ARMADURAS CON CAMBIOS TÉRMICOS Y ERRORES DE FABRICACION Si algunos de los elementos de la armadura se someten a un aumento o disminución de su longitud debido a cambios térmicos o errores de fabricación, es necesario usar el método de superposición para obtener la solución. Lo anterior requiere tres pasos. En primer lugar, se calculan las fuerzas de extremos fijo necesarias para evitar el movimiento de nodos como el causado por la temperatura o los errores de fabricación. En segundo lugar, se colocan fuerzas iguales pero puestas sobre los nodos de la armadura y se calculan los desplazamientos de los nodos mediante un análisis matricial. Por último, se determinan las fuerzas reales de los elementos y las reacciones en la armadura mediante la superposición d e estos dos resultados. Por su puesto, este procedimiento solo es necesario si la armadura es estáticamente indeterminada. Si la viga es estáticamente determinada, los desplazamientos en los nodos pueden encontrarse mediante este método; sin embargo, los cambios de temperatura y los errores de fabricación no afectaran las reacciones y las fuerzas de elemento puesto que la armadura es libre de ajustarse a los cambios de longitud.
EFECTOS TERMICOS. - si un elemento de una armadura con longitud L, está sujeto a un aumento de temperatura ∆T, el elemento experimentara un aumento de su longitud de ∆L=∝∆TL, donde ∝ es el coeficiente de expansión térmica. Una fuerza de compresión qo aplicada al elemento causar una disminución en la longitud del elemento de ∆L’= qo L/AE. Si se igualan estos dos desplazamientos, entonces qo = AE∝∆T. Esta fuerza mantendrá fijos los nodos del elemento y entonces se tiene:
(q N )o = AE∝∆T (q N )o = - AE∝∆T Observe que, si ocurre una disminución de la temperatura, entonces ∆T se vuelve negativo y estas fuerzas invierten la dirección a fin de ma ntener el elemento en equilibrio. Estas dos fuerzas pueden transformarse en coordenadas globales obteniénd ose:
Q Nx 0 x Q Ny 0 y Q Fx 0 0 0 Q Fx 0
x 0 1 y AET AE T x x 1 y y 0
ERRORES DE FABRICACION. - si un elemento de armadura se hace demasiado largo en una cantidad ∆L antes de ajustarse en la armadura, entonces la fuerza q o necesaria para mantener al elemento en su longitud de diseño L es qo = AE∆L/L, por lo que para el elemento se tiene:
q N q F
0
AE L
0
L AE L L
Si originalmente el elemento es demasiado corto, entonces ∆L se vuelve negativo y estas fuerzas se invierten. En coordenadas globales, estas fuerzas son:
Q Nx 0 x Q Ny 0 AEL y L x Q Fx 0 Q y Fy 0
ANALISIS MATRICIAL. - en el caso general, si una armadura se somete a la aplicación de fuerzas, a cambios de temperatura y a errores de fabricación, la relación inicial de fuerzadesplazamiento para la armadura se convierte en:
Q KD Q0 Aquí Q0 es una matriz columna para toda la armadura, de las fuerzas de extremo fijo iniciales, causadas por los cambios de temperatura y los errores de fabricación de los elementos definidos en las ecuaciones. Esta ecuació n puede partirse en la forma siguiente:
Qk K11 Q K u 21
Qk 0 Q K 22 Dk u 0 K12 Du
Si se lleva a cabo la multiplicación, resulta:
Qk Dk Qu
Qk
K11 Du
K12 Dk
Qu
K 21 Du
K 22
0
0
De acuerdo con el procedimiento de superposición, los desplazamientos desconocidos se determina a partir de la primera ecuación al restar después despejar
Du .
K12 Dk y
Qk
0
Du
en ambos lados, para
De esto se obtiene:
Du
K11 Qk 1
K12 Dk
Qk
0
Una vez obtenidos estos desplazamientos nodales, las fuerzas de los elementos se determinan por superposición, es decir:
q k 'TD q0 Si esta ecuación se expande para determinar la fuerza en el extremo lejano de elemento, resulta:
q F
AE
x L
y
x
D Nx D Ny y D qF 0 Fx D Fy
Aquí se tiene el termino adicional q F 0 , lo que representa la fuerza de extremo fijo inicial debida a los cambios de temperatura y/o errores de fabricación como se definió anteriormente. Tenga en cuenta que, si el resultado calculado a partir de esta ecuación es negativo, el elemento estará en compresión.
