, se comprueba que la matriz de transición de estado satisface la ecuación de estado homogénea

Φ '(t) = AΦ (t) Para la ecuación no homogénea ( u(t)≠ 0), la solución tiene una componente libre debida a la propia dinámica del sistema (reflejada en la matriz de estado del sistema) y una componente forzada debida a la entrada. x(t) = Φ (t)x(0) + ∫ 0t Φ (t-τ ) Bu( τ ) d τ

La solución para la matriz de transición de estado puede determinarse aplicando transformada de Laplace a la ecuación de estado. X(s) = (sI-A)-1 x(0),

x(t) = L-1[(sI-A) -1 ]x(0)

Φ (t) = L-1[(sI-A)-1 ]

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También puede resolverse la ecuación homogénea asumiendo una solución exponencial de la forma x(t) = e At x(0), con lo que 2 Φ (t) = e At = I + At + A2t /2! + ...

TRANSFORMACIONES LINEALES. TRANSFORMACIÓN MODAL La representación en variables de estado no es única. Dado x vector de estado, el vector resultante de aplicar una transformación lineal x1=P -1 x, donde P es una matriz no singular, también es vector de estado. La ecuación de estado resultante para el caso no forzado sería x1’ = P -1 APx1 + P -1 Bu

En este caso, la matriz de estado del sistema pasa a ser P -1 AP , aunque los valores propios se mantienen al ser invariantes ante transformaciones lineales. Si se construye adecuadamente la matriz de transformación P , puede obtenerse una matriz del sistema diagonal, lo que facilita el estudio del mismo. Un ejemplo de diagonalización es el que resulta cuando A posee n valores propios distintos y se construye P tomando los correspondientes autovectores por columnas. El resultado es una matriz de estado en cuya diagonal principal aparecen los valores propios del sistema. Esta operación de diagonalización se conoce también como transformación modal. Estas transformaciones ofrecen un método alternativo de obtención de la matriz de transición de estado.

2.1 Controlabilidad. Un sistema es controlable si dado un estado inicial x0 y un tiempo inicial t 0, para cualquier estado final x1 existe una señal de control físicamente realizable que puede guiar al sistema desde el estado inicial al final en un tiempo finito. La solución de la ecuación de estado es de la forma x(t) = e At x(t 0 ) + ∫ t0t e A(t-τ ) Bu( τ ) d τ

donde vamos a considerar el caso en que u sea escalar. Tomando como tiempo inicial t 0=0 y como estado final el origen del espacio de estados, la condición de controlabilidad se expresa como sigue: x(t 1) = 0 = e At1 x(0) + ∫ 0t1 e A(t1-τ ) Bu( τ ) d τ x(0) = - ∫ 0t1 e-Aτ Bu( τ ) d τ

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Reemplazando e-Aτ por Σ k=0n-1 α k ( τ )A k :

τ ) d τ x(0) = -Σ k=0n-1 Ak B ∫ 0t1 α k ( τ )u( Designado por β k el factor integral, queda x(0) = -Σ k=0n-1 Ak B β k = = -[B|AB| ... |An-1 B][ β0 β 1 ... β n-1 ]T

Para que el sistema sea de estado completo controlable, este conjunto de ecuaciones debe tener solución única, es decir, la matriz [B|AB| ... |A n-1 B] (matriz de controlabilidad) de dimensión n x n debe ser de rango n. Se llega a la misma condición si se considera u como un vector de dimensión r , siendo en este caso, la dimensión de la matriz de controlabilidad n x nr . Una forma alternativa para determinar la controlabilidad de un sistema es transformar el vector de estado de modo que el sistema quede reducido a su expresión desacoplada (transformación modal). Entonces el sistema será controlable si la dinámica de todas las variables de estado (modos) se ve afectada por las variaciones en el vector de control. El sistema será estabilizable si es controlable o bien si, a pesar de no ser controlable, los modos no accesibles son estables. Otra propiedad interesante es la controlabilidad de la salida. Para un sistema con m salidas la condición que se debe verificar en este caso es que la matriz [CB|CAB| ... |CA n-1 B|D], de dimensión m x (n+1)r , sea de rango m.

2.2 Observabilidad. Se dice que un sistema es de estado completo observable si cada estado x(t 0 ) puede determinarse a partir de la observación de la salida en un intervalo de tiempo finito. La condición de observabilidad puede obtenerse a partir de la ecuación de salida del sistema no forzado. Resulta así que para que el sistema sea observable, la matriz [C * |A*C * | ... |(A * )n-1C * ] (matriz de observabilidad), de dimensión n x nm, debe ser de rango n. Al igual que en el caso de la controlabilidad, existe un método alternativo para determinar la observabilidad de un sistema a partir de su expresión desacoplada. En este caso, para que el sistema sea observable todos los estados deben estar representados en el vector de salida. Las condiciones de controlabilidad y observabilidad tienen su reflejo en el plano s, de forma que para que un sistema sea controlable y observable no debe presentar cancelaciones en su matriz de transferencia.

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Tanto la observabilidad como la controlabilidad deben ser verificadas antes de comenzar el diseño de un sistema de control basado en la representación en el espacio de estados. Si no se cumplen, debe replantearse la selección de las variables de estado o, lo que es lo mismo, el modelado del sistema.

2.3 Teoremas de estabilidad de Liapunov. Para un sistema definido como x' = f(x,t), un punto singular o estado de equilibrio xe ⁄ f(xe ,t) = 0 ∀ t es estable en el sentido de Liapunov si para toda región esférica S 1 en torno a xe es posible encontrar otra S 2 tal que cualquier trayectoria de estado que se inicie dentro de S 1 se mantiene dentro de S 2 cuando t tiende a infinito. Si además, la trayectoria tiende a xe cuando el tiempo crece, el estado es asintóticamente estable. El segundo método de Liapunov se utiliza para determinar si un estado es estable, y se basa en encontrar una cierta función de energía que sea continuamente decreciente en el tiempo. Se pueden aplicar dos teoremas para determinar la estabilidad del origen del espacio de estados. a) Sea el sistema x' = f(x,t) donde f(0,t) = 0 para todo t . Si existe una función escalar V(x,t) con primeras derivadas parciales continuas que verifica: 1. V(x,t) es definida positiva (toma valores mayores que cero y se anula en el origen). 2. V'(x,t) es definida negativa ( -V' es definida positiva). entonces el estado de equilibrio en el origen es uniforme y asintóticamente estable. Si además, V(x,t)-> ∞ cuando  x->∞ , el origen es asintóticamente estable de forma completa. b) Sea el sistema x' = f(x,t) donde f(0,t) = 0 para todo t>t 0. Si existe una función escalar V(x,t) con primeras derivadas parciales continuas que verifica: 1. V(x,t) es definida positiva. 2. V'(x,t) es semidefinida negativa (toma valores menores o iguales que cero y se anula en el origen).

0,t 0), t) sólo se anula en x0=0 para todo t>t 0. 3. V'( Φ(t;x entonces el estado de equilibrio en el origen es asintóticamente estable.

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Para sistemas lineales invariantes en el tiempo del tipo x' = Ax, el origen es asintóticamente estable si todos los autovalores de A tienen parte real negativa (si además A es no singular, este es el único estado de equilibrio). Alternativamente, se puede aplicar el método de Liapunov tomando la siguiente forma cuadrática hermítica. V(x) = x*Px

donde P es una matriz hermítica ( P=P* ) definida positiva (por el criterio de Sylvester, el determinante de todos sus menores principales debe ser mayor que cero). V'(x) = x'*Px + x*Px' = x*(A*P+PA)x = -x*Qx

Para que el origen sea estable es suficiente que Q sea definida positiva. La forma de verificar esta condición es tomar primero una matriz Q hermítica que sea definida positiva, determinar la matriz P a partir de A*P+PA=-Q , y comprobar que es definida positiva. Si A es estable (todos los autovalores tienen parte real negativa), la solución para los elementos de P es única. La matriz Q se puede tomar semidefinida positiva si se verifica rango 

 =n

Q1/ 2 

   1/ 2  Q A   .    .   .    1/ 2 n-1   Q A 

puesto que ello implica necesariamente que V'(x) sólo se anula en el origen para cualquier trayectoria.

3. Representaciones en variables de estado. Considérese el sistema definido por la siguiente función de transferencia: Y(s)/U(s) = (b 0sn+b 1sn-1 + ... +bn-1 s+b n) / (sn+a 1sn-1 + ... +an-1 s+a n)

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Es posible obtener diferentes representaciones en variables de estado aplicando las técnicas que se indican seguidamente.

3.1 Forma canónica controlable. Se obtiene por el método denominado de programación directa, considerando cada variable de estado como la derivada de la variable de estado anterior. Las ecuaciones de estado y de salida resultantes son como sigue: [x] =  

0

1

0 ...

  0 0 1 ...  . . .   . . . .   . . . .  0 0 ... 1  0  -a n -a n-1 -a n-2 ... - a1

y =

[

b n - a n b0

bn-1 - an-1 b0

...

 [x] +               

0  0   .

b1 - a1 b0

u

0  0   . .

 .  1

] [x] +

b0 u

Esta representación resulta interesante en problemas de control con realimentación de estado, como es el caso de la técnica de control por ubicación de polos.

3.2 Forma canónica observable. Se obtiene aplicando el método de la programación anidada a la función de transferencia del sistema, agrupando los términos en potencias iguales de la variable compleja s. Las ecuaciones de estado resultantes son [x] =  

 [x] +  bn - a nb0     bn-1 a n-1 b0   .   .     .     b1 - a 1 b0

 0 0 ... 0 - a n   1 0 ... 0 - a  n-1       

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

0 0 ... 1

- a1

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u         

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y =

[

0

0

...

0

1

] [x] +

b0 u

Esta representación es de utilidad en análisis de problemas de control en los que el estado no es medible directamente.

3.3 Forma canónica de Jordan. Se aplica en este caso una expansión en fracciones parciales de la función de transferencia. Las ecuaciones de estado correspondientes se muestran a continuación para el caso en que el sistema posea n raíces distintas ( p1...pn). [x] =  

 [x] +         .     .   .   pn 

 p1

0 

        0

y =

[

p2

c1

c2

...

cn

] [x] +

u

1 1 

. .

 .  1

b0 u

donde los ci corresponden a los coeficientes de cada fracción. Jordan.

Cuando el sistema posea raíces múltiples se introducen en la matriz de estado bloques de

4. Diseño de sistemas de control por medio de la ubicación de polos. El esquema típico de un sistema de control basado en la realimentación del estado pretende conducir el estado inicial hacia el origen del espacio de estados y mantenerlo en ese punto. El diagrama de bloques correspondiente a este esquema es el que sigue:

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A

- K

donde K es la matriz de ganancias de realimentación de las variables de estado, y la señal de control viene dada por la expresión u=-Kx. El objetivo del diseño es obtener los valores de los coeficientes de realimentación (elementos de la matriz K ) que hacen que los polos del sistema realimentado sean los fijados por las especificaciones de funcionamiento del sistema controlado. Se puede demostrar que para que esto sea posible, es condición necesaria y suficiente que el sistema sea de estado completo controlable. Este método parte de la premisa de que todas las variables de estado son medibles y están disponibles para la realimentación. Se tratará el caso en que la señal de control u es escalar. Sustituyendo la expresión del control en la ecuación de estado ( x'=Ax+Bu) tenemos x'(t) = Ax(t) - BKx(t) = (A-BK) x(t)

De esta forma, la dinámica del sistema con realimentación de estado vendrá determinada por los valores propios de la matriz A-BK , que deberán coincidir con los polos especificados. La ecuación característica que resulta es

 sI-(A-BK)= 0 Los pasos a seguir en el procedimiento de diseño son los siguientes: 1. Verificar que el sistema es controlable.

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2. Determinar la matriz de transformación T que transforma la ecuación de estado del sistema a la forma canónica controlable a partir de la ecuación T=MW , donde M es la matriz de controlabilidad y W viene dada por la expresión W = 

 a n-1

a n-2

...

 a ... a  n-2 n-3  . .  . .   . .  1 ...  a1  1 0 ...

a1



1 

1 0  .

.

.

.

.

.

0

0

0

0

       

siendo los ai los coeficientes del polinomio característico  sI-A. 3. Calcular el polinomio característico deseado a partir de los valores de los polos en bucle cerrado que cumplen las especificaciones. (s-p 1) (s-p 2) ... (s-p n) = sn + α 1sn-1 + ... + α n-1 s + α n

4. Como M tiene rango n, T tiene inversa y se puede obtener la matriz de ganancias aplicando K = [ αn -an α n-1-an-1 ... α 2-a2 α 1-a1 ]T -1

Esta expresión es el resultado de igualar el polinomio característico del sistema, utilizando la ecuación de estado transformada para x1=Tx, al polinomio característico deseado.

 sI-A+BK =  sI-T -1 AT+T -1 BKT = sn + α 1sn-1 + ... + α n-1 s + α n donde T -1 AT y T -1 B están en la forma canónica controlable. Si el sistema es de orden pequeño, se puede emplear la sustitución directa de los coeficientes de la matriz de realimentación de estado en el polinomio característico correspondiente y resolver el sistema de ecuaciones que se plantea al igualarlo al polinomio característico deseado. Cuando se considera un sistema con múltiples entradas, el problema de la ubicación de polos no tiene una única solución. Un método para encontrar diferentes soluciones consiste en transformar, mediante realimentación del estado, el sistema controlable y multi-entrada de

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partida en otro con una sola entrada que también es controlable. Para ello se introducen matrices arbitrarias en la ecuación de estado, de la forma x' = (A+BM 1) x + BM 2 v

CONTROL MODAL En el diseño de un control basado en la realimentación del estado pueden emplearse también las variables modales, esto es, las variables resultantes de aplicar una transformación modal al sistema. Se habla en este caso de control modal, siendo posible la selección específica de qué autovalores se desea desplazar mediante la realimentación y qué otros se desea mantener invariables.

4.1 Fórmula de Ackermann. Otro mecanismo para obtener los valores de la matriz de realimentación es la fórmula de Ackermann. Para obtenerla se parte de la expresión que iguala el polinomio característico del sistema con realimentación de estado al polinomio característico deseado, cambiando A-BK por Â.

 sI-Â= sn + α 1sn-1 + ... + α n-1 s + α n Por el teorema de Cayley-Hamilton, una matriz satisface su propia ecuación característica.

φ (Â) = Ân + α 1Ân-1 + ... + α n-1 Â + α n = 0 Para obtener la solución se desarrollan las potencias de Â en la expresión anterior. Por ejemplo, para el caso en que n sea igual a 3, se llega a la siguiente igualdad: 2 φ (Â) = φ (A) - α 2BK - α 1BKÂ - BKÂ 2 - α 1ABK - ABKÂ - A BK

[B AB A2 B ]-1 φ (A) = 



2   α 2 K + α 1 KA+ K A 

   





α 1 K+KA  



K 

Multiplicando ambos miembros por [0 0 1] se obtiene la expresión buscada 2 -1 K = [0 0 1] [B AB A B] φ (A)

Finalmente, para cualquier número positivo n, el resultado es

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K = [0 0 ... 0 1] [B AB ... A n-1 B]-1φ (A)

En esta expresión aparece la matriz de controlabilidad invertida, lo que ratifica la condición de controlabilidad de un sistema expuesta anteriormente.

4.2 Selección de los polos deseados. Una cuestión fundamental en el diseño de un sistema de control por ubicación de polos es la selección de los polos deseados. Existen catálogos de funciones de transferencia prototipo (funciones ITAE o funciones de Bessel) que proporcionan un comportamiento aceptable y que pueden ser de utilidad cuando el orden del sistema es elevado. Un método alternativo que permite la selección de los polos deseados en base a un criterio de minimización es el del lugar de las raíces simétrico. La idea es definir una función a minimizar del tipo 2 J = ∫ 0∞ [py2 + u ] dt

para un sistema dado por las ecuaciones de estado siguientes: x' = Ax + Bu y =Cx

La función a minimizar penaliza tanto los valores elevados tanto en la salida ( y) como en el control ( u), de forma que la importancia relativa de cada factor viene ponderada por el parámetro p. Los valores de los polos que minimizan esta expresión se pueden encontrar calculando los polos estables de la siguiente ecuación (denominada lugar de las raíces simétrico SRL): 1 + pG(-s)G(s) = 0

donde G es la función de transferencia del sistema en bucle abierto, que se puede obtener aplicando transformada de Laplace a la ecuación de estado (entrada y salida escalares) G(s) = Y(s) / U(s) = C(sI-A)-1 B

Una vez se ha seleccionado un valor adecuado del parámetro p se calculan los polos resolviendo la ecuación SRL y se aplica la técnica de diseño por ubicación de polos tomando dichas posiciones. Es importante considerar que el esfuerzo del control está relacionado con el desplazamiento que debe introducir la realimentación sobre los polos en bucle abierto para alcanzar las ubicaciones deseadas de los polos en bucle cerrado. Cuanto mayor sea el

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desplazamiento requerido, mayor será la magnitud de la señal de control. También hay que tener en cuenta que se requiere un esfuerzo elevado para alejar un polo de un cero en bucle abierto cercano. La mayoría de las técnicas de control basadas en optimización incluyen entre sus objetivos la minimización del esfuerzo de control, puesto que con ello se reduce el consumo energético del sistema de control y se facilita su implementación. Debido a que la correspondencia entre ubicación de los polos y respuesta transitoria sólo es directa en el caso de sistemas de segundo orden puros, normalmente será necesario simular el resultado del diseño para garantizar que se cumplen las especificaciones.

5. Observadores de estado. El método de la ubicación de polos suponía que todas las variables de estado estaban disponibles para la realimentación. En la práctica puede ocurrir que todas o algunas de las variables de estado no sean medibles.

Una primera alternativa consistiría en generar la señal de control a partir de la salida, teniendo en cuenta que dicha señal está formada por una combinación lineal de las variables de estado y contendrá, por tanto, información relativa a las mismas. La ley de control será de la forma u = -Ky

Esta opción ofrece muy poca flexibilidad a la hora de modificar el comportamiento del sistema, por lo que la solución más común es la estimación de las variables de estado para su utilización en el control. Para ello se utilizan los observadores o estimadores de estado, que son elementos que reciben una serie de entradas, como la señal de control o la señal de salida del sistema, produciendo como salida una estimación de las variables de estado ( x ). 

5.1 Observador en bucle abierto. En este estimador se toman las matrices que modelan el sistema para generar, sin tomar información de la salida, el estado estimado.

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 x

'= A x + Bu 

El principal inconveniente de este observador es que no existe una referencia que permita controlar cuándo las estimaciones se alejan del valor real de las variables de estado. Por otra parte, los errores en la identificación del sistema (matrices A y B ) o en la medición del estado inicial son inevitables, por lo que la estimación será incorrecta desde un primer momento.

5.2 Observador asintótico de orden completo. Se puede conseguir un estimador más adecuado si se incluye en su expresión información de la salida. Por ejemplo:  x

'= M x + K e y + z 

El error de estimación e es la diferencia entre los valores reales de las variables de estado y las estimaciones ( e = x- x ). Por lo tanto la ecuación del error será de la forma 

e' = x' - x ' = Ax + Bu - M x - K e y - z 



Para que el error de estimación sea independiente de la secuencia de control, podemos hacer z=Bu. Sustituyendo además y por Cx tenemos e' = (A-K eC)x - M x 

Tomando finalmente M=A-K eC , obtenemos una ecuación diferencial homogénea que describe la evolución del error de estimación. e' = (A-K eC) e

Realizando las sustituciones indicadas en la ecuación del observador nos queda  x

' = (A-K eC) x + K e y + Bu = A x + K e(y-C x ) + Bu 





La dinámica del error de estimación vendrá determinada por los autovalores de la matriz A-K eC . Si dichos autovalores son estables (parte real negativa), el error deberá converger hacia cero con independencia del valor inicial del mismo e(0) o, lo que es igual, el estado estimado debe tender asintóticamente al estado real con independencia de sus valores iniciales. Si el sistema es de estado completo observable, se puede demostrar que es posible elegir la matriz K e de modo que A-K eC tenga los valores propios deseados

 sI-(A-K eC)= Π (s- µ )i

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Para corroborar este punto, consideremos el siguiente sistema dual del anterior: z' = A*z + C*v n = B*z v = -Kz

Aplicando el método de la ubicación de polos a este sistema, tenemos que si se verifica la condición de controlabilidad, se puede elegir K de modo que los valores propios de A*-C*K sean los deseados. Si se toman dichos autovalores iguales a los que se desean para la dinámica del error en el observador ( µ i), tenemos K e = K*, puesto que se cumple

 sI - (A*-C*K)=  sI - (A-K*C)=  sI - (A-K eC)= Π (s- µ )i La condición de controlabilidad aplicada sobre el sistema dual es que el rango de la matriz [C* A*C* ... (A*) n-1C*] sea n, que es precisamente la condición de observabilidad aplicada sobre el sistema de partida. Se plantea ahora el problema del diseño de un observador de estado de orden completo. Las dos alternativas fundamentales son la resolución de la ubicación de polos para el observador del sistema original o bien para el sistema dual. a) Solución basada en el sistema original. La transformación de la representación a la forma canónica observable puede realizarse mediante la matriz Q=(WN*)-1, donde N es la matriz de observabilidad y W es la matriz ya empleada en el apartado dedicado a la ubicación de polos. Se define un nuevo vector de estado según la expresión x = Qξ

Designando por ε el error de estimación del nuevo vector de estado y realizando sustituciones en la ecuación de estado y en la del observador, tenemos que la dinámica del error viene dada por la expresión:

ε ' = Q-1(A-K eC)Qε Igualando el polinomio característico al polinomio característico deseado se obtiene la expresión final: K e = Q[ αn -an α n-1-an-1 ... α 1-a1 ]T

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donde los αi son los coeficientes del polinomio característico deseado. Si el orden del sistema es reducido, puede considerarse la resolución por sustitución directa e igualación de coeficientes en

 sI - (A-K eC)= Π (s- µ )i b) Solución basada en el sistema dual. En este caso pueden aplicarse las técnicas ya comentadas en el apartado dedicado a la ubicación de polos sobre el sistema dual. Así, es posible resolver por igualación de polinomios característicos o mediante la fórmula de Ackermann. El resultado de aplicar la fórmula de Ackermann al sistema dual es el siguiente: -1

  C    CA    .  K e = K * = φ (A)  .    .   n-2 CA    n-1  

0  0     .  .    .  1

CA

Dado que la matriz K e afecta a la salida del sistema deben vigilarse especialmente las perturbaciones y ruidos a que pueda estar sometida dicha señal. Si la magnitud de las perturbaciones es elevada, los coeficientes de la matriz no deberían tomar valores excesivamente grandes. Conviene obtener diversas matrices de ganancia para distintas ecuaciones características a fin de alcanzar un compromiso entre una respuesta rápida y una baja sensibilidad ante las perturbaciones. De nuevo, como ocurría con las técnicas de diseño clásicas, es preciso realizar simulaciones para verificar el resultado del diseño, puesto que siempre se cometen errores tanto en la estimación de las matrices del sistema como en la selección de los polos deseados. Una vez diseñado el observador, se puede utilizar el estado estimado para realimentarlo y generar la señal de control. Hay que tener en cuenta que la dinámica del control debe ser más lenta que la del observador, de modo que se utilicen estimaciones del estado fiables en el control. Se considera conveniente seleccionar los polos del observador de modo que proporcionen una respuesta del orden de dos a cinco veces más rápida que la del sistema de control.

4-18

C.P.O.


La ecuación del sistema con el observador de estado completo será x' = Ax - BK x = (A-BK)x + BK(x- x ) = (A-BK)x + BKe 



La ecuación del error de estimación venía dada por e' = (A-K eC)e

Combinando ambas ecuaciones tenemos   =  x ′    A - BK  e′   0





-BK   x  A - K e C   e 

A partir de esta expresión, la ecuación característica del sistema con realimentación del estado observado será

 sI-A+BK  sI-A+K eC = 0 Como se puede ver, los polos del sistema total son los del observador más los del control. Esta propiedad se conoce como principio de separación, y permite que el diseño del observador y del control realimentado sean independientes. Como ya hemos indicado, los polos del observador deben proporcionar una respuesta más rápida que los del control, por lo que serán estos últimos los que dominen la respuesta global del sistema. La función de transferencia del conjunto controlador-observador, considerando tanto la señal de control como la de salida escalares, puede determinarse a partir de las ecuaciones diferenciales del observador y el control.  x

' = (A-K eC) x + Bu + K ey 

u = -K x 

Aplicando la transformada de Laplace y asumiendo condiciones iniciales nulas tenemos U(s)/Y(s) = -K (sI - A + K eC + BK) -1 K e

4-19

C.P.O.


5.3 Observadores de orden reducido. En algunas ocasiones un observador no necesita estimar todas las variables de estado, por ser algunas de ellas medibles directamente de forma fiable. En estos casos se habla de observadores de orden reducido. Si el orden de un observador reducido es el menor posible (sólo se estiman las variables no accesibles), dicho observador se denomina observador de orden mínimo. Por simplicidad vamos a suponer que una de las variables de estado es medible directamente (la salida) y que el resto deben ser estimadas. Las ecuaciones de estado quedan entonces divididas entre variables medibles ( xa de dimensión 1) y no medibles ( xb de dimensión n-1) de la forma x a′  --- 

 xb′ 

=

| Aab   x a 

 Aaa  --  Aba

y =

--| Abb

[

  ---      x b 



+

u B  a 

 ---     Bb 



1 | 0 ]  x a   ---     xb 

La ecuación de la parte medible tiene forma de ecuación de salida en xb xa' - Aaa xa - Bau = Aab xb

puesto que las cantidades del primer miembro son todas conocidas. La ecuación de la parte no medible tiene forma de ecuación de estado en xb xb' = Abb xb + Aba xa + Bbu

Comparando con el observador de orden completo se obtienen las siguientes equivalencias:

4-20

C.P.O.


Ob. completo

Ob. mínimo  b x

 x

A

Abb

Bu

Aba xa+Bbu

y

xa'-Aaa xa-Bau

C

Aab

K e [nx1]

Ke [(n-1)x1]

Realizando las sustituciones correspondientes en la ecuación del observador de orden completo tenemos  b x

tiene

' = (Abb-K eAab )

 b x

+ Aba xa + Bbu + K e(xa'-Aaa xa-Bau)

Sustituyendo el valor de xa' por la expresión obtenida ecuación de la parte medible se  b x

' = (Abb-K e Aab ) x b + Aba xa + Bbu + K e Aba xb 

Restando la última ecuación de la ecuación de la parte no medible se obtiene la ecuación del error del observador. e' = (Abb - K e Aab )e

La ecuación característica del observador de orden mínimo resulta entonces

 sI - Abb + K e Aab= 0 La condición de observabilidad aplicada al observador de orden mínimo es que la matriz siguiente tenga rango n-1.

4-21

C.P.O.




Aab  Aab Abb 

 .   .  .   n-2 Aab Abb 

Para la obtención de la matriz de ganancias, la fórmula basada en el sistema original toma ahora la siguiente forma: K e = (Wm Nm*)-1[ α' n-1-a' n-1 α ' n-2-a' n-2 ... α ' 1-a' 1 ]T

donde los a' i son los coeficientes de la ecuación característica para la ecuación de estado del observador de orden mínimo, los α ' i son los coeficientes del polinomio característico deseado para el observador, la matriz Nm es de la forma [A*ab | A*bb A*ab | ... | (A* bb )n-2 A*ab ], y la matriz Wm es la nueva matriz de transformación: Wm =

 a’ n-2 a’ n-3 ... a’ 1 1   a’ a’ n-4 ... 1 0  n-3    . . . .    . . . .    . . . .    a’ 1 ... 0 0 1     1 0 ... 0 0 

Para la solución basada en el sistema dual, la fórmula de Ackermann también resulta modificada, obteniéndose

4-22

C.P.O.


 Aab   A A  ab bb  .  K e = φ ( Abb )  .  .  n-3  Aab Abb  n-2  Aab Abb

-1

           

       

0 0 . . . 1

       

Al igual que para el observador de estado completo, en el observador de orden mínimo se cumple el principio de separación, puesto que la ecuación característica del sistema controlado se puede expresar de la forma

 sI-A+BK  sI-Abb+K eAab= 0 donde puede comprobarse que los polos del observador y del control pueden seleccionarse de forma independiente.

6. Diseño de servosistemas. Los sistemas de control estudiados hasta ahora en este tema realizan funciones de regulación, intentando mantener la salida del sistema a cero en presencia de perturbaciones. En este apartado vamos a estudiar el diseño de un sistema de control basado en la realimentación de variables de estado cuando se pretende que la señal de salida siga a una señal de referencia de tipo escalón. Este tipo de control vamos a denominarlo servocontrol, dado que es característico de sistemas mecánicos de posicionamiento.

6.1 Introducción de la señal de referencia. La forma más general de incorporar la señal de referencia a las ecuaciones de estado es añadirla en las ecuaciones del controlador mediante términos proporcionales. Para un controlador basado en un observador de orden completo con señales de referencia, control y salida escalares, resultan las siguientes ecuaciones:  x

' = (A-BK-K eC) x + K e y + Mr 

u = -K x + Nr 

La selección de M y N puede basarse en diferentes criterios. Algunos ejemplos son:

4-23

C.P.O.


a) Tomar M y N de forma que el error de estimación sea independiente de la señal de referencia. b) Tomar M y N de forma que el control se base sólo en la señal de error ( y-r ). c) Tomar M y N de forma que se tenga la máxima flexibilidad en la alteración de la dinámica del sistema. El primer caso (a) puede resolverse a partir de la expresión de la dinámica del error de estimación ( ee=x- x ). La ecuación resultante es 

ee' = (A-K eC)ee+BNr-Mr

Si la señal de referencia no debe afectar al error, habrá que tomar M=BN . Para el segundo (b) caso las ecuaciones del controlador deben expresarse en función sólo del error, con lo que deberá seleccionarse N=0 y M=-K e. Para el tercer caso (c) se impone a las ecuaciones del controlador la condición de cero (la salida del controlador es cero con independencia del valor del estado), que son los únicos afectados puesto que la incorporación de una señal externa como la señal de referencia no altera la ecuación característica (esto es, los polos) de dicho elemento. De esta forma se plantea un sistema de ecuaciones cuya resolución permite ubicar libremente ceros adicionales para el sistema. La característica de ubicación de ceros de la realimentación de estados puede aprovecharse para conseguir diferentes efectos tanto en la respuesta transitoria del sistema como en el comportamiento estacionario. Adicionalmente, es posible obtener en algunos casos una baja sensibilidad de la respuesta del sistema ante variaciones en la ganancia, al situar ceros en posiciones cercanas a los polos especificados en bucle cerrado para el sistema controlado.

6.2 Control integral. El objetivo del control integral es alcanzar error nulo en régimen permanente ante una señal de referencia en escalón. Se presentan dos situaciones diferentes dependiendo de que la planta posea o no un integrador. Se considerará que tanto la señal de control ( u) como la salida ( y) son escalares, y que el estado está disponible para realimentación de forma directa. a) Planta con integrador. Una configuración de control típica para un servosistema es la que se muestra a continuación:

4-24

C.P.O.


k 3 . . . k n

La señal de control, considerando y=x1 , se expresa como: u = -Kx + k 1r

donde K = [k 1 k 2 ... k n]. La dinámica del sistema viene dada por la ecuación: x' = Ax + Bu = (A-BK)x + Bk 1r

En estado estacionario, la ecuación correspondiente será: x'( ∞ ) = (A-BK)x( ∞ ) + Bk 1r( ∞ ) = (A-BK)x( ∞ ) + Bk 1r

Restando ambas ecuaciones nos queda la ecuación del error de la forma: e' = (A-BK) e

Si el sistema de partida es controlable, se podrá elegir la dinámica del error de forma que éste tienda a cero, independientemente de las condiciones iniciales. La condición de equilibrio para la ecuación de estado será x'( ∞ ) = 0 = (A-BK)x( ∞ ) + Bk 1r

con lo que puede obtenerse el valor final del vector de estado de la forma x( ∞ ) = -(A-BK) -1 Bk 1r

La señal de control en el equilibrio debe ser cero (dado que el sistema posee un integrador), con lo que queda

u( ∞ ) = 0 = -Kx( ∞ ) + k 1r = k 1[x1( ∞ )-r]+k 2x2( ∞ )+...+k nxn( ∞ )

4-25

.

.

.

C.P.O.


Asumiendo que el sistema ha sido transformando a la representación en forma canónica controlable se tiene xi+1=x' i, con lo que debe verificarse x1( ∞ )=r=y , y el sistema presenta error nulo en régimen permanente. b) Planta sin integrador. directa.

En este caso, la técnica empleada consiste en insertar un integrador en la trayectoria

La señal de control, suponiendo que el estado es accesible, viene dada por u = -Kx + k I n

con n' = r-Cx. Combinando la ecuación de estado con la del comparador obtenemos una nueva ecuación de estado con una variable adicional (correspondiente al integrador).   x ′  n′

 =   A 0     x   -C 0   n

 +    B   0

u +    0   1

 r  

Restando de la ecuación anterior la correspondiente al estado estacionario se obtiene:   =   A 0 x  e     x e  -C 0    n  ne e '

'

 +    B  0 

 ue  

donde xe, ne, y ue representan las desviaciones de cada una de las variables de sus valores en el equilibrio, y además, ue = -Kxe + k I ne. Tomando como vector de error e=[xe ne ]T , la señal de

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C.P.O.


control se puede poner como ue = -K'e (con K'=[K|-k ] I ), y la expresión anterior se puede poner en forma de ecuación de error. e′ = 

e +   B  0

 A 0   -C 0 

 ue =  

A′e + B ′ ue = (A′ - B′K ′) e

Si el sistema definido por esta última ecuación es controlable, se puede elegir su comportamiento de modo que tienda asintóticamente a cero, con lo que de nuevo el sistema presentará error nulo en régimen permanente. En el diseño real, habrá que ensayar diversas ubicaciones posibles para los polos, de modo que se pueda comprobar mediante simulación qué opción proporciona mejores resultados. En caso de que el estado del sistema no sea medible directamente, se deberá diseñar un observador de estado, de modo que sea el estado estimado el que se emplee en la realimentación.

7. Sistemas de control óptimo. 7.1 Introducción a la optimización. El diseño de sistemas óptimos se basa en la idea de que los parámetros del sistema sean el resultado de la minimización o maximización de una cierta función objetivo o índice de desempeño respecto a dichos parámetros. Este enfoque contrasta con la aproximación clásica, en la que los valores de los parámetros vienen condicionados a que se cumplan una serie de especificaciones impuestas bien sobre la respuesta temporal, bien sobre la respuesta en frecuencia. ÍNDICES DE DESEMPEÑO Un buen índice de desempeño debe ser una función de los parámetros del sistema de control que presente un máximo o un mínimo claramente definidos (buena discriminación). Es asimismo deseable que su cálculo sea relativamente simple. Las funciones más utilizadas son las de tipo integral sobre alguna medida del error del sistema. Algunos ejemplos de índices de desempeño son: a) Criterio integral del error cuadrático (CIEC): J = ∫ 0∞ e2(t) dt

4-27

C.P.O.


Las características principales de esta función son la facilidad de cálculo y la de producir una corrección inicial fuerte con oscilaciones que tienden a mantenerse, al dar más peso a los errores grandes que a los pequeños. Este criterio se puede aplicar mediante la transformada de Laplace de la siguiente forma: J = ∫ 0∞ e2(t) dt = ∫ 0∞ f(t) dt = limt->∞ ∫ 0t f(t) dt = lim s->0 sF(s)/s = lim s->0 F(s)

b) Criterio integral del producto del error cuadrático por el tiempo (CIECT): J = ∫ 0∞ t e2(t) dt

Penaliza los errores que se producen más tarde en la respuesta, eliminando las oscilaciones. El error inicial puede ser grande. Aplicando transformada de Laplace la expresión de este criterio es la siguiente: J = ∫ 0∞ t f(t) dt = lim s->0-dF(s)/ds

c) Criterio integral de error absoluto (CIEA): J = ∫ 0∞ e(t)dt

Presenta un comportamiento adecuado para sistemas que no sean excesivamente oscilatorios ni excesivamente lentos. El tratamiento analítico es complejo. d) Criterio integral del producto del error absoluto por el tiempo (CIEAT): J = ∫ 0∞ t e(t)dt

El principal inconveniente de este criterio es la complejidad de tratamiento analítico.

7.2 Sistemas de control óptimo cuadrático. Sea el siguiente sistema dado por x' = Ax + Bu

donde el vector de control es de dimensión r . Se puede comprobar que si L(x,u) es una función cuadrática o hermítica, el índice de desempeño J = ∫ 0∞ L(x,u) dt puede producir leyes de control del tipo u(t)=-Kx(t). Con respecto a las técnicas de realimentación de estado vistas con anterioridad, la optimización cuadrática tiene la ventaja de que no es necesario especificar los polos deseados para el sistema (lo cual

4-28

C.P.O.


puede resultar enormemente complejo en el caso de sistemas multivariables de dimensión elevada). Otra ventaja de los métodos de optimización es su aplicación a sistemas variables en el tiempo y su buen comportamiento con respecto a medidas como la estabilidad o la sensibilidad del sistema de control resultante. OPTIMIZACIÓN DE PARÁMETROS Sea el siguiente sistema homogéneo: x' = Ax

donde A incluye parámetros ajustables. Como índice de desempeño se tomará la siguiente forma cuadrática hermítica: J = ∫ 0∞ x*Qx dt

donde Q es una matriz hermítica definida positiva. Este índice es equivalente al CIEC, puesto que el error del sistema es nulo cuando ha llegado al estado estacionario ( x=0). Si suponemos x*Qx=-d(x*Px)/dt , donde P es hermítica definida positiva, tenemos: x*Qx = -x*(A*P+PA)x

Por el segundo método de Liapunov, si A es estable, para una Q definida positiva dada existe una P definida positiva que verifica: A*P + PA = -Q

(3.1)

Por lo tanto, el índice de desempeño se puede expresar de la forma: J = ∫ 0∞ x*Qx dt = -x*Px0∞ = -x*( ∞ )Px( ∞ ) + x*(0)Px(0)

Como el sistema es estable, x( ∞ )->0 y el índice queda finalmente: J = x*(0)Px(0)

El procedimiento de diseño partiría de una cierta matriz Q hermítica y definida positiva. A partir de (3.1) se calcularían los valores de P como función de los parámetros ajustables. Sustituyendo los resultados en la expresión del índice y minimizándolo se obtienen los valores óptimos de los parámetros para ese índice.

4-29

C.P.O.


CONTROL ÓPTIMO CUADRÁTICO Sea el siguiente sistema x' = Ax + Bu

donde la ley de control es u(t) = -Kx(t), con lo que x' = (A-BK)x. Supondremos que el sistema es estable y de estado completo controlable, y que las variables de estado están disponibles para realimentación (de otro modo, habría que emplear un observador de estado para estimarlas). El problema consiste en determinar los valores de la secuencia de control que minimizan el siguiente índice de desempeño: J = ∫ 0∞ (x*Qx + u*Ru) dt

donde Q y R son hermíticas definidas positivas. En este caso, el índice de desempeño penaliza tanto las desviaciones del estado final como los esfuerzos de control elevados (el segundo sumando pondera el gasto de energía de la señal de control). Si el índice viniese dado en términos de la salida en vez del vector de estado, se puede utilizar la ecuación de salida ( y=Cx) para obtener una expresión equivalente a la anterior. Sustituyendo la ley de control en el índice de desempeño tenemos: J = ∫ 0∞ x*(Q + K*RK)x dt

Suponiendo que se verifica x*(Q + K*RK)x = -d(x*Px)/dt , desarrollando la derivada como en el caso de la optimización de parámetros se llega a (A-BK)*P + P(A-BK) = -(Q + K*RK)

(3.2)

que es la denominada ecuación de Liapunov. Por el segundo método de Liapunov, si A-BK es estable, se puede encontrar una matriz P definida positiva que satisface la ecuación anterior. Resolviéndola y sustituyendo los valores (que serán función de las ganancias) en la expresión del índice de desempeño J = x*(0)Px(0), puede minimizarse éste respecto a las k i (igualando derivadas parciales a cero). Se plantea así un sistema de ecuaciones cuya resolución permite llegar a la solución óptima para las ganancias de realimentación. Este proceso, sin embargo, no es viable en la práctica, por lo que hay que utilizar métodos alternativos. Para determinar el valor de la matriz K óptima de forma directa descomponemos la matriz R como T*T , donde T es no singular, y, operando con la ecuación de la matriz P (3.2) se obtiene

4-30

C.P.O.


A*P + PA + [TK - (T*) -1 BP]*[TK - (T*) -1 BP] -PBR -1 B*P + Q = 0

Para que J sea mínimo respecto a K hay que minimizar x*[TK - (T*) -1 B*P]*[TK - (T*) -1 B*P]x

Como esta expresión es no negativa, el mínimo se producirá cuando sea cero, es decir TK = (T*) -1 B*P

De aquí se obtiene directamente la ecuación que proporciona el valor óptimo de la matriz de realimentación como K = T -1(T*)-1 B*P = R-1 B*P

(3.3)

Esta expresión permite llegar, mediante sustitución en la ecuación de la matriz P (3.2), a una ecuación alternativa para la obtención de dicha matriz denominada ecuación reducida de Ricatti. A*P + PA - PBR -1 B*P + Q = 0

Una vez obtenida P , se sustituye su valor en (3.3) para obtener la matriz de realimentación óptima. cumple

La comprobación de que la matriz A-BK sea estable se puede hacer verificando si se

rango 

1/ 2

Q    Q1/ 2 A  .   .  .   1/ 2 n-1  Q A

4-31

 = n          

C.P.O.


8. Técnicas de control avanzadas. 8.1 Sistemas de control con modelo de referencia. La técnica que se presenta a continuación consiste en especificar el comportamiento deseado de un sistema como el que produce un determinado modelo. Las diferencias de comportamiento entre el sistema real y el modelo serán medidas para generar la señal de control en base a dicho error. Este método resulta especialmente interesante cuando se abordan diseños de sistemas que incluyen parámetros no lineales y/o variables en el tiempo. Sea el siguiente sistema: x' = f(x,u,t)

y el modelo de referencia deseado, viene dado por la ecuación: xd ' = Axd + Bv

Definimos el vector de error como: e = xd -x

El problema consiste en conseguir un sistema de control que haga que este vector de error tienda a cero. La ecuación diferencial del error sería de la forma: e' = xd ' - x' = Ae + Ax - f(x,u,t) + Bv

Si suponemos una función de Liapunov de la forma V(e) = e*Pe, donde P es hermítica, tenemos: V'(e) = e*(A*P + PA)e + 2M

donde M=e*P[Ax-f(x,u,t)+Bv] es una cantidad escalar. La función V’(e) será definida negativa si: 1. A*P+PA = -Q es una matriz definida negativa. 2. Se puede elegir u de modo que M sea una cantidad negativa. Si se verifican las condiciones, el estado origen será un estado asintóticamente estable (V(e)->∞ cuando e->∞ ), y el sistema tenderá a seguir al modelo de referencia.

4-32

criterio de error

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