Analisis de Esfuerzo y Deformacio

ANÁLISIS DE ESFUERZOS Y DEFORMACIÓN Msc. Ing. Carlos Luza H.

Uno de los problemas principales de la ingeniería es predecir los desplazamientos generados alrededor de la excavación y los que se presentan en la superficie. Las excavaciones subterráneas pueden tomar lugar en un espacio infinito o semi-infinito, el cuál esta definido por un estado inicial de esfuerzos (Brady, 1993)

Análisis de esfuerzo y deformación infinitesimal El análisis de esfuerzo es materia de estática pura independiente de las propiedades asumidas para el material que pueda ser: elástico, plástico, viscoso o de cualquier otro tipo. Si el movimiento es muy grande requiere de análisis más sofisticados, sin embargo, si las deformaciones con infinitesimales en la teoría de elasticidad encontraremos los elementos necesarios para su estudio.

Conceptos es la cantidad de fuerza por cada unidad de superficie se expresa como :  σ=

donde

σ



es el esfuerzo y F la fuerza que actúa sobre el área A.

Se expresa en unidades de presión como psi o MPa

Conceptos Los esfuerzos actuando en un plano pueden tener dos componentes: • σ perpendicular a la superficie – compresión : paralelo a la superficie – distorsión • angular

En un volumen producen: σ : compresión : distorsión angular

Conceptos son las que actúan sobre cada una de las partículas que forman el cuerpo de roca. No son consecuencia de un contacto directo con otros cuerpos : actúan sobre “caras” de los cuerpos o segmentos de esos cuerpos, son una consecuencia del contacto físico entre dos cuerpos

  





La deformación puede ser vista como un desplazamiento normalizado cualquier estructura sujeta a un estado de esfuerzos se deforma La magnitud de la deformación depende directamente de la magnitud de los esfuerzos aplicados y del tamaño de la estructura De manera de trabajar con una parámetro independiente de la escala, el concepto de deformación es utilizado Al cociente ∆L/L se lo denomina deformación unitaria (strain) y se la denota con la letra ε, esta magnitud es adimensional (no tiene unidades).

 =

Δ

−

= 



′

La deformación de corte envuelve la interacción de dos ejes. Cambio de ángulo entre dos líneas originalmente perpendiculares. • Positivo: ángulo > 90° Deformación de corte negativa:  P’Q´ >PQ

El desplazamiento normal y la deformación asociada ocurre a lo largo de un eje γ=tanψ

Las nuevas posiciones están vinculadas mediante ecuaciones en función de sus posiciones originales

K: indica la magnitud de las deformaciones normales γ: indica la magnitud de las deformaciones de corte

El corte puro es una combinación de deformaciones normales de extensión y compresión

Diferencia tensión y esfuerzo Diferencia entre fuerza que es un vector y esfuerzo (tensiones) que no es un vector y depende del área a la que es referenciada

Componente normal y tangencial de esfuerzos

Convención de signos – círculo de Morh En las Geociencias la convención de signos que se usa cuando se aplica a esfuerzos normales, sigue la regla acostumbrada que la tensión es negativa y la compresión es positiva ( ) Compresión es considerada como positiva, esto se debe a que la mayoría de los esfuerzos en problemas de la Mecánica de Rocas son compresivos. La esfuerzos de cizalla o esfuerzos tangenciales: los sinestros (giro a la izquierda) son positivos y los dextros son negativos (giro a la derecha).

Estado de tensiones 2D Tensor de tensiones σy

τyx τxy σ x

σx

  

 x

 xy

τxy

  

xy

  

y

  

Convención de signos para el Tensor de tensiones

τyx σy

Estado de tensiones 3D Representación 3D de las tensiones entorno a un punto

Representación del Tensor de tensiones en un punto

    

 x

 yx

 zx



xy

 

y

zy

  

xz

  

yz

  

z

    

Simetría del tensor de esfuerzos Considerando un elemento infinitesimal, de lados dx e dy entorno del punto A. Aplicando equilibrio de fuerzas y momentos

s  y

t  yx

f x e f y son fuerzas por unidad de volumen

¶t  yx

+

 y ¶ 

¶s  y

+

dy ×  f  y

dx

t  xy

 A

 xy



s  x

dy

s  x



¶   y

dy ×

t  yx

t  xy

  

yx

s  y

+

 f  x

¶t  xy

+

 x ¶ 

¶s  x

dx ×

¶   x

dx ×

Simetría del tensor de esfuerzos Se tienen 9 componentes de esfuerzos (3 normales y 6 de corte) Se obtiene que el tensor es simétrico con 6 componentes de esfuerzos (3 normales y 3 de corte).

Cualquiera sea el método utilizado para determinar el estado de esfuerzos, se requieren 6 fuentes de información independiente