Cargas Axiales Excéntricas

UNIVERSIDAD ANDINA NESTOR CACERES VELASQUEZ – INGENIERIA CIVIL

UNIVERSIDAD UNIVERSIDAD ANDINA NESTOR CACERES VELASQUEZ FACULTAD DE INGENIERIA Y CIENCIAS PURAS CAP INGENIERIA CIVIL

MECANICA DE MATERIALES II TRABAJO ENCARGADO “CARGAS AXIALES EXCÉNTRICAS” Docente:

ING. VITULAS QUILLE, YASMANI

Presentado Por: o o o

YUDITH TIQUILLOCA TIQUILLOCA MOLINA MOLINA HENRY CONDORI CONDOR I LIPA LIPA ROGELIO ZAMALLOA LLANOS

5to Semestre, Grupo “A” - Sede Puno 2015

MECANICA DE MATERIALES MATERIALES 2

1


INDICE

INTRODUCCION

03

CAPITULO I Carga axial - !"#i$i%#

04

CAPITULOII $arga axial !x$&#'ri$a ( )!xi%# a*i+&'ri$a, !# # .la#/ ! *i+!'r0a

08

CAPITULO III C/l+#a* */+!'ia* a $arga !x$&#'ri$a

12

CAPITULO IV Di*!/ ! $/l+#a* a3/ $arga axial $&#'ri$a

16

CAPITULO V Di*!/ ! $/l+#a* a3/ $arga axial !x$&#'ri$a

21

PROBLEMAS RESUELTOS

23

BIBLIOGRAFIA

28

MECA MECANI NICA CA DE MATE MATERI RIA ALES LES 2

2


INTRODUCCION

Las cargas axiales excéntricas son cargas aplicadas a una columna o pilote que no es simétrica respecto del eje central produciendo un momento flector. Tamién llamada fuer!a excéntrica. "ara que un elemento sea considerado como cargado axialmente# es condici$n necesaria que la l%nea de acci$n de la carga que act&a sore la secci$n trans'ersal del miemro en estudio# coincida con el eje axial que pasa a tra'és del centro de gra'edad del elemento. (i este es el caso el elemento se considera en estado de esfuer!o uniaxial. "ara elementos cargados axialmente la distriuci$n de la deformaci$n com&nmente se toma como uniforme# adem)s se sae que el esfuer!o es proporcional a la deformaci$n.

MECANICA DE MATERIALES 2

4


CAPITULO I CARGA AXIAL DEFINICION *sfuer!os axiales# son aquellos deidos a fuer!as que act&an a lo largo del eje del elemento. Los esfuer!os normales axiales por lo general ocurren en elementos como cales# arras o columnas sometidos a fuer!as axiales +que act&an a lo largo de su propio eje,# las cuales pueden ser de tensi$n o de compresi$n. -dem)s de tener resistencia# los materiales deen tener rigide!# es decir tener capacidad de oponerse a las deformaciones +d, puesto que una estructura demasiado deformale puede llegar a 'er comprometida su funciona1idad  o'iamente su estética. *n el caso de fuer!as axia1es +de tensi$n o compresi$n,# se producir)n en el elemento alargamientos o acortamientos# respecti'amente# como se muestra en la figura 1 +(-L-/-# 2001,.


5


igura 1 eformaci$n deida a esfuer!os de tensi$n  de compresi$n# respecti'amente.

na forma de comparar la deformaci$n entre dos elementos# es expresarla como una deformaci$n porcentual# o en otras palaras# calcular la deformaci$n que sufrir) una longitud unitaria del material# la cual se denomina deformaci$n unitaria e. La deformaci$n unitaria se calcular) como +(-L-/-# 2001, e 5 d Lo (5)

donde# e deformaci$n unitaria# d  deformaci$n total.

Lo longitud inicial del elemento deformado. -lgunas caracter%sticas mec)nicas de los materiales como su resistencia +capacidad de oponerse a la rotura,# su rigide! +capacidad de oponerse a las deformaciones,  su ductilidad +capacidad de deformarse antes de romperse,# por lo general se otienen mediante ensaos en laoratorio +resistencia de materiales experimental,# sometiendo a prueas determinadas porciones del material +proetas normali!adas, para otener esta informaci$n. "arece que el primero que reali!$ ensaos para conocer la resistencia de alamres fue Leonardo a 7inci# pero proalemente el primero en sistemati!ar la reali!aci$n de ensaos  en pulicar sus resultados en forma de una le fue oert oo9e# sometiendo alamres enrollados +resortes,# a la acci$n de diferentes cargas  midiendo las deformaciones producidas# lo que le permiti$ enunciar los resultados otenidos en forma de le +:como la tensi$n as% es la MECANICA DE MATERIALES 2

6


fuer!a;,# en su tratado pulicado en 16<8= esto es lo que se conoce en su forma moderna como la L*> * ??@* +(-L-/-# 2001,. La mejor manera de entender el comportamiento mec)nico de un material es someterlo a una determinada acci$n +una fuer!a,  medir su respuesta +la deformaci$n que se produ!ca,. e este procedimiento se deducen las caracter%sticas acci$n A respuesta del material. eido a que la fuer!a  la deformaci$n asolutas no definen adecuadamente para efectos comparati'os las caracter%sticas de un material# es necesario estalecer la relaci$n entre el esfuer!o +s,  la deformaci$n unitaria + e,. La figura 11 muestra una relaci$n directa entre el esfuer!o aplicado  la deformaci$n producida a maor esfuer!o# maor deformaci$n +(-L-/-# 2001,.

igura 1.1 elaci$n directa entre el esfuer!o aplicado  la deformaci$n producida +Le de oo9e,.

La ecuaci$n de la recta# en la figura 11# est) dada por s 5 m e (6)

donde# m 5 tan a 5 * MECANICA DE MATERIALES 2

7


La pendiente de la recta# se conoce como el m$dulo de elasticidad#  en los ensaos con fuer!as tensoras# se conoce como B$dulo de >oung# en Conor de TComas >oung. *ntonces# la ecuaci$n +6, se con'ierte en la expresi$n de la Le de oo9e# como s 5 * e (7)

*n el comportamiento mec)nico de los materiales es importante conocer la capacidad que estos tengan de recuperar su forma cuando se retira la carga que act&a sore ellos. La maor%a de los materiales tienen una respuesta el)stica Casta cierto ni'el de la carga aplicada  a partir de ella a no tendr)n la capacidad de recuperar totalmente su forma original una 'e! retirada la carga# porque se comportan pl)sticamente. Lo anterior se conoce como comportamiento elasto A pl)stico  se muestra en la figura 12 +(-L-/-# 2001,.

Figura 1!" C#$%#r&a$i'&# 'a*&# + %,*&i-# .' #* $a&'ria'*


8


CAPITULO II CARGA AXIAL EXC/NTRICA 0 FLEXIN ASIM/TRICA CARGA AXIAL EXC/NTRICA EN UN PLANO DE SIMETR2A

-Cora se anali!ar) un elemento que es sometido a una carga axial# cua l%nea de acci$n no cru!a por el centroide del elemento sometido al estado de fuer!a. *ste tipo de an)lisis es mu &til en estructuras  elementos como prensas  arcos donde la l%nea de acci$n de la carga a la que son com&nmente expuestas# no corresponde con el centroide de la estructura  se quisiera anali!ar el estado de esfuer!os en que est) sometida. (uponga# por ejemplo# una pie!a con forma de arco sometida a una carga axial con una l%nea de acci$n por deajo del centroide# como en la siguiente figura

Dote que el elemento posee un plano de simetr%a#  que en este plano es donde se aplica la carga. *l centroide se uica a una distancia d de la l%nea de aplicaci$n de la carga# como apreciamos en el siguiente diagrama


9


La forma equi'alente de las fuer!as que act&an en este elemento se puede representar por la fuer!a F aplicada en el centroide  a un par M que act&a en el plano de simetr%a del elemento.

(i aplicamos las condiciones de equilirio# se podr) notar que la fuer!a F deer) ser igual  opuesta a P' mientras que el momento M ser) igual  opuesto al momento de P' con respecto a C # es decir

*n los an)lisis de este tipo# se puede tamién encontrar el esfuer!o desarrollado# como la suma de dos esfuer!os# uno céntrico  uno de flexi$n. *s decir# el correspondiente a la fuer!a F  otro al momento M # los cuales podemos escriir de forma con'eniente como

onde A es el )rea trans'ersal e I el momento centroidal de inercia#  se mide con respecto al eje centroidal de la secci$n. MECANICA DE MATERIALES 2

:


F'3i4 a*i$&ri-a *n ocasiones es necesario anali!ar elementos que se encuentran ajo un estado de flexi$n en un plano que no corresponde al de simetr%a del elemento. (i el elemento posee planos de simetr%a# es posile descomponer el momento flector como dos momentos que act&an en los planos de simetr%a del elemento  determinar el esfuer!o por superposici$n de los efectos de cada uno de los componentes del esfuer!o. Tomemos como ejemplo el elemento de la figura que se encuentra sometido a un par de momentos flectores M  BE# actuando en un plano olicuo formando un )ngulo θ con el plano XY .

*l momento flector componentes Mz  My como

se

descompone

en

sus

-ctuando en los planos XY  XZ respecti'amente# como lo 'emos en las siguientes figuras


1 ;


"ara calcular el esfuer!o desarrollado en el elemento# se utili!a el principio de superposici$n# con lo que se define la ecuaci$n


1 1


CAPITULO III COLUMNAS SOMETIDAS A CARGA EXC/NTRICA La ecuaci$n de *uler se otiene a partir de la Cip$tesis de que la carga +“P” , siempre se aplica en el centroide de la secci$n trans'ersal de la columna#  que ésta es perfectamente recta +antes de aplicar dicCa carga,. *sta situaci$n es ajena a la realidad# pues las columnas faricadas no son perfectamente rectas# ni suele conocerse con exactitud el punto de aplicaci$n de la carga. "or tanto# las columnas no se pandean repentinamente sino que comien!an a flexionarse# si ien de modo ligero# inmediatamente después de la aplicaci$n de la carga. Fonsideremos entonces una columna sometida a una carga ejercida con una pequeGa excentricidad “e” respecto al centroide de la secci$n trans'ersal# como se muestra. "odemos plantear una expresi$n para determinar el momento flector en cualquier secci$n trans'ersal

M = − P cri ⋅ (e + y )


1 2


-l plantear la ecuaci$n de la el)stica de la 'iga# queda d 2 y dx 2

=

M ( x) E ⋅ I

=

− P cri ⋅ (e + y ) E ⋅ I

La soluci$n general de esta ecuaci$n es

 y = C 1 ⋅ sin  

  ⋅ x  + C 2 ⋅ cos  E ⋅ I   P

 ⋅ x  −e  E ⋅ I  P

-l plantear los l%mites de frontera# se otiene que cuando ‘x=0’ H ‘y=e’ # de modo que ‘C 2 =e’ . Luego# cuando ‘x=L’ H ‘y=e’ # de modo que

 C 1 = e ⋅ tan  

P

L 

⋅  E ⋅ I 2  

inalmente# la ecuaci$n 6.4.3 queda de la forma


1 4


  y = e ⋅  tan  

 P   P   P L  ⋅  ⋅ sin  ⋅ x  + cos ⋅ x  − 1    E ⋅ I 2   E ⋅ I   E ⋅ I  

La deflexi$n m)xima en la 'iga ocurre cuando ‘x=0,5L. introducimos este 'alor en la ecuaci$n# otenemos ymax

 = e ⋅ sec 

(i

P L  ⋅  E ⋅ I 2  

*n esta ecuaci$n puede oser'arse que ‘y=0’ cuando ‘e=0’ .

(in

emargo# si la excentricidad “e” es mu pequeGa#  el término dentro de la funci$n trigonométrica la Ciciese tender a infinito# “y” tendr%a un 'alor no nulo. *ntonces# como ‘sec(x!"’ cuando ‘x!#$2’ # podemos plantear

P cri L

π

E ⋅ I 2

2

⋅ =

inalmente# se puede determinar el 'alor de la carga cr%tica

P cri

=

2 π

⋅ E ⋅ I L2

D$tese que éste es el mismo resultado arrojado para el caso de carga excéntrica +ec. 6.2.8,. *s preciso recordar que en caso de MECANICA DE MATERIALES 2

1 5


traajar con condiciones de apoo distintas# se dee traajar con la longitud efecti'a + “Le” , en 'e! de la longitud nominal + “L” , de la columna.

"odemos entonces plantear la ecuaci$n del esfuer!o m)ximo en la secci$n de maor deflexi$n de la 'iga

σ max

P ( P ⋅ ymax ) ⋅ c

= + A

I

 = + P ⋅ e ⋅ sec A  P

P

L  c

⋅  ⋅  E ⋅ I 2  I

ecordando que ‘I=A% 2 ’ # podemos reescriir esta ecuaci$n de la forma

σ max

 P L   P  e ⋅ c = 1 + 2 ⋅ sec ⋅    A  r E A 2 r ⋅ ⋅   

- esta ecuaci$n se le conoce como la &%)*a de *a seca+e#  sir'e para determinar el 'alor del esfuer!o m)ximo producido tanto por flexi$n como por compresi$n que se produce en la 'iga. ee cumplirse IP-P c%. ’ .


1 6


CAPITULO IV

DISEO DE COLUMNAS BAO CARGA AXIAL C/NTRICA F o m o s e m e n c i o n $ a n t e r i o r m en t e # e l u s o d e l a f $ r m u l a d e * u le r p a ra e l d i s e G o e s c o mp l e ta m en t e ' ) l i d o s i l a c o l u m na a t r a t ar e s p e r f e c t a m e nt e r e c t a # C e c C a s d e u n m at er ia l c o mp le ta me n te C o mo g én eo # e n l as q ue l os puntos de aplicaci$n de la carga son perfectamente conocidos. * n r ea l i d a d # e s t o n o o cu r r e a s% . " a r a c o m p e n s ar todas imperfecciones que tienen las columnas reales# s e u t i l i ! a n c  d . /  s d e d . s e 1  , los cuales son productos d e e n s a  o s m e c ) n i c o s q u e s e l l e ' a n a c a  o s i m u la n d o cond ic io ne s rea les d e con str ucc i$n  tra ajo d e elementos sometidos a cargas axiales de compresi$n. - c on tin uac i$ n mos tr a re mo s a lgun os e jemplos de c$digos de diseGo para columnas CecCas de distintos materiales.

C#u$a* .' a-'r#


1 7


Las columnas de acero estructural se diseGan con ase en f$rmulas propuestas por el (tructural (tailit esearcC Founcil +((F,. - dicCas formulas se le Ca aplicado factores de seguridad con'enientes#  el -merican Jnstitute of (teel Fonstruction +-J(F, las Ca adoptado como especificaciones para la industria de construcci$n. "ara columnas largas# se utili!a la ecuaci$n de *uler con un factor de seguridad de 1223

σ perm

=

12 ⋅ π 2 ⋅ E 23 ⋅ ( KL / r )

"ara

 K ⋅ L  ≤ K ⋅ L ≤ 200   r  r  c

onde el 'alor m%nimo de relaci$n de eselte! efecti'a ')lido para la relaci$n 'iene dado por

 K ⋅ L  = π ⋅    r  c

2 E σ y

*n columnas con relaciones de eselte! menores se usa un ajuste para$lico# con un factor de seguridad dictado por una compleja relaci$n


1 8


σ perm

=

 ( KL / r ) 2  1 − 2 KL r ( / ) c  

 5 3 ( KL / r ) 1 ( KL / r )3   3 + 8 ⋅ ( KL / r ) − 8 ⋅ KL r 3  ( / )c  c 

"ara

K ⋅ L r

K ⋅ L   ≤   r  c

C#u$a* .' au$ii# L a - l u m in i u m - s so c i a t i on e s p e c i fi c a e l d i s e G o d e columnas de aluminio por medio de tres ecuaciones. "ar cada tipo de aluminio Ca un juego espec%fico de e c u a c i on e s . " o r e je m p l o # p a r a el c a s o d e l a a l e a c i $ n com&n de aluminio +2014KT6, se usa

σ perm

= 28ksi

"ara

0≤

K ⋅ L r

≤ 12 MECANICA DE MATERIALES 2

1 9


σ perm

= [ 30,7 − 0,23 ⋅ ( KL / r )] ksi

"ara

12 ≤

σ perm

K ⋅ L r

=

≤ 55

54000ksi ( KL / r )

2

"ara

55 ≤

K ⋅ L r

Columnas de madera

L a s A * )  . + . )  As s  c . a  .  + e s p e c i f i c a e l d i s e G o d e columnas de aluminio por medio de tres ecuaciones. "ar cada tipo de aluminio Ca un juego espec%fico de MECANICA DE MATERIALES 2

1 :


e c u a c i on e s . " o r e je m p l o # p a r a el c a s o d e l a a l e a c i $ n com&n de aluminio +2014KT6, se usa

= 1,20ksi

σ perm "ara

0≤

K ⋅ L d

≤ 11

 1  KL / d  2  σ perm = 1,20 1 −    ksi  3  26,0   "ara

11 ≤

σ perm

K ⋅ L

=

d

≤ 26

5400ksi ( KL / d ) 2 MECANICA DE MATERIALES 2

2 ;


"ara

26 ≤

K ⋅ L d

≤ 50

CAPITULO V

DISEO DE COLUMNAS BAO CARGA AXIAL EXC/NTRICA

*xisten 'arias formas de tratar casos donde la carga en la columna es excéntrica. Trataremos en esta ocasi$n los métodos m)s comunes el método del esfuer!o admisile  el método de interacci$n. *n este caso# se comparan del esfuer!o m)ximo producido en la 'iga  el esfuer!o admisile dictado por la ecuaci$n de *uler. *l esfuer!o m)ximo 'endr%a dado por Método del esfuerzo admisible.

σ max

P M ⋅ c

= + A

I


2 1


*l esfuer!o admisile seg&n la ecuaci$n de *uler

σ adm

=

2 π

⋅ E

( L / r ) 2

> dee cumplirse

σ max

σ ad m

(e llama as% pues en él se oser'an c$mo interact&an las tensiones producidas por la carga de compresi$n  por el momento flector ejercidos en la 'iga. Método de Interacción.

*n este caso# la condici$n que dee cumplirse es

 P   M ⋅ c   A   I  1 + [σ adm ] axial [σ adm ] flexión onde “sad 3 ax.a* ”  “sad 3 &*ex.+” se calculan a partir de c$digos de diseGo estipulados para carga axial  carga excéntrica MECANICA DE MATERIALES 2

2 2


respecti'amente. Dote que a diferencia del caso anterior# los esfuer!os producidos por carga axial  flexi$n se comparan por separado con el esfuer!o cr%tico para cada caso. (eg&n el método anterior se comparan amos esfuer!os respecto al esfuer!o admisile proporcionado por la ecuaci$n de *uler.


2 4


PROBLEMAS RESUELTOS PROBLEMA 81" D/* ./*'!* D!l .#'/ +!i/ ! ? ! #a $!ra AC .!#! # .!*/ ! 5; @g> F/r+a#/ #a )!$a ! 16$+> A!+=* $aa ./*'! !*'a */*'!#i/ ./r # 'ira#'! ED !# !l B! a( #a !ra ! !x'!#*i%# U  7;; @g> allar la a'iga a $/+.r!#*i%#

+=xi+a !# l/* ./*'!*>


2 5


PROBLEMA 8!" La gra ! la "gra 'i!#! #a *!$$i%# r!$'a#glar $/#*'a#'! ! 6 x 1; $+> D!'!r+i#ar la $arga P B! .!a a$'ar a la i*'a#$ia ! :; $+ ! la $ara i#'!r#a .ara B! #i#g#a a'iga #/r+al !x$!a a 7;; @gH$+2>


2 6


PROBLEMA 89" La .i!a !+./'raa !# A?, !*'= */+!'i/ a #a $arga P i#$li#aa a 56 > D!'!r+i#ar !l $+2> La *!$$i%# ! la !*'r$'ra !* # r!$'=#gl/ ! 2 J 9 $+>


2 7


PROBLEMA 8:"


2 8


PROBLEMA 85"


2 9


BIBLIOGRAFIA

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2 :

Cargas Axiales Excéntricas

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