Diario, Vol.I, No. 1, 1-5, 2016 Viernes, 12 de Febrero del 2016
Ensayo: Aplicaciones de Centros de Gravedad, Centroides, Primer Momento y Momento de Inercia en la Ingenier´ıa Civil Ronald Cabrera Loayza1 Resumen ´ ´ ´ ´ La estatica es una rama de la mecanica que se encarga del estudio y analisis de fuerzas en equilibrio estatico dentro de un sistema determinado, en otras palabras estudia los sistemas en los cuales no exista movimiento. ´ Esta rama tiene vital importancia en la Ingenier´ıa Civil ya que con ella se fundamentan muchas de las necesi´ En este ´ dades de la construccion. ensayo nos referiremos a 4 temas en espec´ıfico, los cuales son: ´ ´ al punto en el que la resultante de las fuerzas gravitatorias Centro de Gravedad, entendiendose como definicion aplicadas en distintas partes del cuerpo incide en dicho elemento; esta´ estrechamente relacionado al campo ´ otra definicion ´ vinculada al tema, gravitatorio en el que se encuentre el cuerpo. Es importante recalcar tambien ´ ´ la cual es el Centroide. Este elemento al igual que el anterior es un punto, con la diferencia que este se asocia ´ geometrica ´ a la forma del cuerpo, es decir se fundamenta en la ubicacion del centro del elemento. Como ´ primordial en muchas ocasiones estos ´ ´ siempre y cuando se cumpla la aclaracion dos elementos coincidiran; ´ de que el elemento de estudio sea homogeneo ´ condicion y uniforme. ´ Entre algunas de las aplicaciones que podemos nombrar se encuentran: Estabilidad de edificios, Construccion ´ de presas, Operaciones con gruas, Analisisis de choques, Concentraciones de pesos y Movimiento de Objetos. ´ ´ los detalles de dichas aplicaciones. Dentro del contenido se especificaran ´ Otro de los temas a hablarse son el Primer Momento y el Momento de Inercia, al igual que los anteriores estan ´ estrechamente relacionados entre s´ı, del Primer Momento podemos decir que es una magnitud geometrica en ´ el cual intervienen el centroide en su eje correspondiente y el area o volumen del elemento dependiendo del ´ se relaciona espacio dimensional en el que se encuentre el cuerpo; en la ingenier´ıa civil su principal aplicacion ´ ´ cortante en vigas, de aqu´ı parte el siguiente concepto asociado al anterior, el cual con el calculo de la Tension ´ del Primer Momento, dando as´ı una es el Segundo Momento o Momento de Inercia definido como la integracion ´ que tiene un cuerpo a ser rotado, este ´ ´ es de magnitud que se interpreta como la oposicion concepto tambien ´ ´ ya que esta´ estrechamente relacionado al Momento Flector en gran importancia en el ambito de la construccion vigas, lo cual es muy comun ´ en cualquier tipo de obra ya que la viga es uno de los elementos estructurales fundamentales al momento de construir. Palabras Clave Centro de Gravedad — Centroide — Primer Momento — Momento de Inercia 1 Unidad
´ ´ Academica de Ingenier´ıa Civil, Universidad Tecnica de Machala, Machala, Ecuador *Corresponding author: rlcabrera est.utmachala.edu.ec
´Indice
´ puertas, Diques y Presas • Operaciones con Gruas ´ • Concentracion de Pesos en Elementos
´ Introduccion
2
2
Desarrollo
2
´ ............................3 2.1 Definicion
Centros de Gravedad
2
´ ...................3 2.2 Centroides: Definicion
´ ............................2 1.1 Definicion ´ 1.2 Formulas para Calcular Centros de Gravedad . . 2
´ 2.3 Formulas para Calcular Centroides . . . . . . . . . . 3
1
Centroides
3
´ L´ıneas • Areas • Volumenes ´
´ L´ıneas y Areas • Volumenes ´
2.4 Aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.3 Aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
´ Momento Resistente en Columnas • Analisis de Choques • Movimiento de Objetos
˜ Sismoresistentes para Edificios • Construccion ´ de ComDisenos
1
3
Primer Momento
4
´ ............................4 3.1 Definicion ´ 3.2 Formulas para Calcular el Primer Momento . . . . 4 ´ L´ıneas y Areas • Volumenes ´
3.3 Aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 ´ Tangencial • Calculo ´ ´ Diagrama de Desviacion de la Tension Cortante
4
Momento de Inercia
5
´ ............................5 4.1 Definicion ´ 4.2 Formulas para Calcular el Momento de Inercia . 5
Figure 1. Centro de Gravedad
´ Areas • Momento Polar de Inercia • Teorema de los Ejes Paralelos o Teorema de Steiner
Momento Resultante Nulo en dicho punto. Est´a propiamente ligado al campo gravitatorio que se ejerce sobre e´ l.
4.3 Aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 ´ ´ Resistencia Maxima de un Elemento Estructural • Construccion de Compuertas, Diques y Presas
Conclusiones
6
Agradecimientos
6
Referencias
6
´ 1.2 Formulas para Calcular Centros de Gravedad ´ 1.2.1 L´ıneas y Areas Z
xW ¯ =
´ Introduccion
xdW
1.2.2 Volumenes ´ Z
En el contexto de la Ingenier´ıa civil, son muchos los temas te´oricos que pueden ser aplicados en el campo de la cons trucci´on de manera pr´actica.
xW ¯ =
xdW yW ¯ =
Z
yW ¯ =
(1)
ydW
Z
Z
ydW
z¯W =
zdW
(2)
Ver en [2]
En e´ sta ocasi´on nos centraremos en temas concernientes a la Est´atica, entre ellos tenemos: Centros de Gravedad, Centroides, Primer Momento y Momento de Inercia, los cuales estar´an relacionados espec´ıficamente a su aplicaci´on de manera general.
1.3 Aplicaciones ˜ 1.3.1 Disenos Sismoresistentes para Edificios
Una de las principales aplicaciones que tienen los centros de gravedad, est´a en la construcci´on de edificios, e´ stos elementos son de mucha importancia ya que nos permiten conocer el comportamiento que tendr´a la estructura al estar sometida a distintos factores como lo son presi´on, vientos, choques, etc.
Los temas anteriormente mencionados les proporcionan a los ingenieros civiles una gran cantidad de soluciones, al citar por ejemplo la utilidad que puedan tener los mismos en el proceso constructivo.
Es importante recalcar tambi´en que a medida que el centro de gravedad est´e cercano a la superficie del suelo, mayor ser´a su estabilidad; proporcion´andole as´ı la mayor seguridad para la estructura.Ver en [5]
Por lo tanto es de gran ayuda conocer el empleo de dichos temas en el trabajo de campo; para as´ı tener una idea o un criterio formado respecto a los contenidos nombrados con anterioridad, adem´as de esto dar a conocer de manera pr´actica y sencilla los usos mas notorios y despertar inter´es al lector.
Referenciar la Figura 2.
A continuaci´on se ir´an especificando claramente las aplicaciones dentro del campo asociado.
Desarrollo 1. Centros de Gravedad ´ 1.1 Definicion El Centro de Gravedad es “El punto donde incide la Resultante de todas las fuerzas de gravedad que act´uan en las diferentes partes del cuerpo”. Referenciar la Figura 1. Ver en [1] Dicho de otro modo es el punto de equilibrio del sistema de Fuerzas, es decir que la Fuerza Resultante realizar´a un
Figure 2. Dise˜no sismoresistente para Edificios
2
Ensayo: Aplicaciones de Centros de Gravedad, Centroides, Primer Momento y Momento de Inercia en la Ingenier´ıa Civil — 3/6 ´ de Compuertas, Diques y Presas 1.3.2 Construccion
Otro tema muy importante es la construcci´on de compuertas, diques y presas; el centro de gravedad ocupa un lugar fundamental en este tema, ya que a partir de la determinaci´on de e´ l se podr´a analizar la forma de la presa a construir e implementar los refuerzos necesarios para que soporte la carga del agua. Las presas y muros de contenci´on est´an sometidos a cargas principales, secundarias y excepcionales; las cuales ejercen una presi´on o empuje sobre la presa, dique o compuerta; he aqu´ı la aplicaci´on del centro de gravedad ya que a partir de e´ l, se puede determinar el an´alisis correcto para los aspectos de dise˜no estructural, manteniendo as´ı las propiedades necesarias para que la obra se mantenga estable. Referenciar la Figura 3.
Figure 4. Operaciones con Gr´uas
El conocer las distintas propiedades de los cuerpos, nos dar´a una mejor idea para dise˜nar el concepto estructural de lo que estemos construyendo y ver las alternativas estructurales mas viables para el proyecto u obra implementado. Referenciar la Figura 5.
Figure 3. Construcci´on de compuertas, diques y presas Figure 5. Concentraci´on de Pesos en Elementos 1.3.3 Operaciones con Gruas ´
Las operaciones con gr´uas son una parte fundamental en los procesos de construcci´on, es por tal motivo que se incluyen dentro de las aplicaciones inherentes al tema. En todo trabajo de construcci´on hay cargas pesadas que transportarse, para realizar este proceso se necesita de una gr´ua, consecuentemente para el manejo de la misma se necesitan ciertos conceptos b´asicos; es aqu´ı donde el centro de gravedad juega un papel fundamental.
2. Centroides ´ 2.1 Definicion ´ 2.2 Centroides: Definicion El Centroide es “La ubicaci´on del centro geom´etrico del cuerpo”. Est´a ligado b´asicamente a la forma de dicho cuerpo.Ver en [1] Referenciar la Figura 6.
Al levantarse una carga, aquella estar´a sometida a torsi´on, es por lo tanto que para su transporte es necesario conocer un punto de equilibrio y garantizar que la carga est´e lo m´as nivelada posible, ese punto necesario es el centro de gravedad del cuerpo, logrando as´ı que el balanceo sea m´ınimo. Referenciar la Figura 4. Figure 6. Centroide ´ de Pesos en Elementos 1.3.4 Concentracion
Como aplicaci´on general tenemos que para cualquier elemento utilizado en la construcci´on, podemos deducir la concentraci´on de peso en objetos con distintos tama˜nos y formas. Cabe recalcar que el punto de concentraci´on del elemento ser´a el centro de gravedad.
´ 2.3 Formulas para Calcular Centroides 2.3.1 L´ıneas Z
xL ¯ =
Z
xdL
yL ¯ =
ydL
(3)
Ensayo: Aplicaciones de Centros de Gravedad, Centroides, Primer Momento y Momento de Inercia en la Ingenier´ıa Civil — 4/6 ´ 2.3.2 Areas Z
xA ¯ =
Z
yA ¯ =
xdA
2.3.3 Volumenes ´ Z
xV ¯ =
xdV
(4)
ydA
Z
yV ¯ =
Z
ydV
z¯V =
zdV
(5)
Tanto para l´ıneas, a´ reas y vol´umenes, el centroide y el centro de gravedad coincidir´an si y solo si el cuerpo es homog´eneo y uniforme; si no lo es, las ecuaciones (1), (2) y (3), solo servir´an para encontrar el centroide de dicho cuerpo.
Figure 7. An´alisis de Choques
Para los centros de gravedad tanto L, A y V se los expresa en magnitud W sabiendo que: ∆W = γt∆A = γa∆L = γ∆V
(6)
Ver en [2]
en sus centros de gravedad, siendo de mucha utilidad para cuerpos con trayectorias y comportamientos complejos.Ver en [6] Referenciar la Figura 9.
2.4 Aplicaciones 2.4.1 Momento Resistente en Columnas
Los centroides son utilizados muy a menudo en la resistencia o mec´anica de los materiales. Para e´ sta ocasi´on su aplicaci´on espec´ıfica ser´a el momento resistente en vigas verticales o columnas. Las columnas son elementos estructurales que transmiten cargas a compresi´on, la reciben mediante la placa de entrepiso o losa y e´ stas la transmiten hacia la cimentaci´on. Pr´acticamente todas las columnas que est´en en una estructura u obra civil, est´an sometidas a flexo-compresi´on, el centroide es de gran utilidad en e´ ste a´ mbito ya que nos permitir´a calcular e´ ste momento y as´ı evitar que la compresi´on ejercida provoque un fracturamiento en dicha columna.
Figure 8. Movimiento de Objetos
3. Primer Momento
´ 2.4.2 Analisis de Choques
En el an´alisis de choques los centroides son de gran utilidad ya que simplifican considerablemente dicho an´alisis. La ubicaci´on del centroide en un sistema de n part´ıculas est´a dado por: ¯ = m1R1 + m2R2 + ...................... + mnRn (7) MR(C) Al moverse las part´ıculas bajo la acci´on ya sean de fuerzas internas o externas, la posici´on del centroide tambi´en lo har´a. Por lo tanto si no hay fuerzas que intervengan en dicho cuerpo, el centroide del sistema permanece en reposo, y viceversa.
´ 3.1 Definicion El Primer momento es “Una magnitud geom´etrica para a´ reas y vol´umenes, se lo conoce tambi´en como Momento de Primer Orden o como Momento Est´atico”.Ver en [3] ´ 3.2 Formulas para Calcular el Primer Momento ´ 3.2.1 L´ıneasZ y Areas
Qy =
xdA = xA ¯
Z
Qx =
ydA = yA ¯
3.2.2 Volumenes ´
Referenciar la Figura 7.
Z
Qyz =
Z
xdV = xV ¯ Qzx =
Z
ydV = yV ¯ Qxy =
2.4.3 Movimiento de Objetos
Otra aplicaci´on que se le puede dar a los centroides es para el movimiento de objetos, hay cuerpos que se comportan de manera muy distinta al ser arrojados, por ejemplo una varilla; al lanzarse tendr´a un sinn´umero de rotaciones antes de llegar al suelo, pero si solo se analiza la trayectoria que hace su centro de gravedad, podremos tener una idea m´as pr´actica, en este caso una par´abola. As´ı tambi´en desde el mismo concepto se pueden analizar la trayectoria de distintos cuerpos bas´andose espec´ıficamente
(8)
zdV = z¯V (9)
Ver en [2] 3.3 Aplicaciones ´ Tangencial 3.3.1 Diagrama de Desviacion
´ aplicaci´on est´a relacionada al Diagrama de Areas-Momentos. ´ Esta La ordenada B respecto a su tangente en A, ser´a igual al momento est´atico con respecto a B. Referenciar la Figura 9. Es uno de los Teoremas de Mohr y es utilizado generalmente
Ensayo: Aplicaciones de Centros de Gravedad, Centroides, Primer Momento y Momento de Inercia en la Ingenier´ıa Civil — 5/6
´ 4.2 Formulas para Calcular el Momento de Inercia ´ 4.2.1 Areas Z
Ix =
y2 dA
Z
x2 dA
(11)
Jo = Ix + Iy
(12)
Iy =
4.2.2 Momento Polar de Inercia Z
Jo =
r2 dA
4.2.3 Teorema de los Ejes Paralelos o Teorema de Steiner
I = I¯ + Ad 2
(13)
Ver en [2] ´ Figure 9. Desviaci´on Tangencial. Diagrama Area-Momento
4.3 Aplicaciones
para el c´alculo de momentos en vigas. Es importante recalcar que solo es aplicable a ciertos tipos de estructuras.
En el campo de la ingenier´ıa civil, tenemos elementos estructurales de suma importancia, presentes en casi todas las construcciones, uno de ellos es la viga.
´ ´ Cortante 3.3.2 Calculo de la Tension
La principal aplicaci´on del Primer Momento o Momento Est´atico est´a relacionado al c´alculo de la tensi´on cortante respecto a un punto en espec´ıfico, esto normalmente suele suceder en el c´alculo de vigas. Para esto se utiliza la F´ormula de Collignon que se expresa mediante la relaci´on: ¯ = τxy
V y(x)Qy(y) Iztz(y)
(10)
Donde Vy es la Fuerza Cortante, Qy es el Primer Momento ´ de Area, Iz el Momento de Inercia y tz el espesor. En el campo de la construcci´on esto tiene suma importancia, ya que con el c´alculo de la tensi´on cortante podemos obtener el esfuerzo cortante, y en base a estos datos elegir o proporcionar los materiales necesarios para que no se produzca el corte. Por consiguiente garantizar la estabilidad de la estructura.
´ 4.3.1 Resistencia Maxima de un Elemento Estructural
La viga es un elemento proyectado para soportar cargas transversales, transmitiendo las mismas hacia sus apoyos. Debido a que est´a sometida a diferentes cargas y fuerzas en ella se produce un efecto de flexi´on. Es decir tiende al pandeo en su parte media. Para los ingenieros civiles es fundamental conocer lo que pueda sucederle a las vigas y el comportamiento que tendr´an al ejercerce cargas sobre ellas. Aqu´ı es donde entra el c´alculo del Momento de Inercia, con la Inercia podemos calcular la flexi´on que tendr´a la viga y as´ı tomar decisiones acertadas para el dise˜no de la estructura. En otras palabras mientras mayor Momento de Inercia tenga la viga, m´as resistente ser´a a la flexi´on dando as´ı la seguridad necesaria para la estructura. El Momento de Inercia nos proporciona la resistencia m´axima de un elemento bajo flexi´on. Referenciar la Figura 11.
Referenciar la Figura 10.
Figure 10. Tensi´on Cortante
Figure 11. Resistencia m´axima de un Elemento estructural
´ de Compuertas, Diques y Presas 4.3.2 Construccion
4. Momento de Inercia ´ 4.1 Definicion El Momento de Inercia se define como “La oposici´on que tiene un cuerpo a ser rotado”, est´a espec´ıficamente ligado a la forma geom´etrica de dicho cuerpo. Ver en [4].
La inercia tambi´en cumple un papel fundamental en la cons trucci´on de presas, ya que a mayor momento de inercia, mayor ser´a la fuerza de empuje que pueda soportar la estructura a causa del agua. El Agua ejerce fuerzas de presi´on mayores a m´as profundidad.
Ensayo: Aplicaciones de Centros de Gravedad, Centroides, Primer Momento y Momento de Inercia en la Ingenier´ıa Civil — 6/6
Es aqu´ı donde el Momento de Inercia toma presencia, ya que el empuje se calcula con una f´ormula donde interviene el momento de inercia de la pared que limita al agua.
Agradecimientos “Cuanto mayor sea el esfuerzo, mayor es la gloria” Pierre Corneille
´ Esta Fuerza tiende a voltear la estructura respecto al pie de la presa; es por tal motivo que para los ingenieros civiles es un factor a tomar en consideraci´on a la hora de construir proyectos de e´ sta magnitud.Ver en [7] Referenciar la Figura 12.
Son muchos los agradecimientos que quiero extender para e´ sta ocasi´on. En primer lugar a Dios, el cual es el que nos da esa energ´ıa de vida, el poder seguir por un buen camino, el que nos brinda oportunidades para cada d´ıa ser mejor. En segundo lugar a la querida Universidad T´ecnica de Machala, la cual ha abierto sus puertas formando profesionales de bien, vinculados a la sociedad y enfocados al desarrollo local y nacional de nuestro pa´ıs. A nuestro docente gu´ıa en e´ sta materia, el Ing. Carlos Loor; por haber sido parte fundamental en e´ ste proceso de ense˜nanza y contribuido a mejorar nuestros saberes y criterios. Y en general a cada una de las personas que aportaron de manera significativa a la realizaci´on de e´ ste ensayo. ¡Gracias a todos ustedes!.
Referencias
Figure 12. Construcci´on de compuertas, diques y presas
Conclusiones Luego de haber revisado las principales aplicaciones de los diferentes temas mencionados anteriormente podemos decir que: • Los centroides y centros de gravedad aunque son parecidos no son lo mismo, es importante saber reconocer su diferenciaci´on, de e´ sta manera se podr´a realizar la aplicaci´on de los mismos en diferentes aspectos de la construcci´on; mientras que el centro de gravedad est´a ligado estrechamente al campo gravitario, dependiendo del mismo, el centroide se basa espec´ıficamente en la forma geom´etrica del cuerpo. Coincidir´an si y solo s´ı el cuerpo es homog´eneo y uniforme. • Respecto al Primer Momento, concluimos que aunque es de menor aspectos de aplicaci´on que el Momento de Inercia, igual forma parte importante de los c´alculos esenciales en el a´ mbito de construcci´on, necesario para encontrar tensiones dentro de vigas. • Finalmente, la Inercia es un tema central con lo que res pecta a ingenier´ıa, con ella podemos saber la oposici´on que tiene un cuerpo a ser rotado, e´ ste concepto nos ayuda mucho para los c´alculos de resistencia de una viga asociadas al momento flector y para el dise˜no de muros de contenci´on.
[1]
RUSSEL C. H IBBELER (2010). Ingenier´ıa Mec´anica Est´atica: M´exico DF, M´exico: Editorial Pearson Education, p´ags. 447-484.
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[3]
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W. R ILEY., L. S TURGES (2010). Est´atica: Barcelona, Espa˜na: Editorial Revert´e S.A.
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