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Cómo hacer un modelo matemático Resumen En este trabajo se muestra cómo hacer un modelo matemático riguroso a través de la aplicación de una teoría establecida donde se toma a la calidad de agua superficial como un caso de estudio. Con este parámetro se pretende demostrar como los modelos se pueden complicar dependiendo de la rigurosidad y exactitud que se quiera tener al representar el fenómeno. !ambién se presentan soluciones analíticas de algunos de los modelos y se propone resolver por el método numérico de diferencias finitas los modelos que no tengan solución analítica" dejando las ecuaciones discreti#adas. .
* $lejandro %egalado &énde# * Ever 'eralta %eyes $lberto * Carlos (on#ále# %ugerio
Pala Palabr bras as clave: clave:
!"#$ #!$ Ecuacione Ecuacioness diferenci diferenciales ales$$ %enómenos %enómenos de
&ransporte'
Introducción Para darle un seguimiento y entendimiento de lo (ue los autores (ueremos mostrar, comen)aremos por definir lo (ue para nosotros es un modelo' Un model modelo* o* es la representación abstracta de algún aspecto de la realidad. Su estructura estructura esta conformada conformada por dos partes, partes, la primera primera son todos aquellos aquellos aspectos que caracterizan la realidad modelizada, y la segunda no son más que las relaciones existentes entre los elementos antes mencionados.
*
*
Profesor Investigador, Universidad del Mar, Campus Puerto Ángel, Instituto de Industrias Profesor Investigador, Universidad del Mar, Campus Puerto Ángel, Instituto de Ecologa
Cientficos e Ingenieros usan al menos alguna de las tres metodolo+gas para otener las ecuaciones de un modelo las cuales se descrien a continuaci continuación* ón* -' %undam %undament ental al** Usa la teora teora acepta aceptada da de la ciencia ciencia fundam fundament ental al para otener ecuaciones' En este caso, las teoras (ue se aceptan son los a.iomas ásicos en el proceso lógico de construcción de un modelo'
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vol. vol. )*
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9
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Emprica* 0ace uso de oservación directa para desarrollar ecuaciones (ue descrien los e.perimentos' 1' 2naloga* Usar las ecuaciones (ue descrien a un sistema análogo, con variales identifica+das por analoga en una ase uno a uno' 2demás un modelo matemático está asado en la lógica matemática, cuyos elementos son esencial+mente variales y funciones, y las relaciones entre ellas, (ue vienen e.presadas a trav3s de relaciones matemáticas 4ecuaciones, inecuaciones, operadores lógicos, etc'5 (ue se empatan con las correspon+dientes relaciones del mundo real (ue modeli)an 4relaciones tecnológicas, leyes fsicas, restricciones del mercado, etc'5' Una de las ra)ones para otener un modelo es la adecuación del cálculo del supuesto comportamien+to de un proceso para determinadas condiciones, el cálculo depende de la aplicación$ por e6emplo, un modelo de tratamiento de aguas dee ser usado para determinar la cantidad de contaminantes presentes para la limpie)a parcial o total del agua tratada' !e esta forma podemos mostrar (ue la importancia de los modelos matemáticos radica en (ue* • 7os revela a veces relaciones (ue no son eviden+tes a primera vista' Una ve) construido el modelo, es posile e.traer de 3l • propiedades y caractersticas de las relacio+nes (ue de otra forma permaneceran ocultas' • En a(uellas situaciones del mundo real en las (ue no es posile e.perimentar con la realidad, ofrecen un marco teórico para evaluar la toma de decisiones as como sus consecuencias' 8os modelos pueden ser estáticos o dinámicos, en un modelo estático, la variale tiempo no de+sempe9a un papel relevante, por el contrario en un modelo dinámico, ya (ue alguno4s5 de los elementos (ue intervienen en la modeli)ación no permanecen constantes, sino (ue se consideran como funciones del tiempo, descriiendo trayectorias temporales' El análisis de un modelo dinámico tiene por o6eto el estudio de la trayectoria temporal especfica de alguno4s5 de sus elementos' :eneralmente todos los modelos deterministas derivan ecuaciones diferenciales ya sean ordinarias o parciales, 3stas se pueden resolver por m3todos analticos y;ó m3todos num3ricos, ya (ue muchos
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de los prolemas son prácticamente imposiles de resolver por m3todos analticos' 8os m3todos num3+ricos se aplican a prolemas de valores en la frontera o condiciones de inicio' 8os m3todos num3ricos pueden transformar la ecuación diferencial 4ordinaria o parcial5, (ue se encuentra en tiempo continuo, en una ecuación en diferencias finitas, es decir en tiempo discreto'
?@5, se deen de tomar en consideración algunos pasos para otener lo má.i+mo de un modelo matemático, 3stos se descrien a continuación* 8os prolemas de la forma más elegante posile' Elegir la notación más simple, pero sin (ue 3sta sea de • gran importancia' &ratar de hacer las variales adimensionales' • En este traa6o se desarrollan modelos matemáti+cos para la calidad de agua superficial' Estos arro6an ecuaciones diferenciales ordinarias y parciales' 2lgu+nas de ellas tienen soluciones algeraicas, pero algu+nas sólo pueden resolverse por m3todos num3ricos' El agua es un l(uido vital y está su6eta a diversos camios ya sean de manera natural o por la actividad antropog3nica' Más adelante se descrie la prole+mática de la contaminación del agua superficial as como el desarrollo de modelos simples y comple6os de contaminación del agua superficial' 2s tami3n la solución analtica o por m3todos num3ricos' En primera instancia se definirá lo (ue es el agua superficial, as como los parámetros (ue se emplean para su caracteri)ación, de ah se desarrollan los modelos matemáticos desde su forma escrita hasta la codificación en ecuaciones, se tomarán elementos de volumen, los cuales permiten hacer un análisis de entradas, salidas, p3rdidas o generación de materia' •
Calidad del agua superficial El agua es un l(uido vital para el consumo de las especies vivas, es decir, la flora y fauna' >15' Claramente, los ros
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poseen varios rasgos atractivos como un medio de disposición de aguas residuales* &ransporte de aguas residuales hacia el oc3ano' • !ilución y dispersión deido al me)clado rápido' • "a6a sedimentación y resuspensión con e.tendi+miento • del sedimento sore un área grande' • Condiciones turulentas (ue causan una rápida reaireación'
disuelto son demasiado a6os, algunos peces y otros organismos no pueden sorevivir 4&ala /5' Nivel DBO
Calidad del Agua
(ppm)
Muy "uena* El desecho orgánico -' D /'
presente en la muestra de agua es casi
1' D '
nulo 2ceptale* Moderadamente limpia Mala* 2lgo Contaminada, indica (ue
@' D >'
-' ó más
hay materia orgánica presente y (ue las acterias están descomponiendo este desecho' Muy Mala* Muy Contaminada, contiene desecho orgánico
!abla ). 2ivel de 345 presente en el agua.
8a !emanda "iológica de #.geno 4!"#5 Es una medida de o.geno (ue usan los microor+ ganismos para descomponer el agua'
#.geno disuelto Es la cantidad de o.geno (ue está disuelto en el agua y (ue es esencial para los ros y lagos saludales' El nivel de o.geno disuelto puede ser un indicador de (u3 tanto está contaminada el agua y cuánto so+porte puede dar esta agua a la vida vegetal y animal' :eneralmente, un nivel más alto de o.geno disuelto indica agua de me6or calidad'
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Nivel OD
Calidad del Agua
(ppm)
Mala* 2lgunas polaciones de peces ' D F'
y macroinverterados empe)arán a
F'- D ?'> G' D -/'
disminuir 2ceptale "uena Repita la pruea* El agua puede airear+
-/' o más
se artificialmente
!abla *. 2ivel de 53 presente en el agua.
El modelo de o.geno consta de 1 t3rminos los cuales se descrien a continuación* a) Descomposición del agua
H
Matemáticamente se escrie como* 4-5 !onde* ! !"# Concentración de la demanda iológica de o.geno' " -
Constante cin3tica de reacción'
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Considerando un volumen de control de un ro con entradas y salidas como el (ue se muestra en la %igura -'
b) Desoxigenación
Matemáticamente se escrie como* H
42cumulacón5H4Entrada5+4
4/5 4F5
!onde*
!onde*
!
!"#
!
#!
" -
Concentración de la demanda iológica de o.geno'
! #! Concentración de o.geno disuelto' ∆KH &∆.
Concentración de la demanda (umica de o.geno'
Incremento de volumen de longitud ∆.'
Constante cin3tica de reacción'
45
c) #eaireación
L 3ividimos la ec. 8-9 por $:x y para el caso de un
Matemáticamente se escrie de la siguiente forma* r3gimen en estado estacionario
*
415 4@5
!onde* ! ! !eficiencia de o.geno en el agua' ! #! Concentración de o.geno disuelto' ! < Constante de o.geno disuelto saturado en el a gua'
!omando el límite cuando :x y sustituyendo las
respectivas velocidades de deso.igenación y reairea+ción respectivamente tenemos*
iely 4->>>5, e.presa la concentración de #! en t3rminos de la deficiencia de o.geno, es decir ! !H4! <+
-
! #!54Streeter and $%elp5, considerando (ue cuando un
&
4?5
residuo iodegradale se vierte a un curso de agua consume o.geno, el cual sólo es renovado por la reaireación atmosf3rica' !e tal forma (ue la dinámica del sistema !"#+#! se representa como sigue*
4G5
4>5 2demás saemos (ue ! !H! < + ! #! as (ue
6igura ). 7olumen de control de un río.
, la cual sustituimos en la ec' 4>5
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4-5
2hora resolvemos en primera instancia la ec' 4-5, la cual tiene la siguiente condición inicial* &t H !
H" -!
!"#
!"#
'
Reordenando la ec' 4-5 tenemos* integrando
,
, la solución es*
4--5
4!ennis :' ill, Michael R' Cullen, //5'
8a solución analtica de la ec' 4-F5 es como si+gue* !onde $ 4t 5H" / e" -t
f 4t 5H" -! !"#
integrando los primeros t3rminos tenemos*
,integrando tenemos*
4-5
, reordenando*
2hora evaluamos la condición inicial para encon+trar la constante de integración
!espe6ando ! !"# para evaluar la condición inicial !
H! e
!"#
,
+" -t
4-/5
-
Evaluando la ec' 4-/5 tenemos (ue*
! H+r -
sustituyendo en la ec' 4-5 y reordenando tene+mos*
" C
deso.igenación -
!"#
Por lo (ue finalmente la solución a la ec' 4-5 es* ! !"#
H" C
e+" -t
4-@5 4-15
Modelo de
- !"#
Para resolver la ec' 4-5 sustituimos la ec' 4-15 para eliminar t3rminos, oteniendo* 4-F5 8a solución de la ec' 4-F5, con la siguiente condi+ ción inicial* 2 t H ! !H! ! , es del tipo*
8os procesos clave de transporte 4de un soluto5 en las masas de agua, sea un rio, un lago o un estuario son* ; Convección deida a la velocidad media de la masa de agua' ; !ifusión o dispersión, ya sea molecular o turu+ lenta'
6igura *. 4alance de materia general.
4-?5
Como hacer un modelo matemático
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Reordenando tenemos* 4/-5 4-G5
!ividimos por el elemento de volumen ∆.∆y∆) para otener*
!onde* ! Concentración del contaminante' N %lu. de descarga del contaminante' ON %lu6o del efluente' O %lu6o de agua fresca' Constante cin3tica de reacción'
4->5 ó
8a condición de frontera a la (ue está su6eta la ec' 4/-5 es (ue en .H el flu. es igual al flu. de descarga y matemáticamente se e.presa como*
4/5
4//5 8a ec' 4/-5 es una ecuación lineal 2hora analicemos la descarga de un contaminante en un ro, para el caso en el (ue e.iste una velocidad de decaimiento de primer orden en estado estaciona+rio' En la %igura 1 se muestra el diagrama conceptual de un ro'
homog3nea de coeficientes constantes la cual puede resolverse de la siguiente manera* !m/ + umJH
4/15
-
4/F5
/
8as races se calculan de la forma
$ 6igura ,. &odelo de descarga de un material contaminan te en un río.
%actori)amos u/ • • • • • • •
Unidimensional Área uniforme Estado estacionario Reacción de primer orden Coeficiente de dispersión es constante 8a velocidad es una velocidad promedio
reordenando
si mpl ificando
Partiendo de la ec' 4/5 y adicionando las conside+ raciones antes mencionadas tenemos (ue*
'
Por simplicidad la ec' 4/F5 se reduce a ! Hcem.' 2hora evaluemos la condición de frontera' Pero prime+ro se otiene la derivada de la concentración con
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respecto a la dimensión .$
,
despu3s se tiene (ue* reordenando
, '
8a solución completa de la ec' 4/-5 es*
4/5
El modelo de
Para el caso no estacionario se discreti)a la ec' 4//5 en forma de diferencias finitas como* • • • •
4/@5
• •
8a discreti)ación de su condición de frontera es*
•
4/?5
Para satisfacer la ec' 4/@5 es necesario (ue* u∆t H∆. y sustituy3ndola en la ec' 4/@5 para reducir t3rminos se tiene*
6igura <. &odelo completo de descarga de un material contaminante en un río.
4/G5 415 Es necesario tener un criterio de estailidad de la solución num3rica, el cual se representa por
!onde*
4/>5
C Concentración de #! 8 N!"# %lu. de descarga del contaminante O!"# %lu6o del efluente O %lu6o de agua fresca - Constante cin3tica de reacción para la deso.igenación / Constante cin3tica de reacción para la reaireación
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8as ec' 415 están su6etas a las siguientes condicio+nes iniciales y de frontera*
41-5
8a solución de este sistema de ecuaciones diferen+ ciales parciales lineales no+homog3neas es astante comple6o, de manera (ue una solución algeraica es prácticamente imposile otenerla, una de las formas de resolver el prolema, es usando el m3todo de di+ferencias finitas' !iscreti)ando el modelo completo de descarga de un material contaminante en un ro, dado por*
dichos modelos se planteó en t3rminos del m3todo de diferencias finitas' 2(u se muestra la importancia del conocimiento y mane6o avan)ado de las matemáticas, as como la práctica en el desarrollo de programas computacio+nales' En especial se deera tener un conocimiento sólido en el mane6o de %ortran ya (ue es un softare poderoso deido a su e.actitud e integración de lire+ras (ue 3ste contiene en su estructura interna como una herramienta para facilitar la programación y solu+ción de prolemas de distintos grados de dificultad' #tro softare (ue se puede emplear es el Mathe+ matica, ya (ue este contiene una serie de comandos (ue facilita la programación y la solución de prole+mas de distintos grados de dificultad' T
"iliografa 2ris R utherford ->?@ 0o to :et the Most #ut of an E(uation
2' Aames' ->>1
41/5 0asta a(u (ueda la discreti)ación de las ec' !ife+ renciales parciales del modelo completo de descarga de un contaminante en un ro' 2hora sólo falta hacer la evaluación de las ecuaciones diferenciales, para ello se necesita hacer un programa'
Conclusiones En el desarrollo de este traa6o se derivaron dis+tintos modelos matemáticos, en su mayora resultaron ecuaciones diferenciales, algunas ordinarias y pocas parciales' 8os modelos matemáticos desarrollados tratan de representar la realidad y si se oserva con+forme se desarrolla el tema fue aumentando el grado de dificultad de los modelos, es decir la solución cada ve) fue más difcil de otener' 8os modelos completos y sencillos de la descar+ga de un contaminante en un ro no tienen solución analtica a menos (ue se redu)ca la ecuación con ase a ciertas suposiciones' 8a forma de solución de
Nithout Really &rying, Chemical Engineering Education, /F4/5, páginas' 2n Introduction to Nater Ouality Modelling, Aohn Niley Q >> Ingeniera 2miental' %undamentos, Entornos &ecnologas y > 7umerical >@ Environmental Modelling %ate and transport of pollutants in ater, air and soil' Aohn Niley Q >@ Mathematical Modelling of :roundater Po+ llution,
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R ich 8':' ->>@ Environmental >Introduction to Environmental Engineering and science, Prentice 0all'
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