UNIVERSIDAD PRIVADA TELESUP
FACUTAL DE INGENIERIA ESCUELA DE INGENIERIA CIVIL
Mecánica de fluidos II
VI ciclo Energía específica y régimen critico Perez Aguirre Johan Ninanya ramos brayan Jove galino Frank Morante soria Daniel Garcia Villanueva jair
2013
ENERGIA ESPECÍFICA Y REGIMEN CRÍTICO
1. INTRODUCCIÓN
Este trabajo es realizado con el objetivo de de explicar la importancia de de la energía específica que se presenta en un flujo de una determinada sección, demostrando las ecuaciones que influyen conjuntamente con su grafica que viene hacer una asíntota. Explicar la pérdida de energía en el paso de un régimen supercrítico a un subcrítico y las consecuencias que puede traer esa pérdida de energía en la erosion del suelo.
Halaremos sobre el número de Froude (Fr) es un número un número adimensional que relaciona el efecto de las fuerzas de inercia y la fuerzas de gravedad que actúan sobre un fluido.
Así mismo la determinación del tirante crítico que tiene una aplicación directa en la definición del tipo de régimen que presenta un determinado escurrimiento, ya que si el tirante con que fluye un determinado caudal es menor que el tirante crítico, se sabe que el escurrimiento es en régimen supercrítico (rápido) y si es mayor que el crítico entonces el escurrimiento es en régimen subcrítico (lento).
Como parte final del trabajo se explicará la influencia de la energía específica y el régimen critico en la formación del resalte hidráulico, los tipos de resalte resalte hidráulico hidráulico y sus aplicaciones aplicaciones en ingeniería.
diferentes proyectos proyectos de
2. NUMERO DE FROUDE (Fr) El número de Froude (Fr) es un número adimensional que relaciona el efecto de las fuerzas de inercia y las fuerzas de gravedad que actúan sobre un fluido. Debe su nombre al ingeniero hidrodinámico y arquitecto naval inglés William Froude (1810 - 1879). De esta forma el número de Froude se puede escribir como:
2.1.
DEMOSTRACIÓN
Las fuerzas de inercia (F), en base al segundo principio de la dinámica, se define como el producto entre la masa ( m) y la aceleración ( a), pero como nos referimos a un fluido fl uido escribiremos la masa como densidad por volumen. En forma dimensional se escribe:
Para simplificar la definición de fuerzas de inercia en nuestro sistema escribiremos.
Donde ( l) y (t) serán, respectivamente, una una distancia y un tiempo característicos de nuestro sistema. El peso (P) resulta ser el producto entre la masa y la aceleración de la gravedad.
Que igualmente, para simplificar reescribiremos así:
Entonces la relación entre las fuerzas de inercia y de gravedad se puede escribir así:
Donde:
- masa volumétrica o densidad [kg/m³]
- parámetro de longitud [m]
- parámetro temporal [s]
- parámetro de velocidad [m/s]
- aceleración de la gravedad [m/s²]
Entonces el número de froude
Fr = √ Donde: v= velocidad del flujo g= gravedad y= tirante del canal El número de Froude en canales abiertos nos informa del estado del flujo hidráulico. En el caso de que: •
Sea Fr > 1 el régimen del flujo será supercrítico.
•
Sea Fr = 1 el régimen del flujo será crítico.
•
Sea Fr < 1 el régimen del flujo será subcrítico
Además de los parámetros presentados líneas arriba, un flujo puede clasificarse en permanente o no permanente; uniforme o no uniforme; unidimensional, bidimensional o tridimensional; rotacional o irrotacional, etc.
Un flujo se considera permanente cuando en un punto dado sus características hidráulicas (velocidad, altura del tirante, entre otros) no varían con el tiempo, es decir, se mantienen siempre constantes, en caso contrario el flujo se considera no permanente. Por otra parte, un flujo se considera uniforme cuando presenta la misma velocidad en un instante dado en todas las secciones del flujo, de no ser así, se denomina no uniforme. La condición de uniformidad sólo es factible en canales prismáticos (secciones con similares características hidráulicas).
3. ENERGIA ESPECIFICA La energía específica en la sección de un canal se define como la energía por masa de agua en cualquier sección de un canal medida con respecto al fondo del canal, esto es: 2
E YCos
V
2 g
Ecu.1 Para un canal de pequeña pendiente y: Tirante, Cos ɵ = 1 y α = 1. Lo cual indica que la energía específica es igual a la suma de la profundidad del agua y la altura de velocidad. E Y
V 2 2 g
Ecu. 2 Para un canal de cualquier forma y área hidráulica A, con V
Q A
E Y
Q2 2 gA
2
Ecu.3
Suponiendo que Q es constante y A es función del tirante, entonces la energía específica solo depende del tirante.
Definiremos el caudal por unidad de ancho o caudal unitario (q) como: q
Q b
Ecu.4 Donde: q = Gasto unitario. Q = Caudal Total. b = Ancho del canal. La velocidad media se expresa: V
q y
Ecu.5 Donde: V = velocidad media. q = gasto unitario. y = tirante de agua. Esto se introduce en la ecuación (2) y produce la siguiente relación entre q y E: E y
q2 2 gy
2
Ecu. (6)
En hidráulica de canales, el régimen que presenta una corriente es crítico, cuando la energía específica con la que circula el agua es mínima. Entendiendo por energía específica a la energía por kilogramo de agua que fluye a través de la sección hidráulica en estudio.
3.1.
GRAFICA DE LA CURVA DE ENERGÍA ESPECIFICA
Cuando la profundidad del flujo se dibuja contra la energía específica para una sección dada del canal y para un caudal constante se obtiene la curva de energía energía específica .Esta curva tiene dos partes, una asíntota asíntota que se apega a la derecha y una recta de 45º donde E = y. E Y
V 2 2 g
Luego en la figura siguiente la curva muestra que, para una energía específica dada hay dos posibles profundidades alternas, por ejemplo, la cota inferior y en el punto C la energía específica es un mínimo (Emin), para el cual existe un solo valor del tirante el cual es conocido como profundidad crítica yc. Si los caudales cambian, la energía específica cambiará en consecuencia. Las curvas A’B’ y A”B” (ver figura No. 1b) representan posiciones de la
curva de energía específica cuando el caudal es menor y más grande respectivamente, que el caudal usado para la construcción de la curva AB. Cuando la profundidad del flujo es más grande que la profundidad crítica (y 1 > yc), la velocidad del flujo es menor que la velocidad crítica para la correspondiente descarga (V < Vc), y entonces, F < 1, el flujo es subcrítico
(tranquilo).
Cuando la profundidad del flujo (y2 < yc) menor que la
profundidad crítica. crítica. La velocidad del flujo será mayor que la velocidad crítica (V > Vc), el flujo flu jo es supercrítico (torrencial
De ahí se cumple:
FLUJO RAPIDO (SUPERCRITICO) Fr >1 Yc > y Vc < v
FLUJO LENTO (SUBCRITICO) Fr < 1 Yc < y1 Vc > v La discusión anterior sobre energía específica en canales rectangulares o canales anchos, puede ser resumida en los siguiente puntos: 1.
Una condición de flujo dada (es decir, un cierto caudal unitario fluyendo a una cierta profundidad), queda completamente, determinada por dos cualesquiera de las variables y, q, V y E, excepto por la combinación q y E, la cual producirá, en general dos profundidades de flujo.
2.
Para cualquier valor de E existe una profundidad crítica, dada por la ecuación 8, para la cual el caudal unitario es máximo.
3. Para cualquier cualquier valor de “q”
existe una profundidad crítica dada por la
ecuación 7, para la cual cual la energía específica específica es mínima. 4.
2
Cuando ocurre el flujo crítico, la ecuación Yc E , así como la ecuación 3
Vc g * Yc se cumplen simultáneamente, y la carga de velocidad es igual
a la mitad de la profundidad de flujo 5.
V c
2
2 g
Y c 2
Para cualquier condición de flujo dada, siempre que sea diferente de la crítica existe otra profundidad alterna, para la cual el mismo caudal unitario puede ser conducido con la misma energía específica.
4. FLUJO CRITICO El estado crítico del flujo ha sido definido como la condición para la cual el número Froude es igual igual a la Unidad (F = 1) , y como el estado en el cual la energía específica E, es mínima para un caudal dado Q. De acuerdo con la ecuación de la energía de Bernoulli para canales y considerando z=0, la energía específica en un canal está dada por :
E y
v2
2 g
Si la pendiente del canal es pequeña
=1 por lo tanto la ecuación anterior
queda como sigue: v2
E y
2 g
Expresando esta ecuación en función del caudal Q, se multiplica por el área A 2
E y
v A
2
2 gA
2
E y
Q
2
2 gA
2
Considerando que para el régimen crítico la energía específica E es casi constante, es decir no cambia con respecto al tirante en la sección del canal, entonces se debe cumplir la condición de que: dE dy
0
Sustituyendo la ecuación ecuación entonces la expresión expresión queda como como sigue: d Q2 y 2 dy dy 2 gA
dE
Resolviendo la derivada de la ecuación y considerando que Q es una variable función del área hidráulica (A) y el área hidráulica (A) es función del tirante considerado (y) entonces la expresión queda: dE dy
1
Q 2 dA gA3 dy
0 ……(I)
Considerando que para un diferencial de área determinado: dA T * dy
…………..(II)
Donde T es el ancho del espejo del agua (superficie libre del agua) y “dy” es el diferencial de tirante, según se observa en el siguiente esquema: T dA
dy
Sustituyendo la relación (II) en (I)y eliminando términos 2
1
1
Q Tdy gA3 dy
Q 2T 3
gA
0
0
(6.2.8)
Reacomodando términos de la ecuación se obtiene la ECUACIÓN GENERAL PARA FLUJO CRÍTICO. Q 2T gA3
Q
2
g
1
A
3
T
Donde: A es el área hidráulica correspondiente correspondiente a la profundidad o tirante tirante crítico (m 2) T es el ancho de la superficie del agua (espejo del agua) correspondiente al tirante crítico (m) Q es el caudal (m 3/s) g es la aceleración de la gravedad (m/s 2)
4.1.
TIRANTE CRÍTICO (YC)
v2 E y 2 g Es el tirante para el cual la energía propia del escurrimiento es la
mínima energía posible con la que puede escurrir un determinado caudal Q. Para calcularlo es: Q2 g
A 3
T
Despejamos Q en función del del t6irante y anchio de de solera, para luego usar el caudal unitario. Yc
3
q2 g 1
q 3 2 Yc E mi min n g 3 2
Ec
3 2
* Yc
El tirante crítico (yc) se obtiene mediante un método iterativo o “de prueba y error”. El método iterativo consiste en:
1) Proponer un valor para el tirante crítico crítico (yc) 2) Calcular el área hidráulica (A) con con el tirante propuesto propuesto (yc) y ancho de la superficie del agua (T). La ecuación para calcular el área hidráulica (A) y el ancho de la superficie del agua (T) depende de la geometría del canal, en el anexo al final de este apunte se muestran diferentes secciones de canal
y
las
ecuaciones
correspondientes
para
calcular
sus
características hidráulicas. El proceso iterativo puede ser largo debido a la falta de experiencia del alumno para proponer el primer valor. En la práctica el proceso es sumamente rápido gracias a la ayuda de los procesadores matemáticos con que cuentan las computadoras actuales. Como apoyo al estudiante se ha desarrollado una hoja de cálculo en Excel, donde lo único que tiene que hacer el alumno es proponer un valor para y c, la hoja de cálculo hace las operaciones necesarias y arroja todos los parámetros hidráulicos necesarios, el alumno únicamente tiene que observar en la casilla correspondiente para verificar que la condición de la ecuación se cumpla, si no se cumple, se debe teclear un nuevo valor para y c, esto facilita el cálculo del tirante crítico y el tirante normal para el di seño de canales. 4.2. VELOCIDAD CRÍTICA (VC) Para calcular la velocidad crítica se puede utilizar la ecuación general del flujo critico, expresando el caudal Q en función de la velocidad (v) y el área (A): Q
2
g
A
3
T
( Av) 2
Si
Q Av
entonces
g
A 3
A v
2
T
g
2
A
3
T
Despejando la velocidad de la ecuación, eliminando términos y reacomodando;
v 2
A 3 g
v2
TA2
Ag T
v2
Ag
v
T
Ag T
Si Otra forma de calcular la velocidad crítica (v c) es utilizando directamente la ecuación de caudal: Q Av
vc
Q Ac
Donde el A c es el área hidráulica calculada con el tirante crítico (y c) y Vc es la velocidad crítica para flujo crítico.
4.3. CANAL RECTANGULAR Al considerar un canal rectangular como la unidad de ancho, donde se racionaliza el paralelo, se puede demostrar que:
y c 3
Q2 g
Y
E c E min
3 2
yc
Dónde:
Ec
= Mínima energía especifica.
(m)
yc
= Profundidad Critica.
(m)
4.4. CANAL TRIANGULAR Al considerar un canal triangular como la unidad de ancho, donde se racionaliza el paralelo, se puede demostrar que:
4.5. CANAL TRAPEZOIDAL Al considerar un canal trapezoidal como la unidad de ancho, donde se racionaliza el paralelo, se puede demostrar que:
5.
INTRODUCCIÓN AL RESALTE HIDRAULICO
Son muchas las aplicaciones del resalto hidráulico en ingeniería, en acueductos, aliviaderos, alcantarillas, vertederos, zanjas de drenaje pero también la naturaleza no está exenta de este tipo de fenómenos que mejor ejemplo que los arroyos o ríos, con sus saltos de agua. La importancia del resalto hidráulico se basa en que es un destructor de energía que permite así reducir la velocidad de la corriente y evitar posibles daños. Una corriente supercrítica en un canal abierto aguas abajo puede cambiar bruscamente a subcrítica a través de un resalto hidráulico, La corriente aguas arriba es rápida y poco profunda y aguas abajo es lenta y profunda, análogamente a las ondas de choque normales . Si bien la onda de choque tiene un espesor infinitesimal, el resalto hidráulico es bastante grueso, de 4 a 6 veces la profundidad 2 h aguas abajo.
El resalto hidráulico es muy efectivo ef ectivo en disipar energía mecánica ya que es extremadamente turbulento, lo que es un rasgo caracter ístico a tener en cuenta en aplicaciones a presas de tranquilización y vertederos.
Es muy importante que tales resaltos se sitúen en lugares diseñados especialmente; de otro modo en la solera del canal se formarían socavones por la agitación turbulenta. Los resaltos también mezclan fluidos de modo muy efectivo y tienen aplicaciones en tratamiento de aguas aguas y aguas residuales.
5.1. CLASIFICACIÓN DEL RESALTO RESALTO SEGÚN SEGÚN SU FORMA El principal parámetro que afecta a las características de un resalto hidráulico es el número de la corriente aguas arriba. El número de Reynolds y la geometría del canal tienen un efecto secundario. Se pueden resumir los siguientes regímenes de operación en: F< 1: Resalto imposible, se viola el segundo principio de la termodinámica. F =1 a 1,7: Onda estacionaria, u ondular, extensión del resalto alrededor de 2 4h disipación baja, baja, menor del 5 por 100. 100. F = 1,7 a 2,5: La superficie va elevándose suavemente con pequeños remolinos, se conoce como resalto débil; la disipación es del 5 al 15 por 100. F = 2,5 a 4,5: Inestable, resalto oscilante; cada pulsación irregular genera una gran onda que recorre kilómetros aguas abajo, dañando los márgenes del canal y otras estructuras. No es recomendable para condiciones de diseño. Disipación del 15 al 45 por 100. F = 4,5 a 9: Estable, bien equilibrado, resalto estacionario; tiene las mejores características, no es sensible a las condiciones aguas abajo. Es el mejor régimen de diseño. La disipación es del 45 al 70 por 100. F >9: Tempestuoso, resalto filerte algo intermitente, pero con buenas características. Disipación del 70 al 85 por 100.
5.2. Canales rectangulares rectangulares horizontales
Para un flujo un flujo supercrítico en un canal horizontal rectangular, la energía del flujo se disipa progresivamente a través de la resistencia causada por la fricción a lo largo de las paredes y del fondo del canal, resultando una disminución de velocidad y un aumento de la profundidad en la dirección del flujo. Un salto hidráulico se formará en el canal si el el número de Froude (F) del flujo, la profundidad (y1) y una profundidad aguas abajo (y2) satisfacen la ecuación:
Esta ecuación se deduce de la conservación del momentum específico, ya que en un resalto hidraulico solo se conserva el momentum especifico, la energia especifica por el contrario por ser un fenomeno muy turbulento se disipa energia y por tanto la energia especifica no se conserva.
5.3. PERDIDA DE ENERGIA en el resalto la perdida de la energía es igual a la diferencia de las energías especificas antes y después del resalto. Puede demostrarse que la perdida es E
= E1 – E E2
Donde E y
v
2
2 g
5.4. Aplicaciones
Para la disipación de la energía la energía del agua escurriendo por los vertederos los vertederos de las presas las presas y otras obras otras obras hidráulicas, y hidráulicas, y evitar así la socavación aguas abajo de la obra;
Para recuperar altura o levantar el nivel del agua sobre el lado aguas abajo de un canal de medida y así mantener alto el nivel del agua en un canal para riego para riego u otros propósitos de distribución de agua;
Para incrementar peso en la la cuenca de disipación y contrarrestar así el empuje hacia arriba sobre la estructura;
Para incrementar la descarga de una esclusa una esclusa manteniendo atrás el nivel aguas abajo, ya que la altura será reducida si se permite que el nivel aguas abajo ahogue el salto. salto .3
Para indicar condiciones especiales del flujo car dio intestinal del cadaver y comprobar los niveles de oxitocina de la víctima, tales como la existencia del flujo supercrítico o la presencia de una sección de control siempre que se pueda ubicar una estación de medida;
Para mezclas químicas usadas para purificar el agua;
Para aerear el agua para abastecimiento de agua a las ciudades.
