Resistencia de Materiales I
Mag. Ing. Máximo Alejandro Crispín Gómez
1.1 ESFUERZO Y DEFORMACIÓN INTRODUCCIÓN Una fuerza externa externa aplicada a una estructura, hace hace que éste éste se deforme o cambie cambie ligeramente de forma en la dirección de la aplicación de la carga. También produce fuerzas internas lo que se denomina fuerza resistente. Esta fuerza distribuida en una superficie, es lo que se denomina esfuerzo. En este tema solo analizaremos lo que corresponde a los miembros cargados axialmente, lo que significa la acción de las cargas en la dirección del eje del elemento estructural. ESFUERZO Es la capacidad de resistencia, que se representa como las fuerzas internas internas en la sección del elemento estructural.
=
P A
Donde: = Esfuerzo unitario en N/m2, Lib. / pulg2., Kg. / cm2. F = P = Fuerza aplicada en N, Lib., Kg. A = Área sobre la cual actúa la fuerza fuerza En la actualidad en los diferentes países del mundo se viene implementando el uso de las unidades prácticas del Sistema Internacional (S. I.): Newton, metro, centímetro, se tiene el caso que en algunos países como el Perú se viene utilizando por simplificación, tales como; kilogramo – fuerza (Kg. – f), tonelada – fuerza (Ton – f), kilogramo – fuerza por centímetro cuadrado (Kg.f / cm 2), etc. Las empresas de algunos países desarrollados vienen acondicionando la aplicación del moderno Sistema Internacional de Unidades S. I. International System of Unites. Es importante conocer la relación de algunas unidades: 1 KN = 1 kilonewton = 1 x 103 N 1 MN = 1 meganewton = 1 x 106 N 1 GN = 1 giganewton = 1 x 109 N 1 KPa = 1 kilopascal = 1 x 103 Pa = 1 x 103 N/m2. 1 MPa = 1 megapascal = 1 x 106 Pa = 1 x 106 N/m2. 1 GPa = 1 gigapascal = 1 x 109 Pa = 1 x 109 N/m2. 5
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DEFORMACIÓN Es la elongación o contracción que sufre el material producto de aplicación de la carga o la fuerza exterior, en la misma dirección de dicha fuerza. La deformación total es el cambio total de la longitud del miembro, se representa con el símbolo ; que puede estar expresado en mm., cm., pulg. o pies. Fig. Nº 04. La deformación unitaria es el cambio de la longitud por unidad de longitud, se expresa con la letra griega , lo que debe considerarse con las siguientes unidades: m/m., pulg/pulg. La deformación unitaria se obtiene dividiendo la deformación total del material, por la longitud total del mismo, es producto de la aplicación de la carga axial. Lo que se representa algebraicamente de la forma siguiente: Donde: ε = deformación unitaria
L
δ= deformación total
L = longitud total
PROBLEMAS DEMOSTRATIVOS: 6
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PROB. Nº 01: Consideramos la estructura mostrada en la Fig. Nº 05 a), la cual consta de una viga AB y una barra BC. Se solicita determinar la fuerza que actúa sobre cada elemento y explique el tipo de esfuerzo que se presenta en cada elemento estructural, al aplicar la carga de W = 300 Kg. en B. Despreciar el peso propio de cada elemento. SOLUCION
Se presenta el diagrama de cuerpo libre (Fig. Nº 05 b), donde se observa la aplicación de las fuerzas en el pasador B. Determinando las fuerzas en cada elemento, aplicando uno de los métodos que es la relación de triángulos, mostrados en la Fig. 5 c). 300 . 3
=
4
=
5
Determinamos los valores de las fuerzas en función de l a acción de los 300 Kg., se tiene: = 4 ×
= 400 . = 5 ×
300 3
= 500 .
Con la determinación de los valores, estamos determinando las fuerzas actuantes en la viga y en la barra de los elementos. Lo que dependerá de la sección de cada uno de los mismos y el tipo de material. En consecuencia será necesario determinar el ESFUERZO en cada sección de los elementos estructurales.
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F
A
( + ) = Esfuerzo de tracción, se presenta en la barra BC. ( - ) = Esfuerzo de compresión, se presenta en la viga AB. PROB. Nº 02: Considerando en el problema anterior; las barras AB y BC de la Fig. Nº 05, se supondrá que son de cobre de fundición con diámetro de 5 mm. 0.5 cm. SOLUCION A = r 2 = (0.5 / 2)2 = 0.1964 cm2. (+)
=
=
.
= 2036.66 ./2
.
(-)
Para el material de cobre de fundición los esfuerzos admisibles son: adm. (Tracción) = 2 109 Kg./ cm2. adm.
(Compresión) = 3 163 Kg./cm2.
Haciendo la comparación de los esfuerzos obtenidos con los esfuerzos admisibles, se observa lo siguiente: 2 109 Kg./cm2. 2 545.82 Kg./cm2.
En tracción:
En compresión: 3 163 Kg./cm 2. 2 036,66 Kg./cm2.
( MAL ) ( BIEN )
La pregunta que nos estaríamos planteando sería: ¿Cómo solucionar el elemento estructural que está fallando . Entonces, la solución sería redimensionar la sección de la barra BC que esta fallando, considerando el esfuerzo admisible, para el caso correspondiente a tracción. =
A =
r
→
=
2
r
=
. ./
A
Entonces:
0.237
= 0.2371 2
donde:
r
0.275
El diámetro D = 2 r = 2 x 0,275 = 0,55 cm.
Se recomienda usar:
D = 0,60 cm.
ó
D = 6,0 mm.
Rta.
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PROB. Propuesto Nº 01: Una barra de aluminio de 2 pulgadas cuadradas de área y 20 pulgadas de longitud está unida a una barra de latón de 1.25 pulgadas cuadradas de área, de 30 pulgadas de longitud, como se muestra en la figura Nº 05. Suponiendo que P1 = 18,000 Lib.; P 2 = 34,000 Lib. y P 3 = 16,000 Lib. Determinar: a) El esfuerzo unitario (σ) de cada barra. b) La deformación unitaria ( ϵ) en cada barra. c) La deformación total (δ) del sistema. Considerar el Módulo de Elasticidad (E) para el latón = 15 x 10 6 Lib./ pulg2. y para el aluminio = 10 x 106 Lib./ pulg2.
FIG. Nº 05 Desarrollando: La fórmula a usarse:
PL
EA
DONDE: =
Deformación del elemento estructural = Carga axial = Longitud del elemento = Módulo de Elasticidad = Sección del elemento
P L E A En la barra de Aluminio: a) Esfuerzo Unitario: = b) Deformación:
=
b) Deformación:
=
Deformación Unitaria:
× × ×
Deformación Unitaria: En la barra de Latón: a) Esfuerzo Unitario: =
=
∈=
=
= 9000 ./2
=
=
.
× ×.
= 0.0180 . (-)
.
= 0.0009 ./.
= 12800 ./2
×
∈=
=
=
× ×
.
= 0.0256 . (+)
= 0.000853 ./.
c) Deformación Total del Sistema: ó − = 0.0256 − 0.018 = 0.0076 .
Son las respuestas.
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