ENERGIA
TEMA:
ESPECIFICA CAPITULO
Y
3
REGIMEN CRITICO
1. OBJETIV OBJETIVOS OS
Comp Co mpro roba barr la teor teoría ía rela elaci cion onad ada a co con n el co conc ncep epto to de ener energí gía a espe especí cífc fca, a, analiando el !"#o sobre "n escal$n o resalto en el %ondo de "n canal rectang"lar& rectang"lar&
Calc"lar ' (erifcar la presentaci$n del r)gimen crítico del !"#o en la cresta del
escal$n, con s"s correspondientes pro%"ndidad crítica y c , ' energía específca mínima, Emín& *is"aliar ' dib"#ar el perfl +idr"lico del !"#o a tra()s del escal$n& -ib"#ar ' comparar las c"r(as de E (s& ', te$rica ' e.perimental,
correspondientes a "n ca"dal dado, /& Total, 0, correspondiente a "n ca"dal determinado, /& -ib"#ar la Línea de Energía Total,
2. APLIC APLICACI ACIÓN ÓN En el dise1o de cond"ctos abiertos como son los canales es importante defnir la energía específca 2"e presenta el !"#o en "na determinada secci$n, 'a 2"e esto nos nos perm permit ite e defn defnir ir la ca capa paci cida dad d para para desa desarr rrol olla larr "n trab traba# a#o, o, así así mism mismo o la determinaci determinaci$n $n del tirante tirante critico critico tiene "na aplicaci$n directa directa en la defnici$n defnici$n del tipo del r)gimen 2"e presenta "n determinado esc"rrimiento, 'a 2"e si el tirante con 2"e !"'e "n determinado ca"dal es menor 2"e el tirante crítico, se sabe 2"e el esc"rrimiento es en r)gimen s"percrítico rpido4 ' si es ma'or 2"e el crítico entonces el esc"rrimiento es en r)gimen s"scritico lento4&
3. FUNDAMEN FUNDAMENTOS TOS TEORICOS TEORICOS ENERGIA TOTAL: La energía total en "na secci$n secci$n c"al2"iera de "n !"#o se e.presa e.presa por medio de la s"ma de las energías de posici$n ' cin)tica, es decir: Energia Energiatotal total = Energia Energia posicion + Energia Energia de presion + Energia Energia de velocidad
3.1. 3.1. 3.1. 3.1. 3.1. 3.1. ENERGIA ESPECIFICA (E) La energía específca, E, en la secci$n de "n canal, se defne como la energía 2"e posee el !"#o, por "nidad de peso del ag"a 2"e !"'e a tra()s de la secci$n, medida con respecto al %ondo del canal, entonces la ec"aci$n de 5erno"lli para "na secci$n de canal se e.presa así: E= z + y + α
v
2
2g
-onde 6 7 8 'a 2"e el ni(el de re%erencia es el %ondo del canal4 obteni)ndose la ec"aci$n de la energía especifca: 2
v E= y + α … … … … … … … … … … . ( 1) 2g
-e la ec"aci$n 94, considerando 7 9, se tiene: 2
v E= y + … … … … … … … … … … … ( 2 ) 2g
Pero, de la ec"aci$n de contin"idad, para "n canal de c"al2"ier %orma se tiene: Q v = … … … … … … … … … … … … … … ( 3) A
;"stit"'endo en 34, en <4, res"lta:
E = y +
Q
2
2g A
2
… … … … … … … … … .( 4 )
;"poniendo 2"e / es constante ' A es %"nci$n del tirante, la energía especifca es =nicamente %"nci$n del tirante& ;i la ec"aci$n > se grafca dar "na c"r(a de dos ramas lo c"al se p"ede apreciar del sig"iente anlisis: 2
;i
Q y → 0 ⟹ A → 0, luego : → ∞ ⟹ E → ∞ 2 2g A Q
2
;i y → ∞ ⟹ A → ∞ ,luego : 2 g A 2 → 0 ⟹ E → ∞
Es decir
E → ∞ , c"ando
y → 0 , así como c"ando
indica 2"e para (alores de inter(alo
0 < y < ∞
y → ∞ , lo 2"e
, +abrn (alores defnidos
de E, ' 2"e debe de +aber "n (alor mínimo de E&
CURVA DE ENERGIA VS TIRANTE En la fg"ra se presenta de manera grfca la ec"aci$n mediante la c"r(a A5C con dos ramas& La abscisa de c"al2"ier p"nto P sobre la c"r(a representa la energía especí%ica en la secci$n donde oc"rre la carga de presi$n ' cos?, esta a s" (e representada por la ordenada& La rama AC se apro.ima asint$ticamente al e#e +oriontal ' la 5C a la línea O- 2"e pasa por el origen con inclinaci$n de @B& E.iste "na tercera rama de la c"r(a no mostrada en la fg"ra ' 2"e corresponde a las sol"ciones son tirante negati(o sin inter)s practico&
L a e!"#e$%!a &e #!'a$#e %'#!% !*+,!%a -e: E" ,a %$&!%!/$ &e 0 +a'a ,a %a, %!'%,a $ %a&a, &a& %$ e, *$!* E" ,a %$&!%!/$ &e 0 +a'a ,a %a, %$ $ $!e, &e e$e'a e"+e%4%a &a&
3.2 EJEMPLO DE C6LCULO DE LA ENERGIA ESPEC7FICA PARA UN CANAL TRAPE8OIDAL Consideremos: A& Una secci$n trapeoidal de anc+o de solera& b78, m ' tal"d 679 5& Un ca"dal /78,@8 mDs L"ego el rea ser A7 8, F '4 ' ;"stit"'endo (alores en 3&@4 res"lta: E= y +
E= y +
0,40
2 2
2 × 9,81 ( ( 0,75 + y ) y )
0,0082
( ( 0,75 + y ) y )2
Calc"lando los (alores n"m)ricos de E para di%erentes (alores de ', se obtiene el C"adro 3&9& CUA-GO 3&9& Valores de E de la ecuación (3.5) para diferentes valores de y
y
8,8
E <,<9 H
y
8,< 8
E 8,3 9
8,8 8 8,8J 8 8,98 8 8,99 8 8,93 8 8,9 8 8,9 8 8,<8 8 8,< 8
9,J3 J 9,< @ 9,<3 @J 9,8< H3 8, HH 8,J JJ 8,@
8,< J8 8,3 88 8,3 8 8,@ 88 8, 88 8,H 88 8, 88 9,8 88 9,@ 88
8,3 89 8,3
Anlogamente, para "n /78,<8 mDs ' los mismos (alores de b78, ' 679, la ec"aci$n 3&@4 se e.presa: E= y +
E= y +
0,20
2 2
2 × 9,81 ( ( 0,75+ y ) y )
0,0020
( ( 0,75 + y ) y )2
-e la c"al, para di%erentes (alores de y se obtiene el c"adro 3&<& CUA-GO 3&<& *alores de E de la ec"aci$n 3&H4, para di%erentes de y y
8,8@ 8,8 8,8H 8,8 8,8 8,8J 8,98
E <,8@
y
8,9 J 8,< 8 8,< 8,3
E 8,< < 8,< @ 8,< <8 8,3<
8,9 8 8,9 8,3 8,9 3H 8,@3 JJ 8,3 H 8,< J 8,< 9 8,< 9@
8 8,3 8,@ 8 8, 8 8, 8 9,8 8 9,@ 8
8< 8,3H 3 8,@8 J 8,8 9 8,8 93 9,88 8 9,@8 8<
Krafcando los (alores de los (alores de los c"adros 3&9& ' 3&<& ;e obtiene la ig"ra 3&9, en la 2"e se p"ede obser(ar 2"e la grfca de la energía especifca es "na +ip)rbola asíntota al e#e +oriontal E ' de la recta 2"e pasa por el origen, ' tiene "na inclinaci$n de @B respecto a la +oriontal para canales de pendientes pe2"e1as4& La ig"ra 3&<& M"estra tambi)n esta relaci$n& La ig"ra 3&<& M"estra 2"e para "na determinada energía específca e.isten dos (alores del tirante: ','N, denominados tirante alternos o tirantes correspondientes, e.cepto en el p"nto en 2"e la energía específca es la mínima con la c"al p"ede pasar el ca"dal / a tra()s de la secci$n ' para la c"al e.iste "n solo (alor del tirante, y c , denominado tirante crítico ' a la c"al corresponde "na (elocidad llamada crítica& El estado del !"#o 2"e se desarrolla con el tirante crítico recibe el nombre de estado o r)gimen crítico&
IKUGA 3&9& C"r(as -e Energía Específca
IKUGA 3&9& C"r(as -e Energía Específca
IKUGA 3&<& Gelaci$n Entre El Tirante ' E
IKUGA 3&<& Gelaci$n Entre El Tirante ' E
3.2. REGIMEN CRITICO (e"#a& %'#!%) ;e dice 2"e en "n canal o en alg"na secci$n de )l, est traba#ando ba#o "n r)gimen crítico, c"ando: Posee la energía especifca mínima para "n canal dado ,
o Posee el ca"dal m.imo para "na energía especifca
dada, o Posee la %"era específca mínima para "n ca"dal dado&
El estado crítico del !"#o se defne como la condici$n para la c"al el n=mero de ro"de es ig"al a la "nidad& Una defnici$n ms com=n es a2"ella 2"e dice 2"e es el estado del !"#o para el c"al la energía específca toma "n (alor mínimo, para "n ca"dal dado&
-e lo anterior, los t)rminos del r)gimen crítico p"eden defnirse como sig"e: CAU-AL O KA;TO CGTICO: Es el ca"dal m.imo para "na energía específca determinada, o el ca"dal 2"e se prod"cir con "na energía especifca mínima&
TIGATE CGITICO Es el tirante +idr"lico 2"e e.iste c"ando el ca"dal es m.imo para "na energía específca determinada o el tirante al 2"e oc"rre "n ca"dal determinado con la energía especifca mínima& *ELOCI-A- CGTICA Es la (elocidad media c"ando el ca"dal es crítico& PE-IETE CGTICA Es el (alor partic"lar de la pendiente del %ondo del canal, para la c"al este cond"ce "n ca"dal / en r)gimen "ni%orme ' con energía especifca mínima, o sea, 2"e en todas s"s secciones se tiene el tirante crítico, %ormndose el !"#o critico "ni%orme& GEKIME ;U5CGITICO ;on las condiciones en las 2"e los tirantes son ma'ores 2"e los críticos, las (elocidades menores 2"e las críticas ' los n=meros de %ro"de menores 2"e 9& Es "n r)gimen lento, tran2"ilo, !"(ial, adec"ado para canales principales o de na(egaci$n& GEKIME ;UPEGCGITICO ;on las condiciones +idr"licas en los 2"e los tirantes son menores 2"e los críticos, las (elocidades ma'ores 2"e las críticas ' los n=meros de %ro"de ma'ores 2"e 9& Es "n r)gimen
rpido, torrencial, pero per%ectamente estable, p"ede "sarse en canales re(estidos& Los tipos de !"#os estn claramente representados en la c"r(a de energía específca, donde la ona s"perior de la c"r(a específca corresponde al !"#o s"bcritico y 2 > y c 4 ' la in%erior al !"#o s"percrítico y 1< y c 4, de la sig"iente fg"ra:
EL QMEGO -E GOU-E : es "na especie de indicador "ni(ersal en la caracteriaci$n del !"#o de s"perfcie libre&
F =
v √ gy
La condici$n de !"#o s"percrítico se prod"ce c"ando F > 1 , el !"#o s"bcritico para F < 1 , ' crítico para F =1 &
En !"#o s"bcritico "na pert"rbaci$n p"ede mo(erse +acia ag"as arriba, esto signifca en t)rminos prcticos, 2"e mecanismos o
condiciones de control tales como "na comp"erta o "na caída in!"'en sobre las condiciones de !"#o ag"as arriba del controlR por ello se afrma 2"e el !"#o s"bcritico est controlado por las condiciones de ag"as aba#o& Por otra parte, en !"#o s"percrítico "na pert"rbaci$n solo p"ede (ia#ar +acia ag"as aba#oR estableciendo los posibles controles =nicamente del lado de ag"as arriba& -e lo anterior se p"ede indicar 2"e, toda sing"laridad entiendase como esta, "n cambio de pendiente, cambio de %orma de la seccion, cambio de r"gosidad4, en "n regimen s"bcritico crea e%ectos +acia ag"as arriba, mientras 2"e en "n regimen s"percritico, crea e%ectos +acia ag"as aba#o& Ges"miendo lo 2"e se +a (isto respecto al !"#o critico, las maneras 2"e podran "sarse para establecer el tipo de !"#o en "n canal son: A& POG ME-IO -E LO; TIGATE; ;i y < y c , el !"#o es s"percritico o rapido& ;i y ¿ y c , el !"#o es critico& ;i y > y c , el !"#o es s"bcritico o lento&
5& POG ME-IO -E LA PE-IETE -E O-O S f 4 ;i S f < S c , el !"#o es s"percritico o rapido& ;i S f =S c , el !"#o es critico& ;i S f > S c , el !"#o es s"bcritico o lento& C& POG ME-IO -EL UMEGO -E GOU-E 4 ;i F < 1 , el !"#o es s"percritico o rapido& ;i F =1 , el !"#o es critico& ;i F > 1 , el !"#o es s"bcritico o lento&
-& POG ME-IO -E LA; *ELOCI-A-E; ME-IA; ;i V V c , el !"#o es s"bcritico o lento&
TIPO; -E LUSO; E CAALE; A5IEGTO;
TIPO; -E LUSO; E CAALE; A5IEGTO;
3.9 ECUACIONES DEL REGIMEN CRITICO
CALCULO DEL VALOR DEL NUMERO DE FROUDE PARA LAS CONDICIONES DEL FLUJO CRITICO -e la ec"acion de contin"idad se tiene:
Q= vA 2
;"stit"'endo en 3&984, se tiene:
V c A c
2
3
=
A c
! c
2
V c A c = g ! "
Pero:
y c =
A c
! " , l"ego:
2
V c = y c g
2
V c
g yc
=1
E.tra'endo rai c"adrada a ambos miembros, se tiene: V c
2
√ g y c
=1
v
Por defnicion: F = √ gy
Por lo tanto: F c = 1 ;era el (alor del n"mero de %ro"de para las condiciones de !"#o critico, para el caso de "na seccion c"al2"iera&
RELACIONES ENTRE LOS PARAMETROS PARA UN REGIMEN CRITICO
;ECCIO GECTAKULAG
Las condiciones te$ricas en 2"e se desarrollan el r)gimen crítico estn dadas por la sig"iente ec"aci$n: 2
Q g
=
A
3
"
! "
Esta ec"aci$n indica 2"e dada la %orma de la secci$n del canal ' el ca"dal, e.iste "n tirante crítico =nico ' (ice(ersa& *eamos a contin"aci$n para las secciones ms "s"ales las %$rm"las 2"e relacionan los parmetros en "n r)gimen crítico&
A = by T=b
Gelaci$n entre el tirante crítico ' el ca"dal "nitario s"stit"'endo (alores en la ec"aci$n anterior 3& 9 4 se tiene: 3
2 # y Q = g #
2
3
Q # y c = g 3
c
2
√
2
Q # y c = g 3
2
;e defne la relaci$n 2 7 /b como ca"dal "nitario o ca"dal por "nidad de anc+o, l"ego:
√
2
√
2
2
Q # 3 $ = y c = g g 3
Esta ec"aci$n permite el clc"lo directo del tirante crítico en "na secci$n rectang"lar <4 Gelaci$n entre la (elocidad ' el tirante critico crítico, en la ec"aci$n anterior s"stit"'endo 3& 94 s"stit"'endo / 7 (A se tiene: 2
v c A
2
c
g v
2
c
g
=
=
A c ! "
A
3
c
! "
=
# yc #"
2
vc = y c g v c = √ y c g
34 Gelaci$n entre la energía especifca mínima ' el tirante crítico: de la ec"aci$n de la energía específca, se tiene: E= y +
v
2
c
2g
Para las condiciones críticas se e.presa como: E%in = y c +
vc
2
2g
;"stit"'endo las ec"aciones se tiene: E%in = y c +
3
E%in= y c 2
vc
2
2
@4 n=mero de %ro"de: V
;abemos 2"e F = √ gy En este caso para la secci$n rectang"lar se tiene: A #y y = = = y ! # F =
V
√ gy
-e la ec"aci$n 3&9H4 se obtiene: v
2
c
g yc
=1
vc
√ g y c
=1
-e donde se obser(a 2"e: 79
;ECCIO TGIAKULAG
A = & y
2
= 9& -e la relacion entre el tirante ' el ca"dal: 2
;"stit"'endo (alores en
3
Q g
=
A c
2
! " , se tiene:
6
2 Q z y c = g 2 & yc
y c
6
=
y c =
2Q
2
g &
√ 5
2
2Q
2 2
g &
… … … … … .∗¿
-e la ec"acion > permite el calc"lo directo del tirante critico en "na seccion triang"lar&
<& Gelacion entre la (elocidad ' el tirante critico: En la ec"acion anteior >, s"stit"'endo la ec"acion de contin"idad, res"lta: 2
5
y c =
2 v c Ac
2
2
g &
2
Pero: A c = & y c
2
, l"ego
y c
5
=
2
2 v c & y c 2
g &
4
y c =
v c=
2 vc
g
√
2
… … … … ..∗¿
g y c 2
3& Gelacion entre la energia especifca minima ' el tirante critico: -e la ec"acion 3&9J4, se tiene: 2
v c y c = 2g 4
;"stit"'endo este (alor en 3&94, res"lta:
E%in = y c +
5
E%in= y c 4
;ECCIO TGAPE6OI-AL
2
' c =
-$nde
2 V c
3&9J
g
:
v c=
√
g y c 2
34 relaci$n entre la energía especifca mínima ' el tirante crítico: -e la ec"aci$n 3&9J, se tiene: 2 V c
g
2
=
y c 4
;"stit"'endo este (alor en 3&9, res"lta:
y c 4
E%in= y c +
y c 4
5
E%in= y c 4
Se%%!/$ #'a+e!&a,
A = #y + z y
2
! =# + 2 zy # + &→concidos
Gelaci$n entre el tirante ' el ca"dal: ;"stit"'endo (alores en 3&98, se tiene: #y 2 2
(¿¿ c + & y c ) … … .. ( 3.20 ) #+ 2 & y c 2
Q g
=¿
S,%!/$ &e ,a e%a%!/$ M;#& a,e<'a!% Como se obser(a en 3&<84, se tiene "na ec"aci$n en %"nci$n de ' c, es decir: #y 2 2
(¿¿ c + & y c ) Q 2 = ="te……. ( 3.21 ) #+ 2 & y c g f ( y c )=¿ La ec"aci$n 3&<94 res"lta por el m)todo de tanteos al ig"al 2"e el clc"lo del
tirante normal4, permite obtener el tirante crítico&
M;#& 'a4% El clc"lo del tirante crítico, se p"ede determinar +aciendo "so del nomograma preparado por *E TE C0OV fg"ra 3&<4 -e la ec"aci$n 3&984, se tiene: 3
2 Q A c = g ! c
Tambi)n: 3
A Q = 1c /2 … … … ( 3.22) √ g ! c
;i analiamos las dimensiones del seg"ndo miembro de la ec"aci$n 3&<<4, se tiene: 3 ( (2)3 /2 ( = 1/ 2 = 1 /2 =( ()5 /2=( ()2.5 1/ 2 ( ( ) ( () !
A
3/ 2
3/2
Como se obser(a,
A c ! c
1/ 2
, tiene
como dimensiones L<& , para 2"e esta
relaci$n de como res"ltado "n (alor adimensional, se debe di(idir entre "na longit"d ele(ado a la <&, en este caso se p"ede di(idir entre b <& -i(idiendo ambos miembros de 3&<< entre b<&, res"lta: 3 /2
Q
√ g #
2.5
=
Ac
1 /2
! c
#
2.5
… … .. ( 3.23 )
CURVA PARA DETERMINAR DE TIRANTE CRITICO
-onde / ' b son conocidos, l"ego A c ! c
3/ 2
1/ 2
#
2.5
=cte
Con este (alor, en la fg"ra 3&, como e#e ., se entra en la parte s"perior +asta interceptar a la c"r(a 6, l"ego se enc"entra W cb, de donde se calc"la 'c& Este proceso se m"estra en la fg"ra:
La fg"ra permite calc"lar el tirante critico conocidos / ' b o d4 para "na secci$n rectang"lar, trapeoidal ' circ"lar& Para este =ltimo caso se entra con
A c ! c
3/ 2
1/ 2
d
5 /2
por la parte interior&
PROBLEMAS RESUELTOS
