Guía de Laboratorio Física
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Errores Objetivos: Desarrollar distintas actividades experimentales orientadas a aplicar y comprender los conceptos involucrados en el proceso de medición. Introducción
edir es una tarea inherente al laboratorio, un laboratorio sin medición no es un laboratorio. Las mediciones de los distintos observables físicos con la máxima precisión posible son de importancia capital para las distintas ramas de la ciencias. El resultado de la medición de una magnitud depende del procedimiento de medida, del instrumental empleado, del observador y de otros factores menores. Por lo tanto deducimos que no es posible medir una magnitud con “exactitud absoluta” y a lo que podemos aspirar es a determinar de la mejor manera posible el valor más probable o la mejor estimación Luego podemos concluir que el error de una medición está asociado al concepto de incertidumbre en el resultado obtenido en la medición. Entonces lo que se procura además de obtener el resultado de una medición es conocer la cota o los limites de la exactitud en la medida Como el error es inevitable, cuando se efectúa la medición de una magnitud cualquiera, la misma debe siempre estar acompañada del correspondiente error cometido en el proceso. Se puede medir con una mayor aproximación o con un error menor, de acuerdo a la mejor calidad del método o instrumento utilizado, pero no existe ni el instrumento ni el método que permita medir sin error. Por lo tanto una medida tiene sentido solo cuando se puede valorar de alguna manera el error que la afecta. En base a lo expresado, se define entonces x , como el valor verdadero de una medición tal que:
M
x = x+ ∆ x
(1)
donde es el valor medido y ∆ es el error absoluto o incertidumbre absoluta de la medida. Podemos decir que x es el valor más representativo de la medici ón. La ecuación (1) asegura que el valor verdadero de una magnitud esta comprendida en el intervalo : −∆ <
<
+∆
1
A este intervalo se le llama intervalo de inseguridad o de confianza de la medici ón y se representa gráficamente de la siguiente manera:
(
)
−−− −−−−− −−−−− −−− x
−∆x
x
x
+∆x
Notamos que, en lugar de dar un único número, definimos un intervalo.
Caracter ísticas de los instrumentos de medida es una medida de la calidad de la calibraci ón de nuestro instrumento respecto de patrones de medida aceptados internacionalmente. Es la cercanía del valor obtenido con el denominado valor “ verdadero ”. Precisión del instrumento: Est á relacionada con la repetibilidad que él proporciona en sus medidas, es decir que diferentes medidas de una misma cantidad bajo condiciones aproximadamente iguales conducen a resultados muy parecidos. A más parecidas las medidas, más preciso el instrumento. Exactitud:
Exactitud
n ó i s i c e r P
Figura 1. Ilustración de los conceptos de precisión y exactitud. a) es una determinación imprecisa e inexacta, mientras b) es más exacta pero imprecisa; c) es una determinación más precisa pero menos exacta que b) ; d) es la más precisa y exacta.
La exactitud y la precisión son dos conceptos de la Teor ía de Errores que ata ñen a los aparatos de medida y que a menudo se confunden uno con otro. Ejemplo: un cronómetro es capaz de determinar cent ésimas de segundo pero adelanta dos minutos por hora, mientras que un reloj de pulsera con apreciaci ón nominal de un 2
segundo, no lo hace. En este caso decimos que el cron ómetro es más preciso que el reloj común, pero menos exacto. En la Figura 1 se representan de modo esquem ático estos dos conceptos. Imaginemos que hacemos una serie de lanzamientos de flechas sobre un blanco. Si se trata de un arco preciso, las flechas estar án agrupadas entre s í. Si además la mira est á bien calibrada, se podrá hacer puntería y colocar el m áximo número posible de flechas en el blanco. En los cuatro blancos de la figura podemos observar las diferentes situaciones. Cuando las características del instrumento no cambian apreciablemente en el tiempo. Sensibilidad: Todo instrumento siempre tiene un valor m ínimo capaz de medir o detectar. Esta cantidad m ínima se denomina apreciaci ón nominal del instrumento. Fidelidad:
Clasificación de los errores Existe en la bibliograf ía diversos criterios para clasificar los errores, en este texto adoptaremos el de ubicarlos en dos grandes grupos: errores azarosos o casuales y errores sistem á ticos o causales . A menudo en la literatura se menciona un tercer grupo que comprende a los errores que cometemos por equivocaci ón o descuido: los errores ileg í timos o espurios . Para este tipo de “error” no hay tratamiento teórico posible y el modo de evitarlos consiste en poner mucha atenci ón en el procedimiento de medida y durante el análisis de los resultados.
Errores azarosos o casuales Son
aquellos que se deben a causas fortuitas o imprevistas, como ser variaciones repentinas de las condiciones ambientes (temperatura, presión, humedad), o debidas al observador (cansancio, falta de concentraci ón, etc.). Sin embargo pese a esta aleatoriedad los errores casuales obedecen leyes de carácter estadístico y a ellos se refiere la teor ía estadística de errores, que ser á abordada mas adelante.
Errores causales o sistemáticos Son aquellos errores que responden a alguna causa en particular, que ocurren siempre en una misma direcci ón y que son factibles de minimizarse. Un ejemplo sencillo y cotidiano puede ilustrar esta clasificaci ón. Si la aguja de la balanza del señor que nos vende verdura en el mercado est á un poquito corrida del cero, ya sea a la derecha o a la izquierda, el valor del peso de verdura que
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coloque en la balanza sufrirá sistemáticamente una incertidumbre por exceso o por defecto respectivamente.
Fuentes de Error El origen del error proviene de distintas fuentes que pueden clasificarse de la siguiente manera: a) Errores instrumentales
Son aquellos que provienen de una calibraci ón inadecuada del instrumento de medida, de imperfecciones en el aparato (las agujas indicadoras da ñadas o en mal estado, la gradaci ón en la escala del instrumento es deficiente, etc.) o deficiencias inherentes a la construcci ón del instrumento; Estos errores afectan la medida y sobre ellos no puede hacerse una teor ía general, pero si pueden reducirse los errores aplicando correcciones adecuadas en cada caso. Por ejemplo, en lo posible se debe controlar la calibraci ón del instrumento con un instrumento patr ón, verificar el “cero” del instrumento, evitar usar equipos en mal estado, etc. Mencionamos previamente que el instrumento inevitablemente por su propio proceso de fabricación entrega las medidas con un dado error, el fabricante, en el manual de uso indica cual es el error propio del instrumento (generalmente viene expresado como la precisi ón del instrumento). b) Errores metodológicos
Son aquellos que derivan de la aplicaci ón de un método en particular independientemente si este es erróneo o no, el an álisis del procedimiento empleado nos permitirá estimar el error. Por ejemplo podemos cometer este tipo de error cuando nos pesamos, es usual que siempre lo hagamos vestidos, estamos cometiendo un error sistemático en este caso con una incertidumbre por exceso debido al peso de la vestimenta. c) Errores de apreciación
Las determinaciones experimentales, en última instancia, se reducen a la lectura sobre una escala graduada. La apreciaci ón sobre esa escala depender á de la mínima división de tal escala y de la capacidad del observador para precisar fracciones de esa división. Por ejemplo, en una regla graduada en mil ímetros (esto quiere decir que la separación entre dos marcas consecutivas de la escala es de 1mm.), un observador puede mentalmente subdividir esa longitud en dos y apreciar de esa manera hasta ½ mm. Dicho de otra manera significa que la medida va a ser obtenida con una precisión de ½ mm. Un segundo observador, mas experimentado, podr á dividir en más partes ese milímetro de la escala, por ejemplo en 4 y entonces podr á apreciar hasta ¼ mm.
4
Con este criterio podemos disminuir tanto como quisi éramos el error de apreciaci ón. Pero dividir “a ojo” en más partes el milímetro de la escala en cuestión, para obtener un error de apreciaci ón menor, ser ía por parte del observador por lo menos irresponsable, en consecuencia el l ímite en este proceso de determinación del error de apreciaci ón est á dado por el criterio del observador. Obviamente como se desprende de lo expuesto con cada lectura o medición se comete un error de apreciaci ón que tiene que ver con el instrumento y con el observador. La experiencia del observador no solo le permite conocer el orden del error de apreciaci ón sino también la elección adecuada de los instrumentos a utilizar (rango, alcance, etc.). Cabe agregar que frente a una experiencia cualquiera debemos tener en cuenta que la presencia de alguna clase de error no inhibe la presencia de los demás, por el contrario el error de una medici ón va a estar conformado por todos los errores, instrumentales, de apreciaci ón y metodológicos.
Igualdad de Magnitudes Para comparar dos cantidades en Matem áticas y decidir si son iguales o no lo son, solo basta con comparar cifra a cifra hasta el orden que se quiera. En Física debido a que las magnitudes son el resultado de un proceso de medici ón y toda medida aparece afectada de un error se dice que: “dos magnitudes son iguales dentro de los errores de experimentaci ón cuando existe una zona en común a los dos intervalos de error dentro de la cual deber á estar la magnitud medida”. Si consideramos x ± ∆x y x ± ∆x , analíticamente, la condición de coincidencia o igualdad f ísica de las magnitudes x y x esta dada por: x
−
x
≤∆x+∆x
(2)
Los errores pueden afectar por exceso o por defecto una medici ón, pero siempre contribuyen a incrementar el error total de la misma, dicho de otra manera los errores nunca se cancelan entre s í.
Tratamiento de errores Hasta ahora hemos hablado de la clasificaci ón de los errores, el paso siguiente es analizar el tratamiento matemático de los mismos. Cabe aclarar que dado el alcance de esta gu ía el tratamiento matem ático de los errores s ólo tendrá un carácter introductorio. Volviendo a la ecuación (1): x = x+ ∆ x
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El error absoluto ∆ , est á compuesto por todos los errores que hemos cometido y podido determinar en la medici ón de una magnitud x cualquiera, es decir ∆ contiene tanto el error sistemático, como el metodol ógico y el de apreciaci ón cometidos en la medición. Ahora bien supongamos que se determina una magnitud cualquiera con dos métodos distintos, o se repite varias veces una medida con el mismo m étodo, y por ejemplo obtenemos: x = 270 º C ± 1 º C
y
x = 34.0 º C ± 0.5 º C
Fácilmente se puede determinar que el error absoluto en la segunda medida es menor. Pero que ocurre si queremos averiguar cu ál de las medidas es de mayor calidad o más precisa? o cómo haríamos para comparar dos magnitudes distintas , por ejemplo la medici ón de un volumen y la de una temperatura. Ambos problemas se pueden solucionar definiendo al error relativoε como: ε
=
∆ x
(4)
x
es decir el cociente entre el error absoluto ∆ y el valor x de la magnitud medida. Como puede observarse ε es un número adimensional y como n úmeros entre sí pueden compararse, puedo entonces comparar los errores. Definimos, directamente relacionado al error relativo, el error relativo porcentual ε : ε %
=
∆ x
⋅100
(5)
x
Esta nueva definici ón no es caprichosa, nos da informaci ón sobre el peso que tiene el error en la medida obtenida. Con esta definici ón podemos ahora saber que la primer medida, x del ejemplo anterior, es más precisa que la medida de x . Al realizar una medida tenemos que tener en cuenta el concepto de error relativo, ya que éste crece a medida que la lectura se aproxima al inicio de la escala del instrumento, debido a que el error absoluto es el mismo para toda la escala. Se recomienda entonces, medir siempre utilizando el sector cercano al fondo de escala.
Medidas indirectas Lo expuesto en el p árrafo anterior se refiere a medidas directas, la medici ón de una temperatura con un termómetro, un volumen de l íquido con una probeta, una longitud con una regla, etc. Pero muchas veces la magnitud a determinar est á relacionada a trav és de una ley f ísica con otras magnitudes medibles directamente,
6
como puede ser la determinaci ón de la superficie de una hoja rectangular de papel a trav és del producto de sus lados S = L ⋅L
o la aceleración de la gravedad determinada con un p éndulo f ísico g =
4π
T
En estos casos la valoraci ón del error de estas magnitudes ( S ó g ) dependerá del cálculo del error en las variables implicadas en la funci ón. Por ejemplo el valor del error de la superficie depende del error cometido en la medida de los lados, es decir si S = f ( L , L ) entonces: ∆S = f ( ∆L ∆L ) ,
En general y sin profundizar en la matem ática de este proceso para la determinaci ón del error en mediciones indirectas expondremos la expresi ón para el error absoluto de una funci ón de tres variables. Si L = f ( x, y, z ) entonces: ∆ L=
∂ f
∆ x+
∂ x
∂ f
∂ f
∆ y+
∂ y
∆ z
∂ z
(6)
donde ∂ f ∂x indica el valor absoluto de la derivada parcial de la funci ón respecto de la variable x y así sucesivamente .Volviendo al ejemplo anterior, S = L ⋅ L y aplicando la ecuaci ón (6) ∆S =
∂S ∂ L
∆L +
∂S ∂L
∆L
∆S = L ∆L + L ∆L
(6`) (6``)
Luego se puede obtener f ácilmente la expresi ón para el error relativo ∆S S
=
∆ L L
+
∆L L
(6```)
Es
pertinente comentar que en la ecuaci ón (6) a los coeficientes ∂ f ∂x , ∂f ∂y y ∂f ∂z se les llama factores de propagaci ón de los errores, esto nos permite previsualizar la magnitud del error cometido en cada medida y por lo tanto la precisión con la cual debemos realizar tal medida as í como la elección del instrumental apropiado. Para el caso particular en el que la funci ón sea factorizable en potencias de x , y y z, ..., como por ejemplo:
7
x y W = k z
(7)
donde k es una constante, la expresión para el error relativo, luego de propagar el error, resulta: ∆W
W
=n
∆x
x
+m
∆y
y
+
∆z
z
(8)
El ejemplo anterior resulta ser una regla pr áctica muy útil para cálculos preliminares. Para otro caso de inter és como sumas y restas, se obtiene el error absoluto sumando los errores absolutos de cada magnitud, as í por ejemplo para H = h + h o H = h − h obtenemos ∆ H = ∆ h + ∆ h
Orden de magnitud y cifras significativas El orden de magnitud es la potencia de diez m ás próxima al valor en cuesti ón. Así, por ejemplo 1150 km. 7650 km. 335 m. 850 m. 0,25 cc. 0,2 cc.
Es del orden de 1000 km. = 10 km. Es del orden de 10000 km. = 10 km. Es del orden de 100 m. = 10 m Es del orden de 1000m = 10 m Es del orden de 0,01cc = 10 c.c. Es del orden de 0,1 cc = 10 cc.
Así también notamos que podemos expresar los valores o cantidades de lo medido con varios d ígitos. i) 3,33 m supone que hemos medido con una re gla hasta los cm . ii) 3,332 m supone que hemos medido con una regla h asta los mm. iii) 3,3 m supone que hemos medido con una regla hasta dm.
En caso i) decimos que hay 3 cifras significativas, en el caso ii) hay 4 cifras significativas, y en el tercer caso hay 2 cifras significativas. Por lo tanto, las cifras significativas , son la cantidad de d ígitos que realmente se est án midiendo con alg ún instrumento. No podemos expresar que una medida realizada con una cinta de sastre, tiene un valor de 1,589 m, puesto que lo informado es mayor que lo que realmente puede proveer este instrumento. Así como por otro lado no podemos expresar que una medida tomada con una regla graduada en cm da como resultado un valor de 5,5 m puesto que se pierde información acerca de la precisi ón de la medición realizada. La expresi ón
8
correcta en este caso es 5,50 m.Tengamos en cuenta que el orden de magnitud de la medida no determina la precisi ón de cifras de la misma. ¿Qué sucede cuando tenemos cantidades con ceros a la derecha de la coma. Por ejemplo 2,3 m tiene el mismo n úmero de cifras significativas que 0,0023 km. Observamos que el número de cifras significativas es 2. Para resolver este tipo de problema podemos recurrir a la notaci ón cient ífica. Es decir: 2,3 m = 2,3 x10 cm. = 2,3 x 10 km. Lo anterior resuelve también el problema de la conversi ón de unidades, puesto que se puede mantener inalterado el n úmero de cifras significativas. Un ejemplo común erróneo viene dado por conversiones como 2,3 m = 230 cm.
Acotación de errores para varias mediciones Mencionamos previamente que los errores accidentales permiten un tratamiento estadístico, y podremos realizar un tratamiento de esta clase si disponemos de una gran cantidad de datos o valores medidos a) El mejor valor
El primer problema que debemos enfrentar es determinar cu ál es la mejor medida. Para ello calculamos el valor promedio de los x valores obtenidos en mediciones realizadas:
∑ x x =
(9)
=
N
Debemos justificar porque proponemos al promedio como el mejor valor, esto surge que al considerar que los errores accidentales son azarosos, podemos afirmar que el error cometido en cada medici ón es (10)
E = x− x
y representa la desviaci ón de cada medición respecto a . Por lo que podemos suponer que las desviaciones por exceso o defecto se compensan, es decir:
∑ =
E=
∑(
)
x− x = 0
(11)
=
de donde despejando , resulta la expresión dada inicialmente en este apartado.
9
El valor medio, se aproximar á tanto más al valor verdadero de la magnitud cuanto mayor sea el n úmero de medidas, ya que los errores aleatorios de cada medida se va compensando unos con otros. Sin embargo, en la pr áctica, no siempre es posible realizar varias medidas; la teor ía de estadística de errores indica el número adecuado de medidas. Cuando la sensibilidad del método o de los aparatos utilizados es pequeña comparada con la magnitud de los errores aleatorios, puede ocurrir que la repetici ón de la medida nos lleve siempre al mismo resultado; en este caso, est á claro que el valor medio coincidir á con el valor obtenido en una sola medida, y no conseguimos nada nuevo en la repetici ón de la medida y del c álculo del valor medio, por lo que solamente ser á necesario en este caso hacer una sola medida. b) Error Cuadrático medio
Concluimos que la determinaci ón del mejor valor para la magnitud que estamos midiendo es el promedio matemático x ó de las N medidas realizadas. El siguiente problema a resolver es c ómo informamos de las incertezas o desviaciones cometidas en el proceso de medici ón. Por lo tanto hay que determinar el error del promedio y acotarlo en funci ón de las mediciones realizadas. Es razonable pensar que el error est á relacionado con la dispersión de las mediciones alrededor del valor medio. Sin profundizar en los sustentos te óricos, podemos introducir el concepto de desviaci ón est ándar o desviación t ípica σ , partir de:
∑ ( x σ
=
− x)
=
N
(12)
Observemos que hemos obtenido una expresi ón que nos informa del error promedio de cada medici ón, que aunque aumente el número de ellas, tanto el numerador como el denominador, est án afectados proporcionalmente, por lo que resulta independiente del n úmero de mediciones realizadas. Por otro lado, σ nos da idea de la calidad o precisi ón de la medición realizada, como consecuencia de la construcción de su expresi ón. Si su valor es grande, las mediciones efectuadas se desv ían bastante del , caso contrario sucede con un valor de σ más pequeño. c) Error cuadrático medio del promedio
Podemos plantearnos ahora el problema de acotar el error del promedio, para ello calculamos el error cuadrático medio del promedio : ∆ x . Que lo definimos de acuerdo a la teoría de errores de Gauss: ∆ x
=
σ
N − 1
(13)
10
∑ ( x − x ) ∆ x
=
=
N ( N − 1)
(14)
Observemos que a medida que aumente , disminuirá ∆ x , es decir podemos acotar el mejor valor. Esta última expresión nos da un intervalo de incerteza de nuestra medición. Estamos en condiciones ahora de expresar el resultado del proceso de medición como x ± ∆x seguido de la unidad de medida La identificación del error de un valor experimental con el error cuadr ático obtenido de N medidas directas consecutivas, vale solamente en el caso que el error cuadrático sea mayor que el error instrumental, es decir, aqu él error que viene definido por la resoluci ón del aparato de medida.
Relación entre magnitudes medidas: Correlación de valores Los hechos de la Naturaleza a menudo se nos presentan como un gran interrogante. Los f ísicos, químicos, geólogos, biólogos, etc., pretenden explicar esos hechos y una de las herramientas a las que apelan para ello es medir magnitudes cuyas relaciones quieren descubrir. Esta postura acerca de c ómo es el trabajo del cient ífico, es una más entre otras que hoy en día son aceptadas por la Filosof ía y Epistemolog ía de la Ciencia. Con este método de trabajo, después de recoger los datos, los mismos son ordenados en una tabla y luego graficados. Se puede indagar aqu í cuál es la posible relación entre las mismas. Una vez detectada la posible relaci ón matemática, puede enunciar la ley f ísica y las condiciones bajo las cuales ésta se verifica. Se puede así encontrar alguna regularidad y predecir resultados con la nueva ley. Reflexionar acerca de los valores medidos bajo la óptica que tales valores poseen errores propios del proceso de medici ón, nos brinda informaci ón acerca de la pertinencia o no de la ley encontrada.
Método de los cuadrados mínimos imos cuadrados es M ín
una t écnica de optimización matemática que, dada una serie de mediciones, intenta encontrar una funci ón que se aproxime a los datos (un "mejor ajuste"). Intenta minimizar la suma de cuadrados de las diferencias ordenadas (llamadas residuos) entre los puntos generados por la funci ón y los correspondientes en los datos. La t écnica de mínimos cuadrados se usa comúnmente en el ajuste de curvas.
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Ejercicios E1) Verifique en el siguiente listado cuales pares de medidas son iguales.
a) (1,58 ± 0,1)cm. b) (1,60 ± 0,01) cm. c) (1,597 ± 0,005) cm.
(1,57 ± 0,02) cm. (1,59 ± 0,2) cm. (1,588 ± 0,001) cm.
SI SI SI
NO NO NO
E2) ¿Cuánto cree que sería la menor divisi ón que podríamos estimar en los
siguientes instrumentos?: a) En una regla milimetrada, b) En la balanza del verdulero c) En tu reloj d) En la cinta de un sastre e) En el odómetro (contador de kil ómetros) de un auto f) En el velocímetro de un auto E3) Indique en el siguiente listado cuales medidas est án expresadas correctamente, cuales incorrectamente y por qu é
medida 135,3 144 3,68 37,3 37,30 205 205,0 205,10
unidades cm. cm. Cal ºC ºC cc cc cc
error 0,05 0,01 0.1 0,02 0,02 0,5 0,5 0,5
unidades cm. m. cal ºC ºC cc cc cc
E4) Calcule el error relativo, el error relativo porcentual y ordene las medidas desde la más a la menos precisa: a) T = 270 ºC ± 1ºC
b) V = 16,3 m /s ± 0,1 m/seg. c) L = 112,9 m ± 0,3 m. d) V = 0,8 cc ± 0,1 cc E5) Busque la expresión del error relativo en la ecuaci ón que determina el valor de usando un péndulo ( g = 4π T ) considere a π como una variable y
determine con cuantos decimales debe tomarlo para tener un error relativo porcentual del mismo orden que el per íodo, asuma que se mide con una regla milimetrada y con un cronómetro digital con precisi ón de décimas de segundos.
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Actividades A1) Cada comisión tiene un cilindro de dimensiones desconocidas. Complete la
siguiente tabla: Instrumento
∆
π
∆π
∆
∆
Regla Calibre A2) Determine ahora el volumen del mismo cilindro de la actividad anterior pero con otro método, por ejemplo por desplazamiento de l íquido a) Elija la probeta adecuada, justifique la elecci ón, calcule los errores
involucrados en el proceso. b) Compare ambos métodos y justifique la elección del más preciso. c) Ahora calcule la densidad ρ del cilindro. (ρ = M/ vol.)y su correspondiente error A3) Debemos conocer la densidad de una hoja de papel A4. a) Proponga un método y los instrumentos para hacerlo con una precisi ón
aceptable. b) Exprese el resultado con su correspondiente error. c) Proponga un método para disminuir el error en las medici ón del volumen de la hoja, utilizando los mismos instrumentos que en el primer apartado. Explique utilizando ecuaciones. A4) Una balanza comercial tiene una precisi ón de 100 grs. y una capacidad máxima de 15 kg. Determine la precisi ón de las siguientes pesadas, 1,2 kg. ; 7,5 kg. Y 14,8 kg. ¿Qué conclusiones se pueden obtener de estos resultados?
APÉNDICE Y EJEMPLOS
Supongamos que hemos medido un determinado tiempo, t, cuatro veces, y disponemos de un cronómetro que permite conocer hasta las d écimas de segundo. Los resultados han sido: 6.3, 6.2, 6.4 y 6.2 seg. De acuerdo a lo dicho anteriormente, tomaremos como valor medido el valor medio: t =
6.3 + 6.2 + 6.4 + 6.2 4
= 6.275 seg.
(A.1)
El error cuadrático será: ∆t =
(6.3 − 6.275) + (6.2 − 6.275) + (6.4 − 6.275) + (6.2 − 6.275) 12
= 0.04787 seg . (A.2)
13
Este error se expresa con una sola cifra significativa, (regla 2), ∆t = 0.05 seg. . Pero el error cuadrático es menor que el error instrumental, que es 0.1 seg., por lo que debemos tomar este último como el error de la medida, y redondear en consecuencia el valor medio, (regla 3) por lo que el resultado final de la medida es: (A.3)
t = 6.3 seg. ± 0.1 seg.
Consideremos un ejemplo similar al anterior, pero en que los valores obtenidos para el tiempo est án más dispersos: 5.5, 5.7, 6.2 y 6.5 s. Se encuentra que el valor medio es 5.975, y el error cuadr ático 0.2286737. El error cuadr ático es en este caso mayor que el error instrumental, por lo que debemos tomarlo como el error de la medida. Siguiendo la regla 2, lo debemos redondear a 0.2 (una sola cifra significativa). Y de acuerdo con la regla 3 (la medida y el error con el mismo número de decimales), expresamos la medida finalmente como: (A.4)
t = 6.0 seg. ± 0.2 seg.
Medidas indirectas Justificación matemática propagación de errores
de
las
expresiones
usadas
en
la
En muchos casos, el valor experimental de una magnitud se obtiene, de acuerdo a una determinada expresi ón matemática, a partir de la medida de otras magnitudes de las que depende. Se trata de conocer el error en la magnitud derivada a partir de los errores de las magnitudes medidas directamente. Funciones de una sola variable. Si se desea calcular el índice de refracci ón n de un vidrio midiendo el ángulo crítico θ, tenemos que n=1/senθ. Si medimos el ángulo θ es f ácil calcular el índice de refracción n. Pero si conocemos el error de la medida del ángulo, necesitamos conocer el error del índice de refracci ón. Sea una función y=y(x). Como se aprecia en la figura, si el error ∆x es pequeño. El error ∆y se calcula del siguiente modo
∆y=tanθ·∆x
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Pero tanθ es la pendiente de la recta tangente a al curva en el punto de abscisa x
Como la pendiente puede ser positiva, si la funci ón es creciente o negativa si la función es decreciente, en general tendremos que
Por ejemplo si la funci ón es: y=cos x, entonces para x=20 º ±3 º obtenemos y=0.94±0.02. El Calibre
El calibre es un aparato empleado para la medida de espesores y di ámetros interiores y exteriores. Consta de una regla provista de un nonio. El nonio es un aparato destinado a la medida precisa de longitudes o de ángulos. El empleado para la medida de longitudes consta de una regla dividida en partes iguales, sobre la que desliza una reglilla graduada (nonio) de tal forma que n -1 divisiones de la regla se dividen en n partes iguales del nonio. Si D es la longitud de una de las divisiones de la regla, la longitud de una división de nonio es d=D(n-1)/n. Se llama precisi ón p a la diferencia entre las longitudes de una división de la regla y otra del nonio, se puede demostrar que est á dada por: p =
D
. n
Así, si cada división de la regla tiene por longitud un mil ímetro, y se han dividido nueve divisiones de ella en diez del nonio, la precisi ón es de 1/10 de mm. En la figura, se muestra la imagen de un calibre (con una precisi ón de 1/20) durante el proceso de medici ón. El valor de la medida realizada con el calibre se obtiene de sumar a la parte entera de la medida el resultado del producto entre la precisión del instrumento (1/20) y el número de división del nonio 15
que coincide exactamente con una divisi ón de la escala de la regla, en nuestro caso es la división n=14 ( ver dibujo), luego. Parte entera: 24 mm, Precisi ón 1mm/20 = 0,05 mm, n = 14 entonces: X
= 24
+ mm
⋅n0.05
= 24.70 mm
mm
Micrómetro (instrumento)
El micrómetro (del griego micros, peque ño, y metros, medición), también llamado Tornillo de Palmer , es un instrumento de medici ón cuyo funcionamiento est á basado en el tornillo microm étrico y que sirve para medir las dimensiones de un objeto con alta precisión, del orden de cent ésimas de milímetros (0,01 mm) y de milésimas de milímetros (0,001mm=micra). Para ello cuenta con 2 puntas que se aproximan entre s í mediante un tornillo de rosca fina, el cual tiene grabado en su contorno una escala. La escala puede incluir un nonio. Principios de funcionamiento
Todos los tornillos micrométricos empleados en el sistema métrico decimal tienen una longitud de 25 mm, con un paso de rosca de 0,5 mm, de modo que girando el tambor una vuelta completa el palpador avanza o retrocede 0,5 mm. El micrómetro tiene una escala longitudinal, línea longitudinal que sirve de fiel, que en su parte superior presenta las divisiones de milímetros enteros y en la inferior las de los medios milímetros, cuando el tambor gira deja ver estas divisiones. En la superficie del tambor tiene grabado en toda su circunferencia 50 divisiones iguales, indicando la fracci ón de vuelta que ha realizado, una división equivale a 0,01 mm. Para realizar una lectura, nos fijamos en la escala longitudinal, sabiendo as í la medida con una apreciación de 0,5 mm, el exceso sobre esta medida se ve en la escala del tambor con una precisión de 0,01 mm. En la fotograf ía se ve un micr ómetro donde en la parte superior de la escala longitudinal se ve la divisi ón de 5 mm, en la parte inferior de esta escala se aprecia la divisi ón del medio mil ímetro. En la escala del tambor la divisi ón 31 coincide con la l ínea central de la escala longitudinal, luego la medida realizada por el micr ómetro es: 5 + 0,5 +(31*0.01) = 5,81 mm.
16
