ERRORES INHERENTES

ERRORES INHERENTES, POR TRUNCAMIENTO Y POR REDONDEO Existen tres tipos básicos de errores en una computación numérica: inherentes, por truncamiento, truncamiento, y por y por redondeo. redondeo. Cada uno se puede expresar en forma absoluta o en forma relativa.

1. ERRORES INHERENTES Son errores que existen en los valores v alores de los datos, causados por incertidumbre en las mediciones, por verdaderas equivocaciones, o por la naturaleza necesariamente aproximada de la representación, mediante un nmero finito de d!"itos, de cantidades que no pueden representarse exactamente con el nmero de d!"itos permisible. #or e$emplo, si necesitamos usar π en un cálculo, podemos escribirlo como 3.14, 3.14, 3.1416 , 3.1415926535589793...,, etc. En muc%os casos an una fracción simple no tiene 3.1415926535589793... representación decimal exacta, por e$emplo 1/3, 1/3, que puede escribirse solamente como una sucesión finita de nmeros 3. &uc%as fracciones que tienen representación finita en un sistema no la tienen en otro, el nmero '(') es i"ual a ).' en decimal y en binario es 0.000110011001100...

2. ERRORES POR TRUNCAMIENTO Estos son debidos a la omisión de términos en una serie que tiene un nmero n mero infinito de términos. #or e$emplo podemos utilizar la serie infinita de *aylor para calcular el seno el seno de  de cualquier án"ulo X  án"ulo X , expresado en radianes: radianes:

+-

#or supuesto que no podemos pod emos usar todos los términos de la serie en un cálculo, porque la serie es infinita entonces, los términos omitidos introducen un error por truncamiento.

3. ERRORES POR REDONDEO Estos errores se introducen en los procesos de co mputación por el %ec%o de que las computadoras traba$an con un nmero finito de d!"itos después del punto decimal y tienen que redondear.

Como nos interesa el redondeo de punto flotante, revisaremos la forma de representación de un nmero de punto flotante. /ecordando que cada nmero lo podemos representar por una fracción "eneralmente llamada Mantisa, la cual está multiplicada por una potencia del nmero base, llamada "eneralmente el Eponente. Entonces tenemos nmeros como los si"uientes:

+0-

Se puede determinar un l!mite al error relativo máximo que puede ocurrir en un resultado aritmético obtenido con redondeo truncado. El error relativo máximo ocurre cuando ! "   es "rande y # "   es peque1o. El valor máximo posible de ! "   es menor que 1.0 el valor m!nimo de # "   es 0.1, por lo que el valor absoluto del error relativo es:

+2-

Entonces se observa que el máximo error relativo por redondeo en el resultado de una operación aritmética de punto flotante no depende del tama1o de las cantidades, sino del valor num�rico de d�"itos que se mane$en. El tipo mas conocido de redondeo, que se denomina "eneralmente redondeo sim$trico,  puede describirse como si"ue. 3adas las dos partes de un resultado como en el caso anterior, la aproximación redondeada a "  está dada por:

+4-

en que "  tiene el mismo si"no que # ".  5a adición de 10 en el se"undo ren"lón de la ecuación corresponde a sumar 1 al ltimo d!"ito retenido si el primer d!"ito que se pierde es i"ual o mayor que 5. Se describen los s!mbolos de valor absoluto para indicar que las mismas fórmulas se aplican a cantidades positivas y ne"ativas. Si ! "   6 '(7, el error absoluto es

+8-

Si

, el error absoluto es +9-

3e cualquier manera, tenemos 10 multiplicado por un factor cuyo valor absoluto no es mayor que 1/2. El valor absoluto del error absoluto es, por lo tanto +')y el valor absoluto del error relativo es entonces +'' Si #  representa la mantisa de un nmero de punto flotante, y e el exponente podemos expresar en forma "eneral un nmero de punto flotante en base decimal como: +'7En donde sabemos que #  no puede ser menor que 1/10 puesto que los nmeros %an sido normalizados y no puede lle"ar a ser 1 porque la mantisa es una fracción propia. %ora si realizamos la suma de los nmeros:

0.1571 x 10 = 1.571

+ con mantisa de  d�"itos y un d!"ito como exponente-

5a computadora se encar"a de la colocación del punto y compara los exponentes para desplazar %acia la derec%a el punto para alinearlos. Entonces para el e$emplo %ace lo si"uiente:

+';-

s! se pueden sumar directamente las dos mantisas.
+7)-

+

si"nifica aproimadamente i!ua% a-

#ara la operación que llamamos redondeo sim$trico,

+7'-

y

+77Un error es una incertidumbre en el resultado de una medida. Se define como la diferencia entre el valor real Vr y una aproximación a este valor Va: e = Vr – Va

Existen diferentes tipos errores, cada uno se puede expresar en forma absoluta o en forma relativa.

Tipos

de

errores

Error de redondeo: Se originan al realizar los cálculos ue todo m!todo num!rico o anal"tico reuieren y son debidos a la imposibilidad de tomar todas las cifras ue resultan de operaciones aritm!ticas como los productos y los cocientes, teniendo ue retener en cada operación el n#mero de cifras ue permita el instrumento de cálculo ue se este utilizando.

Existen dos tipos de errores de redondeo: $ Error de redondeo inferior: se desprecian los d"gitos ue no se pueden conservar dentro de la memoria correspondiente. $ Error de redondeo superior: este caso tiene dos alternativas seg#n el signo del n#me ro en particular: para n#meros positivos, el #ltimo d"gito ue se puede conservar en la localización de memoria incrementa en una unidad si el primer d"gito despreciado es mayor o igual a %. para n#meros negativos, el #ltimo d"gito ue se puede conservar en la localización de la memoria se reduce en una unidad si el primer d"gito despreciado es mayor o igual a %. Error por truncamiento: Existen muc&os procesos ue reuieren la e'ecución de un numero infinito de instrucciones para &allar la solución exacta de un determinado problema. (uesto ue es totalmente imposible realizar infinitas instrucciones, el proceso debe truncarse. En consecuencia, no se &alla la solución exacta ue se pretend"a encontrar, sino una aproximación a la misma. )l error producido por la finalización prematura de un proceso se le denomina error de truncamiento. Un e'emplo del error generado por este tipo de acciones es el desarrollo en serie de *aylo r. Este es independiente de la manera de realizar los cálculos. Solo depende del m!todo num!rico empleado. Error numérico total: Se entiende como la suma de los errores de redondeo y truncamiento introducidos en el cálculo. +ientras más cálculos se tengan ue realiza para obtener un resultado, el error de redondeo se irá incrementando.

(ero por otro lado, el error de truncamiento se puede minimizar al incluir más t!rminos en la ecuación, disminuir el paso o proseguir la iteración o sea mayor n#mero de cálculos y seguramente mayor error de redondeo-. Errores humanos: Son los errores por negligencia o euivocación. as computadoras pueden dar n#meros erróneos po r su funcionamiento. )ctualmente las computadoras son muy exactas y el error es atribuido a los &ombres. Se pueden evitar con un buen conocimiento de los principios fundamentales y con la posesión de m!todos y el dise/o de la solución del problema. os errores &umanos por negligencia son prácticamente inevitables pero se pueden minimizar. Error inherente: En muc&as ocasiones, los datos con ue se inician los cálculos contienen un cierto error debido a ue se &an obtenido mediante la medida experimental de una determinada magnitud f"sica. )s" por e'emplo, el diámetro de la sección de una varilla de acero presentará un error seg#n se &aya medido con una cinta m!trica o con un pie de rey. ) este tipo de error se le denomina error in&erente. Error absoluto: Es la diferencia entre el valor exacto un n#mero determinado, por e'emplo- y su valor calculado o redondeado: Error absoluto = [exacto - calculado]

0ebido a ue la definición se dio en t!rminos del valor absoluto, el error absoluto no es negativo. )s" pues, una colección suma- de errores siempre se incrementan 'untos, sin reducirse. Este es un &ec&o muy pesimista, dado ue el redondeo y otros errores rara vez están en la misma dirección, es posible ue una suma 1algebraica1- de errores sea cero, con aproximadamente la mitad de los errores positiva y la otra mitad negativa. (ero tambi!n es demasiado optimista esperar ue errores con signo sumen cero a menudo. Un enfoue realista es suponer ue los errores, en especial el redondeo, están estad"sticamente distribuidos. Error relativo: Es el error absoluto dividido entre un n#mero positivo adecuado. 2eneralmente, el divisor es una de tres elecciones: la magnitud del valor exacto, la magnitud del valor calculado o redondeado- o el promedio de estas dos cantidades. a mayor parte de las veces utilizaremos Error relativo= [exacto - calculado]/[exacto]

El error relativo es una me'or medida del error ue el error absoluto, en especial cuando se utilizan sistemas num!ricos de punto flotante. (uesto ue los elementos de un sistema de punto flotante no están distribuidos de manera uniforme, la cantidad de redondeos posibles depende de la magnitud de los n#meros ue se redondean. El denominador de la ecuación de arriba compensa este efecto. Una caracter"stica relacionada de error relativo es ue los efectos de escalar la variable es decir, de multiplicarla por una constante distinta de cero, incluyendo cambios en la unidad de medición- se cancelan. Una buena medida del error deber"a ser 1invariante de las escalas1, de modo ue al cambiar de yardas a pulgadas, digamos, no deber"a amplificar el error aparente por 34, como suceder"a en la ecuación de arriba. Si bien las matemáticas puras se inclinar"an a utilizar el error absoluto, en general el error relativo se emplea en las ciencias aplicadas. )lgunas veces conviene multiplicar el error relativo por 566 por ciento- para ponerlo en una base porcentual.

Propaaci!n

del

error

as consecuencias de la existencia de un error en los datos de un problema son mas importantes de lo ue aparentemente puede parecer. 0esafortunadamente, esto errores se propagan y amplifican al realizar operaciones con dic&os datos, &asta el punto de ue puede suceder ue el resultado carezca de significado. 7on el propósito de ilustrar esta situación, seguidamente se calcula la diferencia entre los n#meros: a = "#$%&'() b = "#$%)&

Si los cálculos se realizan en base diez, coma flotante, redondeando por aproximación y traba'ando con tres d"gitos de mantisa, los valores aproximados a dic&os n# meros y el error relativo cometido es: a = "#$%& error relativo= *#)%x*"-( b = ":$%& error relativo= *#')x*"-(

Si a&ora se calcula la diferencia entre los valores exactos y la diferencia entre los aproximados se obtiene: a - b = ":"""+() a,- b,= "#"

0ebe observarse ue el error relativo de la diferencia aproximada es del 5668. Este e'emplo, extraordinariamente sencillo, pone de manifiesto como el error de redondeo de los datos se &a amplificado al realizar una #nica operación, &asta generar un resultado carente de significado.

Errores inherentes de redondeo y por truncamiento

Primero que nada debemos definir errores inherentes para poder comprender en su totalidad este tema, podemos decir que algo inherente es sinonimo de aparejar. Entonces el error inherente es aquel que fue provocado por otro, por ejemplo en un estudio quimico puede ser que los parametros de medidas hayan sido establecidos mal. Errores inherentes de redondeo.-  Estos errores son provocados por no tomar todas las cifras que resultan de las operaciones aritmeticas y que son imposibles de hagarrar todo resultado.

Errores inherentes por truncamiento.-  Este error es causado por no poder tener un resultado exacto y tener que utilizar un metodo numero como la serie de taylor para aproximarse a una respuesta.