05-12-2017
Objetivo
Esfuerzos en Planos Inclinados
En general, tenemos los datos:
En la figura observamos una barra sometida a una fuerza P. El esfuerzo en la cara perpendicular perpendicular al eje de la barra es normal=P/A. (Asumimos que P actúa uniformemente sobre el área A)
Esfuerzo –deformación del ensayo de tensión uniaxial
Pero nos interesa conocer:
MIN 240
Cuando un elemento falla para un estado general de esfuerzos
– USM – M.
Tubinoo 20 Tubin 2015 15
1
Esfuerzos en Planos Inclinados
MIN 240
– USM – M.
2
Tubinoo 20 Tubin 2015 15
Esfuerzos en secciones inclinadas
En una viga estos los esfuerzos normales y de corte (, ) es está tánn dados por la fórmula de flexión y fórmula del esfuerzo cortante y, por ejemplo en caso de ejes o un rotor, entonces los esfuerzos vienen dados por las fórmulas de torsión. Sin embargo, estos casos de esfuerzos se presentan en secciones transversales, pero también pueden ocurrir esfuerzos, que inclusive pueden ser mayores, en secciones con determinada orientación, es decir, esfuerzos que actúan a un ángulo o dirección inclinada respecto al eje axial.
Anteriormente nuestros análisis sólo se han considerado los esfuerzos normales que actúan en secciones transversales rectas
seccióntransversalrecta seccióntransversalrecta
P A
En el caso de tensión vimos el esfuerzo en una sección transversal:
MIN 240
– USM – M.
Tubinoo 20 Tubin 2015 15
3
MIN 240
– USM – M.
Tubinoo 20 Tubin 2015 15
P A
n
0
4
1
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Esfuerzos en secciones inclinadas
Esfuerzos en secciones inclinadas
Pero, qué esfuerzos se producen en una sección inclinada un ángulo θ respecto al eje axial?
Retornando a la barra original consideremos el diagrama de cuerpo libre de su parte izquierda:
seccióninclinada
?
seccióninclinada ? sección. Pero, qué esfuerzos se producen en una sección inclinada un ángulo
MIN 240
– USM – M.
Y los esfuerzos en la sección inclinada serán:
?
?
5
Tubino 2015
Esfuerzos en secciones inclinadas
Pero:
P
1 c os 2 2
A
12
P A
P
Tubino 2015
A
sen 2
6
Tubino 2015
2
P P 2 A A 2 2
El circulo de Mohr es una representación o solución grafica de las relaciones de los esfuerzos en secciones inclinadas
sen2
sen 2
2A 2
max
2
y
x
P
V
90º
2 A
A
max
max
P
max
2
45º
P 2 A
max
2
max
2
P A
Lo que demuestra que la relación entre θ y θ es una circunferencia con radio de P/2A y centro en P/2A, conocida como el circulo de Mohr. – USM – M.
P
1 2
P P 2 2 A 2 A
MIN 240
P·sen P sen cos A A cos
Un ejemplo el ensayo de tracción:
2 A 2
– USM – M.
P·cos P P 1 co s 2 cos2 A 2 A A cos
Esfuerzos en secciones inclinadas
(sen 2θ)2+(cos 2θ)2=1 P 2 A cos 2
MIN 240
max
7
MIN 240
– USM – M.
Tubino 2015
P A 8
2
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ESFUERZOS PRINCIPALES
Deformaciones Antes se definieron las deformaciones debido a la aplicación de esfuerzos:
Se denominan esfuerzos principales a los valores máximos de los esfuerzos normales. De lo anterior y el circulo de Mohr θ = 0 max =N = P/A min=0 Para θ= 45
45=N
= P/2·A
δl = lf-l0 Deformación longitudinal ε = d / l 0 Deformación longitudinal unitaria
45=P/2A
Estos resultados indican que una barra sometida a carga axial de tracción y compresión presenta los esfuerzos normales máximos en una sección transversal a la θ = 0 y los esfuerzos cortantes máximos en una sección a θ= 45º. Para evitar la falla, ambos esfuerzos máximos no deben exceder de los límites de fluencias longitudinales y transversales respectivamente
MIN 240
max
= P/A <
max
= P/2A< fl
– USM – M.
En el rango de la zona elástica, rango de validez de la ley de Hooke: PL0
EA
Esta ecuacion es valida solo para secciones constantes, de los contrario debe plantearse la deformación en un elemento dx e introducir la función que rige el cambio de sección.:
fl
9
Tubino 2015
MIN 240
Esfuerzos Combinados: Carga Biaxial
– USM – M.
10
Tubino 2015
Carga Biaxial y sen 2
Se denomina carga biaxial en aquellos casos donde un cuerpo soporta cargas en dos direcciones perpendiculares.
y θ θ
θ
x cos2 0
1 cos 2 2
x y 2
x
1 cos 2
x y 2
2
0
cos 2 0
θ
l
cos
dy
l sen dx
F
2
Los esfuerzos normales θ y cortantes cualquiera
F 0 1
l dz y dx dz sen y sen 2
MIN 240
– USM – M.
Tubino 2015
θ
en una sección
0
l dz y dx dz cos x dy dzsen 0 y sen cos x sen sen 0
x dy dz cos 0
dado que :
x cos2 0 11
MIN 240
– USM – M.
Tubino 2015
x y 2 2
sen2
se n2 cos 2
2
1
12
3
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Circulo de Mohr para carga Biaxial
Transformación de Esfuerzos
Finalmente: 2
2
x y x y 2 2 2
y ’xy=?
xy
xy
’x=?
x
A
y’
y
x’
Estado de esfuerzos en x’, y’ ?
x Del circulo se puede apreciar que los esfuerzos normales máximos ocurren en las direcciones “x” y “y” y los esfuerz os y cortantes máximos en una dirección θ = 45º. MIN 240
– USM – M.
Estado de esfuerzos en A 13
Tubino 2015
MIN 240
Transformación de Esfuerzos
– USM – M.
Tubino 2015
14
14
16
16
Planos & Esfuerzos Principales Planos Principales
Resolviendo las ecuaciones de equilibrio para el triangulo:…
~ los dos planos donde el esfuerzo normal () es el máximo o el mínimo.
x y x y x ' cos 2 xy sen 2 2 2
~ en los planos principales no hay esfuerzos de corte
~ estos dos planos son perpendiculares entre si ~ las orientaciones de estos planos (p) está dada por:
xy
x y sen 2 xy cos 2 2
'
p
1 2
2 xy x y
1 tan
Da dos valores (p1 y
MIN 240
– USM – M.
Tubino 2015
15
15
MIN 240
– USM – M.
Tubino 2015
p2)
4
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anos
Planos & Esfuerzos Principales
s uerzos rincipa es
Esfuerzos Principales
Orientación de los Planos Principales
Los esfuerzos normales ( ) que actúan en los planos principales
max
p1
min
x
y 1 x R 2 y 2 x R 2
90 2
R
MIN 240
– USM – M.
17
Tubino 2015
MIN 240
Esfuerzo de Corte Máximo ( max )
– USM – M.
x y 2 xy 2 18
Tubino 2015
Esfuerzo de Corte Maximo Orientación de los Planos de Corte Máximo
~ El esfuerzo de corte máximo se da en dos planos perpendiculares entre sí.
~ Las orientaciones de los dos ( s ) planos está dada por: s
y tan x 2 2 xy 1
Proporciona dos valores ( s1 y
max MIN 240
– USM – M.
=R
Tubino 2015
s2
1
s1
x
90
s2 ) 2
R
x y 2 xy 2 19
MIN 240
– USM – M.
Tubino 2015
20
5
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Planos Principales y de orte M ximo
45
Círculo de Mohr
De las ecuaciones de transformación de esfuerzos ( diapositiva 20).
Planos Principales
x
2
x y xy '2 R2 x ' 2
Planos Corte Máximo
p
MIN 240
– USM – M.
=
s ±
45
Ecuación of a circulo con las variables x’ y xy’ 21
Tubino 2015
21
MIN 240
Círculo de Mohr
xy’
– USM – M.
Tubino 2015
22
Tubino 2015
Círculo de Mohr
(x + y)/2
Un
R
MIN 240
– USM – M.
punto en el Circulo de Mohr representa los valores x’ and xy’ en un plano especifico . se miden en el mismo sentido desde el eje Los x-original en el circulo (2 ) y en el elemento ( ). que inducen giro en el sentido horario son Los positivo, los que lo hacen en el sentido anti horario son negativos. La misma convención de signos de esfuerzos definida. Ej.: en planos positivos, positivos en el sentido positivo….
x’
23
MIN 240
– USM – M.
Tubino 2015
24
24
6
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Círculo de Mohr
Circulo de Mohr
xy’
xy’
=0
2
Cuando rotamos el plano por 180 , en el circulo rotamos 360 . Así…. °
x’
°
MIN 240
– USM – M.
…..al rotar por un ángulo , en el plano, se rota 2 en el círculo de Mohr.
= 90
25
Tubino 2015
MIN 240
– USM – M.
Círculo de Mohr
En un punto A de un cuerpo se tienen los esfuerzos indicados.
xy’
x’
Tubino 2015
A
1
➢
los esfuerzos principales mayor y menor,
➢
orientaciones de los planos principales,
➢
esfuerzo de corte máximo,
➢
– USM – M.
200 kPa 60 kPa 40 kPa
Determinar lo siguiente:
max
MIN 240
26
Tubino 2015
Graficando el Circulo de Mohr
Esfuerzos principales y Esfuerzo corte máximo
2
x’
°
°
27
MIN 240
orientaciones de los planos de esfuerzos de corte máximos.
– USM – M.
Tubino 2015
28
7
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Graficando el Circulo de Mohr
Graficando el Circulo de Mohr 200 kPa
Esfuerzos Principales
60 kPa
A
(kPa)
40 kPa
(kPa)
1= 220
120
(x + y)/2
120
(kPa)
2= 20
R = 100
(kPa)
R = 100
2
R
MIN 240
– USM – M.
x y 2 xy 2
29
Tubino 2015
MIN 240
Graficando el Circulo de Mohr
– USM – M.
30
Tubino 2015
Graficando el Circulo de Mohr
200 kPa 60 kPa
Posiciones de los planos x & y en el Circulo
Esfuerzo Corte Máximo
(kPa)
max
A
(kPa)
40 kPa
= 100 60 120
(kPa)
40 -60
R = 100
(kPa)
200
tan = -60/80 = -36,87° MIN 240
– USM – M.
Tubino 2015
31
MIN 240
– USM – M.
Tubino 2015
32
8
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Graficando el Circulo de Mohr
A
(kPa)
71,6°
200
kPa
Orientación de los Planos de Corte Máximo
60 kPa
Orientaciones de los Planos Principales
Graficando el Círculo de Mohr
200 kPa
60
26,55°
40 kPa
A
(kPa)
PLANO PRINCIPAL MENOR
Y Y
kPa 40
kPa
53,1° 36,9°
36,9°
(kPa)
18,4°
PLANO PRINCIPAL MAYOR
(kPa)
-100
kPa
220 kPa 20 kPa
116,55° MIN 240
– USM – M.
Tubino 2015
33
MIN 240
– USM – M.
34
Tubino 2015
Ejemplos de Esfuerzos en el Plano • Circulo de Mohr para carga axial centrada
ESFUERZOS EN EL PLANO ESFUERZOS COMBINADOS EN EL PLANO
x
P A
, y xy 0
x
y xy
P 2 A
• Circulo de Mohr para esfuerzo de Torsión
EJEMPLOS - EJERCICIOS
x MIN 240
– USM – M.
Tubino 2015
35
MIN 240
– USM – M.
y 0
xy
Tubino 2015
Tc J
x
y
Tc J
xy
0 36
9
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Ejercicio
Ejemplo 7.02 Para el estado de esfuerzos del elemento de la figura, determinar: (a) Graficar el circulo de Mohr (b) Determinar los planos principales (c) Determinar los esfuerzos principales (d) Determinar los esfuerzos de corte máximos y lo esfuerzos normales correspondientes. r
Una pieza de a = 2 cm de ancho por b = 3 cm de alto y c = 1 cm de profundidad está sometida a una fuerza horizontal de 100 Kg y una vertical de 200 Kg Se pide hallar las dimensiones finales. Tomar ν =0,3
10 MPa 40 MPa
50 MPa a=2,000003 cm b=3,00012 cm
MIN 240
– USM – M.
37
Tubino 2015
MIN 240
Ejemplo 7.02
– USM – M.
7 -3838
Tubino 2015
Ejemplo 7.02
• Graficar Circulo de Mohr
[Mpa]
10 MPa 40 MPa
[Mpa]
40 MPa
10
50 MPa
y
O
10
50 MPa
40
C G
O
C
F
C
O
20
40
F [Mpa]
20
50
x
OA OC CA 20 50
max
max max
1 70MPa
OB OC BC 20 50
min
2 30MPa
40
R=50
A [Mpa]
R=50 G
tan 2 p
x
2 p
50 p
MIN 240
– USM – M.
Tubino 2015
40 MPa
y
B
40
10 MPa
• Planos y esfuerzos Principales
7 -3939
MIN 240
– USM – M.
Tubino 2015
FX
40
CF 30 53,1
26,6 7 -4040
10
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Ejemplo 7.02 O
[Mpa]
10
Ejemplo 7.02
• Planos y esfuerzos de corte máximos
• Planos y esfuerzos de corte máximos [Mpa]
y
’prom=20
40
C G
B
O
C
[Mpa]
[Mpa]
40
R=50
O
B
C 20
R max 50 MPa max
7 -4141
Tubino 2015
Ejemplo Esfuerzos Combinados Axial
x
Flexión:
x
P
A
P
D 2 4
4P D
s
p 45
s
71,6
– USM – M.
x
2
D 32FL 3 I D D 4 64 My
MIN 240
x
FL 2
x
MIN 240
– USM – M.
Tubino 2015
xz
D 16T J D4 D 3 32 Tc
max
ave
R
prom
20 MPa
50 MPa
7 -4242
4P D
x
2
4P D
2
32 FL D
3
Con: F = 0 ,5 5 kN xz
0
max
Tubino 2015
x
xy
[Mpa]
Determinar los esfuerzos totales
T = 30 Nm
Torsion:
71,55
40
Ejemplo Esfuerzos Combinados
Determinar los esfuerzos de cada carga si: F = 0,55 kN, P = 8,0 kN y
Corte:
s
10
max=70
min=-30
71,6
– USM – M.
[Mpa]
50
• Maximum shear stress s p 45
MIN 240
A
E
s
90º
2p=53,1º R=50
x
50
e
max=50
A
F
20
d
D
y
32 FL D
xy
3
0
4 PD 32 FL D
3
P = 8,0 kN
xz
xz
16T D
3
16T D
3
T = 30 Nm
= 95,5 MPa = 19,1 MPa
T 2
43
MIN 240
– USM – M.
Tubino 2015
44
11
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Ejemplo Esfuerzos Combinados: C. de Mohr
Ejemplo Esfuerzos Combinados: C. de Mohr
Dibujar el Circulo de Mohr para los esfuerzos determinados.
Dibujar el Circulo de Mohr para los esfuerzos determinados. x = 25,5 MPa xy = 19,1 MPa
xy=19,1
MPa
xy=19,1 x=25,5
❖ x en (x;, xy) (25,5;- 19,1) ❖ y en ( y; yx) (0; 19,1) ❖ ( y, -xy) ❖ Centro del circulo C ❖ Radio del círculo
MPa MPa R
2
x=25,5
MPa
2
x C x xz 2 25, 5 12, 8 19, 12 2 2, 96 x y 25,5 0 ,0 ;0 12, 75; 0 2 2 2
1,2 1,2
MIN 240
– USM – M.
45
Tubino 2015
Circulo de Mohr del Ejercicio
– USM – M.
46
Tubino 2015
Circulo de Mohr del Ejercicio
Planos principales
Unidad MPa
MIN 240
x y x y 2 2 2 xy 1 2, 7 5 1 2, 7 5 1 9, 1 2 2 12, 75 22,96 1 35, 71 MPa 2 10, 21MPa
Esfuerzos de corte máximos
xy=19,1
Unidad MPa
MPa
xy=19,1
y (0:19,1)
x=25,5
MPa
y (0:19,1)
Y (12,75; 22,96
x=25,5
MPa MPa
2 P =33,72
º
C (12,75;0)
C (12,75;0)
x (35,71)
y(-10,21)
2 P =56,28
º
R=22,96
2 P =56,28
19,1
º
R=22,96
x (25,5:-19,1)
x (25,5:-19,1) x 12,75; -22,96)
MIN 240
– USM – M.
Tubino 2015
47
MIN 240
– USM – M.
Tubino 2015
48
12
